資源簡介

/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學
5.1 離心率及其范圍題型全歸納
考點分布 考查頻率 命題趨勢
離心率 2024年新高考I卷第12題，5分 2024年甲卷第5題，5分 2023年新高考I卷第5題，5分 2023年甲卷第9題，5分 2022年甲卷第10題，5分 2022年浙江卷第16題，4分 離心率問題一直是高考每年必考，對圓錐曲線概念和幾何性質的考查為主，多以選擇、填空題的形式考查，難度中等．二輪復習我們需要掌握一些基本的性質和常規的處理方法，挖掘橢圓雙曲線的幾何性質下手．
離心率在圓錐曲線問題中有著重要應用，它的變化會直接導致曲線類型和形狀的變化，同時它又是圓錐曲線統一定義中的三要素之一，有關求解圓錐曲線離心率的試題在歷年高考試卷中均有出現。
1．（2024·全國甲卷·高考真題）已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
2．（2024·新高考I卷）設雙曲線的左右焦點分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點，若，則C的離心率為 ．
3．（2023·新高考I卷）已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為 ．
4．（2023·全國甲卷·高考真題）設橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全國甲卷·高考真題）橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全國甲卷）已知雙曲線的離心率為，的一條漸近線與圓交于，兩點，則　　
A． B． C． D．
7．（多選題）（2022·全國乙卷）雙曲線的兩個焦點為，，以的實軸為直徑的圓記為，過作的切線與交于，兩點，且，則的離心率為　　
A． B． C． D．
8．（2022·浙江卷）已知雙曲線的左焦點為，過且斜率為的直線交雙曲線于點，，交雙曲線的漸近線于點，且．若，則雙曲線的離心率是 ．
9．（2021·全國甲卷）已知，是雙曲線的兩個焦點，為上一點，且，，則的離心率為　　
A． B． C． D．
10．（2021·天津卷）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準線交雙曲線于，兩點，交雙曲線的漸近線于，兩點，若，則雙曲線的離心率為　　
A． B． C．2 D．3
高頻考點一 利用定義法求離心率（第一定義）
核心知識：一般情況題中出現圓錐曲線上的點與焦點聯系在一起時，盡量轉化為定義去考慮，會更簡單！
（1）橢圓的兩焦點分別為,是橢圓上任意一點,則：；
（2）雙曲線的兩焦點分別為,是雙曲線上任意一點,則: 。
典例1：（2024·重慶渝中·模擬預測）已知雙曲線的左焦點為，過坐標原點的直線與雙曲線交于兩點，且點在第一象限，滿足.若點在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式訓練
1.（2024·河南洛陽·模擬預測）已知為橢圓上一點，分別為其左、右焦點，為坐標原點，，且，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2.（2024·高三·江西·開學考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，經過點且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點，且，則橢圓C的離心率為 。
3.（2024·高三·湖南·開學考試）已知為雙曲線的左焦點，為雙曲線左支上一點，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．3 B．2 C． D．
高頻考點2 利用定義法求離心率（第二、三定義）
核心知識：橢圓的方程為（a＞b＞0）：
過原點的直線交橢圓于兩點，P點是橢圓上異于兩點的任一點，則有。
雙曲線的方程為（a＞0，b＞0）：
過原點的直線交雙曲線于兩點，P點是雙曲線上異于兩點的任一點，則有。
典例1：（2024·山東青島·高三統考期末）已知雙曲線與直線相交于，兩點，點為雙曲線上的一個動點，記直線，的斜率分別為，，若，且雙曲線的右焦點到其一條漸近線的距離為1，則雙曲線的離心率為 ．
變式訓練：
1.已知雙曲線的左、右焦點分別為，為左支上一點，到左準線的距離為，若、、成等比數列，則其離心率的取值范圍是（ ）
A．， B．， C．， D．，
2.（2024·山東·高三校聯考開學考試）如圖，A，分別是橢圓的左、右頂點，點在以為直徑的圓上（點異于A，兩點），線段與橢圓交于另一點，若直線的斜率是直線的斜率的4倍，則橢圓的離心率為（ ）

A． B． C． D．
高頻考點3 數形結合求離心率
核心知識：
典例1：（2024·廣西·模擬預測）如圖1所示，雙曲線具有光學性質：從雙曲線右焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點.若雙曲線的左 右焦點分別為，從發出的光線經過圖2中的兩點反射后，分別經過點和，且，，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式訓練：
1.（2024·河北秦皇島·高三校聯考開學考試）過雙曲線的左焦點F作的一條切線，設切點為T，該切線與雙曲線E在第一象限交于點A，若，則雙曲線E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北·聯考模擬預測）設橢圓的離心率，C的左右焦點分別為，點A在橢圓C上滿足．的角平分線交橢圓于另一點B，交y軸于點D．已知，則_______．
高頻考點4 頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題
核心知識：頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題，如圖所示：
橢圓：，根據范圍求解值域．
雙曲線：，根據范圍求解值域．
典例1：（2024·重慶沙坪壩·高三校考階段練習）已知橢圓上一點，它關于原點的對稱點為，點為橢圓右焦點，且滿足，設，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式訓練：
1.（2024·廣東高三期中）已知橢圓（a＞b＞0）上有一點A，它關于原點的對稱點為B，點F為橢圓的右焦點，且AF⊥BF，設，且，則該橢圓的離心率e的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
2.（2024·寧夏銀川·高三校考階段練習）已知橢圓上有一點，它關于原點的對稱點為，點為橢圓的右焦點，且滿足，設，且，則該橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
高頻考點5 焦點三角形頂角范圍與離心率
核心知識：是橢圓的焦點，點在橢圓上，，則（當且僅當動點為短軸端點時取等號）。
典例1：（2024·寧夏·高三校聯考階段練習）已知 ，是橢圓的兩個焦點，若橢圓C上存在點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
變式訓練：
1.（2024·江西撫州·高三統考期末）設是橢圓的兩個焦點,若橢圓上存在點,使,則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2.（2024·高三課時練習）已知橢圓的兩個焦點分別為，若橢圓上存在點使得是鈍角，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
高頻考點6 共焦點的橢圓與雙曲線問題
核心知識：，與基本不等式聯姻求解離心率的取值范圍
典例1：（2024·湖北咸寧·校考模擬預測）已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，左右焦點分別為，且兩條曲線在第一象限的交點為，是以為底邊的等腰三角形，若，橢圓與雙曲線的離心率分別為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式訓練：
1.（2024·北京·高三專題練習）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，，是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則當取最大值時，，的值分別是（ ）
A．， B．， C．， D．，
2.（2024·湖南·高三校聯考期末）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，，，分別是它們在第一象限和第三象限的交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則最小值等于 ．
3.（多選題）（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知橢圓：與雙曲線：有公共焦點，，它們的離心率分別為，，P是它們在第一象限的交點，的內切圓圓心為Q，，O為坐標原點，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則的最小值為
C．過作直線的垂線，垂足為H，點H的軌跡是雙曲線 D．兩個曲線在P點處的切線互相垂直
高頻考點7 基本不等式法求離心率范圍
核心知識：熟練掌握基本不等式即可。
典例1：（2024·山西運城·高三期末）已知點為橢圓的左頂點，為坐標原點，過橢圓的右焦點F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點P滿足，則橢圓離心率的最大值________.
變式訓練：
1.設橢圓的右焦點為，橢圓上的兩點，關于原點對你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2.設、分別是橢圓：的左、右焦點，是橢圓準線上一點，的最大值為60°，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
高頻考點8 中點弦求離心率（點差法）
核心知識：見到弦中點問題，馬上想到點差法。
典例1：（2024·陜西西安·校考模擬預測）已知橢圓C：的焦距為2c，左焦點為F，直線l與C相交于A，B兩點，點P是線段AB的中點，P的橫坐標為．若直線l與直線PF的斜率之積等于，則C的離心率為 ．
變式訓練：
1.已知橢圓的右焦點為，過且斜率為1的直線與交于兩點，若線段的中點在直線上，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2.（2024·陜西銅川·三模）已知原點為，橢圓與直線交于兩點，線段的中點為，若直線的斜率為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
高頻考點9 四心與離心率
核心知識：三角形的重心：三角形三條中線的交點。
（1）G是的重心；重心坐標；
（2）G為的重心，P為平面上任意點，則；
（3）重心是中線的三等分點；重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比是2:1；
三角形的內心：三角形三條角平分線的交點。
重要結論：I是的內心 (其中a、b、c為的三條邊)；
三角形內切圓的半徑求法：
（1）任意三角形：（其中為三角形ABC 的周長，為三角形ABC 的面積）；
（2）直角三角形：（其中a，b為直角邊，c為斜邊）
三角形的垂心：三角形三條高線的交點
（1）H是的垂心。
（2）垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離得2倍。
三角形的外心：三角形三條垂直平分線的交點
(1)若O是的外心(或)；
(2)若點O是的外心，則=0.
(3)若O是的外心，則;
(4)多心組合：的外心、重心、垂心共線，即∥
典例1：（2024·湖北·模擬預測）斜率為1的直線與雙曲線交于兩點，點是上的一點，滿足的重心分別為的外心為.記直線，的斜率為.若，則雙曲線的離心率為 .
變式訓練：
1.（2024·福建龍巖·一模）斜率為的直線與橢圓交于兩點，點是橢圓上的一點，且滿足，點分別是的重心，點是的外心.記直線的斜率分別為，若，則橢圓的離心率為 .
2.已知點，分別為雙曲線的左，右焦點，點，在的右支上，且點恰好為的外心，若，則雙曲線的離心率為 ．
高頻考點10 平面截圓錐（林丹球）問題
典例1：“用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當圓錐的軸與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲線”，利用這個原理，小強在家里用兩個射燈(射出的光錐視為圓錐)在墻上投影出兩個相同的橢圓（圖1），光錐的一條母線恰好與墻面垂直．圖2是一個射燈投影的直觀圖，圓錐的軸截面是等邊三角形，橢圓所在平面為，則橢圓的離心率為 ．
變式訓練：
1.（2024·江西南昌·一模）用平面截圓錐面，可以截出橢圓 雙曲線 拋物線，那它們是不是符合圓錐曲線的定義呢？比利時數學家旦德林用一個雙球模型給出了證明.如圖1，在一個圓錐中放入兩個球，使得它們都與圓錐面相切，一個平面過圓錐母線上的點且與兩個球都相切，切點分別記為.這個平面截圓錐面得到交線是上任意一點，過點的母線與兩個球分別相切于點，因此有，而是圖中兩個圓錐母線長的差，是一個定值，因此曲線是一個橢圓.如圖2，兩個對頂圓錐中，各有一個球，這兩個球的半徑相等且與圓錐面相切，已知這兩個圓錐的母線與軸夾角的正切值為，球的半徑為4，平面與圓錐的軸平行，且與這兩個球相切于兩點，記平面與圓錐側面相交所得曲線為，則曲線的離心率為 .
2.（2024·河北·模擬預測）數學家Geminad Dandelin用一平面截圓錐后，在圓錐內放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐側面 截面相切，就可證明圖中平面截圓錐得到的截面是橢圓（如圖稱為丹德林雙球模型）．若圓錐的軸截面為正三角形，則用與圓錐的軸成角的平面截圓錐所得橢圓的離心率為 ．

1.（2024·高三·河北邢臺·開學考試）已知雙曲線的左 右焦點分別為，過點且與實軸垂直的直線交雙曲線于兩點.若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
2.（2024·廣東深圳·二模）P是橢圓C：（）上一點，、是的兩個焦點，，點在的平分線上，為原點，，且．則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
3.（2024·四川達州·二模）雙曲線的左、右頂點分別為為上一點，若直線與直線斜率之積為2，則的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．3
4.（2024·廣東茂名·一模）已知橢圓的左、右焦點分別為，直線與橢圓交于兩點，直線與橢圓交于另一點，若直線與的斜率之積為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
5.（2024·河南駐馬店·高三統考期末）已知雙曲線右支上非頂點的一點關于原點的對稱點為，為其右焦點，若，設且，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6.（2024·遼寧葫蘆島·高三統考期末）已知點分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上的一個動點，若使得滿足是直角三角形的動點恰好有6個，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
7.（2024·遼寧·模擬預測）已知橢圓與雙曲線有共同的焦點是橢圓與雙曲線的一個公共點，且，其離心率分別為，則的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
8．（2025·江西贛州·高三校考階段練習）已知橢圓C：的左，右焦點，過原點的直線l與橢圓C相交于M，N兩點．其中M在第一象限．，則橢圓C的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·四川涼山·高三校考階段練習）已知，分別是橢圓的左 右焦點，若在橢圓上存在點，使得的面積等于，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
10.（2024·湖北·高三開學考試）已知雙曲線與斜率為1的直線交于A，B兩點，若線段AB的中點為，則C的離心率（ ）
A． B． C． D．
11.（多選題）已知，是橢圓與雙曲線共同的焦點，，分別是，的離心率，點M是它們的一個交點，則以下判斷正確的有（ ）
A．面積為 B．若，則
C．若，則的取值范圍為 D．若，則的取值范圍為
12.雙曲線，斜率為的直線與交于兩點，點在上，且，的外心為，的重心為，的重心為，，則的離心率 ．
13.已知雙曲線：虛軸的一個頂點為，直線與交于，兩點，若的垂心在的一條漸近線上，則的離心率為 .
14.（2024·河南新鄉·三模）已知雙曲線虛軸的一個頂點為，直線與交于，兩點，若的垂心在的一條漸近線上，則的離心率為 .
15.（2024·廣東廣州·一模）如圖是數學家Germinal Dandelin用來證明一個平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型.在圓錐內放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側面與截面都相切，設圖中球，球的半徑分別為4和2，球心距離，截面分別與球，球相切于點（是截口橢圓的焦點），則此橢圓的離心率等于 .
16.（2024·江蘇·三模）已知過坐標原點且異于坐標軸的直線交橢圓于兩點，過的中點作軸的垂線，垂足為，直線交橢圓于另一點，直線的斜率分別為，則 ；若，則的離心率為 .
17.（2024·四川瀘州·高三校考階段練習）已知分別為雙曲線的左、右焦點，是左支上一點，，若存在點滿足，則的離心率為 .
18.（2024·內蒙古赤峰·高三校考期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在上，且，射線分別交于兩點（為坐標原點），若，則的離心率為 ．
19.（2024·福建龍巖·高三福建省連城縣第一中學校考期末）如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為是C上位于第一象限內的一點，且直線軸的正半軸交于A點，的內切圓在邊上的切點為N，若，則雙曲線C的離心率為 .
20．（2024·江西·統考二模）如圖是數學家Germinal Dandelin用來證明一個平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）；在圓錐內放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側面、截面相切，設圖中球，球的半徑分別為和，球心距離,截面分別與球，球切于點，，（，是截口橢圓的焦點），則此橢圓的離心率等于______．
21.（2024·四川成都·模擬預測）已知橢圓與雙曲線有相同的左右焦點，若點是與在第一象限內的交點，且，設與的離心率分別為，則的取值范圍為 .
21.如圖①，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓．許多人從純幾何的角度出發對這個問題進行過研究，其中比利時數學家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創造性．在圓錐內放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側面，截面相切，兩個球分別與截面相切于E，F，在截口曲線上任取一點A，過A作圓錐的母線，分別與兩個球相切于C，B，由球和圓的幾何性質，可以知道，，于是．由B，C的產生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以E，F為焦點的橢圓．如圖②，一個半徑為3的球放在桌面上，桌面上方有一個點光源P，則球在桌面上的投影是橢圓．已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的離心率為 ．
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學
5.1 離心率及其范圍題型全歸納
考點分布 考查頻率 命題趨勢
離心率 2024年新高考I卷第12題，5分 2024年甲卷第5題，5分 2023年新高考I卷第5題，5分 2023年甲卷第9題，5分 2022年甲卷第10題，5分 2022年浙江卷第16題，4分 離心率問題一直是高考每年必考，對圓錐曲線概念和幾何性質的考查為主，多以選擇、填空題的形式考查，難度中等．二輪復習我們需要掌握一些基本的性質和常規的處理方法，挖掘橢圓雙曲線的幾何性質下手．
離心率在圓錐曲線問題中有著重要應用，它的變化會直接導致曲線類型和形狀的變化，同時它又是圓錐曲線統一定義中的三要素之一，有關求解圓錐曲線離心率的試題在歷年高考試卷中均有出現。
1．（2024·全國甲卷·高考真題）已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【詳解】由題意，設、、，
則，，，
則，則.故選：C.
2．（2024·新高考I卷）設雙曲線的左右焦點分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點，若，則C的離心率為 ．
【答案】
【詳解】由題可知三點橫坐標相等，設在第一象限，將代入
得，即，故，，
又，得，解得，代入得，
故，即，所以.故答案為：
3．（2023·新高考I卷）已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為 ．
【答案】/
【詳解】方法一：依題意，設，則，
在中，，則，故或（舍去），
所以，，則，故，
所以在中，，整理得，故.
方法二:依題意，得，令，
因為，所以，則，
又，所以，則，
又點在上，則，整理得，則，
所以，即，
整理得，則，解得或，
又，所以或（舍去），故.故答案為：.
4．（2023·全國甲卷·高考真題）設橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由，得，因此，而，所以.故選：A
5．（2022·全國甲卷·高考真題）橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】[方法一]：設而不求 設，則
則由得：，
由，得，所以，即，
所以橢圓的離心率，故選A.
[方法二]：第三定義
設右端點為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：故，
由橢圓第三定義得：，故 所以橢圓的離心率，故選A.
6．（2023·全國甲卷）已知雙曲線的離心率為，的一條漸近線與圓交于，兩點，則　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】雙曲線的離心率為，可得，所以，
所以雙曲線的漸近線方程為：，
一條漸近線與圓交于，兩點，圓的圓心，半徑為1，
圓的圓心到直線的距離為：，所以．故選：．
7．（多選題）（2022·全國乙卷）雙曲線的兩個焦點為，，以的實軸為直徑的圓記為，過作的切線與交于，兩點，且，則的離心率為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】當直線與雙曲線交于兩支時，設雙曲線的方程為，
設過的切線與圓相切于點，則，，又，
所以，過點作于點，所以，又為的中點，
所以，，因為，，所以，
所以，則，
所以，由雙曲線的定義可知，
所以，可得，即，所以的離心率．
情況二：當直線與雙曲線交于一支時，如圖，記切點為，連接，則，，
過作于，則，因為，所以，，
，即，
所以，正確．故選：．
8．（2022·浙江卷）已知雙曲線的左焦點為，過且斜率為的直線交雙曲線于點，，交雙曲線的漸近線于點，且．若，則雙曲線的離心率是 ．
【答案】．
【解析】（法一）如圖，過點作軸于點，過點作軸于點，
由于，且，則點在漸近線上，不妨設，
設直線的傾斜角為，則，則，即，則，
，又，則，
又，則，則，
點的坐標為，，即，．
（法二）由，解得，又，所以點的縱坐標為，
代入方程中，解得，所以，代入雙曲線方程中，可得，
所以．故答案為：．
9．（2021·全國甲卷）已知，是雙曲線的兩個焦點，為上一點，且，，則的離心率為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】設，，則根據題意及余弦定理可得：
，解得，所求離心率為．故選：．
10．（2021·天津卷）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準線交雙曲線于，兩點，交雙曲線的漸近線于，兩點，若，則雙曲線的離心率為　　
A． B． C．2 D．3
【答案】
【解析】解由題意可得拋物線的準線方程為，由題意可得：，漸近線的方程為：，
可得，，，，所以，，
由，解得：，即，所以雙曲線的離心率．故選：．
高頻考點一 利用定義法求離心率（第一定義）
核心知識：一般情況題中出現圓錐曲線上的點與焦點聯系在一起時，盡量轉化為定義去考慮，會更簡單！
（1）橢圓的兩焦點分別為,是橢圓上任意一點,則：；
（2）雙曲線的兩焦點分別為,是雙曲線上任意一點,則: 。
典例1：（2024·重慶渝中·模擬預測）已知雙曲線的左焦點為，過坐標原點的直線與雙曲線交于兩點，且點在第一象限，滿足.若點在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設雙曲線右焦點為，連接，
由題意可知關于原點對稱，所以，
所以是直角，由，可設，則，即
由雙曲線的定義可知：，，則，，
由是直角得：， 則，解得：，
又由是直角得：，則，
解得：，所以離心率故選：B.
變式訓練
1.（2024·河南洛陽·模擬預測）已知為橢圓上一點，分別為其左、右焦點，為坐標原點，，且，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，顯然點不在x軸上，，
則，
由余弦定理得，
因此，而，
于是，整理得，則，所以的離心率為.故選：C
2.（2024·高三·江西·開學考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，經過點且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點，且，則橢圓C的離心率為
【答案】/0.5
【解析】由題意知，
所以，即，
又，即，所以，故答案為：
3.（2024·高三·湖南·開學考試）已知為雙曲線的左焦點，為雙曲線左支上一點，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】設為雙曲線的右焦點，由余弦定理可得，所以，
由雙曲線的定義可得，即，故雙曲線的離心率.
故選：D.
高頻考點2 利用定義法求離心率（第二、三定義）
核心知識：
橢圓的方程為（a＞b＞0）：
過原點的直線交橢圓于兩點，P點是橢圓上異于兩點的任一點，則有。
雙曲線的方程為（a＞0，b＞0）：
過原點的直線交雙曲線于兩點，P點是雙曲線上異于兩點的任一點，則有。
典例1：（2024·山東青島·高三統考期末）已知雙曲線與直線相交于，兩點，點為雙曲線上的一個動點，記直線，的斜率分別為，，若，且雙曲線的右焦點到其一條漸近線的距離為1，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】
【解析】設點，，，則且，
兩式相減，得，所以，
因為，所以，所以，
所以雙曲線的漸近線方程為，即，因為焦點到漸近線的距離為，
所以，可得，又因為，所以，所以雙曲線的離心率.故答案為：
變式訓練：
1.已知雙曲線的左、右焦點分別為，為左支上一點，到左準線的距離為，若、、成等比數列，則其離心率的取值范圍是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】，，即①，又②．
由①②解得：，，又在焦點三角形中：，
即：，即，解得：，
又，，故選：D．
2.（2024·山東·高三校聯考開學考試）如圖，A，分別是橢圓的左、右頂點，點在以為直徑的圓上（點異于A，兩點），線段與橢圓交于另一點，若直線的斜率是直線的斜率的4倍，則橢圓的離心率為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設，易知，
則，，
又，所以.故選：C
高頻考點3 數形結合求離心率
核心知識：
典例1：（2024·廣西·模擬預測）如圖1所示，雙曲線具有光學性質：從雙曲線右焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點.若雙曲線的左 右焦點分別為，從發出的光線經過圖2中的兩點反射后，分別經過點和，且，，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，由，有，
可得，可得，有.在Rt中，由，
不妨設，則，由勾股定理得，
又由雙曲線的定義可得，，
根據可得，解得，所以，
在Rt中，，可得，
故雙曲線的離心率為.故選：B.
變式訓練：
1.（2024·河北秦皇島·高三校聯考開學考試）過雙曲線的左焦點F作的一條切線，設切點為T，該切線與雙曲線E在第一象限交于點A，若，則雙曲線E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令雙曲線的右焦點為，半焦距為c，取線段中點，連接，
因為切圓于，則，有，
因為，則有，，
而為的中點，于是，即，，
在中，，整理得，所以雙曲線E的離心率.
故選：C
2．（2024·湖北·聯考模擬預測）設橢圓的離心率，C的左右焦點分別為，點A在橢圓C上滿足．的角平分線交橢圓于另一點B，交y軸于點D．已知，則_______．
【答案】
【詳解】由點A在橢圓C上，且，設點，且，，
則
，同理，
設角平分線交x軸于，根據角平分線的性質，可知
，，
，解得，，得．
可得直線．進而可得，
由，可得，設中點為M，則．，
點差法的結論，證明如下：設，，，為中點，
故，兩式作差得，，
又由，，可整理得，，
最后化簡得，，進而得到，，得．
因為，所以，聯立，解得，
所以，故，解得．故答案為：．
高頻考點4 頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題
核心知識：頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題，如圖所示：
橢圓：，根據范圍求解值域．
雙曲線：，根據范圍求解值域．
典例1：（2024·重慶沙坪壩·高三校考階段練習）已知橢圓上一點，它關于原點的對稱點為，點為橢圓右焦點，且滿足，設，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖所示，設橢圓得左焦點為，連接，則四邊形為矩形，
則，所以，
在中，由，得，
所以，所以，
因為，所以，所以，所以.選：B.
變式訓練：
1.（2024·廣東高三期中）已知橢圓（a＞b＞0）上有一點A，它關于原點的對稱點為B，點F為橢圓的右焦點，且AF⊥BF，設，且，則該橢圓的離心率e的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖所示，設橢圓的左焦點為，連接，．則四邊形為矩形．
因此．．所以，．
．，
，，，
其中，
．．故選：A．
2.（2024·寧夏銀川·高三校考階段練習）已知橢圓上有一點，它關于原點的對稱點為，點為橢圓的右焦點，且滿足，設，且，則該橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設橢圓的左焦點為，連接，，可知四邊形為矩形，從而可知，且，由，可得，，結合，可得，根據，求出范圍即可.如圖所示，設橢圓的左焦點為，連接，，則四邊形為矩形，所以，，
由，可得，，
，即，∵，，
，，.故選：A.
高頻考點5 焦點三角形頂角范圍與離心率
核心知識：是橢圓的焦點，點在橢圓上，，則（當且僅當動點為短軸端點時取等號）。
典例1：（2024·寧夏·高三校聯考階段練習）已知 ，是橢圓的兩個焦點，若橢圓C上存在點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若橢圓C上存在點，使得，即以為直徑的圓與橢圓有交點，設， ，解得，即，，
又，故.故選：B.
變式訓練：
1.（2024·江西撫州·高三統考期末）設是橢圓的兩個焦點,若橢圓上存在點,使,則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】F1（-c，0），F2（c，0），c＞0，設P，則|PF1|=a+ex1，|PF2|=a-ex1．
在△中，由余弦定理得，
解得．∵，∴0≤＜a2，即．且
∴．故橢圓離心率的取范圍是 e∈
2.（2024·高三課時練習）已知橢圓的兩個焦點分別為，若橢圓上存在點使得是鈍角，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】當動點從橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運動時，對兩個焦點的張角漸漸增大，當且僅當點位于短軸端點處時，張角達到最大值．
∵橢圓上存在點使得是鈍角，∴中，，
∴ 中，，∴，∴，∴，∴，
∵，∴．橢圓離心率的取值范圍是，故選B．
高頻考點6 共焦點的橢圓與雙曲線問題
核心知識：，與基本不等式聯姻求解離心率的取值范圍
典例1：（2024·湖北咸寧·校考模擬預測）已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，左右焦點分別為，且兩條曲線在第一象限的交點為，是以為底邊的等腰三角形，若，橢圓與雙曲線的離心率分別為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設橢圓與雙曲線的半焦距為c，橢圓長半軸為，雙曲線實半軸為，，，
是以為底邊的等腰三角形，點在第一象限內，
，即，，且，，
，，解得：．
在雙曲線中，，；
在橢圓中，，；；
，，則，，
可得：，的取值范圍為.故選：B.
變式訓練：
1.（2024·北京·高三專題練習）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，，是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則當取最大值時，，的值分別是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】不妨設橢圓與雙曲線的標準方程分別為：，，，．
設，．．則，，∴，．
因為，所以，
即．∴，∴，
∴，則，當且僅當，時取等號．故選：A．
2.（2024·湖南·高三校聯考期末）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，，，分別是它們在第一象限和第三象限的交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則最小值等于 ．
【答案】
【解析】設橢圓長半軸為，雙曲線實半軸為，，，
為兩曲線在第一象限的交點，為兩曲線在第三象限的交點，如圖，
由橢圓和雙曲線定義與對稱性知，，
四邊形為平行四邊形，，
，而，則，因此，
即，于是有，則，，
所以，
當且僅當，時取等號．故答案為：
3.（多選題）（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知橢圓：與雙曲線：有公共焦點，，它們的離心率分別為，，P是它們在第一象限的交點，的內切圓圓心為Q，，O為坐標原點，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則的最小值為
C．過作直線的垂線，垂足為H，點H的軌跡是雙曲線 D．兩個曲線在P點處的切線互相垂直
【答案】ABD
【解析】A選項，因為，所以，
又，故，則⊥，
由橢圓定義可得，由雙曲線定義可得，解得，
由勾股定理得，即，化簡得，即，
又，所以，A正確；
B選項，若，由余弦定理得，
即，由（1）得，
代入上式得，即，即，
因為又，所以，由基本不等式得，即，
解得，當且僅當時，等號成立，則的最小值為，B正確；
C選項，過作直線的垂線，垂足為H，延長交于點，
因為平分，由三線合一得，為的中點，
則，連接，由中位線性質得，
故點H的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，C錯誤；
D選項，下面證明橢圓在處的切線方程為，理由如下：
當時，故切線的斜率存在，設切線方程為，
代入橢圓方程得：，
由，化簡得：，
所以，把代入，得：，
于是，則橢圓的切線斜率為，切線方程為，
整理得到，其中，故，即，
當時，此時或，當時，切線方程為，滿足，
當時，切線方程為，滿足，
綜上：橢圓在處的切線方程為；
下面證明：上一點的切線方程為，
理由如下：設過點的切線方程為，與聯立得，
，
由化簡得，
因為，代入上式得，
整理得，同除以得，，
即，因為，，
所以，聯立，兩式相乘得，，
從而，故，
即，令，則，即，
解得，即，故橢圓：在點處的切線斜率為，
雙曲線在點處的切線斜率為，
又，故，化簡得，
又，所以，故則斜率乘積為，
故兩曲線在點處的切線互相垂直，D正確.故選：ABD
高頻考點7 基本不等式法求離心率范圍
核心知識：熟練掌握基本不等式即可。
典例1：（2024·山西運城·高三期末）已知點為橢圓的左頂點，為坐標原點，過橢圓的右焦點F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點P滿足，則橢圓離心率的最大值______________.
【答案】
【解析】由對稱性不妨設P在x軸上方，設，，
∴當且僅當取等號，∵直線l上存在點P滿足∴即，
∴，即，所以，故橢圓離心率的最大值為.故答案為：.
變式訓練：
1.設橢圓的右焦點為，橢圓上的兩點，關于原點對你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖所示：設橢圓的左焦點，由橢圓的對稱性可知，四邊形為平行四邊形，
又，即，所以四邊形為矩形，，
設，，在直角中，，，
得，所以，令，得，
又，得，所以，
所以 ，即，所以
所以橢圓的離心率的取值范圍為，故選：B
2.設、分別是橢圓：的左、右焦點，是橢圓準線上一點，的最大值為60°，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可設直線，的傾斜角分別為，，由橢圓的對稱性不妨設為第一象限的點，即，則，，因為，
所以
，所以，則，解得，選：A.
高頻考點8 中點弦求離心率（點差法）
核心知識：見到弦中點問題，馬上想到點差法。
典例1：（2024·陜西西安·校考模擬預測）已知橢圓C：的焦距為2c，左焦點為F，直線l與C相交于A，B兩點，點P是線段AB的中點，P的橫坐標為．若直線l與直線PF的斜率之積等于，則C的離心率為 ．
【答案】/
【解析】，設，因為點P是線段AB的中點，P的橫坐標為，
所以，則，
由直線l與C相交于A，B兩點，得，兩式相減得，
即，所以，
即，所以，
則，所以，
所以離心率.故答案為：.
變式訓練：
1.已知橢圓的右焦點為，過且斜率為1的直線與交于兩點，若線段的中點在直線上，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設，由題意可知直線的方程為，
線段的中點是直線與直線的交點，聯立，解得，所以，
另一方面，聯立，得.
易知，由韋達定理得，解得，
所以，故離心率，故D正確.故選：D.
2.（2024·陜西銅川·三模）已知原點為，橢圓與直線交于兩點，線段的中點為，若直線的斜率為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設，則，
則，兩式相減可得，，即，
即，，故.故選：B
高頻考點9 四心與離心率
核心知識：三角形的重心：三角形三條中線的交點。
（1）G是的重心；重心坐標；
（2）G為的重心，P為平面上任意點，則；
（3）重心是中線的三等分點；重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比是2:1；
三角形的內心：三角形三條角平分線的交點。
重要結論：I是的內心 (其中a、b、c為的三條邊)；
三角形內切圓的半徑求法：
（1）任意三角形：（其中為三角形ABC 的周長，為三角形ABC 的面積）；
（2）直角三角形：（其中a，b為直角邊，c為斜邊）
三角形的垂心：三角形三條高線的交點
（1）H是的垂心。
（2）垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離得2倍。
三角形的外心：三角形三條垂直平分線的交點
(1)若O是的外心(或)；
(2)若點O是的外心，則=0.
(3)若O是的外心，則;
(4)多心組合：的外心、重心、垂心共線，即∥
典例1：（2024·湖北·模擬預測）斜率為1的直線與雙曲線交于兩點，點是上的一點，滿足的重心分別為的外心為.記直線，的斜率為.若，則雙曲線的離心率為 .
【答案】2
【解析】不妨取的中點.因為的重心為，且在中線上，
所以.由中點弦結論知，，
，，因為，所以，，
又由，可得的外心為的中點，于是由中點弦結論知，又，
所以，即.由得，，解得，
所以雙曲線的離心率.故答案為：2.
變式訓練：
1.（2024·福建龍巖·一模）斜率為的直線與橢圓交于兩點，點是橢圓上的一點，且滿足，點分別是的重心，點是的外心.記直線的斜率分別為，若，則橢圓的離心率為 .
【答案】
【解析】取的中點，依題意，點是中點，點分別在上，
設，由兩式相減得，
直線斜率，直線斜率，則，
直線的斜率分別為，同理，又，
因此，解得，
所以橢圓的離心率.故答案為：
2.已知點，分別為雙曲線的左，右焦點，點，在的右支上，且點恰好為的外心，若，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】
【解析】如圖，連接，∵點恰好為的外心，∴，
由，得，同理，
又，∴，∴△是等邊三角形，
∴，∴，解得．故答案為：
高頻考點10 平面截圓錐（林丹球）問題
典例1：“用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當圓錐的軸與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲線”，利用這個原理，小強在家里用兩個射燈(射出的光錐視為圓錐)在墻上投影出兩個相同的橢圓（圖1），光錐的一條母線恰好與墻面垂直．圖2是一個射燈投影的直觀圖，圓錐的軸截面是等邊三角形，橢圓所在平面為，則橢圓的離心率為 ．
【答案】
【解析】設，由于，所以，在等邊三角形中，
點為的中點，于是，在平面中，由橢圓的對稱性可知，
，連接，延長與交于點，
由于為中點，所以在中，，
由勾股定理可得，
在中，，，，由余弦定理可得
，
在中，由于，所以，于是有，
設橢圓短軸的兩個頂點為，連接分別交圓錐于，
由于，所以，由于為圓錐母線，所以，
從而有，在中，由勾股定理可得，所以在橢圓中，，，
則，則離心率為.故答案為：.
變式訓練：
1.（2024·江西南昌·一模）用平面截圓錐面，可以截出橢圓 雙曲線 拋物線，那它們是不是符合圓錐曲線的定義呢？比利時數學家旦德林用一個雙球模型給出了證明.如圖1，在一個圓錐中放入兩個球，使得它們都與圓錐面相切，一個平面過圓錐母線上的點且與兩個球都相切，切點分別記為.這個平面截圓錐面得到交線是上任意一點，過點的母線與兩個球分別相切于點，因此有，而是圖中兩個圓錐母線長的差，是一個定值，因此曲線是一個橢圓.如圖2，兩個對頂圓錐中，各有一個球，這兩個球的半徑相等且與圓錐面相切，已知這兩個圓錐的母線與軸夾角的正切值為，球的半徑為4，平面與圓錐的軸平行，且與這兩個球相切于兩點，記平面與圓錐側面相交所得曲線為，則曲線的離心率為 .
【答案】/
【解析】如圖，是圓錐與球的切點，是球心，P是截口上任一點，
連接，則，所以，，
所以是矩形， 連接，則，
因為圓錐的母線與軸夾角的正切值為，即，所以，
根據對稱性得 ,所以，故兩圓的公切線長為6
連接，PA，OP，設OP與球的切線交于K，與球的切線交于H，則，
所以 ，得，在中，，
所以，得 曲線的離心率為故答案為：
2.（2024·河北·模擬預測）數學家Geminad Dandelin用一平面截圓錐后，在圓錐內放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐側面 截面相切，就可證明圖中平面截圓錐得到的截面是橢圓（如圖稱為丹德林雙球模型）．若圓錐的軸截面為正三角形，則用與圓錐的軸成角的平面截圓錐所得橢圓的離心率為 ．

【答案】
【解析】令兩個球分別與截面相切于點，在截口曲線上任取一點，過點作圓錐的母線，
分別與兩個球相切于，均為球的切線，則，同理，
因此，由切點的產生方式知，長為定值，
于是截口曲線上任意點到定點的距離和為定值，該曲線是以點為焦點的橢圓，
作出幾何體的軸截面，如圖，設，依題意，，
則，橢圓的長軸長，半焦距為c，
則，因此，所以離心率.故答案為：
1.（2024·高三·河北邢臺·開學考試）已知雙曲線的左 右焦點分別為，過點且與實軸垂直的直線交雙曲線于兩點.若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】設，因為為等邊三角形，則，，
又，所以雙曲線的離心率.故選：A
2.（2024·廣東深圳·二模）P是橢圓C：（）上一點，、是的兩個焦點，，點在的平分線上，為原點，，且．則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖，設，，延長交于A，
由題意知，O為的中點，故為中點，又，即，則，
又由，則是等腰直角三角形，故有，化簡得，即，
代入得，即，由所以，
所以，.故選：C.
3.（2024·四川達州·二模）雙曲線的左、右頂點分別為為上一點，若直線與直線斜率之積為2，則的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】由題意得，設，可得，即，
又直線與直線斜率之積為2，得，
則離心率.故選：.
4.（2024·廣東茂名·一模）已知橢圓的左、右焦點分別為，直線與橢圓交于兩點，直線與橢圓交于另一點，若直線與的斜率之積為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直線經過原點，設，，.
.
又，，兩式相減，得.
，.離心率為.故選：B.
5.（2024·河南駐馬店·高三統考期末）已知雙曲線右支上非頂點的一點關于原點的對稱點為，為其右焦點，若，設且，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖所示，設雙曲線的左焦點為，連接，
因為，所以四邊形為矩形，所以，
因為，，，
所以，所以 ，
∵，∴，，∴，故選：C
6.（2024·遼寧葫蘆島·高三統考期末）已知點分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上的一個動點，若使得滿足是直角三角形的動點恰好有6個，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意知，橢圓的最大張角為，所以，所以，所以，故選：C．
7.（2024·遼寧·模擬預測）已知橢圓與雙曲線有共同的焦點是橢圓與雙曲線的一個公共點，且，其離心率分別為，則的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
【答案】A
【解析】設，由余弦定理得，即；
在橢圓中，等于橢圓的長軸長，因此，
在雙曲線中，等于雙曲線的實軸長，因此，
則．
所以，
當且僅當時等號成立故選：A
8．（2025·江西贛州·高三校考階段練習）已知橢圓C：的左，右焦點，過原點的直線l與橢圓C相交于M，N兩點．其中M在第一象限．，則橢圓C的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由橢圓的對稱性知：，而，又，即四邊形為矩形，所以，則且M在第一象限，整理得，
所以，又即，
綜上，，整理得，所以.故選：D.
9．（2024·四川涼山·高三校考階段練習）已知，分別是橢圓的左 右焦點，若在橢圓上存在點，使得的面積等于，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】依題意，，而，
則有，由橢圓定義知：，
當且僅當，即時取“=”，于是有，則，又，即有，
所以橢圓的離心率的取值范圍為.故選：A
10.（2024·湖北·高三開學考試）已知雙曲線與斜率為1的直線交于A，B兩點，若線段AB的中點為，則C的離心率（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】法一：設，則，
所以，又AB的中點為，
所以，所以，由題意知，
所以，即，則C的離心率.故A，B，D錯誤.故選：C.
法二：直線AB過點，斜率為1，所以其方程為，即，
代入并整理得，
因為為線段AB的中點，所以，整理得，
所以C的離心率.故A，B，D錯誤.故選：C.
11.（多選題）已知，是橢圓與雙曲線共同的焦點，，分別是，的離心率，點M是它們的一個交點，則以下判斷正確的有（ ）
A．面積為 B．若，則
C．若，則的取值范圍為 D．若，則的取值范圍為
【答案】ABD
【解析】設，，，，不妨設M在第一象限．
∴，，∴，，．
.
對于A，在中，由余弦定理可得，
，，A正確．
對于B，在中，由余弦定理可得，
即，
∴．∴
∴，∴．B正確；
對于C，當時，
即，所以，所以．∵，
∴．設，∴，所以．C錯誤；
對于D，，記，
∴，即．D正確；故選：ABD.
12.雙曲線，斜率為的直線與交于兩點，點在上，且，的外心為，的重心為，的重心為，，則的離心率 ．
【答案】
【解析】設，，.
由于，故的外心就是線段的中點，即.
而三角形重心的坐標就是三個頂點的平均值，故，.
所以.
而都在上，，故，.
這就得到.
而的斜率為，故，所以.
由又可以得到，，.
從而，，.
故，所以.
這就得到，所以離心率.故答案為：.
13.已知雙曲線：虛軸的一個頂點為，直線與交于，兩點，若的垂心在的一條漸近線上，則的離心率為 .
【答案】
【解析】如圖，設的垂心為，則有,不妨設,則，
因為在漸近線上，所以，直線與交于，兩點，
所以，解得，所以
又因為,所以，
整理得，，所以，故答案為: .
14.（2024·河南新鄉·三模）已知雙曲線虛軸的一個頂點為，直線與交于，兩點，若的垂心在的一條漸近線上，則的離心率為 .
【答案】
【解析】設的垂心為，則，不妨設，則，代入漸近線方程，得，
則，因為直線與雙曲線交于點，，則，兩點的坐標分別為：，，
因為，化簡可得，所以雙曲線的離心率為，
故答案為：．
15.（2024·廣東廣州·一模）如圖是數學家Germinal Dandelin用來證明一個平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型.在圓錐內放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側面與截面都相切，設圖中球，球的半徑分別為4和2，球心距離，截面分別與球，球相切于點（是截口橢圓的焦點），則此橢圓的離心率等于 .
【答案】
【解析】設，由，解得，
所以，所以，
設直線與圓錐的母線相交于點， 圓錐的母線與球相切于兩點，如圖所示，
則，兩式相加得，即，
過作，垂直為，則四邊形為矩形，所以，，
所以橢圓的離心率為.故答案為：
16.（2024·江蘇·三模）已知過坐標原點且異于坐標軸的直線交橢圓于兩點，過的中點作軸的垂線，垂足為，直線交橢圓于另一點，直線的斜率分別為，則 ；若，則的離心率為 .
【答案】
【解析】設，則，
設，則，則，
故，結合，可得故答案為：，
17.（2024·四川瀘州·高三校考階段練習）已知分別為雙曲線的左、右焦點，是左支上一點，，若存在點滿足，則的離心率為 .
【答案】
【解析】因為，所以是的中點，又為的中點，
所以，因為，所以，所以，
設，則，，且在雙曲線上，
則，即，又，即，所以.答案為：.
18.（2024·內蒙古赤峰·高三校考期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在上，且，射線分別交于兩點（為坐標原點），若，則的離心率為 ．
【答案】
【解析】由雙曲線的對稱性得，由，得，
不妨設點在的右支上，且，在中，由雙曲線定義知，
由勾股定理得，則，
且又，，所以，
則在中，由，得，化簡得，
即，所以，所以，化簡得.
所以的離心率為.故答案為：.
19.（2024·福建龍巖·高三福建省連城縣第一中學校考期末）如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為是C上位于第一象限內的一點，且直線軸的正半軸交于A點，的內切圓在邊上的切點為N，若，則雙曲線C的離心率為 .
【答案】
【解析】設的內切圓在邊的切點分別為，如圖：
則得，又，則，得，
又，得，所以雙曲線的離心率為，故答案為：
20．（2024·江西·統考二模）如圖是數學家Germinal Dandelin用來證明一個平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）；在圓錐內放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側面、截面相切，設圖中球，球的半徑分別為和，球心距離,截面分別與球，球切于點，，（，是截口橢圓的焦點），則此橢圓的離心率等于______．
【答案】
【詳解】如圖，圓錐面與其內切球，分別相切與，連接,則，，過作垂直于，連接， 交于點C
設圓錐母線與軸的夾角為 ，截面與軸的夾角為.
在中， ，
解得
即 則橢圓的離心率
21.（2024·四川成都·模擬預測）已知橢圓與雙曲線有相同的左右焦點，若點是與在第一象限內的交點，且，設與的離心率分別為，則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】設橢圓與雙曲線的焦距，，由題意可得：，，
，，，，
，，.
，，設，則，
，.故答案為：.
21.如圖①，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓．許多人從純幾何的角度出發對這個問題進行過研究，其中比利時數學家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創造性．在圓錐內放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側面，截面相切，兩個球分別與截面相切于E，F，在截口曲線上任取一點A，過A作圓錐的母線，分別與兩個球相切于C，B，由球和圓的幾何性質，可以知道，，于是．由B，C的產生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以E，F為焦點的橢圓．如圖②，一個半徑為3的球放在桌面上，桌面上方有一個點光源P，則球在桌面上的投影是橢圓．已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的離心率為 ．
【答案】/0.75
【解析】依題意，作截面，如圖所示，
圓是內切圓，圓切于，切于，，圓半徑即球半徑為，
所以，，
則在中，，所以，
故在中，，所以，即，
根據橢圓在圓錐中的截面與二面球相切的切點為橢圓的焦點可知：為橢圓的一個焦點，
又因為，所以，故，所以該橢圓的離心率為.故答案為：.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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