資源簡介

培優(yōu)提升九　機械能守恒定律的綜合應(yīng)用
(分值：100分)
選擇題1～8題，每小題8分，共64分。
1.(多選)如圖所示，物體A、B用足夠長的細線通過輕質(zhì)定滑輪連接懸于天花板。現(xiàn)將A、B同時由靜止開始釋放，A下降，B上升，忽略滑輪摩擦及一切阻力，則在A、B運動的過程中，下列說法正確的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
物體A機械能減少
物體A機械能守恒
細線對物體B做負功
物體A和物體B組成的系統(tǒng)機械能守恒
2.(多選)如圖所示，光滑細桿AB、AC在A點連接，AB豎直放置，AC水平放置，兩個相同的中心有小孔的小球M、N，分別套在AB和AC上，并用一細繩相連，細繩恰好被拉直，現(xiàn)由靜止釋放M、N，在運動過程中，下列說法中正確的是(　　)
M球的機械能守恒
M球的機械能增大
M球和N球組成的系統(tǒng)機械能守恒
細繩的拉力對N球做正功
3.如圖，剛性輕桿可繞光滑水平軸O轉(zhuǎn)動，O為輕桿的中心，質(zhì)量分別為M和m的兩個小球連接在輕桿兩端，M>m。初始時輕桿鎖定于水平狀態(tài)，解除鎖定后，輕桿逆時針轉(zhuǎn)動。在輕桿轉(zhuǎn)動90°的過程中(　　)
輕桿對M不做功，對m不做功，M、m和桿組成的系統(tǒng)機械能守恒
輕桿對M做正功，對m做負功，M、m和桿組成的系統(tǒng)機械能守恒
輕桿對M做負功，對m做正功，M、m和桿組成的系統(tǒng)機械能守恒
輕桿對M做正功，對m做正功，M、m和桿組成的系統(tǒng)機械能不守恒
4.(多選)(2024·山東青島一中模擬)如圖所示，滑塊和小球的質(zhì)量分別為M、m，滑塊可在水平放置的光滑固定導軌上自由滑動，小球與滑塊上的懸點O由一不可伸長的輕繩相連，輕繩長為l，開始時，輕繩處于水平拉直狀態(tài)，小球和滑塊均靜止，現(xiàn)將小球由靜止釋放，當小球到達最低點時，不計空氣阻力，下列說法正確的是(　　)
輕繩對小球不做功
滑塊和小球組成的系統(tǒng)機械能守恒
繩子對滑塊做的功等于滑塊動能的增加量
小球重力勢能的減少量等于小球動能的增加量
5.如圖所示滑輪光滑輕質(zhì)，阻力不計，M1＝2 kg，M2＝1 kg，M1離地高度為H＝0.5 m。M1與M2從靜止開始釋放，M1由靜止下落0.15 m時的速度為(g＝10 m/s2)(　　)
4 m/s 　　　 3 m/s
2 m/s 　　　 1 m/s
6.如圖所示，是一兒童游戲機的示意圖。光滑游戲面板與水平面成一夾角θ，半徑為R的四分之一圓弧軌道BC與AB管道相切于B點，C點為圓弧軌道最高點，輕彈簧下端固定在AB管道的底端，上端系一輕繩，繩通過彈簧內(nèi)部連一手柄P，將球投入AB管道內(nèi)，緩慢下拉手柄使彈簧被壓縮，釋放手柄，彈珠被彈出，與游戲面板內(nèi)的障礙物發(fā)生一系列碰撞后落入彈珠槽里。假設(shè)所有軌道均光滑，忽略空氣阻力和手柄質(zhì)量，彈珠視為質(zhì)點，重力加速度為g。某次緩慢下拉手柄，使彈珠距B點的距離為L，釋放手柄，彈珠被彈出，到達C點速度為v，下列說法正確的是(　　)
從釋放手柄開始到彈珠觸碰障礙物之前過程中彈珠的機械能守恒
從釋放手柄到彈珠離開彈簧的過程中，彈簧彈力一直做正功，彈珠動能一直增大
彈珠從離開彈簧到運動到最高點的過程中，其動能和重力勢能之和一直變大
此過程中，彈簧的最大彈性勢能為
mg(L＋R)sin θ＋mv2
7.(多選)如圖所示，在固定的光滑水平桿上，質(zhì)量為m的物體P用輕繩跨過光滑的滑輪O、O′連接質(zhì)量為2m的物體Q，用手托住Q使整個系統(tǒng)靜止，此時輕繩剛好拉直，且AO＝L，OB＝h，ABQ始終比P運動得快
在物體P從A滑到B的過程中，P的機械能增加，Q的機械能減少
P運動的最大速度為2
開始運動后，當P速度再次為零時，Q下降了2(L－h(huán))距離
8.如圖所示，套在光滑豎直桿上的物體A，通過輕質(zhì)細繩與光滑水平面上的物體B相連接，A、B質(zhì)量相同。現(xiàn)將A從與B等高處由靜止釋放，不計一切摩擦，重力加速度為g，當細繩與豎直桿間的夾角為θ＝60°時，A下落的高度為h，此時物體B的速度為(　　)
9.(9分)如圖，兩小球A、B系在跨過定滑輪的細繩兩端，小球A的質(zhì)量mA＝3 kg，小球B的質(zhì)量mB＝1 kg，最初用手將A、B球托住使系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)，繩上恰沒有張力，此時A球比B球高h＝1.2 m。現(xiàn)將A、B球同時釋放，g取10 m/s2，求：
(1)(3分)釋放前，以B球所在位置的平面為重力勢能的參考平面，A球的重力勢能；
(2)(3分)釋放瞬間A球的加速度大小；
(3)(3分)釋放后，當A、B球到達同一高度時，A、B球的速度大小。
10.(9分)內(nèi)壁及邊緣均光滑的半球形容器的半徑為R，質(zhì)量分別為M和m(M>m)的兩個小球(可看作質(zhì)點)用不可伸長的細線相連。現(xiàn)將M由靜止從容器邊緣內(nèi)側(cè)釋放，如圖所示，試計算M滑到容器底時，M、N兩小球的速率。
11.(8分)如圖所示，傾角為θ的光滑斜面上放有兩個質(zhì)量均為m的小球A和B，兩球之間用一根長為L且與斜面平行的輕桿相連，下面的小球B離斜面底端的高度為h。兩球從靜止開始下滑，不計球與水平地面碰撞時的機械能損失，且地面光滑，重力加速度為g，求：
(1)(4分)兩球在光滑水平地面上運動時的速度大小；
(2)(4分)此過程中桿對A球所做的功。
培優(yōu)加強練
12.(10分)如圖所示，兩個質(zhì)量均為m的小環(huán)A、B用長為R的輕桿連接，兩小環(huán)可以在半徑為R、固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓環(huán)上滑動，開始時將A固定在圓環(huán)的最高點。求：
(1)(5分)輕桿對B的拉力大小；
(2)(5分)將A釋放后，當A滑到最低點時，A小環(huán)的速度大小。
培優(yōu)提升九　機械能守恒定律的綜合應(yīng)用
1.AD　[物體A下降的過程中，細線的拉力對A做負功，則A的機械能減少，選項A正確，B錯誤；因B物體上升，則細線對物體B做正功，選項C錯誤；物體A和物體B組成的系統(tǒng)，只有重力對系統(tǒng)做功，則系統(tǒng)的機械能守恒，選項D正確。]
2.CD　[細繩的拉力與M球運動方向夾角大于90°，對M球做負功，M球的機械能減小，A、B錯誤；M球和N球組成的系統(tǒng)只有動能和重力勢能的相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)機械能守恒，C正確；細繩的拉力與N球運動方向夾角小于90°，細繩的拉力對N球做正功，D正確。]
3.C　[對質(zhì)量為m的小球分析，小球重力做負功，但小球動能增大，根據(jù)動能定理可知，該過程中輕桿對小球一定做正功，m球機械能增加。對兩個小球和輕桿組成的系統(tǒng)分析，系統(tǒng)僅受重力做功，故系統(tǒng)的機械能守恒。對質(zhì)量為M的小球分析，根據(jù)系統(tǒng)機械能守恒，m的機械能增加，故M的機械能減少，根據(jù)功能關(guān)系可知輕桿對M做負功。綜上所述，輕桿對M做負功，對m做正功，M、m和桿組成的系統(tǒng)機械能守恒。故C正確。]
4.BC　[滑塊和小球組成的系統(tǒng)只有重力做功，機械能守恒，滑塊機械能增大，小球機械能減少，由功能關(guān)系知，輕繩拉力對小球做負功，A錯誤，B正確；對滑塊，只有繩子拉力做功，根據(jù)動能定理知，繩子對滑塊所做的功等于滑塊動能的增加量，C正確；滑塊與小球組成的系統(tǒng)機械能守恒，小球重力勢能的減少量等于小球與滑塊的動能的增加量之和，D錯誤。]
5.D　[根據(jù)系統(tǒng)機械能守恒得M1gH－M2gH＝(M1＋M2)v2，解得v＝1 m/s，A、B、C錯誤，D正確。]
6.D　[從釋放手柄開始到彈珠觸碰障礙物之前的過程，彈簧對彈珠做正功，其機械能不守恒，故A錯誤；從釋放手柄到彈珠離開彈簧的過程中，彈簧的彈力先大于重力沿斜面向下的分力，后小于重力沿斜面向下的分力，彈珠先加速后減速，所以其動能先增大后減小，故B錯誤；彈珠從離開彈簧到運動到最高點的過程中，機械能守恒，即動能和重力勢能之和不變，故C錯誤；根據(jù)系統(tǒng)的機械能守恒得，彈簧的最大彈性勢能等于彈珠在C點的機械能，為mg(L＋R)sin θ＋Mv2，故D正確。]
7.BC　[分解速度vP，有vPcos θ＝vQ(設(shè)∠OAB＝θ)，vP始終大于vQ，故A錯誤；P從A運動到B過程中，繩子拉力對P做正功，對Q做負功，P的機械能增加，Q的機械能減少，故B正確；物體P到達B點時，Q的速度為零，P從A點運動到B點過程，對P、Q系統(tǒng)有2MG(L－h(huán))＝mv2，解得v＝2，故C正確；物體P經(jīng)過B點后開始減速，由系統(tǒng)機械能守恒可知，當P速度再次為零時，Q物體回到原位置，故D錯誤。]
8.A　[設(shè)物體A下落高度h時，物體A的速度為vA，物體B的速度為vB，此時有vA＝＝2vB，物體A、B組成的系統(tǒng)機械能守恒，則有mgh＝mv＋mv，聯(lián)立方程解得vB＝，故A正確。]
9.(1)36 J　(2)5 m/s2　(3) m/s　 m/s
解析　(1)釋放前，以B球所在位置的平面為重力勢能的參考平面，A球的重力勢能為EpA＝mAgh＝36 J。
(2)釋放瞬間，對A、B球分別由牛頓第二定律可得mAg－T＝mAa，T－mBg＝mBa，聯(lián)立解得a＝5 m/s2。
(3)對A、B球組成的系統(tǒng)，由機械能守恒定律可得
mAgh＝g·＋v2，解得A、B球到達同一高度時，速度大小均為v＝ m/s。
10.　
解析　將M和m看作一個整體，整體在運動過程中只有重力做功，機械能守恒，當M滑到容器底時，M下降的高度為R，由幾何關(guān)系知m升高的高度h＝R
設(shè)M滑到容器底時的速率為v，沿繩方向速度相同得m速率滿足vm＝vcos 45°
根據(jù)機械能守恒定律有MgR－mgh＝Mv2＋mv
解得v＝
m的速率vm＝。
11.(1)均為　(2)－mgLsin θ
解析　(1)由于不計摩擦及碰撞時的機械能損失，因此兩球組成的系統(tǒng)機械能守恒。兩球在光滑水平地面上運動時的速度大小相等，設(shè)為v，根據(jù)機械能守恒定律有
mg(2h＋Lsin θ)＝×2mv2
解得v＝。
(2)由動能定理可知mg(h＋Lsin θ)＋WA＝mv2
解得WA＝－mgLsin θ。
12.(1)mg　(2)
解析　(1)由題意可知，輕桿對B的拉力T和圓環(huán)對B的支持力N與豎直方向的夾角均為，根據(jù)平衡條件，水平方向有Nsin ＝Tsin
豎直方向有Ncos ＋Tcos ＝mg
解得T＝mg。
(2)從釋放到A滑到最低點的過程中，如圖所示
A、B和輕桿組成的系統(tǒng)機械能守恒，有mg·2R＋mgR＝mv＋mv，vA＝vB
解得vA＝。培優(yōu)提升九　機械能守恒定律的綜合應(yīng)用
學習目標　1.會分析連接體問題的機械能守恒問題。2.會分析涉及彈簧的機械能守恒問題。
提升1　多物體組成的系統(tǒng)機械能守恒問題
1.多物體機械能守恒問題的分析方法
(1)對多個物體組成的系統(tǒng)要注意判斷物體運動過程中，系統(tǒng)的機械能是否守恒。
(2)注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系。
(3)列機械能守恒方程時，一般選用轉(zhuǎn)化式ΔEk＝－ΔEp或轉(zhuǎn)移式ΔEA＝－ΔEB、
E減＝E增。
2.常見情景(如圖所示)。
角度1　輕繩連接的物體系統(tǒng)
例1 (2024·河北保定高一期末)A、B兩個小球由細繩跨過輕質(zhì)定滑輪相連接，B球的質(zhì)量是A球質(zhì)量的2倍，用手托住B球，A球跟地面接觸，使細繩剛好拉直，此時B球離地面高度為h。重力加速度為g，不計空氣阻力和其他摩擦阻力，A、B均可看成質(zhì)點。
(1)突然松手，求B球剛落地時A球的速度大小；
(2)設(shè)B球落地后不再彈起，A球始終未與滑輪接觸，求A球上升到最高點時離地面的高度。
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訓練1 如圖所示，質(zhì)量分別為m和2m的兩個小物體可視為質(zhì)點，用輕質(zhì)細線連接，跨過光滑圓柱體，輕的著地，重的恰好與圓心一樣高，若無初速度地釋放物體2m，則物體m上升的最大高度為(　　)
A.R B.R
C.R D.2R
角度2　輕桿連接的物體系統(tǒng)
例2 如圖所示，在長為L的輕桿中點A和端點B各固定一質(zhì)量均為m的小球，桿可繞無摩擦的軸O轉(zhuǎn)動，使桿從水平位置無初速度釋放擺下。(重力加速度為g)求：
(1)當桿轉(zhuǎn)到豎直位置時，A、B兩球的速度大小；
(2)桿從水平轉(zhuǎn)到豎直過程中對A球做的功；
(3)桿從水平轉(zhuǎn)到豎直過程中對B球做的功。
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訓練2 如圖所示，長度為2L的輕桿兩端固定有質(zhì)量為2m的小球a和質(zhì)量為m的小球b，桿可繞固定的轉(zhuǎn)動軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，兩小球到轉(zhuǎn)動軸O的距離均為L，且兩小球均可視為質(zhì)點。桿位于豎直位置時使小球a受到輕微擾動后，a、b在豎直平面內(nèi)運動，重力加速度為g，不計空氣阻力和一切摩擦，則小球a運動到最低點時對桿的拉力大小為(　　)
A.3mg B.mg
C.6mg D.mg
提升2　含彈簧連接體的機械能守恒問題
1.題型特點
(1)只有彈力做功，物體的動能與彈簧的彈性勢能之和保持不變。
(2)只有重力與彈力做功，物體的動能、重力勢能與彈簧的彈性勢能之和保持不變。
2.兩點提醒
(1)對于同一彈簧，彈性勢能的大小由彈簧的形變量決定，無論彈簧伸長還是壓縮，當形變量相同時，彈簧彈性勢能相同。
(2)物體運動的位移與彈簧的形變量或形變量的變化量有關(guān)。
例3 如圖所示，一個傾角θ＝30°的光滑斜面頂端有定滑輪，質(zhì)量為m的A物體置于地面并與勁度系數(shù)為k的豎直輕彈簧相連，一條輕繩跨過滑輪，一端與斜面上質(zhì)量為m的B物體相連(繩與斜面平行)，另一端與彈簧上端連接。開始時用手托著B，繩子恰伸直彈簧處于原長狀態(tài)，現(xiàn)將B由靜止釋放，B下滑過程中A恰好能離開地面但不繼續(xù)上升，重力加速度為g，求：
(1)B下滑到最低點時的加速度；
(2)若將B物體換成質(zhì)量為4m的C物體，使C物體由上述初始位置靜止釋放，當A物體剛好要離開地面時，C物體的速度為多大？
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訓練3 質(zhì)量m＝5 kg的小球系于彈簧的一端，套在光滑豎直圓環(huán)上，彈簧的另一端固定在環(huán)上的A點，環(huán)半徑R＝0.5 m，彈簧原長L0＝R＝0.5 m。當球從圖中位置C滑至最低點B時，測得vB＝3 m/s，重力加速度g＝10 m/s2，求在B點時彈簧的彈性勢能Ep的大小。
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隨堂對點自測
1.(輕繩連接的物體系統(tǒng))如圖所示，質(zhì)量為m的木塊放在光滑的水平桌面上，用輕繩繞過桌邊的定滑輪與質(zhì)量為M的砝碼相連，已知M＝3m，讓繩拉直后使砝碼從靜止開始下降，重力加速度為g。若砝碼底部與地面的距離為h，砝碼剛接觸地面時木塊仍沒離開桌面，此時木塊的速率為(　　)
A. B.
C. D.
2.(輕桿連接的物體系統(tǒng))如圖所示，A和B兩個小球固定在一根輕桿的兩端，mB>mA，此桿可繞穿過其中心的水平軸O無摩擦地轉(zhuǎn)動。現(xiàn)使輕桿從水平位置無初速度釋放，發(fā)現(xiàn)桿繞O沿順時針方向轉(zhuǎn)動，則桿從釋放至轉(zhuǎn)動90°的過程中(　　)
A.B球的動能增大，機械能增大
B.A球的重力勢能和動能都減小
C.A球的重力勢能和動能的增加量等于B球的重力勢能的減少量
D.A球和B球的總機械能守恒
3.(含彈簧的物體系統(tǒng))豎直放置的輕彈簧下端固定在地面上，上端與輕質(zhì)平板相連，平板與地面間的距離為H1，如圖所示。現(xiàn)將一質(zhì)量為m的物塊輕輕放在平板中心，讓它從靜止開始往下運動，直至物塊速度為零，此時平板與地面的距離為H2，重力加速度為g，則此時彈簧的彈性勢能Ep為(　　)
A.mg H1 B.mgH2
C.mg(H1－H2) D.mg(H1＋H2)
培優(yōu)提升九　機械能守恒定律的綜合應(yīng)用
提升1
例1 (1)　(2)h
解析　(1)設(shè)A球質(zhì)量為m，依題意知，A、B兩個小球組成的系統(tǒng)機械能守恒，選擇地面作為零勢能面，則有2mgh＝(2m＋m)v2＋mgh，求得B球剛落地時A球的速度大小v＝。
(2)B球落地后，A球上升的過程中，機械能守恒，有mgh＋mv2＝mgh′，A球上升到最高點時離地面的高度為h′＝h。
訓練1 B　[以m和2m組成的系統(tǒng)為研究對象，在2m落地前瞬間，由動能定理可得－mgR＋2mgR＝(m＋2m)v2－0，以m為研究對象，在2m落地后m上升過程中，由動能定理可得－mgh＝0－mv2，則m上升的最大高度H＝R＋h，解得H＝，故B正確。]
例2 (1)　　(2)－mgL　(3)mgL
解析　(1)取B的最低點為零重力勢能參考平面，根據(jù)機械能守恒定律可得2mgL＝mv＋mv＋mgL
又因A球與B球在各個時刻對應(yīng)的角速度相同，故vB＝2vA
聯(lián)立兩式解得vA＝，vB＝。
(2)根據(jù)動能定理，對A有WA＋mg＝mv
即WA＝－mgL。
(3)對B有WB＋mgL＝mv，即WB＝mgL。
訓練2 B　[當a到達最低點時，據(jù)機械能守恒定律可得2mg·2L－mg·2L＝(2m＋m)v2，對球a在最低點據(jù)牛頓第二定律可得F－2mg＝2m，解得F＝mg，故B正確。]
提升2
例3 (1)g　方向沿斜面向上　(2)
解析　(1)當A物體剛要離開地面時，A與地面間作用力為0，對A物體由平衡條件得F－mg＝0，設(shè)B物體的加速度大小為a，對B物體，由牛頓第二定律得F－mgsin θ＝ma，解得a＝g，B物體加速度的方向沿斜面向上。
(2)原來彈簧處于原長狀態(tài)，當A物體剛要離開地面時，A物體處于平衡狀態(tài)，設(shè)C物體沿斜面下滑x，則彈簧伸長即為x，對A物體有kx－mg＝0，解得x＝，A物體剛要離開地面時，彈簧的彈性勢能增加ΔE，對B物體下滑的過程，由機械能守恒定律有ΔE＝mgxsin θ，對C物體下滑的過程，由能量守恒定律有ΔE＋×4mv2＝4mgxsin θ，解得v＝。
訓練3 15 J
解析　小球在C點時，由幾何關(guān)系可知，彈簧處于原長狀態(tài)，彈簧中無彈力，無彈性勢能；在小球從C運動到B的過程中，對小球受力分析知，對小球做功的只有重力和彈簧彈力，小球和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，則由機械能守恒定律得
mg(R＋Rcos 60°)＝mv＋Ep
代入數(shù)據(jù)可得Ep＝15 J。
隨堂對點自測
1.A　[以木塊和砝碼組成的系統(tǒng)為研究對象，只有重力做功，系統(tǒng)的機械能守恒，則有Mgh＝(M＋m)v2，M＝3m，解得v＝，故A正確，B、C、D錯誤。]
2.D　[A球運動的速度增大，高度增大，所以動能和重力勢能都增大，故A球的機械能增大，B錯誤；對于兩球組成的系統(tǒng)，只有重力做功，系統(tǒng)的機械能守恒，D正確；B球運動的速度增大，所以動能增大，高度減小，所以重力勢能減小；因為A球的機械能增大，則B球的機械能減小，故A球的重力勢能和動能的增加量與B球的動能的增加量之和等于B球的重力勢能的減少量，故A、C錯誤。]
3.C　[選物塊和彈簧組成的系統(tǒng)為研究對象，從物塊開始運動到速度為零的過程中，只有重力和彈簧的彈力做功，系統(tǒng)的機械能守恒，彈性勢能增加量應(yīng)等于重力勢能的減少量，即Ep＝mg(H1－H2)，C正確。](共43張PPT)
培優(yōu)提升九　機械能守恒定律的綜合應(yīng)用
第四章 機械能及其守恒定律
1.會分析連接體問題的機械能守恒問題。2.會分析涉及彈簧的機械能守恒問題。
學習目標
目 錄
CONTENTS
提升
01
隨堂對點自測
02
課后鞏固訓練
03
提升
1
提升2　含彈簧連接體的機械能守恒問題
提升1　多物體組成的系統(tǒng)機械能守恒問題
提升1　多物體組成的系統(tǒng)機械能守恒問題
1.多物體機械能守恒問題的分析方法
(1)對多個物體組成的系統(tǒng)要注意判斷物體運動過程中，系統(tǒng)的機械能是否守恒。
(2)注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系。
(3)列機械能守恒方程時，一般選用轉(zhuǎn)化式ΔEk＝－ΔEp或轉(zhuǎn)移式ΔEA＝－ΔEB、E減＝E增。
2.常見情景(如圖所示)。
角度1　輕繩連接的物體系統(tǒng)
例1 (2024·河北保定高一期末)A、B兩個小球由細繩跨過輕質(zhì)定滑輪相連接，B球的質(zhì)量是A球質(zhì)量的2倍，用手托住B球，A球跟地面接觸，使細繩剛好拉直，此時B球離地面高度為h。重力加速度為g，不計空氣阻力和其他摩擦阻力，A、B均可看成質(zhì)點。
(1)突然松手，求B球剛落地時A球的速度大小；
(2)設(shè)B球落地后不再彈起，A球始終未與滑輪接觸，求A球上升到最高點時離地面的高度。
B
訓練1 如圖所示，質(zhì)量分別為m和2m的兩個小物體可視為質(zhì)點，用輕質(zhì)細線連接，跨過光滑圓柱體，輕的著地，重的恰好與圓心一樣高，若無初速度地釋放物體2m，則物體m上升的最大高度為(　　)
角度2　輕桿連接的物體系統(tǒng)
例2 如圖所示，在長為L的輕桿中點A和端點B各固定一質(zhì)量均為m的小球，桿可繞無摩擦的軸O轉(zhuǎn)動，使桿從水平位置無初速度釋放擺下。(重力加速度為g)求：
(1)當桿轉(zhuǎn)到豎直位置時，A、B兩球的速度大小；
(2)桿從水平轉(zhuǎn)到豎直過程中對A球做的功；
(3)桿從水平轉(zhuǎn)到豎直過程中對B球做的功。
B
訓練2 如圖所示，長度為2L的輕桿兩端固定有質(zhì)量為2m的小球a和質(zhì)量為m的小球b，桿可繞固定的轉(zhuǎn)動軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，兩小球到轉(zhuǎn)動軸O的距離均為L，且兩小球均可視為質(zhì)點。桿位于豎直位置時使小球a受到輕微擾動后，a、b在豎直平面內(nèi)運動，重力加速度為g，不計空氣阻力和一切摩擦，則小球a運動到最低點時對桿的拉力大小為(　　)
提升2　含彈簧連接體的機械能守恒問題
1.題型特點
(1)只有彈力做功，物體的動能與彈簧的彈性勢能之和保持不變。
(2)只有重力與彈力做功，物體的動能、重力勢能與彈簧的彈性勢能之和保持不變。
2.兩點提醒
(1)對于同一彈簧，彈性勢能的大小由彈簧的形變量決定，無論彈簧伸長還是壓縮，當形變量相同時，彈簧彈性勢能相同。
(2)物體運動的位移與彈簧的形變量或形變量的變化量有關(guān)。
例3 如圖所示，一個傾角θ＝30°的光滑斜面頂端有定滑輪，質(zhì)量為m的A物體置于地面并與勁度系數(shù)為k的豎直輕彈簧相連，一條輕繩跨過滑輪，一端與斜面上質(zhì)量為m的B物體相連(繩與斜面平行)，另一端與彈簧上端連接。開始時用手托著B，繩子恰伸直彈簧處于原長狀態(tài)，現(xiàn)將B由靜止釋放，B下滑過程中A恰好能離開地面但不繼續(xù)上升，重力加速度為g，求：
(1)B下滑到最低點時的加速度；
(2)若將B物體換成質(zhì)量為4m的C物體，使C物體由上述初始位置靜止釋放，當A物體剛好要離開地面時，C物體的速度為多大？
訓練3 質(zhì)量m＝5 kg的小球系于彈簧的一端，套在光滑豎直圓環(huán)上，彈簧的另一端固定在環(huán)上的A點，環(huán)半徑R＝0.5 m，彈簧原長L0＝R＝0.5 m。當球從圖中位置C滑至最低點B時，測得vB＝3 m/s，重力加速度g＝10 m/s2，求在B點時彈簧的彈性勢能Ep的大小。
答案　15 J
解析　小球在C點時，由幾何關(guān)系可知，彈簧處于原長狀態(tài)，彈簧中無彈力，無彈性勢能；在小球從C運動到B的過程中，對小球受力分析知，對小球做功的只有重力和彈簧彈力，小球和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，則由機械能守恒定律得
隨堂對點自測
2
A
1.(輕繩連接的物體系統(tǒng))如圖所示，質(zhì)量為m的木塊放在光滑的水平桌面上，用輕繩繞過桌邊的定滑輪與質(zhì)量為M的砝碼相連，已知M＝3m，讓繩拉直后使砝碼從靜止開始下降，重力加速度為g。若砝碼底部與地面的距離為h，砝碼剛接觸地面時木塊仍沒離開桌面，此時木塊的速率為(　　)
D
2.(輕桿連接的物體系統(tǒng))如圖所示，A和B兩個小球固定在一根輕桿的兩端，mB>mA，此桿可繞穿過其中心的水平軸O無摩擦地轉(zhuǎn)動。現(xiàn)使輕桿從水平位置無初速度釋放，發(fā)現(xiàn)桿繞O沿順時針方向轉(zhuǎn)動，則桿從釋放至轉(zhuǎn)動90°的過程中(　　)
A.B球的動能增大，機械能增大
B.A球的重力勢能和動能都減小
C.A球的重力勢能和動能的增加量等于B球的重力勢能的 減 少量
D.A球和B球的總機械能守恒
解析　A球運動的速度增大，高度增大，所以動能和重力勢能都增大，故A球的機械能增大，B錯誤；對于兩球組成的系統(tǒng)，只有重力做功，系統(tǒng)的機械能守恒，D正確；B球運動的速度增大，所以動能增大，高度減小，所以重力勢能減小；因為A球的機械能增大，則B球的機械能減小，故A球的重力勢能和動能的增加量與B球的動能的增加量之和等于B球的重力勢能的減少量，故A、C錯誤。
C
3.(含彈簧的物體系統(tǒng))豎直放置的輕彈簧下端固定在地面上，上端與輕質(zhì)平板相連，平板與地面間的距離為H1，如圖所示。現(xiàn)將一質(zhì)量為m的物塊輕輕放在平板中心，讓它從靜止開始往下運動，直至物塊速度為零，此時平板與地面的距離為H2，重力加速度為g，則此時彈簧的彈性勢能Ep為(　　)
A.mg H1 B.mgH2
C.mg(H1－H2) D.mg(H1＋H2)
解析　選物塊和彈簧組成的系統(tǒng)為研究對象，從物塊開始運動到速度為零的過程中，只有重力和彈簧的彈力做功，系統(tǒng)的機械能守恒，彈性勢能增加量應(yīng)等于重力勢能的減少量，即Ep＝mg(H1－H2)，C正確。
課后鞏固訓練
3
AD
1.(多選)如圖所示，物體A、B用足夠長的細線通過輕質(zhì)定滑輪連接懸于天花板。現(xiàn)將A、B同時由靜止開始釋放，A下降，B上升，忽略滑輪摩擦及一切阻力，則在A、B運動的過程中，下列說法正確的是(　　)
A.物體A機械能減少
B.物體A機械能守恒
C.細線對物體B做負功
D.物體A和物體B組成的系統(tǒng)機械能守恒
解析　物體A下降的過程中，細線的拉力對A做負功，則A的機械能減少，選項A正確，B錯誤；因B物體上升，則細線對物體B做正功，選項C錯誤；物體A和物體B組成的系統(tǒng)，只有重力對系統(tǒng)做功，則系統(tǒng)的機械能守恒，選項D正確。
CD
2.(多選)如圖所示，光滑細桿AB、AC在A點連接，AB豎直放置，AC水平放置，兩個相同的中心有小孔的小球M、N，分別套在AB和AC上，并用一細繩相連，細繩恰好被拉直，現(xiàn)由靜止釋放M、N，在運動過程中，下列說法中正確的是(　　)
A.M球的機械能守恒
B.M球的機械能增大
C.M球和N球組成的系統(tǒng)機械能守恒
D.細繩的拉力對N球做正功
解析　細繩的拉力與M球運動方向夾角大于90°，對M球做負功，M球的機械能減小，A、B錯誤；M球和N球組成的系統(tǒng)只有動能和重力勢能的相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)機械能守恒，C正確；細繩的拉力與N球運動方向夾角小于90°，細繩的拉力對N球做正功，D正確。
C
3.如圖，剛性輕桿可繞光滑水平軸O轉(zhuǎn)動，O為輕桿的中心，質(zhì)量分別為M和m的兩個小球連接在輕桿兩端，M>m。初始時輕桿鎖定于水平狀態(tài)，解除鎖定后，輕桿逆時針轉(zhuǎn)動。在輕桿轉(zhuǎn)動90°的過程中(　　)
A.輕桿對M不做功，對m不做功，M、m和桿組成的系統(tǒng)機械能守恒
B.輕桿對M做正功，對m做負功，M、m和桿組成的系統(tǒng)機械能守恒
C.輕桿對M做負功，對m做正功，M、m和桿組成的系統(tǒng)機械能守恒
D.輕桿對M做正功，對m做正功，M、m和桿組成的系統(tǒng)機械能不守恒
解析　對質(zhì)量為m的小球分析，小球重力做負功，但小球動能增大，根據(jù)動能定理可知，該過程中輕桿對小球一定做正功，m球機械能增加。對兩個小球和輕桿組成的系統(tǒng)分析，系統(tǒng)僅受重力做功，故系統(tǒng)的機械能守恒。對質(zhì)量為M的小球分析，根據(jù)系統(tǒng)機械能守恒，m的機械能增加，故M的機械能減少，根據(jù)功能關(guān)系可知輕桿對M做負功。綜上所述，輕桿對M做負功，對m做正功，M、m和桿組成的系統(tǒng)機械能守恒。故C正確。
BC
4.(多選)(2024·山東青島一中模擬)如圖所示，滑塊和小球的質(zhì)量分別為M、m，滑塊可在水平放置的光滑固定導軌上自由滑動，小球與滑塊上的懸點O由一不可伸長的輕繩相連，輕繩長為l，開始時，輕繩處于水平拉直狀態(tài)，小球和滑塊均靜止，現(xiàn)將小球由靜止釋放，當小球到達最低點時，不計空氣阻力，下列說法正確的是(　　)
A.輕繩對小球不做功
B.滑塊和小球組成的系統(tǒng)機械能守恒
C.繩子對滑塊做的功等于滑塊動能的增加量
D.小球重力勢能的減少量等于小球動能的增加量
解析　滑塊和小球組成的系統(tǒng)只有重力做功，機械能守恒，滑塊機械能增大，小球機械能減少，由功能關(guān)系知，輕繩拉力對小球做負功，A錯誤，B正確；對滑塊，只有繩子拉力做功，根據(jù)動能定理知，繩子對滑塊所做的功等于滑塊動能的增加量，C正確；滑塊與小球組成的系統(tǒng)機械能守恒，小球重力勢能的減少量等于小球與滑塊的動能的增加量之和，D錯誤。
D
5.如圖所示滑輪光滑輕質(zhì)，阻力不計，M1＝2 kg，M2＝1 kg，M1離地高度為H＝0.5 m。M1與M2從靜止開始釋放，M1由靜止下落0.15 m時的速度為(g＝10 m/s2)(　　)
A.4 m/s 　　　 B.3 m/s
C.2 m/s 　　　 D.1 m/s
D
6.如圖所示，是一兒童游戲機的示意圖。光滑游戲面板與水平面成一夾角θ，半徑為R的四分之一圓弧軌道BC與AB管道相切于B點，C點為圓弧軌道最高點，輕彈簧下端固定在AB管道的底端，上端系一輕繩，繩通過彈簧內(nèi)部連一手柄P，將球投入AB管道內(nèi)，緩慢下拉手柄使彈簧被壓縮，
釋放手柄，彈珠被彈出，與游戲面板內(nèi)的障礙物發(fā)生一系列碰撞后落入彈珠槽里。假設(shè)所有軌道均光滑，忽略空氣阻力和手柄質(zhì)量，彈珠視為質(zhì)點，重力加速度為g。某次緩慢下拉手柄，使彈珠距B點的距離為L，釋放手柄，彈珠被彈出，到達C點速度為v，下列說法正確的是(　　)
解析　從釋放手柄開始到彈珠觸碰障礙物之前的過程，彈簧對彈珠做正功，其機械能不守恒，故A錯誤；從釋放手柄到彈珠離開彈簧的過程中，彈簧的彈力先大于重力沿斜面向下的分力，后小于重力沿斜面向下的分力，彈珠先加速后減速，所以其動能先增大后減小，
BC
7.(多選)如圖所示，在固定的光滑水平桿上，質(zhì)量為m的物體P用輕繩跨過光滑的滑輪O、O′連接質(zhì)量為2m的物體Q，用手托住Q使整個系統(tǒng)靜止，此時輕繩剛好拉直，且AO＝L，OB＝h，ABA
8.如圖所示，套在光滑豎直桿上的物體A，通過輕質(zhì)細繩與光滑水平面上的物體B相連接，A、B質(zhì)量相同。現(xiàn)將A從與B等高處由靜止釋放，不計一切摩擦，重力加速度為g，當細繩與豎直桿間的夾角為θ＝60°時，A下落的高度為h，此時物體B的速度為(　　)
9.如圖，兩小球A、B系在跨過定滑輪的細繩兩端，小球A的質(zhì)量mA＝3 kg，小球B的質(zhì)量mB＝1 kg，最初用手將A、B球托住使系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)，繩上恰沒有張力，此時A球比B球高h＝1.2 m。現(xiàn)將A、B球同時釋放，g取10 m/s2，求：
解析　(1)釋放前，以B球所在位置的平面為重力勢能的參考平面，A球的重力勢能為EpA＝mAgh＝36 J。
(2)釋放瞬間，對A、B球分別由牛頓第二定律可得mAg－T＝mAa，T－mBg＝mBa，聯(lián)立解得a＝5 m/s2。
10.內(nèi)壁及邊緣均光滑的半球形容器的半徑為R，質(zhì)量分別為M和m(M>m)的兩個小球(可看作質(zhì)點)用不可伸長的細線相連。現(xiàn)將M由靜止從容器邊緣內(nèi)側(cè)釋放，如圖所示，試計算M滑到容器底時，M、N兩小球的速率。
11.如圖所示，傾角為θ的光滑斜面上放有兩個質(zhì)量均為m的小球A和B，兩球之間用一根長為L且與斜面平行的輕桿相連，下面的小球B離斜面底端的高度為h。兩球從靜止開始下滑，不計球與水平地面碰撞時的機械能損失，且地面光滑，重力加速度為g，求：
(1)兩球在光滑水平地面上運動時的速度大小；
(2)此過程中桿對A球所做的功。
12.如圖所示，兩個質(zhì)量均為m的小環(huán)A、B用長為R的輕桿連接，兩小環(huán)可以在半徑為R、固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓環(huán)上滑動，開始時將A固定在圓環(huán)的最高點。求：
(1)輕桿對B的拉力大小；
(2)將A釋放后，當A滑到最低點時，A小環(huán)的速度大小。
培優(yōu)加強練
(2)從釋放到A滑到最低點的過程中，如圖所示

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