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第一章　專題提升四　帶電粒子在復合場中的運動
(分值：100分)
選擇題1～7題，每小題10分，共70分。
對點題組練
題組一　帶電粒子在組合場中的運動
1.(多選)(2024·四川綿陽模擬)如圖所示，以減速滲透薄膜為界的區域Ⅰ和Ⅱ有大小相等、方向相反的勻強磁場。一帶電粒子從垂直磁場方向進入磁場，穿過薄膜，在兩磁場區域內做圓周運動，圖中虛線是部分軌跡，粒子在Ⅱ中運動軌跡半徑是 Ⅰ 中運動軌跡半徑的2倍。粒子運動過程中，電性及電荷量均不變，不計重力與空氣阻力。則粒子(　　)
帶負電
在Ⅱ中做圓周運動的速率是在Ⅰ中的2倍
在Ⅱ中做圓周運動的周期是在Ⅰ中的2倍
在Ⅱ中向心加速度的大小是在Ⅰ中的2倍
2.如圖所示，虛線為勻強電場和勻強磁場的分界線，電場線與分界線平行。一帶電粒子以初速度v0垂直于電場線射入電場，并能進入磁場。已知磁感應強度為B，粒子的比荷為k，不計粒子的重力。則粒子第一次進、出磁場兩點的距離為(　　)
題組二　帶電粒子在疊加場中的運動
3.(多選)如圖所示，已知一帶電小球在光滑絕緣的水平面上從靜止開始經電壓U加速后，水平進入互相垂直的勻強電場和勻強磁場區域(電場強度E和磁感應強度B已知)，小球在此區域的豎直平面內做勻速圓周運動，則(　　)
小球可能帶正電
小球做勻速圓周運動的半徑為r＝
小球做勻速圓周運動的周期為T＝
若電壓U增大，則小球做勻速圓周運動的周期增大
4.帶正電的甲、乙、丙三個粒子(不計重力)分別以速度v甲、v乙、v丙垂直射入電場和磁場相互垂直的復合場中，其軌跡如圖所示，則下列說法正確的是(　　)
v甲v甲＝v丙電場力對丙做正功，動能增大
電場力對甲做正功，動能增大
5.(多選)一個帶電微粒在如圖所示的正交勻強電場和勻強磁場中的豎直平面內做勻速圓周運動，重力不可忽略。已知軌跡圓的半徑為r，電場強度的大小為E，磁感應強度的大小為B，重力加速度為g，則(　　)
該微粒帶正電
該微粒沿逆時針旋轉
該微粒沿順時針旋轉
該微粒做圓周運動的速率為
綜合提升練
6.(2024·湖北武漢高二期末)速度選擇器能把具有某一特定速度的粒子選擇出來，也是質譜儀的重要組成部分。如圖所示，速度選擇器內磁感應強度大小為B1，電場強度大小為E，一個帶電粒子沿直線通過了速度選擇器，然后從豎直擋板上的小孔O進入邊長為L的正方形虛線框MNPQ內，虛線框內分布著垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B2，粒子從Q點離開磁場，軌跡如圖所示，O點位于正方形MN邊的中點，不計重力。則該粒子的比荷為(　　)
7.(2023·新課標卷，18)一電子和一α粒子從鉛盒上的小孔O豎直向上射出后，打到鉛盒上方水平放置的屏幕P上的a和b兩點，a點在小孔O的正上方，b點在a點的右側，如圖所示。已知α粒子的速度約為電子速度的，鉛盒與屏幕之間存在勻強電場和勻強磁場，則電場和磁場方向可能為(　　)
電場方向水平向左、磁場方向垂直紙面向里
電場方向水平向左、磁場方向垂直紙面向外
電場方向水平向右、磁場方向垂直紙面向里
電場方向水平向右、磁場方向垂直紙面向外
8.(15分)如圖所示，虛線上方有方向豎直向下的勻強電場，虛線上下有相同的勻強磁場，磁感應強度為B，方向垂直紙面向外，ab是一根長為l的絕緣細桿，沿電場線放置在虛線上方的場中，b端恰在虛線上，將一套在桿上的帶正電的電荷量為q、質量為m的小環(重力不計)，從a端由靜止釋放后，小環先做加速運動，后做勻速運動到達b端。已知小環與絕緣桿間的動摩擦因數μ＝0.3，當小環脫離
桿進入虛線下方后，運動軌跡是半圓，其半徑為，求：
(1)(5分)小環到達b點的速度vb的大小；
(2)(5分)勻強電場的電場強度E的大小
(3)(5分)帶電小環從a到b運動過程中克服摩擦力所做的功與靜電力所做的功之比。
培優加強練
9.(15分)如圖所示，光滑水平地面上方空間中存在以豎直虛線MN為邊界的電場和磁場，電場強度大小為E＝5 N/C、方向水平向右，磁感應強度大小為B＝0.2 T、方向垂直紙面向里。質量m＝0.01 kg、電荷量q＝＋0.2 C的帶孔小球，穿在長度為l＝5 m的絕緣且豎直輕桿上，開始時小球靜止在輕桿底端，球在MN左側一定距離處由靜止釋放，并以v＝5 m/s的速度進入勻強磁場中，之后在外力作用下，光滑輕桿始終保持豎直且在磁場中做勻速直線運動，最終小球從輕桿上端飛出，g取10 m/s2，求：
(1)(5分)釋放時小球到邊界MN的距離；
(2)(5分)小球在輕桿上的運動時間
(3)(5分)小球運動到輕桿上端時機械能的增加量。
專題提升四　帶電粒子在復合場中的運動
1.BD　[粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力可得qvB＝m，解得粒子速率v＝，粒子做圓周運動的周期T＝＝，向心加速度大小a＝＝。根據粒子在Ⅱ中運動軌跡半徑是Ⅰ中運動軌跡半徑的2倍可知，粒子在Ⅱ中的運動速率、向心加速度的大小均是在Ⅰ中的2倍，周期不變，B、D正確，C錯誤；根據邊界為減速滲透薄膜可知，粒子從區域Ⅱ向區域Ⅰ運動，根據粒子偏轉方向，由左手定則可知，粒子帶正電，A錯誤。]
2.A　[根據題意，設粒子帶正電，進入磁場時速度大小為v，方向與水平方向夾角為α，畫出粒子的運動軌跡，如圖所示，根據題意可知，粒子在電場中做類平拋運動，由運動規律有＝sin α，解得v＝，粒子在磁場中做圓周運動，由牛頓第二定律有qvB＝m，解得R＝＝，由幾何關系可得，粒子第一次進、出磁場兩點的距離為d＝2Rsin α＝2sin α＝，由于粒子的比荷為k，則粒子第一次進、出磁場兩點的距離為d＝，故A正確。]
3.BC　[小球在豎直平面內做勻速圓周運動，則小球受到的電場力和重力大小相等、方向相反，則小球受到的電場力豎直向上，小球帶負電，故A錯誤；因為小球做勻速圓周運動的向心力由洛倫茲力提供，有qvB＝m，由動能定理得qU＝mv2，且有mg＝qE，聯立可得小球做勻速圓周運動的半徑r＝，故B正確；由運動學公式可得T＝，解得T＝，與電壓U無關，故C正確，D錯誤。]
4.C　[對于甲粒子，軌跡向正極板彎曲，則qv甲B>qE，v甲>；對于乙粒子，軌跡不彎曲，則qv乙B＝qE，v乙＝；對于丙粒子，軌跡向負極板彎曲，qv丙Bv乙>v丙，故A、B錯誤；丙粒子向負極板偏轉，電場力做正功，動能增加，故C正確；甲粒子向正極板偏轉，所受到的電場力做負功，動能減小，故D錯誤。]
5.BD　[由題意可知帶電微粒受到的重力和電場力是一對平衡力，重力方向豎直向下，所以電場力方向豎直向上，與電場方向相反，故該微粒帶負電，A錯誤；磁場方向垂直紙面向外，洛倫茲力的方向始終指向圓心，由左手定則可判斷微粒的旋轉方向為逆時針，B正確，C錯誤；由以上分析有mg＝qE，帶電微粒在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動的軌跡圓的半徑為r＝，聯立得v＝，D正確。]
6.C　[設粒子沿直線通過速度選擇器的速度為v，由平衡條件知qE＝qvB1，粒子進入勻強磁場做勻速圓周運動，設軌跡半徑為R，由幾何關系知R2＝L2＋(R－)2，解得R＝，由洛倫茲力提供向心力得qvB2＝m，聯立可得＝，故A、B、D錯誤，C正確。]
7.C　[假設電子打在a點，即其所受電場力與洛倫茲力大小相等，方向相反，故eE＝evB，由于α粒子的速度v′小于電子的速度v，所以2eE>2ev′B，α粒子經過電、磁疊加場后向右偏轉，即其所受合力方向向右，由于α粒子帶正電，所以電場方向水平向右，A、B錯誤；電子所受電場力水平向左，則其所受洛倫茲力水平向右，則磁場方向垂直紙面向里，D錯誤，C正確；假設α粒子打在a點，同樣可以得出C正確。]
8.(1)　(2)　(3)4∶9
解析　(1)小環在虛線下方磁場中做勻速圓周運動時，根據洛倫茲力提供向心力，有
qvbB＝m，又r＝
解得vb＝。
(2)小環沿桿向下運動時，受力情況如圖所示，受向左的洛倫茲力F、向右的彈力FN、向下的靜電力qE、向上的摩擦力Ff。當小環做勻速運動時，水平方向有FN＝F＝qvbB
豎直方向有qE＝Ff＝μFN
解得E＝。
(3)小環從a運動到b的過程中，由動能定理得
W電－Wf＝mv
又W電＝qEl＝
所以Wf＝－mv＝
則有＝。
9.(1)0.125 m　(2)1 s　(3)1 J
解析　(1)設釋放時小球到邊界MN的距離為L，小球由靜止釋放到剛進入磁場的過程，由動能定理得qEL＝mv2①
解得L＝0.125 m。
(2)輕桿進入磁場后做勻速直線運動，則小球在豎直方向所受的洛倫茲力恒定，小球在豎直方向做勻加速直線運動，設小球的加速度為a，在輕桿上的運動時間為t，由牛頓第二定律得
qvB－mg＝ma②
由運動學公式得l＝at2③
聯立②③解得t＝1 s。
(3)設小球運動到桿頂端時豎直方向的速度為v′
由運動學公式可得v′＝at④
小球機械能的增加量ΔE＝mgl＋mv′2⑤
聯立②③④⑤解得ΔE＝1 J。專題提升四　帶電粒子在復合場中的運動
學習目標　1.會分析帶電粒子在組合場中的運動問題。2.會分析帶電粒子在疊加場中的運動問題。
提升1　帶電粒子在組合場中的運動
帶電粒子在電場、磁場組合場中的運動是指粒子從電場到磁場或從磁場到電場的運動。通常按時間的先后順序分成若干個小過程，在每一運動過程中從粒子的受力性質、受力方向和速度方向的關系入手，分析粒子在電場中做什么運動，在磁場中做什么運動。
1.在電場中運動
(1)若初速度v0與電場線平行，粒子做勻變速直線運動。
(2)若初速度v0與電場線垂直，粒子做類平拋運動。
2.在磁場中運動
(1)若初速度v0與磁感線平行，粒子做勻速直線運動。
(2)若初速度v0與磁感線垂直，粒子做勻速圓周運動。
3.解題方法
角度1　從磁場進入電場
例1 如圖所示，直角坐標系的第Ⅰ象限中存在沿y軸負方向的勻強電場，在第Ⅱ象限中存在垂直紙面向外的勻強磁場。一電荷量為q、質量為m的帶正電粒子，在x軸負半軸上的a點以速度v0沿與x軸負方向成60°角射入磁場，從y＝L處的b點垂直于y軸方向進入電場，并經過x軸上x＝2L處的c點。不計重力，求：
(1)磁感應強度B的大小；
(2)電場強度E的大小；
(3)粒子在磁場和電場中運動時間的比值。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2 (多選)如圖所示，在x軸上方有沿y軸負方向的勻強電場，電場強度為E，在x軸下方的等腰直角三角形CDM區域內有垂直于xOy平面向外的勻強磁場，磁感應強度為B，其中C、D在x軸上，它們到原點O的距離均為a，現將質量為m、電荷量為＋q的粒子從y軸上的P點由靜止釋放，設P點到O點的距離為h，不計重力作用與空氣阻力的影響。下列說法正確的是(　　)
A.若粒子垂直于CM射出磁場，則h＝
B.若粒子垂直于CM射出磁場，則h＝
C.若粒子平行于x軸射出磁場，則h＝
D.若粒子平行于x軸射出磁場，則h＝
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
提升2　帶電粒子在疊加場中的運動
1.疊加場
電場、磁場、重力場疊加，或其中某兩場疊加。
2.是否考慮粒子重力
對于微觀粒子，如電子、質子、離子等，因為其重力一般情況下與靜電力或磁場力相比太小，可以忽略；而對于一些實際物體，如帶電小球、液滴、塵埃等一般應當考慮其重力。
3.帶電粒子在疊加場中的常見運動
靜止或勻速直線運動 當帶電粒子在疊加場中所受合力為零時，將處于靜止狀態或勻速直線運動狀態
勻速圓周運動 當帶電粒子所受的重力與靜電力大小相等、方向相反時，帶電粒子在洛倫茲力的作用下，在垂直于勻強磁場的平面內做勻速圓周運動
較復雜的曲線運動 當帶電粒子所受合力的大小和方向均變化，且與初速度方向不在同一條直線上時，粒子做非勻變速曲線運動，這時粒子運動軌跡既不是圓弧，也不是拋物線
例3 (多選)質量為m、電荷量為q的微粒以速度v與水平方向成θ角從O點進入方向如圖所示的正交的勻強電場和勻強磁場組成的混合場區，該微粒在靜電力、洛倫茲力和重力的共同作用下，恰好沿直線運動到A，下列說法正確的是(重力加速度為g)(　　)
A.該微粒一定帶負電荷
B.微粒從O到A的運動可能是勻變速運動
C.該磁場的磁感應強度大小為
D.該電場的電場強度大小為
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
帶電粒子在疊加場中運動問題的分析方法
　　　　
訓練 如圖所示，在地面附近有范圍足夠大的相互正交的勻強電場和勻強磁場。勻強磁場的磁感應強度為B，方向水平并垂直紙面向外，一質量為m、帶電荷量為－q(q>0)的帶電微粒在此區域恰好做速度大小為v的勻速圓周運動(重力加速度為g)。
(1)求此區域內電場強度的大小和方向；
(2)若某時刻微粒運動到場中距地面高度為H的P點，速度與水平方向成45°角，如圖所示。則該微粒至少需要經過多長時間才能運動到最高點？最高點距地面多高？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
隨堂對點自測
1.(帶電粒子在組合場中的運動)(2022·廣東卷)如圖所示，一個立方體空間被對角平面MNPQ劃分成兩個區域，兩區域分布有磁感應強度大小相等、方向相反且與z軸平行的勻強磁場。一質子以某一速度從立方體左側垂直Oyz平面進入磁場，并穿過兩個磁場區域。下列關于質子運動軌跡在不同坐標平面的投影中，可能正確的是(　　)
2.(帶電粒子在疊加場中的運動)(多選)(2024·福建龍巖期末)如圖所示，空間存在豎直向上的勻強磁場和勻強電場，磁感應強度為B、電場強度為E，質量為m的帶電小球在場中恰好處于靜止狀態。現將勻強磁場方向順時針旋轉90°，同時給小球一個垂直磁場方向向下的速度v，關于小球之后的運動，下列說法正確的是(重力加速度為g)(　　)
A.小球做勻變速直線運動
B.小球做勻速圓周運動
C.小球第一次運動到最低點的時間為
D.小球在運動過程中最高點與最低點的高度差為
3.(帶電粒子在組合場中的運動)(多選)在如圖所示的坐標系中，y>0的空間中存在勻強電場，場強方向沿y軸負方向；－1.5hA.粒子到達P2點時速度大小為v0
B.電場強度大小為
C.磁感應強度大小為
D.粒子在磁場中運動的時間為
4.(帶電粒子在疊加場中的運動)(多選)(2022·廣東卷，8)如圖所示，磁控管內局部區域分布有水平向右的勻強電場和垂直紙面向里的勻強磁場。電子從M點由靜止釋放，沿圖中所示軌跡依次經過N、P兩點。已知M、P在同一等勢面上，下列說法正確的有(　　)
A.電子從N到P，電場力做正功
B.N點的電勢高于P點的電勢
C.電子從M到N，洛倫茲力不做功
D.電子在M點所受的合力大于在P點所受的合力
專題提升四　帶電粒子在復合場中的運動
提升1
例1 (1)　(2)　(3)
解析　(1)帶電粒子在磁場中的運動軌跡如圖所示。
由幾何關系可知
r＋rsin 30°＝L，得r＝
又因為qv0B＝m，解得B＝。
(2)設帶電粒子在電場中的運動時間為t2，
沿x軸有2L＝v0t2
沿y軸有L＝at
又qE＝ma，聯立解得E＝。
(3)帶電粒子在磁場中的運動時間
t1＝×＝
在電場中的運動時間t2＝
所以帶電粒子在磁場和電場中運動時間的比值為＝。
例2 AD　[粒子在電場中加速，有qEh＝mv，在磁場中做勻速圓周運動，若粒子垂直于CM射出磁場，則軌跡所對的圓心角θ＝45°，半徑R＝a，由洛倫茲力提供向心力，有qv0B＝m，得R＝，聯立以上各式得h＝，A正確，B錯誤；若粒子平行于x軸射出磁場，則軌跡所對的圓心角θ′＝90°，半徑R′＝，同理可得h＝，C錯誤，D正確。]
提升2
例3 ACD　[若微粒帶正電，靜電力向左，洛倫茲力垂直于OA線斜向右下方，則靜電力、洛倫茲力和重力不能平衡，故微粒帶負電，故A正確；微粒如果做勻變速運動，重力和靜電力不變，而洛倫茲力隨速度變化而變化，微粒不能沿直線運動，故B錯誤；微粒受力如圖所示，由平衡條件得qvBcos θ＝mg，qE＝mgtan θ，解得B＝，E＝，故C、D正確。]
訓練 (1)　方向豎直向下
(2)　H＋
解析　(1)要滿足帶負電微粒做勻速圓周運動，則qE＝mg，解得E＝，方向豎直向下。
(2)如圖所示，當微粒第一次運動到最高點時，由幾何知識得α＝135°，則
t＝T＝T＝
因為T＝，所以t＝
因微粒做勻速圓周運動，則有qvB＝m
則R＝，故最高點距地面的高度為
H1＝R＋Rsin 45°＋H＝H＋。
隨堂對點自測
1.A　[由題意知當質子垂直Oyz平面進入磁場后先在MN左側運動，剛進入時根據左手定則可知質子受到沿y軸正方向的洛倫茲力，做勻速圓周運動，即質子會向y軸正方向偏移，y軸坐標增大，在MN右側磁場方向反向，由對稱性可知，A正確，B錯誤；質子的運動軌跡在Ozx平面的投影為一條平行于x軸的直線，C、D錯誤。]
2.BD　[依題意可知小球受到的電場力與重力平衡，磁場方向順時針旋轉90°后小球在洛倫茲力的作用下將垂直紙面向外做勻速圓周運動，故A錯誤，B正確；小球重力與電場力平衡，有qE＝mg，所以小球做勻速圓周運動的周期T＝＝，則小球第一次運動到最低點歷時t＝T＝，故C錯誤；帶電小球在垂直磁場的平面內做勻速圓周運動，滿足qvB＝m，小球運動過程中的最高點與最低點的高度差為h＝2r，解得h＝，故D正確。]
3.BC　[設粒子從P1點到P2點的時間為t0，粒子從P1點到P2點沿水平方向做勻速直線運動，沿豎直方向做初速度為零的勻加速直線運動，由運動學公式可得1.5h＝v0t0，h＝t0，解得vy＝v0，則粒子到達P2點的速度v＝＝v0，A錯誤；根據動能定理得qEh＝mv2－mv，解得E＝，B正確；由題意可知粒子進入磁場后的運動軌跡如圖所示，粒子剛進入磁場時v＝v0，則cos θ＝＝，故粒子剛進入磁場時速度方向與x軸正向夾角為53°，由幾何關系可知，軌跡半徑R滿足Rsin 37°＝1.5h，即R＝2.5h，根據帶電粒子在勻強磁場中運動時，洛倫茲力提供向心力可得qvB＝m，聯立解得B＝，C正確；根據T＝可得T＝，粒子在磁場中運動的時間t＝T＝，D錯誤。]
4.BC　[電子所受電場力方向向左，N到P沿電場力方向的位移向右，故電場力做負功，A錯誤；沿電場線方向電勢降低，故B正確；洛倫茲力方向始終和速度方向垂直，洛倫茲力不做功，故C正確；電子從M到P，因為φM＝φP，由W＝qUMP可知，W＝0，結合動能定理可知電子在P點時的速度等于零，故電子在M、P兩點均只受電場力，所受合力大小相等，故D錯誤。](共49張PPT)
專題提升四　帶電粒子在復合場中的運動
第一章　磁場對電流的作用
1.會分析帶電粒子在組合場中的運動問題。
2.會分析帶電粒子在疊加場中的運動問題。
學習目標
目 錄
CONTENTS
提升
01
課后鞏固訓練
03
隨堂對點自測
02
提升
1
提升2　帶電粒子在疊加場中的運動
提升1　帶電粒子在組合場中的運動
提升1　帶電粒子在組合場中的運動
帶電粒子在電場、磁場組合場中的運動是指粒子從電場到磁場或從磁場到電場的運動。通常按時間的先后順序分成若干個小過程，在每一運動過程中從粒子的受力性質、受力方向和速度方向的關系入手，分析粒子在電場中做什么運動，在磁場中做什么運動。
1.在電場中運動
(1)若初速度v0與電場線平行，粒子做勻變速直線運動。
(2)若初速度v0與電場線垂直，粒子做類平拋運動。
2.在磁場中運動
(1)若初速度v0與磁感線平行，粒子做勻速直線運動。
(2)若初速度v0與磁感線垂直，粒子做勻速圓周運動。
3.解題方法
角度1　從磁場進入電場
例1 如圖所示，直角坐標系的第Ⅰ象限中存在沿y軸負方向的勻強電場，在第Ⅱ象限中存在垂直紙面向外的勻強磁場。一電荷量為q、質量為m的帶正電粒子，在x軸負半軸上的a點以速度v0沿與x軸負方向成60°角射入磁場，從y＝L處的b點垂直于y軸方向進入電場，并經過x軸上x＝2L處的c點。不計重力，求：
(1)磁感應強度B的大小；
(2)電場強度E的大小；
(3)粒子在磁場和電場中運動時間的比值。
解析　(1)帶電粒子在磁場中的運動軌跡如圖所示。
由幾何關系可知
AD
例2 (多選)如圖所示，在x軸上方有沿y軸負方向的勻強電場，電場強度為E，在x軸下方的等腰直角三角形CDM區域內有垂直于xOy平面向外的勻強磁場，磁感應強度為B，其中C、D在x軸上，它們到原點O的距離均為a，現將質量為m、電荷量為＋q的粒子從y軸上的P點由靜止釋放，設P點到O點的距離為h，不計重力作用與空氣阻力的影響。下列說法正確的是(　　)
提升2　帶電粒子在疊加場中的運動
1.疊加場
電場、磁場、重力場疊加，或其中某兩場疊加。
2.是否考慮粒子重力
對于微觀粒子，如電子、質子、離子等，因為其重力一般情況下與靜電力或磁場力相比太小，可以忽略；而對于一些實際物體，如帶電小球、液滴、塵埃等一般應當考慮其重力。
3.帶電粒子在疊加場中的常見運動
靜止或勻速直線運動 當帶電粒子在疊加場中所受合力為零時，將處于靜止狀態或勻速直線運動狀態
勻速圓周運動 當帶電粒子所受的重力與靜電力大小相等、方向相反時，帶電粒子在洛倫茲力的作用下，在垂直于勻強磁場的平面內做勻速圓周運動
較復雜的曲線運動 當帶電粒子所受合力的大小和方向均變化，且與初速度方向不在同一條直線上時，粒子做非勻變速曲線運動，這時粒子運動軌跡既不是圓弧，也不是拋物線
ACD
例3 (多選)質量為m、電荷量為q的微粒以速度v與水平方向成θ角從O點進入方向如圖所示的正交的勻強電場和勻強磁場組成的混合場區，該微粒在靜電力、洛倫茲力和重力的共同作用下，恰好沿直線運動到A，下列說法正確的是(重力加速度為g)(　 　)
帶電粒子在疊加場中運動問題的分析方法
訓練 如圖所示，在地面附近有范圍足夠大的相互正交的勻強電場和勻強磁場。勻強磁場的磁感應強度為B，方向水平并垂直紙面向外，一質量為m、帶電荷量為－q(q>0)的帶電微粒在此區域恰好做速度大小為v的勻速圓周運動(重力加速度為g)。
(1)求此區域內電場強度的大小和方向；
(2)若某時刻微粒運動到場中距地面高度為H的P點，速度與水平方向成45°角，如圖所示。則該微粒至少需要經過多長時間才能運動到最高點？最高點距地面多高？
隨堂對點自測
2
A
1.(帶電粒子在組合場中的運動)(2022·廣東卷)如圖所示，一個立方體空間被對角平面MNPQ劃分成兩個區域，兩區域分布有磁感應強度大小相等、方向相反且與z軸平行的勻強磁場。一質子以某一速度從立方體左側垂直Oyz平面進入磁場，并穿過兩個磁場區域。下列關于質子運動軌跡在不同坐標平面的投影中，可能正確的是(　　)
解析　由題意知當質子垂直Oyz平面進入磁場后先在MN左側運動，剛進入時根據左手定則可知質子受到沿y軸正方向的洛倫茲力，做勻速圓周運動，即質子會向y軸正方向偏移，y軸坐標增大，在MN右側磁場方向反向，由對稱性可知，A正確，B錯誤；質子的運動軌跡在Ozx平面的投影為一條平行于x軸的直線，C、D錯誤。
BD
2.(帶電粒子在疊加場中的運動)(多選)(2024·福建龍巖期末)如圖所示，空間存在豎直向上的勻強磁場和勻強電場，磁感應強度為B、電場強度為E，質量為m的帶電小球在場中恰好處于靜止狀態。現將勻強磁場方向順時針旋轉90°，同時給小球一個垂直磁場方向向下的速度v，關于小球之后的運動，下列說法正確的是(重力加速度為g)(　　)
BC
3.(帶電粒子在組合場中的運動)(多選)在如圖所示的坐標系中，y>0的空間中存在勻強電場，場強方向沿y軸負方向；－1.5hBC
4.(帶電粒子在疊加場中的運動)(多選)(2022·廣東卷，8)如圖所示，磁控管內局部區域分布有水平向右的勻強電場和垂直紙面向里的勻強磁場。電子從M點由靜止釋放，沿圖中所示軌跡依次經過N、P兩點。已知M、P在同一等勢面上，下列說法正確的有(　　)
A.電子從N到P，電場力做正功
B.N點的電勢高于P點的電勢
C.電子從M到N，洛倫茲力不做功
D.電子在M點所受的合力大于在P點所受的合力
解析　電子所受電場力方向向左，N到P沿電場力方向的位移向右，故電場力做負功，A錯誤；沿電場線方向電勢降低，故B正確；洛倫茲力方向始終和速度方向垂直，洛倫茲力不做功，故C正確；電子從M到P，因為φM＝φP，由W＝qUMP可知，W＝0，結合動能定理可知電子在P點時的速度等于零，故電子在M、P兩點均只受電場力，所受合力大小相等，故D錯誤。
課后鞏固訓練
3
BD
題組一　帶電粒子在組合場中的運動
1.(多選)(2024·四川綿陽模擬)如圖所示，以減速滲透薄膜為界的區域Ⅰ和Ⅱ有大小相等、方向相反的勻強磁場。一帶電粒子從垂直磁場方向進入磁場，穿過薄膜，在兩磁場區域內做圓周運動，圖中虛線是部分軌跡，粒子在Ⅱ中運動軌跡半徑是 Ⅰ 中運動軌跡半徑的2倍。粒子運動過程中，電性及電荷量均不變，不計重力與空氣阻力。則粒子(　　)
對點題組練
A.帶負電
B.在Ⅱ中做圓周運動的速率是在Ⅰ中的2倍
C.在Ⅱ中做圓周運動的周期是在Ⅰ中的2倍
D.在Ⅱ中向心加速度的大小是在Ⅰ中的2倍
A
2.如圖所示，虛線為勻強電場和勻強磁場的分界線，電場線與分界線平行。一帶電粒子以初速度v0垂直于電場線射入電場，并能進入磁場。已知磁感應強度為B，粒子的比荷為k，不計粒子的重力。則粒子第一次進、出磁場兩點的距離為(　　)
BC
題組二　帶電粒子在疊加場中的運動
3.(多選)如圖所示，已知一帶電小球在光滑絕緣的水平面上從靜止開始經電壓U加速后，水平進入互相垂直的勻強電場和勻強磁場區域(電場強度E和磁感應強度B已知)，小球在此區域的豎直平面內做勻速圓周運動，則(　　)
C
4.帶正電的甲、乙、丙三個粒子(不計重力)分別以速度v甲、v乙、v丙垂直射入電場和磁場相互垂直的復合場中，其軌跡如圖所示，則下列說法正確的是(　　)
A.v甲C.電場力對丙做正功，動能增大 D.電場力對甲做正功，動能增大
BD
5.(多選)一個帶電微粒在如圖所示的正交勻強電場和勻強磁場中的豎直平面內做勻速圓周運動，重力不可忽略。已知軌跡圓的半徑為r，電場強度的大小為E，磁感應強度的大小為B，重力加速度為g，則(　　)
C
綜合提升練
C
A.電場方向水平向左、磁場方向垂直紙面向里
B.電場方向水平向左、磁場方向垂直紙面向外
C.電場方向水平向右、磁場方向垂直紙面向里
D.電場方向水平向右、磁場方向垂直紙面向外
解析　假設電子打在a點，即其所受電場力與洛倫茲力大小相等，方向相反，故eE＝evB，由于α粒子的速度v′小于電子的速度v，所以2eE>2ev′B，α粒子經過電、磁疊加場后向右偏轉，即其所受合力方向向右，由于α粒子帶正電，所以電場方向水平向右，A、B錯誤；電子所受電場力水平向左，則其所受洛倫茲力水平向右，則磁場方向垂直紙面向里，D錯誤，C正確；假設α粒子打在a點，同樣可以得出C正確。
(1)小環到達b點的速度vb的大小；
(2)勻強電場的電場強度E的大小；
(3)帶電小環從a到b運動過程中克服摩擦力所做的功與靜電力所做的功之比。
解析　(1)小環在虛線下方磁場中做勻速圓周運動時，根據洛倫茲力提供向心力，有
(2)小環沿桿向下運動時，受力情況如圖所示，受向左的洛倫茲力F、向右的彈力FN、向下的靜電力qE、向上的摩擦力Ff。當小環做勻速運動時，水平方向有FN＝F＝qvbB
9.如圖所示，光滑水平地面上方空間中存在以豎直虛線MN為邊界的電場和磁場，電場強度大小為E＝5 N/C、方向水平向右，磁感應強度大小為B＝0.2 T、方向垂直紙面向里。質量m＝0.01 kg、電荷量q＝＋0.2 C的帶孔小球，穿在長度為l＝5 m的絕緣且豎直輕桿上，開始時小球靜止在輕桿底端，球在MN左側一定距離處由靜止釋放，并以v＝5 m/s的速度進入勻強磁場中，之后在外力作用下，光滑輕桿始終保持豎直且在磁場中做勻速直線運動，最終小球從輕桿上端飛出，g取10 m/s2，求：
(1)釋放時小球到邊界MN的距離；
(2)小球在輕桿上的運動時間；
(3)小球運動到輕桿上端時機械能的增加量。
答案　(1)0.125 m　(2)1 s　(3)1 J
解得L＝0.125 m。
(2)輕桿進入磁場后做勻速直線運動，則小球在豎直方向所受的洛倫茲力恒定，小球在豎直方向做勻加速直線運動，設小球的加速度為a，在輕桿上的運動時間為t，由牛頓第二定律得
qvB－mg＝ma②
聯立②③解得t＝1 s。

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