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8.5.3 平面與平面平行
——高一數學人教A版（2019）必修第二冊課前導學
知識填空1.平面與平面平行的判定定理：如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面 ，那么這兩個平面平行.
符號表示：，，，， .
圖形表示：
2.平面與平面平行的性質定理：兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面 ，那么兩條交線平行.
符號表示：，， .
圖形表示：
思維拓展1.平面與平面平行的判定方法？
2.證明直線與直線平行的方法？
3.如何解決線面平行的探究性問題？
基礎練習1.命題“垂直于同一條直線的兩個平面平行”的條件是( )
A.兩個平面 B.一條直線
C.垂直 D.兩個平面垂直于同一條直線
2.在正方體中，下列四對截面彼此平行的是( )
A.平面與平面 B.平面與平面
C.平面與平面 D.平面與平面
3.如圖，在長方體中，若E，F，G，H分別是棱，，，的中點，則( )
A. B.
C.平面平面ABCD D.平面平面
4.下列命題中正確的是( )
A.一個平面內三條直線都平行于另一平面，那么這兩個平面平行
B.如果一個平面內所有直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行
C.平行于同一直線的兩個平面一定相互平行
D.如果一個平面內有幾條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行
5.如圖，在正方體中，E，F，G，P，Q，R都是所在棱的中點.求證：平面平面EFG.
【答案及解析】
一、知識填空
1.平行
2.相交
二、思維拓展
1.（1）定義法：兩個平面沒有公共點.
（2）判定定理：一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面.
（3）轉化為線線平行：平面內的兩條相交直線與平面內的兩條相交直線分別平行，則.
（4）利用平行平面的傳遞性：若，，則.
（5）利用反證法證明.
2.（1）平面幾何中證明直線平行的方法.如同位角相等，兩直線平行；三角形中位線的性質；平面內垂直于同一直線的兩條直線互相平行等.
（2）基本事實4.
（3）線面平行的性質定理.
（4）面面平行的性質定理.
3.解決探究性問題，一般采用執果索因的方法，假設求解的結果存在，從這個結果出發，尋找使這個結論成立的充分條件，如果找到了使結論成立的充分條件，則存在；如果找不到使結論成立的充分條件（出現矛盾），則不存在，而對于探求點的問題，一般是先探求點的位置，多為線段中點或某個三等分點，然后給出符合要求的證明.
三、基礎練習
1.答案：D
解析：把命題改為“若p，則q”的形式為“若兩個平面垂直于同一條直線，則這兩個平面平行”，故命題的條件為“兩個平面垂直于同一條直線”.
2.答案：A
解析：如圖，正方體，，，所以四邊形是平行四邊形，，平面，面，所以平面，同理平面.因為，，平面，所以平面平面.
故選：A.
3.答案：D
解析：因為G，H分別是，的中點，所以，又過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，所以，不可能互相平行，同理可證BD，EF不可能互相平行，故A錯誤，B錯誤；因為E，F分別是，的中點，所以，又H是的中點，所以，因為平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，又，所以平面平面，因為平面平面，所以平面EFGH與平面ABCD相交，故C錯誤，D正確.
4.答案：B
解析：一個平面內三條直線都平行于另一平面，當這三條直線平行時，那么這兩個平面不一定平行，A錯誤；如果一個平面內所有直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面無公共點，由面面平行的定義知這兩個平面平行，B正確；平行于同一直線的兩個平面可能相交，也可能平行，C錯誤；如果一個平面內有幾條直線都平行于另一個平面，當這幾條直線相互平行時，這兩個平面不一定平行，D錯誤.故選B.
5.答案：證明見解析
解析：證明：連接，，如圖，
，Q，E，F都為所在棱的中點，，.
平面為矩形，，.
因為平面，不在平面EFG內，
所以平面EFG.同理平面EFG，
因為，平面PQR.
平面平面EFG.8.5.1 直線與直線平行+8.5.2 直線與平面平行
——高一數學人教A版（2019）必修第二冊課前導學
知識填空1.基本事實4：平行于 直線的兩條直線平行.（這一性質通常叫做空間平行線的傳遞性.） .
2.等角定理：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角 或
.
3.直線與平面平行的判定定理
文字語言：如果平面外一條直線與此平面內的一條直線 ，那么該直線與此平面平行.
圖形語言：
符號語言：，，且 .
4.直線與平面平行的性質定理
文字語言：一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面 ，那么該直線與交線平行.
圖形語言：
符號語言：，， .
思維拓展1.空間兩條直線平行的證明方法有哪些？
2.利用線面平行的性質定理解題的步驟？
3.證明線與線、線與面的平行關系的一般規律是什么？
基礎練習1.在四棱錐中，“”是“平面”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
2.若直線a不平行于平面，且，則下列結論成立的是( ).
A.內的所有直線與a是異面直線 B.內不存在與a平行的直線
C.內存在唯一一條直線與a平行 D.內的所有直線與a都相交
3.在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線與平面不平行的是( )
A. B.
C. D.
4.一幾何體的平面展開圖如圖所示，其中四邊形ABCD為正方形，E，F分別為PB，PC的中點，在此幾何體中，下面結論錯誤的是( )
A.直線AE與直線BF異面 B.直線AE與直線DF異面
C.直線平面PAD D.直線平面ABCD
5.如圖，在五面體中，四邊形為矩形，M，N分別是BF，BC的中點，則MN與平面ADE的位置關系是__________.
【答案及解析】
一、知識填空
1.同一條
2.相等 互補
3.平行
4.相交
二、思維拓展
1.（1）定義法，即證明兩條直線在同一個平面內且兩直線沒有公共點；
（2）利用平面圖形有關平行的性質，如三角形中位線，梯形，平行四邊形等關于平行的性質；
（3）利用基本事實4，找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行.
2.（1）確定（或尋找）一條直線平行于一個平面；
（2）確定（或尋找）過這條直線且與這個平行平面相交的平面；
（3）確定交線；
（4）由性質定理得出線線平行的結論.
3.“見了已知想性質，見了求證想判定”，也就是說“發現已知，轉化結論，溝通已知與未知的關系”.這是分析和解決問題的一般思維方法，而作輔助線和輔助面往往是溝通已知和未知的有效手段.
三、基礎練習
1.答案：C
解析：由，平面，平面，得平面.
由平面，平面，平面平面，得.故“”是“平面”的充要條件.故選：C.
2.答案：B
解析：設，A選項，內過A點的直線與a共面，所以A選項錯誤.
D選項，內，不過A點的直線與a異面，所以D選項錯誤.
BC，若存在，，則由于，，所以，這與已知矛盾，所以B選項正確，C選項錯誤.故選：B
3.答案：A
解析：對于選項B，如圖所示，連接CD，M，Q分別是所在棌的中點，MQ，又平面平面，平面MNQ同理可證選項C，D中均有平面MNQ.故選A
4.答案：B
解析：由題意知該幾何體是底面為正方形的四棱錐，如圖所示，連接AE，EF，BF，DF，
易得，，則，故EF與AD共面，則AE與DF共面，故B錯誤；又平面，平面AEFD，F不在直線AE上，則直線AE與直線BF異面，故A正確；
由，平面，平面PAD，得直線平面PAD，故C正確；
平面，平面ABCD，則直線平面ABCD，故D正確.故選B.
5.答案：平行
解析：，N分別是BF，BC的中點，.又四邊形為矩形，，.又平面，平面，平面.

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