資源簡介

專題05 導數中的切線問題
目錄（Ctrl并單擊鼠標可跟蹤鏈接）
題型01 在某一點的切線 1
題型02 過某一點的切線 2
題型03 切線中平行、垂直、重合問題 3
題型04 求公切線（兩個切點） 4
題型05 切線的條數問題 5
題型01 在某一點的切線
【解題規律·提分快招】
在某一點的切線方程 切線方程的計算：函數在點處的切線方程為，抓住關鍵．
【典例訓練】
一、單選題
1．（2025高三·全國·專題練習）函數的圖象在點處的切線方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三·全國·專題練習）曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·河北保定·期末）已知點在拋物線的準線上，過點的直線與拋物線在第一象限相切于點，記拋物線的焦點為，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
4．（24-25高三上·湖南·期中）曲線在點處的切線方程為 .
5．（24-25高三上·山東濰坊·期中）已知點在函數的圖象上，則曲線在點處的切線方程為 .
題型02 過某一點的切線
【解題規律·提分快招】
過某一點的切線方程 設切點為，則斜率，過切點的切線方程為：， 又因為切線方程過點，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024高三·全國·專題練習）設曲線的一條切線過點，則此切線與坐標軸圍成的三角形面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·貴州遵義·階段練習）若函數的圖象在點處的切線不經過第二象限，且該切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為，則（ ）
A． B． C． D．1
3．（24-25高三上·天津武清·階段練習）若直線 與曲線 相切，則 （ ）
A． B． C． D．4
二、填空題
4．（2024·天津和平·二模）過點作曲線的切線，則切點的坐標為 ．
5．（2024高三·全國·專題練習）寫出曲線過坐標原點的切線方程： ， .
6．（24-25高三上·廣東·開學考試）已知函數過原點作曲線的切線，其切線方程為 ．
題型03 切線中平行、垂直、重合問題
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·湖北·期末）函數在處的切線與直線垂直，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西·模擬預測）已知函數若對任意，曲線在點和處的切線互相平行或重合，則實數（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（23-24高二下·河北石家莊·期中）設曲線和曲線在它們的公共點處有相同的切線，則的值為（ ）
A．0 B． C．2 D．3
4．（2024高三·全國·專題練習）已知，若直線是曲線與曲線的公切線，則（ ）
A． B． C．26 D．28
5．（2024·湖南長沙·三模）斜率為1的直線與曲線和圓都相切，則實數的值為（ ）
A．0或2 B．或2 C．或0 D．0或1
6．（23-24高三上·四川內江·階段練習）若曲線在點處的切線也是的切線，則一定是下列函數（ ）的零點.
A． B．
C． D．
二、填空題
7．（2024高三·全國·專題練習）已知曲線在點處的切線為，若直線，則直線的方程可能是 ．（寫出一個正確答案即可）
8．（24-25高三上·湖南永州·期末）已知直線是曲線和的一條公切線，則 ．
題型04 求公切線（兩個切點）
【解題規律·提分快招】
求公切線方程 已知其中一曲線上的切點，利用導數幾何意義求切線斜率，進而求出另一曲線上的切點；不知切點坐標，則應假設兩切點坐標，通過建立切點坐標間的關系式，解方程. 具體做法為：設公切線在y＝f(x)上的切點P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切點P2(x2，g(x2))， 則
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習）設函數.若函數在和的切線互相平行，則兩平行線之間距離的最大值為（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·廣東廣州·階段練習）若直線是曲線與的公切線，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高三·全國·專題練習）已知直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
4．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習）若曲線在處的切線也是曲線的切線，則 ．
5．（24-25高三上·江蘇·階段練習）若曲線與曲線存在公切線，則a的最大值 ．
6．（24-25高三上·福建福州·階段練習）若曲線在點處的切線與曲線相切于點，則 ．
7．（24-25高三上·山東聊城·階段練習）一條直線與函數和的圖象分別相切于點和點，則的值為 ．
題型05 切線的條數問題
【解題規律·提分快招】
切線的條數問題
切線條數判斷，一般轉化為關于切點橫坐標的函數零點個數判斷問題.
【典例訓練】
一、單選題
1．（2023·四川涼山·一模）函數在區間的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習）過點作曲線的切線，則這樣的切線共有（ ）
A．0條 B．1條 C．2條 D．3條
3．（23-24高二下·浙江衢州·期末）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川內江·模擬預測）若過點可以作兩條直線與曲線相切，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·山東·模擬預測）若過點可以作的三條切線，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·福建泉州·模擬預測）若曲線與恰有兩條公切線，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．（24-25高三上·河北邢臺·期末）若過點恰好可作曲線的兩條切線，則的值可以為（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·四川成都·階段練習）對于函數，則下列判斷正確的是（ ）
A．直線是過原點的一條切線
B．關于對稱的函數是
C．過一點可以有條直線與相切
D．
三、填空題
9．（24-25高三上·江蘇南通·開學考試）已知曲線與有公共切線，則實數的最大值為 ．
10．（2024·云南昆明·三模）過點可以向曲線作條切線，寫出滿足條件的一組有序實數對
11．（24-25高三上·湖北·階段練習）已知函數 其中，當兩函數圖象對應曲線存在2條公切線時則的取值范圍是 ．
一、單選題
1．（24-25高三上·天津·期中）已知函數，則曲線在點處切線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·甘肅天水·階段練習），若，則等于（ ）
A． B．1 C． D．
3．（24-25高三上·安徽·階段練習）已知曲線，在點處的切線與直線垂直，則a的值為（ ）
A．1 B． C．3 D．
4．（24-25高三上·江蘇淮安·階段練習）已知是曲線上一點，直線經過點，且與曲線在點處的切線垂直，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·福建·期中）若直線與曲線相切，則（ ）
A．2 B．e C． D．
6．（2024·四川眉山·一模）曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習）已知曲線在處的切線恰好與曲線相切，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·四川成都·階段練習）已知曲線在點處的切線與曲線在點處的切線平行，且直線垂直于軸，則（）
A．e B． C． D．e或3e
9．（24-25高三上·河南·階段練習）若直線是函數的一條切線，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
10．（24-25高三上·山西·階段練習）曲線與的公切線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·江蘇徐州·模擬預測）若曲線與，恰有2條公切線，則（ ）
A． B． C． D．
12．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函數和兩點，，設曲線過原點的切線為，且，則所在的大致區間為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
13．（2024·全國·模擬預測）已知函數，點，則下列說法正確的是（ ）
A．過點與的圖象相切的切線的斜率恒不為1
B．若，則過點可作3條直線與的圖象相切
C．若過點且斜率為4的直線與的圖象有2個交點，則
D．若圖象上任意兩點連線所在直線的斜率恒大于點與點連線所在直線的斜率，則的取值范圍是
14．（24-25高三上·重慶·階段練習）記函數的圖象為曲線，點不在曲線上，過點作曲線的切線，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，可作1條切線
B．若，，可作0條切線
C．若，，可作3條切線
D．若，，可作2條切線
三、填空題
15．（24-25高三上·福建龍巖·期中）已知函數.曲線在點處的切線方程為，則
16．（24-25高三上·廣東深圳·階段練習）已知函數與函數在公共點處的切線相同，則實數m的值為 .
17．（23-24高三上·廣西南寧·階段練習）已知曲線與的公切線為，則實數 .
18．（2024·遼寧·二模）已知函數的圖象與函數且的圖象在公共點處有相同的切線，則 ，切線方程為 .
19．（23-24高三上·陜西西安·期中）若過點可以作曲線的兩條切線，切點分別為，則的取值范圍是 .
20．（2024·安徽·模擬預測）若直線上一點可以作曲線的兩條切線，則點縱坐標的取值范圍為 ．
21．（24-25高三上·湖北黃岡·階段練習）已知，分別為直線和曲線上的點，則的最小值為
22．（23-24高三上·山東煙臺·期中）若過點有三條直線與函數 的圖象相切，則實數m的取值范圍為 .
23．（24-25高三上·廣東深圳·期中）已知曲線存在兩條斜率為3的切線，則實數a的取值范圍為 .
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題05 導數中的切線問題
目錄（Ctrl并單擊鼠標可跟蹤鏈接）
題型01 在某一點的切線 1
題型02 過某一點的切線 4
題型03 切線中平行、垂直、重合問題 7
題型04 求公切線（兩個切點） 12
題型05 切線的條數問題 16
題型01 在某一點的切線
【解題規律·提分快招】
在某一點的切線方程 切線方程的計算：函數在點處的切線方程為，抓住關鍵．
【典例訓練】
一、單選題
1．（2025高三·全國·專題練習）函數的圖象在點處的切線方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求，根據導數的幾何意義可知函數圖象在某點處的切線的斜率就是函數在該點處的導數值，由此可計算切線方程.
【詳解】∵，∴，，
∴，
∴切線方程為，即.
故選：A.
2．（2025高三·全國·專題練習）曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用導數的幾何意義就是切線斜率，求出在處的導數，即為切線斜率，進而利用點斜式得到切線方程，借助切線方程求出與坐標軸交點坐標，從而利用面積公式求出面積即可．
【詳解】因為 ，
所以 ，
即曲線在點處的切線方程是 ，
則切線與坐標軸的交點分別是，
所以圍成的三角形面積為，
故選：A.
3．（24-25高三上·河北保定·期末）已知點在拋物線的準線上，過點的直線與拋物線在第一象限相切于點，記拋物線的焦點為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由點在準線上可知的值，從而確定拋物線的方程，設點的坐標為，，通過對拋物線方程求導，可得點直線AB的斜率，再通過、兩點的坐標也可求得，于是建立關于的方程，解之可得的值，最后利用拋物線的定義即可得解.
【詳解】拋物線的準線方程為，
∵點在準線上，∴即，
拋物線的方程為，即，
設點的坐標為，，
對求導可得，，∴直線AB的斜率為，
由、，可知，解之得，或（舍負），
∴點，由拋物線的定義可知，，
故選：C.
二、填空題
4．（24-25高三上·湖南·期中）曲線在點處的切線方程為 .
【答案】
【分析】求出，求導，根據導數幾何意義得到切線斜率，由點斜式求出切線方程.
【詳解】因為，則，
所以切點為，且，則，
由直線的點斜式可得，化簡可得，
所以切線方程為.
故答案為：
5．（24-25高三上·山東濰坊·期中）已知點在函數的圖象上，則曲線在點處的切線方程為 .
【答案】
【分析】先代入點，求出，得到的解析式，再通過求導求出切線的斜率，進而得在點處的切線方程.
【詳解】由題意，知
∵，∴，故，
故，，
∴，
所以在點處的切線方程為，即.
故答案為：.
題型02 過某一點的切線
【解題規律·提分快招】
過某一點的切線方程 設切點為，則斜率，過切點的切線方程為：， 又因為切線方程過點，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024高三·全國·專題練習）設曲線的一條切線過點，則此切線與坐標軸圍成的三角形面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據導數的幾何意義，求得切線方程，求得直線在軸上的截距，即可得三角形的面積.
【詳解】設切點為，
則切線方程為.
切線過點，
切線方程為，
故可得切線在軸上的截距為，
所以切線與坐標軸圍成的三角形面積為.
故選：C.
2．（24-25高三上·貴州遵義·階段練習）若函數的圖象在點處的切線不經過第二象限，且該切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】由導數的幾何意義求出的圖象在點處的切線方程，再由該切線與坐標軸所圍成的三角形的面積求出的值，驗證是否符合題意即可.
【詳解】由，得，，
則的圖象在點處的切線方程為，
由題意可知，
將代入切線方程，得，將代入切線方程，得，
因為該切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為，
所以，解得或，
當時，切線經過第一、三、四象限，符合題意；
當時，切線經過第一、二、三象限，不符合題意.
故.
故選：D
3．（24-25高三上·天津武清·階段練習）若直線 與曲線 相切，則 （ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】設出切點坐標，求導并利用導數的幾何意義與兩點間的斜率公式計算可得直線斜率.
【詳解】設直線與曲線相切于點，
求導可得，因此切線斜率，
又切線過原點，可得，化簡可得，
令，則，
當時，，即在上單調遞減，
當時，，即在上單調遞增，
所以在處取得極小值，也是最小值，，
因此可得，即可得.
故選：
二、填空題
4．（2024·天津和平·二模）過點作曲線的切線，則切點的坐標為 ．
【答案】
【分析】設出切點坐標，利用導數的幾何意義建立方程，將代入求解即可.
【詳解】設切點的坐標為，由，，
所以過切點的切線方程為：，
把代入得：，即，
所以，則切點坐標為：即.
故答案為：
5．（2024高三·全國·專題練習）寫出曲線過坐標原點的切線方程： ， .
【答案】
【分析】分和兩種情況，當時設切點為，求出函數的導函數，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據切線過坐標原點求出，即可求出切線方程，當時同理可得；
【詳解】因為，
當時，，設切點為，由，得，
所以切線方程為.
又切線過坐標原點，所以，解得，
所以切線方程為，即；
當時，，設切點為，由，得，
所以切線方程為.
又切線過坐標原點，所以，解得，
所以切線方程為，即.
故答案為：；.
6．（24-25高三上·廣東·開學考試）已知函數過原點作曲線的切線，其切線方程為 ．
【答案】
【分析】根據題意，設出切點的坐標，結合導數的幾何意義，分類討論，即可求解.
【詳解】當時，函數，可得
設切點為，則，
所以切線方程為，
因為切線過原點，可得，解得，不符合題意，舍去；
當時，函數，可得
設切點為，則，
所切線方程為，
因為切點過原點，可得，解得，
此時切線方程為，即，
故答案為：
題型03 切線中平行、垂直、重合問題
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·湖北·期末）函數在處的切線與直線垂直，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出導數，，利用函數在處的切線與直線垂直，列出方程，即可求出實數的值．
【詳解】函數，求導得，
在處的切線斜率為，
又在處的切線與直線垂直，
所以，解得.
故選：B.
2．（2024·山西·模擬預測）已知函數若對任意，曲線在點和處的切線互相平行或重合，則實數（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】求得，根據題意轉化為為偶函數，即可求解.
【詳解】由函數，
可得，
因為曲線在點和處的切線互相平行或重合，
可得為偶函數，所以，解得.
故選：C.
3．（23-24高二下·河北石家莊·期中）設曲線和曲線在它們的公共點處有相同的切線，則的值為（ ）
A．0 B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】根據兩曲線在有公切線，則是公共點，該點處的導數值相同，列出方程求出的值，則答案可求
【詳解】由已知得，解得，
又，
所以得，
所以，
所以.
故選：C.
4．（2024高三·全國·專題練習）已知，若直線是曲線與曲線的公切線，則（ ）
A． B． C．26 D．28
【答案】C
【分析】根據題意，分別設出與曲線以及與曲線的切點坐標，然后結合導數的幾何意義，代入計算，即可求解.
【詳解】設直線與曲線相切于點，與曲線相切于點.
由知，又兩曲線的公切線斜率為，則，解得或（舍去）.
所以，解得.
由知，又兩曲線的公切線斜率為，則，即，故，整理得，故，
所以，故.
故選：C.
5．（2024·湖南長沙·三模）斜率為1的直線與曲線和圓都相切，則實數的值為（ ）
A．0或2 B．或2 C．或0 D．0或1
【答案】A
【分析】設直線的方程為，先根據直線和圓相切算出，再由導數的幾何意義算出.
【詳解】依題意得，設直線的方程為，即，
由直線和圓相切可得，，解得，
當時，和相切，
，設切點為，根據導數的幾何意義，，
又切點同時在直線和曲線上，即，解得.
即時，；
當時，和相切，
，設切點為，根據導數的幾何意義，，
又切點同時在直線和曲線上，即，解得.
即時，.
綜上所述，或.
故選：A.
6．（23-24高三上·四川內江·階段練習）若曲線在點處的切線也是的切線，則一定是下列函數（ ）的零點.
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】設滿足題意曲線的切線的切點為，先分別求出兩曲線的切線方程，再根據切線相同求出的關系，即可得出答案.
【詳解】由，得，則，
所以曲線在點處的切線方程為，
即，
設滿足題意曲線的切線的切點為，
由，得，則，
所以曲線在點處的切線方程為，
即，
因為曲線在點處的切線也是的切線，
所以，
整理得，
即，
即，所以，即，
所以一定是函數的零點.
故選：B.
二、填空題
7．（2024高三·全國·專題練習）已知曲線在點處的切線為，若直線，則直線的方程可能是 ．（寫出一個正確答案即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】由導數法求得切線的斜率，再由，寫出直線m的方程.
【詳解】解：由題知，點在曲線上，
由，
得，
切線的斜率，切線的方程為，即．
又，則直線的方程可能是（答案不唯一）
故答案為：（答案不唯一）
8．（24-25高三上·湖南永州·期末）已知直線是曲線和的一條公切線，則 ．
【答案】9
【分析】設出切點坐標，根據導數的幾何意義，再結合切點同時滿足直線方程與曲線方程求解即可.
【詳解】設直線與曲線相切于點.
由，得.
又∵直線l的斜率為，∴.
又點在直線和曲線上，∴.
聯立①②可得，故直線l的方程為.
設直線與曲線相切于點.由，得.
又∵直線l的斜率為3，.
又點在直線和曲線上，∴
聯立，解得，.
故答案：9.
題型04 求公切線（兩個切點）
【解題規律·提分快招】
求公切線方程 已知其中一曲線上的切點，利用導數幾何意義求切線斜率，進而求出另一曲線上的切點；不知切點坐標，則應假設兩切點坐標，通過建立切點坐標間的關系式，解方程. 具體做法為：設公切線在y＝f(x)上的切點P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切點P2(x2，g(x2))， 則
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習）設函數.若函數在和的切線互相平行，則兩平行線之間距離的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出函數的導數，利用導數的幾何意義及平行關系求出切線方程，進而求出最大距離.
【詳解】函數，求導得，
依題意，，即，解得，
則兩條切線的斜率為，對應的兩個切點為，
切線方程為和，即和，
切線過定點，切線過定點，
所以兩平行線之間距離的最大值為.
故選：C
2．（24-25高三上·廣東廣州·階段練習）若直線是曲線與的公切線，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設直線與函數和的圖象相切于點和，利用導數的幾何意義，求得切線方程，列出方程組，結合斜率公式，即可求解.
【詳解】設直線與函數的圖象相切于點，
與的圖象相切于點，
因為，且，，
則曲線在處的切線方程為，
曲線在處的切線方程為，
所以，解得，
所以.
故選：C.
3．（2025高三·全國·專題練習）已知直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設直線與曲線的切點為，與曲線的切點為，利用導數求出曲線在處的切線方程，以及曲線在處的切線方程，根據兩切線重合可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，可得出、的值，即可得解.
【詳解】設直線與曲線的切點為，與曲線的切點為，
對函數求導得，對函數求導得，
則曲線在處的切線方程為，即，
曲線在處的切線方程為，
即，
所以，解得，
故，，所以．
故選：C．
二、填空題
4．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習）若曲線在處的切線也是曲線的切線，則 ．
【答案】
【分析】根據導數的幾何意義，結合直線的點斜式方程進行求解即可.
【詳解】曲線，
所以曲線在的切線的斜率為，
故切線為．
，
所以曲線在處的切線的斜率為，
所以切線方程為：，
化簡，得，
令，
故答案為：
5．（24-25高三上·江蘇·階段練習）若曲線與曲線存在公切線，則a的最大值 ．
【答案】
【分析】設公切線與曲線切與點，與曲線切與點，由題意可得，化簡可得，則，構造函數，利用導數求出其最大值即可.
【詳解】設公切線與曲線切與點，與曲線切與點，
由，得；由得.
則，
所以，所以，即.
設，則.
由；由.
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減.
所以函數.
即的最大值為.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數幾何意義，考查利用導數求函數的最值，解題的關鍵是設出兩切點的坐標，由切線為兩曲線的公切線列方程組求解，考查數學轉化思想和計算能力.
6．（24-25高三上·福建福州·階段練習）若曲線在點處的切線與曲線相切于點，則 ．
【答案】
【分析】根據導數幾何意義可分別用和表示出切線方程，根據切線方程相同可構造方程組，化簡得到，代入所求式子整理即可.
【詳解】，∴曲線在點處的切線斜率，
∴切線方程為，
或，
，即，
，易知，，
.
故答案為：.
【點睛】思路點睛：本題考查導數中的公切線問題，求解此類問題的基本思路是假設切點坐標后，利用導數幾何意義分別表示出兩函數切點處的切線方程，由兩方程形式一致可構造方程組來求解相關問題.
7．（24-25高三上·山東聊城·階段練習）一條直線與函數和的圖象分別相切于點和點，則的值為 ．
【答案】-2
【分析】求導，由導數幾何意義得到切線方程，對照系數得到，聯立得到，故.
【詳解】因為，，所以，，
則在點處的切線方程為，即；
在點處的切線方程為：，即，
由已知，由得，故，
故，解得，
所以，因此．
故答案為：．
【點睛】方法點睛：應用導數的幾何意義求切點處切線的斜率，主要體現在以下幾個方面：
(1) 已知切點求斜率,即求該點處的導數；
(2) 已知斜率求切點即解方程；
(3) 已知切線過某點(不是切點) 求切點, 設出切點利用求解.
題型05 切線的條數問題
【解題規律·提分快招】
切線的條數問題
切線條數判斷，一般轉化為關于切點橫坐標的函數零點個數判斷問題.
【典例訓練】
一、單選題
1．（2023·四川涼山·一模）函數在區間的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用導數的幾何意義結合導函數的單調性計算即可.
【詳解】由，
不妨設這兩條相互垂直的切線的切點為，且
若，則恒成立，不符合題意，可排除A項；
所以，此時易知單調遞增，
要滿足題意則需.
故選：D
2．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習）過點作曲線的切線，則這樣的切線共有（ ）
A．0條 B．1條 C．2條 D．3條
【答案】C
【分析】設出切點，根據導數的幾何意義求切線斜率，寫出切線方程，根據切線過點，列方程，判斷方程解的個數即可.
【詳解】因為，所以（）.
設切點坐標為：，切線斜率為：（）.
所以切線方程為：.
又切線過點，
所以.
設（）
則，
由；由.
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增.
且，，.
所以在和各有1個根.
所以方程：有且只有兩個解.
故選：C
3．（23-24高二下·浙江衢州·期末）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先設切點，再根據導數的幾何意義求出切線斜率，利用點斜式得到切線方程；再根據切線過點，得到的關系，利用有兩解求的取值范圍.
【詳解】設切點，
又，所以切線斜率為：.
由點斜式，切線方程為：.
因為切線過點，所以.
所以：.
因為過原點的切線有兩條，所以關于方程有兩解.
由（），
設，則，
由得，
所以在單調遞增，在單調遞減，
所以，且當時，.
所以有兩解，則.
故選：A
4．（2024·四川內江·模擬預測）若過點可以作兩條直線與曲線相切，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】設切點，根據切線經過點，得到，令，轉化為與有兩個不同的交點求解.
【詳解】設切點，
因為，所以，
所以點P處的切線方程為，
又因為切線經過點，
所以，即，
令，
則與有兩個不同的交點，
，
當時，恒成立，所以單調遞增，不合題意；
當時，當時，，當時，，
所以，則，即，
故選：B
5．（2024·山東·模擬預測）若過點可以作的三條切線，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設出切點坐標，求導并利用導數的幾何意義求出切線方程，用表示出，再構造函數，利用導數探討函數圖象性質，進而求出的范圍.
【詳解】依題意，設切點坐標為，由，求導得，
則函數的圖象在點處的切線方程為，
由切線過點，得，
令，依題意，直線與函數的圖象有3個公共點，
，當或時，，當時，，
則函數在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，函數取得極小值，而當時，恒有，
又，因此當時，直線與函數的圖象有3個公共點，
所以實數的取值范圍是.
故選：B
【點睛】關鍵點點睛：涉及導數的幾何意義的問題，求解時應把握導數的幾何意義是函數圖象在切點處的切線斜率，切點未知，設出切點是解題的關鍵.
6．（2024·福建泉州·模擬預測）若曲線與恰有兩條公切線，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設曲線切點為，的切點為，求出切線方程，根據有兩條公切線轉化為方程具有兩個解，構造函數利用導數求解取值范圍，判斷選項.
【詳解】設曲線切點為，的切點為，
則曲線在點處的切線方程為，即，
同理，在點處的切線方程為，
根據與有兩條公切線，
則，所以，化簡可得 具有兩個交點，
轉化為有兩個解，構造函數，則，
當，，單調遞增；當，，單調遞減，
故在時有極大值即為最大值，故，
當時，，當時，，
故的取值范圍為，
故選：A
二、多選題
7．（24-25高三上·河北邢臺·期末）若過點恰好可作曲線的兩條切線，則的值可以為（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】先設切點為，得出切線方程為，再根據有兩個切線得出方程有兩個解求參即可.
【詳解】令，則，
設切點為，所以切線方程為，切線過點，
代入得，即方程有兩個解，
則，解得或.
故選：BCD.
8．（24-25高三上·四川成都·階段練習）對于函數，則下列判斷正確的是（ ）
A．直線是過原點的一條切線
B．關于對稱的函數是
C．過一點可以有條直線與相切
D．
【答案】BD
【分析】由導數的幾何意義可判定A，由反函數的概念可判定B，利用對數函數的圖像可判定C，利用常用的切線放縮可判定D.
【詳解】對于A，設切點，則，
∴，∴，∴，切點
所以過原點的切線方程為，∴A錯誤；
對于B，由反函數的概念可得，
故與關于對稱的函數為，∴B正確；
對于C，當點在上方，如下圖所示，結合圖象可知，最多有兩條切線，
如果在下方，沒有切線，在曲線上，只有一條切線C正錯誤；
對于D，由于，設，
令，令，
∴在上單調遞增，在上單調遞減；
∴，∴D正確．
故選：BD
三、填空題
9．（24-25高三上·江蘇南通·開學考試）已知曲線與有公共切線，則實數的最大值為 ．
【答案】
【分析】先設出切點，求導得到切線方程，斜率截距對應相等，得到,構造函數，轉化為存在性問題，最終求最值即可.
【詳解】設曲線與的切點分別為，，
因為，，則兩切線斜率，，
所以，，
所以，所以，
即，
令，則，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以，即，
即，
故答案為：.
10．（2024·云南昆明·三模）過點可以向曲線作條切線，寫出滿足條件的一組有序實數對
【答案】（答案不唯一）
【分析】設切點坐標為，利用導數表示出切線方程，代入點，通過構造函數，研究新函數的單調性和極值，對的取值范圍進行討論，得到解的個數，可得對應的切線條數.
【詳解】，，
設所求切線的切點坐標為，則切線斜率為，
得切線方程為，
由切線過點，有，
化簡得，
設，則，
，解得或；，解得，
在和上單調遞減，在上單調遞增，
極大值，極小值，
且或時，時，，
的函數圖象如圖所示，
則當時，無解，；當或時， 有一個解，；
當或時，有兩個解， ；當時，有三個解， .
故答案為：（答案不唯一）
11．（24-25高三上·湖北·階段練習）已知函數 其中，當兩函數圖象對應曲線存在2條公切線時則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據反函數的性質，先求解兩曲線相切時的臨界情況時的值，利用相切和導數可得，構造函數，即可根據函數單調性求解.
【詳解】令則，
令，則，
由于函數互為反函數，故圖象關于對稱，
因此只需要考慮兩曲線相切時的臨界情況，設切點橫坐標為，
由
故，即，
所以，
設，則，，故有，兩邊取對并移項，
記函數，易知在上單調遞增,
因為，所以，此時，
所以的取值范圍是
【點睛】關鍵點點睛：根據兩函數在相切的臨界情況，設出切點橫坐標為，得，求解.
一、單選題
1．（24-25高三上·天津·期中）已知函數，則曲線在點處切線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用導數的幾何意義，求出曲線在處的導數值即可.
【詳解】因為，所以，
所以，
所以曲線在點處切線的斜率為.
故選：B.
2．（24-25高三上·甘肅天水·階段練習），若，則等于（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】求函數的導函數，由條件列方程求.
【詳解】由題意可得：，
若，即，
則，解得．
故選：B．
3．（24-25高三上·安徽·階段練習）已知曲線，在點處的切線與直線垂直，則a的值為（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】根據導數求出曲線在點處的切線斜率，再根據兩條互相垂直的直線斜率之積等于算出即可.
【詳解】，則，
則，曲線在點處的切線與直線垂直，
所以，解得.
故選：C
4．（24-25高三上·江蘇淮安·階段練習）已知是曲線上一點，直線經過點，且與曲線在點處的切線垂直，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求導，設，根據題意結合導數的幾何意義列式求解即可.
【詳解】因為，則，
直線，即為，其斜率為，
設，
由題意可得：，解得.
故選：C.
5．（24-25高三上·福建·期中）若直線與曲線相切，則（ ）
A．2 B．e C． D．
【答案】C
【分析】設切點，再根據導數的幾何意義求解即可.
【詳解】設切點為，則對求導有，
故在處切線的斜率為，則由在直線上可得，
解得，故.
故選：C
6．（2024·四川眉山·一模）曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求導數，得出切線斜率，寫出切線方程，然后可求三角形的面積.
【詳解】由，得，
則，所以曲線在點處的切線方程為，
令，得；令，得，
所以切線與坐標軸圍成的三角形面積為.
故選：B.
7．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習）已知曲線在處的切線恰好與曲線相切，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用導數的幾何意義求出切線的方程，然后設與曲線的切點為，利用導數的幾何意義可得出的值，可得出切點坐標，再將切點坐標代入函數的解析式，即可解得實數的值.
【詳解】由得，又切點為，故切線斜率為，切線的方程為，
設與曲線的切點為，
對函數求導得，所以，可得切點為，
所以，解得．
故選：B.
8．（24-25高三上·四川成都·階段練習）已知曲線在點處的切線與曲線在點處的切線平行，且直線垂直于軸，則（）
A．e B． C． D．e或3e
【答案】A
【分析】設，根據斜率相等可得，構造函數，根據導數判斷單調性，由單調性和可得，然后可解.
【詳解】依題意可設，其中.
因為，
所以曲線在點處的切線斜率為，曲線在點處的切線斜率為，
所以，即.
設函數，則，
所以為增函數，又，所以，
所以，，故.
故選：A
【點睛】關鍵點睛：關鍵在于構造函數，根據其單調性和確定的值.
9．（24-25高三上·河南·階段練習）若直線是函數的一條切線，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】設切點為，求得切線方程，進而可得，進而可求的最小值.
【詳解】設切點為，因為，
所以函數的切線方程為，
即，所以，
所以（當且僅當時取等號）.
故選：C.
10．（24-25高三上·山西·階段練習）曲線與的公切線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據導數的幾何意義分別求的切線，結合題意列式求解即可.
【詳解】因為，則，
設切點坐標為，切線斜率為，
可得切線方程為，即；
因為，則，
設切點坐標為，切線斜率為，
可得切線方程為，即；
由題意可得：，解得，
所以公切線的斜率為.
故選：A.
11．（2024·江蘇徐州·模擬預測）若曲線與，恰有2條公切線，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設在曲線上的切點為，求出切線方程，設該切線方程與曲線相交于點，由此可得，再利用導數研究函數的性質，結合題意即可得出答案．
【詳解】設在曲線上的切點為，
由，可得過點的切線斜率為，
此時切線方程為，即，
設切線與曲線相交于點，，
則，
消去，可得，
依題意，直線與函數的圖象有兩個不同的交點，
令，
解得或，
令，解得，
則函數在，上單調遞增，在上單調遞減，
故，且恒成立，當且僅當時等號成立，當時，，
要使直線與函數的圖象有兩個不同的交點，
則需，解得．
故選：B．
【點睛】方法點睛：利用導數的幾何意義，分別寫出兩曲線的切線方程，讓兩切線方程的系數相等，得到方程組，消去一個變量后，問題轉化為方程的根的個數問題，構造函數，利用導數研究其性質，即可得結論．
12．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函數和兩點，，設曲線過原點的切線為，且，則所在的大致區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求導，利用導數求得切線的斜率，根據直線平行可得，構建，可知為的非零零點，求導，利用導數判斷其單調性結合零點存在性定理分析判斷.
【詳解】由題意可知：的定義域為，且，
設切點坐標為，則切線的斜率，
則切線的方程為，
若切線過原點，則，解得，
可在切線的，
若，且直線的斜率，
則，即，整理可得，
構建，則，
可知為的非零零點，
令，解得；令，解得；
可知在內單調遞減，在內單調遞增，
則分別在、內至多一個零點
且，
又因為，所以所在的大致區間為.
故選：C.
【點睛】方法點睛：對于函數零點的個數的相關問題，利用導數和數形結合的數學思想來求解．這類問題求解的通法是：
（1）構造函數，這是解決此類題的關鍵點和難點，并求其定義域；
（2）求導數，得單調區間和極值點；
（3）數形結合，挖掘隱含條件，確定函數圖象與x軸的交點情況進而求解．
二、多選題
13．（2024·全國·模擬預測）已知函數，點，則下列說法正確的是（ ）
A．過點與的圖象相切的切線的斜率恒不為1
B．若，則過點可作3條直線與的圖象相切
C．若過點且斜率為4的直線與的圖象有2個交點，則
D．若圖象上任意兩點連線所在直線的斜率恒大于點與點連線所在直線的斜率，則的取值范圍是
【答案】ABD
【分析】把各選項問題轉化為三次方程或三次函數，再利用三次函數的性質來解決問題即可.
【詳解】設過點的直線與的圖象切于點，易知．
當，重合時，，得（舍去），此時切線的斜率為4，顯然不為1．
當，不重合時，切線的斜率為，則，
整理得,則該關于的方程實根個數就是切線條數.
對于A，假設切線的斜率為1，則，得，
代入得，與矛盾，
故過點與圖象相切的切線的斜率恒不為1，故A正確．
對于B，設，則，
令，得或，因為，所以，
根據三次函數性質，當兩個極值點的函數值異號時，該三次函數有三個零點，
所以可得有3個零點，即方程有3個不同的實根，
所以滿足的切線有3條，故B正確．
對于C，過點且斜率為4的直線方程為，即，
與聯立并消去可得，
設，則問題轉化為有2個零點，
由得，所以，解得，故C錯誤．
對于D，設圖象上任意兩點的坐標分別為，，
則，所以，
令，則是增函數，
所以恒成立，
所以的取值范圍是，故D正確．
故選：ABD.
14．（24-25高三上·重慶·階段練習）記函數的圖象為曲線，點不在曲線上，過點作曲線的切線，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，可作1條切線
B．若，，可作0條切線
C．若，，可作3條切線
D．若，，可作2條切線
【答案】BCD
【分析】根據數形結合得到在上方，作兩條切線的切點橫坐標，，一個在，一個在，而若在下方，上方若，則兩切點都在上，若，則兩切點都在上，對，根據對稱性也有類似結論.
【詳解】曲線如圖實線部分，不妨補全下方圖象，

顯然，曲線的切線必在其“凸面”，即單獨對而言，在時不可作切線，在時不可作切線，而在其“凹面”能作條切線，

因此在區域內和都不可作切線，
因為在處切線為，
所以又可分為三個區域，在上方，作兩條切線的切點橫坐標，，一個在，一個在，
而若在下方，上方，
若，則兩切點都在上，

若，則兩切點都在上，

對，根據對稱性也有類似結論，
回到題目中，可分為如圖的個區域，區域不可作切線，

由于區域和在的“凹面”，故在段必不可作切線，
由于區域在上方，區域在下方，
所以在上區域可作條切線，區域可作條切線，
根據對稱性，區域和區域在的“凹面”，
所以在必不可作切線，區域在下方，區域在上方，
所以在上，區域可作條切線，區域不可作切線，
同理，區域在，的“凸面”，又在上側，上側，
所以在可作條切線，在可作條切線，
所以區域可作條切線，由對稱性知區域僅在作條切線，
最后，區域在可作條切線，在可作條切線，
對于A選項，因為，，
所以區域內可作一條切線，而區域可作條切線，故A錯誤；
對于B選項，因為，，
所以在區域，可作條切線，故B正確；
對于C選項，因為，，
所以在區域上，可作條切線，故C正確；
對于D選項，因為，，
所以在區域上，可作條切線，故D正確.
故選：BCD.
【點睛】方法點睛：本題關鍵在于靈活運用數形結合的方法并得出普適性結論.
三、填空題
15．（24-25高三上·福建龍巖·期中）已知函數.曲線在點處的切線方程為，則
【答案】
【分析】利用導數的幾何意義求出斜率，結合切點，切線方程即可求出參數，；
【詳解】由于，
故，
，，
，，解得，．
，
故答案為：
16．（24-25高三上·廣東深圳·階段練習）已知函數與函數在公共點處的切線相同，則實數m的值為 .
【答案】0
【分析】設函數與的公共點為，由題意得，可求出的值，由即可求出的值.
【詳解】設函數與的公共點為，
則有，
則，
解得或（舍去），
所以，
所以，解得.
故答案為：0.
17．（23-24高三上·廣西南寧·階段練習）已知曲線與的公切線為，則實數 .
【答案】
【分析】設切點坐標為，求得切線方程，根據題意，求得，得到切線方程為，再設切點為，結合切點在切線上和，列出方程組，即可求解.
【詳解】由函數，可得，
設切點坐標為，可得，則切線方程為，
即，與公切線重合，可得，
可得，所以切線方程為，
對于函數，可得，設切點為，則
則 ，解得.
故答案為：
18．（2024·遼寧·二模）已知函數的圖象與函數且的圖象在公共點處有相同的切線，則 ，切線方程為 .
【答案】
【分析】設公共點為，即可得到，再由導數的幾何意義得到，從而求出，即可求出切點坐標，從而求出，再求出切線方程.
【詳解】設公共點為，則，即，所以，
所以，
由，，所以，，
又在公共點處有相同的切線，所以，即，所以，則，，
則，
則，所以切線方程為，即.
故答案為：；
19．（23-24高三上·陜西西安·期中）若過點可以作曲線的兩條切線，切點分別為，則的取值范圍是 .
【答案】或
【分析】設切點，求導得切線方程，進而根據過點，將問題轉化為方程有兩個不相等實根，求得的范圍.
【詳解】設切點，
則切線方程為，
又切線過，則，
有兩個不相等實根，
其中
或.
故答案為：或
20．（2024·安徽·模擬預測）若直線上一點可以作曲線的兩條切線，則點縱坐標的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】先求出過點的切線方程，分離參數變量，轉化為函數直線與曲線有兩個交點,借助導數研究單調性和最值，結合圖像可解.
【詳解】曲線即曲線，
在曲線上任取一點，對函數求導得，
所以曲線在點處的切線方程為，即，
又切線過點，則.
令，則，
當時，，此時函數單調遞增，
當時，，此時函數單調遞減，
所以．
由題意知，直線與曲線有兩個交點，則，
當時，，當時，，故.
故答案為：.
21．（24-25高三上·湖北黃岡·階段練習）已知，分別為直線和曲線上的點，則的最小值為
【答案】
【分析】利用數形結合思想可知直線與曲線相切的切點到直線的距離是最小值，從而利用導數來求出切點，再用點到直線的距離公式求出最小值即可.
【詳解】直線與曲線相切于點A，
由題意的最小值為切點A到直線的距離，如圖所示，
對求導有，由可得，即，
故的最小值為.
故答案為：.
22．（23-24高三上·山東煙臺·期中）若過點有三條直線與函數 的圖象相切，則實數m的取值范圍為 .
【答案】
【分析】設切點坐標，利用導數，求出切線方程，再結合過點存在三條直線與曲線相切，轉化為方程有三個根，構造新函數利用導數求單調區間和極值得實數m的取值范圍．
【詳解】函數，定義域為R，，
設切點坐標為，則切線方程為，
切線過點，則有，
即，依題意關于方程有三個解，
設，
，解得或；，解得，
所以在和上單調遞減，在上單調遞增，
時，取極小值；時，取極大值，
實數m的取值范圍為.
故答案為：.
23．（24-25高三上·廣東深圳·期中）已知曲線存在兩條斜率為3的切線，則實數a的取值范圍為 .
【答案】
【分析】求導，將問題轉化成有兩個不同的根，再通過換元，轉化成與的交點問題即可求解.
【詳解】，依題意知有兩個不同的實數解，
即有兩個不同的實數解，
即有兩個不同的實數解.
令，則，所以有兩個不同的實數解，
所以與的圖象有兩個交點.
，
因為，所以，又，故,
故實數的取值范圍是.
故答案為：
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑