資源簡介

/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數(shù)學
5.3 圓錐曲線高頻壓軸解答題
考點分布 考查頻率 命題趨勢
軌跡問題 2023年II卷第21題，12分 預測2025年高考，多以解答題形式出現(xiàn)，具體估計為：（1）以解答題形式出現(xiàn)，考查數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理與數(shù)學運算四大核心素養(yǎng)．（2）熱點是定點定值與極點極線問題. 這些問題不僅要求學生具備扎實的數(shù)學基礎，還需要他們具備靈活運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。
弦長、面積問題 2024年I卷第16題，15分 2023年甲卷第21題，12分 2023年天津卷第18題，15分 2023年I卷第22題，12分
斜率之和差商積問題 2022年甲卷第21題，12分 2021年乙卷第20題，12分 2021年I卷第21題，12分
定點定值問題 2024年天津卷第18題，15分 2023年乙卷第21題，12分 2023年乙卷第20題，12分
解析幾何是高考數(shù)學的重要考查內(nèi)容，常作為試卷的拔高與區(qū)分度大的試題，其思維要求高，計算量大．令同學們畏懼．通過對近幾年高考試題與模擬試題的研究，分析歸納出以下考點：（1）解析幾何通性通法研究；（2）圓錐曲線中最值、定點、定值問題；（3）解析幾何中的常見模型。
解析幾何的核心內(nèi)容概括為八個字，就是“定義、方程、位置關(guān)系”．所有的解析幾何試題都是圍繞這八個字的內(nèi)容與三大核心考點展開。
1．（2024·全國甲卷·高考真題）已知橢圓的右焦點為，點在上，且軸．(1)求的方程；(2)過點的直線交于兩點，為線段的中點，直線交直線于點，證明：軸．
2．（2024·全國·高考真題）已知和為橢圓上兩點.
(1)求C的離心率;(2)若過P的直線交C于另一點B，且的面積為9，求的方程．
3．（2024北京卷高考真題）已知橢圓：，以橢圓的焦點和短軸端點為頂點的四邊形是邊長為2的正方形.過點且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點，過點和的直線與橢圓的另一個交點為．(1)求橢圓的方程及離心率；(2)若直線BD的斜率為0，求t的值．
4．（2024·天津·高考真題）已知橢圓橢圓的離心率．左頂點為，下頂點為是線段的中點，其中．(1)求橢圓方程．(2)過點的動直線與橢圓有兩個交點．在軸上是否存在點使得．若存在求出這個點縱坐標的取值范圍，若不存在請說明理由．
5．（2023·北京·高考真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點，B，D分別是的左、右頂點，．(1)求的方程；(2)設為第一象限內(nèi)E上的動點，直線與直線交于點，直線與直線交于點．求證：．
6．（2023·全國·高考真題）已知直線與拋物線交于兩點，且．
(1)求；(2)設F為C的焦點，M，N為C上兩點，，求面積的最小值．
7．（2023·全國·高考真題）已知橢圓的離心率是，點在上．
(1)求的方程；(2)過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．
8．（2023·天津·高考真題）已知橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．(1)求橢圓的方程和離心率；(2)點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．
9．（2023·全國·高考真題）在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．
10．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．
(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.
11．（2022·全國·高考真題）已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為．
(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點M.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：①M在上；②；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.
12．（2022·全國·高考真題）已知點在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點，直線的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面積．
高頻考點一 軌跡方程
核心知識：求動點的軌跡方程有如下幾種方法：
（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程；
（2）定義法：如果能確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；
（3）相關(guān)點法：用動點的坐標、表示相關(guān)點的坐標、，然后代入點的坐標所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動點的軌跡方程；
（4）參數(shù)法：當動點坐標、之間的直接關(guān)系難以找到時，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動點的軌跡方程；
（5）交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程．
典例1：（2024·貴州貴陽·高三校考階段練習）已知橢圓C：（）的離心率為，左頂點A到右焦點的距離為3.(1)求橢圓的方程；(2)設直線與橢圓交于不同兩點，（不同于A），且直線和的斜率之積與橢圓的離心率互為相反數(shù)，求在上的射影的軌跡方程.
變式訓練
1.（2024·河北衡水·高三校聯(lián)考期末）在平面直角坐標系中，點滿足方程.
（1）求點的軌跡的方程；（2）作曲線關(guān)于軸對稱的曲線，記為，在曲線上任取一點，過點作曲線的切線，若切線與曲線交于、兩點，過點、分別作曲線的切線、，證明：、的交點必在曲線上.
2.已知直線交拋物線于兩點.（1）設直線與軸的交點為，若，求實數(shù)的值；（2）若點在拋物線上，且關(guān)于直線對稱，求證：四點共圓：（3）記為拋物線的焦點，過拋物線上的點作準線的垂線，垂足分別為點，若的面積是的面積的兩倍，求線段中點的軌跡方程.
高頻考點2 向量共線與多點共線問題
核心知識：首先，明確向量的定義和性質(zhì)，理解共線向量的概念，即方向相同或相反的向量。其次，利用向量的坐標表示法，通過比較兩向量的對應坐標分量是否成比例，來判斷它們是否共線。若成比例，則兩向量共線。另外，也可以利用向量的幾何意義，結(jié)合圓錐曲線的特性，通過觀察或計算向量的方向來判斷其共線性。綜上所述，結(jié)合向量的代數(shù)和幾何性質(zhì)，可以有效解決圓錐曲線中的向量與共線問題。
典例1：（2024·高三·上海楊浦·期中）已知橢圓經(jīng)過，兩點.為坐標原點，且的面積為，過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點，.且直線，分別與軸交于點，.(1)求橢圓的方程；(2)若以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，求直線的方程；(3)設，，求的取值范圍.
變式訓練：
1.（2024·安徽淮北·二模）如圖，已知橢圓的左右焦點為，短軸長為為上一點，為的重心.(1)求橢圓的方程；(2)橢圓上不同三點，滿足，且成等差數(shù)列，線段中垂線交軸于點，求點縱坐標的取值范圍；
(3)直線與交于點，交軸于點，若，求實數(shù)的取值范圍.

2.（2024·高三·山東威海·期末）已知橢圓的左、右頂點分別為，，右焦點的坐標為，過點作直線交于，兩點（異于，），當垂直于軸時，.
(1)求的標準方程；(2)直線交直線于點，證明：，，三點共線.
3.（2024·高三·浙江·開學考試）已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為為坐標原點，為線段的中點，為橢圓上動點，且面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程；(2)延長交橢圓于，若，求直線的方程.
高頻考點3 定值問題-線段與面積
核心知識：
1、定值問題：解析幾何中定值問題的證明可運用函數(shù)的思想方法來解決．證明過程可總結(jié)為“變量—函數(shù)—定值”，具體操作程序如下：（1）變量----選擇適當?shù)牧繛樽兞浚唬?）函數(shù)----把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù)；（3）定值----化簡得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值。
2、求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理過程中消去變量，從而得到定值．
典例1：（2024·湖北荊州·三模）從拋物線上各點向軸作垂線段，垂線段中點的軌跡為.
(1)求的軌跡方程；(2)是上的三點，過三點的三條切線分別兩兩交于點，
①若，求的值；②證明：三角形與三角形的面積之比為定值.
變式訓練：
1.（2024·重慶·三模）已知，曲線上任意一點到點的距離是到直線的距離的兩倍.
(1)求曲線的方程；(2)已知曲線的左頂點為，直線過點且與曲線在第一、四象限分別交于，兩點，直線、分別與直線交于，兩點，為的中點.（i）證明：；
（ii）記，，的面積分別為，，，則是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.
2.（2024·高三·山西·期末）已知橢圓：.(1)若橢圓的離心率為，直線與橢圓交于，兩點，求證：；(2)為直線：上的一個動點，，為橢圓的左、右頂點，，分別與橢圓交于，兩點，證明為定值，并求出此定值.
高頻考點4 定值問題-向量與坐標
核心知識：
1、定值問題：解析幾何中定值問題的證明可運用函數(shù)的思想方法來解決．證明過程可總結(jié)為“變量—函數(shù)—定值”，具體操作程序如下：（1）變量----選擇適當?shù)牧繛樽兞浚唬?）函數(shù)----把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù)；（3）定值----化簡得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值。
2、求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理過程中消去變量，從而得到定值．
典例1：（2024·高三·江蘇鹽城·開學考試）已知橢圓：，，過點的動直線與橢圓交于、兩點.(1)求線段的中點的軌跡方程；(2)是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
變式訓練：
1.（2024·高三·天津河北·期末）設橢圓的左右焦點分別為，短軸的兩個端點為，且四邊形是邊長為2的正方形.分別是橢圓的左右頂點，動點滿足，連接，交橢圓于點.(1)求橢圓的方程；(2)求證：為定值.
2.（2024·四川涼山·三模）已知平面內(nèi)動點與兩定點，連線的斜率之積為3．
(1)求動點的軌跡的方程：(2)過點的直線與軌跡交于，兩點，點，均在軸右側(cè)，且點在第一象限，直線與交于點，證明：點橫坐標為定值．
高頻考點5 定值問題-斜率與角度
核心知識：
1、定值問題：解析幾何中定值問題的證明可運用函數(shù)的思想方法來解決．證明過程可總結(jié)為“變量—函數(shù)—定值”，具體操作程序如下：（1）變量----選擇適當?shù)牧繛樽兞浚唬?）函數(shù)----把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù)；（3）定值----化簡得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值。
2、求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理過程中消去變量，從而得到定值．
典例1：（2024·河南·二模）已知橢圓的焦距為2，兩個焦點與短軸一個頂點構(gòu)成等邊三角形.(1)求橢圓的標準方程；(2)設，過點的兩條直線和分別交橢圓于點和點（和.不重合），直線和的斜率分別為和.若，判斷是否為定值，若是，求出該值；若否，說明理由.
變式訓練：
1.（2024·高三·陜西·開學考試）已知雙曲線的左焦點為F，左頂點為E，虛軸的上端點為P，且，．(1)求雙曲線C的標準方程；(2)設是雙曲線C上不同的兩點，Q是線段的中點，O是原點，直線的斜率分別為，證明：為定值．
2.（2024·重慶·模擬預測）如圖，軸，垂足為D，點P在線段上，且．
(1)點M在圓上運動時，求點P的軌跡方程；(2)記（1）中所求點P的軌跡為，過點作一條直線與相交于兩點，與直線交于點Q．記的斜率分別為，證明：是定值．
3.（2024·高三·廣東廣州·期中）已知橢圓C：的離心率為，焦距為2.(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C的左頂點為A，過右焦點F的直線與橢圓C交于B，D（異于點A）兩點，直線，分別與直線交于M，N兩點，試問是否為定值 若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
高頻考點6 直線過定點問題
核心知識：
求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據(jù)題設條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明．
一般解題步驟：
①斜截式設直線方程：，此時引入了兩個參數(shù)，需要消掉一個．
②找關(guān)系：找到和的關(guān)系：，等式帶入消參，消掉．
③參數(shù)無關(guān)找定點：找到和沒有關(guān)系的點．
典例1：（2024·陜西·模擬預測）已知動圓M經(jīng)過定點，且與圓內(nèi)切.
(1)求動圓圓心M的軌跡C的方程；(2)設軌跡C與x軸從左到右的交點為點A，B，點P為軌跡C上異于A，B的動點，設直線PB交直線于點T，連接AT交軌跡C于點Q；直線AP，AQ的斜率分別為，.（i）求證：為定值；（ii）設直線，證明：直線PQ過定點.
變式訓練：
1.（2024·廣西·模擬預測）已知圓E恒過定點，且與直線相切，記圓心E的軌跡為，直線與相交于A，B兩點，直線與相交于C，D兩點，且，M，N分別為弦的中點，其中A，C均在第一象限，直線與直線的交點為G．
(1)求圓心E的軌跡的方程；(2)直線是否恒過定點？若是，求出定點坐標？若不是，請說明理由．
2.（2024·江西·二模）已知，，M是圓O：上任意一點，關(guān)于點M的對稱點為N，線段的垂直平分線與直線相交于點T，記點T的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；(2)設（）為曲線C上一點，不與x軸垂直的直線l與曲線C交于G，H兩點（異于E點）.若直線GE，HE的斜率之積為2，求證：直線l過定點.
高頻考點7 動點在定直線上問題
核心知識：
典例1：已知橢圓：的右焦點為，過點作軸的垂線交橢圓于點．過點作橢圓的切線，交軸于點．(1)求點的坐標；(2)過點的直線（非軸）交橢圓于、兩點，過點作軸的垂線與直線交于點，求證：線段的中點在定直線上．
變式訓練：
1.已知橢圓經(jīng)過點，離心率.(1)求橢圓的標準方程；(2)設過點且傾斜角為的直線與軸，軸分別交于點，點為橢圓上任意一點，求面積的最小值.(3)如圖，過點作兩條直線分別與橢圓相交于點，設直線和相交于點.證明點在定直線上.
高頻考點8 動圓過定點問題
核心知識：
典例1：【變式11-3】（2024·河北·三模）已知橢圓C的中心在原點O、對稱軸為坐標軸，、是橢圓上兩點．(1)求橢圓C的標準方程；(2)橢圓C的左、右頂點分別為和，M，N為橢圓上異于、的兩點，直線MN不過原點且不與坐標軸垂直．點M關(guān)于原點的對稱點為S，若直線與直線相交于點T．（i）設直線的斜率為，直線的斜率為，求的最小值；
（ii）證明：直線OT與直線MN的交點在定直線上．
變式訓練：
1.（2024·西藏拉薩·二模）已知拋物線上的兩點的橫坐標分別為.
(1)求拋物線的方程；(2)若過點的直線與拋物線交于點，問：以為直徑的圓是否過定點？若過定點，求出這個定點；若不過定點，請說明理由.
2.（2024·山東泰安·模擬預測）已知拋物線，焦點為，點在上，直線∶與相交于兩點，過分別向的準線作垂線，垂足分別為.
(1)設的面積分別為，求證：；
(2)若直線，分別與相交于，試證明以為直徑的圓過定點，并求出點的坐標.
高頻考點9 最值（范圍）問題-弦長
核心知識：
1、求最值問題常用的兩種方法
（1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形性質(zhì)來解決，這是幾何法．
（2）代數(shù)法：題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數(shù)，再求該函數(shù)的最值．求函數(shù)的最值常見的方法有基本不等式法、單調(diào)性法、導數(shù)法和三角換元法等，這就是代數(shù)法．
典例1：（2024·浙江·模擬預測）已知P為雙曲線C：上一點，O為坐標原點，線段OP的垂直平分線與雙曲線C相切．(1)若點P是直線與圓的交點，求a；(2)求的取值范圍．
變式訓練：
1.（2024·陜西安康·模擬預測）已知橢圓的左 右焦點分別為，上 下頂點分別為，四邊形的面積為且有一個內(nèi)角為.(1)求橢圓的標準方程；(2)若以線段為直徑的圓與橢圓無公共點，過點的直線與橢圓交于兩點（點在點的上方），線段上存在點，使得，求的最小值.
2.（2024·福建泉州·模擬預測）已知橢圓的左右焦點分別是，雙曲線的頂點恰好是、，且一條漸近線是．(1)求的方程：(2)若上任意一點（異于頂點），作直線交于，作直線交于，求的最小值．
高頻考點10 最值（范圍）問題-面積
核心知識：
1、求最值問題常用的兩種方法
（1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形性質(zhì)來解決，這是幾何法．
（2）代數(shù)法：題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數(shù)，再求該函數(shù)的最值．求函數(shù)的最值常見的方法有基本不等式法、單調(diào)性法、導數(shù)法和三角換元法等，這就是代數(shù)法．
典例1：（2024·福建泉州·模擬預測）已知橢圓的左 右焦點分別為，離心率為，且經(jīng)過點.(1)求的方程；(2)過且不垂直于坐標軸的直線交于兩點，點為的中點，記的面積為的面積為，求的取值范圍.
變式訓練：
1.（2024·廣東·模擬預測）在平面直角坐標系中，點到點的距離與到直線的距離之比為，記的軌跡為曲線，直線交右支于，兩點，直線交右支于，兩點，．(1)求的標準方程；(2)證明：；(3)若直線過點，直線過點，記，的中點分別為，，過點作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，，求四邊形面積的取值范圍．
2.（2024·湖南邵陽·三模）已知橢圓：的離心率為，右頂點與的上，下頂點所圍成的三角形面積為．(1)求的方程．(2)不過點的動直線與交于，兩點，直線與的斜率之積恒為．（i）證明：直線過定點；（ii）求面積的最大值．
高頻考點11 最值（范圍）問題-向量數(shù)量積、參數(shù)
核心知識：
求參數(shù)范圍問題的常用方法：構(gòu)建所求幾何量的含參一元函數(shù)，形如，并且進一步找到自變量范圍，進而求出值域，即所求幾何量的范圍，常見的函數(shù)有：（1）二次函數(shù)；（2）“對勾函數(shù)”；（3）反比例函數(shù)；（4）分式函數(shù)．若出現(xiàn)非常規(guī)函數(shù)，則可考慮通過換元“化歸”為常規(guī)函數(shù)，或者利用導數(shù)進行解決．這里找自變量的取值范圍在或者換元的過程中產(chǎn)生．除此之外，在找自變量取值范圍時，還可以從以下幾個方面考慮：①利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍．
②利用已知參數(shù)的范圍，求出新參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系．
③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍．④利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．
典例1：（2024·福建廈門·二模）已知，，為平面上的一個動點.設直線的斜率分別為，，且滿足.記的軌跡為曲線.(1)求的軌跡方程；(2)直線，分別交動直線于點，過點作的垂線交軸于點.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由.
變式訓練：
1.（2024·廣西桂林·模擬預測）已知橢圓C：過定點，過點的兩條動直線交橢圓于，直線的傾斜角互補，為橢圓C的右焦點.
(1)設是橢圓的動點，過點作直線的垂線為垂足，求.
(2)在中，記，若直線AB的斜率為，求的最大值.
2.（2024·廣東·模擬預測）已知橢圓的右焦點為，分別為橢圓的左、右頂點，分別為橢圓的上、下頂點，四邊形的面積為．(1)求橢圓的方程；(2)過點且斜率不為的直線與橢圓相交于兩點，直線與的交點為．①若直線的傾斜角為，求線段的長度；②試問是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果沒有，說明理由．
3.（2024·陜西榆林·三模）已知橢圓的左 右焦點分別為，且在拋物線的準線上，點是上的一個動點，面積的最大值為.(1)求的方程；(2)設經(jīng)過右焦點且斜率不為0的直線交于兩點，線段的垂直平分線交軸于點，求的取值范圍.
1．（2024·北京海淀·二模）已知橢圓的焦點在軸上，中心在坐標原點.以的一個頂點和兩個焦點為頂點的三角形是等邊三角形，且其周長為.(1)求栯圓的方程；(2)設過點的直線（不與坐標軸垂直）與橢圓交于不同的兩點，與直線交于點.點在軸上，為坐標平面內(nèi)的一點，四邊形是菱形.求證：直線過定點.
2．（2024·北京·模擬預測）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點.
(1)求橢圓的方程；(2)設過點且不與坐標軸垂直的直線與橢圓交于兩點，過分別作軸的垂線，垂足為點，求證：直線與的交點在某條定直線上，并求該定直線的方程.
3.（2024·高三·浙江寧波·期末）已知點和直線:，動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數(shù).(1)求動點的軌跡的方程；(2)已知，過點作直線交于，兩點，若，求的斜率的值.
4.（2024·遼寧·三模）已知橢圓的左右焦點分別為，橢圓的短軸長為，離心率為. 點為橢圓上的一個動點，直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為，設，.(1)求橢圓的方程；(2)證明：為定值；
5.（2024·山西太原·三模）已知雙曲線 的左、右頂點分別為 與 ，點 在 上，且直線 與 的斜率之和為 .(1)求雙曲線 的方程;(2)過點的直線與 交于 兩點(均異于點 )，直線 與直線 交于點，求證: 三點共線.
6.（2024·上海長寧·二模）已知橢圓為坐標原點；(1)求的離心率；(2)設點，點在上，求的最大值和最小值；(3)點，點在直線上，過點且與平行的直線與交于兩點；試探究：是否存在常數(shù)，使得恒成立；若存在，求出該常數(shù)的值；若不存在，說明理由；
7.（2024·廣東廣州·模擬預測）已知，，平面上有動點，且直線的斜率與直線的斜率之積為1.(1)求動點的軌跡的方程.(2)過點A的直線與交于點（在第一象限），過點的直線與交于點（在第三象限），記直線，的斜率分別為，，且.試判斷與的面積之比是否為定值，若為定值，請求出該定值；若不為定值，請說明理由.
8.（2024·湖北·模擬預測）平面直角坐標系中，動點滿足，點P的軌跡為C，過點作直線l，與軌跡C相交于A，B兩點．(1)求軌跡C的方程；(2)求面積的取值范圍；(3)若直線l與直線交于點M，過點M作y軸的垂線，垂足為N，直線NA，NB分別與x軸交于點S，T，證明：為定值．
9.（2024·陜西安康·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為、，上頂點為，，的面積為.(1)求的方程；(2)是上位于第一象限的一點，其橫坐標為1，直線過點且與交于，兩點（均異于點），點在上，設直線，，的斜率分別為，，，若，問點的橫坐標是否為定值？若為定值，求出點的橫坐標；若不為定值，請說明理由.
10.（2024·河南·三模）已知點，動點滿足直線與直線的斜率之積為，動點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程：(2)直線與曲線交于兩點，且交于點，求定點的坐標，使為定值；(3)過（2）中的點作直線交曲線于兩點，且兩點均在軸的右側(cè)，直線的斜率分別為，求的值．
11.已知橢圓的長軸長為4，離心率為，點是橢圓上異于頂點的任意一點，過點作橢圓的切線，交軸于點A，直線過點且垂直于，交軸于點．(1)求橢圓的方程；(2)試判斷以為直徑的圓能否過定點？若能，求出定點坐標；若不能，請說明理由．
12.（2024·河南·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，且，過點作兩條直線，直線與交于兩點，的周長為．(1)求的方程；(2)若的面積為，求的方程；(3)若與交于兩點，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．
13.（2024·廣東珠海·一模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，且，點在橢圓上，直線．(1)若直線與橢圓有兩個公共點，求實數(shù)的取值范圍；
(2)當時，記直線與軸，軸分別交于兩點，為橢圓上兩動點，求最大值．
14.（2024·湖南衡陽·三模）在直角坐標系xoy中，動圓M與圓外切，同時與圓內(nèi)切，記圓心M的軌跡為E．(1)求E的方程；(2)已知三點T，P，Q在E上，且直線TP與TQ的斜率之積為；（i）求證：P，O，Q三點共線；（ii）若，直線TQ交x軸于點A，交y軸于點B，求四邊形OPAB面積的最大值．
15.已知橢圓的焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率．
(1)求橢圓的標準方程．(2)過橢圓的右焦點F作與坐標軸不垂直的直線l，交橢圓于A、B兩點，設點是線段OF上的一個動點，且，求m的取值范圍．
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5.3 圓錐曲線高頻壓軸解答題
考點分布 考查頻率 命題趨勢
軌跡問題 2023年II卷第21題，12分 預測2025年高考，多以解答題形式出現(xiàn)，具體估計為：（1）以解答題形式出現(xiàn)，考查數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理與數(shù)學運算四大核心素養(yǎng)．（2）熱點是定點定值與極點極線問題. 這些問題不僅要求學生具備扎實的數(shù)學基礎，還需要他們具備靈活運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。
弦長、面積問題 2024年I卷第16題，15分 2023年甲卷第21題，12分 2023年天津卷第18題，15分 2023年I卷第22題，12分
斜率之和差商積問題 2022年甲卷第21題，12分 2021年乙卷第20題，12分 2021年I卷第21題，12分
定點定值問題 2024年天津卷第18題，15分 2023年乙卷第21題，12分 2023年乙卷第20題，12分
解析幾何是高考數(shù)學的重要考查內(nèi)容，常作為試卷的拔高與區(qū)分度大的試題，其思維要求高，計算量大．令同學們畏懼．通過對近幾年高考試題與模擬試題的研究，分析歸納出以下考點：（1）解析幾何通性通法研究；（2）圓錐曲線中最值、定點、定值問題；（3）解析幾何中的常見模型。
解析幾何的核心內(nèi)容概括為八個字，就是“定義、方程、位置關(guān)系”．所有的解析幾何試題都是圍繞這八個字的內(nèi)容與三大核心考點展開。
1．（2024·全國甲卷·高考真題）已知橢圓的右焦點為，點在上，且軸．(1)求的方程；(2)過點的直線交于兩點，為線段的中點，直線交直線于點，證明：軸．
【答案】(1)(2)證明見解析
【詳解】（1）設，由題設有且，故，故，故，故橢圓方程為.
（2）直線的斜率必定存在，設，，，
由可得，
故，故，
又，而，故直線，故，
所以
，
故，即軸.
2．（2024·全國·高考真題）已知和為橢圓上兩點.
(1)求C的離心率;(2)若過P的直線交C于另一點B，且的面積為9，求的方程．
【答案】(1)(2)直線的方程為或.
【詳解】（1）由題意得，解得，所以.
（2）法一：，則直線的方程為，即，
，由（1）知，設點到直線的距離為，則，
則將直線沿著與垂直的方向平移單位即可，此時該平行線與橢圓的交點即為點，
設該平行線的方程為：，則，解得或，
當時，聯(lián)立，解得或，即或，
當時，此時，直線的方程為，即，
當時，此時，直線的方程為，即，
當時，聯(lián)立得，
，此時該直線與橢圓無交點.
綜上直線的方程為或.
法二：同法一得到直線的方程為，點到直線的距離，
設，則，解得或，即或，以下同法一.
法三：同法一得到直線的方程為，點到直線的距離，
設，其中，則有，
聯(lián)立，解得或，即或，以下同法一；
法四：當直線的斜率不存在時，此時，
，符合題意，此時，直線的方程為，即，
當線的斜率存在時，設直線的方程為，
聯(lián)立橢圓方程有，則，其中，即，
解得或，，，令，則，則
同法一得到直線的方程為，點到直線的距離，
則，解得，
此時，則得到此時，直線的方程為，即，
綜上直線的方程為或.
法五：當?shù)男甭什淮嬖跁r，到距離，
此時不滿足條件.
當?shù)男甭蚀嬖跁r，設，令，
，消可得，
，且，即，
，
到直線距離，
或，均滿足題意，或，即或.
3．（2024北京卷高考真題）已知橢圓：，以橢圓的焦點和短軸端點為頂點的四邊形是邊長為2的正方形.過點且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點，過點和的直線與橢圓的另一個交點為．(1)求橢圓的方程及離心率；(2)若直線BD的斜率為0，求t的值．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）由題意，從而，所以橢圓方程為，離心率為；
（2）直線斜率不為0，否則直線與橢圓無交點，矛盾，
從而設，，
聯(lián)立，化簡并整理得，
由題意，即應滿足，
所以，若直線斜率為0，由橢圓的對稱性可設，
所以，在直線方程中令，
得，所以，
此時應滿足，即應滿足或，
綜上所述，滿足題意，此時或.
4．（2024·天津·高考真題）已知橢圓橢圓的離心率．左頂點為，下頂點為是線段的中點，其中．(1)求橢圓方程．(2)過點的動直線與橢圓有兩個交點．在軸上是否存在點使得．若存在求出這個點縱坐標的取值范圍，若不存在請說明理由．
【答案】(1) (2)存在，使得恒成立.
【詳解】（1）因為橢圓的離心率為，故，，其中為半焦距，
所以，故，
故，所以，，故橢圓方程為：.
（2）若過點的動直線的斜率存在，則可設該直線方程為：，
設， 由可得，
故且
而，故
，
因為恒成立，故，解得.
若過點的動直線的斜率不存在，則或，
此時需，兩者結(jié)合可得.綜上，存在，使得恒成立.
5．（2023·北京·高考真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點，B，D分別是的左、右頂點，．(1)求的方程；(2)設為第一象限內(nèi)E上的動點，直線與直線交于點，直線與直線交于點．求證：．
【答案】(1)(2)證明見解析
【詳解】（1）依題意，得，則，
又分別為橢圓上下頂點，，所以，即，
所以，即，則，所以橢圓的方程為.
（2）因為橢圓的方程為，所以，
因為為第一象限上的動點，設，則，

易得，則直線的方程為，
，則直線的方程為，
聯(lián)立，解得，即，
而，則直線的方程為，
令，則，解得，即，
又，則，，
所以
，
又，即，顯然，與不重合，所以.
6．（2023·全國·高考真題）已知直線與拋物線交于兩點，且．
(1)求；(2)設F為C的焦點，M，N為C上兩點，，求面積的最小值．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）設，由可得，，所以，
所以，
即，因為，解得：．
（2）因為，顯然直線的斜率不可能為零，設直線：，，
由可得，，所以，，，
因為，所以，即，
亦即，將代入得，
，，所以，且，解得或．
設點到直線的距離為，所以，
，
所以的面積，
而或，所以，當時，的面積．
7．（2023·全國·高考真題）已知橢圓的離心率是，點在上．
(1)求的方程；(2)過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．
【答案】(1)(2)證明見詳解
【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為.
（2）由題意可知：直線的斜率存在，設，
聯(lián)立方程，消去y得：，
則，解得，
可得，因為，則直線，
令，解得，即,同理可得，
則
，所以線段的中點是定點.

8．（2023·天津·高考真題）已知橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．(1)求橢圓的方程和離心率；(2)點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．
【答案】(1)橢圓的方程為，離心率為.(2).
【詳解】（1）如圖，由題意得，解得，所以，
所以橢圓的方程為，離心率為.

（2）由題意得，直線斜率存在，由橢圓的方程為可得，
設直線的方程為，
聯(lián)立方程組，消去整理得：，
由韋達定理得，所以，所以，.
所以,,，所以，
所以，即，解得，所以直線的方程為.
9．（2023·全國·高考真題）在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．
【答案】(1)(2)見解析
【詳解】（1）設,則，兩邊同平方化簡得，故.
（2）法一：設矩形的三個頂點在上,且，易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0，

則,令，
同理令，且，則，
設矩形周長為,由對稱性不妨設，，
則，易知
則令,令，解得，
當時，，此時單調(diào)遞減，當，，此時單調(diào)遞增，
則，故,即. 當時,,且，即時等號成立，矛盾，故, 得證.
法二：不妨設在上，且，

依題意可設，易知直線，的斜率均存在且不為0，
則設,的斜率分別為和，由對稱性，不妨設，直線的方程為，
則聯(lián)立得，，則
則，同理，
令，則，設，
則，令，解得，
當時，，此時單調(diào)遞減，當，，此時單調(diào)遞增，
則，，
但，此處取等條件為，與最終取等時不一致，故.
10．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．
(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.
【答案】(1)(2)證明見解析.
【詳解】（1）設雙曲線方程為，由焦點坐標可知，
則由可得，，雙曲線方程為.
（2）由(1)可得，設，
顯然直線的斜率不為0，所以設直線的方程為，且，
與聯(lián)立可得，且，
則，

直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立直線與直線的方程可得：
，
由可得，即，據(jù)此可得點在定直線上運動.
11．（2022·全國·高考真題）已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為．
(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點M.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：①M在上；②；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.
【答案】(1)(2)見解析
【詳解】（1）右焦點為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程為：；
（2）由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，
若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；
若選①③推②，則為線段的中點，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對稱性可知在軸上，即為焦點,此時由對稱性可知、關(guān)于軸對稱，與從而，已知不符；
總之，直線的斜率存在且不為零.設直線的斜率為,直線方程為,
則條件①在上，等價于；兩漸近線的方程合并為,
聯(lián)立消去y并化簡整理得：
設,線段中點為,則,
設,則條件③等價于,
移項并利用平方差公式整理得：，
,即,即；
由題意知直線的斜率為, 直線的斜率為,
∴由,∴,
所以直線的斜率,直線,即,
代入雙曲線的方程,即中，得：,
解得的橫坐標：,同理：，
∴∴,
∴條件②等價于，
綜上所述：條件①在上，等價于；條件②等價于；
條件③等價于；
選①②推③:由①②解得：,∴③成立；
選①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；
選②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.
12．（2022·全國·高考真題）已知點在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點，直線的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面積．
【答案】(1)；(2)．
【詳解】（1）因為點在雙曲線上，所以，解得，即雙曲線．易知直線l的斜率存在，設，，
聯(lián)立可得，，
所以，，且．
所以由可得，，即，
即，所以，
化簡得，，即，所以或，
當時，直線過點，與題意不符，舍去，故．
（2）［方法一］：【最優(yōu)解】常規(guī)轉(zhuǎn)化
不妨設直線的傾斜角為，因為，所以，由（1）知，，當均在雙曲線左支時，，所以，
即，解得（負值舍去）
此時PA與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線左支無交點，舍去；
當均在雙曲線右支時，因為，所以，即，
即，解得（負值舍去），
于是，直線，直線，
聯(lián)立可得，，
因為方程有一個根為，所以，，同理可得，，．
所以，，點到直線的距離，
故的面積為．
［方法二］： 設直線AP的傾斜角為，，由，得，
由，得，即，聯(lián)立，及得，，
同理，，，故，
而，，由，得，
故
高頻考點一 軌跡方程
核心知識：求動點的軌跡方程有如下幾種方法：
（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程；
（2）定義法：如果能確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；
（3）相關(guān)點法：用動點的坐標、表示相關(guān)點的坐標、，然后代入點的坐標所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動點的軌跡方程；
（4）參數(shù)法：當動點坐標、之間的直接關(guān)系難以找到時，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動點的軌跡方程；
（5）交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程．
典例1：（2024·貴州貴陽·高三校考階段練習）已知橢圓C：（）的離心率為，左頂點A到右焦點的距離為3.(1)求橢圓的方程；(2)設直線與橢圓交于不同兩點，（不同于A），且直線和的斜率之積與橢圓的離心率互為相反數(shù)，求在上的射影的軌跡方程.
【解析】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為.
（2）當直線的斜率存在時，可設l：，，，
與橢圓方程聯(lián)立，，得，
，，，
因為直線和的斜率之積與橢圓的離心率互為相反數(shù)，所以，
得，即，所以或，
當時，經(jīng)過定點，與A重合，舍去，
當時，，經(jīng)過定點，
當直線的斜率不存在時，l：，此時，，滿足條件，
因為，，
所以點的軌跡是以為直徑的圓（除去點），圓心坐標為，半徑為，
所以點的軌跡方程為.
變式訓練
1.（2024·河北衡水·高三校聯(lián)考期末）在平面直角坐標系中，點滿足方程.
（1）求點的軌跡的方程；（2）作曲線關(guān)于軸對稱的曲線，記為，在曲線上任取一點，過點作曲線的切線，若切線與曲線交于、兩點，過點、分別作曲線的切線、，證明：、的交點必在曲線上.
【解析】（1）由，兩邊平方并化簡，得，即，
故點的軌跡的方程為.
（2）依題可設點，，曲線切于點的切線的斜率為，
切線l的方程為，整理得，依題可知曲線，，
聯(lián)立方程組，即，，
設，，則，，
設曲線上點處的切線斜率為，
切線方程為，整理得，
同理可得曲線上點處的切線方程為，
聯(lián)立方程組，解得，因為，，
所以，，、的交點坐標為，
滿足曲線的方程，即、的交點必在曲線上.
2.已知直線交拋物線于兩點.（1）設直線與軸的交點為，若，求實數(shù)的值；（2）若點在拋物線上，且關(guān)于直線對稱，求證：四點共圓：
（3）記為拋物線的焦點，過拋物線上的點作準線的垂線，垂足分別為點，若的面積是的面積的兩倍，求線段中點的軌跡方程.
【解析】（1）由得.設，則
因為直線與相交，所以，得由，得，所以，
解得，從而，因為，所以，故.
（2）設，因為兩點關(guān)于直線對稱，
則，故.又于是，
即.由點在拋物線上，有.
因為，所以，于是
因此，同理，于是點在以為直徑的圓上，即四點共圓.
（3）易知設，則
設直線與軸的交點為，則
由題設，可得，所以或.
設線段的中點為，有 當時，當與軸不垂直時，
由可得，即
而，所以.同理，當時，.
當與軸垂直時，與重合.符合
綜上，線段的中點的軌跡方程或.
高頻考點2 向量共線與多點共線問題
核心知識：首先，明確向量的定義和性質(zhì)，理解共線向量的概念，即方向相同或相反的向量。其次，利用向量的坐標表示法，通過比較兩向量的對應坐標分量是否成比例，來判斷它們是否共線。若成比例，則兩向量共線。另外，也可以利用向量的幾何意義，結(jié)合圓錐曲線的特性，通過觀察或計算向量的方向來判斷其共線性。綜上所述，結(jié)合向量的代數(shù)和幾何性質(zhì)，可以有效解決圓錐曲線中的向量與共線問題。
典例1：（2024·高三·上海楊浦·期中）已知橢圓經(jīng)過，兩點.為坐標原點，且的面積為，過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點，.且直線，分別與軸交于點，.(1)求橢圓的方程；(2)若以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，求直線的方程；(3)設，，求的取值范圍.
【解析】（1）因為橢圓經(jīng)過點，所以解得（負值舍去）．
由的面積為可知，解得，所以橢圓的方程為．
（2）設直線的方程為，，．
聯(lián)立，消整理可得．
因為直線與橢圓有兩個不同的交點，所以，解得，
因為，所以的取值范圍是，所以，，
則，
因為以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，所以，則，
即，解得（負值舍去），所以直線的方程為.
（3）因為，，，，所以直線的方程是：，
令，解得，所以點的坐標為．同理可得點的坐標為．
所以，，．由，，
可得，，所以，同理，
由（2）得，所以
，
因為，所以，所以，
則，所以，所以的范圍是．
變式訓練：
1.（2024·安徽淮北·二模）如圖，已知橢圓的左右焦點為，短軸長為為上一點，為的重心.(1)求橢圓的方程；(2)橢圓上不同三點，滿足，且成等差數(shù)列，線段中垂線交軸于點，求點縱坐標的取值范圍；
(3)直線與交于點，交軸于點，若，求實數(shù)的取值范圍.

【解析】（1）不妨設，因為的重心，所以，所以，
又短軸長為6，所以，代入解得，所以橢圓方程為:；
（2）由上可知，設中點，則，
又，消去并整理得，同理，
又，由題意得，即，
因B，D在上，易得，化簡得，
所以線段中垂線的斜率，線段中垂線方程:，
令得，
又線段中點在橢圓內(nèi)所以，所以；
（3）設，由得，
聯(lián)立消整理得，得，
所以，當時，，
當時，，解不等式得.
2.（2024·高三·山東威海·期末）已知橢圓的左、右頂點分別為，，右焦點的坐標為，過點作直線交于，兩點（異于，），當垂直于軸時，.
(1)求的標準方程；(2)直線交直線于點，證明：，，三點共線.
【解析】（1）如圖所示，
由，可得，所以，即，因為，
所以，解得，，所以的標準方程為.
（2）由題意知，直線斜率不為，如圖所示，
設，，而，
由，整理得，顯然，則,
因為，所以，即.
則
，
所以，又因為有公共點，所以，，三點共線.
3.（2024·高三·浙江·開學考試）已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為為坐標原點，為線段的中點，為橢圓上動點，且面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程；(2)延長交橢圓于，若，求直線的方程.
【解析】（1）由條件得，即，則，
則，，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）由題意可知：，則，且直線與橢圓必相交，
若直線的斜率不存在，可知，聯(lián)立方程，解得，
不妨取，則，
可得，不合題意；
若直線的斜率存在，設直線，則，，
與橢圓聯(lián)列方程得，消去y得，
可得，
則
，
可得，解得所以直線的方程為；綜上所述：直線的方程.
高頻考點3 定值問題-線段與面積
核心知識：
1、定值問題：解析幾何中定值問題的證明可運用函數(shù)的思想方法來解決．證明過程可總結(jié)為“變量—函數(shù)—定值”，具體操作程序如下：（1）變量----選擇適當?shù)牧繛樽兞浚唬?）函數(shù)----把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù)；（3）定值----化簡得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值。
2、求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理過程中消去變量，從而得到定值．
典例1：（2024·湖北荊州·三模）從拋物線上各點向軸作垂線段，垂線段中點的軌跡為.
(1)求的軌跡方程；(2)是上的三點，過三點的三條切線分別兩兩交于點，
①若，求的值；②證明：三角形與三角形的面積之比為定值.
【解析】（1）設垂線段中點坐標為，則拋物線上點坐標為，
代入拋物線方程，則，即，所以的軌跡方程：.
（2）①如圖，是上的三點，過三點的三條切線分別兩兩交于點，
設，
則拋物線上過點的切線方程為，將切線方程與拋物線方程聯(lián)立，得：
聯(lián)立，消去，整理得，
所以，從而有，
所以拋物線上過點的切線方程為，
同理可得拋物線上過點的切線方程分別為，
兩兩聯(lián)立，可以求得交點的縱坐標分別為：，
則，
同理可得，即，
當時，，故，即，因此.
②易知，則直線的方程為，
化簡得即，且，
點到直線的距離為：，
則三角形的面積．
由（2）①知切線的方程為，，
可知，點到直線的距離為，
則外切三角形的面積．
故．因此三角形與外切三角形的面積之比為定值2．
變式訓練：
1.（2024·重慶·三模）已知，曲線上任意一點到點的距離是到直線的距離的兩倍.
(1)求曲線的方程；(2)已知曲線的左頂點為，直線過點且與曲線在第一、四象限分別交于，兩點，直線、分別與直線交于，兩點，為的中點.（i）證明：；
（ii）記，，的面積分別為，，，則是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.
【解析】（1）設曲線上任意一點坐標為，則由題意可知：
，故曲線的方程為.
（2）(i)設直線：，，，其中且，
，故，；
直線：，當時，，故，
同理，為中點， 故；
；（*）
；
故，即，則，
直線的方向向量，，故.
(ii)法一：；（**）
故；，
又，故.
；
；
，，
由（*）知，由（**）知，
故，
故，則.
法二：（利用雙曲線的第二定義）由（1）知，，同理，
故，
又，故，又，
且由（*）知，記直線與軸相交于點，
由可得，即，即，故；
又為的中點，故，即.
2.（2024·高三·山西·期末）已知橢圓：.(1)若橢圓的離心率為，直線與橢圓交于，兩點，求證：；(2)為直線：上的一個動點，，為橢圓的左、右頂點，，分別與橢圓交于，兩點，證明為定值，并求出此定值.
【解析】（1）由題意得,所以，所以橢圓方程：，
設，，聯(lián)立可得，
且，則，，
，
所以；
（2）設，，，而，，設，，
則，，
所以，，，，
因為，在橢圓：上，所以，
所以，，
代入作差可得：.化簡得：，所以，
綜上所述，為定值為3.
高頻考點4 定值問題-向量與坐標
核心知識：
1、定值問題：解析幾何中定值問題的證明可運用函數(shù)的思想方法來解決．證明過程可總結(jié)為“變量—函數(shù)—定值”，具體操作程序如下：（1）變量----選擇適當?shù)牧繛樽兞浚唬?）函數(shù)----把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù)；（3）定值----化簡得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值。
2、求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理過程中消去變量，從而得到定值．
典例1：（2024·高三·江蘇鹽城·開學考試）已知橢圓：，，過點的動直線與橢圓交于、兩點.(1)求線段的中點的軌跡方程；
(2)是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【解析】（1）①當直線存在斜率時，設、、，，
則應用點差法：，兩式聯(lián)立作差得：，
∴，
又∵，∴，化簡得（），
②當直線不存在斜率時，，綜上，無論直線是否有斜率，的軌跡方程為；
（2）①當直線存在斜率時，設直線的方程為：，
聯(lián)立并化簡得：，
∴恒成立，∴，，
又，，，，
∴，
，
若使為定值，只需，即，其定值為，
②當直線不存在斜率時，直線的方程為：，則有、，
又，，，，
∴，當時，也為定值，
綜上，無論直線是否有斜率，一定存在一個常數(shù)，使為定值.
變式訓練：
1.（2024·高三·天津河北·期末）設橢圓的左右焦點分別為，短軸的兩個端點為，且四邊形是邊長為2的正方形.分別是橢圓的左右頂點，動點滿足，連接，交橢圓于點.(1)求橢圓的方程；(2)求證：為定值.
【解析】（1）由題設，，得，橢圓的方程為.
（2）由（1）知，由題意知，直線的斜率存在且不為0，
設直線的方程為，聯(lián)立，
消去得，其中是直線與橢圓一個交點，
所以，則，代入直線得，故.
又，將代入，得，則.
所以，為定值.
2.（2024·四川涼山·三模）已知平面內(nèi)動點與兩定點，連線的斜率之積為3．
(1)求動點的軌跡的方程：(2)過點的直線與軌跡交于，兩點，點，均在軸右側(cè)，且點在第一象限，直線與交于點，證明：點橫坐標為定值．
【解析】（1）設動點，根據(jù)題意，
動點的軌跡的方程為.
（2）易知直線斜率不為0，設方程為，且．設，，
由，，
由題意易得 直線方程為①
同理，直線方程為②
由①÷②得
，點橫坐標為定值．
高頻考點5 定值問題-斜率與角度
核心知識：
1、定值問題：解析幾何中定值問題的證明可運用函數(shù)的思想方法來解決．證明過程可總結(jié)為“變量—函數(shù)—定值”，具體操作程序如下：（1）變量----選擇適當?shù)牧繛樽兞浚唬?）函數(shù)----把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù)；（3）定值----化簡得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值。
2、求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理過程中消去變量，從而得到定值．
典例1：（2024·河南·二模）已知橢圓的焦距為2，兩個焦點與短軸一個頂點構(gòu)成等邊三角形.(1)求橢圓的標準方程；(2)設，過點的兩條直線和分別交橢圓于點和點（和.不重合），直線和的斜率分別為和.若，判斷是否為定值，若是，求出該值；若否，說明理由.
【解析】（1）由題焦距，解得，
由兩個焦點與短軸一個頂點構(gòu)成等邊三角形可知，則，
所以，所以橢圓的標準方程為.
（2）是定值. 已知，設，
直線的方程為，即，
代入并整理，得，
，.
，三點共線，且與同向，
，
同理可得，化簡得，
，所以為定值0.
變式訓練：
1.（2024·高三·陜西·開學考試）已知雙曲線的左焦點為F，左頂點為E，虛軸的上端點為P，且，．(1)求雙曲線C的標準方程；(2)設是雙曲線C上不同的兩點，Q是線段的中點，O是原點，直線的斜率分別為，證明：為定值．
【解析】（1）不妨設雙曲線C的半焦距為，
，，
解得，則，故雙曲線C的方程為；
（2）設，則，
為雙曲線C上的兩點，
兩式相減得，整理得，
則，故為定值，定值為4．
2.（2024·重慶·模擬預測）如圖，軸，垂足為D，點P在線段上，且．
(1)點M在圓上運動時，求點P的軌跡方程；(2)記（1）中所求點P的軌跡為，過點作一條直線與相交于兩點，與直線交于點Q．記的斜率分別為，證明：是定值．
【解析】（1）設，根據(jù)題意有，又因為M在圓上運動，所以，
即，所以點P的軌跡方程為：.
（2）根據(jù)已知條件可知，若直線的斜率不存在，不合題意，
若直線斜率為，直線與直線平行無交點也不合題意，
所以直線的斜率存在設為，直線的方程為，
聯(lián)立，則有，且，
設，，則，
，，所以
，對，令，得，所以，
所以，所以為定值.
3.（2024·高三·廣東廣州·期中）已知橢圓C：的離心率為，焦距為2.(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C的左頂點為A，過右焦點F的直線與橢圓C交于B，D（異于點A）兩點，直線，分別與直線交于M，N兩點，試問是否為定值 若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
【解析】（1）依題意知：，
解之得：，，，所以橢圓C的方程為.
（2）由于B，D異于A，故設直線的方程為，
聯(lián)立得： 設，，則
因為，，所以設直線的方程為，
聯(lián)立得：，同理有
因為，所以， 所以
所以，即.
高頻考點6 直線過定點問題
核心知識：
求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據(jù)題設條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明．
一般解題步驟：
①斜截式設直線方程：，此時引入了兩個參數(shù)，需要消掉一個．
②找關(guān)系：找到和的關(guān)系：，等式帶入消參，消掉．
③參數(shù)無關(guān)找定點：找到和沒有關(guān)系的點．
典例1：（2024·陜西·模擬預測）已知動圓M經(jīng)過定點，且與圓內(nèi)切.
(1)求動圓圓心M的軌跡C的方程；(2)設軌跡C與x軸從左到右的交點為點A，B，點P為軌跡C上異于A，B的動點，設直線PB交直線于點T，連接AT交軌跡C于點Q；直線AP，AQ的斜率分別為，.（i）求證：為定值；（ii）設直線，證明：直線PQ過定點.
【解析】（1）設動圓的半徑為r，圓的圓心，半徑，
顯然點在圓內(nèi)，則，于是，
因此動點M的軌跡C是以，為焦點，長軸長為4的橢圓，
長半軸長，半焦距，則短半軸長，所以軌跡C的方程為.
（2）（i）設，，，由（1）知，，
顯然，，而，則，
，又，即，
所以，為定值.
（ii）由消去x得，，
由（i）得，又，
則
，解得，滿足，
因此直線PQ的方程為，所以直線PQ過定點.
變式訓練：
1.（2024·廣西·模擬預測）已知圓E恒過定點，且與直線相切，記圓心E的軌跡為，直線與相交于A，B兩點，直線與相交于C，D兩點，且，M，N分別為弦的中點，其中A，C均在第一象限，直線與直線的交點為G．
(1)求圓心E的軌跡的方程；
(2)直線是否恒過定點？若是，求出定點坐標？若不是，請說明理由．
【解析】（1）設圓E的圓心．因為圓E恒過定點且與直線相切，
即圓心E到點的距離與到直線的距離相等，
即圓心E的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，所以圓心E的軌跡方程為．
（2）直線恒過定點．解法一：直線的方程為，直線的方程為，
設，，聯(lián)立，消去x整理得，，
則，則，則，
所以，同理可得．
當時，直線的方程為，
即
．
因為，所以直線的方程，故當時，，此時過定點；
當時，由，得，此時直線的方程為，同樣經(jīng)過點．
綜上，直線恒過定點，該定點為．
解法二：設，，由題可知直線，都恒過定點，
斜率均存在，不為0，且互相垂直，設直線，，則直線，
聯(lián)立，去y整理得，
易得，則，則，所以，同理可得．
若直線的斜率存在，則，
直線，，則直線恒過定點；
若直線的斜率不存在，則，得，
直線的方程為，則直線恒過定點．綜上，直線恒過定點，該定點為．
2.（2024·江西·二模）已知，，M是圓O：上任意一點，關(guān)于點M的對稱點為N，線段的垂直平分線與直線相交于點T，記點T的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)設（）為曲線C上一點，不與x軸垂直的直線l與曲線C交于G，H兩點（異于E點）.若直線GE，HE的斜率之積為2，求證：直線l過定點.
【解析】（1）連接OM，
由題意可得，且M為的中點，又O為的中點，所以，且|.
因為線段的中垂線與直線相交于點T，所以，
所以，
由雙曲線的定義知動點T的軌跡是以，為焦點的雙曲線.
設其方程為（，），則，，，
故曲線C的方程為.
（2）證明：由（1）知依題意直線l的斜率存在，
設直線l的方程為，，，
由，得，，由，得，
所以，.則
，整理得，
即，解得或，
當時，直線l的方程為，直線l過定點；
當時，直線l的方程為，
直線l過定點，不合題意，舍去. 綜上所述，直線l過定點.
高頻考點7 動點在定直線上問題
核心知識：
典例1：已知橢圓：的右焦點為，過點作軸的垂線交橢圓于點．過點作橢圓的切線，交軸于點．(1)求點的坐標；(2)過點的直線（非軸）交橢圓于、兩點，過點作軸的垂線與直線交于點，求證：線段的中點在定直線上．
【解析】（1）依題意，點，，解得，橢圓：，
顯然過點的橢圓的切線斜率存在，設其方程為，
由消去并整理得，
，整理得，
解得，切線方程為，由，得，所以點的坐標是.
（2）設直線的方程為，，線段的中點，
由消去得，
則，，，
直線的方程為，則點，
于是，
，
，因此點在直線上，
所以線段的中點在定直線上.
變式訓練：
1.已知橢圓經(jīng)過點，離心率.(1)求橢圓的標準方程；(2)設過點且傾斜角為的直線與軸，軸分別交于點，點為橢圓上任意一點，求面積的最小值.(3)如圖，過點作兩條直線分別與橢圓相交于點，設直線和相交于點.證明點在定直線上.
【解析】（1）由題意，點在橢圓上得，可得①
又由，所以②，
由①②聯(lián)立且，可得，故橢圓的標準方程為；
（2）易知，則，所以，
設，聯(lián)立與有，
則，由解得，
到的距離即為在邊上高的最小值，即，
此時面積的最小值；
（3）設，則，即，
又由，得，整理得，
再代入得，即，
所以，同理令，，則，
則，，
則直線的方程為
，
同理的方程為
，
兩式相減，整理得，即點在定直線上.
高頻考點8 動圓過定點問題
核心知識：
典例1：【變式11-3】（2024·河北·三模）已知橢圓C的中心在原點O、對稱軸為坐標軸，、是橢圓上兩點．(1)求橢圓C的標準方程；(2)橢圓C的左、右頂點分別為和，M，N為橢圓上異于、的兩點，直線MN不過原點且不與坐標軸垂直．點M關(guān)于原點的對稱點為S，若直線與直線相交于點T．（i）設直線的斜率為，直線的斜率為，求的最小值；
（ii）證明：直線OT與直線MN的交點在定直線上．
【解析】（1）設橢圓C的方程為，
將A、B代入得，解得，故橢圓C的標準方程為.
（2）由題意得，，
設直線MN的方程為，，，，則．
（i）由題意可得：，即，
所以，
當且僅當，（或，）時等號成立．
（ii）聯(lián)立方程，消去x得，
由得且，
故，，即
由、S、T三點共線得，即；
由、N、T三點共線得，即；
兩式相加得
，
則直線OT斜率為，可得直線OT方程為
由得，即．故直線OT與直線MN的交點在定直線上．
變式訓練：
1.（2024·西藏拉薩·二模）已知拋物線上的兩點的橫坐標分別為.
(1)求拋物線的方程；(2)若過點的直線與拋物線交于點，問：以為直徑的圓是否過定點？若過定點，求出這個定點；若不過定點，請說明理由.
【解析】（1）因為點的橫坐標分別為，所以，
則，解得，所以拋物線的方程為.
（2）由題意，知直線的斜率存在，設，過點的直線的方程為，直線的斜率分別為.
當時，，因為，所以以為直徑的圓過原點.
以下證明當時，以為直徑的圓過原點.
由，消去，得，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，
，
所以，所以以為直徑的圓過原點.綜上，以為直徑的圓過原點.
2.（2024·山東泰安·模擬預測）已知拋物線，焦點為，點在上，直線∶與相交于兩點，過分別向的準線作垂線，垂足分別為.
(1)設的面積分別為，求證：；
(2)若直線，分別與相交于，試證明以為直徑的圓過定點，并求出點的坐標.
【解析】（1）將代入，得，所以拋物線方程為，
由題意知，設，
由得，，，所以，
所以
，即.
（2）直線的斜率，
故直線的方程為，令得，
所以點的坐標為，同理，點的坐標為，
設線段的中點為，則
=，
又=
，
所以以為直徑的圓為，
即，令得或，
故以為直徑的圓過定點和.
高頻考點9 最值（范圍）問題-弦長
核心知識：
1、求最值問題常用的兩種方法
（1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形性質(zhì)來解決，這是幾何法．
（2）代數(shù)法：題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數(shù)，再求該函數(shù)的最值．求函數(shù)的最值常見的方法有基本不等式法、單調(diào)性法、導數(shù)法和三角換元法等，這就是代數(shù)法．
典例1：（2024·浙江·模擬預測）已知P為雙曲線C：上一點，O為坐標原點，線段OP的垂直平分線與雙曲線C相切．(1)若點P是直線與圓的交點，求a；(2)求的取值范圍．
【解析】（1）聯(lián)立方程：，解得或，即點為或，
將點代入雙曲線C：可得，解得，所以.
（2）先證：在雙曲線上一點處的切線方程為.
因為點在雙曲線上，則，
顯然直線過點，即，，
聯(lián)立方程，消去y可得，
即，則，解得，
所以在雙曲線上一點處的切線方程為.
設，，則，
可得線段OP的垂直平分線為，即，
設直線與雙曲線C切于點，則直線，
則，即，且，即，整理可得，
又因為在雙曲線C上，則，即，
可得，解得（舍負），
則，
令，則，可得，
令，則關(guān)于x的方程有正根，
即關(guān)于t的方程在內(nèi)有根，設，
若，即，則，不合題意；
若，即，則，解得，不合題意；
若，即，則，解得；
綜上所述：，則，即.
變式訓練：
1.（2024·陜西安康·模擬預測）已知橢圓的左 右焦點分別為，上 下頂點分別為，四邊形的面積為且有一個內(nèi)角為.(1)求橢圓的標準方程；(2)若以線段為直徑的圓與橢圓無公共點，過點的直線與橢圓交于兩點（點在點的上方），線段上存在點，使得，求的最小值.
【解析】（1）由題意可得，可得，
，或，所以橢圓的方程為：或；
（2）由以線段為直徑的圓與橢圓無公共點，得，所以橢圓的標準方程為：，
因為，所以點在橢圓外，設，
當直線的斜率存在時，，
由，可得，解得，（*）
設直線，聯(lián)立，整理可得：，
由，整理可得：，解得或，且，代入整理可得，
代入直線的方程，得，可得，
當直線的斜率不存在時，，則，
由，得，也滿足方程，
所以點在直線（在橢圓內(nèi)部）上，
設點關(guān)于直線的對稱點為，
則解得，所以，
此時點在橢圓內(nèi)，符合題意，所以的最小值為.
2.（2024·福建泉州·模擬預測）已知橢圓的左右焦點分別是，雙曲線的頂點恰好是、，且一條漸近線是．(1)求的方程：(2)若上任意一點（異于頂點），作直線交于，作直線交于，求的最小值．
【解析】（1）由橢圓得：左右焦點分別是，
因為雙曲線的頂點恰好是、，設雙曲線的方程為：，所以，
又由一條漸近線是，可得，所以，即雙曲線的方程為：，
（2）設直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立得：，
可設，則
則，
同理可設直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立得：，
可設，則
則，
再由直線的方程為：與直線的方程為：聯(lián)立解得：，
由于這兩直線交點就是點，則把點的坐標代入雙曲線的方程得：
，化簡得：，點（異于頂點），所以，即，
則
，
當且僅當，即時，有最小值.
高頻考點10 最值（范圍）問題-面積
核心知識：
1、求最值問題常用的兩種方法
（1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形性質(zhì)來解決，這是幾何法．
（2）代數(shù)法：題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數(shù)，再求該函數(shù)的最值．求函數(shù)的最值常見的方法有基本不等式法、單調(diào)性法、導數(shù)法和三角換元法等，這就是代數(shù)法．
典例1：（2024·福建泉州·模擬預測）已知橢圓的左 右焦點分別為，離心率為，且經(jīng)過點.(1)求的方程；(2)過且不垂直于坐標軸的直線交于兩點，點為的中點，記的面積為的面積為，求的取值范圍.
【解析】（1）因為，所以，因為點在橢圓上，所以.
即，解得，所以，所以橢圓的方程為.
（2）解法一：由（1）得，依題意設，
由消去，得，
設，則，設，則，
，由得，，
即，因為，所以，所以，
所以，令且，
則，解得，且，所以，所以的取值范圍為.
解法二：由（1）得，依題意設，
由消去，得，
設，則，所以，
設，則，，
令且，則代入可得，
消去得：，因為，所以，
所以，解得，且，所以，所以的取值范圍為.
變式訓練：
1.（2024·廣東·模擬預測）在平面直角坐標系中，點到點的距離與到直線的距離之比為，記的軌跡為曲線，直線交右支于，兩點，直線交右支于，兩點，．(1)求的標準方程；(2)證明：；(3)若直線過點，直線過點，記，的中點分別為，，過點作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，，求四邊形面積的取值范圍．
【解析】（1）設點，因為點到點的距離與到直線的距離之比為，
所以 ，整理得，所以的標準方程為.
（2）由題意可知直線和直線斜率若存在則均不為0且不為，
①直線的斜率不存在時，則可設直線方程為，，
則且由點A和點B在曲線E上，故，所以，
同理可得，所以；
②直線斜率存在時，則可設方程為，、，
聯(lián)立，
則即，
且，且，
所以
，
同理 ，所以，綜上，.
（3）由題意可知直線和直線斜率若存在則斜率大于1或小于，且曲線E的漸近線方程為，
故可分別設直線和直線的方程為和，且，
聯(lián)立得，設、，
則，，，
故，
因為P是中點，所以即，同理可得，
所以P到兩漸近線的距離分別為，，
Q到兩漸近線的距離分別為，，
由上知兩漸近線垂直，故四邊形是矩形，連接，
則四邊形面積為
，
因為，所以，所以，
所以四邊形面積的取值范圍為.
2.（2024·湖南邵陽·三模）已知橢圓：的離心率為，右頂點與的上，下頂點所圍成的三角形面積為．(1)求的方程．(2)不過點的動直線與交于，兩點，直線與的斜率之積恒為．（i）證明：直線過定點；（ii）求面積的最大值．
【解析】（1）令橢圓的半焦距為c，由離心率為，得，解得，
由三角形面積為，得，則，，所以的方程是.
（2）（i）由（1）知，點，設直線的方程為，設，
由消去x得：，則，
直線與的斜率分別為，，
于是
，整理得，解得或，
當時，直線過點，不符合題意，因此，直線：恒過定點.
（ii）由（i）知，，
則，
因此的面積
，當且僅當，即時取等號，
所以面積的最大值為.
高頻考點11 最值（范圍）問題-向量數(shù)量積、參數(shù)
核心知識：
求參數(shù)范圍問題的常用方法：構(gòu)建所求幾何量的含參一元函數(shù)，形如，并且進一步找到自變量范圍，進而求出值域，即所求幾何量的范圍，常見的函數(shù)有：（1）二次函數(shù)；（2）“對勾函數(shù)”；（3）反比例函數(shù)；（4）分式函數(shù)．若出現(xiàn)非常規(guī)函數(shù)，則可考慮通過換元“化歸”為常規(guī)函數(shù)，或者利用導數(shù)進行解決．這里找自變量的取值范圍在或者換元的過程中產(chǎn)生．除此之外，在找自變量取值范圍時，還可以從以下幾個方面考慮：①利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍．
②利用已知參數(shù)的范圍，求出新參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系．
③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍．④利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．
典例1：（2024·福建廈門·二模）已知，，為平面上的一個動點.設直線的斜率分別為，，且滿足.記的軌跡為曲線.(1)求的軌跡方程；(2)直線，分別交動直線于點，過點作的垂線交軸于點.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由.
【解析】（1）由題意設點，由于，
故，整理得，即的軌跡方程為；
（2）由題意知直線的斜率分別為，，且滿足，
設直線的方程為，令，則可得，即，
直線，同理求得，又直線的方程為，
令，得，即，
故
，
當時，取到最大值12，即存在最大值，最大值為12.
變式訓練：
1.（2024·廣西桂林·模擬預測）已知橢圓C：過定點，過點的兩條動直線交橢圓于，直線的傾斜角互補，為橢圓C的右焦點.
(1)設是橢圓的動點，過點作直線的垂線為垂足，求.
(2)在中，記，若直線AB的斜率為，求的最大值.
【解析】（1）因為點P在橢圓C上，所以，解得；
所以橢圓C的方程為，故，設動點，則，所以，
故，，所以．
（2）不妨設，的外接圓半徑為，則由正弦定理得，
所以.如圖，過作直線的垂線，垂足為，
過作于點，由（1）的結(jié)論可得，
所以，即，
所以，又，得，
則，即，
所以，當且僅當時等號，所以的最大值為.
2.（2024·廣東·模擬預測）已知橢圓的右焦點為，分別為橢圓的左、右頂點，分別為橢圓的上、下頂點，四邊形的面積為．(1)求橢圓的方程；(2)過點且斜率不為的直線與橢圓相交于兩點，直線與的交點為．①若直線的傾斜角為，求線段的長度；②試問是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果沒有，說明理由．
【解析】（1）由題知，解得，所以橢圓的方程為.
（2）設，①當直線的傾斜角為時，直線的方程為，
由，消得到，所以，
所以.
②由（1）知，易知，
設直線，由，消得到，
所以，設直線的斜率分別為，且，
所以，
得到，又，
當且僅當，即時，的最大值為，又，所以的最大值.
3.（2024·陜西榆林·三模）已知橢圓的左 右焦點分別為，且在拋物線的準線上，點是上的一個動點，面積的最大值為.(1)求的方程；(2)設經(jīng)過右焦點且斜率不為0的直線交于兩點，線段的垂直平分線交軸于點，求的取值范圍.
【解析】（1）焦點在拋物線的準線上，則橢圓半焦距，
當點為短軸頂點時，面積最大，此時，
則，所以橢圓方程為.
（2）當軸時，顯然，當與軸不垂直時，設直線的方程為，
由消去得，，
設，線段的中點，
則，
線段的垂直平分線方程為，
令，得，顯然，當且僅當時取等號，
當時，；當時，，于是或，
所以的取值范圍是.
1．（2024·北京海淀·二模）已知橢圓的焦點在軸上，中心在坐標原點.以的一個頂點和兩個焦點為頂點的三角形是等邊三角形，且其周長為.(1)求栯圓的方程；(2)設過點的直線（不與坐標軸垂直）與橢圓交于不同的兩點，與直線交于點.點在軸上，為坐標平面內(nèi)的一點，四邊形是菱形.求證：直線過定點.
【解析】（1）由題意可設橢圓的方程為.
因為以的一個頂點和兩個焦點為頂點的三角形是等邊三角形，且其周長為，
所以且，所以.所以.所以橢圓的方程為.
（2）設直線的方程為，令，得，即.
由得.設，則.
設的中點為，則.所以.
因為四邊形為菱形，所以為的中點，.所以直線的斜率為.
所以直線的方程為.
令得.所以.
設點的坐標為，則，即.
所以直線的方程為，即.所以直線過定點.
2．（2024·北京·模擬預測）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點.
(1)求橢圓的方程；(2)設過點且不與坐標軸垂直的直線與橢圓交于兩點，過分別作軸的垂線，垂足為點，求證：直線與的交點在某條定直線上，并求該定直線的方程.
【解析】（1）由題可得：，，又；解得；
故橢圓的方程為：.
（2）設直線與的交點為，根據(jù)題意，作圖如下：
由題可知，直線的斜率存在，又過點，故設其方程為，
聯(lián)立，可得，顯然其，
設兩點坐標為，則；
因為都垂直于軸，故，
則方程為：，方程為：，
聯(lián)立方程可得：，
故，也即直線與的交點在定直線上.
3.（2024·高三·浙江寧波·期末）已知點和直線:，動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數(shù).(1)求動點的軌跡的方程；(2)已知，過點作直線交于，兩點，若，求的斜率的值.
【解析】（1）設，由題意得，化簡得:.
（2）設：，
與聯(lián)立得，，因為，則定點在橢圓內(nèi)，則該直線與橢圓必有兩交點，所以
因為，所以，即，所以③，
由①③得，將④⑤代入②，得，
化簡得，，解得.
4.（2024·遼寧·三模）已知橢圓的左右焦點分別為，橢圓的短軸長為，離心率為. 點為橢圓上的一個動點，直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為，設，.(1)求橢圓的方程；(2)證明：為定值；
【解析】（1）由題知，得到，又，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）由（1）知，，設，，
則，，，，
由，得到，所以，
又在橢圓上，所以，即.
又，故，即.
將其展開，得到，即.
從而，即，易知，所以，得到，
同理，由，得到，所以，
又在橢圓上，所以，即.
又，故，即.
將其展開，得到，即.
從而，即，
易知，所以，得到，所以，即為定值.
5.（2024·山西太原·三模）已知雙曲線 的左、右頂點分別為 與 ，點 在 上，且直線 與 的斜率之和為 .(1)求雙曲線 的方程;(2)過點的直線與 交于 兩點(均異于點 )，直線 與直線 交于點，求證: 三點共線.
【解析】（1）由題意得，且
（2）由 (1) 得，
設直線 的方程為，則，
由 得，
直線 的方程為，令 ，則，
，
所以三點共線.
6.（2024·上海長寧·二模）已知橢圓為坐標原點；(1)求的離心率；(2)設點，點在上，求的最大值和最小值；(3)點，點在直線上，過點且與平行的直線與交于兩點；試探究：是否存在常數(shù)，使得恒成立；若存在，求出該常數(shù)的值；若不存在，說明理由；
【解析】（1）設的半長軸長為，半短軸長為，半焦距為，
則，則，所以.
（2）依題意，設，則，，故，
則，
所以由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當時，取得最小值為，
當時，取得最大值為.
（3）設，又，
易得，則直線為，即 ，
而，
，
，
聯(lián)立，消去，得
則，得，
所以，故
，
所以，故存在，使得恒成立.
7.（2024·廣東廣州·模擬預測）已知，，平面上有動點，且直線的斜率與直線的斜率之積為1.(1)求動點的軌跡的方程.(2)過點A的直線與交于點（在第一象限），過點的直線與交于點（在第三象限），記直線，的斜率分別為，，且.試判斷與的面積之比是否為定值，若為定值，請求出該定值；若不為定值，請說明理由.
【解析】（1）設，，由題意可得：，整理得，
故求動點的軌跡方程為.
（2）由題意可知：，且，可得，
顯然直線MN的斜率不為0，設直線的方程為，，，
聯(lián)立方程，消去x得，
則，，可得，則，
整理可得，則，
因為，則，可得，整理可得，
所以直線方程為，即直線過定點，則，
此時，，所以為定值.
8.（2024·湖北·模擬預測）平面直角坐標系中，動點滿足，點P的軌跡為C，過點作直線l，與軌跡C相交于A，B兩點．(1)求軌跡C的方程；(2)求面積的取值范圍；(3)若直線l與直線交于點M，過點M作y軸的垂線，垂足為N，直線NA，NB分別與x軸交于點S，T，證明：為定值．
【解析】（1）由題意可知：動點到定點的距離比到定點的距離大，且，
從而點的軌跡為雙曲線的右支．設雙曲線方程為，則，，，
軌跡C的方程為：．
（2）直線l不與y軸垂直，設其方程為，
與聯(lián)立得：，，
設，，則，，解得．
設，則．
由于在單調(diào)遞減，則，故．
（3）證明：與聯(lián)立，得，．
設，，由A，S，N三點共線，得，
解得，同理有．
，
即ST的中點為，故為定值1．
9.（2024·陜西安康·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為、，上頂點為，，的面積為.(1)求的方程；(2)是上位于第一象限的一點，其橫坐標為1，直線過點且與交于，兩點（均異于點），點在上，設直線，，的斜率分別為，，，若，問點的橫坐標是否為定值？若為定值，求出點的橫坐標；若不為定值，請說明理由.
【解析】（1）因為，所以，即，
又，所以為等邊三角形，所以，所以，
又，所以，則，所以，所以橢圓方程為.
（2）將代入解得，所以，由（1）可知，則直線的斜率存在，
設直線，，，，
由得，由，
所以，，所以
，
因為，所以，所以，解得，所以點的橫坐標為定值.
10.（2024·河南·三模）已知點，動點滿足直線與直線的斜率之積為，動點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程：(2)直線與曲線交于兩點，且交于點，求定點的坐標，使為定值；(3)過（2）中的點作直線交曲線于兩點，且兩點均在軸的右側(cè)，直線的斜率分別為，求的值．
【解析】（1）設是曲線上的任意一點，
因為點，且動點滿足直線與直線的斜率之積為，
可得，整理得，其中．所以曲線的軌跡方程為.
（2）①當直線斜率存在時，設的方程為，設，
聯(lián)立方程組，整理得，
則，即，且
所以，
因為，所以，
所以，化簡得，即，
所以，且均滿足，
當時，直線的方程為，直線過定點，與已知矛盾，
當時，直線的方程為，過定點，記為點．
②當直線的斜率不存在時，由對稱性不妨設直線，
聯(lián)立方程組，解得，此時直線也過點，
綜上，直線過定點．又由，所以點在以為直徑的圓上，
故當為該圓圓心，即點為的中點時，為該圓半徑，即，
所以存在定點，使為定值．
（3）設，易得直線的斜率不為0，可設直線
聯(lián)立方程組，整理得，
則，且，則，
所以．
11.已知橢圓的長軸長為4，離心率為，點是橢圓上異于頂點的任意一點，過點作橢圓的切線，交軸于點A，直線過點且垂直于，交軸于點．(1)求橢圓的方程；(2)試判斷以為直徑的圓能否過定點？若能，求出定點坐標；若不能，請說明理由．
【解析】（1）因為，所以．所以橢圓的方程為．
（2）解法一：設點，直線的方程為，
代入，整理得，
因為是方程的兩個相等實根，所以，解得．
所以直線的方程為，令，得點A的坐標為．
又因為，所以．所以點A的坐標為．
又直線的方程為，令，得點的坐標為．
所以以為直徑的圓的方程為．整理得．
令，得，所以以為直徑的圓恒過定點和．
解法二：設點，
根據(jù)切線方程可知直線的方程為，所以點A的坐標為．
又直線的方程為，令，得點坐標為，
所以以為直徑的圓方程為
整理得，令，得，所以以為直徑的圓恒過定點和．
12.（2024·河南·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，且，過點作兩條直線，直線與交于兩點，的周長為．(1)求的方程；(2)若的面積為，求的方程；(3)若與交于兩點，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．
【解析】（1）設橢圓的半焦距為，由題意知，所以，
的周長為，所以，
所以，故的方程為．
（2）易知的斜率不為0，設，
聯(lián)立，得，所以．
所以，由，
解得，所以的方程為或．
（3）由（2）可知，
因為的斜率是的斜率的2倍，所以，得．
所以，
當且僅當時，等號成立，所以的最大值為．
13.（2024·廣東珠海·一模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，且，點在橢圓上，直線．(1)若直線與橢圓有兩個公共點，求實數(shù)的取值范圍；
(2)當時，記直線與軸，軸分別交于兩點，為橢圓上兩動點，求最大值．
【解析】（1）設橢圓的半焦距為，則，故，
而在橢圓上，故，故，故橢圓方程為：，
由可得，故即即.
（2）當時，直線，故，
由題設可得為位于直線的兩側(cè)，不妨設在直線上方，在直線的下方，
當過的直線與直線平行且與橢圓相切時，到直線的距離最大及的面積最大，
當過的直線與直線平行且與橢圓相切時，到直線的距離最大及的面積最大，
由（1）可得相切時即，
當時，切點的橫坐標為，切點坐標為，在直線上方，
此時到的距離為，
當時，切點的橫坐標為，切點坐標為，在直線下方；
此時到的距離為，
又故.
14.（2024·湖南衡陽·三模）在直角坐標系xoy中，動圓M與圓外切，同時與圓內(nèi)切，記圓心M的軌跡為E．(1)求E的方程；(2)已知三點T，P，Q在E上，且直線TP與TQ的斜率之積為；（i）求證：P，O，Q三點共線；（ii）若，直線TQ交x軸于點A，交y軸于點B，求四邊形OPAB面積的最大值．
【解析】（1）圓，圓，
設圓的半徑為，由已知得，，從而，
故圓心的軌跡為以為焦點的橢圓（不含左頂點），
又，從而軌跡的方程為.
（2）（i）設，，，直線的斜率為，
由直線TP與TQ的斜率之積為，則存在且，則，只需證且.
聯(lián)立，消得，
整理得：，， ，
以代得，故.
又，，
故三點共線.
（ii）由（i）知，則，
的方程：，從而，
則，
由，當且僅當取等號，
故，即四邊形面積的最大值為.
15.已知橢圓的焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率．
(1)求橢圓的標準方程．(2)過橢圓的右焦點F作與坐標軸不垂直的直線l，交橢圓于A、B兩點，設點是線段OF上的一個動點，且，求m的取值范圍．
【解析】（1）由橢圓的焦點在x軸上，設橢圓的方程為
拋物線方程化為，其焦點為，則橢圓的一個頂點為，即．
由，解得，∴橢圓的標準方程為．
（2）由（1）得，則，設，，，
結(jié)合題意可設直線l的方程為．
由，消y得，
直線l過橢圓焦點，必有，∴，則
，，∵，∴，
∴，
兩邊同除以，有，
∴，∴
∴m的取值范圍為．
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