資源簡介

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5.2 圓錐曲線選填題壓軸題型全歸納
考點分布 考查頻率 命題趨勢
圓錐曲線的定義 2024年I卷第11題，6分 2024年II卷第10題，6分 2023年北京卷第6題，4分 2022年I卷第11題，5分 預測2025年高考，多以小題形式出現，也有可能會將其滲透在解答題的表達之中，相對獨立．具體估計為： （1）以選擇題或填空題形式出現，考查數學抽象、數學建模、邏輯推理與數學運算四大核心素養． （2）熱點是圓錐曲線的三定義與性質.
圓問題 2023年I卷第6題，5分 2023年乙卷第12題，5分 2023年乙卷第11題，5分
焦點三角形 2024年天津卷第8題，5分 2023年甲卷第12題，5分 2023年甲卷第7題，5分
圓錐曲線的定義、方程與幾何性質是每年高考必考的內容．一是求圓錐曲線的標準方程；二是求橢圓或雙曲線的離心率、與雙曲線的漸近線有關的問題；三是拋物線的性質及應用問題．多以選擇、填空題的形式考查，難度中等．
1．（2024·天津·高考真題）雙曲線的左、右焦點分別為是雙曲線右支上一點，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·高考真題）（多選題）設計一條美麗的絲帶,其造型可以看作圖中的曲線C的一部分.已知C過坐標原點O.且C上的點滿足:橫坐標大于，到點的距離與到定直線的距離之積為4，則（ ）
A． B．點在C上
C．C在第一象限的點的縱坐標的最大值為1 D．當點在C上時，
3．（多選題）（2024·全國·高考真題）拋物線C：的準線為l，P為C上的動點，過P作的一條切線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（ ）
A．l與相切 B．當P，A，B三點共線時，
C．當時， D．滿足的點有且僅有2個
4．（2024·天津·高考真題）圓的圓心與拋物線的焦點重合，為兩曲線的交點，則原點到直線的距離為 ．
5．（2023·全國·高考真題）（多選題）設O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（ ）．
A． B． C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形
6．（2023·全國·高考真題）設O為坐標原點，為橢圓的兩個焦點，點 P在C上，，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全國·高考真題）設A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·天津·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為．過向一條漸近線作垂線，垂足為．若，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全國·高考真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A．1 B． C． D．
10．（2023·全國·高考真題）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A，B兩點，若面積是面積的2倍，則（ ）．
A． B． C． D．
11．（2022·全國·高考真題）（多選題）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（ ）
A．直線的斜率為 B． C． D．
12．（2022·全國·高考真題）（多選題）已知O為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（ ）
A．C的準線為 B．直線AB與C相切C． D．
13．（2022·全國·高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為 ．
14．（2022·全國·高考真題）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是 ．
15．（2021·全國·高考真題）已知函數，函數的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是 ．
高頻考點一 阿波羅尼斯圓與蒙日圓
核心知識：（1）橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點位于一個與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，橢圓的蒙日圓方程為。
（2）在平面內到兩定點距離之比為常數的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓。
典例1：（2024·重慶·高三專題練習）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻且系統的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點與兩定點，的距離之比為，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動點與兩定點，的距離之比為時的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來研究與此相關的一個問題：已知圓上的動點和定點，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
典例2：（2024·四川·成都市校考期中）19世紀法國著名數學家加斯帕爾 蒙日，創立了畫法幾何學，推動了空間幾何學的獨立發展，提出了著名的蒙日圓定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點位于一個與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，橢圓的蒙日圓方程為.若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，則b的值為（ ）
A． B． C． D．
變式訓練
1.（2024·四川成都·石室中學校考模擬預測）已知平面上兩定點A，B，則所有滿足（且）的點P的軌跡是一個圓心在直線AB上，半徑為的圓.這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱作阿氏圓.已知動點P在棱長為6的正方體的一個側面上運動，且滿足，則點P的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
高頻考點2 阿基米德三角形
核心知識：阿基米德三角形是由圓錐曲線的弦與過弦端點的兩條切線所圍成的三角形。對于拋物線，該三角形的頂點軌跡具有特殊性質（如位于準線上）。
典例1：（多選題）（2024·山東·模擬預測）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形.設拋物線，弦過焦點為其阿基米德三角形，則下列結論一定成立的是（ ）
A．存在點，使得 B．
C．對于任意的點，必有向量與向量共線 D．面積的最小值為
變式訓練：
1.（多選題）（2024·湖南長沙·高三周南中學校考階段練習）為拋物線的弦，，分別過作的拋物線的切線交于點，稱為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊.若弦過焦點，則下列結論正確的是（ ）
A． B．底邊的直線方程為；
C．是直角三角形； D．面積的最小值為.
2.（多選題）（2024·湖南長沙·長沙市實驗中學校考）過拋物線C：（）的焦點F的直線與拋物線C相交于A，B兩點，以A，B為切點作拋物線C的兩條切線，，設，的交點為M，稱△AMB為阿基米德三角形.則關于阿基米德三角形AMB，下列說法正確的有（ ）
A．△AMB是直角三角形 B．頂點M的軌跡是拋物線C的準線
C．MF是△AMB的高線 D．△AMB面積的最小值為
高頻考點3 圓錐曲線第二、三定義
核心知識：橢圓的方程為（a＞b＞0）：
過原點的直線交橢圓于兩點，P點是橢圓上異于兩點的任一點，則有。
雙曲線的方程為（a＞0，b＞0）：
過原點的直線交雙曲線于兩點，P點是雙曲線上異于兩點的任一點，則有。
典例1：（2024·黑龍江齊齊哈爾·統考）已知橢圓：的短軸長為2，上頂點為，左頂點為，，分別是的左、右焦點，且的面積為，點為上的任意一點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
典例2：（2024·安徽六安·高三六安一中階段練習）已知為雙曲線上不同三點，且滿足（為坐標原點），直線的斜率記為，則的最小值為
A．8 B．4 C．2 D．1
變式訓練：
1.（2024·廣東廣州·統考）已知F為拋物線C：的焦點，過點F的直線l與C相交于A，B兩點，且，則　　
A．6 B．8 C．10 D．12
2.（2024·重慶·高三專題練習）橢圓的左、右頂點分別為、，點在上，且直線的斜率為，則直線斜率為（ ）
A． B．3 C． D．
高頻考點4 焦半徑問題
核心知識：圓錐曲線上任意一點到焦點的距離稱為 焦半徑 ，其表達式因曲線類型而異。
典例1：（2024·浙江·高三專題練習）已知雙曲線的右支上的點，滿足，分別是雙曲線的左右焦點），則為雙曲線的半焦距）的取值范圍是（ ）
A．， B．， C．， D．，
變式訓練：
1.（2024·廣東·高三專題練習）已知點是雙曲線上的動點，，為該雙曲線的左右焦點，為坐標原點，則的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．
2.（2024·江蘇·高二專題練習）已知為拋物線的焦點，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于，兩點，直線與交于，兩點，則當取得最小值時，四邊形的面積為（ ）
A．32 B．16 C．24 D．8
高頻考點5 定比點差法與點差法
核心知識：點差法是解析幾何中處理圓錐曲線與直線相交問題的常用方法，尤其適用于涉及 弦的中點 的問題。其核心是通過兩點坐標作差，消元后得到中點坐標與斜率的關系，實現“設而不求”。
定比點差法是點差法的推廣，適用于線段被分為 定比 （非中點）的情況。設點 P 分線段AB 滿足 AP=λPB，通過引入比例參數 λ，聯立方程消元求解。
典例1：（2024·浙江·校聯考）過點的直線與橢圓交于點和，且.點滿足，若為坐標原點，則的最小值為 ．
變式訓練：
1.已知點P(0，1)，橢圓 (m>1)上兩點A，B滿足，則當m= 時，點B橫坐標的絕對值最大．
2.（2024·山東·高三校聯考階段練習）已知橢圓，點為橢圓外一點，斜率為的直線與橢圓交于，兩點，過點作直線，分別交橢圓于，兩點．當直線的斜率為時，此橢圓的離心率為 ．
高頻考點6 切線問題
核心知識：
1）若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.
2）若在橢圓外 ，則過作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.
3）若在雙曲線上，則過的雙曲線的切線方程是.
4）若在雙曲線外 ，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.
5）以A為切點的切線斜率為 ，切線方程為 。
典例1：（2024·湖南·高三專題練習）設拋物線，M為直線上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B，記A，B，M的橫坐標分別為，則下列關系：①；②；③.其中正確的是 (填序號)．
變式訓練：
1.（2024·山東濟南·高三校考階段練習）已知橢圓，過C中心的直線交C于M，N兩點，點P在x軸上其橫坐標是點M橫坐標的3倍，直線NP交C于點Q，若直線QM恰好是以MN為直徑的圓的切線，則C的離心率為 ．
2.（2024·浙江臺州·統考）拋物線有一條重要性質：從焦點出發的光線，經過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸．過拋物線：上的點（不為原點）作的切線，過坐標原點作，垂足為，直線（為拋物線的焦點）與直線交于點，點，則的取值范圍是 ．
高頻考點7 焦點三角形問題
核心知識：設點是橢圓上異于長軸端點的任一點,為其焦點，記，則
（1）、；（2）、焦點三角形的面積： ；
設P點是雙曲線上異于長軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則
(1)、.(2)、焦點三角形的面積 .
典例1：（2024·云南·高三校考期末）已知，是橢圓的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且，若的面積為，則（ ）
A．9 B．3 C．4 D．8
變式訓練：
1.（2024·廣東·高三專題練習）已知、是橢圓的兩個焦點，是橢圓上的一點，若，且的面積為，則　　
A．2 B．3 C．6 D．9
2.（2024·江西贛州·高三校聯考期末）已知橢圓上一動點P到兩個焦點F1，F2的距離之積為q，則q取最大值時，的面積為（ ）
A．1 B． C．2 D．
高頻考點8 焦點弦問題
核心知識：過橢圓：
左焦點的焦點弦；過右焦點的弦.
設為過拋物線焦點的弦，，直線的傾斜角為，
典例1：（2024·四川遂寧·統考）過拋物線的焦點作直線交拋物線于，兩點（，的橫坐標不相等），弦的垂直平分線交軸于點，若，則（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
變式訓練：
1.（2024·安徽安慶·高三校聯考階段練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，若為邊長為4的等邊三角形，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
2.（2024·廣東高三課時練習）已知雙曲線的右焦點為，是雙曲線的左支上一點，，則的周長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
高頻考點9 圓錐曲線與角平分線問題
核心知識：
焦點三角形內角平分線 ：橢圓上一點 PP 與兩焦點 F1,F2F1 ,F2 形成的三角形中，角平分線過準線對應側的特定點，且滿足比例關系。
外角平分線性質 ：雙曲線焦點三角形中，外角平分線與準線垂直，且平分線方向與漸近線方向關聯。
焦點弦的角平分線 ：過焦點的弦兩端點處切線交點的軌跡為準線，焦點到準線的角平分線垂直于拋物線對稱軸。
典例1：（2024·江蘇蘇州·校聯考模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，是上異于頂點的一點，為坐標原點，為線段的中點，的平分線與直線交于點，當四邊形的面積為時， ．
變式訓練：
1.（2024·河北·石家莊一中校聯考模擬預測）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，其右支上有一點滿足，過點向的平分線引垂線交于點，若，則雙曲線的離心率 .
2.（2024·福建龍巖·統考）已知拋物線，直線過點且與相交于，兩點，若的平分線過點，則直線的斜率為 ．
高頻考點10 圓錐曲線的光學性質問題
典例1：（2024·湖南長沙·高三校考階段練習）橢圓的光學性質，從橢圓一個焦點發出的光，經過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上．已知橢圓C：，為其左、右焦點．M是C上的動點，點，若的最大值為6.動直線l為此橢圓C的切線，右焦點關于直線l的對稱點，，則橢圓C的離心率為 ；S的取值范圍為 ．
變式訓練：
1.（2024·河南鄭州·高三校考階段練習）雙曲線的光學性質為：從雙曲線的一個焦點發出的光線經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個焦點．如圖：為雙曲線的左，右焦點，若從右焦點發出的光線在上的點處反射后射出（共線），且，則的離心率為 .

2.（2024·廣西玉林·高三校聯考開學考試）雙曲線的光學性質為：如圖①，從雙曲線右焦點發出的光線經雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經過左焦點. 我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質.某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖②，其方程為，為其左右焦點，若從右焦點發出的光線經雙曲線上的點A和點反射后，滿足，，則該雙曲線的離心率為 .
高頻考點11 圓錐曲線與四心問題
典例1：（2024·四川成都·模擬預測）已知、分別為雙曲線的左、右焦點，且，點為雙曲線右支上一點，為內心，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
變式訓練：
1.（2024·廣西·統考）已知點A，B在拋物線上，O為坐標原點，若，且的垂心恰好是此拋物線的焦點F，則直線AB的方程是（ ）
A． B． C． D．
2.（2024·浙江臺州·高三校考開學考試）已知是雙曲線的左 右焦點，過點且垂直于實軸的直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于A，B兩點，則坐標原點O可能為的（ ）
A．垂心 B．內心 C．外心 D．重心
1.（2024·福建·統考）希臘著名數學家阿波羅尼斯發現“平面內到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，點，，若點是滿足的阿氏圓上的任意一點，點為拋物線上的動點，在直線上的射影為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2.（2024·陜西·統考模擬預測）阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過這樣一個命題：在平面內到兩定點距離之比為常數的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓．若平面內兩定點A，B間的距離為2，動點P滿足，則面積的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．4
3.（2024·廣西·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，其蒙日圓方程為，M為蒙日圓上的一個動點，過點作橢圓的兩條切線，與蒙日圓分別交于P，Q兩點，若面積的最大值為36，則橢圓的長軸長為（ ）
A． B． C． D．
4.（2024·貴州畢節·校考模擬預測）加斯帕爾-蒙日是1819世紀法國著名的幾何學家．如圖，他在研究圓錐曲線時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”．若長方形的四邊均與橢圓相切，則下列說法錯誤的是（ ）

A．橢圓的離心率為 B．橢圓的蒙日圓方程為
C．若為正方形，則的邊長為 D．長方形的面積的最大值為18
5.（2024·福建漳州·高二福建省華安縣第一中學校考階段練習）過橢圓的左焦點F作傾斜角為60°的直線l與橢圓C交于A、B兩點，則（ ）
A． B． C． D．
6.（2024,江蘇高三期中）橢圓：的左、右頂點分別為，，點在上且直線的斜率的取值范圍是，那么直線斜率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7.（2024·湖南·高三校聯考期末）設是橢圓的兩個焦點，若上存在點滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8.（2024·河北衡水·河北衡水中學校考）已知，為橢圓：的兩個焦點，若上存在點滿足，則實數取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9.“四二一廣場”是重慶第一中學校的文化地標（如圖1），廣場中心的建筑形似火炬宛若花開，三朵“花瓣”都是拓撲學中的莫比烏斯帶（如圖2）.將莫比烏斯帶投影到平面上，會得到無窮大符號“∞”.在平面直角坐標系中，設線段AB長度為2a（），坐標原點O為AB中點且點A，B均在x軸上，若動點P滿足，那么點P的軌跡稱為雙紐線，其形狀也是無窮大符號“∞”（如圖3）.若，點P在第一象限且，則（ ）

A． B． C． D．2
10.（2024·內蒙古赤峰·一模）2022年卡塔爾世界杯中的數字元素——會徽（如圖）正視圖近似伯努利雙紐線.定義：在平面直角坐標系中，把到定點的距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線.已知是雙紐線上的一點，下列說法錯誤的是（ ）
A．雙紐線關于原點成中心對稱 B．
C．雙曲線上滿足的點有兩個 D．的最大值為
11.（2024·河南濮陽·模擬預測）在數學史上，平面內到兩個定點的距離之積為常數的點的軌跡稱為卡西尼卵形線．在平面直角坐標系中，動點到兩個定點，的距離之積等于3，化簡得曲線C：，下列結論不正確的是（ ）
A．曲線C關于y軸對稱 B．的最小值為
C．面積的最大值為 D．的取值范圍為
12．（2024·山東·模擬預測）已知雙曲線的上焦點為，圓的圓心位于軸上，半徑為，且與的上支交于兩點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·黑龍江·二模）雙曲線的左、右頂點分別為，左、右焦點分別為，過作直線與雙曲線的左、右兩支分別交于M，N兩點.若，且，則直線與的斜率之積為（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·廣西·模擬預測）已知雙曲線的虛軸長為4，C的一條漸近線與曲線在處的切線垂直，M，N為C上不同兩點，且以MN為直徑的圓經過坐標原點O，則（ ）
A． B．4 C． D．2
15．（2024·山西運城·三模）已知拋物線的焦點為，動點在上，點與點關于直線對稱，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
16．（2024·福建泉州·模擬預測）（多選題）已知直線與圓相交于兩點，下列說法正確的是（ ）
A．若圓關于直線對稱，則 B．的最小值為
C．當時，對任意，曲線恒過直線與圓的交點
D．若（為坐標原點）四點共圓，則
17．（2024·河北·三模）（多選題）已知F為拋物線的焦點，，為拋物線上不同的兩動點，分別過M，N作拋物線C的切線，兩切線交于點P，則（ ）
A．若，則直線MN的傾斜角為 B．直線PM的方程為
C．若線段MN的中點為Q，則直線PQ平行于y軸 D．若點P在拋物線C的準線上，則
18.（多選題）黃金分割比例具有嚴格的比例性、藝術性，和諧性，蘊含著豐富的美學價值．這一比值能夠引起人們的美感，是建筑和藝術中最理想的比例．我們把離心率的橢圓稱為“黃金橢圓”，則以下說法正確的是（ ）
A．橢圓是“黃金橢圓”
B．若橢圓的右焦點為，且滿足，則該橢圓為“黃金橢圓”
C．設橢圓的左焦點為F，上頂點為B，右頂點為A，若，則該橢圓為“黃金橢圓”
D．設橢圓的左、右頂點分別是A，B，左、右焦點分別是，，若，則該橢圓為“黃金橢圓”
19．（2024·山西運城·三模）已知動圓經過點及原點，點是圓與圓的一個公共點，則當最大時，圓的半徑為 .
20.（2024·湖南常德·統考）定義：點為曲線外的一點，為上的兩個動點，則取最大值時，叫點對曲線的張角.已知點為拋物線上的動點，設對圓的張角為，則的最小值為 .
21.（2024·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考期末）過拋物線的焦點的直線與交于兩點，且，的準線與軸交于，的面積為，則的通徑長為 .
22.（2024·黑龍江哈爾濱·高三校考階段練習）已知橢圓的左、右焦點分別為過的通徑（過焦點垂直于長軸的弦叫做通徑），則的內切圓方程為 .
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5.2 圓錐曲線選填題壓軸題型全歸納
考點分布 考查頻率 命題趨勢
圓錐曲線的定義 2024年I卷第11題，6分 2024年II卷第10題，6分 2023年北京卷第6題，4分 2022年I卷第11題，5分 預測2025年高考，多以小題形式出現，也有可能會將其滲透在解答題的表達之中，相對獨立．具體估計為： （1）以選擇題或填空題形式出現，考查數學抽象、數學建模、邏輯推理與數學運算四大核心素養． （2）熱點是圓錐曲線的三定義與性質.
圓問題 2023年I卷第6題，5分 2023年乙卷第12題，5分 2023年乙卷第11題，5分
焦點三角形 2024年天津卷第8題，5分 2023年甲卷第12題，5分 2023年甲卷第7題，5分
圓錐曲線的定義、方程與幾何性質是每年高考必考的內容．一是求圓錐曲線的標準方程；二是求橢圓或雙曲線的離心率、與雙曲線的漸近線有關的問題；三是拋物線的性質及應用問題．多以選擇、填空題的形式考查，難度中等．
1．（2024·天津·高考真題）雙曲線的左、右焦點分別為是雙曲線右支上一點，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】如下圖：由題可知，點必落在第四象限，，設，
，由，求得，
因為，所以，求得，即，
，由正弦定理可得：，
則由得，由得，
則，
由雙曲線第一定義可得：，，
所以雙曲線的方程為.故選：C
2．（2024·全國·高考真題）（多選題）設計一條美麗的絲帶,其造型可以看作圖中的曲線C的一部分.已知C過坐標原點O.且C上的點滿足:橫坐標大于，到點的距離與到定直線的距離之積為4，則（ ）
A． B．點在C上
C．C在第一象限的點的縱坐標的最大值為1 D．當點在C上時，
【答案】ABD
【詳解】對于A：設曲線上的動點，則且，
因為曲線過坐標原點，故，解得，故A正確.
對于B：又曲線方程為，而，故.
當時，，故在曲線上，故B正確.
對于C：由曲線的方程可得，取，
則，而，故此時，
故在第一象限內點的縱坐標的最大值大于1，故C錯誤.
對于D：當點在曲線上時，由C的分析可得，
故，故D正確.故選：ABD.
3．（多選題）（2024·全國·高考真題）拋物線C：的準線為l，P為C上的動點，過P作的一條切線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（ ）
A．l與相切 B．當P，A，B三點共線時，
C．當時， D．滿足的點有且僅有2個
【答案】ABD
【詳解】A選項，拋物線的準線為，
的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，故準線和相切，A選項正確；
B選項，三點共線時，即，則的縱坐標，由，得到，故，
此時切線長，B選項正確；
C選項，當時，，此時，故或，
當時，，，，不滿足；
當時，，，，不滿足；
于是不成立，C選項錯誤；D選項，方法一：利用拋物線定義轉化
根據拋物線的定義，，這里，
于是時點的存在性問題轉化成時點的存在性問題，
，中點，中垂線的斜率為，
于是的中垂線方程為：，與拋物線聯立可得，
，即的中垂線和拋物線有兩個交點，
即存在兩個點，使得，D選項正確.
方法二：（設點直接求解） 設，由可得，又，又，
根據兩點間的距離公式，，整理得，
，則關于的方程有兩個解，即存在兩個這樣的點，D選項正確.故選：ABD
4．（2024·天津·高考真題）圓的圓心與拋物線的焦點重合，為兩曲線的交點，則原點到直線的距離為 ．
【答案】/
【詳解】圓的圓心為，故即，
由可得，故或（舍），
故，故直線即或，
故原點到直線的距離為，故答案為：
5．（2023·全國·高考真題）（多選題）設O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（ ）．
A． B． C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形
【答案】AC
【詳解】A選項：直線過點，所以拋物線的焦點，
所以，則A選項正確，且拋物線的方程為.
B選項：設，由消去并化簡得，
解得，所以，B選項錯誤.
C選項：設的中點為，到直線的距離分別為，
因為，
即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項正確.
D選項：直線，即，到直線的距離為，
所以三角形的面積為，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D選項錯誤.故選：AC.

6．（2023·全國·高考真題）設O為坐標原點，為橢圓的兩個焦點，點 P在C上，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】方法一：設，所以，
由，解得：，
由橢圓方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．故選：B．
方法二：因為①，，
即②，聯立①②，解得：，
而，所以，
即．故選：B．
方法三：因為①，，
即②，聯立①②，解得：，
由中線定理可知，，易知，解得：．選：B．
7．（2023·全國·高考真題）設A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據點差法分析可得，對于A、B、D：通過聯立方程判斷交點個數，逐項分析判斷；對于C：結合雙曲線的漸近線分析判斷.
【詳解】設，則的中點，可得，
因為在雙曲線上，則，兩式相減得，所以.
對于選項A： 可得，則，
聯立方程，消去y得，此時，
所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；
對于選項B：可得，則，
聯立方程，消去y得，此時，
所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；對于選項C：可得，則
由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，
所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；對于選項D：，則，
聯立方程，消去y得，
此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；故選：D.
8．（2023·天津·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為．過向一條漸近線作垂線，垂足為．若，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】如圖，

因為，不妨設漸近線方程為，即，所以，所以.
設,則，所以，所以.
因為,所以，所以，所以，所以，
因為，所以，
所以，解得，所以雙曲線的方程為故選：D
9．（2023·全國·高考真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【詳解】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，
過點作圓C的切線，切點為，因為，則，
可得，
則，
，
即為鈍角，所以；
法二：圓的圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，連接，
可得，則，
因為
且，則，
即，解得，
即為鈍角，則，且為銳角，所以；
方法三：圓的圓心，半徑，
若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點的距離，不合題意；
若切線斜率存在，設切線方程為，即，
則，整理得，且
設兩切線斜率分別為，則，可得，
所以，即，可得，則，
且，則，解得.故選：B.

10．（2023·全國·高考真題）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A，B兩點，若面積是面積的2倍，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】將直線與橢圓聯立，消去可得，
因為直線與橢圓相交于點，則，解得，
設到的距離到距離，易知，則，，
，解得或（舍去），故選：C.
11．（2022·全國·高考真題）（多選題）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（ ）
A．直線的斜率為 B． C． D．
【答案】ACD
【詳解】對于A，易得，由可得點在的垂直平分線上，則點橫坐標為，
代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；
對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯立拋物線方程得，
設，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯誤；
對于C，由拋物線定義知：，C正確；
對于D，，則為鈍角，
又，則為鈍角，
又，則，D正確.故選：ACD.
12．（2022·全國·高考真題）（多選題）已知O為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（ ）
A．C的準線為 B．直線AB與C相切C． D．
【答案】BCD
【詳解】將點的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準線方程為，A錯誤；
，所以直線的方程為，
聯立，可得，解得，故B正確；
設過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，
所以，直線的斜率存在，設其方程為，，聯立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正確；
因為，，
所以，而，故D正確.故選：BCD
13．（2022·全國·高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為 ．
【答案】
【分析】令的中點為，設，，利用點差法得到，設直線，，，求出、的坐標，再根據求出、，即可得解；
【詳解】[方法一]：弦中點問題：點差法
令的中點為，設，，利用點差法得到，
設直線，，，求出、的坐標，再根據求出、，即可得解；
解：令的中點為，因為，所以，
設，，則，，
所以，即
所以，即，設直線，，，
令得，令得，即，，所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直線，即；
故答案為：
[方法二]：直線與圓錐曲線相交的常規方法
解：由題意知，點既為線段的中點又是線段MN的中點，
設，，設直線，，，
則，，，因為，所以
聯立直線AB與橢圓方程得消掉y得
其中，
∴AB中點E的橫坐標,又，∴
∵，，∴,又，解得m=2
所以直線，即
14．（2022·全國·高考真題）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是 ．
【答案】13
【詳解】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設左焦點為，右焦點為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數為， 直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，
判別式，
∴，∴ ， 得，
∵為線段的垂直平分線，根據對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.故答案為：13.
15．（2021·全國·高考真題）已知函數，函數的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是 ．
【答案】
【分析】結合導數的幾何意義可得，結合直線方程及兩點間距離公式可得，，化簡即可得解.
【詳解】由題意，，則，
所以點和點，,所以，
所以，所以，
同理,所以.故答案為：
高頻考點一 阿波羅尼斯圓與蒙日圓
核心知識：（1）橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點位于一個與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，橢圓的蒙日圓方程為。
（2）在平面內到兩定點距離之比為常數的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓。
典例1：（2024·重慶·高三專題練習）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻且系統的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點與兩定點，的距離之比為，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動點與兩定點，的距離之比為時的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來研究與此相關的一個問題：已知圓上的動點和定點，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖，點M在圓上，取點，連接，有，
當點不共線時，，又，因此∽，
則有，當點共線時，有，則，
因此，當且僅當點M是線段BN與圓O的交點時取等號，所以的最小值為.故選：C
典例2：（2024·四川·成都市校考期中）19世紀法國著名數學家加斯帕爾 蒙日，創立了畫法幾何學，推動了空間幾何學的獨立發展，提出了著名的蒙日圓定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點位于一個與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，橢圓的蒙日圓方程為.若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，則b的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意得，橢圓的蒙日圓的半徑，
所以橢圓的蒙日圓的方程為：，
因為圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，
可得兩圓外切，所以，解得.故選：B.
變式訓練
1.（2024·四川成都·石室中學校考模擬預測）已知平面上兩定點A，B，則所有滿足（且）的點P的軌跡是一個圓心在直線AB上，半徑為的圓.這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱作阿氏圓.已知動點P在棱長為6的正方體的一個側面上運動，且滿足，則點P的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在圖1中，以B為原點建立平面直角坐標系，如圖2所示，
設阿氏圓圓心為，半徑為r.因為，所以，所以.
設圓O與AB交于點M.由阿氏圓性質，知.
又，所以.又，
所以，解得，所以，所以點P在空間內的軌跡為以O為球心，半徑為4的球.
當點P在側面內部時，如圖2所示，截面圓與，分別交于點M，R，
所以點P在側面內的軌跡為.因為在中，，，所以，
所以，所以點P在側面內部的軌跡長為.故選：B.
高頻考點2 阿基米德三角形
核心知識：阿基米德三角形是由圓錐曲線的弦與過弦端點的兩條切線所圍成的三角形。對于拋物線，該三角形的頂點軌跡具有特殊性質（如位于準線上）。
典例1：（多選題）（2024·山東·模擬預測）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形.設拋物線，弦過焦點為其阿基米德三角形，則下列結論一定成立的是（ ）
A．存在點，使得 B．
C．對于任意的點，必有向量與向量共線 D．面積的最小值為
【答案】BCD
【解析】設，，設直線，
聯立，化為，而，
所以.設過點的切線為，
聯立，整理可得，
由，可得.同理可得過點的切線斜率為.
對于A，，，，故A錯；
對于B，可得點A ，B處的切線方程分別為：，
可得,又因為直線AB的斜率為，，
又由A選項可知，所以，所以，
，故B正確；對于C，設AB的中點為，則由軸，
而向量，向量與向量共線，故C正確；
對于D，如圖，設準線與軸的交點為，
面積的，可知當最短時（最短為），也最短，
最短為，所以面積的最小值為，故D正確.故選：BCD.
變式訓練：
1.（多選題）（2024·湖南長沙·高三周南中學校考階段練習）為拋物線的弦，，分別過作的拋物線的切線交于點，稱為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊.若弦過焦點，則下列結論正確的是（ ）
A． B．底邊的直線方程為；
C．是直角三角形； D．面積的最小值為.
【答案】ABC
【解析】依題意設，，由方程，可得，則，
由導數的幾何意義知，直線的斜率為，同理直線的斜率為，
可得A處的切線方程為：，即，
化簡可得，所以直線的方程為，
同理可得：直線BM的方程為，所以，則，
因為，解得，即，所以A正確；
因點在直線上，可得，，
即在上，在上，
所以底邊的直線方程為，所以B正確；
設直線，聯立方程組，整理得，
則且，，
因為，所以，所以是直角三角形，所以C正確；
取的中點，連接，根據拋物線的定義，可得平行軸，
所以
因為，，所以，
，
代入可得，
當時，，所以D不正確.故選：ABC.
2.（多選題）（2024·湖南長沙·長沙市實驗中學校考）過拋物線C：（）的焦點F的直線與拋物線C相交于A，B兩點，以A，B為切點作拋物線C的兩條切線，，設，的交點為M，稱△AMB為阿基米德三角形.則關于阿基米德三角形AMB，下列說法正確的有（ ）
A．△AMB是直角三角形 B．頂點M的軌跡是拋物線C的準線
C．MF是△AMB的高線 D．△AMB面積的最小值為
【答案】ABC
【解析】設，，，，由可得：，，
由導數的幾何意義知，直線的斜率為，同理直線的斜率為，
設直線，聯立，化為，得到，．
對于A，，，所以△AMB是直角三角形，故A正確；
對于B，由導數的幾何意義可得處的切線方程為：，
則，化簡可得：，所以直線的方程為：，
同理可得：直線的方程為：，所以，則，
因為，解得：，所以，
所以，因為拋物線C：的準線為，
所以頂點M的軌跡是拋物線C的準線，且取的中點，連接，平行軸，故B正確；
對于C，，，所以
所以MF是△AMB的高線，故C正確；對于D，因為平行軸，所以
因為，．所以，
，
代入可得：，
當時，，故D不正確. 故選：ABC.
高頻考點3 圓錐曲線第二、三定義
核心知識：橢圓的方程為（a＞b＞0）：
過原點的直線交橢圓于兩點，P點是橢圓上異于兩點的任一點，則有。
雙曲線的方程為（a＞0，b＞0）：
過原點的直線交雙曲線于兩點，P點是雙曲線上異于兩點的任一點，則有。
典例1：（2024·黑龍江齊齊哈爾·統考）已知橢圓：的短軸長為2，上頂點為，左頂點為，，分別是的左、右焦點，且的面積為，點為上的任意一點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知的，故.∵的面積為，
∴，∴.又∵，
∴，，∴，
又，∴，
∴.∴的取值范圍為.故選：D.
典例2：（2024·安徽六安·高三六安一中階段練習）已知為雙曲線上不同三點，且滿足（為坐標原點），直線的斜率記為，則的最小值為
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【解析】由 有點 為線段 的中點,設 ,則 ,所以 ,故 ,由于點A,B,P在雙曲線上,所以 ,代入上式中,有 ,所以 ,
故最小值為4.選B.
變式訓練：
1.（2024·廣東廣州·統考）已知F為拋物線C：的焦點，過點F的直線l與C相交于A，B兩點，且，則　　
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】拋物線的焦點坐標為，準線方程為 設，，則
，，，，，，
．故選B．
2.（2024·重慶·高三專題練習）橢圓的左、右頂點分別為、，點在上，且直線的斜率為，則直線斜率為（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【解析】橢圓的左、右頂點分別為、，點坐標為，點坐標為，
又直線的斜率為，直線的方程為：，
代入橢圓方程可得：，
設點坐標為，則，解得，，故直線斜率，故選:B．
高頻考點4 焦半徑問題
核心知識：圓錐曲線上任意一點到焦點的距離稱為 焦半徑 ，其表達式因曲線類型而異。
典例1：（2024·浙江·高三專題練習）已知雙曲線的右支上的點，滿足，分別是雙曲線的左右焦點），則為雙曲線的半焦距）的取值范圍是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【解析】由雙曲線的第二定義可知，，
右支上的點，滿足，由，解得，
在右支上，可得，可得，即，則，
令，，可得
而在，單調遞減，，，，故選：B
變式訓練：
1.（2024·廣東·高三專題練習）已知點是雙曲線上的動點，，為該雙曲線的左右焦點，為坐標原點，則的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由雙曲線的對稱性，假設在右支上，即，
由到的距離為，而，
所以，
綜上，，同理，則，
對于雙曲線，有且，
所以，而，即.故選：D
2.（2024·江蘇·高二專題練習）已知為拋物線的焦點，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于，兩點，直線與交于，兩點，則當取得最小值時，四邊形的面積為（ ）
A．32 B．16 C．24 D．8
【答案】A
【解析】因為，要使最小，而，
由拋物線的對稱性可得與，與關于軸對稱，所以可得直線的斜率為1，又過拋物線的焦點，所以直線的方程為：，，整理可得，，，
所以可得，所以．選：．
高頻考點5 定比點差法與點差法
核心知識：點差法是解析幾何中處理圓錐曲線與直線相交問題的常用方法，尤其適用于涉及 弦的中點 的問題。其核心是通過兩點坐標作差，消元后得到中點坐標與斜率的關系，實現“設而不求”。
定比點差法是點差法的推廣，適用于線段被分為 定比 （非中點）的情況。設點 P 分線段AB 滿足 AP=λPB，通過引入比例參數 λ，聯立方程消元求解。
典例1：（2024·浙江·校聯考）過點的直線與橢圓交于點和，且.點滿足，若為坐標原點，則的最小值為 ．
【答案】.
【解析】設， ， 則
于是，同理，
于是我們可以得到 .
即，所以Q點的軌跡是直線， 即為原點到直線的距離，所以
變式訓練：
1.已知點P(0，1)，橢圓 (m>1)上兩點A，B滿足，則當m= 時，點B橫坐標的絕對值最大．
【答案】5
【解析】［方法一］：點差法＋二次函數性質
設，由得
因為A,B在橢圓上,所以 ，即，與相減得：，所以，，
當且僅當時取最等號，即時，點B橫坐標的絕對值最大. 故答案為：5．
［方法二］：【通性通法】設線＋韋達定理
由條件知直線的斜率存在，設，直線的方程為，聯立得，根據韋達定理得，由知，代入上式解得，所以．此時，又，解得．
［方法三］：直線的參數方程+基本不等式
設直線的參數方程為其中t為參數，為直線的傾斜角，將其代入橢圓方程中化簡得，設點A，B對應的參數分別為，則．由韋達定理知，解得，所以，此時，即，代入，解得．
［方法四］：直接硬算求解+二次函數性質
設，因為，所以．即 ①， ②，
又因為，所以．
不妨設，因此，代入②式可得．化簡整理得．由此可知，當時，上式有最大值16，即點B橫坐標的絕對值有最大值2．所以．
［方法五］：【最優解】仿射變換
如圖1，作如下仿射變換，則為一個圓．
根據仿射變換的性質，點B的橫坐標的絕對值最大，等價于點的橫坐標的絕對值最大，則
．
當時等號成立，根據易得，此時．
［方法六］：中點弦性質的應用
設，由可知，則中點．因為，所以，整理得，由于，則時，，所以．
2.（2024·山東·高三校聯考階段練習）已知橢圓，點為橢圓外一點，斜率為的直線與橢圓交于，兩點，過點作直線，分別交橢圓于，兩點．當直線的斜率為時，此橢圓的離心率為 ．
【答案】
【解析】如圖所示：
設直線AB過原點O，由題意得 ，設，CD的中點為，則，
因為C，D在橢圓上，所以，兩式相減得，
所以，因為O，M，P三點共線，所以，即，解得，
所以，故答案為：
高頻考點6 切線問題
核心知識：
1）若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.
2）若在橢圓外 ，則過作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.
3）若在雙曲線上，則過的雙曲線的切線方程是.
4）若在雙曲線外 ，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.
5）以A為切點的切線斜率為 ，切線方程為 。
典例1：（2024·湖南·高三專題練習）設拋物線，M為直線上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B，記A，B，M的橫坐標分別為，則下列關系：①；②；③.其中正確的是 (填序號)．
【答案】①
【解析】由，得，求導得，則切線的斜率分別為，而，
于是直線的方程為，直線的方程為，
因此，則，而，從而，①正確；
，即，②錯誤；
當時，③無意義，
當時，，③錯誤，
所以正確命題的序號是①. 故答案為：①
變式訓練：
1.（2024·山東濟南·高三校考階段練習）已知橢圓，過C中心的直線交C于M，N兩點，點P在x軸上其橫坐標是點M橫坐標的3倍，直線NP交C于點Q，若直線QM恰好是以MN為直徑的圓的切線，則C的離心率為 ．
【答案】
【解析】設，，則，，
設、、，分別為直線、、的斜率，則，，，
因直線是以為直徑的圓的切線所以，，所以，
又在直線上，所以，因、在上，所以，，
兩式相減得，整理得，
故，即，，故.故答案為：
2.（2024·浙江臺州·統考）拋物線有一條重要性質：從焦點出發的光線，經過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸．過拋物線：上的點（不為原點）作的切線，過坐標原點作，垂足為，直線（為拋物線的焦點）與直線交于點，點，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】因為點為拋物線：上的點（不為原點），所以可設點，且
當切線的斜率不存在時，切點為原點不合題意；當切線的斜率存在時，可設為，
聯立，消去可得，化簡可得，
令，可得，化簡可得，即，
又，所以的斜率，所以的方程，因為點，
所以的斜率為，則的方程為，
聯立，解得，即，
當時，的方程為， 的方程 則或，滿足
由兩式相除可得，即由，可得
再代入，可得，化簡可得，可得，
可知點軌跡為半徑為的圓，圓心為,
結合圖形可知，又，，
則.故答案為：
高頻考點7 焦點三角形問題
核心知識：設點是橢圓上異于長軸端點的任一點,為其焦點，記，則
（1）、；（2）、焦點三角形的面積： ；
設P點是雙曲線上異于長軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則
(1)、.(2)、焦點三角形的面積 .
典例1：（2024·云南·高三校考期末）已知，是橢圓的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且，若的面積為，則（ ）
A．9 B．3 C．4 D．8
【答案】B
【解析】法一：設，，則，，∴．
又，∴，解得．
法二：由焦點三角形面積公式得故選：B
變式訓練：
1.（2024·廣東·高三專題練習）已知、是橢圓的兩個焦點，是橢圓上的一點，若，且的面積為，則　　
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】B
【解析】設，，則由橢圓的定義可得：①
在△中，所以②，
由①②得即所以，．故選： B．
2.（2024·江西贛州·高三校聯考期末）已知橢圓上一動點P到兩個焦點F1，F2的距離之積為q，則q取最大值時，的面積為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】根據橢圓定義，，則，當且僅當時取“=”，
此時三角形是等腰三角形，易知，所以的面積為故選：B.
高頻考點8 焦點弦問題
核心知識：過橢圓：
左焦點的焦點弦；過右焦點的弦.
設為過拋物線焦點的弦，，直線的傾斜角為，
典例1：（2024·四川遂寧·統考）過拋物線的焦點作直線交拋物線于，兩點（，的橫坐標不相等），弦的垂直平分線交軸于點，若，則（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】D
【解析】設，，弦的中點為，，
則，所以，所以，則，
所以弦的垂直平分線為．令，則，所以．
又，所以．故選：D．
變式訓練：
1.（2024·安徽安慶·高三校聯考階段練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，若為邊長為4的等邊三角形，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴，∵，∴，
因為，所以，，∴.故選：A
2.（2024·廣東高三課時練習）已知雙曲線的右焦點為，是雙曲線的左支上一點，，則的周長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設雙曲線的左焦點為，則．由題可知，，
∴，，，
∴，的周長為．
∵當，，三點共線時，最小，最小值為，
∴的周長的最小值為．故選：A
高頻考點9 圓錐曲線與角平分線問題
核心知識：
焦點三角形內角平分線 ：橢圓上一點 PP 與兩焦點 F1,F2F1 ,F2 形成的三角形中，角平分線過準線對應側的特定點，且滿足比例關系。
外角平分線性質 ：雙曲線焦點三角形中，外角平分線與準線垂直，且平分線方向與漸近線方向關聯。
焦點弦的角平分線 ：過焦點的弦兩端點處切線交點的軌跡為準線，焦點到準線的角平分線垂直于拋物線對稱軸。
典例1：（2024·江蘇蘇州·校聯考模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，是上異于頂點的一點，為坐標原點，為線段的中點，的平分線與直線交于點，當四邊形的面積為時， ．
【答案】
【解析】由題可知，．因為平分，所以到，的距離相等，
設為，則．易知是的中位線，延長，交于點，則為的中點，過作于，易得，則，從而．故答案為：
變式訓練：
1.（2024·河北·石家莊一中校聯考模擬預測）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，其右支上有一點滿足，過點向的平分線引垂線交于點，若，則雙曲線的離心率 .
【答案】
【解析】延長交于點，因為，則，
因為，所以，則，，
在中，由余弦定理得，又因為，所以，
所以，即，所以.故答案為：
2.（2024·福建龍巖·統考）已知拋物線，直線過點且與相交于，兩點，若的平分線過點，則直線的斜率為 ．
【答案】
【解析】設直線的方程為，即，
設直線，的方程分別為，，即，，
設，，的平分線過點，，
整理得：，，
，則，即，由，得，，．
又，，解得：或（舍去）.故答案為：.
高頻考點10 圓錐曲線的光學性質問題
典例1：（2024·湖南長沙·高三校考階段練習）橢圓的光學性質，從橢圓一個焦點發出的光，經過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上．已知橢圓C：，為其左、右焦點．M是C上的動點，點，若的最大值為6.動直線l為此橢圓C的切線，右焦點關于直線l的對稱點，，則橢圓C的離心率為 ；S的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】根據橢圓定義得：，所以，
因為的最大值為6，，所以，即，解得，所以離心率為；
右焦點關于直線l的對稱點，設切點為A，由橢圓的光學性質可得：三點共線，
所以，即點的軌跡是以為圓心，半徑為4的圓，
圓心到直線的距離為，
則圓上的點到直線3x＋4y－24＝0的距離最小值為，最大值為，
所以點到直線的距離為，
所以表示點到直線的距離的5倍，
則，即.故答案為：①#；②.
變式訓練：
1.（2024·河南鄭州·高三校考階段練習）雙曲線的光學性質為：從雙曲線的一個焦點發出的光線經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個焦點．如圖：為雙曲線的左，右焦點，若從右焦點發出的光線在上的點處反射后射出（共線），且，則的離心率為 .

【答案】
【解析】由題意可知在雙曲線的右支上，因為，則關于x軸對稱，
所以軸，又，所以，，
由雙曲線定義可得，即，故，故答案為：
2.（2024·廣西玉林·高三校聯考開學考試）雙曲線的光學性質為：如圖①，從雙曲線右焦點發出的光線經雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經過左焦點. 我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質.某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖②，其方程為，為其左右焦點，若從右焦點發出的光線經雙曲線上的點A和點反射后，滿足，，則該雙曲線的離心率為 .
【答案】
【解析】由題可知共線，共線，如圖，設，則，
因為，所以，又，所以，
所以，所以，又因為，，所以，
所以，得，則，
又，且，所以，
化簡得，所以.故答案為：.
高頻考點11 圓錐曲線與四心問題
典例1：（2024·四川成都·模擬預測）已知、分別為雙曲線的左、右焦點，且，點為雙曲線右支上一點，為內心，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖所示：由題意為內心，設，，，內切圓半徑為，
所以，又因為，即，
化簡得，由雙曲線定義可知，因此有；
注意到，且以及，聯立并化簡得，即 ，
解得或（舍去，因為）故選：C
變式訓練：
1.（2024·廣西·統考）已知點A，B在拋物線上，O為坐標原點，若，且的垂心恰好是此拋物線的焦點F，則直線AB的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖所示，為的垂心，為焦點，
，垂直平分線段，直線垂直于軸．
設，，其中，為垂心，，，
即，解得，直線的方程為，即．故選：D．
2.（2024·浙江臺州·高三校考開學考試）已知是雙曲線的左 右焦點，過點且垂直于實軸的直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于A，B兩點，則坐標原點O可能為的（ ）
A．垂心 B．內心 C．外心 D．重心
【答案】A
【解析】根據三角形四種心的性質，即可得答案；對B，若O為的內心，則到直線的距離等于，顯然不可能，到直線的距離恒小于，故B錯誤；
對C，若O為的外心，則，，和已知矛盾，故B錯誤；
對D，若O為的重心，則，這也顯然錯誤，故C錯誤；
根據排除法，O可能為的垂心，故選：A.
1.（2024·福建·統考）希臘著名數學家阿波羅尼斯發現“平面內到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，點，，若點是滿足的阿氏圓上的任意一點，點為拋物線上的動點，在直線上的射影為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設，則，化簡整理得，
所以點的軌跡為以為圓心1為半徑的圓，拋物線的焦點，準線方程為，
則，
當且僅當（兩點在兩點中間）四點共線時取等號，
所以的最小值為.故選：B.
2.（2024·陜西·統考模擬預測）阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過這樣一個命題：在平面內到兩定點距離之比為常數的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓．若平面內兩定點A，B間的距離為2，動點P滿足，則面積的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】設經過點A，B的直線為x軸，的方向為x軸正方向，線段AB的垂直平分線為y軸，線段AB的中點O為原點，建立平面直角坐標系.則，．
設，∵，∴，兩邊平方并整理得，即．
要使的面積最大，只需點P到AB（x軸）的距離最大時，此時面積為．故選：C.
3.（2024·廣西·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，其蒙日圓方程為，M為蒙日圓上的一個動點，過點作橢圓的兩條切線，與蒙日圓分別交于P，Q兩點，若面積的最大值為36，則橢圓的長軸長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令橢圓的半焦距為c，
由橢圓的離心率，得，，
因此橢圓的蒙日圓方程為，由蒙日圓的性質得，
于是線段PQ是圓的直徑，即，
則面積的最大值為，即，，所以橢圓的長軸長為.故選：B
4.（2024·貴州畢節·校考模擬預測）加斯帕爾-蒙日是1819世紀法國著名的幾何學家．如圖，他在研究圓錐曲線時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”．若長方形的四邊均與橢圓相切，則下列說法錯誤的是（ ）

A．橢圓的離心率為 B．橢圓的蒙日圓方程為
C．若為正方形，則的邊長為 D．長方形的面積的最大值為18
【答案】D
【解析】由橢圓方程知，，則，離心率為，A正確；
當長方形的邊與橢圓的軸平行時，長方形的邊長分別為和4，其對角線長為，因此蒙日圓半徑為，圓方程為，B正確；
設矩形的邊長分別為，因此，即，當且僅當時取等號，所以長方形的面積的最大值是20，此時該長方形為正方形，邊長為，C正確，D錯誤．故選：D．
5.（2024·福建漳州·高二福建省華安縣第一中學校考階段練習）過橢圓的左焦點F作傾斜角為60°的直線l與橢圓C交于A、B兩點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，，，左焦點為．
則過左焦點F，傾斜角為60°直線l的方程為．代入，得，
設，，則，，又，
根據弦長公式得：，
且，
∴，故選：A．
6.（2024,江蘇高三期中）橢圓：的左、右頂點分別為，，點在上且直線的斜率的取值范圍是，那么直線斜率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意，橢圓：的左、右頂點分別為，
設，則，又由，可得，
因為，即，可得，所以直線斜率的取值范圍.故選：A.
7.（2024·湖南·高三校聯考期末）設是橢圓的兩個焦點，若上存在點滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】①時，上存在點滿足，設為橢圓短軸端點，
當位于短軸的端點時，取最大值，要使橢圓上存在點滿足則，，，解得；
②當橢圓的焦點在軸上時，，同理可得；的取值范圍是.故選：A.
8.（2024·河北衡水·河北衡水中學校考）已知，為橢圓：的兩個焦點，若上存在點滿足，則實數取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】當焦點在軸上時，，，，當為上下頂點時，最大，
因為坐標，，，所以，
即，解得；當焦點在軸上時，，，，
當為左右頂點時，最大，因為，，，
所以，即，解得，故選：C.
9.“四二一廣場”是重慶第一中學校的文化地標（如圖1），廣場中心的建筑形似火炬宛若花開，三朵“花瓣”都是拓撲學中的莫比烏斯帶（如圖2）.將莫比烏斯帶投影到平面上，會得到無窮大符號“∞”.在平面直角坐標系中，設線段AB長度為2a（），坐標原點O為AB中點且點A，B均在x軸上，若動點P滿足，那么點P的軌跡稱為雙紐線，其形狀也是無窮大符號“∞”（如圖3）.若，點P在第一象限且，則（ ）

A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】，設，由雙紐線的定義得，
即，化簡得，
顯然，設，則，
代入方程，得，
所以，
由余弦定理得，
所以，所以.故選：C.
10.（2024·內蒙古赤峰·一模）2022年卡塔爾世界杯中的數字元素——會徽（如圖）正視圖近似伯努利雙紐線.定義：在平面直角坐標系中，把到定點的距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線.已知是雙紐線上的一點，下列說法錯誤的是（ ）
A．雙紐線關于原點成中心對稱 B．
C．雙曲線上滿足的點有兩個 D．的最大值為
【答案】C
【解析】由到定點的距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線，
得，
將 替換方程中的 ，方程不變，故雙紐線關于原點成中心對稱，故A正確；
由等面積法得，則 ，所以故B正確；
令 ，得 ，得 ，即雙曲線上滿足的點有一個，故C錯誤；
因為 ，所以 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 的最大值為，故D正確，故選：C.
11.（2024·河南濮陽·模擬預測）在數學史上，平面內到兩個定點的距離之積為常數的點的軌跡稱為卡西尼卵形線．在平面直角坐標系中，動點到兩個定點，的距離之積等于3，化簡得曲線C：，下列結論不正確的是（ ）
A．曲線C關于y軸對稱 B．的最小值為
C．面積的最大值為 D．的取值范圍為
【答案】C
【解析】對A：因為用代替，方程不變，所以曲線關于軸對稱，故A正確；
對B：，當點在軸上取得等號，故B正確；對C：因為，
因為，所以.所以.故C錯誤；
對D：因為
； 所以.
所以，所以，故D正確.故選：C
12．（2024·山東·模擬預測）已知雙曲線的上焦點為，圓的圓心位于軸上，半徑為，且與的上支交于兩點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題可知．設圓，，.
聯立，得，則，
因此，故.
因為，所以，同理可得.
故.
又，且，故，，從而.
所以
.當時，有，，
此時．所以的最小值是.故選：B.
13．（2024·黑龍江·二模）雙曲線的左、右頂點分別為，左、右焦點分別為，過作直線與雙曲線的左、右兩支分別交于M，N兩點.若，且，則直線與的斜率之積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】設，則，由雙曲線定義得，，
在中，由余弦定理得，
解得，則，，
在中，由余弦定理得，
解得，則，，設，則，
將代入得，則直線與的斜率之積為.
故選：D
14．（2024·廣西·模擬預測）已知雙曲線的虛軸長為4，C的一條漸近線與曲線在處的切線垂直，M，N為C上不同兩點，且以MN為直徑的圓經過坐標原點O，則（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】A
【詳解】由題意可知：，即．又因為，則，可得，
即曲線在處切線的斜率，由題意可知：雙曲線C的一條漸近線為，
即，解得，所以雙曲線C的方程為．
以MN為直徑的圓經過坐標原點O，連接OM，ON，可知，
設直線OM的方程為，可知，則直線ON的方程為，
聯立方程，消去y整理得，即，故，則，同理可得：，所以.故選：A．
15．（2024·山西運城·三模）已知拋物線的焦點為，動點在上，點與點關于直線對稱，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】依題意，，，設，則，解得，
即，點為的準線與軸的交點，
由拋物線的對稱性，不妨設點M位于第一象限，作垂直于的準線于點，
設，由拋物線的定義得，于是，
當直線與相切時，最大，最小，取得最小值，此時直線的斜率為正，
設切線的方程為，由消去x得，
則，得，直線的斜率為，傾斜角為，
于是，，所以的最小值為.故選：A
16．（2024·福建泉州·模擬預測）（多選題）已知直線與圓相交于兩點，下列說法正確的是（ ）
A．若圓關于直線對稱，則 B．的最小值為
C．當時，對任意，曲線恒過直線與圓的交點
D．若（為坐標原點）四點共圓，則
【答案】BCD
【詳解】A.若圓關于直線對稱，則直線過圓的圓心，即，得，故A錯誤；
B. ，整理為，不管為何值，直線始終過點，當是線段的中點時，此時弦長最短，圓，圓心是，半徑，
圓心和點的距離是，所以最短弦長，故B正確；
C. 當時，直線，
曲線，即，
所以曲線為過直線與圓交點的曲線方程，故C正確；
D.若四點共圓，設此圓為圓，圓的圓心，
的中點為，所以的垂直平分線方程為，所以，
圓的方程為，整理為，
直線是圓與圓的交線，圓與圓的方程相減得
所以直線的方程是，
將直線所過的定點坐標代入上式得，得，
所以直線，即直線的斜率為，即，則，故D正確.故選：BCD
17．（2024·河北·三模）（多選題）已知F為拋物線的焦點，，為拋物線上不同的兩動點，分別過M，N作拋物線C的切線，兩切線交于點P，則（ ）
A．若，則直線MN的傾斜角為 B．直線PM的方程為
C．若線段MN的中點為Q，則直線PQ平行于y軸 D．若點P在拋物線C的準線上，則
【答案】BD
【詳解】對于A中，由點，為拋物線上，
可得，兩式相減得，
因為，可得，即的斜率為，
所以直線的傾斜角為，所以A不正確；
對于B中，由，可得，則，所以，
即過點的切線的斜率為，所以切線的方程為，即，又因為，所以切線方程為，所以B正確；
對于C中，同理可得，切線方程為，
聯立方程組，解得，
所以點的橫坐標為，又因為為的中點，可得，所以，
當時，可得軸，；但當時，可得直線與軸重合，所以C不正確；
對于D中，由拋物線，可得焦點，準線方程為，
若點在拋物線的準線上，可得點，所以，
又由A項，可得，即直線的斜率為
因為，所以，所以，所以D正確.故選：BD.
18.（多選題）黃金分割比例具有嚴格的比例性、藝術性，和諧性，蘊含著豐富的美學價值．這一比值能夠引起人們的美感，是建筑和藝術中最理想的比例．我們把離心率的橢圓稱為“黃金橢圓”，則以下說法正確的是（ ）
A．橢圓是“黃金橢圓”
B．若橢圓的右焦點為，且滿足，則該橢圓為“黃金橢圓”
C．設橢圓的左焦點為F，上頂點為B，右頂點為A，若，則該橢圓為“黃金橢圓”
D．設橢圓的左、右頂點分別是A，B，左、右焦點分別是，，若，則該橢圓為“黃金橢圓”
【答案】ABC
【解析】對于A：由題意得，，
故，故橢圓是“黃金橢圓”，故A正確；
對于B：，即，故，
解得或（舍去），故該橢圓是“黃金橢圓”， 故B正確；
對于C：由得，化簡可知，
解得或（舍去），故該橢圓是“黃金橢圓”， 故C正確；
對于D：由，得，
則（負值舍去），故該橢圓不是“黃金橢圓”， 故D錯誤．故選：ABC
19．（2024·山西運城·三模）已知動圓經過點及原點，點是圓與圓的一個公共點，則當最大時，圓的半徑為 .
【答案】
【詳解】因為動圓經過點及原點，記的中點為，則圓心在上，如圖：

記圓半徑為，，則，，所以，
當最大時，最小，此時兩圓外切. 由已知設動圓的圓心為，
又圓的圓心，半徑，所以，
即，解得，所以，即圓的半徑為，
此時圓為，圓心，.故答案為：.
20.（2024·湖南常德·統考）定義：點為曲線外的一點，為上的兩個動點，則取最大值時，叫點對曲線的張角.已知點為拋物線上的動點，設對圓的張角為，則的最小值為 .
【答案】
【解析】如圖，，
要使最小，則最大，即需最小.
設，則，
∴當，即時，，，
此時或，.故答案為：.
21.（2024·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考期末）過拋物線的焦點的直線與交于兩點，且，的準線與軸交于，的面積為，則的通徑長為 .
【答案】
【解析】設直線方程為，與拋物線方程聯立，根據，即，結合韋達定理求得，再根據的面積為，由求解.設過拋物線的焦點的直線方程為，與拋物線方程聯立得：，
設，由根與系數的關系得：，
又因為，所以，解得，
所以，即，解得，
所以，所以的通徑長為8故答案為：8
22.（2024·黑龍江哈爾濱·高三校考階段練習）已知橢圓的左、右焦點分別為過的通徑（過焦點垂直于長軸的弦叫做通徑），則的內切圓方程為 .
【答案】
【解析】先求出，，，求出，，進而可以求出的周長和面積，設的內切圓半徑為，由即可求出，利用坐標和半徑即可以求出圓心坐標，從而得出圓的方程.
設的內切圓半徑為，由橢圓的方程知：，，
則，因為垂直于軸，所以 ，，
解得：，，的周長為，
其面積為：，由內切圓的性質得：，
即，解得：，圓心橫坐標為：，所以圓心坐標為，
所以所求圓的方程為：，故答案為：
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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