資源簡介

10.1.3 古典概型
——高一數學人教A版（2019）必修第二冊課前導學
知識填空1.古典概型的定義：試驗具有如下共同特征：
（1）有限性：樣本空間的樣本點只有 個；
（2）等可能性：每個樣本點發生的可能性 .
將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱 .
2.古典概型的概率計算公式：一般地，設試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點，事件包含其中的個樣本點，則定義事件的概率 ，其中和分別表示事件和樣本空間包含的樣本點個數.
思維拓展1.判斷一個試驗是古典概型的依據是什么？
2.在解決古典概型問題時需要注意什么問題？
3.求解古典概型的步驟是什么？
基礎練習1.隨機拋擲兩枚均勻骰子，則得到的兩個骰子的點數之和是4的倍數的概率是( )
A. B. C. D.
2.“哥德巴赫猜想”是近代三大數學難題之一，其內容是：任意一個大于2的偶數都可以寫成兩個素數（質數）之和，也就是我們所謂的“”問題.它是1742年由數學家哥德巴赫提出的，我國數學家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明中都取得了相當好的成績.若將14拆成兩個正整數的和，則拆成的和式中，加數全部為素數的概率為( )
A. B. C. D.
3.三人被邀請參加一個晚會，若晚會必須有人去，去幾人自行決定，則恰有一人參加晚會的概率為( )
A. B. C. D.
4.柜子里有三雙不同的鞋，從中任取兩只，取出的鞋都是一只腳的概率是( )
A. B. C. D.
5.（多選）已知口袋中有大小相同的黃、紅、白球各一個，每次任取一個，有放回地取3次，則( )
A.取出的球顏色全不相同的概率為
B.取出的球顏色不全相同的概率為
C.取出的球恰有2次紅球概率為
D.取出的球無紅球的概率為
【答案及解析】
一、知識填空
1.有限 相等 古典概型
2.
二、思維拓展
1.判斷隨機試驗是否為古典概型，關鍵是抓住古典概型的兩個特征——有限性和等可能性，二者缺一不可.
2.（1）試驗必須具有古典概型的兩大特征——有限性和等可能性.
（2）計算基本事件的數目時，需做到不重不漏，常借助坐標系、表格及樹狀圖等列出所有基本事件求解.
3.（1）讀：反復閱讀題目，收集整理題目中的各種信息；
（2）判：判斷試驗是否為古典概型；
（3）列：求出試驗的樣本空間和所求事件所包含的樣本點的個數；
（4）算：計算出古典概型的概率，對于應用題還要作答.
三、基礎練習
1.答案：C
解析：隨機拋擲兩枚均勻骰子，觀察得到的點數，基本事件總數，所得點數之和是4的倍數為事件B，則事件B的結果有，，，，，，，，共9種，所求的概率為.故選：C
2.答案：A
解析：，共有13個和式，其中加數全部為素數為，，，共3個基本事件，，故選：A
3.答案：B
解析：設三人為A，B，C，則參加晚會的情況有A，B，C，，，，，共7種情況，其中恰有一人參加晚會的情況有3種，故所求的概率為，故選：B.
4.答案：C
解析：設三雙不同的鞋分別為，，，橫坐標代表左腳鞋，縱坐標代表右腳鞋，從中任取兩只有，，，，，，，，，，，，，，共15種，其中取出的鞋都是一只腳的有，，，，，共6種，所以取出的鞋都是一只腳的概率是.故選：C.
5.答案：AC
解析：取出的球顏色全不相同的方法有6種，總的取球方法有27種，因此取出的球顏色全不相同的概率為，選項A正確；
取出的球顏色全相同的方法有3種，因此取出的球顏色不全相同的方法有種，
因此取出的球顏色不全相同的概率為，選項B錯誤：
取出的球恰有2次紅球的方法有6種，總的取球方法有27種，因此取出的球恰有2次紅球的概率為，選項C正確；
取出的球沒有紅球的方法有8種，總的取球方法有27種，因此取出的球沒有紅球的概率為，選項D錯誤，故選：AC.10.1.2 事件的關系和運算
——高一數學人教A版（2019）必修第二冊課前導學
知識填空
事件的關系或運算 含義 符號表示
包含 A發生導致B發生 ____________
并事件（和事件） A與B至少一個發生 ________或________
交事件（積事件） A與B同時發生 ________或________
互斥（互不相容） A與B不能同時發生 ______
互為對立 A與B有且僅有一個發生 _____， _____
思維拓展1.判斷事件間關系的方法有哪些？
2.進行事件的運算時要注意什么？
基礎練習1.對空中飛行的飛機連續射擊兩次，每次發射一枚炮彈，設“兩次都擊中飛機”，“兩次都沒擊中飛機”，“恰有一次擊中飛機”，“至少有一次擊中飛機”，下列關系不正確的是( )
A. B. C. D.
2.擲一枚質地均勻的骰子，“向上的點數是1或3”為事件A，“向上的點數是1或5”為事件B，則( )
A.
B.表示向上的點數是1或3或5
C.表示向上的點數是1或3
D.表示向上的點數是1或5
3.某籃球運動員進行投籃訓練，連續投籃兩次，設事件A表示隨機事件“兩次都投中”，事件B表示隨機事件“兩次都未投中”，事件C表示隨機事件“恰有一次投中”，事件D表示隨機事件“至少有一次投中”，則下列關系不正確的是( )
A. B. C. D.
4.拋擲一顆質地均勻的骰子，有如下隨機事件：“點數為i”，其中，“點數不大于2”，“點數大于2”，“點數大于4”.則下列結論錯誤的是( )
A.與互斥 B.，
C. D.，為對立事件
5.把1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分別寫在10張一樣的卡片上，并隨機抽取1張.設A：出現偶數，B：出現3的倍數.若“A，B兩個事件至少有一個發生“的對立事件是C，則事件C對應的子集是______.
【答案及解析】
一、知識填空
AB
二、思維拓展
1.（1）要考慮試驗的前提條件，無論是包含、相等，還是互斥、對立，其發生的條件都是一樣的.
（2）考慮事件間的結果是否有交事件，可考慮利用Venn圖分析，對較難判斷關系的，也可列出全部結果，再進行分析.
2.進行事件的運算時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗可能出現的全部結果，必要時可列出全部的試驗結果進行分析，也可類比集合的關系和運算用Venn圖分析事件.
三、基礎練習
1.答案：D
解析：A：事件A包含于事件D，正確.
B：由事件B，D不能同時發生，所以，正確.
C：事件指至少有一次擊中飛機，即事件D，正確.
D：由{至少有一次擊中飛機}，不是必然事件；而為必然事件，所以，不正確.故選：D.
2.答案：B
解析：由題可知，“向上的點數是1或3”為事件A，“向上的點數是1或5”為事件B，所以事件B不等于事件A，故A錯誤；
事件表示“向上的點數是1或3或5”，故B正確，C錯誤；
事件表示“向上的點數是1”，故D錯誤；故選：B.
3.答案：C
解析：根據題意可得，所以選項A正確；
事件B和事件D是對立事件，故，所以選項B正確；
事件表示“兩次都投中”或“兩次都未投中”，而事件表示“兩次都未投中”“兩次都投中”或“恰有一次投中”，故選項C錯誤；
事件表示“兩次都投中”或“恰有一次投中”，故，所以選項D正確.
4.答案：D
解析：由題意與不可能同時發生，它們互斥，A正確；中點數為1或2，中點數為3，4，5，6中的一個，因此它們的并是必然事件，但它們不可能同時發生，因此為不可能事件，B正確；
發生時，一定發生，但發生時，可能不發生，因此，C正確；
與不可能同時發生，但也可能都不發生，因此與互斥但不對立，D錯誤.故選D.
5.答案：，，，，，，，
解析：事件A包含的基本事件有事件B包含的基本事件有，包含的基本事件有，事件C包含的基本事件有，則事件C對應的子集是，，，，，，，.故答案為：，，，，，，，.10.1.4 概率的基本性質
——高一數學人教A版（2019）必修第二冊課前導學
知識填空概率的基本性質：
性質1：對任意的事件，都有 .
性質2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即 ， .
性質3：如果事件與事件互斥，那么 .
性質4：如果事件與事件互為 事件，那么，.
性質5：如果 ，那么.
性質6：設是一個隨機試驗中的兩個事件，有 .
思維拓展1.求復雜的概率的常用方法有什么？
2.互斥事件、對立事件概率的求解方法？
基礎練習1.若隨機事件A，B互斥，A，B發生的概率均不等于0，且，，則實數a的取值范圍是( )
A. B. C. D.
2.拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，得到的點數分別為m，n，則“”的概率為( )
A. B. C. D.
3.從含有質地均勻且大小相同的2個紅球、n個白球的口袋中隨機取出一球，若取得紅球的概率是，則取得白球的概率等于( )
A. B. C. D.
4.袋子中有一些大小質地完全相同的紅球、白球和黑球，從中任意摸出一球，摸出的球是紅球或白球的概率為0.56，摸出的球是紅球或黑球的概率為0.68，則摸出的球是白球或黑球的概率為( )
A.0.64 B.0.72 C.0.76 D.0.82
5.甲、乙兩人組成“星隊”參加投籃比賽，每輪比賽由甲、乙在罰球區各投一次，已知甲、乙每輪投中的概率分別為，.在每輪比賽中，甲和乙是否投中互不影響，各輪之間也互不影響，則“星隊”在兩輪比賽中共投中3球的概率為_______________.
【答案及解析】
一、知識填空
0 1 0 對立
二、思維拓展
1.一是將所求事件轉化成彼此互斥事件的并；
二是先求對立事件的概率，進而再求所求事件的概率.
2.（1）對于一個較復雜的事件，一般將其分解成幾個簡單的事件，當這些事件
彼此互斥時，原事件的概率就是這些簡單事件的概率的和.
（2）當求解的問題中有“至多”“至少”“最少”等關鍵詞語時，常常考慮其反面，通過求其反面，然后轉化為所求問題.
三、基礎練習
1.答案：C
解析：因隨機事件A，B互斥，則，依題意及概率的性質得，即，解得，所以實數a的取值范圍是.
故選：C.
2.答案：D
解析：拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，共有種基本事件，設A為拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，得到的點數分別為m，n，則“”，則A中共有基本事件3種：，，所以，故“”的概率為.
故選：D.
3.答案：C
解析：取得紅球與取得白球為對立事件，取得白球的概率P＝.故選：C.
4.答案：C
解析：設摸出紅球的概率為，摸出白球的概率為，摸出黑球的概率為，所以，，且，所以，，所以，即摸出的球是白球或黑球的概率為0.76.故選C
5.答案：
解析：由“星隊”在兩輪比賽中共投中3球，即其中有一輪甲、乙有一人未投中，所以其概率為.故答案為：.10.1.1 有限樣本空間與隨機事件
——高一數學人教A版（2019）必修第二冊課前導學
知識填空1.隨機試驗：將對隨機現象的實現和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱 ，常用字母表示.隨機試驗具有以下特點：
①試驗可以在相同條件下 進行；
②試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；
③每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的 ，但事先不能確定出現哪一個結果.
2.有限樣本空間：隨機試驗的每個可能的基本結果稱為 ，全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空間，一般用表示樣本點，用 表示樣本空間，如果一個隨機試驗有個可能結果，則稱樣本空間為 .
3.隨機事件：將樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為 .隨機事件一般用大寫字母…表示.在每次試驗中，當且僅當中某個樣本點出現時，稱為 .
4.必然事件：作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發生，所以總會發生，稱為 .
5.不可能事件：空集不包含任何樣本點，在每次試驗中都 發生，稱為不可能事件.
思維拓展1.如何求試驗的樣本空間？
2.對事件分類的兩個關鍵點是什么？
基礎練習1.已知袋中有大小、形狀完全相同的4個紅色、3個白色的乒乓球，從中任取4個，則下列判斷錯誤的是( )
A.事件“都是紅色球”是隨機事件
B.事件“都是白色球”是不可能事件
C.事件“至少有一個白色球”是必然事件
D.事件“有3個紅色球和1個白色球”是隨機事件
2.在不透明的布袋中，裝有大小、形狀完全相同的3個黑球、1個紅球，從中摸一個球，摸出1個黑球這一事件是( )
A.必然事件 B.隨機事件 C.確定事件 D.不可能事件
3.在12件同類產品中，有10件是正品，2件是次品，從中任意抽出3件，則下列事件為必然事件的是( )
A.3件都是正品 B.至少有2件是次品
C.3件都是次品 D.至少有1件是正品
4.下列事件：①拋擲一枚硬幣，落下后正面朝上；②從某三角形的三個頂點各畫一條高線，這三條高線交于一點；③實數a，b都不為0，但；④某地區明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中既不是確定事件又不是不可能事件的是( )
A.①④ B.①②③ C.②③④ D.②④
5.下列事件中，隨機事件的序號為______.
①某項體育比賽出現平局.
②全球變暖會導致海平面上升.
③一個三角形的三邊長分別為1、2、3.
④拋擲一枚硬幣，出現反面向上.
【答案及解析】
一、知識填空
1.試驗 重復 一個
2.樣本點 有限樣本空間
3.基本事件 事件發生
4.必然事件
5.不會
二、思維拓展
1.求試驗的樣本空間主要是通過觀察、分析、模擬試驗，列舉出各個樣本點.對于樣本點個數的計算，要保證列舉出的試驗結果不重不漏.寫樣本空間時應注意兩大問題：一是抽取的方式是否為不放回抽取；二是試驗結果是否與順序有關.
2.（1）條件：在條件S下事件發生與否是與條件相對而言的，沒有條件，無法判斷事件是否發生.
（2）結果發生與否：有時結果較復雜，要準確理解結果包含的各種情況
三、基礎練習
1.答案：C
解析：因為袋中有大小、形狀完全相同的4個紅色、3個白色的乒乓球，所以從中任取4個球共有：3白1紅，2白2紅，1白3紅，4紅四種情況.故事件“都是紅色球”是隨機事件，故A正確；事件“都是白色球”是不可能事件，故B正確；事件“至少有一個白色球”是隨機事件，故C錯誤；事件“有3個紅色球和1個白色球”是隨機事件，故D正確.故選：C.
2.答案：B
解析：根據題意，從布袋中摸出一個球，有可能是黑球，也有可能是紅球，故摸出1個黑球是隨機事件.故選：B.
3.答案：D
解析：因為12件產品中，只有2件是次品，從中取3件，其中必定至少有1件是正品.故選：D
4.答案：A
解析：拋擲一枚硬幣，是正面朝上，還是反面朝上，落下前不可確定，即①是隨機事件；
因三角形三條高線一定交于一點，則②是必然事件；
因實數a，b都不為0，則，于是得③是不可能事件；
某地區明年7月的降雨量是一種預測，不能確定它比今年7月的降雨量高還是低，④是隨機事件，所以在給定的4個事件中，①④是隨機事件.故選：A.
5.答案：①④
解析：體育比賽出現平局、拋擲一枚硬幣出現反面向上均為隨機事件；全球變暖會導致冰川溶化，海平面上升是必然事件；因為三角形兩邊之和大于第三邊，而，所以一個三角形的三邊長分別為1、2、3是不可能事件.故答案為：①④.

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