資源簡介

9.2.4 總體離散程度的估計
——高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊課前導(dǎo)學(xué)
知識填空1.總體方差和總體標(biāo)準(zhǔn)差：如果總體中所有個體的變量值分別為，，…，，總體平均數(shù)為，則稱 為總體方差，為 .
2.總體方差的加權(quán)形式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有個，不妨記為，，…，，其中出現(xiàn)的頻數(shù)為，則總體方差為 .
3.樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差：如果一個樣本中個體的變量值分別為，，…，，樣本平均數(shù)為，則稱為 ， 為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.
標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越 ；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越 .
4.分層隨機(jī)抽樣的樣本方差：設(shè)樣本容量為n，平均數(shù)為，其中兩層的個體數(shù)量分別為，，兩層的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，則這個樣本的方差為 .
思維拓展1.標(biāo)準(zhǔn)差、方差的意義是什么？
2.數(shù)據(jù)分析的要點有哪些？
基礎(chǔ)練習(xí)1.在某知識競賽中，共設(shè)有10道題目，每題1分，經(jīng)統(tǒng)計，10位選手的得分情況如下表：
得分（X） 6 7 8 9 10
人數(shù) 1 2 4 2 1
則這10位選手得分的方差為( )
A.12 B.8 C.0.8 D.1.2
2.有一組樣本數(shù)據(jù)：1，1，2，2，3，3，4，4，4，6，則關(guān)于該組數(shù)據(jù)的數(shù)字特征中，數(shù)值最大的為( )
A.75%分位數(shù) B.平均數(shù) C.極差 D.眾數(shù)
3.已知數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為8，方差為6，則，，，，的平均數(shù)和方差分別為( )
A.26，54 B.26，56 C.24，54 D.24，56
4.為調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，現(xiàn)抽取初中生800人，其每天睡眠時間均值為9小時，方差為1，抽取高中生1200人，其每天睡眠時間均值為8小時，方差為0.5，則估計該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間的方差為( )
A.0.96 B.0.94 C.0.79 D.0.75
5.“世界圖書與版權(quán)日”又稱“世界讀書日”，2024年4月23日是第29個“世界讀書日”.自“世界讀書日”確定以來，某高校每年都會舉辦讀書知識競賽活動來鼓勵該校學(xué)生閱讀，現(xiàn)從參加競賽的學(xué)生中抽取100人，將他們的競賽成績分成六組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求這100名學(xué)生成績的眾數(shù)和平均數(shù)（取各組區(qū)間中間值計算）；
(2)已知成績落在的學(xué)生平均成績?yōu)?2，方差為9，落在的學(xué)生平均成績?yōu)?7，方差為4，求這兩組成績的總體平均數(shù)和總體方差.
【答案及解析】
一、知識填空
1. 總體標(biāo)準(zhǔn)差
2.
3.樣本方差 大 小
4.
二、思維拓展
1.標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，標(biāo)準(zhǔn)差的大小不會超過極差.
2.（1）要正確處理此類問題，首先要抓住問題中的關(guān)鍵詞語，全方位地進(jìn)行必要的計算、分析，而不能習(xí)慣性地僅從樣本方差的大小去決定哪一組的成績好，像這樣的實際問題還得從實際的角度去分析；其次要在恰當(dāng)?shù)卦u估后，組織好正確的語言作出結(jié)論.
（2）在進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時，不同的標(biāo)準(zhǔn)沒有對和錯的問題，也不存在唯一解的問題，而是根據(jù)需要來選擇“好”的決策，至于決策的好壞，是根據(jù)提出的標(biāo)準(zhǔn)而定的.
三、基礎(chǔ)練習(xí)
1.答案：D
解析：依題意，所以方差.故選：D
2.答案：C
解析：在這組樣本數(shù)據(jù)中：1，1，2，2，3，3，4，4，4，6，第75%分位數(shù)是：4，平均數(shù)是：，極差是：，眾數(shù)是：4，在以上四個數(shù)中，顯然是極差5最大，故選：C.
3.答案：A
解析：由題意數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為，方差為，根據(jù)平均數(shù)和方差性質(zhì)可得數(shù)據(jù)，，，，，，，的平均數(shù)為，方差為，故選：A.
4.答案：B
解析：該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間的平均數(shù)為（小時），該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間的方差為.故選B.
5.答案：(1)眾數(shù)為75，
(2)，
解析：(1)眾數(shù)：75，第1至第6組的頻率分別為，
平均數(shù)：；
(2)根據(jù)題意可知，成績落在的學(xué)生人數(shù)為20人，成績落在的學(xué)生人數(shù)為30人，
總體平均數(shù)：，
總體方差：.9.2.3 總體集中趨勢的估計
——高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊課前導(dǎo)學(xué)
知識填空1.平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù) 所得到的數(shù).
中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處于 位置的數(shù).若這組數(shù)據(jù)是偶數(shù)個，則取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù).
眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最 的數(shù).
2.頻率分布直方圖中的統(tǒng)計參數(shù)：
（1）平均數(shù)：在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點
的 與小矩形的 的乘積之和近似代替.
（2）中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該 .
（3）眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高小矩形底邊的 所對應(yīng)的數(shù)據(jù).
思維拓展1.利用樣本數(shù)字特征進(jìn)行決策時的兩個關(guān)注點是什么？
2.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的聯(lián)系有哪些？
基礎(chǔ)練習(xí)1.10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有( )
A. B. C. D.
2.七位評委為某跳水運動員打出的分?jǐn)?shù)如下：84，79，86，87，84，93，84則這組分?jǐn)?shù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是( )
A.84，85 B.84，84 C.85，84 D.85，85
3.在某知識競賽中，共設(shè)有10道題目，每題1分，經(jīng)統(tǒng)計，10位選手的得分情況如下表：
得分 6 7 8 9 10
人數(shù) 1 2 4 2 1
則這10位選手得分的中位數(shù)和眾數(shù)分別為( )
A.9，8 B.8，8 C.9，8.5 D.8.5，9
4.在一次業(yè)余歌唱比賽中，隨機(jī)從觀眾中抽出10人擔(dān)任評委.下面是他們給某位選手的打分情況：
43 44 45 45 46 48 49 49 50 51
設(shè)這10個分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為，再從中去掉一個最高分，去掉一個最低分，設(shè)剩余8個分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為，則( )
A. B.且
C.且 D.且
5.一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為1、4、4、4、x、7、8，若該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是眾數(shù)的倍，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是________.
【答案及解析】
一、知識填空
1.個數(shù) 中間 多
2.橫坐標(biāo) 面積 相等 中點
二、思維拓展
1.（1）平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)都有關(guān)，可以反映更多的總體信息，但受極端值的影響大；中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，不受少數(shù)極端值的影響；眾數(shù)只能體現(xiàn)數(shù)據(jù)的最大集中點，無法客觀反映總體特征.
（2）當(dāng)平均數(shù)大于中位數(shù)時，說明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值；反之，說明數(shù)據(jù)中存在許多較小的極端值.
2.（1）眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，眾數(shù)就是最高矩形的底邊中點的橫坐標(biāo).
（2）中位數(shù)：在樣本中，有50%的個體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可估計中位數(shù)的值.
（3）平均數(shù)：用頻率分布直方圖估計平均數(shù)時，平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積與小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)的乘積之和.
三、基礎(chǔ)練習(xí)
1.答案：D
解析：重新排列得：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17.則有：，，.所以故選：D.
2.答案：B
解析：數(shù)據(jù)84，79，86，87，84，93，84按從小到大的順序排一列：79，84，84，84，86，87，93，所以這組分?jǐn)?shù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是84，84，故A，C，D錯誤.故選：B.
3.答案：B
解析：由題，將這10位選手的得分從小到大排列，6，7，7，8，8，8，8，9，9，10，可知第5個和第6個得分，分別為8，8，所以中位數(shù)為，且8出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)為8.故選：B.
4.答案：A
解析：由題意得，，
，∴.故選：A.
5.答案：5
解析：數(shù)據(jù)1、4、4、4、x、7、8共7個數(shù)，該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為4，因為，所以，該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為x，因為該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是眾數(shù)的倍，則.
所以，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.故答案為：5.

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