資源簡介

8.1.3 向量數量積的坐標運算
——高一數學人教B版（2019）必修第三冊課前導學
知識填空1.向量的坐標與向量的數量積：設，則 .
2.向量模、夾角的坐標表示：當都不是零向量時，因為 ， ，所以 .
3.兩點之間的距離公式：如果，，則，因此 .
4.用向量的坐標表示兩個向量垂直的條件：設向量，
則 .
思維拓展1.數量積運算的途徑及注意點有哪些？
3.利用數量積的坐標表示求兩向量夾角的步驟是什么？
基礎練習1.若向量，，且，則實數x的值為( )
A. B. C.-3 D.3
2.已知向量，，且，則( )
A. B. C. D.8
3.已知向量，.若a與b垂直，則a與夾角的余弦值為( )
A. B. C. D.
4.已知點，點B為直線上一點，且，則點B的坐標為___________.
【答案及解析】
一、知識填空
1.
2.
3.
4.
二、思維拓展
1.進行向量的數量積運算時，需要牢記有關的運算法則和運算性質.解題時通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標表示，然后直接進行數量積的坐標運算；二是先利用向量的數量積的運算律將原式展開，再依據已知條件計算.
2.（1）求向量的數量積.利用向量數量積的坐標表示求出這兩個向量的數量積；
（2）求模.利用計算兩向量的模；
（3）求夾角余弦值.由公式求夾角余弦值；
（4）求角.由向量夾角的范圍及求的值.
三、基礎練習
1.答案：A
解析：由題意，得，所以，解得.
2.答案：C
解析：由題意，得，解得，所以，所以.
3.答案：A
解析：因為a與b垂直，所以，解得，則，，設a與的夾角為，則.故選A.
4.答案：或
解析：由題意可設點B的坐標為，則，解得或，所以點B的坐標為或.8.1.2 向量數量積的運算律
——高一數學人教B版（2019）必修第三冊課前導學
知識填空向量數量積的運算律：
交換律： ；數乘結合律： ；分配律： .
思維拓展1.求向量的數量積的關鍵點是什么？
2.求向量的模的常見思路及方法？
基礎練習1.已知向量a，b滿足，，則( )
A.4 B.3 C.2 D.0
2.已知，，.如果，那么實數m的值為( )
A. B. C. D.
3.設向量a，b滿足，，則( )
A.1 B.2 C.3 D.5
4.已知向量a，b滿足，，，則a與b的夾角為( )
A. B. C. D.
5.如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC中，點E為中線BD的三等分點（靠近點D），點F為BC的中點，則__________.
【答案及解析】
一、知識填空
二、思維拓展
1.求向量的數量積時，需掌握相關向量的模和夾角兩個關鍵點.若相關向量是兩個或兩個以上向量的線性運算，則需先利用向量數量積的運算律及多項式乘法的相關公式進行化簡.
2.（1）求模問題一般轉化為求模的平方，與向量數量積聯系，并靈活應用，勿忘記開方.
（2）或，此性質可用來求向量的模，可以實現實數運算與向量運算的相互轉化.
（3）一些常見的等式應熟記，如，等.
三、基礎練習
1.答案：B
解析：.
2.答案：C
解析：由題意知，即，，解得.
3.答案：A
解析：由題意，知，，兩式相減得，所以.
4.答案：C
解析：因為，所以，即.又，，所以，又，所以.
5.答案：1
解析：在邊長為2的等邊三角形ABC中，BD為中線，則，所以
.8.1.1 向量數量積的概念
——高一數學人教B版（2019）必修第三冊課前導學
知識填空1.兩個向量的夾角：給定兩個非零向量a，b，在平面內任選一點O，作，，則稱內的為向量a與向量b的 ，記作 .
2.向量垂直：根據向量夾角的定義可知，兩個非零向量的夾角是唯一確定的，且 ，. 當 時，稱向量a與向量b垂直，記作 .
規定零向量與 向量垂直.
3.向量數量積的定義：一般地，當a與b都是非零向量時，稱為向量a與b的
（也稱為 ），記作，即 .
4.數量積的性質：若a，b都是非零向量，則
①；② ，即 ；③ .
5.向量的投影：設非零向量，過A，B分別作直線l的垂線，垂足分別為，，則稱向量為向量a在直線l上的 向量或投影.
6.投影的數量：一般地，如果a，b都是非零向量，則稱為向量a在向量b上的 .特別地，當e為單位向量時， .
思維拓展1.求向量的數量積時的關鍵是什么？
2.如何求非零向量的夾角？
基礎練習1.已知是邊長為2的等邊三角形，則( )
A.-2 B. C.2 D.
2.若，，向量a與向量b的夾角為，則向量a在向量b上的投影的數量為( )
A.-3 B.-2 C.2 D.-1
3.已知，向量a在向量b方向上的投影數量為4，則( )
A.12 B.8 C.-8 D.2
4.在中，，則是( )
A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.無法確定
【答案及解析】
一、知識填空
1.夾角
2. 任意
3.數量積 內積
4.
5.投影
6.投影的數量
二、思維拓展
1.若已知向量的模及其夾角，則可直接利用公式.運用此法計算數量積的關鍵是確定兩個向量的夾角，兩向量的夾角可以直接確定的條件是兩向量的始點必須重合，否則，要通過平移使兩向量符合以上條件．
2.主要利用公式求出夾角的余弦值，從而求得夾角．可以直接求出的值及，的值，然后代入求解，也可以尋找，，三者之間的關系，然后代入求解．
三、基礎練習
1.答案：A
解析：因為等邊三角形ABC的邊長為2，所以.
2.答案：D
解析：a在b上的投影的數量是，故選D.
3.答案：A
解析：由題意得，又，所以.故選A.
4.答案：C
解析：因為，所以，所以，又，所以，所以角A為鈍角，所以為鈍角三角形，故選C.

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