資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第六章 圖形的變化
6.1尺規(guī)作圖、視圖與投影、 幾何體及其展開圖
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 基本尺規(guī)作圖及相應(yīng)運(yùn)算 ☆☆ 浙江中考數(shù)學(xué)（省卷）中，該專題部分，考查3道題，分值為12分左右，通常以選填題（2題）、 計(jì)算題（1題）的形式考查。預(yù)計(jì)2025年浙江中考還將出現(xiàn)，幾何體的展開圖、視圖與投影和命題在選填題出現(xiàn)的可能性較大，一般只考查基礎(chǔ)應(yīng)用，所以考生在復(fù)習(xí)時(shí)要多注重該考點(diǎn)的概念以及應(yīng)用。
考點(diǎn)2 視圖與投影及其計(jì)算 ☆☆☆
考點(diǎn)3 幾何體的展開圖 ☆☆☆
考點(diǎn)4 定義、命題、定理 ☆☆☆
本專題以考查幾何體的三視圖和正方體的展開圖、尺規(guī)作圖和真假命題為主。其中尺規(guī)作圖的考查涉及多種形式，不再是單一的對(duì)作圖技法操作進(jìn)行考查，而是把作圖與計(jì)算、證明、分析、判斷等數(shù)學(xué)思維活動(dòng)有效融合，既體現(xiàn)了動(dòng)手實(shí)踐的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，也考查了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思考解決問題的能力。
2
4
■考點(diǎn)一　基本尺規(guī)作圖及相應(yīng)運(yùn)算 4
■考點(diǎn)二　視圖與投影及其計(jì)算 9
■考點(diǎn)三　幾何體的展開圖 14
■考點(diǎn)四　定義、命題、定理 17
21
35
■考點(diǎn)一　基本尺規(guī)作圖及相應(yīng)運(yùn)算
1）尺規(guī)作圖的定義:在幾何里，把限定用沒有刻度的直尺和圓規(guī)來畫圖稱為 。
2）五種基本作圖
（1）作一條線段等于已知線段；（2）作一個(gè)角等于已知角；（3）作一個(gè)角的平分線；（4）作一條線段的垂直平分線；（5）過一點(diǎn)作已知直線的垂線。
3）根據(jù)基本作圖作三角形
（1）已知三角形的三邊，求作三角形；（2）已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形；（3）已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形；（4）已知三角形的兩角及其中一角的對(duì)邊，求作三角形；（5）已知直角三角形一直角邊和斜邊，求作直角三角形。
4）與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖
（1）過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓（即三角形的外接圓）；（2）作三角形的內(nèi)切圓。
5）作圖題的一般步驟
（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）證明；（6）討論。
其中步驟（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作圖中一定要保留作圖 。
6）尺規(guī)作圖的關(guān)鍵：（1）先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么；（2）讀懂題意后，再運(yùn)用幾種基本作圖方法解決問題。
7）根據(jù)已知條件作等腰三角形或直角三角形
求作三角形的關(guān)鍵是確定三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，作圖依據(jù)是三角形全等的判定，常借助基本作圖來完成，如作直角三角形就先作一個(gè)直角。
■考點(diǎn)二　視圖與投影及其計(jì)算
1）投影：在光線的照射下，空間中的物體落在平面內(nèi)的影子能夠反映出該物體的形狀和大小，這種現(xiàn)象叫做 現(xiàn)象。影子所在的平面稱為 。
2）平行投影、中心投影、正投影
（1）中心投影：在 下形成的物體的投影叫做 投影，點(diǎn)光源叫做投影中心。
（2）平行投影：投射線相互 的投影稱為 投影。
（3）正投影：投射線與投影面 時(shí)的 投影，叫做 。
1）視圖：由于可以用視線代替投影線，所以物體的正投影通常也稱為物體的視圖。
2）三視圖：（1）主視圖：從 看得到的視圖叫做主視圖；（2）左視圖：從 看得到的視圖叫做左視圖；（3）俯視圖：從 看得到的視圖叫做俯視圖。
3）三視圖的畫法
（1）畫三視圖要注意三要素：主視圖與俯視圖長(zhǎng)度相等；主視圖與左視圖高度相等；左視圖與俯視圖寬度相等．簡(jiǎn)記為“主俯長(zhǎng)對(duì)正，主左高平齊，左俯寬相等”。
（2）注意實(shí)線與虛線的區(qū)別：能看到的線用實(shí)線，看不到的線用虛線。
■考點(diǎn)三　幾何體的展開圖
1）常見幾何體的展開圖
幾何體 立體圖形 表面展開圖 側(cè)面展開圖
圓柱
圓錐
三棱柱
2）正方體的展開圖
正方體有11種展開圖，分為四類：
第一類，中間四連方，兩側(cè)各有一個(gè)，共6種，如下圖：
第二類，中間三連方，兩側(cè)各有一、二個(gè)，共3種，如下圖：
第三類，中間二連方，兩側(cè)各有二個(gè)，只有1種，如圖10；
第四類，兩排各有三個(gè)，也只有1種，如圖11。
■考點(diǎn)四　定義、命題、定理
1）定義:一般地，對(duì)某一名稱或術(shù)語進(jìn)行描述或作出規(guī)定就叫做該名稱或術(shù)語的 。
2）命題：判斷一件事情的語句叫做 。
3）命題的組成：命題是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)。
4）命題的表達(dá)形式：命題可以寫成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論。
5）真命題：正確的命題叫做 。反之，則為假命題。
注意：（1）要說明一個(gè)命題是正確的，需要根據(jù)命題的題設(shè)和已學(xué)的有關(guān)公理、定理進(jìn)行說明（推理、證明）；（2）要說明一個(gè)命題是假命題，只需舉一個(gè)反例即可。
6）逆命題：把原命題的結(jié)論作為命題的 ，把原命題的條件作為命題的 ，所組成的命題叫做原命題的 ；每個(gè)命題都有 ，但原命題是真命題，它的逆命題不一定是 。
7）公理：如果一個(gè)命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來的，并把它作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做 。
8）定理：如果一個(gè)命題可以從公理或其他命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它是正確的，并且可以進(jìn)一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的命題叫做 。
注意：公理和定理都是真命題，都可作為證明其他命題是否為真命題的依據(jù)。
9）推論：由定理直接推出的結(jié)論，并且和定理一樣可作為進(jìn)一步推理依據(jù)的真命題叫做 。
10）如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是 ，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫做 ，其中一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的 ；任何一個(gè)命題都有 ，而定理并不一定有 。
11）反證法定義：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即命題結(jié)論的反面成立，由此經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做 。
12）反證法的步驟：①假設(shè)命題結(jié)論的反面正確；②從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出與公理、定理、定義或已知條件相矛盾的結(jié)論；③說明假設(shè)不成立，從而得出原命題正確。
■考點(diǎn)一　基本尺規(guī)作圖及相應(yīng)運(yùn)算
◇典例1：（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中， ．尺規(guī)作圖的步驟為：①以點(diǎn)C為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)D，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E；② 分別以D，E 為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F；③ 作射線．則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，．以點(diǎn)C為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)D，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E；分別以D，E為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F；作射線．則的度數(shù)為 ．
◇典例2：（2024·廣東江門·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，為的平分線．
(1)尺規(guī)作圖：過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)．（不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母）
(2)在（1）的條件下，求證：．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作?。ɑ∷趫A的半徑都相等），兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，直線分別與邊，相交于點(diǎn)D，E，連接．若，則的度數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于D、E兩點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，連接．若，，則的周長(zhǎng)為 ．
◇典例3：（2025·廣東揭陽·一模）如圖所示為一直角三角形，，，，用圓規(guī)以A點(diǎn)為圓心畫圓弧s，分別交于點(diǎn)D，E，然后再分別以D，E為圓心，以大于長(zhǎng)度的一半畫圓弧，兩圓弧交于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)G，最后以點(diǎn)G為圓心，以的長(zhǎng)度為半徑畫圓交圓弧s于點(diǎn)M，N，連接分別交于點(diǎn)P，Q，連接，則四邊形的周長(zhǎng)為 ．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·廣東佛山·三模）如圖，已知三角形，點(diǎn)E是上一點(diǎn)．
(1)尺規(guī)作圖：在上找到一點(diǎn)F，使得；（不寫作法，保留作圖痕跡）
(2)在（1）的條件下，連接，若，且平分，求的度數(shù)．
2．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在 中，是的角平分線．
(1)實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法，在上找到一點(diǎn)E使得為以為底邊的等腰三角形；(保留作圖痕跡，不寫作法)(2)應(yīng)用與計(jì)算：在（1）的條件下，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)F，求證：
3．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，已知中，．
(1)過點(diǎn) B作平分面積的直線l．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留痕跡）
(2)設(shè)（1）中的直線交于點(diǎn) D． 若， 求的長(zhǎng)．

■考點(diǎn)二　視圖與投影及其計(jì)算
◇典例4：（2025·廣東佛山·一模）如圖所示是皮影戲，它是中國(guó)民間古老的傳統(tǒng)藝術(shù)，老北京人都叫它“驢皮影”．據(jù)史書記載，皮影戲始于西漢，興于唐朝，盛于清代，元代時(shí)期傳至西亞和歐洲，可謂歷史悠久，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)．皮影戲的光源通常是一盞煤油燈，則它的投影屬于（ ）
A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．無法確定
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·廣東深圳·一模）下列是描述小明和小穎在同一盞路燈下影子的圖片，其中合理的是（ ）
A．B．C． D．
2．（2023·廣東東莞·一模）清晨，早起鍛煉的人的影子方向是（　　）
A．朝東 B．朝西 C．朝南 D．朝北
◇典例5：（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）學(xué)習(xí)相似三角形后，小紅利用燈光下自己的影子長(zhǎng)度來測(cè)量一路燈的高度．如圖，已知小紅的身高是米，他在路燈下的影長(zhǎng)為2米，小紅距路燈燈桿的底部4米，則路燈燈泡距地面的高度是 米．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·廣東茂名·二模）如圖，如圖，安裝路燈的路面比種植樹木的地面高，在路燈的照射下，路基留在地面上的影長(zhǎng)為，通過測(cè)量知道的距離為，則路燈的高度是 m．
2．（2024·廣東深圳·二模）某一時(shí)刻在陽光照射下，廣場(chǎng)上的護(hù)欄及其影子如圖1所示，將護(hù)欄拐角處在地面上的部分影子抽象成圖2，已知，，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
◇典例6：（2024·河南周口·一模）如圖是物理學(xué)中經(jīng)常使用的型磁鐵示意圖，其左視圖是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2025·廣東揭陽·一模）如圖1所示為烽火臺(tái)，其建筑主體為正四棱臺(tái)，圖2幾何體為其結(jié)構(gòu)圖．如圖2所示，正四棱臺(tái)是由底面為正方形的正四棱錐切割所得到的，則圖2幾何體的主視圖為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·廣東云浮·一模）如圖，該幾何體的俯視圖是（ ）

A． B． C． D．
◇典例7：（2024·廣東中山·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的是由一些相同的小正方體構(gòu)成的幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體中小正方體的個(gè)數(shù)（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·廣東中山·三模）某幾何體由若干個(gè)大小相同的小正方體組成，其主視圖、左視圖和俯視圖都如圖所示．則組成該幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少為（ ）
A．4個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．3個(gè)
2．（2025九年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）一個(gè)由10個(gè)大小相同的小立方塊搭成的幾何體如圖所示．
(1)在給定的虛線方格圖中畫出從正面、左面、上面看到的這個(gè)幾何體的形狀圖；
(2)給這個(gè)幾何體添加一些相同的小立方塊，如果從左面和上面看到的形狀圖保持不變，請(qǐng)直接寫出最多可以添加多少個(gè)小立方塊？
■考點(diǎn)三　幾何體的展開圖
◇典例8：（2024·江西·中考真題）如圖是的正方形網(wǎng)格，選擇一空白小正方形，能與陰影部分組成正方體展開圖的方法有（ ）
A．1種 B．2種 C．3種 D．4種
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·青海·中考真題）生活中常見的路障錐通常是圓錐的形狀，它的側(cè)面展開圖是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖是某幾何體的表面展開后得到的平面圖形，則該幾何體是（ ）
A．三棱錐 B．圓錐 C．三棱柱 D．長(zhǎng)方體
◇典例9：（2024·四川德陽·中考真題）走馬燈，又稱仙音燭，據(jù)史料記載，走馬燈的歷史起源于隋唐時(shí)期，盛行于宋代，是中國(guó)特色工藝品，常見于除夕、元宵、中秋等節(jié)日，在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，一同學(xué)用如圖所示的紙片，沿折痕折合成一個(gè)棱錐形的“走馬燈”，正方形做底，側(cè)面有一個(gè)三角形面上寫了“祥”字，當(dāng)燈旋轉(zhuǎn)時(shí)，正好看到“吉祥如意”的字樣．則在A、B、C處依次寫上的字可以是（ ）
A．吉 如 意 B．意 吉 如 C．吉 意 如 D．意 如 吉
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖是正方體表面展開圖．將其折疊成正方體后，距頂點(diǎn)A最遠(yuǎn)的點(diǎn)是（ ）
A．B點(diǎn) B．C點(diǎn) C．D點(diǎn) D．E點(diǎn)
2．（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖，正方體的表面展開圖上寫有“我們熱愛中國(guó)”六個(gè)字，還原成正方體后“我”的對(duì)面的字是（ ）

A．熱 B．愛 C．中 D．國(guó)
■考點(diǎn)四　定義、命題、定理
◇典例10：（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在矩形的對(duì)角線上（不與點(diǎn)重合），下列命題為假命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）下列命題的逆命題是真命題的是（　?。?br/>A．平行四邊形的對(duì)角線互相平分 B．矩形的對(duì)角線相等
C．菱形的對(duì)角線互相垂直 D．正方形的對(duì)角線互相平分且相等
2．（2023·安徽滁州·統(tǒng)考二模）命題“如果，互為相反數(shù)，那么，的絕對(duì)值相等”的逆命題是 ．
◇典例11：（2023·河北·校聯(lián)考一模）已知中，，求證：，下面寫出運(yùn)用反證法證明這個(gè)命題的四個(gè)步驟：①∴，這與三角形內(nèi)角和為矛盾；
②因此假設(shè)不成立．∴；③假設(shè)在中，；④由，得，即．這四個(gè)步驟正確的順序應(yīng)是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·河南鄭州·鄭州外國(guó)語中學(xué)?？级＃┡ｎD曾說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精良的武器之一．”那么我們用反證法證明：“在同一平面內(nèi)，若，，則”時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)（ ）
A． B． C．與相交 D．與相交
2．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）用一個(gè)的值說明命題“如果，那么”是假命題，此時(shí)的值可以為 ．（寫出一個(gè)即可）
3.（2023·福建莆田·統(tǒng)考二模）閱讀下列材料：“為什么不是有理數(shù)”，完成問題．
證明：假設(shè)是有理數(shù)，
那么存在兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)，，使得，則___________．
是2的倍數(shù)，
____________________，
可設(shè)（為正整數(shù)），則，
_____________，即，
__________________，
，都是2的倍數(shù)，不互質(zhì)，與假設(shè)矛盾．
因此假設(shè)不成立，即不是有理數(shù)．
將下列選項(xiàng)依次填入材料中的畫線處，正確的順序是 ．（填上序號(hào)）
①； ②； ③是2的倍數(shù)； ④是2的倍數(shù)．
◇典例12：（2023·湖南長(zhǎng)沙·?？既＃┰谝淮螖?shù)學(xué)活動(dòng)課上，某數(shù)學(xué)老師將三張不同的牌分別發(fā)給甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)，其中有一張牌是紅桃A．
甲說：“紅桃A在我手上”； 乙說：“紅桃A不在我手上”；丙說：“紅桃A肯定不在甲手上” ．
三個(gè)同學(xué)中只有一個(gè)說對(duì)了，則紅桃A在（ ）的手上．
A．甲 B．乙 C．丙 D．無法判斷
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某校開展數(shù)學(xué)興趣活動(dòng)，甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)進(jìn)入決賽角逐前五名，發(fā)獎(jiǎng)前，為活躍氣氛，老師請(qǐng)他們猜一猜各人名次排列情況．
甲說：“乙第三名，丙第五名．”乙說：“戊第四名，丁第五名．”丙說：“甲第一名，戊第四名．”
丁說：“丙第一名，乙第二名．”戊說：“甲第三名，丁第四名．”
結(jié)果，每個(gè)名次都有人猜對(duì)，則第一至第五名的同學(xué)順序是（ ）
A．甲乙丙丁戊 B．丙乙甲戊丁 C．丁戊甲乙丙 D．丁甲乙戊丙
2．（2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考一模）甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球比賽賽前訓(xùn)練，每局兩人進(jìn)行比賽，第三個(gè)人做裁判，每一局都要分出勝負(fù)，勝方和原來的裁判進(jìn)行新一局的比賽，輸方轉(zhuǎn)做裁判，依次進(jìn)行．半天訓(xùn)練結(jié)束時(shí)，發(fā)現(xiàn)甲共當(dāng)裁判9局，乙、丙分別進(jìn)行了14局、12局比賽，在這半天的訓(xùn)練中，甲、乙、丙三人共進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
1．（2024·陜西·中考真題）如圖，將半圓繞直徑所在的虛線旋轉(zhuǎn)一周，得到的立體圖形是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江蘇鹽城·中考真題）正方體的每個(gè)面上都有一個(gè)漢字，如圖是它的一種平面展開圖，那么在原正方體中，與“鹽”字所在面相對(duì)的面上的漢字是（ ）
A．濕 B．地 C．之 D．都
3．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，正方形邊長(zhǎng)為2，以所在直線為軸，將正方形旋轉(zhuǎn)一周，所得圓柱的主視圖的面積為（ ）
A．8 B．4 C． D．
4．（2024·四川廣元·中考真題）一個(gè)幾何體如圖水平放置，它的俯視圖是（ ）

A． B． C． D．
5．（2024·吉林·中考真題）葫蘆在我國(guó)古代被看作吉祥之物．下圖是—個(gè)工藝葫蘆的示意圖，關(guān)于它的三視圖說法正確的是（ ）
A．主視圖與左視圖相同 B．主視圖與俯視圖相同
C．左視圖與俯視圖相同 D．主視圖、左視圖與俯視圖都相同
6．（2024·河北·中考真題）如圖是由個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體，它的左視圖是（ ）

A． B． C． D．
7．（2024·黑龍江綏化·中考真題）某幾何體是由完全相同的小正方體組合而成，下圖是這個(gè)幾何體的三視圖，那么構(gòu)成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是（ ）
A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)
8．（2024·黑龍江綏化·中考真題）下列敘述正確的是（ ）
A．順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)一定能得到一個(gè)矩形
B．平分弦的直徑垂直于弦
C．物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子是中心投影
D．相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等
9．（2024·廣西·中考真題）榫卯是我國(guó)傳統(tǒng)建筑及家具的基本構(gòu)件．燕尾榫是“萬榫之母”，為了防止受拉力時(shí)脫開，榫頭成梯臺(tái)形，形似燕尾，如圖是燕尾榫正面的帶頭部分，它的主視圖是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）由5個(gè)形狀、大小完全相同的小正方體組合而成的幾何體，其主視圖和左視圖如圖所示，則搭建該幾何體的方式有（ ）
A．1種 B．2種 C．3種 D．4種
11．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）某班開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動(dòng)，各組展示作圖痕跡如下，其中射線為的平分線的有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
12．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，再分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若的面積為8，則的面積是（ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
13．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖，在中，是邊的中點(diǎn)．按下列要求作圖：
①以點(diǎn)為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段于點(diǎn)，交于點(diǎn)；
②以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段于點(diǎn)；
③以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑畫弧，交前一條弧于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)在直線同側(cè)；
④作直線，交于點(diǎn)．下列結(jié)論不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
14．（2024·河北·中考真題）觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得線段一定是的（ ）
A．角平分線 B．高線 C．中位線 D．中線
15．（2024·湖北·中考真題）為半圓的直徑，點(diǎn)為半圓上一點(diǎn)，且．①以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交于；②分別以為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)；③作射線，則（ ）
A． B． C． D．
16．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑畫弧，交兩邊于點(diǎn)M，N，再分別以M、N為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)B，連接．若，則（ ）

A． B． C． D．
17．（2024·貴州·中考真題）如圖，在中，以點(diǎn)A為圓心，線段的長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)D，連接．若，則的長(zhǎng)為 ．
18．（2024·山東·中考真題）如圖，已知，以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別與、相交于點(diǎn)，；分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)部相交于點(diǎn)，作射線．分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，，作直線分別與，相交于點(diǎn)，．若，，則到的距離為 ．
19．（2024·福建·中考真題）在手工制作課上，老師提供了如圖1所示的矩形卡紙，要求大家利用它制作一個(gè)底面為正方形的禮品盒．小明按照?qǐng)D2的方式裁剪（其中），恰好得到紙盒的展開圖，并利用該展開圖折成一個(gè)禮品盒，如圖3所示．

圖1 圖2 圖3
(1)直接寫出的值；(2)如果要求折成的禮品盒的兩個(gè)相對(duì)的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應(yīng)選擇的紙盒展開圖圖樣是（ ）
圖4
A． B．
C． D．
(3)
卡紙型號(hào) 型號(hào)Ⅰ 型號(hào)Ⅱ 型號(hào)Ⅲ
規(guī)格（單位：cm）
單價(jià)（單位：元） 3 5 20
現(xiàn)以小明設(shè)計(jì)的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當(dāng)調(diào)整，的比例，制作棱長(zhǎng)為的正方體禮品盒，如果要制作27個(gè)這樣的禮品盒，請(qǐng)你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號(hào)及相應(yīng)型號(hào)卡紙的張數(shù)），并在卡紙上畫出設(shè)計(jì)示意圖（包括一張卡紙可制作幾個(gè)禮品盒，其展開圖在卡紙上的分布情況），給出所用卡紙的總費(fèi)用．
（要求：①同一型號(hào)的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設(shè)計(jì)方案；②沒有用到的卡紙，不要在該型號(hào)的卡紙上作任何設(shè)計(jì)；③所用卡紙的數(shù)量及總費(fèi)用直接填在答題卡的表格上；④本題將綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費(fèi)用”給分，總費(fèi)用最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡紙僅供作草稿用）
21．（2024·四川自貢·中考真題）為測(cè)量水平操場(chǎng)上旗桿的高度，九（2）班各學(xué)習(xí)小組運(yùn)用了多種測(cè)量方法．

(1)如圖1，小張?jiān)跍y(cè)量時(shí)發(fā)現(xiàn)，自己在操場(chǎng)上的影長(zhǎng)恰好等于自己的身高．此時(shí)，小組同學(xué)測(cè)得旗桿的影長(zhǎng)為，據(jù)此可得旗桿高度為________m；
(2)如圖2，小李站在操場(chǎng)上E點(diǎn)處，前面水平放置鏡面C，并通過鏡面觀測(cè)到旗桿頂部A．小組同學(xué)測(cè)得小李的眼睛距地面高度，小李到鏡面距離，鏡面到旗桿的距離．求旗桿高度；(3)小王所在小組采用圖3的方法測(cè)量，結(jié)果誤差較大．在更新測(cè)量工具，優(yōu)化測(cè)量方法后，測(cè)量精度明顯提高，研學(xué)旅行時(shí)，他們利用自制工具，成功測(cè)量了江姐故里廣場(chǎng)雕塑的高度．方法如下：

如圖4，在透明的塑料軟管內(nèi)注入適量的水，利用連通器原理，保持管內(nèi)水面M，N兩點(diǎn)始終處于同一水平線上．
如圖5，在支架上端P處，用細(xì)線系小重物Q，標(biāo)高線始終垂直于水平地面．
如圖6，在江姐故里廣場(chǎng)上E點(diǎn)處，同學(xué)們用注水管確定與雕塑底部B處于同一水平線的D，G兩點(diǎn)，并標(biāo)記觀測(cè)視線與標(biāo)高線交點(diǎn)C，測(cè)得標(biāo)高，．將觀測(cè)點(diǎn)D后移到處，采用同樣方法，測(cè)得，．求雕塑高度（結(jié)果精確到）．
22．（2024·甘肅·中考真題）馬家窯文化以發(fā)達(dá)的彩陶著稱于世，其陶質(zhì)堅(jiān)固，器表細(xì)膩，紅、黑、白彩共用，彩繪線條流暢細(xì)致，圖案繁縟多變，形成了絢麗典雅的藝術(shù)風(fēng)格，創(chuàng)造了一大批令人驚嘆的彩陶藝術(shù)精品，體現(xiàn)了古代勞動(dòng)人民的智慧．如圖1的彩陶紋樣呈現(xiàn)的是三等分圓周，古人用等邊三角形三點(diǎn)定位的方法確定圓周的三等分點(diǎn)，這種方法和下面三等分圓周的方法相通．如圖2，已知和圓上一點(diǎn)M．作法如下：①以點(diǎn)M為圓心，長(zhǎng)為半徑，作弧交于A，B兩點(diǎn)；
②延長(zhǎng)交于點(diǎn)C；即點(diǎn)A，B，C將的圓周三等分．
(1)請(qǐng)你依據(jù)以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在圖2中將的圓周三等分（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)根據(jù)（1）畫出的圖形，連接，，，若的半徑為，則的周長(zhǎng)為______．
23．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，已知及邊上一點(diǎn)．
(1)用無刻度直尺和圓規(guī)在射線上求作點(diǎn)，使得；（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)在（1）的條件下，以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓交射線于點(diǎn)，用無刻度直尺和圓規(guī)在射線上求作點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到射線的距離相等；（保留作圖痕跡，不寫作法）(3)在（1）、（2）的條件下，若，，求的長(zhǎng)．
1．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖是由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)三棱柱組成的幾何體，則它的主視圖是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖是一個(gè)放置在水平試驗(yàn)臺(tái)上的錐形瓶，它的主視圖為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河北石家莊·一模）某幾何體由若干個(gè)大小相同的小正方體組成，其主視圖、左視圖和俯視圖都如圖所示．則組成該幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少為（ ）

A．4個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)
4．（2023·廣東潮州·一模）由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖與俯視圖如圖所示，則搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最多為（　　）
A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．不能確定
5．（2024·貴州六盤水·統(tǒng)考二模）烏蒙鐵塔位于六盤水市人民廣場(chǎng)中央，在晴天的日子里，從早到晚這段時(shí)間，烏蒙鐵塔在太陽下的影長(zhǎng)度是如何變化的（ ）
A．保持不變 B．逐漸變長(zhǎng) C．先逐漸變短，后又逐漸變長(zhǎng) D．逐漸變短
6．（2024·江蘇南京·校考三模）如圖是一個(gè)正六棱柱的主視圖和左視圖，則圖中a的值為（　　）

A． B．4 C．2 D．
7．（2024·福建福州·?？寄M預(yù)測(cè)）甲、乙、丙三位同學(xué)參加學(xué)習(xí)脫貧干部黃文秀、戍邊英雄陳紅軍、人民科學(xué)家南仁東、抗疫英雄張定宇等英雄的先進(jìn)事跡知識(shí)競(jìng)賽該競(jìng)賽共有十道判斷題三位同學(xué)的答題情況如下：
題號(hào)選手
甲
乙
丙
考試成績(jī)公布后，三個(gè)人都答對(duì)了道題，由此可知，題的正確答案依次是（ ）
A．、、、、、、、、、 B．、、、、、、、、、
C．、、、、、、、、、 D．、、、、、、、、、
8．（2022·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是一個(gè)光源，木桿兩端的坐標(biāo)分別為，，則木桿在x軸上的投影長(zhǎng)為（ ）

A． B． C．5 D．6
9.（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）下列選項(xiàng)能正確反映小亮和小美在同一盞路燈的兩側(cè)站立時(shí)影子情況的是（ ）
A． B． C． D．
10.（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）手影游戲利用的物理原理是：光是沿直線傳播的．圖中小狗手影就是我們小時(shí)候常玩的游戲．在一次游戲中，小明距離墻壁1米，爸爸拿著的光源與小明的距離為2米．在小明不動(dòng)的情況下，要使小狗手影的高度增加一倍，則光源與小明的距離應(yīng)（ ）

A．減少米 B．增加米 C．減少米 D．增加米
11．（2024·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）在課堂上，侯老師發(fā)給每人一張印有（如圖1）的卡片，然后要求同學(xué)們畫一個(gè)，使得．小趙和小劉同學(xué)先畫出了之后，后續(xù)畫圖的主要過程分別如圖所示．
對(duì)這兩種畫法的描述中錯(cuò)誤的是（ ）
A．小趙同學(xué)作圖判定的依據(jù)是
B．小趙同學(xué)第二步作圖時(shí)，用圓規(guī)截取的長(zhǎng)度是線段的長(zhǎng)
C．小劉同學(xué)作圖判定的依據(jù)是
D．小劉同學(xué)第一步作圖時(shí)，用圓規(guī)截取的長(zhǎng)度是線段的長(zhǎng)
12．（2024·河北石家莊·統(tǒng)考二模）如圖（1），銳角中，，要用尺規(guī)作圖的方法在邊上找一點(diǎn)D，使為等腰三角形，關(guān)于圖（2）中的甲、乙、丙三種作圖痕跡，下列說法正確的是（ ）
A．甲、乙、丙都正確 B．甲、丙正確，乙錯(cuò)誤 C．甲、乙正確，丙錯(cuò)誤 D．只有甲正確

13.（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧分別交，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，，，則 ．
14．（2023·山西太原·統(tǒng)考二模）現(xiàn)有顆外觀和大小都完全相同的小球，已知顆球的質(zhì)量相等，另外一顆球的質(zhì)量略大一些．小穎想用一架托盤天平稱出這顆質(zhì)量較大的球．她思考后發(fā)現(xiàn)最少稱次就一定能找出這顆球，則的值等于 ．

15.（2023·福建廈門·統(tǒng)考三模）如圖是某校校史榮譽(yù)室的正方形網(wǎng)格平面圖，實(shí)線表示墻體或門．在點(diǎn)處安裝了360度旋轉(zhuǎn)攝像頭，由于墻體的的遮擋，陰影部分無法監(jiān)控，這部分無法監(jiān)控到的區(qū)域通常稱為監(jiān)控盲區(qū)．（1）小紅同學(xué)進(jìn)入校史榮譽(yù)室隨意參觀，站在監(jiān)控盲區(qū)的概率是多少？
（2）為了監(jiān)控效果更好，使得監(jiān)控盲區(qū)最小，請(qǐng)你幫助學(xué)校在墻體上重新設(shè)計(jì)攝像頭安裝的位置，畫出示意圖，并說明理由．
16.（2024·山東淄博·一模）學(xué)習(xí)了《平行四邊形》一章以后，小明根據(jù)學(xué)習(xí)平行四邊形的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)平行四邊形的判定問題進(jìn)行了再次探究．
以下是小明探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：
(1)在四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)．若，補(bǔ)充下列條件中的一個(gè)，能判斷四邊形是平行四邊形的是_________（寫出一個(gè)你認(rèn)為正確選項(xiàng)的序號(hào)即可）；
（A） （B）
(2)將（1）中的命題用文字語言表述為：①命題1_____________________________________________；
②畫出圖形，并寫出命題1的已知和求證；
(3)小明進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：若一個(gè)四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的位置如圖所示，且這個(gè)四邊形滿足，，但四邊形不是平行四邊形，請(qǐng)畫出符合題意的四邊形（不要求尺規(guī)）．進(jìn)而小明發(fā)現(xiàn)：命題2“一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形”是一個(gè)假命題．

17.（2024·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）數(shù)學(xué)課上老師要同學(xué)證明命題“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”是正確的．
小紅同學(xué)先任意畫出，再取邊的中點(diǎn)O，連結(jié)并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使，連結(jié)，（如圖所示），并寫出了如下尚不完整的已知和求證．
已知：如圖，在四邊形中， ． ________． 求證：四邊形是________四邊形．
(1)補(bǔ)全已知和求證（在方框中填空）．(2)小紅同學(xué)的思路是利用三角形全等，依據(jù)“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”來證明，請(qǐng)完成證明過程（可以用小紅的思路，也可以用其他方法）．
18．（2024·河南·統(tǒng)考一模）閱讀下列相關(guān)材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．婆羅摩笈多是古印度著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，也稱“布拉美古塔定理”．定理的內(nèi)容是：“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，則垂直于一邊且過對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊”．
任務(wù)：（1）按圖（1）寫出了這個(gè)定理的已知和求證，并完成這個(gè)定理的證明過程；
已知：__________________ 求證：_________________
證明：
（2）如圖（2），在中，弦于M，連接分別是上的點(diǎn)，于于H，當(dāng)M是中點(diǎn)時(shí)，直接寫出四邊形是怎樣的特殊四邊形：__________．
19．（2025九年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）如圖是由大小相同的8個(gè)小立方塊搭成的幾何體．
(1)請(qǐng)?jiān)诜礁裰蟹謩e畫出從正面、上面看到的該幾何體的形狀圖；
(2)若每個(gè)小正方體的棱長(zhǎng)均為，這個(gè)幾何體的體積是 ；
(3)用小立方塊搭一個(gè)幾何體，使得從正面、上面看到的該幾何體的形狀圖與你在方格中所畫一致，則搭這樣一個(gè)幾何體最少要 個(gè)小立方塊，最多要 個(gè)小立方塊．
20．（2024·廣東深圳·三模）背景：雙目視覺測(cè)距是一種通過測(cè)量出左、右兩個(gè)相機(jī)視野中，同一物體的成像差異，來計(jì)算距離的方法．它在“AI”領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．
材料一：基本介紹：如圖1，是雙目視覺測(cè)距的平面圖．兩個(gè)相機(jī)的投影中心，的連線叫做基線，距離為t，基線與左、右投影面均平行，到投影面的距離為相機(jī)焦距f，兩投影面的長(zhǎng)均為l（t，f，1是同型號(hào)雙目相機(jī)中，內(nèi)置的不變參數(shù)），兩投影中心，分別在左、右投影面的中心垂直線上．根據(jù)光的直線傳播原理，可以確定目標(biāo)點(diǎn)P在左、右相機(jī)的成像點(diǎn)，分別用點(diǎn)，表示．，分別是左、右成像點(diǎn)到各投影面左端的距離．
材料二：重要定義：①視差——點(diǎn)P在左、右相機(jī)的視差定義為．
②盲區(qū)——相機(jī)固定位置后，在基線上方的某平面區(qū)域中，當(dāng)目標(biāo)點(diǎn)P位于該區(qū)域時(shí)，若在左、右投影面上均不能形成成像點(diǎn)，則該區(qū)域稱為盲區(qū)（如圖2，陰影區(qū)域是盲區(qū)之一）．
③感應(yīng)區(qū)——承上，若在左、右投影面均可形成成像點(diǎn)，則該區(qū)域稱為感應(yīng)區(qū)．
材料三：公式推導(dǎo)片段
以下是小明學(xué)習(xí)筆記的一部分：如圖3，顯然，，，可得，所以， （依據(jù)）…
任務(wù)：(1)請(qǐng)?jiān)趫D2中（A，B，C，D是兩投影面端點(diǎn)），畫出感應(yīng)區(qū)邊界，并用陰影標(biāo)示出感應(yīng)區(qū)．
(2)填空：材料三中的依據(jù)是指 ；已知某雙目相機(jī)的基線長(zhǎng)為200mm，焦距f為4mm，則位于感應(yīng)區(qū)的目標(biāo)點(diǎn)P到基線的距離z（mm）與視差d（mm）之間的函數(shù)關(guān)系式為 ．
(3)如圖4，小明用（2）中那款雙目相機(jī)（投影面CD長(zhǎng)為10mm）正對(duì)天空連續(xù)拍攝時(shí)，一物體M正好從相機(jī)觀測(cè)平面的上方從左往右飛過，已知M的飛行軌跡是拋物線的一部分，且知，當(dāng)M剛好進(jìn)入感應(yīng)區(qū)時(shí)，，當(dāng)M剛好經(jīng)過點(diǎn)的正上方時(shí)，視差，在整個(gè)成像過程中，d呈現(xiàn)出大一小一大的變化規(guī)律，當(dāng)d恰好減小到上述的時(shí)，開始變大．
①小明以水平基線為x軸，右投影面的中心垂直線為y軸，建立了如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系，則該拋物線的表達(dá)式為 （友情提示：注意橫、縱軸上的單位：）；
②求物體M剛好落入“盲區(qū)”時(shí)，距離基線的高度．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第六章 圖形的變化
6.1尺規(guī)作圖、視圖與投影、 幾何體及其展開圖
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 基本尺規(guī)作圖及相應(yīng)運(yùn)算 ☆☆ 浙江中考數(shù)學(xué)（省卷）中，該專題部分，考查3道題，分值為12分左右，通常以選填題（2題）、 計(jì)算題（1題）的形式考查。預(yù)計(jì)2025年浙江中考還將出現(xiàn)，幾何體的展開圖、視圖與投影和命題在選填題出現(xiàn)的可能性較大，一般只考查基礎(chǔ)應(yīng)用，所以考生在復(fù)習(xí)時(shí)要多注重該考點(diǎn)的概念以及應(yīng)用。
考點(diǎn)2 視圖與投影及其計(jì)算 ☆☆☆
考點(diǎn)3 幾何體的展開圖 ☆☆☆
考點(diǎn)4 定義、命題、定理 ☆☆☆
本專題以考查幾何體的三視圖和正方體的展開圖、尺規(guī)作圖和真假命題為主。其中尺規(guī)作圖的考查涉及多種形式，不再是單一的對(duì)作圖技法操作進(jìn)行考查，而是把作圖與計(jì)算、證明、分析、判斷等數(shù)學(xué)思維活動(dòng)有效融合，既體現(xiàn)了動(dòng)手實(shí)踐的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，也考查了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思考解決問題的能力。
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■考點(diǎn)一　基本尺規(guī)作圖及相應(yīng)運(yùn)算 4
■考點(diǎn)二　視圖與投影及其計(jì)算 9
■考點(diǎn)三　幾何體的展開圖 14
■考點(diǎn)四　定義、命題、定理 17
21
35
■考點(diǎn)一　基本尺規(guī)作圖及相應(yīng)運(yùn)算
1）尺規(guī)作圖的定義:在幾何里，把限定用沒有刻度的直尺和圓規(guī)來畫圖稱為尺規(guī)作圖 。
2）五種基本作圖
（1）作一條線段等于已知線段；（2）作一個(gè)角等于已知角；（3）作一個(gè)角的平分線；（4）作一條線段的垂直平分線；（5）過一點(diǎn)作已知直線的垂線。
3）根據(jù)基本作圖作三角形
（1）已知三角形的三邊，求作三角形；（2）已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形；（3）已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形；（4）已知三角形的兩角及其中一角的對(duì)邊，求作三角形；（5）已知直角三角形一直角邊和斜邊，求作直角三角形。
4）與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖
（1）過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓（即三角形的外接圓）；（2）作三角形的內(nèi)切圓。
5）作圖題的一般步驟
（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）證明；（6）討論。
其中步驟（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作圖中一定要保留作圖痕跡 。
6）尺規(guī)作圖的關(guān)鍵：（1）先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么；（2）讀懂題意后，再運(yùn)用幾種基本作圖方法解決問題。
7）根據(jù)已知條件作等腰三角形或直角三角形
求作三角形的關(guān)鍵是確定三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，作圖依據(jù)是三角形全等的判定，常借助基本作圖來完成，如作直角三角形就先作一個(gè)直角。
■考點(diǎn)二　視圖與投影及其計(jì)算
1）投影：在光線的照射下，空間中的物體落在平面內(nèi)的影子能夠反映出該物體的形狀和大小，這種現(xiàn)象叫做投影 現(xiàn)象。影子所在的平面稱為投影面 。
2）平行投影、中心投影、正投影
（1）中心投影：在點(diǎn)光源 下形成的物體的投影叫做中心 投影，點(diǎn)光源叫做投影中心。
（2）平行投影：投射線相互平行 的投影稱為平行 投影。
（3）正投影：投射線與投影面垂直 時(shí)的平行 投影，叫做正投影 。
1）視圖：由于可以用視線代替投影線，所以物體的正投影通常也稱為物體的視圖。
2）三視圖：（1）主視圖：從正面 看得到的視圖叫做主視圖；（2）左視圖：從左面 看得到的視圖叫做左視圖；（3）俯視圖：從上面 看得到的視圖叫做俯視圖。
3）三視圖的畫法
（1）畫三視圖要注意三要素：主視圖與俯視圖長(zhǎng)度相等；主視圖與左視圖高度相等；左視圖與俯視圖寬度相等．簡(jiǎn)記為“主俯長(zhǎng)對(duì)正，主左高平齊，左俯寬相等”。
（2）注意實(shí)線與虛線的區(qū)別：能看到的線用實(shí)線，看不到的線用虛線。
■考點(diǎn)三　幾何體的展開圖
1）常見幾何體的展開圖
幾何體 立體圖形 表面展開圖 側(cè)面展開圖
圓柱
圓錐
三棱柱
2）正方體的展開圖
正方體有11種展開圖，分為四類：
第一類，中間四連方，兩側(cè)各有一個(gè)，共6種，如下圖：
第二類，中間三連方，兩側(cè)各有一、二個(gè)，共3種，如下圖：
第三類，中間二連方，兩側(cè)各有二個(gè)，只有1種，如圖10；
第四類，兩排各有三個(gè)，也只有1種，如圖11。
■考點(diǎn)四　定義、命題、定理
1）定義:一般地，對(duì)某一名稱或術(shù)語進(jìn)行描述或作出規(guī)定就叫做該名稱或術(shù)語的定義 。
2）命題：判斷一件事情的語句叫做命題 。
3）命題的組成：命題是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)。
4）命題的表達(dá)形式：命題可以寫成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論。
5）真命題：正確的命題叫做真命題 。反之，則為假命題。
注意：（1）要說明一個(gè)命題是正確的，需要根據(jù)命題的題設(shè)和已學(xué)的有關(guān)公理、定理進(jìn)行說明（推理、證明）；（2）要說明一個(gè)命題是假命題，只需舉一個(gè)反例即可。
6）逆命題：把原命題的結(jié)論作為命題的條件 ，把原命題的條件作為命題的結(jié)論 ，所組成的命題叫做原命題的逆命題 ；每個(gè)命題都有逆命題 ，但原命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題 。
7）公理：如果一個(gè)命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來的，并把它作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理 。
8）定理：如果一個(gè)命題可以從公理或其他命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它是正確的，并且可以進(jìn)一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的命題叫做定理 。
注意：公理和定理都是真命題，都可作為證明其他命題是否為真命題的依據(jù)。
9）推論：由定理直接推出的結(jié)論，并且和定理一樣可作為進(jìn)一步推理依據(jù)的真命題叫做推論 。
10）如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題 ，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫做互逆定理 ，其中一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理 ；任何一個(gè)命題都有逆命題 ，而定理并不一定有逆定理 。
11）反證法定義：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即命題結(jié)論的反面成立，由此經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做反證法 。
12）反證法的步驟：①假設(shè)命題結(jié)論的反面正確；②從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出與公理、定理、定義或已知條件相矛盾的結(jié)論；③說明假設(shè)不成立，從而得出原命題正確。
■考點(diǎn)一　基本尺規(guī)作圖及相應(yīng)運(yùn)算
◇典例1：（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中， ．尺規(guī)作圖的步驟為：①以點(diǎn)C為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)D，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E；② 分別以D，E 為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F；③ 作射線．則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵ ．∴
由題意可知，平分，∴故選：B
◆變式訓(xùn)練
1．（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，．以點(diǎn)C為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)D，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E；分別以D，E為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F；作射線．則的度數(shù)為 ．
【答案】/65度
【詳解】解：∵，，∴，
由題意知：平分，∴，故答案為：．
◇典例2：（2024·廣東江門·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，為的平分線．
(1)尺規(guī)作圖：過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)．（不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母）
(2)在（1）的條件下，求證：．
【答案】(1)見解析；(2)見解析．
【詳解】（1）如圖，即為所求．
（2）證明：為的平分線，為的垂線，，，，
在和中，，
，．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作?。ɑ∷趫A的半徑都相等），兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，直線分別與邊，相交于點(diǎn)D，E，連接．若，則的度數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：由作法可知是的垂直平分線，∴，，，
，，，，
，，，故選：B．
2．（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于D、E兩點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，連接．若，，則的周長(zhǎng)為 ．
【答案】9
【詳解】解：由作圖可知，直線垂直平分，∴，
∵，∴的周長(zhǎng)．故答案為：．
◇典例3：（2025·廣東揭陽·一模）如圖所示為一直角三角形，，，，用圓規(guī)以A點(diǎn)為圓心畫圓弧s，分別交于點(diǎn)D，E，然后再分別以D，E為圓心，以大于長(zhǎng)度的一半畫圓弧，兩圓弧交于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)G，最后以點(diǎn)G為圓心，以的長(zhǎng)度為半徑畫圓交圓弧s于點(diǎn)M，N，連接分別交于點(diǎn)P，Q，連接，則四邊形的周長(zhǎng)為 ．
【答案】16
【詳解】解：∵，，，∴，如圖：
∵用圓規(guī)以A點(diǎn)為圓心畫圓弧s，分別交于點(diǎn)D，E，然后再分別以D，E為圓心，以大于長(zhǎng)度的一半畫圓弧，兩圓弧交于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)G，
∴是的角平分線，∴，
∵以點(diǎn)G為圓心，以的長(zhǎng)度為半徑畫圓交圓弧s于點(diǎn)M，N，連接分別交于點(diǎn)P，Q，連接，∴直線是的垂直平分線，∴，，，∴，
∵，，∴，∴，
即∴四邊形是菱形，則中，，
即，∴，∵，∴，
∴，∴即菱形的周長(zhǎng)是，故答案為：．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·廣東佛山·三模）如圖，已知三角形，點(diǎn)E是上一點(diǎn)．
(1)尺規(guī)作圖：在上找到一點(diǎn)F，使得；（不寫作法，保留作圖痕跡）
(2)在（1）的條件下，連接，若，且平分，求的度數(shù)．
【答案】(1)作圖見解析過程(2)
【詳解】（1）解：如圖1所示，作，交于，點(diǎn)即為所求；
（2）如圖2，連接，∵，，∴，
∵平分，∴，∴．
2．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在 中，是的角平分線．
(1)實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法，在上找到一點(diǎn)E使得為以為底邊的等腰三角形；(保留作圖痕跡，不寫作法)(2)應(yīng)用與計(jì)算：在（1）的條件下，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)F，求證：
【答案】(1)圖見解析(2)見解析
【詳解】（1）解：作圖如下：
（2）證明：作圖如下：是的角平分線，的垂直平分線交于點(diǎn)，
，，，，
，，，，．
3．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，已知中，．

(1)過點(diǎn) B作平分面積的直線l．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留痕跡）
(2)設(shè)（1）中的直線交于點(diǎn) D． 若， 求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析 (2)
【詳解】（1）解：如圖，直線l即為所求；

（2）過點(diǎn)A 作， 垂足為點(diǎn) E， 過點(diǎn) D 作， 垂足為點(diǎn) F，
∵，在中，
∵平分面積，∴點(diǎn) D 為的中點(diǎn)，即
在中，
在中，，
■考點(diǎn)二　視圖與投影及其計(jì)算
◇典例4：（2025·廣東佛山·一模）如圖所示是皮影戲，它是中國(guó)民間古老的傳統(tǒng)藝術(shù)，老北京人都叫它“驢皮影”．據(jù)史書記載，皮影戲始于西漢，興于唐朝，盛于清代，元代時(shí)期傳至西亞和歐洲，可謂歷史悠久，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)．皮影戲的光源通常是一盞煤油燈，則它的投影屬于（ ）
A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．無法確定
【答案】B
【詳解】解：∵皮影戲的光源通常是一盞煤油燈，∴它的投影屬于中心投影．故選B．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·廣東深圳·一模）下列是描述小明和小穎在同一盞路燈下影子的圖片，其中合理的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【詳解】解：小明和小穎在同一盞路燈下影子與身高比例相等且影子方向相反．故選：D．
子越長(zhǎng)；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會(huì)比物體本身的長(zhǎng)度還短．
2．（2023·廣東東莞·一模）清晨，早起鍛煉的人的影子方向是（　?。?br/>A．朝東 B．朝西 C．朝南 D．朝北
【答案】B
【詳解】解：清晨，太陽在東方，所以早起鍛煉的人的影子方向是朝西．故選：B．
◇典例5：（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）學(xué)習(xí)相似三角形后，小紅利用燈光下自己的影子長(zhǎng)度來測(cè)量一路燈的高度．如圖，已知小紅的身高是米，他在路燈下的影長(zhǎng)為2米，小紅距路燈燈桿的底部4米，則路燈燈泡距地面的高度是 米．
【答案】
【詳解】解：結(jié)合題意畫出圖形得：，，，，
小紅的身高為米，他在路燈下的影子長(zhǎng)為2米；小紅距路燈桿底部為4米，
，，，，解得：，
則路燈燈泡距地面的高度是米．故答案為：．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·廣東茂名·二模）如圖，如圖，安裝路燈的路面比種植樹木的地面高，在路燈的照射下，路基留在地面上的影長(zhǎng)為，通過測(cè)量知道的距離為，則路燈的高度是 m．
【答案】
【詳解】解：由題意得：，，∴，由題意得：，
∴，∴，∴，∴，解得：，
∴路燈的高度是,故答案為：．
2．（2024·廣東深圳·二模）某一時(shí)刻在陽光照射下，廣場(chǎng)上的護(hù)欄及其影子如圖1所示，將護(hù)欄拐角處在地面上的部分影子抽象成圖2，已知，，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵某一時(shí)刻在陽光照射下，，且，，
∴，，∴．故選：B．
◇典例6：（2024·河南周口·一模）如圖是物理學(xué)中經(jīng)常使用的型磁鐵示意圖，其左視圖是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：從左面看，只能看到一個(gè)豎著放置的長(zhǎng)方形，且下面還有一部分長(zhǎng)方形，
即的左視圖是；故選：B．
◆變式訓(xùn)練
1．（2025·廣東揭陽·一模）如圖1所示為烽火臺(tái)，其建筑主體為正四棱臺(tái)，圖2幾何體為其結(jié)構(gòu)圖．如圖2所示，正四棱臺(tái)是由底面為正方形的正四棱錐切割所得到的，則圖2幾何體的主視圖為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：從幾何體的正面可以看到一個(gè)等腰梯形．故選：A．
2．（2024·廣東云浮·一模）如圖，該幾何體的俯視圖是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：從上邊看，所得長(zhǎng)方形有兩條豎線．故選：B．
◇典例7：（2024·廣東中山·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的是由一些相同的小正方體構(gòu)成的幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體中小正方體的個(gè)數(shù)（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【詳解】解：綜合三視圖可知，這個(gè)幾何體的底層應(yīng)該有4個(gè)小正方體，第二層左邊有1個(gè)小正方體，
因此搭成這個(gè)幾何體所用小正方體的個(gè)數(shù)是個(gè)．故選B．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·廣東中山·三模）某幾何體由若干個(gè)大小相同的小正方體組成，其主視圖、左視圖和俯視圖都如圖所示．則組成該幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少為（ ）
A．4個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．3個(gè)
【答案】B
【詳解】解：根據(jù)題意，如圖所示：或
故組成該幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少為：（個(gè)）．故選：B．
2．（2025九年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）一個(gè)由10個(gè)大小相同的小立方塊搭成的幾何體如圖所示．
(1)在給定的虛線方格圖中畫出從正面、左面、上面看到的這個(gè)幾何體的形狀圖；
(2)給這個(gè)幾何體添加一些相同的小立方塊，如果從左面和上面看到的形狀圖保持不變，請(qǐng)直接寫出最多可以添加多少個(gè)小立方塊？
【答案】(1)見解析(2)4個(gè)
【詳解】（1）解：從正面、左面、上面看到的這個(gè)幾何體的形狀圖如圖1所示；
（2）解：在從上面看的圖形的相應(yīng)位置標(biāo)可能擺放的最多小正方體的個(gè)數(shù)，所以最多可添加4個(gè)小立方塊．
■考點(diǎn)三　幾何體的展開圖
◇典例8：（2024·江西·中考真題）如圖是的正方形網(wǎng)格，選擇一空白小正方形，能與陰影部分組成正方體展開圖的方法有（ ）
A．1種 B．2種 C．3種 D．4種
【答案】B
【詳解】解：如圖所示：共有2種方法，故選：B．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）生活中常見的路障錐通常是圓錐的形狀，它的側(cè)面展開圖是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：圓錐的側(cè)面展開圖是扇形．故選：D．
2．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖是某幾何體的表面展開后得到的平面圖形，則該幾何體是（ ）
A．三棱錐 B．圓錐 C．三棱柱 D．長(zhǎng)方體
【答案】C
【詳解】解：根據(jù)圖示，上下是兩個(gè)三角形，中間是長(zhǎng)方形，∴該幾何體是三棱柱， 故選：C ．
◇典例9：（2024·四川德陽·中考真題）走馬燈，又稱仙音燭，據(jù)史料記載，走馬燈的歷史起源于隋唐時(shí)期，盛行于宋代，是中國(guó)特色工藝品，常見于除夕、元宵、中秋等節(jié)日，在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，一同學(xué)用如圖所示的紙片，沿折痕折合成一個(gè)棱錐形的“走馬燈”，正方形做底，側(cè)面有一個(gè)三角形面上寫了“祥”字，當(dāng)燈旋轉(zhuǎn)時(shí)，正好看到“吉祥如意”的字樣．則在A、B、C處依次寫上的字可以是（ ）
A．吉 如 意 B．意 吉 如 C．吉 意 如 D．意 如 吉
【答案】A
【詳解】解：由題意可得：展開圖是四棱錐，
∴A、B、C處依次寫上的字可以是吉，如，意；或如，吉，意；故選A
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖是正方體表面展開圖．將其折疊成正方體后，距頂點(diǎn)A最遠(yuǎn)的點(diǎn)是（ ）
A．B點(diǎn) B．C點(diǎn) C．D點(diǎn) D．E點(diǎn)
【答案】B．
【詳解】解：把圖形圍成立方體如圖所示：
所以與頂點(diǎn)A距離最遠(yuǎn)的頂點(diǎn)是C，故選：B．
2．（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖，正方體的表面展開圖上寫有“我們熱愛中國(guó)”六個(gè)字，還原成正方體后“我”的對(duì)面的字是（ ）

A．熱 B．愛 C．中 D．國(guó)
【答案】B
【詳解】解：正方體的平面展開圖中，相對(duì)面的特點(diǎn)是中間必須間隔一個(gè)正方形，則與“我”字相對(duì)的字是“愛”，與“們”字相對(duì)的字是“中”，與“國(guó)”字相對(duì)的字是“熱”，故選：B．
■考點(diǎn)四　定義、命題、定理
◇典例10：（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在矩形的對(duì)角線上（不與點(diǎn)重合），下列命題為假命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】D
【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，如圖，

，在矩形中，∵，∴，
∵，A項(xiàng)為真命題，不符合題意；如圖，
，，∴，，
∴，∵，
∴，∴∴；
B項(xiàng)為真命題，不符合題意；如圖，

∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，，
∴，∵，∴；
故選項(xiàng)C是真命題，不符合題意；如圖，
當(dāng)時(shí)，無法證明，故D選項(xiàng)是假命題，符合題意．故選：D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）下列命題的逆命題是真命題的是（　?。?br/>A．平行四邊形的對(duì)角線互相平分 B．矩形的對(duì)角線相等
C．菱形的對(duì)角線互相垂直 D．正方形的對(duì)角線互相平分且相等
【答案】A
【詳解】解：A、逆命題為“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”，是真命題，故A符合題意；
B、逆命題為“對(duì)角線相等的四邊形為矩形”，是假命題，故B不符合題意；
C、逆命題為“對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形”，是假命題，故C不符合題意；
D、逆命題為“對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是正方形”，是假命題，故D不符合題意；故選：A．
2．（2023·安徽滁州·統(tǒng)考二模）命題“如果，互為相反數(shù)，那么，的絕對(duì)值相等”的逆命題是 ．
【答案】如果，的絕對(duì)值相等，那么，互為相反數(shù)
【詳解】∵逆命題：把原命題的條件當(dāng)成結(jié)論，把結(jié)論當(dāng)成條件得到的命題就是該命題的逆命題，
∴命題“如果，互為相反數(shù)，那么，的絕對(duì)值相等”的逆命題為：如果，的絕對(duì)值相等，那么，互為相反數(shù)，故答案為：如果，的絕對(duì)值相等，那么，互為相反數(shù)．
◇典例11：（2023·河北·校聯(lián)考一模）已知中，，求證：，下面寫出運(yùn)用反證法證明這個(gè)命題的四個(gè)步驟：①∴，這與三角形內(nèi)角和為矛盾；
②因此假設(shè)不成立．∴；③假設(shè)在中，；④由，得，即．這四個(gè)步驟正確的順序應(yīng)是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
【答案】D
【詳解】解：運(yùn)用反證法證明這個(gè)命題的四個(gè)步驟，
1、假設(shè)在中，，2、由，得，即，
3、，這與三角形內(nèi)角和為矛盾，4、因此假設(shè)不成立．，
綜上所述，這四個(gè)步驟正確的順序應(yīng)是：③④①②．故選：D．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·河南鄭州·鄭州外國(guó)語中學(xué)?？级＃┡ｎD曾說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精良的武器之一．”那么我們用反證法證明：“在同一平面內(nèi)，若，，則”時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)（ ）
A． B． C．與相交 D．與相交
【答案】D
【詳解】解：反證法證明命題“在同一平面內(nèi)，若，，則”時(shí)，
首先應(yīng)假設(shè)與不平行，即與相交．故選：D．
2．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）用一個(gè)的值說明命題“如果，那么”是假命題，此時(shí)的值可以為 ．（寫出一個(gè)即可）
【答案】（答案不唯一）
【詳解】解：由題意得：當(dāng)或時(shí)，均有，
∴的值可以為，此時(shí)能夠說明說明命題“如果，那么”是假命題，
故答案為：（答案不唯一）．
3.（2023·福建莆田·統(tǒng)考二模）閱讀下列材料：“為什么不是有理數(shù)”，完成問題．
證明：假設(shè)是有理數(shù)，
那么存在兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)，，使得，則___________．
是2的倍數(shù)，
____________________，
可設(shè)（為正整數(shù)），則，
_____________，即，
__________________，
，都是2的倍數(shù)，不互質(zhì)，與假設(shè)矛盾．
因此假設(shè)不成立，即不是有理數(shù)．
將下列選項(xiàng)依次填入材料中的畫線處，正確的順序是 ．（填上序號(hào)）
①； ②； ③是2的倍數(shù)； ④是2的倍數(shù)．
【答案】②④①③
【詳解】證明：假設(shè)是有理數(shù)，
那么存在兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)，，使得，則．
是2的倍數(shù)，是2的倍數(shù)，
可設(shè)（為正整數(shù)），則，，即，
是2的倍數(shù)，，都是2的倍數(shù)，不互質(zhì)，與假設(shè)矛盾．
因此假設(shè)不成立，即不是有理數(shù)．故答案為：．②④①③
◇典例12：（2023·湖南長(zhǎng)沙·?？既＃┰谝淮螖?shù)學(xué)活動(dòng)課上，某數(shù)學(xué)老師將三張不同的牌分別發(fā)給甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)，其中有一張牌是紅桃A．
甲說：“紅桃A在我手上”； 乙說：“紅桃A不在我手上”；丙說：“紅桃A肯定不在甲手上” ．
三個(gè)同學(xué)中只有一個(gè)說對(duì)了，則紅桃A在（ ）的手上．
A．甲 B．乙 C．丙 D．無法判斷
【答案】B
【詳解】解：由題意知，若甲正確，則乙正確，甲乙同學(xué)說法正確，故不符合要求；
若乙正確，甲錯(cuò)誤，則紅桃A在丙手上，則丙說法正確，乙丙同學(xué)說法正確，故不符合要求；
若丙正確，甲錯(cuò)誤，乙錯(cuò)誤，則紅桃A在乙手上，
∴當(dāng)三個(gè)同學(xué)中只有一個(gè)說對(duì)了，則紅桃A在乙的手上，故選：B．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某校開展數(shù)學(xué)興趣活動(dòng)，甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)進(jìn)入決賽角逐前五名，發(fā)獎(jiǎng)前，為活躍氣氛，老師請(qǐng)他們猜一猜各人名次排列情況．
甲說：“乙第三名，丙第五名．”乙說：“戊第四名，丁第五名．”丙說：“甲第一名，戊第四名．”
丁說：“丙第一名，乙第二名．”戊說：“甲第三名，丁第四名．”
結(jié)果，每個(gè)名次都有人猜對(duì)，則第一至第五名的同學(xué)順序是（ ）
A．甲乙丙丁戊 B．丙乙甲戊丁 C．丁戊甲乙丙 D．丁甲乙戊丙
【答案】B
【詳解】解：∵只有戌的名次是重復(fù)的，∴戌一定是第四名，∴丁就不是第四名，而是第五名，
∴甲一定是第三名，∴乙不是第三名，而是第二名，∴丙一定是第一名；
∴第一至第五名的同學(xué)順序：丙乙甲戊??；故選．
2．（2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考一模）甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球比賽賽前訓(xùn)練，每局兩人進(jìn)行比賽，第三個(gè)人做裁判，每一局都要分出勝負(fù)，勝方和原來的裁判進(jìn)行新一局的比賽，輸方轉(zhuǎn)做裁判，依次進(jìn)行．半天訓(xùn)練結(jié)束時(shí)，發(fā)現(xiàn)甲共當(dāng)裁判9局，乙、丙分別進(jìn)行了14局、12局比賽，在這半天的訓(xùn)練中，甲、乙、丙三人共進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【詳解】解：∵甲共當(dāng)裁判9局，∴乙、丙之間打了9局，
∵乙、丙分別進(jìn)行了14局、12局比賽，∴乙與甲打了局，丙與甲打了局，
∴甲、乙、丙三人共打的比賽局?jǐn)?shù)為局；故選：C.
1．（2024·陜西·中考真題）如圖，將半圓繞直徑所在的虛線旋轉(zhuǎn)一周，得到的立體圖形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：將一個(gè)半圓繞它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是球，故選：C．
2．（2024·江蘇鹽城·中考真題）正方體的每個(gè)面上都有一個(gè)漢字，如圖是它的一種平面展開圖，那么在原正方體中，與“鹽”字所在面相對(duì)的面上的漢字是（ ）
A．濕 B．地 C．之 D．都
【答案】C
【詳解】解：由正方體表面展開圖的特征可得：“鹽”的對(duì)面是“之”，“地”的對(duì)面是“都”，“濕”的對(duì)面是“城”，故選C．
3．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，正方形邊長(zhǎng)為2，以所在直線為軸，將正方形旋轉(zhuǎn)一周，所得圓柱的主視圖的面積為（ ）
A．8 B．4 C． D．
【答案】A
【詳解】解：由圖可知：圓柱體的主視圖為長(zhǎng)為4，高為2的長(zhǎng)方形，
∴面積為；故選A．
4．（2024·四川廣元·中考真題）一個(gè)幾何體如圖水平放置，它的俯視圖是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：從上面看，如圖所示： 故選：C．
5．（2024·吉林·中考真題）葫蘆在我國(guó)古代被看作吉祥之物．下圖是—個(gè)工藝葫蘆的示意圖，關(guān)于它的三視圖說法正確的是（ ）
A．主視圖與左視圖相同 B．主視圖與俯視圖相同
C．左視圖與俯視圖相同 D．主視圖、左視圖與俯視圖都相同
【答案】A
【詳解】解：葫蘆的俯視圖是兩個(gè)同心圓，且?guī)в袌A心，主視圖和俯視圖都是下面一個(gè)較大的圓，中間一個(gè)較小的圓，上面是一條線段，故選：A．
6．（2024·河北·中考真題）如圖是由個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體，它的左視圖是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：通過左邊看可以確定出左視圖一共有列，每列上小正方體個(gè)數(shù)從左往右分別為、、．故選：D．
7．（2024·黑龍江綏化·中考真題）某幾何體是由完全相同的小正方體組合而成，下圖是這個(gè)幾何體的三視圖，那么構(gòu)成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是（ ）
A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)
【答案】A
【詳解】解：由三視圖易得最底層有個(gè)正方體，第二層有個(gè)正方體，那么共有個(gè)正方體組成．故選：A．
8．（2024·黑龍江綏化·中考真題）下列敘述正確的是（ ）
A．順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)一定能得到一個(gè)矩形
B．平分弦的直徑垂直于弦
C．物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子是中心投影
D．相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等
【答案】C
【詳解】A. 順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)不一定能得到一個(gè)矩形，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
B. 平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
C. 物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子是中心投影，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
D. 在同圓或等圓 中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：C．
9．（2024·廣西·中考真題）榫卯是我國(guó)傳統(tǒng)建筑及家具的基本構(gòu)件．燕尾榫是“萬榫之母”，為了防止受拉力時(shí)脫開，榫頭成梯臺(tái)形，形似燕尾，如圖是燕尾榫正面的帶頭部分，它的主視圖是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：由圖可知：幾何體的主視圖為：故選A．
10．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）由5個(gè)形狀、大小完全相同的小正方體組合而成的幾何體，其主視圖和左視圖如圖所示，則搭建該幾何體的方式有（ ）
A．1種 B．2種 C．3種 D．4種
【答案】C
【詳解】解：由主視圖可知，左側(cè)一列最高一層，右側(cè)一列最高三層，由左視圖可知，前一排最高三層，后一排最高一層，可知右側(cè)第一排一定為三層，可得該幾何體俯視圖如圖所示，
故選：C．
11．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）某班開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動(dòng)，各組展示作圖痕跡如下，其中射線為的平分線的有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】D
【詳解】解：第一個(gè)圖為尺規(guī)作角平分線的方法，為的平分線；
第二個(gè)圖，由作圖可知：，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴為的平分線；
第三個(gè)圖，由作圖可知，∴，，
∴∴，∴為的平分線；
第四個(gè)圖，由作圖可知：，，∴為的平分線；故選D．
12．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，再分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若的面積為8，則的面積是（ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
【答案】B
【詳解】解： ∵，∴，由作圖知：平分，
∴，∴，，∴，∴，
∴，又的面積為8，∴的面積是，故選B．
13．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖，在中，是邊的中點(diǎn)．按下列要求作圖：
①以點(diǎn)為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段于點(diǎn)，交于點(diǎn)；
②以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段于點(diǎn)；
③以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑畫弧，交前一條弧于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)在直線同側(cè)；
④作直線，交于點(diǎn)．下列結(jié)論不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：A．根據(jù)作圖可知：一定成立，故A不符合題意；
B．∵，∴，∴一定成立，故B不符合題意；
C．∵是邊的中點(diǎn)，∴，∵，∴，
∴一定成立，故C不符合題意；D．不一定成立，故D符合題意．
14．（2024·河北·中考真題）觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得線段一定是的（ ）
A．角平分線 B．高線 C．中位線 D．中線
【答案】B
【詳解】解：由作圖可得：，∴線段一定是的高線；故選B
15．（2024·湖北·中考真題）為半圓的直徑，點(diǎn)為半圓上一點(diǎn)，且．①以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交于；②分別以為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)；③作射線，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵為半圓的直徑，∴，
∵，∴，由作圖知，是的角平分線，
∴，故選：C
16．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑畫弧，交兩邊于點(diǎn)M，N，再分別以M、N為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)B，連接．若，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：由作圖知，∴四邊形是菱形，
∵，∴，故選：A．
17．（2024·貴州·中考真題）如圖，在中，以點(diǎn)A為圓心，線段的長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)D，連接．若，則的長(zhǎng)為 ．
【答案】5
【詳解】解∶由作圖可知∶ ，
∵，∴，故答案為∶5．
18．（2024·山東·中考真題）如圖，已知，以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別與、相交于點(diǎn)，；分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)部相交于點(diǎn)，作射線．分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，，作直線分別與，相交于點(diǎn)，．若，，則到的距離為 ．
【答案】
【詳解】解：如圖，過作于，
由作圖可得：，，，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴到的距離為；故答案為：
19．（2024·福建·中考真題）在手工制作課上，老師提供了如圖1所示的矩形卡紙，要求大家利用它制作一個(gè)底面為正方形的禮品盒．小明按照?qǐng)D2的方式裁剪（其中），恰好得到紙盒的展開圖，并利用該展開圖折成一個(gè)禮品盒，如圖3所示．
圖1 圖2 圖3
(1)直接寫出的值；(2)如果要求折成的禮品盒的兩個(gè)相對(duì)的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應(yīng)選擇的紙盒展開圖圖樣是（ ）
圖4
A． B．
C． D．
(3)
卡紙型號(hào) 型號(hào)Ⅰ 型號(hào)Ⅱ 型號(hào)Ⅲ
規(guī)格（單位：cm）
單價(jià)（單位：元） 3 5 20
現(xiàn)以小明設(shè)計(jì)的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當(dāng)調(diào)整，的比例，制作棱長(zhǎng)為的正方體禮品盒，如果要制作27個(gè)這樣的禮品盒，請(qǐng)你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號(hào)及相應(yīng)型號(hào)卡紙的張數(shù)），并在卡紙上畫出設(shè)計(jì)示意圖（包括一張卡紙可制作幾個(gè)禮品盒，其展開圖在卡紙上的分布情況），給出所用卡紙的總費(fèi)用．
（要求：①同一型號(hào)的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設(shè)計(jì)方案；②沒有用到的卡紙，不要在該型號(hào)的卡紙上作任何設(shè)計(jì)；③所用卡紙的數(shù)量及總費(fèi)用直接填在答題卡的表格上；④本題將綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費(fèi)用”給分，總費(fèi)用最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡紙僅供作草稿用）
【答案】(1)2；(2)C；(3)見解析．
【詳解】（1）解：如圖：
上述圖形折疊后變成：由折疊和題意可知，，，
∵四邊形是正方形，∴，即，∴，即，
∵，∴，∴的值為：．
（2）解：根據(jù)幾何體的展開圖可知，“吉”和“如”在對(duì)應(yīng)面上，“祥”和“意”在對(duì)應(yīng)面上，而對(duì)應(yīng)面上的字中間相隔一個(gè)幾何圖形，且字體相反，∴C選項(xiàng)符合題意，故選：C．
（3）解：
卡紙型號(hào) 型號(hào) 型號(hào) 型號(hào)
需卡紙的數(shù)量（單位：張） 1 3 2
所用卡紙總費(fèi)用（單位：元） 58
根據(jù)（1）和題意可得：卡紙每格的邊長(zhǎng)為，則要制作一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方體的展開圖形為：
∴型號(hào)卡紙，每張卡紙可制作10個(gè)正方體，如圖：
型號(hào)卡紙，每張這樣的卡紙可制作2個(gè)正方體，如圖：
型號(hào)卡紙，每張這樣的卡紙可制作1個(gè)正方體，如圖：
∴可選擇型號(hào)卡紙2張，型號(hào)卡紙3張，型號(hào)卡紙1張，則（個(gè)），
∴所用卡紙總費(fèi)用為：（元）．
21．（2024·四川自貢·中考真題）為測(cè)量水平操場(chǎng)上旗桿的高度，九（2）班各學(xué)習(xí)小組運(yùn)用了多種測(cè)量方法．

(1)如圖1，小張?jiān)跍y(cè)量時(shí)發(fā)現(xiàn)，自己在操場(chǎng)上的影長(zhǎng)恰好等于自己的身高．此時(shí)，小組同學(xué)測(cè)得旗桿的影長(zhǎng)為，據(jù)此可得旗桿高度為________m；
(2)如圖2，小李站在操場(chǎng)上E點(diǎn)處，前面水平放置鏡面C，并通過鏡面觀測(cè)到旗桿頂部A．小組同學(xué)測(cè)得小李的眼睛距地面高度，小李到鏡面距離，鏡面到旗桿的距離．求旗桿高度；(3)小王所在小組采用圖3的方法測(cè)量，結(jié)果誤差較大．在更新測(cè)量工具，優(yōu)化測(cè)量方法后，測(cè)量精度明顯提高，研學(xué)旅行時(shí)，他們利用自制工具，成功測(cè)量了江姐故里廣場(chǎng)雕塑的高度．方法如下：

如圖4，在透明的塑料軟管內(nèi)注入適量的水，利用連通器原理，保持管內(nèi)水面M，N兩點(diǎn)始終處于同一水平線上．
如圖5，在支架上端P處，用細(xì)線系小重物Q，標(biāo)高線始終垂直于水平地面．
如圖6，在江姐故里廣場(chǎng)上E點(diǎn)處，同學(xué)們用注水管確定與雕塑底部B處于同一水平線的D，G兩點(diǎn)，并標(biāo)記觀測(cè)視線與標(biāo)高線交點(diǎn)C，測(cè)得標(biāo)高，．將觀測(cè)點(diǎn)D后移到處，采用同樣方法，測(cè)得，．求雕塑高度（結(jié)果精確到）．
【答案】(1)(2)旗桿高度為；(3)雕塑高度為．
【詳解】（1）解：由題意得，由題意得：，∴，故答案為：；
（2）解：如圖，由題意得，，
根據(jù)鏡面反射可知：，，，，
，，即，，答：旗桿高度為；
（3）解：設(shè)，由題意得：，，
∴，，即，，
∴，整理得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合他
∴，答：雕塑高度為．
22．（2024·甘肅·中考真題）馬家窯文化以發(fā)達(dá)的彩陶著稱于世，其陶質(zhì)堅(jiān)固，器表細(xì)膩，紅、黑、白彩共用，彩繪線條流暢細(xì)致，圖案繁縟多變，形成了絢麗典雅的藝術(shù)風(fēng)格，創(chuàng)造了一大批令人驚嘆的彩陶藝術(shù)精品，體現(xiàn)了古代勞動(dòng)人民的智慧．如圖1的彩陶紋樣呈現(xiàn)的是三等分圓周，古人用等邊三角形三點(diǎn)定位的方法確定圓周的三等分點(diǎn)，這種方法和下面三等分圓周的方法相通．如圖2，已知和圓上一點(diǎn)M．作法如下：①以點(diǎn)M為圓心，長(zhǎng)為半徑，作弧交于A，B兩點(diǎn)；
②延長(zhǎng)交于點(diǎn)C；即點(diǎn)A，B，C將的圓周三等分．
(1)請(qǐng)你依據(jù)以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在圖2中將的圓周三等分（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)根據(jù)（1）畫出的圖形，連接，，，若的半徑為，則的周長(zhǎng)為______．
【答案】(1)見解析(2)
【詳解】（1）根據(jù)基本作圖的步驟，作圖如下：則點(diǎn)A，B，C是求作的的圓周三等分點(diǎn)．
（2）連接，設(shè)的交點(diǎn)為D，根據(jù)垂徑定理得到，
∵的半徑為，是直徑，是等邊三角形，
∴，，∴，
∴的周長(zhǎng)為，故答案為：．
23．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，已知及邊上一點(diǎn)．
(1)用無刻度直尺和圓規(guī)在射線上求作點(diǎn)，使得；（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)在（1）的條件下，以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓交射線于點(diǎn)，用無刻度直尺和圓規(guī)在射線上求作點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到射線的距離相等；（保留作圖痕跡，不寫作法）(3)在（1）、（2）的條件下，若，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)作圖見詳解(2)作圖見詳解(3)
【詳解】（1）解：如圖所示，∴；點(diǎn)O即為所求
（2）解：如圖所示，連接，以點(diǎn)為圓心，以為半徑畫弧交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)為圓心，以大于為半徑畫弧，交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
∵是直徑，∴，即，根據(jù)作圖可得，
∴，即，是點(diǎn)到的距離，
∵，∴，∴，點(diǎn)即為所求點(diǎn)的位置；
（3）解：如圖所示，
根據(jù)作圖可得，，連接，
∴在中，，∴，∴，
∵是直徑，∴，∴，設(shè)，則，
∴在中，，解得，（負(fù)值舍去），∴，
在中，．
1．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖是由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)三棱柱組成的幾何體，則它的主視圖是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：這個(gè)幾何體的主視圖是：故選：B．
2．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖是一個(gè)放置在水平試驗(yàn)臺(tái)上的錐形瓶，它的主視圖為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：該錐形瓶的主視圖的底層是等腰梯形，上層是矩形，故選：A．
3．（2024·河北石家莊·一模）某幾何體由若干個(gè)大小相同的小正方體組成，其主視圖、左視圖和俯視圖都如圖所示．則組成該幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少為（ ）

A．4個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)
【答案】B
【詳解】解：如圖所示： 或 ，
故組成該幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少為：（個(gè)）．故選：B．
4．（2023·廣東潮州·一模）由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖與俯視圖如圖所示，則搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最多為（　?。?br/>A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．不能確定
【答案】C
【詳解】解：由俯視圖易得最底層有3個(gè)小正方體，第二層最多有2個(gè)小正方體，那么搭成這個(gè)幾何體的小正方體最多為個(gè)，故選：C．
5．（2024·貴州六盤水·統(tǒng)考二模）烏蒙鐵塔位于六盤水市人民廣場(chǎng)中央，在晴天的日子里，從早到晚這段時(shí)間，烏蒙鐵塔在太陽下的影長(zhǎng)度是如何變化的（ ）
A．保持不變 B．逐漸變長(zhǎng) C．先逐漸變短，后又逐漸變長(zhǎng) D．逐漸變短
【答案】C
【詳解】解：從早到晚這段時(shí)間，投影線與地面所夾的銳角先變大再變小，
所以烏蒙鐵塔在大陽下的影長(zhǎng)度先逐漸變短，后又逐漸變長(zhǎng)，故選：C．
6．（2024·江蘇南京·?？既＃┤鐖D是一個(gè)正六棱柱的主視圖和左視圖，則圖中a的值為（　?。?br/>
A． B．4 C．2 D．
【答案】D
【詳解】解：如圖，

由主視圖和左視圖可得：，，，，，，，
連接，則有，為等邊三角形，，
，，．故選：D．
7．（2024·福建福州·?？寄M預(yù)測(cè)）甲、乙、丙三位同學(xué)參加學(xué)習(xí)脫貧干部黃文秀、戍邊英雄陳紅軍、人民科學(xué)家南仁東、抗疫英雄張定宇等英雄的先進(jìn)事跡知識(shí)競(jìng)賽該競(jìng)賽共有十道判斷題三位同學(xué)的答題情況如下：
題號(hào)選手
甲
乙
丙
考試成績(jī)公布后，三個(gè)人都答對(duì)了道題，由此可知，題的正確答案依次是（ ）
A．、、、、、、、、、 B．、、、、、、、、、
C．、、、、、、、、、 D．、、、、、、、、、
【答案】A
【詳解】解：甲與乙、、、題答案相同，、、、，
乙與丙、、、題答案相同，、、、，
甲與丙、、、題答案相同，、、、，
兩兩都是題答案相同，題答案不同，
因?yàn)槎紝?duì)題，所以題相同答案的都答對(duì)了，題答案不同的各對(duì)了道，所以題答案為：、、、、、、、、、．故選：A．
8．（2022·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是一個(gè)光源，木桿兩端的坐標(biāo)分別為，，則木桿在x軸上的投影長(zhǎng)為（ ）

A． B． C．5 D．6
【答案】D
【詳解】解：延長(zhǎng)、分別交x軸于點(diǎn)、，作軸于點(diǎn)E，交于點(diǎn)D，如圖，
∵，，，∴，，，
∵，∴，，∴，
∴，即，∴，故選：D．

9.（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）下列選項(xiàng)能正確反映小亮和小美在同一盞路燈的兩側(cè)站立時(shí)影子情況的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】小亮和小美在同一盞路燈的兩側(cè)站立時(shí)影子情況應(yīng)如圖所示： 故選D.
10.（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）手影游戲利用的物理原理是：光是沿直線傳播的．圖中小狗手影就是我們小時(shí)候常玩的游戲．在一次游戲中，小明距離墻壁1米，爸爸拿著的光源與小明的距離為2米．在小明不動(dòng)的情況下，要使小狗手影的高度增加一倍，則光源與小明的距離應(yīng)（ ）

A．減少米 B．增加米 C．減少米 D．增加米
【答案】A
【詳解】解：如圖，點(diǎn)為光源，表示小明的手，表示小狗手影，則，過點(diǎn)作，延長(zhǎng)交于，則，∵，∴，則，

∵米，米，則米，∴，設(shè)，
∵在小明不動(dòng)的情況下，要使小狗手影的高度增加一倍，如圖，
即，，米，
∴，則，∴米，
∴光源與小明的距離變化為：米，故選：A．
11．（2024·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）在課堂上，侯老師發(fā)給每人一張印有（如圖1）的卡片，然后要求同學(xué)們畫一個(gè)，使得．小趙和小劉同學(xué)先畫出了之后，后續(xù)畫圖的主要過程分別如圖所示．
對(duì)這兩種畫法的描述中錯(cuò)誤的是（ ）
A．小趙同學(xué)作圖判定的依據(jù)是
B．小趙同學(xué)第二步作圖時(shí)，用圓規(guī)截取的長(zhǎng)度是線段的長(zhǎng)
C．小劉同學(xué)作圖判定的依據(jù)是
D．小劉同學(xué)第一步作圖時(shí)，用圓規(guī)截取的長(zhǎng)度是線段的長(zhǎng)
【答案】D
【詳解】解：小趙同學(xué)第一步作圖時(shí)，用圓規(guī)截取的長(zhǎng)度是線段的長(zhǎng)，第二步作圖時(shí)，用圓規(guī)截取的長(zhǎng)度是線段的長(zhǎng)，則判定的依據(jù)是，則選項(xiàng)A、B正確；
小劉同學(xué)第一步作圖時(shí)，用圓規(guī)截取的長(zhǎng)度是線段的長(zhǎng)，第二步作圖時(shí)，用圓規(guī)截取的長(zhǎng)度是線段的長(zhǎng)，則判定的依據(jù)是，則選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：D．
12．（2024·河北石家莊·統(tǒng)考二模）如圖（1），銳角中，，要用尺規(guī)作圖的方法在邊上找一點(diǎn)D，使為等腰三角形，關(guān)于圖（2）中的甲、乙、丙三種作圖痕跡，下列說法正確的是（ ）

A．甲、乙、丙都正確 B．甲、丙正確，乙錯(cuò)誤 C．甲、乙正確，丙錯(cuò)誤 D．只有甲正確
【答案】A
【詳解】解：甲圖：以點(diǎn)A為圓心，為半徑作弧，交于點(diǎn)D，∴，∴為等腰三角形，乙圖：作的垂直平分線，交于點(diǎn)D，∴，∴為等腰三角形，
丙圖：∵所作的，∴，∴是等腰三角形，∴甲、乙、丙都正確，故選A．
13.（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧分別交，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，，，則 ．
【答案】5
【詳解】解：過作交的延長(zhǎng)線于，
則，由作圖知，平分，
，，，
∵，，，，．故答案為：5．
14．（2023·山西太原·統(tǒng)考二模）現(xiàn)有顆外觀和大小都完全相同的小球，已知顆球的質(zhì)量相等，另外一顆球的質(zhì)量略大一些．小穎想用一架托盤天平稱出這顆質(zhì)量較大的球．她思考后發(fā)現(xiàn)最少稱次就一定能找出這顆球，則的值等于 ．

【答案】2
【詳解】解：把顆小球任意分成三份，每份顆．先把其中任意兩份分別放在天平的兩邊．
如果平衡，就把剩下的一份中的任意兩顆分別放在天平的兩邊，若平衡，說明剩下的小球即為質(zhì)量較大的，若不平衡，哪邊重哪邊就是那顆質(zhì)量較大的；
如果不平衡，哪邊重哪邊那份就有質(zhì)量較大的小球，從這一份中任取顆分別放在天平的兩邊，若平衡，沒往天平上放的那一顆質(zhì)量較大，若不平衡，哪邊重哪邊就是那顆質(zhì)量較大的．
∴至少要稱次，才能保證找出那顆質(zhì)量較大的小球．故答案為：．
15.（2023·福建廈門·統(tǒng)考三模）如圖是某校校史榮譽(yù)室的正方形網(wǎng)格平面圖，實(shí)線表示墻體或門．在點(diǎn)處安裝了360度旋轉(zhuǎn)攝像頭，由于墻體的的遮擋，陰影部分無法監(jiān)控，這部分無法監(jiān)控到的區(qū)域通常稱為監(jiān)控盲區(qū)．（1）小紅同學(xué)進(jìn)入校史榮譽(yù)室隨意參觀，站在監(jiān)控盲區(qū)的概率是多少？
（2）為了監(jiān)控效果更好，使得監(jiān)控盲區(qū)最小，請(qǐng)你幫助學(xué)校在墻體上重新設(shè)計(jì)攝像頭安裝的位置，畫出示意圖，并說明理由．
【答案】（1）；（2）見詳解
【詳解】解：（1）設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，∴榮譽(yù)室面積=2×2+2×2+2×6=20，盲區(qū)面積=2×2-×2×1=3，
∴站在監(jiān)控盲區(qū)的概率=3÷20=；
（2）如圖所示：攝像頭安裝在AB的中點(diǎn)處，監(jiān)控盲區(qū)的面積最小，此時(shí)，監(jiān)控盲區(qū)面積=2××1×2=2，
若攝像頭不安裝在AB的中點(diǎn)處，則監(jiān)控盲區(qū)面積=×(CM+2)×2＞2．
16.（2024·山東淄博·一模）學(xué)習(xí)了《平行四邊形》一章以后，小明根據(jù)學(xué)習(xí)平行四邊形的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)平行四邊形的判定問題進(jìn)行了再次探究．
以下是小明探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：
(1)在四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)．若，補(bǔ)充下列條件中的一個(gè)，能判斷四邊形是平行四邊形的是_________（寫出一個(gè)你認(rèn)為正確選項(xiàng)的序號(hào)即可）；
（A） （B）
(2)將（1）中的命題用文字語言表述為：①命題1_____________________________________________；
②畫出圖形，并寫出命題1的已知和求證；
(3)小明進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：若一個(gè)四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的位置如圖所示，且這個(gè)四邊形滿足，，但四邊形不是平行四邊形，請(qǐng)畫出符合題意的四邊形（不要求尺規(guī)）．進(jìn)而小明發(fā)現(xiàn)：命題2“一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形”是一個(gè)假命題．

【答案】(1)B(2)①見解析；②見解析；(3)見解析
【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定以及命題與定理的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定方法，解題時(shí)注意：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
（1）根據(jù)四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，補(bǔ)充條件即可判定四邊形是平行四邊形；（2）先將符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為文字語言，再寫出已知、求證和證明過程即可；
（3）根據(jù)等腰三角形以及軸對(duì)稱變換即可得到反例．
【詳解】（1）解：在四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，
若，則當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形；故答案為：B；
（2）解：①文字語言表述為：一組對(duì)邊平行，一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形；
故答案為：一組對(duì)邊平行，一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形；
②已知：如圖，在四邊形中，，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，．
求證：四邊形是平行四邊形．
．
證明：∵，∴，
∵，∴，∴，
又∵，∴四邊形是平行四邊形；
（3）解：如圖所示，四邊形滿足，但四邊形不是平行四邊形．
17.（2024·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）數(shù)學(xué)課上老師要同學(xué)證明命題“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”是正確的．
小紅同學(xué)先任意畫出，再取邊的中點(diǎn)O，連結(jié)并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使，連結(jié)，（如圖所示），并寫出了如下尚不完整的已知和求證．
已知：如圖，在四邊形中， ． ________． 求證：四邊形是________四邊形．
(1)補(bǔ)全已知和求證（在方框中填空）．(2)小紅同學(xué)的思路是利用三角形全等，依據(jù)“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”來證明，請(qǐng)完成證明過程（可以用小紅的思路，也可以用其他方法）．
【答案】(1)，平行(2)見解析
【詳解】（1）已知：如圖，在四邊形中，，，
求證：四邊形是平行四邊形，故答案為：，平行．
（2）證明：在與中，，∴，
∴，∴，∴四邊形是平行四邊形．
18．（2024·河南·統(tǒng)考一模）閱讀下列相關(guān)材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．婆羅摩笈多是古印度著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，也稱“布拉美古塔定理”．定理的內(nèi)容是：“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，則垂直于一邊且過對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊”．
任務(wù)：（1）按圖（1）寫出了這個(gè)定理的已知和求證，并完成這個(gè)定理的證明過程；
已知：__________________ 求證：_________________
證明：
（2）如圖（2），在中，弦于M，連接分別是上的點(diǎn)，于于H，當(dāng)M是中點(diǎn)時(shí)，直接寫出四邊形是怎樣的特殊四邊形：__________．
【答案】（1）見解析；（2）菱形
【詳解】（1）已知：如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，對(duì)角線于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作的垂線分別交于點(diǎn)． 求證：點(diǎn)E是的中點(diǎn)
證明：，，
，，，
同理可證，，∴點(diǎn)E是的中點(diǎn)
故答案為：已知：如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，對(duì)角線于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作的垂線分別交于點(diǎn)． 求證：點(diǎn)E是的中點(diǎn)
（2）四邊形是菱形
理由：由布拉美古塔定理可知，分別是的中點(diǎn)，
是中點(diǎn)
∴四邊形是菱形 故答案為：四邊形是菱形
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定、根據(jù)題意寫已知求證、靈活進(jìn)行角的和差關(guān)系的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵
19．（2025九年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）如圖是由大小相同的8個(gè)小立方塊搭成的幾何體．
(1)請(qǐng)?jiān)诜礁裰蟹謩e畫出從正面、上面看到的該幾何體的形狀圖；
(2)若每個(gè)小正方體的棱長(zhǎng)均為，這個(gè)幾何體的體積是 ；
(3)用小立方塊搭一個(gè)幾何體，使得從正面、上面看到的該幾何體的形狀圖與你在方格中所畫一致，則搭這樣一個(gè)幾何體最少要 個(gè)小立方塊，最多要 個(gè)小立方塊．
【答案】(1)見解析(2)(3)7；9
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求．
（2）解：，故答案為：；
（3）解：搭這樣的一個(gè)幾何體最少需要個(gè)小立方塊7，第一層5個(gè)，第二層2，搭這樣的一個(gè)幾何體最多需要個(gè)小立方塊9，第一層5個(gè)，第二層4，故答案為：7；9．
20．（2024·廣東深圳·三模）背景：雙目視覺測(cè)距是一種通過測(cè)量出左、右兩個(gè)相機(jī)視野中，同一物體的成像差異，來計(jì)算距離的方法．它在“AI”領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．
材料一：基本介紹：如圖1，是雙目視覺測(cè)距的平面圖．兩個(gè)相機(jī)的投影中心，的連線叫做基線，距離為t，基線與左、右投影面均平行，到投影面的距離為相機(jī)焦距f，兩投影面的長(zhǎng)均為l（t，f，1是同型號(hào)雙目相機(jī)中，內(nèi)置的不變參數(shù)），兩投影中心，分別在左、右投影面的中心垂直線上．根據(jù)光的直線傳播原理，可以確定目標(biāo)點(diǎn)P在左、右相機(jī)的成像點(diǎn)，分別用點(diǎn)，表示．，分別是左、右成像點(diǎn)到各投影面左端的距離．
材料二：重要定義：①視差——點(diǎn)P在左、右相機(jī)的視差定義為．
②盲區(qū)——相機(jī)固定位置后，在基線上方的某平面區(qū)域中，當(dāng)目標(biāo)點(diǎn)P位于該區(qū)域時(shí)，若在左、右投影面上均不能形成成像點(diǎn)，則該區(qū)域稱為盲區(qū)（如圖2，陰影區(qū)域是盲區(qū)之一）．
③感應(yīng)區(qū)——承上，若在左、右投影面均可形成成像點(diǎn)，則該區(qū)域稱為感應(yīng)區(qū)．
材料三：公式推導(dǎo)片段
以下是小明學(xué)習(xí)筆記的一部分：如圖3，顯然，，，可得，
所以， （依據(jù)）…
任務(wù)：(1)請(qǐng)?jiān)趫D2中（A，B，C，D是兩投影面端點(diǎn)），畫出感應(yīng)區(qū)邊界，并用陰影標(biāo)示出感應(yīng)區(qū)．
(2)填空：材料三中的依據(jù)是指 ；已知某雙目相機(jī)的基線長(zhǎng)為200mm，焦距f為4mm，則位于感應(yīng)區(qū)的目標(biāo)點(diǎn)P到基線的距離z（mm）與視差d（mm）之間的函數(shù)關(guān)系式為 ．
(3)如圖4，小明用（2）中那款雙目相機(jī)（投影面CD長(zhǎng)為10mm）正對(duì)天空連續(xù)拍攝時(shí)，一物體M正好從相機(jī)觀測(cè)平面的上方從左往右飛過，已知M的飛行軌跡是拋物線的一部分，且知，當(dāng)M剛好進(jìn)入感應(yīng)區(qū)時(shí)，，當(dāng)M剛好經(jīng)過點(diǎn)的正上方時(shí)，視差，在整個(gè)成像過程中，d呈現(xiàn)出大一小一大的變化規(guī)律，當(dāng)d恰好減小到上述的時(shí)，開始變大．
①小明以水平基線為x軸，右投影面的中心垂直線為y軸，建立了如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系，則該拋物線的表達(dá)式為 （友情提示：注意橫、縱軸上的單位：）；
②求物體M剛好落入“盲區(qū)”時(shí)，距離基線的高度．
【答案】(1)見解析(2)等比性質(zhì)；(3)① ②
【詳解】（1）如圖所示:
（2）材料三中的依據(jù)是指等比性質(zhì)；設(shè)，由雙目相機(jī)的基線長(zhǎng)為200mm，焦距f為4mm，可得：，∴；
（3）①解：如圖，剛好進(jìn)入感應(yīng)區(qū)時(shí)， 此時(shí)
此時(shí)，因 , ,可得，所在直線解析式為： 令, 得, 即 .當(dāng)經(jīng)過點(diǎn),的正上方時(shí), 視差，
此時(shí)， 即，拋物線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，
當(dāng)減小到上述的時(shí), ,之后開始變大，開始變小，
即，拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.設(shè)拋物線解析式為，將等代入得,
，解得， ，
因?yàn)?,對(duì)稱軸在軸右側(cè),所以, .故，此時(shí)，
所以，拋物線解析式為，
②由, 可得直線的解析式為，
得，解得，(舍)此時(shí)， ．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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