資源簡介

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第二單元長方體（一）（知識梳理+拔高訓練）一
知識梳理
知識點一：體積與容積
物體所占空間的大小，是物體的體積。容器所能容納物體的體積，是容器的容積。
知識點二：體積單位
1.認識常見的體積單位
常見的體積單位有立方厘米、立方分米、立方米，分別記作厘米3（cm3）、分米3（dm3）、米3（m3）。
2.認識常見的容積單位
計量較大容器的容積時用升（L），計量較小容器的容積時用毫升(mL)。知識點三：長方體的體積
知識點三：長方體的體積
1.探究長、正方體體積的計算方法
長方體的體積= 長× 寬× 高,V = abh
正方體的體積= 棱長× 棱長× 棱長,V= a×a×a= a3
2.長、正方體體積計算的通用公式
長方體（正方體）的體積= 底面積× 高，用公式表示為:
V = Sh。
已知長方體的底面積、高、體積三個量中的任意兩個量，可以求得第三個量。
知識點四：體積單位的換算
1.相鄰兩個體積單位之間的進率是1000。
2.1 m =1000 dm ，1 dm =1000 cm ，1 L=1000 mL
知識點五：有趣的測量
在測量不規則物體的體積時，水面升高部分水的體積（或水滿杯時溢出的水的體積）等于不規則物體的體積。
拔高訓練
一、填空題（共20分）
1．（2分）在一個棱長是5厘米的正方體的正中打一個邊長是2厘米的正方形孔洞（打通），打通后的立體圖形表面積是( )平方厘米。
2．（2分）“禮、樂、射、御、書、數”是古代讀書人必須學習的“六藝”。在正方體的6個面上分別寫著“六藝”中的一種，正方體展開后如圖，與“禮”字相對的是( )字。與“數”字相對的是( )字。
3．（2分）由15個棱長為的小立方塊搭成的幾何體如圖所示，它的表面積為( )。
4．（2分）將按下面的方式擺放在桌面上。4個按這種方式擺放，有( )個面露在外面，15個按這種方式擺放，有( )個面露在外面。
5．（2分）用4個棱長為4厘米的正方體拼成一個長方體，長方體的表面積可能是( )平方厘米；也可能是( )平方厘米。
6．（2分）一個長方體框架，長5厘米，寬4厘米，高3厘米，做這個框架共要( )厘米的鐵絲；若在它的表面貼上塑料板，共要( )平方厘米塑料板。
7．（2分）一個長是8cm、寬是6cm、高是5cm的長方體燈籠，它的棱長總和是( )cm，六個面中最大的面的面積是( )cm2。
8．（2分）如圖是一個“三階”魔方。魔方的六個面都涂上了顏色，請你觀察，三面涂色的小正方體有( )個，兩面涂色的小正方體有( )個。
9．（2分）用鐵絲圍一個長方體框架，使相交于同一個頂點的三條棱的長度分別是5cm、6cm、9cm，則至少需要長( )cm的鐵絲。
10．（2分）把3個棱長是5厘米的正方體木塊粘合成一個長方體，表面積比原來的3個小正方體表面積的和減少( )平方厘米。
二、判斷題（共10分）
11．（2分）在畫長方體時一般只畫出三個面，這是因為長方體最多同時只能看到三個面。( )
12．（2分）如圖是5個小正方體堆放在墻角處，露在外面的面有10個。( )
13．（2分）長方體和正方體都有8個頂點。( )
14．（2分）將一個長方體分割成2個長方體，2個長方體的表面積之和與原長方體的表面積相比，沒有發生變化。( )
15．（2分）如果一個長方體和一個正方體的所有棱長之和相等，那么它們的表面積也一定相等。( )
三、選擇題（共10分）
16．（2分）一個長方體的長、寬、高分別是3厘米、2厘米、1厘米，它的棱長總和是（ ）。
A．6厘米 B．12厘米 C．18厘米 D．24厘米
17．（2分）一個家電的形狀近似長方體，其長是60cm，寬50cm，高180cm，它最有可能是（ ）。
A．電腦 B．電視機 C．洗衣機 D．電冰箱
18．（2分）下圖中，甲、乙兩個立體圖形的表面積（ ）。

甲 乙
A．甲大 B．乙大 C．一樣大 D．無法確定
19．（2分）把3個棱長是2厘米的小正方體拼成一個長方體，表面積減少了（ ）。
A．32平方厘米 B．16平方厘米 C．8平方厘米 D．4平方厘米
20．（2分）下面圖形不是正方體展開圖的是（ ）。
A． B． C． D．
四、計算題（共6分）
21．（6分）計算下面圖形的表面積。
五、作圖題（共6分）
22．（6分）下圖是一個長方體表面展開圖的一半，請把展開圖補充完整。（畫出兩種）
六、解答題（共48分）
23．（6分）外賣給我們的生活帶來了很大的便利，這種便利離不開外賣人員的辛苦付出。淘氣的叔叔是一個外賣騎手，下圖是他的外賣保溫包的示意圖，做一個這樣的保溫包至少需要多少平方厘米的材料？（重疊部分忽略不計）
24．（6分）張亮想按照如圖方式，在盒子上扎根帶子，另外要剩25厘米用來打蝴蝶結。張亮需要的帶子長多少厘米？
25．（6分）一間教室長是8米，寬是6米，高是3.5米，除去門窗和黑板面積為21.6平方米。現要粉刷教室的四壁和頂棚，如果每平方米需0.25千克的石灰，一共需多少千克的石灰？
26．（6分）如下圖，一塊長40厘米、寬25厘米的長方形鐵皮，從四個角切掉邊長為5厘米的正方形，焊接成一個無蓋的長方體鐵盒，這個鐵盒的表面積是多少平方厘米？
27．（6分）航模組的同學在特長活動的時候制作模型，把一個長方體的6個面都涂上藍色，然后把這個長方體切割成棱長為1厘米的小正方體。如果長方體的長、寬、高分別是10厘米、6厘米、5厘米，那么3面、2面、1面涂色的小正方體各有多少個？
28．（6分）將5個棱長為30厘米的正方體紙箱堆在墻角處（如下圖），露在外面的面積是多少平方厘米？
29．（6分）如圖，包裝一個長方體紙盒，選擇下面哪種尺寸的包裝紙比較合適？與同伴交流你的想法。（單位：）
30．（6分）一個長方體形狀的游泳池，長50米，寬25米，深2米。如果要給游泳池的四周和底面貼上瓷磚，需要多少平方米的瓷磚？
參考答案
1．182
【分析】這個立體圖形的表面積等于正方體的表面積減去兩個邊長是2厘米的正方形面積，再加上4個長是5厘米，寬是2厘米的長方形面積；根據正方形表面積公式：表面積＝棱長×棱長×6；正方形面積公式：面積＝邊長×邊長；長方形面積公式：面積＝長×寬；代入數據，即可解答。
【詳解】5×5×6－2×2×2＋5×2×4
＝25×6－4×2＋10×4
＝150－8＋40
＝142＋40
＝182（平方厘米）
在一個棱長是5厘米的正方體的正中打一個邊長是2厘米的正方形孔洞（打通），打通后的立體圖形表面積是182平方厘米。
【點睛】利用正方體表面積公式、正方形面積公式和長方形面積公式進行解答，關鍵明確打一個空洞，增加的面積與減少的面積。
2． 御 樂
【分析】正方體相對的面不相連；相對的兩個小正方形（中間隔著一個小正方形）是正方體的兩個對面，“z”字兩端處的小正方形是正方體的對面。據此解答。
【詳解】通過分析可得：與“射”字相對的字是“書”字；與“禮”字相對的是“御”字；與“數”字相對的是“樂”字。
3．50
【分析】首先數出露出的面的數量，前、后面露出的面數量都是7個，左、右面露出的面的數量都是10個，上、下面露出的面的數量都是8個。那么露出的面一共是50個，再根據正方形的面積計算公式正方形的面積＝邊長邊長，求出邊長為1的正方形的面積，再乘50即可解答。
【詳解】前、后面露出的面數量都是7個，左、右面露出的面的數量都是10個，上、下面露出的面的數量都是8個。
（個）
（）
由15個棱長為的小立方塊搭成的幾何體如圖所示，它的表面積是50。
4． 14 47
【分析】一個小正方體放桌子上會有5個面露在外面，5＝1×4＋1，兩個小正方體放在桌子上會有8個面露在外面，8＝2×3＋2三個小正方體放在桌子上會有11個面露在外面，11＝3×3＋2，據此即可知道n個這種方式擺放會有（3n＋2）個面露在外面，把n＝4和n＝15代入式子即可求解。
【詳解】由分析可知：
4×3＋2
＝12＋2
＝14（個）
15×3＋2
＝45＋2
＝47（個）
4個按這種方式擺放，有14個面露在外面，15個按這種方式擺放，有47個面露在外面。
【點睛】本題主要考查數與形，關鍵是看清楚圖形的變化規律是解題的關鍵。
5． 256 288
【分析】把4個棱長是4厘米的正方體拼成一個長方體，如下圖：
左邊的長方體的長是8厘米，寬是8厘米，高是4厘米，右邊的長方體的長是16厘米，寬是4厘米，高是4厘米，根據長方體表面積公式：長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，把數據代入解答即可。
【詳解】（8×8＋8×4＋8×4）×2
＝（64＋32＋32）×2
＝128×2
＝256（平方厘米）
4×4＝16（厘米）
（16×4＋16×4＋4×4）×2
＝（64＋64＋16）×2
＝144×2
＝288（平方厘米）
長方體的體積可能是256平方厘米，也可能是288平方厘米。
【點睛】掌握用若干個小正方體拼成長方體的方法，找到長方體的長、寬、高，以及靈活運用長方體的表面積公式是解題的關鍵。
6． 48 94
【分析】由題意可知，求鐵絲的長度就是求長方體的總棱長，根據長方體的總棱長公式：L＝（a＋b＋h）×4，據此代入數值進行計算即可；求塑料板的面積就是求長方體的表面積，根據長方體的表面積公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，據此進行計算即可。
【詳解】（5＋4＋3）×4
＝12×4
＝48（厘米）
（5×4＋5×3＋4×3）×2
＝（20＋15＋12）×2
＝47×2
＝94（平方厘米）
則做這個框架共要48厘米的鐵絲；若在它的表面貼上塑料板，共要94平方厘米塑料板。
7． 76 48
【分析】長方體棱長總和=（長＋寬＋高）×4，在長方體的6個面中，由較長的長和寬組成的面是面積最大的面。據此可得出答案。
【詳解】它的棱長總和為：
（cm）
六個面中最大面積的面是長和寬組成的面，面積為：（cm2）
8． 8 12
【分析】
據正方體表面涂色的特點可知小正方體涂色面的位置：三面涂色的小正方體在頂點處，兩面涂色的小正方體在每條棱上；據此解答。
【詳解】從圖中可知，這個魔方的每條棱上有3個小正方體。
三面涂色的小正方體在魔方的頂點處，每個頂點上有1個，8個頂點共有8個；
兩面涂色的小正方體位于魔方的棱上，每條棱上有1個，12條棱共有12個。
所以，三面涂色的小正方體有8個，兩面涂色的小正方體有12個。
9．80
【分析】題目中的相交于同一個頂點的三條棱的長度就是長方體的長、寬、高，根據長方體的棱長總和＝（長＋寬＋高）×4，代入數據計算即可。
【詳解】
（cm）
用鐵絲圍一個長方體框架，使相交于同一個頂點的三條棱的長度分別是5cm、6cm、9cm，則至少需要長80cm的鐵絲。
10．100
【分析】這個長方體的表面積比3個正方體的表面積和減少了4個面的面積，即減少的面積＝棱長×棱長×4；代入數據計算即可。
【詳解】5×5×4
＝25×4
＝100（平方厘米）
所以表面積比原來的3個小正方體表面積的和減少100平方厘米。
11．√
【分析】長方體有6個面，6個面都是長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形），相對的面的面積相同。根據長方體的特征和觀察物體的角度及觀察的范圍，從某個角度觀察一個長方體最多能看到它的3個面。由此解答。
【詳解】在畫長方體時一般只畫出三個面，這是因為長方體最多同時只能看到三個面。
故答案為：√
12．√
【分析】分別數出從各個方向看到的這些正方形的面數，相加即可。
【詳解】從正面看，可以看到2個正方形；
從右面看，可以看到3個正方形；
從上面看，可以看到5個正方形。
露在外面的面有：
2＋3＋5
＝5＋5
＝10（個）
故答案為：√
【點睛】此題考查了數立體圖形露在外面的面的個數，按照觀察方位順序逐一數出即可。
13．√
【分析】根據長方體、正方體的特征，長方體和正方體都有6個面、12條棱、8個頂點。據此判斷即可。
【詳解】根據長方體、正方體的特征可知：長方體和正方體都有8個頂點這種說法是正確的。
故答案為：√
【點睛】此題考查的目的是理解掌握長方體、正方體的共同特征。
14．×
【分析】兩個立體圖形（比如正方體之間、圓柱之間）拼起來，因為面數目減少，所以表面積減少；反之，一個立體圖形分割開，因為面數目增加，所以表面積增加；據此解答。
【詳解】將一個長方體分割成2個長方體，2個長方體的表面積之和與原長方體的表面積相比，增加了兩個切面，表面積增加；原說法錯誤。
故答案為：×
【點睛】本題考查立體圖形的切拼及長方體表面積的認識。
15．×
【分析】解答此題應根據題意，通過舉例進行分析、進而得出結論。
【詳解】例如：長方體的長寬高分別為4厘米、3厘米、2厘米，棱長之和為
（4＋3＋2）×4
＝（7＋2）×4
＝9×4
＝36（厘米）
表面積則為：
（4×3＋4×2＋3×2）×2
＝（12＋8＋6）×2
＝（20＋6）×2
＝26×2
＝52（平方厘米）
與其棱長之和相等的正方體的棱長：36÷12＝3（厘米）
其表面積：
3×3×6
＝9×6
＝54（平方厘米）
所以如果一個長方體和一個正方體棱長和相等，那么他們的表面積一定相等，是錯的。
故答案為：×
【點睛】此題應根據長方體和正方體的棱長總和與棱長之間的關系及長方體和正方體的表面積計算方法進行解答。
16．D
【分析】長方體的棱長之和＝（長＋寬＋高）×4，把題目中的數據代入公式計算，即可求得這個長方體的棱長總和。
【詳解】（3＋2＋1）×4
＝6×4
＝24（厘米）
所以，它的棱長總和是24厘米。
故答案為：D
17．D
【分析】1厘米大概相當于一個成年人的指甲蓋的寬度，1分米大概相當于1張身份證的長度，1米大概相當于1塊地板磚的長度，1米＝100厘米，根據生活經驗以及數據的大小，選擇合適的計量單位。
【詳解】一個家電的形狀近似長方體，其長是60cm，寬50cm，高180cm，它最有可能是電冰箱。
故答案為：D
18．A
【分析】由圖可知，甲和乙兩個立體圖形除了去掉小正方體的部分露在外面的面不同，其它部分面積相同；甲去掉這個小正方體之前，這個小正方體露在外面的是2個小正方形，去掉小正方體之后露在外面的有4個小正方形，則甲立體圖形比原來完整正方體的表面積增加了4－2＝2（個）小正方形的面積；乙去掉這個小正方體之前，這個小正方體露在外面的有3個小正方形，去掉小正方體之后露在外面的還是3個小正方形，則乙立體圖形與原來完整正方體相比表面積沒有變化；從而可知甲立體圖形的表面積更大。據此解答。
【詳解】根據分析可知：
甲、乙兩個立體圖形的表面積：甲大。
故答案為：A
19．B
【分析】根據題意作圖如下：
從圖中可知：這個長方體的表面積比3個正方體的表面積和減少了4個面的面積，即減少的面積＝棱長×棱長×4；分別代入數據計算即可。
【詳解】2×2×4＝16（平方厘米）
把3個棱長是2厘米的小正方體拼成一個長方體，表面積減少了16平方厘米。
故答案為：B
20．C
【分析】正方體展開圖有11種特征，分四種類型，即：第一種：“1－4－1”結構，即第一行放1個，第二行放4個，第三行放1個；第二種：“2－2－2”結構，即每一行放2個正方形，此種結構只有一種展開圖；第三種：“3－3”結構，即每一行放3個正方形，只有一種展開圖；第四種：“1－3－2”結構，即第一行放1個正方形，第二行放3個正方形，第三行放2個正方形。據此逐項分析解答。
【詳解】
A．，符合正方體展開圖的“1－4－1”結構，是正方體展開圖；
B．，符合正方體展開圖的“2－2－2”結構，是正方體展開圖；
C．，不符合正方體展開圖的特征，不是正方體展開圖；
D．，符合正方體展開圖的“1－3－2”結構，是正方體展開圖。
不是正方體展開圖的是。
故答案為：C
21．54平方分米；376平方分米
【分析】根據正方體表面積＝棱長×棱長×棱長和長方體表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，代數即可解答。
【詳解】（1）3×3×6
＝9×6
＝54（平方分米）
（2）（10×6＋10×8＋6×8）×2
＝（60＋80＋48）×2
＝188×2
＝376（平方分米）
22．見詳解
【分析】依據長方體的特征，即相對的面面積相等，從而可以作出符合要求的圖。
【詳解】如圖：
23．10138平方厘米
【分析】根據長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，用（50×37＋50×37＋37×37）×2即可求出做一個這樣的保溫包至少需要的材料面積。
【詳解】（50×37＋50×37＋37×37）×2
＝（1850＋1850＋1369）×2
＝5069×2
＝10138（平方厘米）
答：做一個這樣的保溫包至少需要10138平方厘米的材料。
24．77厘米
【分析】根據圖形可知，所需帶子的長度等于2條長棱＋兩條寬棱＋4條高棱＋打結用的25厘米。由此列式解答。
【詳解】12×2＋8×2＋3×4＋25
＝24＋16＋12＋25
＝40＋12＋25
＝52＋25
＝77（厘米）
答：張亮需要的帶子長77厘米。
25．31.1千克
【分析】根據題意，粉刷教室的四壁和頂棚，即粉刷的是長方體的上面、前后面、左右面共5個面；根據“長×寬＋長×高×2＋寬×高×2”求出這5個面的面積之和，再減去門窗和黑板的面積，就是需粉刷的面積；最后用每平方米需石灰的質量乘粉刷的面積，即可求出一共需要石灰的總質量。
【詳解】8×6＋（8×3.5＋6×3.5）×2
＝48＋（28＋21）×2
＝48＋49×2
＝48＋98
＝146（平方米）
146－21.6＝124.4（平方米）
124.4×0.25＝31.1（千克）
答：一共需31.1千克的石灰。
26．900平方厘米
【分析】鐵盒的表面積＝長方形鐵皮的面積－切掉的4個正方形的面積，長方形面積＝長×寬，正方形面積＝邊長×邊長，據此列式解答。
【詳解】
（平方厘米）
答：這個鐵盒的表面積是900平方厘米。
27．3面涂色的有8個；2面涂色的有60個；1面涂色的有136個。
【分析】3面涂色的小正方體在長方體的頂點位置，共8個；2面涂色的小正方體在每條棱的中間，即在每條棱除頂點處的兩個小正方體外的中間位置，共有（10－2）×4＋（6－2）×4＋（5－2）×4＝60（個）；1面涂色的小正方體在每個面上除棱上的小正方體外的中間位置，在長10厘米、寬6厘米的面上，一面涂色的小正方形組成一個長10－2＝8（厘米）、寬6－2＝4（厘米）的長方形，這個長方形中共有8×4÷（1×1）＝32（個）小正方形，同理可求出在長10厘米、寬5厘米的面上和長6厘米、寬5厘米的面上涂色的小正方形的個數。小正方形的個數即小正方體的個數，所以1面涂色的小正方體有（10－2）×（6－2）×2＋（10－2）×（5－2）×2＋（6－2）×（5－2）×2＝136（個）。
【詳解】（10－2）×4＋（6－2）×4＋（5－2）×4
＝8×4＋4×4＋3×4
＝32＋16＋12
＝48＋12
＝60（個）
（10－2）×（6－2）×2＋（10－2）×（5－2）×2＋（6－2）×（5－2）×2
＝8×4×2＋8×3×2＋4×3×2
＝32×2＋24×2＋12×2
＝64＋48＋24
＝112＋24
＝136（個）
答：3面涂色的有8個，2面涂色的有60個，1面涂色的有136個。
28．9000平方厘米
【分析】先判斷出露在外面一共有多少個面，再根據正方形的面積＝邊長×邊長，用正方形一個面的面積乘露在外面的面的數量，所得結果即為露在外面的面積。
【詳解】露在外面一共有10個面。
30×30×10＝9000（平方厘米）
答：露在外面的面積是9000平方厘米。
29．見詳解
【分析】根據，代入數據計算長方體的表面積，再根據長方形的面積＝長×寬，代入數據計算兩種包裝紙的面積，結合實際情況，包裝紙的面積應該大于長方體的表面積，因為會浪費一些面積，據此解答。長方體的表面積展開圖如下：
（展開圖不唯一）
【詳解】
（平方厘米）
（平方厘米）
（平方厘米）
答：包裝紙①的面積雖然等于長方體紙盒的表面積，但是包裝時會有接頭且包裝紙①的寬度無法包住長方體紙盒的前面和后面，所以應該選包裝紙②。
30．1550平方米
【分析】求需要瓷磚的面積就是求長方體的表面積，長方體的表面積＝（長×寬＋寬×高＋長×高）×2，因為上面不需要貼瓷磚，所以需要減去一個底面積，據此解答。
【詳解】（50×25＋50×2＋25×2）×2－50×25
＝（1250＋100＋50）×2－50×25
＝1400×2－50×25
＝2800－1250
＝1550（平方米）
答：需要1550平方米的瓷磚。
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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