資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第二單元長方體（一）（知識梳理+拔高訓練）二
知識梳理
知識點一：體積與容積
物體所占空間的大小，是物體的體積。容器所能容納物體的體積，是容器的容積。
知識點二：體積單位
1.認識常見的體積單位
常見的體積單位有立方厘米、立方分米、立方米，分別記作厘米3（cm3）、分米3（dm3）、米3（m3）。
2.認識常見的容積單位
計量較大容器的容積時用升（L），計量較小容器的容積時用毫升(mL)。知識點三：長方體的體積
知識點三：長方體的體積
1.探究長、正方體體積的計算方法
長方體的體積= 長× 寬× 高,V = abh
正方體的體積= 棱長× 棱長× 棱長,V= a×a×a= a3
2.長、正方體體積計算的通用公式
長方體（正方體）的體積= 底面積× 高，用公式表示為:
V = Sh。
已知長方體的底面積、高、體積三個量中的任意兩個量，可以求得第三個量。
知識點四：體積單位的換算
1.相鄰兩個體積單位之間的進率是1000。
2.1 m =1000 dm ，1 dm =1000 cm ，1 L=1000 mL
知識點五：有趣的測量
在測量不規則物體的體積時，水面升高部分水的體積（或水滿杯時溢出的水的體積）等于不規則物體的體積。
拔高訓練
一、填空題（共20分）
1．（2分）一個表面積為110平方厘米的長方體正好切成5個相同的小正方體，每個小正方體的表面積是( )平方厘米。
2．（2分）一個長方體木塊的表面積為42cm2，正好可以截成三個完全一樣的小正方體（如圖），每個小正方體的表面積是( )cm2。
3．（2分）把一個長15分米，寬8分米，高6分米的長方體截成兩個同樣的長方體，則它的表面積最多增加( )平方分米，至少增加( )平方分米。
4．（2分）如圖，一個大正方體的表面積是12dm2，把它分成兩個完全相同的長方體，每個長方體的表面積是( )dm2。
5．（2分）一個長方體底面是邊長為8cm的正方形，高為20cm，這個長方體的棱長總和是( )cm。
6．（2分）一個長方體的棱長總和是64厘米，它的底面是一個周長為24厘米的長方形，它的高是( )厘米。
7．（2分）下圖是正方體的展開圖，折疊后“學”字對面的字是( )。
8．（2分）如下圖，把一些棱長是5cm的小正方體堆放在墻角，這堆小正方體露在外面的面積是( )cm2。
9．（2分）如圖，三個正方體的棱長分別為1厘米、2厘米、4厘米，此組合體的表面積是( )平方厘米。
10．（2分）一個長5分米、寬3分米、高4分米的石膏長方體，最好選用面積為( )平方分米的面為底面放置最安全。
二、判斷題（共10分）
11．（2分）一個物體從一個面看到正方形，這個物體一定是正方體。( )
12．（2分）因為長方體有6個面，8個頂點，12條棱，所以有6個面，8個頂點，12條棱的幾何體一定是長方體。( )
13．（2分）從一個棱長為2厘米的正方體（如圖1）的一個頂點處挖去一個棱長為1厘米的小正方體，得到圖2，圖1和圖2的表面積相等。( )
14．（2分）3個相同的正方體放在墻角處，至少有9個面露在外面。( )
15．（2分）一個長方體的長、寬、高都擴大到原來的2倍。它的棱長之和就擴大到原來的8倍。( )
三、選擇題（共10分）
16．（2分）下面四個圖形中，不能折疊成正方體的是（ ）。
A． B． C． D．
17．（2分）用一根長60厘米的鐵絲，可以焊成一個長6厘米，寬4厘米，高（ ）厘米的長方體框架。
A．2 B．3 C．4 D．5
18．（2分）將按下圖的方式擺放在桌面上，則第⑥個圖形有（ ）個面露在外面。

A．20 B．7 C．30 D．36
19．（2分）兩個棱長5cm的正方體拼成一個長方體，表面積是（ ）cm2。
A．25 B．150 C．250 D．300
20．（2分）把一個棱長為5cm的正方體鋸成兩個小長方體，表面積比原來增加了（ ）cm2。
A．50 B．25 C．20 D．10
四、計算題（共6分）
21．（6分）求下列圖形的表面積。（單位：）
五、作圖題（共6分）
22．（6分）下面是不完整的正方體展開圖，請把它補充完整。
六、解答題（共48分）
23．（6分）教室的長12米、寬8米、高3.5米，要粉刷教室的四面墻壁和頂棚（除去門窗和黑板的面積15.5平方米），共要粉刷多大的面積？
24．（6分）一個長方體禮盒長20厘米、寬15厘米，高12厘米，笑笑要把它的各面都貼上彩紙，至少需要多少平方厘米的彩紙？
25．（6分）游泳中心新建了一個長50米、寬25米、深2米的游泳池。現要在游泳池四周和底面都貼上瓷磚，如果每平方米需要32元，一共需要多少元？
26．（6分）一個長方體，如果高減少，就變成了一個棱長的正方體。那么長方體變成正方體后的表面積減少了多少？
27．（6分）母親節要到了，小英準備送媽媽一件禮物。如圖，要用線帶包裝禮品盒，禮品盒是一個長25厘米、寬10厘米、高15厘米的長方體，絲帶的接頭部分長30厘米，這個禮品盒要用多長的絲帶？
28．（6分）學校要粉刷教室的四周墻壁和天花板。已知教室的長是，寬是，高是，扣除門窗的面積是。每平方米所需涂料的價錢是6.5元，粉刷這個教室一共需要花多少元？
29．（6分）如圖，三種不同長度的小棒分別有8根、6根、4根，請你搭出三種不同的長方體，并完成下表。
長（） 寬（） 高（）
30．（6分）一個工藝品盒的長是8厘米，寬是6厘米，高是2厘米，現將4個這樣的工藝品盒包裝在一起，至少需要多少平方厘米的包裝紙？（接口處忽略不計）
參考答案
1．30
【分析】根據題意，一個長方體可以切成5個小正方體，由此可知，這個長方體的底面是正方形，長方體的長是寬（高）的5倍，這個長方體的表面積相當于一個底面面積的22倍，由此可以求出長方體底面的面積，再根據正方體的表面積公式：S＝6a2，把數據代入公式解答。
【詳解】根據分析可知：
（平方厘米）
【點睛】此題主要考查長方體、正方體表面積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。
2．18
【分析】三個小正方體拼在一起組成原來的長方體，減少了4個面，所以這個長方體的表面積相當于小正方體的14個面的面積，由此可以求出小正方體的一個面的面積，進而求出每個小正方體的表面積；據此解答。
【詳解】42÷14×6
＝3×6
＝18（cm2）
答：每個小正方體的表面積是18cm2。
【點睛】此題解題的關鍵應明確把一個長方體分成n個小正方體，切n－1次，增加2（n－1）個面。
3． 240 96
【分析】根據題意，把這個長方體切成兩個同樣的小長方體，要使表面積增加的最多，也就是與原來長方體的最大面平行切開；要使表面積增加的最少，也就是與原來長方體的最小面平行切開；表面積增加兩個切面的面積，根據長方形的面積公式：S＝ab，把數據代入公式解答。
【詳解】增加最大：15×8×2
＝120×2
＝240（平方分米）
增加最小：8×6×2
＝48×2
＝96（平方分米）
【點睛】利用立體圖形的切拼方法，以及長方形的面積公式解答問題；關鍵明確如果截成最大面與最小面。
4．8
【分析】把一個正方體平均分成兩個完全相同的長方體，增加了2個面，則每個長方體的表面積是正方體4個面的面積，據此解答。
【詳解】12÷6×4
＝2×4
＝8（dm2）
【點睛】此題考查了立體圖形的切拼，把正方體分成兩個長方體，表面積增加了兩個面。
5．144
【分析】由題意可知長方體的長是8cm，寬是8cm，高是20cm，根據長方體的棱長和＝（a＋b＋h）×4，列式解答即可。
【詳解】（8＋8＋20）×4
＝（16＋20）×4
＝36×4
＝144（cm）
這個長方體的棱長總和是144cm。
【點睛】此題主要考查長方體棱長的應用，根據公式解答即可。
6．4
【分析】長方體特征為：6個面都是長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形），相對的面面積和周長都相等，12條棱分3組，每組4條棱的長度相等，長方體的棱長總和＝（長＋寬＋高）×4。此題中一個長方體的棱長總和是64厘米，它的底面是一個周長為24厘米的長方形，則它的另外一個底面周長同樣也是24厘米，用棱長和減去兩個底面的周長之和，可得4條高的長度，除以4即為1條高的長度。
【詳解】4條高的長度為：
64－24×2
＝64－48
＝16（厘米）
1條高的長度為：
16÷4＝4（厘米）
【點睛】此題主要考查了對長方體特征的掌握程度，同時要求對棱長總和計算方法能夠聯系題目靈活運用。
7．知
【分析】正方體的展開圖相鄰的面不相對，相對的面不相鄰，相對的面中間隔開一個；據此解答。
【詳解】由正方體展開圖的特征可知：“學”字對面的字是“知”；“愛”字對面的字是“習”；“長”字對面的字是“識”。
所以折疊后“學”字對面的字是“知”。
8．250
【分析】
從圖意可知：露在外面的面有：從前面看，有3個小正方形；從右面看，有3個小正方形；從上面看，有4個小正方形。露在外面的面一共有3＋3＋4＝10個小正方形，先求一個正方形的面積，再乘10即可求出露在外面的面積。據此解答。
【詳解】5×5×（3＋3＋4）
＝25×10
＝250（cm2）
這堆小正方體露在外面的面積是250cm2。
9．116
【分析】觀察圖形可知，用原來三個正方體的表面積之和減去遮住的四個正方形面積即是此組合體的表面積。正方體的表面積＝棱長×棱長×6，正方形的面積＝邊長×邊長，據此分別代入數據進行計算。
【詳解】4×4×6＋2×2×6＋1×1×6
＝96＋24＋6
＝126（平方厘米）
126－2×2×2－1×1×2
＝126－8－2
＝116（平方厘米）
【點睛】本題考查組合體的表面積。明確組合體表面積的意義及遮住的四個正方形面積的計算是解題的關鍵。
10．20
【分析】要想放置最安全，就要選擇占地面積最大的面，根據長方體特征，進行解答。
【詳解】以長為5分米，寬為3分米為面占地面積：5×3＝15（平方分米）
以長為5分米，高為4分米為面占地面積：5×4＝20（平方分米）
以寬為4分米，高為3分米為面占地面積：4×3＝12（平方分米）
20＞15＞12
最好選用20平方分米的面為地面放置最安全。
【點睛】本題考查長方體六個面的面積大小的比較，根據長方體的特征，解答問題。
11．×
【分析】正方體的6個面都是正方形，從任何一個面看都是正方形。一般情況下長方體的6個面都是長方形。也有一對面是正方形，其它4個面是長方形的長方體，此時從一個面看可能看到正方形，據此解答。
【詳解】由分析可知，當一個長方體中有一對面是正方形時，從一個面看到的可能是正方形，原題說法錯誤。
故答案為：×
【點睛】此題考查了長方體和正方體的特征，明確長方體的特殊情況，當有4個面相同時，另外2個面是正方形。
12．×
【分析】長方體有6個面，8個頂點，12條棱，長方體的每組相對的面完全相等，相對的四條棱長相等；但是有6個面，8個頂點，12條棱不一定是長方形，如下圖，棱臺有6個面，8個頂點，12條棱，但它不是長方體，據此解答。
【詳解】由分析可知，棱臺也有12條棱、6個面、8個頂點，但不一定是長方體。
原題干說法是錯誤的。
故答案為：×
【點睛】根據長方體的特征進行解答。
13．√
【分析】觀察圖形可知，從頂點處挖去一個小正方體，小正方體外露的三個面正好可以補上原正方體缺失部分，所以表面積不變；據此判斷即可。
【詳解】根據分析可知，挖去小正方體后，剩下的圖形的表面積與原正方體的面表積相等；原題說法正確。
故答案為：√
【點睛】本題考查了幾何體表面積的計算，明確挖去的正方體中相對的面的面積都相等是此題關鍵。
14．×
【分析】將3個相同的正方體放在墻角處，如圖有三種不同的方法：
，數出露在外面的面一共有幾個，再進一步解答即可。
【詳解】由分析可知：可以擺如下圖所示的三種情況。
以上三種直觀圖露在外面的面都是7個，原說法錯誤。
故答案為：×
【點睛】此題考查立體圖形的拼組，解答此題的關鍵是弄清楚每個圖形露在外面的面的個數。
15．×
【分析】假設長方體的長、寬、高分別為a、b、c，則擴大后長、寬、高分別為2a、2b、2c；再根據棱長總和公式：棱長總和＝（長＋寬＋高）×4，分別求出擴大前和擴大后棱長總和，再用擴大后棱長總和除以擴大前棱長總和，即可解答。
【詳解】假設長方體的長、寬、高分別為a、b、c，擴大后長、寬、高分別為2a、2b、2c；
長方體棱長擴大前棱長總和：（a＋b＋c）×4
長方體棱長擴大后棱長總和：（2a＋2b＋2c）×4
＝2×（a＋b＋c）×4
＝（a＋b＋c）×8
（a＋b＋c）×8÷（a＋b＋c）×4＝2
一個長方體的長、寬、高都擴大到原來的2倍。它的棱長之和就擴大到原來的2倍。
原題干說法錯誤。
故答案為：×
【點睛】熟練掌握長方體的棱長總和計算公式并能靈活利用是解答本題的關鍵。
16．B
【分析】正方體的展開圖類型：（1）“1—4—1”型：中間4個一連串，兩邊各一隨便放；
（2）“2—3—1”型：二三緊連錯一個，三一相連一隨便；
（3）“2—2—2”型：兩兩相連各錯一；
（4）“3—3”型：三個兩排一對齊；
不能圍成正方體的展開圖類型：
（1）一條線上不過四；
（2）“田字形”“七字型”“凹字型”；據此解答。
【詳解】由分析可知：
A.屬于“2—3—1”型，能折疊成正方體；
B．不屬于正方體的展開圖類型，不能折疊成正方體，折疊時有重疊的面；
C．屬于“2—3—1”型，能折疊成正方體；
D．屬于“1—4—1”型，能折疊成正方體。
故答案為：B
【點睛】本題考查正方體展開圖。有11種情況，分四種類型： “1－4－1”結構、“2－2－2”結構、“3－3”結構和“2－3－1”結構。
17．D
【分析】用一根60厘米長的鐵絲，恰好可以焊成長方體，這個長方體的棱長總和就是60厘米，長方體的棱長總和＝（長＋寬＋高）×4，用棱長總和除以4減去長和寬，即可求出高，據此解答。
【詳解】60÷4－（6＋4）
＝15－10
＝5（厘米）
用一根長60厘米的鐵絲，可以焊成一個長6厘米，寬4厘米，高5厘米的長方體框架。
故答案為：D
【點睛】此題主要考查長方體的棱長總和公式的靈活運用，結合題意分析解答即可。
18．A
【分析】1個小正方體有5個面露在外面，再增加一個正方體，2個小正方體有8個面露在外面；3個小正方體有11個面露在外面；每增加1個小正方體就增加3個面。由此相加即可求解。
【詳解】5＋3＋3＋3＋3＋3
＝8＋3＋3＋3＋3
＝11＋3＋3＋3
＝14＋3＋3
＝17＋3
＝20（個）
將按下圖的方式擺放在桌面上，則第⑥個圖形有20個面露在外面。

故答案為：A
【點睛】解答此題應根據題意，進行推導，得出規律：即1個小正方體露出5個面，每增加1個小正方體增加3個面；進行解答即可。
19．C
【分析】兩個正方體拼成一個長方體后，表面積比原來是減少了兩個正方體的面的面積，由此即可解答。
【詳解】5×5×（6×2－2）
＝25×10
＝250（cm2）
這個長方體的表面積是250cm2。
故答案為：C
【點睛】抓住兩個正方體拼組長方體的方法，得出表面積是減少了2個正方體的面的面積。
20．A
【分析】根據題意可知：把1個棱長5厘米的正方體木塊截成兩個完全一樣的長方體，表面積增加了兩個截面的面積，根據正方形的面積公式：s＝a2，把數據代入公式解答。
【詳解】5×5×2
＝25×2
＝50（cm2）
表面積增加了50 cm2。
故答案為：A
【點睛】此題主要考查正方形面積公式的靈活運用，關鍵是明確：把1個棱長5厘米的正方體木塊截成兩個完全一樣的長方體，表面積增加了兩個截面的面積。
21．304cm2；384cm2
【分析】（1）根據，代入數據計算即可。
（2）根據正方體的表面積＝棱長×棱長×6，代入數據計算即可。
【詳解】（1）
（cm2）
（2）
（cm2）
22．見詳解
【分析】根據正方體展開圖，可把此圖補充成正方體展開圖的“1－3－2”型，即在中行左邊添加一個相同的正方形或在中列的上面添加一個相同的正方形。
【詳解】
【點睛】本題主要是考查正方體展開圖的特征，正方體展開圖有11種特征，分四種類型，即：第一種：“1－4－1”結構，即第一行放1個，第二行放4個，第三行放1個；第二種：“2－2－2”結構，即每一行放2個正方形，此種結構只有一種展開圖；第三種：“3－3”結構，即每一行放3個正方形，只有一種展開圖；第四種：“1－3－2”結構，即第一行放1個正方形，第二行放3個正方形，第三行放2個正方形。
23．220.5平方米
【分析】因為地面不要粉刷，在教室的四面墻壁和頂棚粉刷，用長方體表面積公式：S＝2ab＋2ah＋2bh減去一個下底面積，代入數據求解最后減去門窗和黑板的面積即可；
【詳解】由分析可得：
12×8＋12×3.5×2＋8×3.5×2－15.5
＝96＋42×2＋28×2－15.5
＝96＋84＋56－15.5
＝180＋56－15.5
＝236－15.5
＝220.5（平方米）
答：共要粉刷220.5平方米的面積。
【點睛】本題主要考查了長方體表面積公式的應用，需要熟練掌握公式的同時還要會和題目中的實際情況相結合。
24．1440平方厘米
【分析】根據題意，求貼彩紙的面積，就是求這個長方體的表面積，根據長方體表面積公式：表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，代入數據，即可解答。
【詳解】（20×15＋20×12＋15×12）×2
＝（300＋240＋180）×2
＝（540＋180）×2
＝720×2
＝1440（平方厘米）
答：至少需要1440平方厘米的彩紙。
【點睛】熟練掌握長方體表面積公式是解答本題的關鍵。
25．49600元
【分析】根據題意，先求貼瓷磚的面積，即長方體游泳池5個面積的面積和；根據長方體表面積公式：表面積＝長×寬＋（長×高＋寬×高）×2，代入數據，求出貼瓷磚的面積，再乘32，即可求出需要的錢數。
【詳解】[50×25＋（50×2＋25×2）×2]×32
＝[1250＋（100＋50）×2]×32
＝[1250＋150×2]×32
＝[1250＋300]×32
＝1550×32
＝49600（元）
答：一共需要49600元。
【點睛】熟練掌握長方體表面積公式是解答本題的關鍵。
26．240平方厘米
【分析】根據題意，一個長方體如果高減少6cm，就變成一個棱長10cm的正方體，長方體的長＝長方體的寬＝正方體棱長＝10cm；求減少部分的面積，就是一個長是10cm，寬是10cm，高是6cm的長方體的側面積；且這四個面相等；根據長方形面積公式：長×高，代入數據，即可解答。
【詳解】10×6×4
＝60×4
＝240（cm2）
答：長方體變成正方體后的表面積減少了240平方厘米。
【點睛】解答本題的關鍵是明確減少后的長方體的長與寬和正方體棱長的關系。
27．160厘米
【分析】由圖可知：包裝禮品盒所需線帶的長度等于長方體的2條長加上2條寬加上4條高，再加上接頭部分長度。
【詳解】
＝160（厘米）
答：這個禮品盒要用160厘米的絲帶。
【點睛】此題主要考查的目的是理解掌握長方體的特征，關鍵是弄清需要求哪幾條棱的長度。
28．780元
【分析】根據題意可知，求長方體5個面的面積，再減去門窗的面積，根據長方體表面積公式：長×寬＋（長×高＋寬×高）×2，求出表面積，最后再乘6.5元，就是粉刷這個教室一共需要的錢數。
【詳解】8×6＋（8×3＋6×3）×2－12
＝48＋（24＋18）×2－12
＝48＋42×2－12
＝48＋84－12
＝132－12
＝120（平方米）
120×6.5＝780（元）
答：粉刷這個教室一共需要花780元。
【點睛】本題考查長方形表面積公式的應用，注意是5個面的面積。
29．見詳解
【分析】（1）根據長方體有12條棱，相對的四條棱長度相等，按長度可分為三組，每一組有4條棱，可以用15cm、10cm、8cm長的小棒各4根，搭出一個長、寬、高分別是15cm、10cm、8cm的長方體；
（2）根據長方體有12條棱，相對的四條棱長度相等，按長度可分為三組，每一組有4條棱，可以用15cm長的小棒8根，10cm長的小棒4根，搭出一個長、寬、高分別是15cm、15cm、10cm的長方體；
（3）根據長方體有12條棱，相對的四條棱長度相等，按長度可分為三組，每一組有4條棱，可以用15cm長的小棒8根，8cm長的小棒4根，搭出一個長、寬、高分別是15cm、15cm、8cm的長方體。
【詳解】根據分析可得：
長（） 寬（） 高（）
15 10 8
15 15 10
15 15 8
【點睛】此題主要考查了長方體的特征和應用，要熟練掌握，進行解答。
30．320平方厘米
【分析】要想使包裝紙最省，只要把工藝品盒的最大面相對，使它們相對在一起后的表面積減少的最多即可；工藝品盒的最大面是8×6的面，把4個工藝品盒的8×6的面依次拼組在一起，此時這個拼組成的長方體的長是8cm，寬是6cm，高是2×4＝8cm，利用長方體的表面積公式S＝（ab＋ah＋bh）×2，代入數值計算即可。
【詳解】（8×6＋8×8＋6×8）×2
＝160×2
＝320（平方厘米）
答：至少需要320平方厘米的包裝紙。
【點睛】此題主要根據長方體的拼組方法和長方體的表面積的計算方法解決問題，關鍵是根據拼組方法得出表面積最小的拼組方法。
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