資源簡介

9.1.2 余弦定理
——高一數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第四冊課前導(dǎo)學(xué)
知識填空1.余弦定理：三角形任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角 的2倍. 即 ， ， .
2.余弦定理的推論： ，， .
思維拓展1.已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法有哪些？
2.已知三邊求角的基本思路是什么？
基礎(chǔ)練習1.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則( )
A. B. C.5 D.6
2.在中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對的邊.若，，，則邊( )
A. B.或 C.或 D.
3.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，，則一定是( )
A.直角三角形 B.鈍角三角形 C.等腰直角三角形 D.等邊三角形
4.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若的面積為，則角( )
A. B. C. D.
5.在中，，，，則_________________.
【答案及解析】
一、知識填空
1.余弦的積
2.
二、思維拓展
1.（1）當已知兩邊及它們的夾角時，用余弦定理求解出第三邊，再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求解另外兩角，只有一解；
（2）當已知兩邊及其一邊的對角時，可用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三邊，要注意解的情況的討論.
2.利用余弦定理的推論求出相應(yīng)角的余弦值，值為正，角為銳角；值為負，角為
鈍角，結(jié)果唯一.
三、基礎(chǔ)練習
1.答案：A
解析：由余弦定理可得，所以.故選A.
2.答案：C
解析：因為，，，由余弦定理可得，即，即，解得或.故選C.
3.答案：D
解析：由余弦定理可知，而，，所以，即.所以.又，所以一定是等邊三角形.故選D.
4.答案：C
解析：由余弦定理可得，而三角形面積為，故，整理得到，又，故.故選C.
5.答案：3
解析：由余弦定理得，整理得，解得或（舍去）.9.1.1 正弦定理
——高一數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第四冊課前導(dǎo)學(xué)
知識填空1.三角形的面積公式：一般地，若記的面積為S，則 .
2.正弦定理：在一個三角形中，各邊的長和它所對角的 的比相等，即
.
3.解三角形：三角形的3個角與3條邊都稱為三角形的 ，已知三角形的若干元素求
一般稱為解三角形.
思維拓展1.已知三角形兩邊及一邊對角解三角形時利用正弦定理求解的步驟是什么？
2.利用正弦定理判斷三角形形狀的方法有哪些？
基礎(chǔ)練習1.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知，，，則( )
A. B.2 C. D.4
2.已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，面積為，且，，則( )
A.30° B.60° C.150° D.120°或60°
3.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，，則( )
A.或 B. C. D.
4.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若，，，則的面積為( )
A. B. C. D.
5.已知在中，內(nèi)角所對的邊分別為a，b，c.若，則的形狀為( )
A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.不確定
【答案及解析】
一、知識填空
1.
2.正弦
3.元素 其他元素
二、思維拓展
1.（1）求正弦：根據(jù)正弦定理求另外一邊所對角的正弦值.
（2）求角：根據(jù)該正弦值求角時，要根據(jù)大邊對大角或三角形內(nèi)角和定理，去判斷解的情況（無解、一解或兩解），再根據(jù)內(nèi)角和定理求第三角.
（3）求邊：根據(jù)正弦定理求第三條邊的長度.
2.（1）化邊為角：根據(jù)題目中的所有條件，利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識得到三個內(nèi)角的關(guān)系，進而確定三角形的形狀.
（2）化角為邊：根據(jù)題目中的所有條件，利用正弦定理化角為邊，再利用代數(shù)恒等變換得到邊的關(guān)系，進而確定三角形的形狀.
三、基礎(chǔ)練習
1.答案：A
解析：已知，，，由正弦定理可得，則，故選A.
2.答案：D
解析：已知，則有，所以.因為，所以或.故選D.
3.答案：C
解析：由正弦定理，得.由得，，故，故選C.
4.答案：D
解析：因為C為三角形的內(nèi)角，所以，所以的面積，故選D.
5.答案：C
解析：，由正弦定理可知，即，.，，則.故選C.9.2 正弦定理與余弦定理的應(yīng)用
——高一數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第四冊課前導(dǎo)學(xué)
思維拓展1.測量高度問題的解題思路是什么？
2.求解測量距離問題的方法有哪些？
3.測量角度問題時需要注意什么？
基礎(chǔ)練習1.前衛(wèi)斜塔位于遼寧省葫蘆島市綏中縣，始建于遼代，又名瑞州古塔，其傾斜度（塔與地面所成的角）遠超著名的意大利比薩斜塔，是名副其實的世界第一斜塔.現(xiàn)有一個斜塔的塔身長，一旅游者在正午時分測得塔在地面上的投影長為，則該塔的傾斜度（塔與地面所成的角）為( )
A. B. C. D.
2.海面上有相距的A，B兩個小島，從A島望C島和B島成的視角，從B島望C島和A島成的視角，則B，C間的距離為( )
A. B. C. D.
3.“大美中國古建筑名塔”榴花塔以紅石為基，用青磚灰沙砌筑.如圖，記榴花塔高為OT，測量小組選取與塔底O在同一水平面內(nèi)的兩個測量點A和B，現(xiàn)測得，，，在點B處測得塔頂T的仰角為，則塔高OT為( )
A. B. C. D.
4.一艘海盜船從C處以的速度沿著南偏東的方向前進，在C點北偏東且距離為的A處有一海警船，沿著南偏東的方向快速攔截，若要攔截成功，則海警船速度至少為( )
A. B. C. D.
【答案及解析】
一、思維拓展
1.對于底部不能到達或者無法直接測量的物體的高度問題，先用正弦定理或余弦定理計算出物體的頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解三角形的問題，這類物體高度的測量是在與地面垂直的豎直平面內(nèi)構(gòu)造三角形或者在空間中構(gòu)造三棱錐，再依據(jù)條件，利用正、余弦定理解其中的一個或者幾個三角形，從而求出所需測量的物體的高度.
2.選擇合適的輔助測量點，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時，盡量把已知元素放在同一個三角形中.
3.測量角度問題常涉及“方向角”“方位角”的問題，需明確兩種角的含義，確定方向角或方位角時，一般都需作出方向線互相垂直的虛線，然后將要求的角落實到某個三角形中，通過正弦定理或余弦定理求出該角的某個三角函數(shù)值.
二、基礎(chǔ)練習
1.答案：A
解析：如圖所示，線段AC為塔身長，線段AB為投影長度，，所以在中，，因為，所以，故選A.
2.答案：D
解析：如圖，由題意得，，，則，所以，所以，即B，C間的距離為.故選D.
3.答案：A
解析：依題意，，在中，，即，解得.在中，，即.故選A.
4.答案：D
解析：如圖，設(shè)在B處兩船相遇，則由題意可得，，則，是等腰三角形，則，所以海盜船需到達B處.在中，由余弦定理得，則海警船每小時至少航行，即速度至少為.故選D.

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