資源簡介

培優提升五　應用萬有引力定律解決“三個”熱點
問題
(分值：100分)
選擇題1～10題，每小題8分，共80分。
對點題組練
題組1　衛星變軌問題
1.(多選)(2024·成都樹德中學高一期末)同步衛星在同步軌道上定位以后，由于受到太陽、月球及其他天體的引力作用影響，會產生漂移運動而偏離原來的位置，若偏離達到一定程度，就要發動衛星上的小發動機進行修正。如圖所示，實線為離赤道地面36 000 km的同步軌道，B和C為兩個已經偏離同步軌道但仍在赤道平面內運行的衛星，要使它們回到同步軌道上應(　　)
開動B的小發動機向前噴氣，使B適當減速
開動B的小發動機向后噴氣，使B適當加速
開動C的小發動機向前噴氣，使C適當減速
開動C的小發動機向后噴氣，使C適當加速
2.(多選)如圖是我國發射神舟十五號載人飛船的入軌過程。飛船先沿橢圓軌道飛行，后在遠地點點火加速，由橢圓軌道變成圓軌道，在此圓軌道上飛船運行的周期約為90分鐘。下列判斷正確的是(　　)
飛船變軌前后的線速度相等
飛船在圓軌道上時航天員出艙前后都處于失重狀態
飛船在此圓軌道上運動的角速度大于同步衛星運動的角速度
飛船變軌前通過橢圓軌道遠地點時的加速度大于變軌后沿圓軌道運動的加速度
3.(多選)探月衛星的發射過程可簡化如下：首先進入繞地球運行的停泊軌道，在該軌道的P處，通過變速，進入地月轉移軌道，在到達月球附近的Q點時，對衛星再次變速，衛星被月球引力俘獲后成為環月衛星，最終在環繞月球的工作軌道上繞月飛行(視為圓周運動)，對月球進行探測，工作軌道周期為T，距月球表面的高度為h，月球半徑為R，引力常量為G，忽略其他天體對探月衛星在工作軌道上環繞運動的影響。下列說法正確的是(　　)
月球的質量為
月球表面的重力加速度為
探月衛星需在P點加速才能從停泊軌道進入地月轉移軌道
探月衛星需在Q點減速才能從地月轉移軌道進入工作軌道
4.(多選)“嫦娥五號”探月衛星沿地月轉移軌道直奔月球，在距月球表面200 km的P點進行第一次變軌后被月球捕獲，先進入橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，如圖所示。之后，衛星在P點又經過兩次變軌，最后在距月球表面200 km的圓形軌道Ⅲ上繞月球做勻速圓周運動。對此，下列說法正確的是(　　)
衛星在軌道Ⅰ上運動周期比在軌道Ⅱ上大
衛星在軌道Ⅱ上P點的加速度小于在軌道Ⅲ上P點時的加速度
衛星在軌道Ⅲ上運動的速度大于月球的第一宇宙速度
在P點的兩次變軌都必須減速做近心運動
題組2　雙星及多星問題
5.(多選)(2024·江油一中高一期末)兩顆星球A、B組成的雙星系統，A、B的質量分別為m1、m2，在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的O點做周期相同的勻速圓周運動，現測得兩顆星球之間的距離為L，質量之比為m1∶m2＝3∶2。則可知(　　)
A與B做圓周運動的角速度之比為2∶3
A與B做圓周運動的線速度之比為2∶3
A做圓周運動的半徑為L
B做圓周運動的半徑為L
6.宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們以二者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，而不會因為萬有引力的作用而吸引到一起。如圖所示，某雙星系統中A、B兩顆天體繞O點做勻速圓周運動，它們的軌道半徑之比rA∶rB＝1∶2，則兩顆天體的(　　)
質量之比mA∶mB＝2∶1
轉動方向相反
角速度之比ωA∶ωB＝1∶2
向心力大小之比FA∶FB＝2∶1
7.雙星系統由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動。研究發現，雙星系統演化過程中，兩星的總質量、距離和周期均可能發生變化。若某雙星系統中兩星做圓周運動的周期為T，經過一段時間演化后，兩星總質量變為原來的k倍，兩星之間的距離變為原來的n倍，則此時圓周運動的周期為(　　)
T T
T T
題組3　衛星相距最近和最遠問題
8.如圖所示，在地球赤道上有一建筑物A，赤道所在的平面內有一顆衛星B繞地球做勻速圓周運動，其周期為T，與地球自轉方向相同；已知地球的質量為M，地球的自轉周期為T0(T＜T0)，引力常量為G，當B在A的正上方時開始計時，下列說法正確的是(　　)
衛星離地的高度大于同步衛星離地的高度
由題中的條件不能求出衛星做勻速圓周運動的向心加速度
至少經過時間，B仍在A的正上方
至少經過時間，A與B相距最遠
綜合提升練
9.兩顆人造衛星繞地球逆時針運行，衛星1、衛星2分別沿圓軌道、橢圓軌道運行，圓的半徑與橢圓的半長軸相等，兩軌道相交于A、B兩點，某時刻兩衛星與地球在同一直線上，如圖所示，下列說法中正確的是(　　)
兩衛星在圖示位置的速度v2＝v1
衛星2在A點的加速度較大
兩衛星在A點或B點可能相遇
兩衛星永遠不可能相遇
10.如圖所示，火星探測器經歷橢圓軌道Ⅰ→橢圓軌道Ⅱ→圓軌道Ⅲ的變軌過程。Q為軌道Ⅰ的遠火點，P為軌道Ⅰ的近火點，探測器在三個軌道運行時都經過P點。則探測器(　　)
沿軌道Ⅰ運行至P點的速度大于運行至Q點的速度
沿軌道Ⅱ運行至P點的加速度小于沿軌道Ⅲ運行至P點的加速度
沿軌道Ⅰ運行的周期小于沿軌道Ⅱ運行的周期
與火星連線在相等時間內，沿軌道Ⅰ運行與沿軌道Ⅱ運行掃過的面積相等
11.(10分)(2024·江蘇南通期末)嫦娥五號探測器是中國首個實施無人月面取樣的航天器，其發射的簡化過程如圖所示。先將探測器送入近地圓軌道Ⅰ，在近地點多次變軌后依次進入橢圓軌道Ⅱ和地月轉移軌道。被月球俘獲后，再多次變軌進入近月圓軌道Ⅲ。已知軌道Ⅱ遠地點和近地點到地心距離之比為a，探測器在軌道Ⅰ和軌道Ⅲ運行的周期之比為b，求：
(1)(5分)地球和月球的平均密度之比；
(2)(5分)探測器在軌道Ⅰ和軌道Ⅱ運行的周期之比。
培優加強練
12.(10分)(2024·成都石室中學)中國自行研制、具有完全自主知識產權的“神舟號”飛船，目前已經達到或優于國際第三代載人飛船技術，其發射過程簡化如下：飛船在衛星發射中心發射，由長征運載火箭送入近地點為A、遠地點為B的橢圓軌道上，A點距地面的高度為h1，飛船飛行5圈后進行變軌，進入預定圓軌道，如圖所示。設飛船在預定圓軌道上飛行n圈所用時間為t，若已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，忽略地球的自轉，求：
(1)(3分)飛船在B點經橢圓軌道進入預定圓軌道時是加速還是減速；
(2)(3分)飛船經過橢圓軌道近地點A時的加速度大?。?br/>(3)(4分)橢圓軌道遠地點B距地面的高度h2。
培優提升五　應用萬有引力定律解決“三個”熱點問題
1.AD　[由題意知B偏離同步軌道在高軌道運行，要回到低軌道的同步軌道，需要做近心運動，因此B應適當減速，發動機向前噴氣，故A正確，B錯誤；C偏離同步軌道在低軌道運行，要回到高軌道的同步軌道，需做離心運動，發動機向后噴氣，使C適當加速，故C錯誤，D正確。]
2.BC　[飛船點火加速變軌，前后的線速度不相等，故A錯誤；飛船在圓軌道上時，航天員出艙前后，航天員所受地球的萬有引力全部用來提供航天員做圓周運動的向心力，航天員出艙前后均處于完全失重狀態，故B正確；飛船在圓形軌道上的周期約為90分鐘，小于同步衛星的周期，根據ω＝可知飛船的角速度大于同步衛星的角速度，故C正確；由牛頓第二定律可得飛船的加速度a＝，由于橢圓軌道的遠地點P到地心的距離與變軌后的圓軌道的半徑相等，則加速度大小相等，故D錯誤。]
3.BCD　[月球對探月衛星的萬有引力提供其做勻速圓周運動的向心力，則有G＝m，解得月球質量m月＝，故A錯誤；在月球表面，有G＝mg月，解得g月＝，故B正確；探月衛星從停泊軌道進入地月轉移軌道需要離心運動，需在P點加速，故C正確；從地月轉移軌道進入工作軌道，做近心運動，需要在Q點減速，故D正確。]
4.AD　[根據開普勒第三定律＝k，可知衛星在軌道Ⅰ上運動周期比在軌道Ⅱ上大，A正確；根據＝ma，解得a＝，衛星在軌道Ⅱ上P點的加速度等于在軌道Ⅲ上P點時的加速度，B錯誤；月球的第一宇宙速度是其最大的環繞速度，所以衛星在軌道Ⅲ上運動的速度小于月球的第一宇宙速度，C錯誤；在P點的兩次變軌都必須減速做近心運動，D正確。]
5.BC　[雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，相等的時間內轉過相同的角度，則角速度相等，故A項錯誤；向心力大小相等，有m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2，因為質量之比為m1∶m2＝3∶2，則軌道半徑之比r1∶r2＝2∶3，所以A做圓周運動的半徑為L，B做圓周運動的半徑為L，故C項正確，D項錯誤；根據v＝ωr，角速度相等，可知A、B的線速度之比為2∶3，故B項正確。]
6.A　[雙星系統中A、B兩顆天體繞O點做勻速圓周運動，則兩星的角速度和周期相同且轉動方向相同，故B、C錯誤；根據萬有引力提供向心力，有G＝mAω2rA＝mBω2rB，由此可得mA∶mB＝rB∶rA＝2∶1，故A正確；兩星均由彼此間的萬有引力提供向心力，則向心力大小相等，故D錯誤。]
7.B　[雙星靠彼此的萬有引力提供向心力，則有
G＝m1r1
G＝m2r2
并且r1＋r2＝L
解得T＝2π
當雙星總質量變為原來的k倍，兩星之間距離變為原來的n倍時，
T′＝2π＝T
故選項B正確。]
8.C　[對衛星B，由萬有引力提供向心力得＝mr，解得T＝2π，由于同步衛星的周期與地球自轉周期相同，而T9.D　[v2為橢圓軌道的遠地點的速度，v1表示衛星1做勻速圓周運動的速度，圓的半徑和橢圓的半長軸相等，則v1>v2，故A錯誤；兩個軌道上的衛星運動到A點時，所受的萬有引力產生的加速度a＝，加速度相同，故B錯誤；橢圓的半長軸與圓軌道的半徑相同，根據開普勒第三定律知，兩顆衛星的運動周期相等，故不會相遇，故C錯誤，D正確。]
10.A　[根據開普勒第二定律可知，沿軌道Ⅰ運行至近火點P的速度大于運行至遠火點Q的速度，選項A正確；根據a＝可知，沿軌道Ⅱ運行至P點的加速度等于沿軌道Ⅲ運行至P點的加速度，選項B錯誤；根據開普勒第三定律＝k，可知沿軌道Ⅰ運行的半長軸大于沿軌道Ⅱ運行的半長軸，則沿軌道Ⅰ運行的周期大于沿軌道Ⅱ運行的周期，選項C錯誤；根據開普勒第二定律可知，沿同一軌道運動時在相等的時間內與火星的連線掃過的面積相等，而在相等時間內，沿軌道Ⅰ運行與沿軌道Ⅱ運行掃過的面積一定不相等，選項D錯誤。]
11.(1)1∶b2　(2)
解析　(1)根據萬有引力提供向心力，對近地軌道運動的探測器有
G＝mR地
地球的平均密度為ρ地＝
聯立可得ρ地＝
對近月軌道運動的探測器有G＝mR月
月球的平均密度為ρ月＝
聯立可得ρ月＝
地球和月球的平均密度之比＝＝。
(2)設地球的半徑為R，則軌道Ⅱ的長軸為r′＝(1＋a)R
根據開普勒第三定律有＝
解得探測器在軌道Ⅰ和軌道Ⅱ運行的周期之比＝。
12.(1)加速　(2)　(3)－R
解析　(1)飛船要進入預定圓軌道，需在B點加速。
(2)在地球表面有mg＝①
在A點時，根據牛頓第二定律有
G＝maA②
由①②式聯立解得飛船經過橢圓軌道近地點A時的加速度大小為aA＝。
(3)飛船在預定圓軌道上飛行時，由萬有引力提供向心力，有
G＝m(R＋h2)③
由題意可知，飛船在預定圓軌道上運行的周期為T＝④
由①③④式聯立解得h2＝－R。培優提升五　應用萬有引力定律解決“三個”熱點
問題
學習目標　1.知道衛星變軌的原因及如何變軌。2.知道航天器的對接問題的處理方式。3.理解雙星模型的特點，會分析雙星、多星問題。4.會分析衛星的最近和最遠問題。
提升1　衛星變軌問題
1.衛星的穩定運行與變軌
(1)穩定運行
衛星繞天體穩定運行時，萬有引力提供衛星做圓周運動的向心力，即G＝m。
(2)變軌運行
當衛星由于某種原因，其速度v突然變化時，F引和m不再相等，會出現以下兩種情況：
①當F引＞m時，衛星做近心運動；
②當F引＜m時，衛星做離心運動。
2.宇宙飛船變軌對接
(1)低軌道飛船與高軌道空間站對接
如圖甲所示，低軌道飛船通過合理加速，沿橢圓軌道(做離心運動)追上高軌道空間站與其完成對接。
(2)同一軌道飛船與空間站對接
如圖乙所示，后面的飛船先減速降低高度，再加速提升高度，通過適當控制，使飛船追上空間站時恰好具有相同的速度。
例1 (2024·四川成都外國語高一期中)發射地球同步衛星時，先將衛星發射至近地圓軌道1，然后經點火，使其沿橢圓軌道2運行，最后再次點火，將衛星送入同步圓軌道3。軌道1、2相切于Q點，軌道2、3相切于P點(如圖所示)。則當衛星分別在1、2、3軌道上正常運行時，以下說法正確的是(　　)
A.衛星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率
B.衛星在軌道3上經過P點時的速率小于它在軌道2上經過P點時的速率
C.衛星在軌道1上運行時的周期大于它在軌道2上運行時的周期
D.衛星在軌道2上經過P點時的加速度大小等于它在軌道3上經過P點時的加速度大小
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(1)變軌問題相關物理量的比較
①兩個不同軌道的“切點”處線速度大小不相等，圖中Ⅰ為近地圓軌道，Ⅱ為橢圓軌道，A為近地點、B為遠地點，Ⅲ為遠地圓軌道。
②同一橢圓軌道上近地點和遠地點的線速度大小不相等，從遠地點到近地點線速度逐漸增大。
(2)變軌的兩種情況
①兩個不同圓軌道上的線速度大小v不相等，軌道半徑越大，v越小，圖中vⅡA>vⅠA>vⅢB>vⅡB。
②不同軌道上運行周期T不相等，根據開普勒第三定律＝k知，圖中TⅠ③兩個不同軌道的“切點”處加速度a大小相同，圖中aⅢB＝aⅡB，aⅡA＝aⅠA。
訓練1 2022年5月10日，天舟四號貨運飛船采用快速交會對接技術，順利與在軌運行的天和核心艙進行交會對接。對接前，天舟四號貨運飛船繞地球做橢圓運動，近地點A和遠地點B，如圖所示；天和核心艙在離地球表面高度為h處做勻速圓周運動。若對接地點在橢圓軌道的遠地點B處，下列說法正確的是(　　)
A.天舟四號在A點的運行速度小于在B點的運行速度
B.天舟四號與天和核心艙對接后的運行速度大于7.9 km/s
C.天舟四號在B處點火加速，才能與天和核心艙順利完成對接
D.若天和核心艙在軌運行時受阻力作用，則其運行周期將變大
提升2　雙星及多星問題
1.雙星模型
(1)如圖所示，宇宙中有相距較近、質量相差不大的兩個星球，它們離其他星球都較遠，其他星球對它們的萬有引力可以忽略不計。在這種情況下，它們將圍繞其連線上的某一固定點做周期相同的勻速圓周運動，通常我們把這樣的兩個星球稱為“雙星”。
(2)特點
①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力相互提供，即
G＝m1ωr1，G＝m2ωr2。
②兩顆星球的周期及角速度都相同，即T1＝T2，
ω1＝ω2。
③兩顆星球的半徑與它們之間的距離關系為
r1＋r2＝L。
(3)關系：兩顆星球到圓心的距離r1、r2與星體質量成反比，即＝，與星體運動的線速度成正比。
2.多星系統
在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系統，在多星系統中：
(1)各個星體做圓周運動的周期、角速度相同。
(2)某一星體做圓周運動的向心力是由其他星體對它萬有引力的合力提供的。
角度1　雙星問題
例2 “開陽”雙星是人們在1650年第一個用肉眼發現的雙星。雙星由兩顆繞著共同中心旋轉的恒星組成，即組成雙星的兩顆子星繞它們連線上的某點做勻速圓周運動。如圖所示，已知兩顆子星的質量分別為m1和m2，二者相距r，引力常量為G，求：
(1)質量為m1的子星的轉動半徑r1；
(2)質量為m2的子星的運動周期T。
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訓練2 (2024·四川高一內江期中)科學家發現距離地球2764光年的宇宙空間存在適合生命居住的雙星系統，這一發現為人類研究地外生命提供了新的思路和方向。假設宇宙中有一雙星系統由質量分別為m和M的A、B兩顆星體組成。這兩顆星體繞它們連線上的某一點在二者萬有引力作用下做勻速圓周運動，如圖所示，若AO>OB，則(　　)
A.A的向心力大于B的向心力
B.A的周期一定大于B的周期
C.因為AO>OB，所以m>M
D.A的線速度大小大于B的線速度大小
角度2　三星系統
例3 (多選)(2024·重慶高一期中)圖示是由質量相等的三顆星組成的三星系統，其他星體對它們的引力作用可忽略。設每顆星體的質量均為m，三顆星分別位于邊長為r的等邊三角形的三個頂點上，它們繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內以相同的角速度做勻速圓周運動。已知引力常量為G，下列說法正確的是(　　)
A.每顆星體受到的向心力大小為G
B.每顆星體運行的周期均為2π
C.若r不變，星體質量均變為2m，則星體的角速度變為原來的2倍
D.若m不變，星體間的距離變為4r，則星體的線速度變為原來的
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提升3　衛星的最近和最遠問題
兩顆衛星在同一軌道平面內同向繞地球做勻速圓周運動，a衛星的角速度為ωa，b衛星的角速度為ωb。
若某時刻兩衛星正好同時通過地面同一點正上方，相距最近，如圖甲所示。
當它們轉過的角度之差Δθ＝π，即滿足ωaΔt－ωbΔt＝π時，兩衛星第一次相距最遠，如圖乙所示。
當它們轉過的角度之差Δθ＝2π，即滿足ωaΔt－ωbΔt＝2π時，兩衛星再次相距最近。
例4 設地球的自轉角速度為ω0，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，某人造地球衛星在赤道上空做勻速圓周運動，軌道半徑為r，且r<5R，飛行方向與地球的自轉方向相同，在某時刻，該人造地球衛星通過赤道上某建筑物的正上方，則到它下一次通過該建筑物正上方所需要的時間為(地球同步衛星軌道半徑約為6R)(　　)
A.2π B.
C.2π D.
訓練3 如圖，運行軌道在同一平面內的兩顆人造衛星A、B，同方向繞地心做勻速圓周運動，此時刻A、B連線與地心恰在同一直線上且相距最近，已知A的周期為T，B的周期為。下列說法正確的是(　　)
A.A的線速度大于B的線速度
B.A的加速度大于B的加速度
C.A、B與地心連線在相同時間內掃過的面積相等
D.從此時刻到下一次A、B相距最近的時間為2T
隨堂對點自測
1.(衛星的變軌問題)(多選)(2024·成都七中高一月考)我國航天事業近些年取得了舉世矚目的成就，如火星探測器天問一號的發射，其發射過程中的轉移軌道如圖甲、乙所示，如圖甲所示，探測器由P點沿地火轉移軌道運動到Q點，再依次進入如圖乙所示的調相軌道和停泊軌道，則(　　)
A.天問一號由P點沿地火轉移軌道運動到Q點所用時間超過6個月
B.天問一號在地火轉移軌道Q點的速率小于地球公轉的速率
C.天問一號在環繞火星的調相軌道上經過加速進入停泊軌道
D.天問一號在著陸火星前，進入火星的近火軌道，其運動周期與火星自轉周期相等
2.(衛星的變軌問題)(2024·四川成都高一?？?發射某地球同步衛星時，先將衛星發射至近地圓軌道1(軌道半徑等于地球半徑R)，然后點火，使其沿橢圓軌道2運行，最后再次點火，將衛星送入同步圓軌道3(軌道半徑為r)，軌道1、2相切于Q點，軌道2、3相切于P點，如圖所示，以下說法正確的是(　　)
A.衛星在軌道1上穩定運行的速度等于7.9 km/s
B.衛星在軌道2上經過Q點時的速度等于它在軌道1上經過Q點時的速度
C.衛星在軌道3上經過P點時的加速度大于它在軌道2上經過P點時的加速度
D.衛星在軌道1和軌道3上穩定運行的速度大小之比為
3.(雙星問題)如圖所示，宇宙中一對年輕的雙星，在距離地球16萬光年的蜘蛛星云之中。該雙星系統由兩顆熾熱又明亮的大質量恒星構成，二者圍繞連接線上中間某個點旋轉。通過觀測發現，兩顆恒星正在緩慢靠近。不計其他天體的影響，且兩顆恒星的質量不變。則以下說法中正確的是(　　)
A.雙星之間引力變小 B.每顆星的加速度均變小
C.雙星系統周期逐漸變大 D.雙星系統轉動的角速度變大
4.(衛星的最近和最遠問題)(多選)(2024·四川涼山高一校聯考期末)如圖所示，A、B兩顆人造衛星在同一軌道平面上同向繞地球做勻速圓周運動。若它們的軌道半徑分別為rA、rB，周期分別為TA、TB。則(　　)
A.在相等的時間內，A、B兩衛星分別與地球的連線掃過的面積相等
B.A衛星受到的引力一定大于B衛星受到的引力
C.兩顆衛星從相距最近到第一次相距最遠需要的時間t＝
D.若A衛星要變軌到B衛星的軌道，A衛星需要向后噴氣
培優提升五　應用萬有引力定律解決“三個”熱點問題
提升1
例1 D　[根據G＝m，可得v＝，由于軌道3的半徑大于軌道1的半徑，則衛星在軌道3上的速率小于在軌道1上的速率，A錯誤；衛星由軌道2變軌到軌道3，需要向后噴氣加速，可知，衛星在軌道3上經過P點時的速率大于它在軌道2上經過P點時的速率，B錯誤；根據開普勒第三定律＝k，由于軌道2的半長軸大于軌道1的半徑，則衛星在軌道1上運行時的周期小于它在軌道2上運行時的周期，C錯誤；根據G＝ma，解得a＝G，可知衛星在軌道2上經過P點時的加速度大小等于它在軌道3上經過P點時的加速度大小，D正確。]
訓練1 C　[根據開普勒第二定律可知，天舟四號在A點的運行速度大于在B點的運行速度，故A錯誤；7.9 km/s是第一宇宙速度，也是衛星環繞地球做勻速圓周運動的最大速度，故B錯誤；天舟四號在B點點火加速，做離心運動達到更高軌道，與天和核心艙順利完成對接，故C正確；若天和核心艙在軌運行時受阻力作用，則天和核心艙會到更低的軌道上運動，根據萬有引力提供向心力可得＝mr，解得T＝，可知當半徑減小時，核心艙的運行周期將變小，故D錯誤。]
提升2
例2 (1)　(2)
解析　(1)雙星是同軸轉動模型，其角速度相等，根據萬有引力提供向心力，
對m1有＝m1ω2r1
對m2有＝m2ω2r2
且有r＝r1＋r2，聯立解得r1＝。
(2)同時也可得到＝ω2(r1＋r2)＝ω2r
解得ω＝，則可得T＝＝。
訓練2 D　[兩顆星體做勻速圓周運動的向心力由彼此間的萬有引力相互提供，則A的向心力與B的向心力大小相等，故A錯誤；二者是同軸轉動，角速度相等，周期相等，故B錯誤；由于A的向心力與B的向心力大小相等，設角速度為ω，則mω2rA＝Mω2rB，及rA>rB，則mrB，可知A的線速度大小大于B的線速度大小，故D正確。]
例3 BD　[任意兩顆星體間的萬有引力F0＝G，每顆星體受到其他兩顆星體的引力的合力F＝2F0cos 30°＝G，A項錯誤；根據牛頓第二定律有F＝mr′，其中r′＝＝，解得T＝2π，B項正確；若r不變，星體質量均變為2m，則T′＝T，ω′＝＝ω，C項錯誤；若m不變，星體間的距離變為4r，則T′＝8T，v′＝＝·＝v，D項正確。]
提升3
例4 D　[根據G＝mω2r得ω＝，可知軌道半徑越大，衛星運行角速度越小，而同步衛星運行的角速度與地球自轉的角速度相同，且同步衛星的軌道半徑約為6R，而人造地球衛星的軌道半徑r<5R，故該人造地球衛星運行的角速度比地球上建筑物隨地球轉動的角速度大，因此再次出現在該建筑物正上方時，衛星已經比建筑物多轉動了一圈，故θ衛－θ地＝2π，θ衛＝ω1t，θ地＝ω0t，根據“黃金代換”GM＝gR2，聯立得t＝＝，故D項正確。]
訓練3 D　[根據萬有引力提供向心力，有G＝m，可得v＝；由題圖可知rA>rB，則A的線速度小于B的線速度，故A錯誤；根據萬有引力提供向心力有G＝ma，可得a＝，由于rA>rB，則aA隨堂對點自測
1.AB　[天問一號在地火轉移軌道上的軌道半長軸大于地球公轉半徑，地球公轉的周期為12個月，由開普勒第三定律知，其運行周期大于12個月，則天問一號由P點沿地火轉移軌道運動到Q點所用時間超過6個月，A正確；天問一號在地火轉移軌道Q點經過加速后可以進入火星軌道，由于火星軌道的半徑大于地球軌道的半徑，則由v＝，可知地球公轉的速率大于火星軌道上天問一號的速率，更大于沒有加速的天問一號在地火轉移軌道Q點的速率，B正確；天問一號在調相軌道上經過減速才能進入停泊軌道，C錯誤；火星自轉周期與火星的同步衛星的周期相等，大于火星的近地衛星周期，D錯誤。]
2.A　[衛星在近地圓軌道上穩定運行的速度等于第一宇宙速度即7.9 km/s，故A正確；衛星在軌道1上經過Q點時需要點火加速做離心運動才能到達軌道2，故衛星在軌道2上經過Q點時的速度大于它在軌道1上經過Q點時的速度，故B錯誤；衛星在軌道3上經過P點時與它在軌道2上經過P點時受到的萬有引力相等，則加速度相等，故C錯誤；根據萬有引力提供向心力，有＝，可得v＝；則衛星在軌道1和軌道3上穩定運行的速度大小之比為，故D錯誤。]
3.D　[根據萬有引力定律公式F＝G知，兩顆恒星正在緩慢靠近，則雙星之間引力變大，每顆星的加速度均變大，A、B錯誤；雙星系統的兩顆星的周期相等，設m1星的轉動半徑為R1，m2星的轉動半徑為R2，由萬有引力提供向心力，可得G＝m1R1，G＝m2R2，又R1＋R2＝r，聯立解得T＝2π，可知雙星系統周期變小，由ω＝，知轉動的角速度變大，C錯誤，D正確。]
4.CD　[根據開普勒第二定律可知，A衛星(或者B衛星)與地球的連線在相等的時間內掃過的面積相等，但rA和rB掃過的面積不等，故A錯誤；衛星受到的萬有引力為F＝G，由于兩衛星的質量大小未知，所以引力大小不能確定，故B錯誤；兩顆衛星從相距最近到第一次相距最遠，有ωAt－ωBt＝π，即t＝π，所以t＝，故C正確；若A衛星要變軌到B衛星的軌道，A衛星需要點火加速，即向后噴氣，故D正確。](共61張PPT)
培優提升五　應用萬有引力定律解決“三個”熱點問題
第三章 萬有引力定律
1.知道衛星變軌的原因及如何變軌。2.知道航天器的對接問題的處理方式。3.理解雙星模型的特點，會分析雙星、多星問題。4.會分析衛星的最近和最遠問題。
學習目標
目 錄
CONTENTS
提升
01
隨堂對點自測
02
課后鞏固訓練
03
提升
1
提升2　雙星及多星問題
提升1　衛星變軌問題
提升3　衛星的最近和最遠問題
提升1　衛星變軌問題
1.衛星的穩定運行與變軌
2.宇宙飛船變軌對接
(1)低軌道飛船與高軌道空間站對接
如圖甲所示，低軌道飛船通過合理加速，
沿橢圓軌道(做離心運動)追上高軌道空間
站與其完成對接。
(2)同一軌道飛船與空間站對接
如圖乙所示，后面的飛船先減速降低高度，再加速提升高度，通過適當控制，使飛船追上空間站時恰好具有相同的速度。
D
例1 (2024·四川成都外國語高一期中)發射地球同步衛星時，先將衛星發射至近地圓軌道1，然后經點火，使其沿橢圓軌道2運行，最后再次點火，將衛星送入同步圓軌道3。軌道1、2相切于Q點，軌道2、3相切于P點(如圖所示)。則當衛星分別在1、2、3軌道上正常運行時，以下說法正確的是(　　)
A.衛星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率
B.衛星在軌道3上經過P點時的速率小于它在軌道2上經過P點時的速率
C.衛星在軌道1上運行時的周期大于它在軌道2上運行時的周期
D.衛星在軌道2上經過P點時的加速度大小等于它在軌道3上經過P點時的加速度大小
(1)變軌問題相關物理量的比較
①兩個不同軌道的“切點”處線速度大小不相等，圖中Ⅰ為近地圓軌道，Ⅱ為橢圓軌道，A為近地點、B為遠地點，Ⅲ為遠地圓軌道。
②同一橢圓軌道上近地點和遠地點的線速度大小不相等，從遠地點到近地點線速度逐漸增大。
(2)變軌的兩種情況
C
訓練1 2022年5月10日，天舟四號貨運飛船采用快速交會對接技術，順利與在軌運行的天和核心艙進行交會對接。對接前，天舟四號貨運飛船繞地球做橢圓運動，近地點A和遠地點B，如圖所示；天和核心艙在離地球表面高度為h處做勻速圓周運動。若對接地點在橢圓軌道的遠地點B處，下列說法正確的是(　　)
A.天舟四號在A點的運行速度小于在B點的運行速度
B.天舟四號與天和核心艙對接后的運行速度大于
7.9 km/s
C.天舟四號在B處點火加速，才能與天和核心艙順利完成對接
D.若天和核心艙在軌運行時受阻力作用，則其運行周期將變大
解析　根據開普勒第二定律可知，天舟四號在A點的運行速度大于在B點的運行速度，故A錯誤；7.9 km/s是第一宇宙速度，也是衛星環繞地球做勻速圓周運動的最大速度，故B錯誤；天舟四號在B點點火加速，做離
提升2　雙星及多星問題
1.雙星模型
(1)如圖所示，宇宙中有相距較近、質量相差不大的兩個星球，它們離其他星球都較遠，其他星球對它們的萬有引力可以忽略不計。在這種情況下，它們將圍繞其連線上的某一固定點做周期相同的勻速圓周運動，通常我們把這樣的兩個星球稱為“雙星”。
2.多星系統
在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系統，在多星系統中：
(1)各個星體做圓周運動的周期、角速度相同。
(2)某一星體做圓周運動的向心力是由其他星體對它萬有引力的合力提供的。
角度1　雙星問題
例2 “開陽”雙星是人們在1650年第一個用肉眼發現的雙星。雙星由兩顆繞著共同中心旋轉的恒星組成，即組成雙星的兩顆子星繞它們連線上的某點做勻速圓周運動。如圖所示，已知兩顆子星的質量分別為m1和m2，二者相距r，引力常量為G，求：
(1)質量為m1的子星的轉動半徑r1；
(2)質量為m2的子星的運動周期T。
D
訓練2 (2024·四川高一內江期中)科學家發現距離地球2764光年的宇宙空間存在適合生命居住的雙星系統，這一發現為人類研究地外生命提供了新的思路和方向。假設宇宙中有一雙星系統由質量分別為m和M的A、B兩顆星體組成。這兩顆星體繞它們連線上的某一點在二者萬有引力作用下做勻速圓周運動，如圖所示，若AO>OB，則(　　)
A.A的向心力大于B的向心力
B.A的周期一定大于B的周期
C.因為AO>OB，所以m>M
D.A的線速度大小大于B的線速度大小
解析　兩顆星體做勻速圓周運動的向心力由彼此間的萬有引力相互提供，則A的向心力與B的向心力大小相等，故A錯誤；二者是同軸轉動，角速度相等，周期相等，故B錯誤；由于A的向心力與B的向心力大小相等，設角速度為ω，則mω2rA＝Mω2rB，及rA>rB，則mrB，可知A的線速度大小大于B的線速度大小，故D正確。
BD
角度2　三星系統
例3 (多選)(2024·重慶高一期中)圖示是由質量相等的三顆星組成的三星系統，其他星體對它們的引力作用可忽略。設每顆星體的質量均為m，三顆星分別位于邊長為r的等邊三角形的三個頂點上，它們繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內以相同的角速度做勻速圓周運動。已知引力常量為G，下列說法正確的是(　　)
提升3　衛星的最近和最遠問題
兩顆衛星在同一軌道平面內同向繞地球做勻速圓周運動，a衛星的角速度為ωa，b衛星的角速度為ωb。
若某時刻兩衛星正好同時通過地面同一點正上方，相距最近，如圖甲所示。
當它們轉過的角度之差Δθ＝π，即滿足ωaΔt－ωbΔt＝π時，兩衛星第一次相距最遠，如圖乙所示。
當它們轉過的角度之差Δθ＝2π，即滿足ωaΔt－ωbΔt＝2π時，兩衛星再次相距最近。
D
例4 設地球的自轉角速度為ω0，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，某人造地球衛星在赤道上空做勻速圓周運動，軌道半徑為r，且r<5R，飛行方向與地球的自轉方向相同，在某時刻，該人造地球衛星通過赤道上某建筑物的正上方，則到它下一次通過該建筑物正上方所需要的時間為(地球同步衛星軌道半徑約為6R)(　　)
D
A.A的線速度大于B的線速度
B.A的加速度大于B的加速度
C.A、B與地心連線在相同時間內掃過的面積相等
D.從此時刻到下一次A、B相距最近的時間為2T
隨堂對點自測
2
AB
1.(衛星的變軌問題)(多選)(2024·成都七中高一月考)我國航天事業近些年取得了舉世矚目的成就，如火星探測器天問一號的發射，其發射過程中的轉移軌道如圖甲、乙所示，如圖甲所示，探測器由P點沿地火轉移軌道運動到Q點，再依次進入如圖乙所示的調相軌道和停泊軌道，則(　　)
A.天問一號由P點沿地火轉移軌道運動到Q點所用時間超過6個月
B.天問一號在地火轉移軌道Q點的速率小于地球公轉的速率
C.天問一號在環繞火星的調相軌道上經過加速進入停泊軌道
D.天問一號在著陸火星前，進入火星的近火軌道，其運動周期與火星自轉周期相等
解析　天問一號在地火轉移軌道上的軌道半長軸大于地球公轉半徑，地球公轉的周期為12個月，由開普勒第三定律知，其運行周期大于12個月，則天問一號由P點沿地火轉移軌道運動到Q點所用時間超過6個月，A正確；天問一號在地火轉移軌道Q點經過加速后可
A
2.(衛星的變軌問題)(2024·四川成都高一?？?發射某地球同步衛星時，先將衛星發射至近地圓軌道1(軌道半徑等于地球半徑R)，然后點火，使其沿橢圓軌道2運行，最后再次點火，將衛星送入同步圓軌道3(軌道半徑為r)，軌道1、2相切于Q點，軌道2、3相切于P點，如圖所示，以下說法正確的是(　　)
解析　衛星在近地圓軌道上穩定運行的速度等于第一宇宙速度即7.9 km/s，故A正確；衛星在軌道1上經過Q點時需要點火加速做離心運動才能到達軌道2，故衛星在軌道2上經過Q點時的速度大于它在軌道1上經過Q點時的速度，故B錯誤；衛星在軌道3上經過P點時與它在軌道2上經過P點時受到的萬有引力相等，
D
3.(雙星問題)如圖所示，宇宙中一對年輕的雙星，在距離地球16萬光年的蜘蛛星云之中。該雙星系統由兩顆熾熱又明亮的大質量恒星構成，二者圍繞連接線上中間某個點旋轉。通過觀測發現，兩顆恒星正在緩慢靠近。不計其他天體的影響，且兩顆恒星的質量不變。則以下說法中正確的是(　　)
A.雙星之間引力變小 B.每顆星的加速度均變小
C.雙星系統周期逐漸變大 D.雙星系統轉動的角速度變大
CD
4.(衛星的最近和最遠問題)(多選)(2024·四川涼山高一校聯考期末)如圖所示，A、B兩顆人造衛星在同一軌道平面上同向繞地球做勻速圓周運動。若它們的軌道半徑分別為rA、rB，周期分別為TA、TB。則(　　)
課后鞏固訓練
3
AD
題組1　衛星變軌問題
1.(多選)(2024·成都樹德中學高一期末)同步衛星在同步軌道上定位以后，由于受到太陽、月球及其他天體的引力作用影響，會產生漂移運動而偏離原來的位置，若偏離達到一定程度，就要發動衛星上的小發動機進行修正。如圖所示，實線為離赤道地面36 000 km的同步軌道，B和C為兩個已經偏離同步軌道但仍在赤道平面內運行的衛星，要使它們回到同步軌道上應(　　)
對點題組練
A.開動B的小發動機向前噴氣，使B適當減速
B.開動B的小發動機向后噴氣，使B適當加速
C.開動C的小發動機向前噴氣，使C適當減速
D.開動C的小發動機向后噴氣，使C適當加速
解析　由題意知B偏離同步軌道在高軌道運行，要回到低軌道的同步軌道，需要做近心運動，因此B應適當減速，發動機向前噴氣，故A正確，B錯誤；C偏離同步軌道在低軌道運行，要回到高軌道的同步軌道，需做離心運動，發動機向后噴氣，使C適當加速，故C錯誤，D正確。
BC
2.(多選)如圖是我國發射神舟十五號載人飛船的入軌過程。飛船先沿橢圓軌道飛行，后在遠地點點火加速，由橢圓軌道變成圓軌道，在此圓軌道上飛船運行的周期約為90分鐘。下列判斷正確的是(　　)
A.飛船變軌前后的線速度相等
B.飛船在圓軌道上時航天員出艙前后都處于失重狀態
C.飛船在此圓軌道上運動的角速度大于同步衛星運動的角速度
D.飛船變軌前通過橢圓軌道遠地點時的加速度大于變軌后沿圓軌道運動的加速度
解析　飛船點火加速變軌，前后的線速度不相等，故A錯誤；飛船在圓軌道上時，航天員出艙前后，航天員所受地球的萬有引力全部用來提供航天員做圓周運動的向心力，航天員出艙前后均處于完全失重狀態，故B正確；飛船在圓形軌道上的周期約為
BCD
3.(多選)探月衛星的發射過程可簡化如下：首先進入繞地球運行的停泊軌道，在該軌道的P處，通過變速，進入地月轉移軌道，在到達月球附近的Q點時，對衛星再次變速，衛星被月球引力俘獲后成為環月衛星，最終在環繞月球的工作軌道上繞月飛行(視為圓周運動)，對月球進行探測，工作軌道周期為T，距月球表面的高度為h，月球半徑為R，引力常量為G，忽略其他天體對探月衛星在工作軌道上環繞運動的影響。下列說法正確的是(　 　)
AD
4.(多選)“嫦娥五號”探月衛星沿地月轉移軌道直奔月球，在距月球表面200 km的P點進行第一次變軌后被月球捕獲，先進入橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，如圖所示。之后，衛星在P點又經過兩次變軌，最后在距月球表面200 km的圓形軌道Ⅲ上繞月球做勻速圓周運動。對此，下列說法正確的是(　　)
BC
A
6.宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們以二者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，而不會因為萬有引力的作用而吸引到一起。如圖所示，某雙星系統中A、B兩顆天體繞O點做勻速圓周運動，它們的軌道半徑之比rA∶rB＝1∶2，則兩顆天體的(　　)
A.質量之比mA∶mB＝2∶1
B.轉動方向相反
C.角速度之比ωA∶ωB＝1∶2
D.向心力大小之比FA∶FB＝2∶1
B
7.雙星系統由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動。研究發現，雙星系統演化過程中，兩星的總質量、距離和周期均可能發生變化。若某雙星系統中兩星做圓周運動的周期為T，經過一段時間演化后，兩星總質量變為原來的k倍，兩星之間的距離變為原來的n倍，則此時圓周運動的周期為(　　)
C
題組3　衛星相距最近和最遠問題
8.如圖所示，在地球赤道上有一建筑物A，赤道所在的平面內有一顆衛星B繞地球做勻速圓周運動，其周期為T，與地球自轉方向相同；已知地球的質量為M，地球的自轉周期為T0(T＜T0)，引力常量為G，當B在A的正上方時開始計時，下列說法正確的是(　　)
D
綜合提升練
9.兩顆人造衛星繞地球逆時針運行，衛星1、衛星2分別沿圓軌道、橢圓軌道運行，圓的半徑與橢圓的半長軸相等，兩軌道相交于A、B兩點，某時刻兩衛星與地球在同一直線上，如圖所示，下列說法中正確的是(　　)
A.兩衛星在圖示位置的速度v2＝v1
B.衛星2在A點的加速度較大
C.兩衛星在A點或B點可能相遇
D.兩衛星永遠不可能相遇
A
10.如圖所示，火星探測器經歷橢圓軌道Ⅰ→橢圓軌道Ⅱ→圓軌道Ⅲ的變軌過程。Q為軌道Ⅰ的遠火點，P為軌道Ⅰ的近火點，探測器在三個軌道運行時都經過P點。則探測器(　　)
A.沿軌道Ⅰ運行至P點的速度大于運行至Q點的速度
B.沿軌道Ⅱ運行至P點的加速度小于沿軌道Ⅲ運行至P點的加速度
C.沿軌道Ⅰ運行的周期小于沿軌道Ⅱ運行的周期
D.與火星連線在相等時間內，沿軌道Ⅰ運行與沿軌道Ⅱ運行掃過的面積相等
11.(2024·江蘇南通期末)嫦娥五號探測器是中國首個實施無人月面取樣的航天器，其發射的簡化過程如圖所示。先將探測器送入近地圓軌道Ⅰ，在近地點多次變軌后依次進入橢圓軌道Ⅱ和地月轉移軌道。被月球俘獲后，再多次變軌進入近月圓軌道Ⅲ。已知軌道Ⅱ遠地點和近地點到地心距離之比為a，探測器在軌道Ⅰ和軌道Ⅲ運行的周期之比為b，求：
(1)地球和月球的平均密度之比；
(2)探測器在軌道Ⅰ和軌道Ⅱ運行的周期之比。
12.(2024·成都石室中學)中國自行研制、具有完全自主知識產權的“神舟號”飛船，目前已經達到或優于國際第三代載人飛船技術，其發射過程簡化如下：飛船在衛星發射中心發射，由長征運載火箭送入近地點為A、遠地點為B的橢圓軌道上，A點距地面的高度為h1，飛船飛行5圈后進行變軌，進入預定圓軌道，如圖所示。設飛船在預定圓軌道上飛行n圈所用時間為t，若已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，忽略地球的自轉，求：
培優加強練
(1)飛船在B點經橢圓軌道進入預定圓軌道時是加速還是減速；
(2)飛船經過橢圓軌道近地點A時的加速度大??；
(3)橢圓軌道遠地點B距地面的高度h2。

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