資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第二單元認識三角形和四邊形（知識梳理+拔高訓練）二
知識梳理
知識點一：圖形分類
四邊形容易變形，三角形具有穩定性。四邊形和三角形的這些特性在生產和生活中有著廣泛應用。
知識點二：三角形分類
判斷一個三角形是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形，關鍵是看它最大的角，最大的角是哪類角，它就屬于哪類三角形。
知識點三：三角形內角和
三角形的內角和不會隨著三角形的大小、形狀變化而發生變化，所有三角形的內角和都是180°。
知識點四：三角形邊的關系
三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。
知識點五：四邊形分類
四邊形按照邊的特點，可以把四邊形分為：平行四邊形、梯形和任意四邊形三大類。正方形和長方形都是特殊的平行四邊形。
拔高訓練
一、填空題（共20分）
1．（2分）如圖，凳子搖晃了，在凳子下邊斜著釘木條，凳子就可以正常使用了，這是運用了( )知識。
2．（2分）有一塊等腰三角形的菜地，它的周長是236米，腰長83米，這塊等腰三角形菜地的底邊長是( )米。
3．（2分）如圖，用小棒擺三角形，擺1個三角形用3根，擺2個三角形用5根，擺7個三角形用( )根小棒。
4．（2分）一根鐵絲可以圍成一個邊長6厘米的正方形，如果改圍成一個等邊三角形，那么這個等邊三角形的邊長是( )厘米。
5．（2分）如圖：一張三角形紙片被撕去一個角，撕去的角是( )°，原來這張紙片的形狀是( )角三角形。
6．（2分）一個等腰三角形的頂角是70°，底角是( )°。如果等腰三角形的一個底角是50°，頂角是( )°。
7．（2分）在三角形中，已知∠1＝58°，∠2＝32°，則∠3＝( )°，按角分，這是一個( )三角形。
8．（2分）用三根長度是整厘米的小棒圍成一個三角形，其中兩根小棒的長度分別是6厘米和9厘米，第三根小棒的長度最短是( )厘米，最長是( )厘米。
9．（2分）如圖是樂樂家的太陽能熱水器，其中的一段支架損壞，需要更換，則更換的支架長度要大于( )米，小于( )米。
10．（2分）東東這樣描述一個平面圖形：“它是一個四邊形，它有兩組對邊分別平行?！睎|東描述的圖形可能是( )。
二、判斷題（共10分）
11．（2分）有一組對邊平行的四邊形叫梯形。( )
12．（2分）如圖是一個等邊三角形和一個直角三角形組成的圖形，拼成的圖形的周長可能是21厘米。( )
13．（2分）自行車車架、房屋頂的三角架都是利用了三角形的穩定性設計的。( )
14．（2分）一個等腰三角形的頂角是140°，它的一個底角一定是20°。( )
15．（2分）一個三角形的三邊長分別為8厘米、5厘米、3厘米。( )
三、選擇題（共10分）
16．（2分）一個四邊形被遮住了一部分（如圖），這個四邊形可能是（ ）。
A．長方形 B．梯形 C．平行四邊形
17．（2分）如果三角形中有一個角是88°，那么這個三角形是（ ）。
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．不能確定
18．（2分）一個三角形中，至少有兩個（ ）。
A．鈍角 B．直角 C．銳角
19．（2分）已知兩根長度分別為7厘米和15厘米的小棒，再添上一根長度為整數的小棒搭成一個三角形，這根小棒至少是（ ）厘米。
A．9 B．10 C．8
20．（2分）知識就是力量，學習了三角形的知識很快就能根據三角形露出的一部分去做判斷。下列（ ）不能確定三角形的形狀。
A． B． C．
四、計算題（共6分）
21．（6分）如圖是三塊三角形玻璃打碎后留下的碎片，它們原來分別各是什么三角形？
五、作圖題（共6分）
22．（6分）在下面點子圖上畫一畫。
六、解答題（共48分）
23．（6分）選一選，哪種做法不容易變形？
24．（6分）用一根21厘米長的鐵絲圍成一個最大的等腰三角形。如果這個等腰三角形的其中一條邊長是9厘米。這個等腰三角形的其余兩條邊長分別是多少厘米？
25．（6分）張爺爺將一個長為4分米、寬為2分米的長方形鐵絲圈，改圍成一個最大的等邊三角形鐵絲圈。這個等邊三角形鐵絲圈的邊長是多少分米？
26．（6分）用一根鐵絲可以圍成一個邊長為6分米的正方形，如果用這根鐵絲圍一個等邊三角形，這個等邊三角形的邊長是多少？
27．（8分）在自制風箏活動中，同學們需將一根長12dm的竹條剪成三段（每段長度為整分米數）并首尾相連圍成一個三角形風箏框架。（圖中每段表示1dm）
（1）下圖是鵬鵬的剪法，他所剪出的三段竹條能否圍成三角形？請說明理由。
（2）如圖，田田先剪下5分米長的一段作為三角形的一條邊，接下來應再在哪里剪開，得到的三段竹條可圍成三角形？請在圖中畫“|”表示剪的位置。
（3）悅悅剪下的三段恰好圍成了三個內角都是60°的三角形。她是在哪兩個位置剪的？請在圖中畫“|” 表示出來。
28．（8分）我們佩戴的紅領巾的顏色是國旗紅，可用布、綢、緞等材料按照標準制作。分為小號、大號兩個規格。小號：底邊長100厘米、腰邊長60厘米。大號：底邊長120厘米、腰邊長72厘米。紅領巾中最大的角是120°。
（1）算式“100＋60×2”解決的問題是：
（2）紅領巾中另外兩個的角分別是多少度？
29．（8分）笑笑根據三角形的內角和是180°，用下面的方法得到六邊形的內角和。
列式計算：180°×6－360°＝720°
（1）結合圖，想一想，180°×6求的是什么？_________。算式中減去的360°指的是什么？請在圖中標出來。
（2）你還有其它方法得出這個六邊形的內角和嗎？請把你的方法在圖中畫出來，并寫出計算過程。
參考答案
1．三角形具有穩定性
【分析】根據題意在桌子腿上斜著釘木條后，可以看出組成一個三角形，那么利用三角形具有穩定性的性質進行解答。
【詳解】在桌子腿上斜著釘木條后，組成一個三角形，所以運用了三角形的穩定性知識。
【點睛】本題主要考查三角形的性質，熟練應用三角形的穩定性是解本題的關鍵。
2．70
【分析】等腰三角形兩條腰相等，底邊＝三角形周長－腰長×2，即可解答。
【詳解】236－83×2
＝236－166
＝70（米）
故這塊等腰三角形菜地的底邊長是70米。
3．15
【分析】擺1個三角形用3根，擺2個三角形用5根，擺3個三角形用7根，擺4個三角形用9根，每多擺1個三角形，多用2根小棒。擺7個三角形比擺1個三角形多用6個2根小棒，需要（3＋6×2）根小棒。
【詳解】3＋（7－1）×2
＝3＋6×2
＝3＋12
＝15（根）
擺7個三角形用15根小棒。
4．8
【分析】根據正方形的周長＝邊長×4，求出正方形的周長，即鐵絲的長度，再除以3就是等邊三角形的邊長。
【詳解】6×4÷3
＝24÷3
＝8（厘米）
這個等邊三角形的邊長是8厘米。
【點睛】關鍵是根據正方形的周長公式及等邊三角形的性質解答問題。
5． 98 鈍
【分析】三角形的內角和為180°，用180°依次減去47°和35°，計算出被撕去的角的度數；銳角三角形：三個角都是銳角的三角形；直角三角形：有一個角是直角的三角形；鈍角三角形：有一個角是鈍角的三角形；據此解答。
【詳解】根據分析：
180°－47°－35°＝98°
所以一張三角形紙片被撕去一個角，撕去的角是98°；98°為鈍角，47°和35°為銳角，所以原來這張紙片的形狀是鈍角三角形。
6． 55 80
【分析】已知等腰三角形的頂角是70°，根據三角形的內角和是180°，先用180°減頂角的度數70°求出兩個底角的度數和；因為等腰三角形的兩個底角相等，再用求出的兩底角的度數和除以2，即求到一個底角的度數；
已知等腰三角形的一個底角是50°，則另一個底角也是50°，根據三角形的內角和是180°，用180°連續減去2個底角的度數，即180°減去2個50°，即求到頂角的度數。據此解答。
【詳解】（180°－70°）÷2
＝110°÷2
＝55°
180°－50°×2
＝180°－100°
＝80°
所以，一個等腰三角形的頂角是70°，底角是55°。如果等腰三角形的一個底角是50°，頂角是80°。
7． 90 直角
【分析】根據三角形的內角和是180°，已知∠1＝58°，∠2＝32°，用三角形的內角和減去∠1與∠2的度數和，即可求出∠3的度數；再根據三個內角都是銳角的三角形是銳角三角形；有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形；有一個角是直角的三角形是直角三角形；判斷是什么三角形即可。
【詳解】180°－（∠1＋∠2）
＝180°－（58°＋32°）
＝180°－90°
＝90°
即三角形的一個內角是直角，所以該三角形是直角三角形。
即在三角形中，已知∠1＝58°，∠2＝32°，則∠3＝90°，按角分，這是一個直角三角形。
8． 4 14
【分析】根據三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊解答即可。
【詳解】根據分析：9－6＜第三邊＜6＋9
所以3＜第三邊＜15
用三根長度是整厘米的小棒圍成一個三角形，其中兩根小棒的長度分別是6厘米和9厘米，第三根小棒的長度最短是（4）厘米，最長是（14）厘米。
9． 0.5 2.9
【分析】在三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，據此確定第三邊的長度范圍即可解題。
【詳解】1.7＋1.2＝2.9（米）
1.7－1.2＝0.5（米）
2.9米＞第三邊＞0.5米
則更換的支架長度要大于0.5米，小于2.9米。
10．平行四邊形
【分析】兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，長方形與正方形是特殊的平行四邊形，它們的兩組對邊也是互相平行的。
【詳解】東東這樣描述一個平面圖形：“它是一個四邊形，它有兩組對邊分別平行?！睎|東描述的圖形可能是平行四邊形。
11．×
【分析】梯形有一組對邊平行而另一組對邊不平行，所以還要看另一組對邊是否平行，不平行才是梯形，據此判斷。
【詳解】有一組對比平行也可能是平行四邊形，長方形或正方形等，只有一組對邊平行的四邊形才是梯形，原題說法錯誤。
故答案為：×
12．×
【分析】根據三角形任意兩邊之和大于第三條邊進行解答。
【詳解】因為圖中是由一個等邊三角形和一個直角三角形組成的圖形，所以這個圖形的周長等于等邊三角形兩邊的和，加上直角三角形兩條直角邊的和，因為三角形任意兩邊之和大于第三條邊，所以直角三角形兩條直角邊的和大于斜邊，所以拼成的圖形的周長大于21厘米。所以原題說法錯誤。
故答案為：×
13．√
【分析】三角形具有穩定性，不易變形，人們在生活中經常來利用三角形的穩定性加固物件，例如自行車的三角形車架、三角形房架、矩形門框的斜拉條、起重機的三角形吊臂車架等，都是利用了三角形的穩定性，起到加固作用，據此即可解答。
【詳解】根據分析可知，自行車車架、房屋頂的三角架都是利用了三角形的穩定性設計的，原說法正確。
故答案為：√
14．√
【分析】在等腰三角形中，2個底角是相等的，用180°減去頂角，再除以2就是底角度數。
【詳解】（180°－140°）÷2
＝40°÷2
＝20°
所以一個等腰三角形的頂角是140°，它的一個底角一定是20°，原題說法正確。
故答案為：√
15．×
【分析】根據三角形三邊關系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，據此判斷即可。
【詳解】8－5＝3，3＝3
兩邊之差等于第三邊，不能構成三角形。原題說法錯誤。
故答案為：×
16．B
【分析】長方形的對邊平行且相等，梯形是指一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形，平行四邊形是在同一平面內，兩組對邊分別平行的四邊形。
觀察圖形可知，這個遮住的圖形有一組對邊不平行，所以這個圖形不可能是長方形和平行四邊形，有可能是梯形。
【詳解】A．長方形的兩組對邊平行，這個圖形不可能是長方形，不符合題意。
B．梯形有一組對邊不平行，這個圖形可能是梯形，符合題意。
C．平行四邊形兩組對邊分別平行，這個圖形不可能是平行四邊形，不符合題意。
故答案為：B
17．C
【分析】三個角都是銳角的三角形叫作銳角三角形；有一個角是直角的三角形叫直角三角形；有一個角是鈍角的三角形叫鈍角三角形。
在一個三角形中，如果有一個角是88°，則另外兩個角的和為180°﹣88°＝92°，則另外兩個角可能是91°和1°、90°和2°、89°和3° 所以最大角可能是鈍角，也可能是直角或銳角；所以這個三角形可能是鈍角三角形，可能是直角三角形，也可能是銳角三角形。另外兩個角的度數不能確定，則這個三角形的類別也不能確定。據此解答。
【詳解】根據分析可知，在一個三角形中，如果有一個角是88度，則另外兩個角的和為180°﹣88°＝92°；則最大角可能是鈍角，可能是直角，也可能是銳角，所以這個三角形可能是直角三角形，可能是鈍角三角形，也可能是銳角三角形。
故答案為：C
18．C
【分析】三角形的內角和是180°。如果有2個直角，每個直角是90°，這兩個角的和就已經是180°了，不符合三角形內角和是180°；如果有2個鈍角，因為鈍角大于90°，這兩個角的和同樣大于180°，所以一個三角形中至少有2個銳角。
【詳解】根據三角形的內角和是180°，由分析可知，一個三角形中，至少有兩個銳角。
故答案為：C
19．A
【分析】三角形的三邊關系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊；據此先求出第三根小棒長度的取值范圍，再進行解答。
【詳解】根據解析可知，＜小棒的長度＜，也就是8＜小棒的長度＜22；因為小棒是整厘米數，所以這根小棒的長度最短是（厘米），也就是這根小棒至少是9厘米。
故答案為：A
20．B
【分析】銳角三角形：三個角都是銳角的三角形；直角三角形：有一個角是直角的三角形；鈍角三角形：有一個角是鈍角的三角形。
【詳解】
A．，露出的角是鈍角，是鈍角三角形；
B．，露出的角是銳角，不能確定三角形的形狀；
C．，露出的角是直角，是直角三角形。
即不能確定三角形的形狀。
故答案為：B
21．鈍角三角形；銳角三角形；直角三角形
【分析】根據三角形內角和是180°，用180°減去已知的兩個角求出第三個角；再根據有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形，有一個角是直角的三角形是直角三角形，三個角都是銳角的三角形是銳角三角形去判斷該三角形是哪種三角形。
【詳解】圖一：
180°－37°－42°
＝143°－42°
＝101°
有一個角是鈍角，所以是鈍角三角形。
圖二：
180°－55°－55°
＝125°－55°
＝70°
三個角都是銳角，所以是銳角三角形。
圖三：
180°－30°－60°
＝150°－60°
＝90°
有一個角是直角，所以是直角三角形。
所以，它們原來分別是鈍角三角形、銳角三角形、直角三角形。
22．見詳解
【分析】等腰直角三角形的特征：三角形的兩條邊相等，且這兩條邊之間的夾角為直角；
梯形的特征：兩條底邊平行且不相等；平行四邊形的特征：對邊平行且相等；一個梯形從上底的一個頂點出發，畫一條與梯形另一條腰平行的線段，即可將一個梯形分成一個三角形和一個平行四邊形；
鈍角三角形的特征：有一個內角是鈍角；
據此作圖。
【詳解】（答案不唯一）
23．第一種
【分析】三角形具有穩定性，不易變形，人們在生活中經常來利用三角形的穩定性加固物件，例如自行車的三角形車架、三角形房架、矩形門框的斜拉條、起重機的三角形吊臂車架等，都是利用了三角形的穩定性，起到加固作用；平行四邊形具有不穩定性，易變形，伸縮門，衣帽架，火車兩車箱相連處，伸縮尺都是利用了平行四邊形的不穩定性；據此即可解答。
【詳解】圖（一）柵欄格子中形成了很多三角形，三角形具有穩定性，不易變形；圖（二）柵欄格子是平行四邊形，平行四邊形具有不穩定性，很容易變形；所以選第一種做法不容易變形。
24．9厘米、3厘米或6厘米、6厘米
【分析】如果把它圍成一條邊是9厘米的等腰三角形，如果9厘米是底，則用鐵絲總長度21厘米減9厘米，即得到兩條腰的總長度，因為等腰三角形兩腰相等，再用21減9的差除以2即得到一條腰的長度；如果9厘米是一條腰的長度，那么另一條腰也是9厘米，用21厘米減2個9厘米，即得到底邊的長度。最后根據三角形三邊的關系，看最短兩邊相加的和是否大于第三邊檢驗三條邊是否符合三角形的特性。據此解答。
【詳解】若這個等腰三角形的相同的兩條邊（腰長）是9厘米，則這個等腰三角形的第三條邊長（底邊）是21－9－9＝3（厘米），9＋3＞9，可以圍成三角形；
若這個等腰三角形的一條邊長（底邊）是9厘米，則這個等腰三角形相同的兩條邊（腰長）是（21－9）÷2＝12÷2＝6（厘米），6＋6＞9，可以圍成三角形。
答：這個等腰三角形的其余兩條邊長分別是9厘米、3厘米或6厘米、6厘米。
25．4分米
【分析】長方形周長：（長＋寬）×2，據此先求出4與2的和，再乘2即為這個長方形的周長，也是這根鐵絲的長度，等邊三角形的三條邊長度相等，將這根鐵絲圍成等邊三角形，鐵絲的長度也是這個等邊三角形的周長，再給這個周長除以3，即可求出這個等邊三角形的邊長。
【詳解】（4＋2）×2
＝6×2
＝12（分米）
12÷3＝4（分米）
答：這個等邊三角形鐵絲圈的邊長是4分米。
26．8分米
【分析】根據題意可知，用一根鐵絲可以圍成一個邊長為6分米的正方形，用這根鐵絲圍一個等邊三角形，要求這個等邊三角形的邊長。根據正方形的周長＝邊長×4，可以求出這根鐵絲的長度，由于等邊三角形的三邊相等，所以用正方形的周長除以3即可求出這個等邊三角形的邊長，據此解答即可。
【詳解】由題意得：
6×4÷3
＝24÷3
＝8（分米）
答：這個等邊三角形的邊長是8分米。
27．（1）鵬鵬所剪出的三段竹條不能圍成三角形。因為三段竹條的長度分別為6分米、5分米、1分米，且5＋1＝6，不符合三角形的特性。
（2）作圖見詳解
（3）作圖見詳解
【分析】（1）三角形中任意兩邊長度之和大于第三邊。從圖中可知：鵬鵬剪下的三段竹條的長度分別為6分米、5分米、1分米，因為5＋1＝6，所以他所剪出的三段竹條不能圍成三角形。據此解答。
（2）田田先剪下5分米長的一段作為三角形的一條邊，則剩下的長度為12－5＝7（分米），如果把7分米分成1分米和6分米，因1＋5＝6，不能圍成；如果分成2分米和5分米，2＋5＞5，可以圍成；如果分成3分米和4分米，3＋4＞5，可以圍成。據此作圖。
（3）悅悅剪下的三段恰好圍成了三個內角都是60°的三角形，說明這個三角形是等邊三角形，所以它的三條邊的長度為12÷3＝4（分米）。據此作圖。
【詳解】（1）根據分析可知：
鵬鵬所剪出的三段竹條不能圍成三角形。因為三段竹條的長度分別為6分米、5分米、1分米，且5＋1＝6，不符合三角形的特性。
（2）12－5＝7（分米）
7＝1＋6，1＋5＝6，不能圍成；
7＝2＋5，2＋5＞5，能圍成；且三段竹條分別長5分米、2分米、5分米；
7＝3＋4，3＋4＞5，能圍成；且三段竹條分別長5分米、3分米、4分米。
所以，可以有以下兩種剪法：
或
（3）12÷3＝4（分米）
所以，三段竹條分別長4分米。
28．（1）小號紅領巾的周長是多少厘米？
（2）30度
【分析】（1）紅領巾是等腰三角形，兩條腰的長度相等，在小號紅領巾中100厘米是底邊的長度，60厘米是腰的長度，100＋60×2表示小號紅領巾的周長是多少厘米。
（2）三角形的內角和是180度，等腰三角形的兩個底角相等，先用三角形的內角和減去頂角的度數，求出兩個底角的和，再除以2，即可求出紅領巾的另外兩個的角分別是多少度。
【詳解】（1）算式“100＋60×2”解決的問題是：小號紅領巾的周長是多少厘米？
（2）（180－120）÷2
＝60÷2
＝30（度）
答：紅領巾中另外兩個的角都是30度。
【點睛】解決本題的關鍵是熟知等腰三角形的特點，以及三角形的內角和定理。
29．（1）6個三角形的內角和；
如圖：
（2）如圖：
180°×4＝720°
【分析】（1）六邊形由中心點引6條輔助線，把六邊形分割成6個三角形，每個三角形的內角和是180°，所以180°×6求的是6個三角形的內角和；6個三角形中心角的和是周角，算式中減去的360°指的是6個三角形中心的角的和360°。
（2）把六邊形添加3條輔助線，將六邊形分割成4個三角形，每個三角形的內角和是180°，由此可知六邊形的內角和等于180°×4＝720°。
【詳解】（1）由分析可知，180°×6求的是6個三角形的內角和，算式中減去的360°指的是6個三角形中心的角的和360°。
（2）把六邊形添加3條輔助線，將六邊形分割成4個三角形，每個三角形的內角和是180°，
180°×4＝720°
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