資源簡介

/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學
6.3 概率與統計的綜合運用解答題
考點分布 考查頻率 命題趨勢
統計綜合： 統計圖表及數字特征、獨立性檢驗、線性擬合 2024年甲卷17題，12分 2023年乙卷第17題，12分 2023年II卷第19題，12分 2023年甲卷第17題，12分 2022年I卷第20題，12分 2022年II卷第19題，12分 預測2025年高考，概率與統計綜合問題以解答題形式出現，概率統計在高考中扮演著很重要的角色，概率統計解答題是新高考卷及多數省市高考數學必考內容，考查熱點為古典概型、相互獨立事件的概率、條件概率、超幾何分布、二項分布、正態分布、統計圖表與數字特征、回歸分析、離散型隨機變量的分布列、期望與方差的實際應用等。
概率綜合： 古典概型、條件概率、全概率公式、分布列、期望與方差 2024年II卷第18題，17分 2024年北京卷第18題，17分 2023年I卷第21題，12分 2023年上海卷第19題，14分 2022年甲卷第19題，12分
從近幾年的高考試題，可以看出概率統計解答題，大多緊密結合社會實際，以現實生活為背景設置試題，注重知識的綜合應用與實際應用，作為考查實踐能力的重要載體，命題者要求考生會收集，整理、分析數據，能從大量數據中抽取對研究問題有用的信息，建立數學模型，再應用數學原理和數學工具解決實際問題．
1．（2024新高考Ⅱ卷·18）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成員為0分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段，由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績為第二階段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．(2)假設，（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙，所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？
2．（2024年北京高考數學真題18）某保險公司為了了解該公司某種保險產品的索賠情況，從合同險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數據如下表：
賠償次數 0 1 2 3 4
單數
假設：一份保單的保費為0.4萬元；前3次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元.假設不同保單的索賠次數相互獨立.用頻率估計概率.
(1)估計一份保單索賠次數不少于2的概率；(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.
（i）記為一份保單的毛利潤，估計的數學期望；（ⅱ）如果無索賠的保單的保費減少，有索賠的保單的保費增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數學期望估計值與（i）中估計值的大小．（結論不要求證明）
3．（2024年全國甲卷17）某工廠進行生產線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產品中隨機抽取150件進行檢驗，數據如下：
優級品 合格品 不合格品 總計
甲車間 26 24 0 50
乙車間 70 28 2 100
總計 96 52 2 150
(1)填寫如下列聯表：
優級品 非優級品
甲車間
乙車間
能否有的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異？能否有的把握認為甲，乙兩車間產品的優級品率存在差異？(2)已知升級改造前該工廠產品的優級品率，設為升級改造后抽取的n件產品的優級品率.如果，則認為該工廠產品的優級品率提高了，根據抽取的150件產品的數據，能否認為生產線智能化升級改造后，該工廠產品的優級品率提高了？（）
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
4．（2023新高考Ⅰ卷·21）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數為，求．
5．（2023年新高考Ⅱ卷數學真題）某研究小組經過研究發現某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異，經過大量調查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設數據在組內均勻分布，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率．
(1)當漏診率％時，求臨界值c和誤診率；
(2)設函數，當時，求的解析式，并求在區間的最小值．
6．（2023年全國乙卷數學真題）某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產品的伸縮率分別記為，．試驗結果如下：
試驗序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸縮率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸縮率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
記，記的樣本平均數為，樣本方差為．
(1)求，；(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高）
7．（2022新高考Ⅰ卷·20）一醫療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣（衛生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人（稱為對照組），得到如下數據：
不夠良好 良好
病例組 40 60
對照組 10 90
(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異？
(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R．
（ⅰ）證明：；（ⅱ）利用該調查數據，給出的估計值，并利用（ⅰ）的結果給出R的估計值．附，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
8．（2022新高考Ⅱ卷·19）在某地區進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數據的頻率分布直方圖：
(1)估計該地區這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；(2)估計該地區一位這種疾病患者的年齡位于區間的概率；(3)已知該地區這種疾病的患病率為，該地區年齡位于區間的人口占該地區總人口的.從該地區中任選一人，若此人的年齡位于區間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數據中患者的年齡位于各區間的頻率作為患者的年齡位于該區間的概率，精確到0.0001）.

9．（2022年全國乙卷數學（理）真題）某地經過多年的環境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計一林區某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數據：
樣本號ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 總和
根部橫截面積 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材積量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并計算得．
(1)估計該林區這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
(2)求該林區這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數（精確到0.01）；
(3)現測量了該林區所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數據給出該林區這種樹木的總材積量的估計值．
附：相關系數．
10．（2021·北京·高考真題）在核酸檢測中, “k合1” 混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結果為陰性，得到每人的檢測結果都為陰性，檢測結束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測,得到每人的檢測結果，檢測結束.現對100人進行核酸檢測，假設其中只有2人感染新冠病毒，并假設每次檢測結果準確.（I）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數;(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設X是檢測的總次數，求X的分布列與數學期望E(X).(II）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設Y是檢測的總次數，試判斷數學期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結論不要求證明)
高頻考點1 求概率及隨機變量的分布列與期望
核心知識：求離散型隨機變量的分布列及期望的一般步驟：
（1）根據題中條件確定隨機變量的可能取值；
（2）求出隨機變量所有可能取值對應的概率，即可得出分布列；
（3）根據期望的概念，結合分布列，即可得出期望（在計算時，要注意隨機變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項分布等，可結合其對應的概率計算公式及期望計算公式，簡化計算）
典例1：（2024·河北邯鄲·高三校考階段練習）某學校為了學習、貫徹黨的二十大精神，組織了“二十大精神”知識比賽，甲、乙兩位教師進行答題比賽，每局只有1道題目，比賽時甲、乙同時回答這一個問題，若一人答對且另一人答錯，則答對者獲得10分，答錯者得分；若兩人都答對或都答錯，則兩人均得0分．根據以往答題經驗，每道題甲、乙答對的概率分別為，且甲、乙答對與否互不影響，每次答題的結果也互不影響．(1)求在一局比賽中，甲的得分的分布列與數學期望；
(2)設這次比賽共有3局，若比賽結束時，累計得分為正者最終獲勝，求乙最終獲勝的概率．
變式訓練
1.（2024·河南駐馬店·高三校聯考期末）一只螞蟻位于數軸處，這只螞蟻每隔一秒鐘向左或向右移動一個單位長度，設它向右移動的概率為，向左移動的概率為.
(1)已知螞蟻2秒后所在位置對應的實數為非負數，求2秒后這只螞蟻在處的概率；
(2)記螞蟻4秒后所在位置對應的實數為，求的分布列與期望.
2.（2024·遼寧葫蘆島·高三統考期末）某校高一年級開設建模，寫作，籃球，足球，音樂，朗誦，素描7門選修課，每位同學須彼此獨立地選3門課程，其中甲選擇籃球，不選擇足球，丙同學不選素描，乙同學沒有要求.(1)求甲同學選中建模且乙同學未選中建模的概率；(2)用表示甲、乙、丙選中建模的人數之和，求的分布列和數學期望.
高頻考點2 超幾何分布與二項分布
核心知識：超幾何分布與二項分布是兩個非常重要的、應用廣泛的概率模型，實際中的許多問題都可以利用這兩個概率模型來解決．
一般地，在含有件產品的件產品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發生的概率為，其中，且，稱超幾何分布列。
一般地，在次獨立重復試驗中，用表示事件發生的次數，設每次試驗中事件發生的概率為，則．此時稱隨機變量服從二項分布，記作，并稱為成功概率．此時有。
典例1：高三（1）班有名同學，在某次考試中總成績在分（含分）以上的有人：甲、乙、丙、丁；在分—分之間的有人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中數學成績超過分的有人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申.
(1)從該班同學中任選一人，求在數學成績超過分的條件下，總成績超過分的概率；
(2)從數學成績超過分的同學中隨機抽取人.①采取不放回抽樣方式抽取，記為成績在分—分之間的同學的個數，求的分布列和期望；②采取放回抽樣方式抽取，記為成績在分—分之間的同學的個數，求的值.（直接寫出結果）
變式訓練：
1.在某地區進行高中學生每周戶外運動調查，隨機調查了名高中學生戶外運動的時間（單位：小時），得到如下樣本數據的頻率分布直方圖.
(1)求的值，估計該地區高中學生每周戶外運動的平均時間；（同一組數據用該區間的中點值作代表）
(2)為進一步了解這名高中學生戶外運動的時間分配，在，兩組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現從這人中隨機抽取人進行訪談，記在內的人數為，求的分布列和期望；(3)以頻率估計概率，從該地區的高中學生中隨機抽取名學生，用“”表示這名學生中恰有名學生戶外運動時間在內的概率，當最大時，求的值.
2．同學們，你們知道排球比賽的規則和積分制嗎 其規則是：每局25分，達到24分時，比賽雙方必須相差2分，才能分出勝負；每場比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊先勝3局即獲勝，比賽結束）；比賽排名采用積分制，積分規則如下：比賽中，以3∶0或3∶1取勝的球隊積3分，負隊積0分；以3∶2取勝的球隊積2分，負隊積1分.甲、乙兩隊近期將要進行比賽，為預測它們的積分情況，收集了兩隊以往6局比賽成績：
1 2 3 4 5 6
甲 25 21 27 27 23 25
乙 18 25 25 25 25 17
假設用頻率估計概率，且甲，乙每局的比賽相互獨立.(1)估計甲隊每局獲勝的概率；
(2)如果甲、乙兩隊比賽1場，求甲隊的積分X的概率分布列和數學期望；
(3)如果甲、乙兩隊約定比賽2場，請比較兩隊積分相等的概率與的大小（結論不要求證明）.
高頻考點3 概率與其它知識的交匯問題
核心知識：在知識交匯處設計試題是高考命題的指導思想之一，概率作為高中數學具有實際應用背景的主要內容，除與實際應用問題相交匯，還常與排列組合、函數、數列等知識交匯．求解此類問題要充分理解題意．根據題中已知條件，聯系所學知識對已知條件進行轉化．這類題型具體來說有兩大類：
1、所給問題是以集合、函數、立體幾何、數列、向量等知識為載體的概率問題．求解時需要利用相關知識把所給問題轉化為概率模型，然后利用概率知識求解．
2、所給問題是概率問題，求解時有時需要把所求概率轉化為關于某一變量的函數，然后利用函數、導數知識進行求解；或者把問題轉化為與概率變量有關的數列遞推關系式，再通過構造特殊數列求通項或求和．
典例1：在三維空間中，單位立方體的頂點坐標可用三維坐標表示，其中.而在維空間中，單位立方體的頂點坐標可表示為維坐標，其中.在維空間中，設點，定義維向量，數量積，為坐標原點，即.
(1)在3維空間單位立方體中任取兩個不同頂點，求的概率；
(2)在維單位立方體中任取兩個不同頂點，記隨機變量.
（i）當時，若最大，求的值；（ii）求的分布列及期望值.
變式訓練：
2.為提高學生的思想政治覺悟，激發愛國熱情，增強國防觀念和國家安全意識，某校進行軍訓打靶競賽．規則如下：每人共有3次機會，擊中靶心得1分，否則得0分、已知甲選手第一槍擊中靶心的概率為，且滿足：如果第n次射擊擊中靶心概率為p，那么當第n次擊中靶心時，第次擊中靶心的概率也為p，否則第次擊中靶心的概率為．(1)求甲選手得分X的分布列及其數學期望；
(2)有如下定義：設X是一個隨機變量，x是任意實數，函數，稱為X的分布函數，對于任意實數，，有．因此，若已知X的分布函數，我們就知道X落在任一區間上的概率．（i）寫出（1）中甲選手得分X的分布函數（分段函數形式）；（ii）靶子是半徑為2的一個圓盤，設擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比，假如選手射擊都能中靶，以Y表示彈著點與圓心的距離．試求隨機變量Y的分布函數．
【變式3-1】（2024·江蘇南通·統考一模）已知正六棱錐的底面邊長為2，高為1．現從該棱錐的7個頂點中隨機選取3個點構成三角形，設隨機變量表示所得三角形的面積.
(1)求概率的值； (2)求的分布列，并求其數學期望．
2.（2024·廣東·統考一模）已知正四棱錐的底面邊長和高都為2.現從該棱錐的5個頂點中隨機選取3個點構成三角形，設隨機變量表示所得三角形的面積.
（1）求概率的值；（2）求隨機變量的概率分布及其數學期望.
高頻考點4 期望與方差的實際應用
核心知識：數學期望反映的是隨機變量取值的平均水平，而方差則是反映隨機變量取值在其平均值附近的離散程度．現代實際生活中，越來越多的決策需要應用數學期望與方差來對事件發生大小的可能性和穩定性進行評估，通過計算分析可以比較科學地得出各個方案的預期效果及出現偏差的大小，從而決定要選擇的最佳方案．（1）若我們希望實際的平均水平較理想，則先求隨機變量的期望，當時，不應認為它們一定一樣好，還需要用來比較這兩個隨機變量的方差，確定它們的偏離程度．
（2）若我們希望比較穩定性，應先考慮方差，再考慮均值是否相等或接近．
（3）方差不是越小就越好，而是要根據實際問題的需要來判斷．
典例1：（2024·山東濰坊·高三統考期末）某人從地到地有路程接近的2條路線可以選擇，其中第一條路線上有個路口，第二條路線上有個路口.(1)若，，第一條路線的每個路口遇到紅燈的概率均為；第二條路線的第一個路口遇到紅燈的概率為，第二個路口遇到紅燈的概率為，從“遇到紅燈次數的期望”考慮，哪條路線更好？請說明理由.(2)已知；隨機變量服從兩點分布，且，.則，且.若第一條路線的第個路口遇到紅燈的概率為，當選擇第一條路線時，求遇到紅燈次數的方差.
變式訓練：
1.（2024·北京順義·高三北京市順義區第一中學校考階段練習）為了解顧客對五種款式運動鞋的滿意度，廠家隨機選取了2000名顧客進行回訪，調查結果如表：
運動鞋款式 A B C D E
回訪顧客（人數） 700 350 300 250 400
滿意度
注：①滿意度是指：某款式運動鞋的回訪顧客中，滿意人數與總人數的比值；
②對于每位回訪顧客，只調研一種款式運動鞋的滿意度．假設顧客對各款式運動鞋是否滿意相互獨立，用顧客對某款式運動鞋的滿意度估計對該款式運動鞋滿意的概率．
(1)從所有的回訪顧客中隨機抽取1人，求此人是C款式運動鞋的回訪顧客且對該款鞋滿意的概率；
(2)從A、E兩種款式運動鞋的回訪顧客中各隨機抽取1人，設其中滿意的人數為，求的分布列和數學期望；(3)用“”和“”分別表示對A款運動鞋滿意和不滿意，用“”和“”分別表示對B款運動滿意和不滿意，試比較方差與的大小．（結論不要求證明）
2.（2024·北京海淀·高三統考期末）甲、乙、丙三人進行投籃比賽，共比賽10場，規定每場比賽分數最高者獲勝，三人得分（單位：分）情況統計如下：
場次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13
乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10
丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11
(1)從上述10場比賽中隨機選擇一場，求甲獲勝的概率；(2)在上述10場比賽中，從甲得分不低于10分的場次中隨機選擇兩場，設表示乙得分大于丙得分的場數，求的分布列和數學期望；
(3)假設每場比賽獲勝者唯一，且各場相互獨立，用上述10場比賽中每人獲勝的頻率估計其獲勝的概率.甲、乙、丙三人接下來又將進行6場投籃比賽，設為甲獲勝的場數，為乙獲勝的場數，為丙獲勝的場數，寫出方差，，的大小關系.
高頻考點5 正態分布與標準正態分布
核心知識：解決正態分布問題有三個關鍵點：（1）對稱軸標準差分布區間．利用對稱性可求指定范圍內的概率值；由，分布區間的特征進行轉化，使分布區間轉化為特殊區間，從而求出所求概率．注意在標準正態分布下對稱軸為．
典例1：（2024·河南開封·校聯考模擬預測）《山東省高考改革試點方案》規定：年高考總成績由語文、數學、外語三門統考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物六門選考科目組成，將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為、、、、、、、共8個等級，參照正態分布原則，確定各等級人數所占比例分別為、、、、、、、，選擇科目成績計入考生總成績時，將至等級內的考生原始成績，依照（、分別為正態分布的均值和標準差）分別轉換到、、、、、、、八個分數區間，得到考生的等級成績．如果山東省年某次學業水平模擬考試物理科目的原始成績，．(1)若規定等級、、、、、為合格，、為不合格，需要補考，估計這次學業水平模擬考試物理合格線的最低原始分是多少；(2)現隨機抽取了該省名參加此次物理學科學業水平測試的原始分，若這些學生的原始分相互獨立，記為被抽到的原始分不低于分的學生人數，求的數學期望和方差．附：當時，，．
變式訓練：
1.（2024·江蘇南通·高三校考階段練習）某大型公司招聘新員工，應聘人員簡歷符合要求之后進入考試環節.考試分為筆試和面試，只有筆試成績高于75分的考生才能進入面試環節，已知2023年共有1000人參加該公司的筆試，筆試成績.(1)從參加筆試的1000名考生中隨機抽取4人，求這4人中至少有一人進入面試的概率；(2)甲 乙 丙三名應聘人員進入面試環節，且他們通過面試的概率分別為.設這三名應聘人員中通過面試的人數為，求隨機變量的分布列和數學期望.
參考數據：若，則，
2.（2024·貴州銅仁·校聯考模擬預測）某地區教育局數學教研室為了了解本區高三學生一周用于數學學習時間的分布情況，做了全區8000名高三學生的問卷調查，現抽取其中部分問卷進行分析（問卷中滿時長為12小時），將調查所得學習時間分成，，，，，6組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）．
參考數據：若隨機變量服從正態分布，則，，．

(1)求a的值；(2)以樣本估計總體，該地區高三學生數學學習時間近似服從正態分布，試估計該地區高三學生數學學習時間在內的人數；(3)現采用分層抽樣的方法從樣本中學習時間在，內的學生隨機抽取8人，并從這8人中再隨機抽取3人作進一步分析，設3人中學習時間在內的人數為變量X，求X的期望．
高頻考點6 統計圖表及數字特征
核心知識：
1、制作頻率分布直方圖的步驟．
第一步：求極差，決定組數和組距，組距
第二步：分組，通常對組內數值所在區間取左閉右開區間，最后一組取閉區間；
第三步：登記頻數，計算頻率，列出頻率分布表；
第四步：畫頻率分布直方圖．
2、解決頻率分布直方圖問題時要抓住3個要點．
（1）直方圖中各小矩形的面積之和為1；
（2）直方圖中縱軸表示，故每組樣本的頻率為組距
（3）直方圖中每組樣本的頻數為頻率總體個數．
3、用頻率分布直方圖估計眾數、中位數、平均數的方法．
（1）眾數為頻率分布直方圖中最高矩形底邊中點的橫坐標；
（2）中位數為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標；
（3）平均數等于每個小矩形面積與小矩形底邊中點橫坐標之積的和．
典例1：睡眠是守衛健康的忠臣，小周同學就高三同學睡眠問題展開了一次調研活動：
* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合計/人
(3,4］ 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 6
(4,5］ 8 7 8 6 4 7 7 4 5 4
(5,6］ 8 12 10 8 17 16 12 13 12 12
(6,7］ 25 25 26 25 22 22 24 23 25 23 240
(7,8］ 6 6 7 7 5 4 5 6 7 7 60
(9,10］ 2 2 1 1 2 1 1 2 0 2
(1)小周同學調查了振興中學高三隨機十個班級的單個學生睡眠平均時長所在區間的人數分布，請補全這張統計表（橫向代表班級序號，縱向代表平均睡眠時長所在區間，框內數據代表人數）與直方圖并通過直方圖估計振興中學高三同學睡眠的分位數（作圖不要求寫出過程）；
(2)之后，小周同學收集了隨機名同學的具體平均睡眠時長，這些數據中男生有人，平均睡眠時長與睡眠時長方差分別為與；女生有人，平均睡眠時長與睡眠時長方差分別為與，請根據以上數據計算出這名同學的睡眠時長總方差.
(3)睡眠連續性得分是判斷睡眠質量的分數度量，一般算合格.臨近大型考試，小周同學用智能手表測出了考試前一周他的睡眠連續性得分，請根據圖表得出兩條有效信息并為他提出一條可行的睡眠建議.
變式訓練：
1.某景點奶茶店的甲、乙、丙三款奶茶在國慶黃金周期間的日銷售量數據，如下表（單位：杯）：
10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日
甲 60 65 66 65 67 66 63
乙 57 62 63 62 64 63 60
丙 55 60 61 60 62 61 58
(1)從10月1日至7日中隨機選取一天，求該天甲款奶茶日銷售量大于65杯的概率；(2)從乙、丙兩款奶茶的日銷售量數據中各隨機選取1個，這2個數據中大于60的個數記為，求的分布列和數學期望；(3)記乙款奶茶日銷售量數據的方差為，表格中所有的日銷售量數據的方差為，試判斷和的大小．（結論不要求證明）
2．某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數據如下：
舊設備 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新設備 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為 和，樣本方差分別記為 和．
(1)判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果，則認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）
(2)假設該廠計劃用新設備全面投產，若生產一系列產品的指標數據不少于10.3即為質量優秀產品，以表中的頻率估計概率，現從該廠生產的一批產品中隨機抽取100件產品進行質量抽檢，求抽檢的產品中質量優秀產品的件數ξ的數學期望.
高頻考點7 線性回歸與非線性回歸分析
核心知識：線性回歸分析的原理、方法和步驟：
（1）利用圖表和數字特征可以對數據做簡單的分析，但是用回歸直線方程可以對數據的未來值進行預測．在選取數據觀察的時候，要注意大量相對穩定的數據比不穩定的數據更有價值，近期的數據比過去久遠的數據更有價值．（2）判斷兩組數據是否具有線性相關關系的方法：散點圖，相關系數．（3）相關指數與相關系數在含有一個解釋變量的線性回歸模型中是等價的量，都是用來判斷線性回歸模型擬合效果好不好的量．（4）利用換元法，可以將一元非線性回歸轉化為線性回歸．
典例1：（2024·湖南衡陽·高三校聯考階段練習）為了加快實現我國高水平科技自立自強，某科技公司逐年加大高科技研發投入.下圖1是該公司2013年至2022年的年份代碼x和年研發投入y（單位：億元）的散點圖，其中年份代碼1 10分別對應年份2013 2022.

根據散點圖，分別用模型①，②作為年研發投入y（單位：億元）關于年份代碼x的經驗回歸方程模型，并進行殘差分析，得到圖2所示的殘差圖.結合數據，計算得到如下表所示的一些統計量的值：
75 2.25 82.5 4.5 120 28.35
表中，.
(1)根據殘差圖，判斷模型①和模型②哪一個更適宜作為年研發投入y（單位：億元）關于年份代碼x的經驗回歸方程模型 并說明理由；(2)（i）根據（1）中所選模型，求出y關于x的經驗回歸方程；（ii）設該科技公司的年利潤（單位：億元）和年研發投入y（單位：億元）滿足（且），問該科技公司哪一年的年利潤最大
附：對于一組數據，，…，，其經驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.
變式訓練：
1.（2024·四川成都·石室中學校考模擬預測）某醫科大學實習小組為研究實習地晝夜溫差與感冒人數之間的關系，分別到當地氣象部門和某醫院抄錄了1月至3月每月5日、20日的晝夜溫差情況與因感冒而就診的人數，得到如表資料：
日期 1月5日 1月20日 2月5日 2月20日 3月5日 3月20日
晝夜溫差x（℃） 10 11 13 12 8 6
就診人數y（個） 22 25 29 26 16 12
該小組確定的研究方案是：先從這6組數據中隨機選取4組數據求線性回歸方程，再用剩余的2組數據進行檢驗．參考公式：，．
(1)求剩余的2組數據都是20日的概率；(2)若選取的是1月20日、2月5日、2月20日、3月5日這4組數據．①請根據這4組數據，求出y關于x的線性回歸方程；②若某日的晝夜溫差為7℃，請預測當日就診人數．（結果保留整數）．
2.隨著國內人均消費水平的提高，居民的運動健身意識不斷增強，加之健康與解壓需求的增長，使得健身器材行業發展趨勢強勁，下表為年中國健身器材市場規模（單位：百億元），其中年年對應的代碼依次為.
年份代碼
中國健身器材市場規模
(1)由上表數據可知，可用指數型函數模型擬合與的關系，請建立關于的歸方程（，的值精確到）；(2)數據顯示年購買過體育用品類的中國消費者中購買過運動防護類的占比為，用頻率估計概率，現從年購買過體育用品類的中國消費者中隨機抽取人，記購買過運動防護類的消費者人數為，求的分布列及數學期望.
參考數據：
其中，. 參考公式：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.
高頻考點8 獨立性檢驗
核心知識：解獨立性檢驗應用問題的注意事項：（1）兩個明確：①明確兩類主體；②明確研究的兩個問題．（2）在列聯表中注意事件的對應及相關值的確定，不可混淆．（3）在實際問題中，獨立性檢驗的結論僅是一種數學關系表述，得到的結論有一定的概率出錯．（4）對判斷結果進行描述時，注意對象的選取要準確無誤，應是對假設結論進行的含概率的判斷，而非其他．
典例1：新能源汽車越來越引起廣大消費者的關注，目前新能源汽車的電池有石墨烯電池、三元鋰電池、鉛酸電池等，其中鉛酸電泡有技術成熟.成本較低、高倍率放電的特點，而石墨烯電池可以減少熱量對電池的損害，提高電池的使用壽命，石墨烯電池應用到新能源汽車上.對整個汽車行業將是根本性的改變.某公司為了了解消費者對兩種電池的電動車的偏好，在社會上隨機調查了500名駕駛者，年齡在60周歲以下的為年輕駕駛者，年齡在60周歲及以上的為中老年駕駛者，其中被調查的年輕駕駛者中偏好鉛酸電池車的占，得到以下的列聯表：
偏好石墨烯電池車 偏好鉛酸電池車 合計
中老年駕駛者 200 100
年輕的駕駛者
合計 S00
(1)根據以上數據，完成列聯表．依據小概率的獨立性檢驗，能否認為駕駛者對這兩種電池的電動車的偏好與年齡有關：(2)用頻率估計概率，在所有參加調查的駕駛者中按年輕駕駛者和中老年駕駛者進行分層抽樣，隨機抽取5名駕駛者，再從這5名駕駛者中隨機抽取2人進行座談，記2名參加座談的駕駛者中來自偏好石墨烯電池電動車的中老年駕駛者的人數為，求的分布列和數學期望．
參考公式：，其中．參考數據：
0．100 0．050 0．025 0．010 0．005 0．001
2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828
變式訓練：
1.“八段錦”，起源于北宋，已有八百多年的歷史. 古人把這套動作比喻為“錦”，意為五顏六色，美而華貴. 體現其動作舒展優美，視其為“祛病健身，效果極好，編排精致，動作完美”，此功法分為八段，每段一個動作，故名為“八段錦”. 作為傳統養生功法，對人體有著很多的益處. 為了繼續推廣“八段錦”，吸引更多的老年市民練習“八段錦”，促進老年市民的延年益壽，市老體協統計了全市的男性老年人和女性老年人(不小于 60 歲的均為老年人)練習“八段錦”的情況，采用簡單隨機抽樣的方法抽取了練習“八段錦”的 200 位老年人，得到了性別與年齡的有關數據，并整理得到以下列聯表：
類型 年齡 (歲) 合計
男性 36 111
女性 25
合計 200
(1)補全 列聯表，并依據小概率值 的獨立性檢驗，能否認為老年人的性別與年齡是否大于 65 歲有關聯 (2)在這 200 位老年人隨機抽取一位，求在該老人年齡大于 65 歲的情況下，為女性老年人的概率. 附： ，其中 .
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
2.隨機數廣泛應用于數據加密、安全通信、金融等領域.計算機中的隨機數是由算法產生的，其“隨機性”的優劣取決于所采用的算法.某工廠計劃生產一種隨機數發生器，這種發生器的顯示屏能顯示1，2，3，4中的一個數字，每按一次數字更新按鈕后，顯示屏上的數字將等可能地更新為另三個數字中的一個.在試生產階段，采用兩種不同算法，生產出相應算法的甲、乙兩種隨機數發生器.為評估兩種算法的優劣，從這兩種隨機數發生器中隨機抽取150件進行檢驗，得到數據餅圖如下：
(1)已知這150件發生器中，乙種發生器的三級品為2件.在答題卡中填寫列聯表；依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為甲、乙兩種發生器的一級品率存在差異
一級品 非一級品 合計
甲
乙
合計
(2)若發生器顯示屏的初始顯示數字為1，記按次數字更新按鈕后得到的數字為，.（i）求，；（ii）檢測一個發生器是否為一級品的方案為：每件被測發生器需進行100輪測試，每輪測試共按10次數字更新按鈕；表示100輪測試得到“”的頻率，規定滿足的被測發生器為一級品.若某件發生器經100輪測試后得到，能否判斷該發生器為一級品 附：，
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
高頻考點9 與體育比賽規則有關的概率問題
核心知識：
1、在與體育比賽規則有關的問題中，一般都會涉及分組，處理該類問題時主要借助于排列組合．對于分組問題，要注意平均分組與非平均分組，另外，在算概率時注意“直接法”與“間接法”的靈活運用．
2、與體育比賽有關的問題中最常見的就是輸贏問題，經常涉及“多人淘汰制問題”“ 三局兩勝制問題”“ 五局三勝制問題”“ 七局四勝制問題”，解決這些問題的關鍵是認識“三局兩勝制”“ 五局三勝制”等所進行的場數，贏了幾場與第幾場贏，用互斥事件分類，分析事件的獨立性，用分步乘法計數原理計算概率，在分類時要注意“不重不漏” ．
3、在體育比賽問題中，比賽何時結束也是經常要考慮的問題，由于比賽賽制已經確定，而比賽的平均場次不確定，需要對比賽的平均場次進行確定，常用的方法就是求以場數為隨機變量的數學期望，然后比較大小．
4、有些比賽會采取積分制，考查得分的分布列與數學期望是常考題型，解題的關鍵是辨別它的概率模型，常見的概率分布模型有：兩點分布、超幾何分布、二項分布、正態分布，要注意分布是相互獨立的，超幾何分布不是，值得注意的是，在比賽中往往是偽二項分布，有的只是局部二項分布．
典例1：（2024·福建福州·高三校考開學考試）第24屆冬季奧運會于2022年2月4日至20日在中國舉行，其中冰壺比賽項目是本屆奧運會的正式比賽項目之一，冰壺比賽的場地如圖所示，其中左端（投擲線的左側）有一個發球區，運動員在發球區邊沿的投擲線將冰壺擲出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有一圓形的營壘，以場上冰壺最終靜止時距離營壘區圓心O的遠近決定勝負．某學校冰壺隊舉行冰壺投擲測試，規則為：①每人至多投3次，先在點M處投第一次，冰壺進入營壘區得3分，未進營壘區不得分；②自第二次投擲開始均在點A處投擲冰壺，冰壺進入營壘區得2分，未進營壘區不得分；③測試者累計得分高于3分即通過測試，并立即終止投擲．已知投擲一次冰壺，甲得3分和2分的概率分別為0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分別為0.2和0.4，甲，乙每次投擲冰壺的結果互不影響．
(1)求甲通過測試的概率；(2)設為本次測試中乙的得分，求的分布列，
變式訓練：
1.某籃球俱樂部由籃球Ⅰ隊和Ⅱ隊組成.Ⅰ隊球員水平相對較高，代表俱樂部參加高級別賽事；Ⅱ隊是Ⅰ隊的儲備隊，由具有潛力的運動員組成.為考察Ⅰ隊的明星隊員甲對球隊的貢獻，教練對近兩年甲參加過的60場與俱樂部外球隊的比賽進行統計：甲在前鋒位置出場12次，其中球隊獲勝6次；中鋒位置出場24次，其中球隊獲勝16次；后衛位置出場24次，其中球隊獲勝18次.用該樣本的頻率估計概率，則：
(1)甲參加比賽時，求Ⅰ隊在某場與俱樂部外球隊比賽中獲勝的概率；(2)為備戰小組賽，Ⅰ隊和Ⅱ隊進行10場熱身賽，比賽沒有平局，獲勝得1分，失敗得0分.已知Ⅰ隊在每場比賽中獲勝的概率是p（），若比賽最有可能的比分是7∶3，求p的取值范圍；(3)現由Ⅰ隊代表俱樂部出戰小組賽，小組共6支球隊，進行單循環賽（任意兩支隊伍間均進行一場比賽），若每場比賽均派甲上場，在已知Ⅰ隊至少獲勝3場的條件下，記其獲勝的場數為X，求X的分布列和數學期望.
2.（2024·湖南長沙·高三校考階段練習）甲、乙兩人組成“虎隊”代表班級參加學校體育節的籃球投籃比賽活動，每輪活動由甲、乙兩人各投籃一次，在一輪活動中，如果兩人都投中，則“虎隊”得3分；如果只有一個人投中，則“虎隊”得1分；如果兩人都沒投中，則“虎隊”得0分.已知甲每輪投中的概率是，乙每輪投中的概率是；每輪活動中甲、乙投中與否互不影響.各輪結果亦互不影響.
（1）假設“虎隊”參加兩輪活動，求：“虎隊”至少投中3個的概率；（2）①設“虎隊”兩輪得分之和為，求的分布列；②設“虎隊”輪得分之和為，求的期望值.（參考公式）
高頻考點10 決策型問題
核心知識：求解決策型問題的求解流程為：
第一步：先確定函數關系式；第二步：列出分布列，求出期望；第三步：根據期望進行最后的決策．
典例1：（2024·山東·高三專題練習）在一個系統中，每一個設備能正常工作的概率稱為設備的可靠度，而系統能正常工作的概率稱為系統的可靠度，為了增加系統的可靠度，人們經常使用“備用冗余設備”（即正在使用的設備出故障時才啟動的設備）．已知某計算機網絡服務器系統采用的是“一用兩備”（即一臺正常設備，兩臺備用設備）的配置，這三臺設備中，只要有一臺能正常工作，計算機網絡就不會斷掉．系統就能正常工作．設三臺設備的可靠度均為，它們之間相互不影響．(1)要使系統的可靠度不低于0.992，求的最小值；(2)當時，求能使系統正常工作的設備數的分布列；
(3)已知某高科技產業園當前的計算機網絡中每臺設備的可靠度是0.7，根據以往經驗可知，計算機網絡斷掉可給該產業園帶來約50萬的經濟損失．為減少對該產業園帶來的經濟損失，有以下兩種方案：
方案1：更換部分設備的硬件，使得每臺設備的可靠度維持在0.8，更換設備硬件總費用為0.8萬元；
方案2：花費0.5萬元增加一臺可靠度是0.7的備用設備，達到“一用三備”．
請從經濟損失期望最小的角度判斷決策部門該如何決策？并說明理由．
變式訓練：
1.（2024·福建福州·高三校考階段練習）核酸檢測也就是病毒和的檢測，是目前病毒檢測最先進的檢驗方法，在臨床上主要用于新型冠狀乙肝 丙肝和艾滋病的病毒檢測.通過核酸檢測，可以檢測血液中是否存在病毒核酸，以診斷機體有無病原體感染.某研究機構為了提高檢測效率降低檢測成本，設計了如下試驗，預備份試驗用血液標本，從標本中隨機取出份分為一組，將樣本分成若干組，從每一組的標本中各取部分，混合后檢測，若結果為陰性，則判定該組標本均為陰性，不再逐一檢測；若結果為陽性，需對該組標本逐一檢測.以此類推，直到確定所有樣本的結果：份陽性，份陰性.若每次檢測費用為元（為常數），記檢測的總費用為元.(1)當時，求的分布列和數學期望.
(2)以檢測成本的期望值為依據，在與中選其一，應選哪個？
2.（2024·河北衡水·統考模擬預測）隨著移動網絡的飛速發展，人們的生活發生了很大變化，其中在購物時利用手機中的支付寶 微信等APP軟件進行掃碼支付也日漸流行開來.某商場對近幾年顧客使用掃碼支付的情況進行了統計，結果如下表：
年份 2016 2017 2018 2019 2020
年份代碼x 1 2 3 4 5
使用掃碼支付的人次y(單位：萬人) 5 12 16 19 21
（1）觀察數據發現，使用掃碼支付的人次y與年份代碼x的關系滿足經驗關系式：，通過散點圖可以發現y與x之間具有相關性.設，利用與x的相關性及表格中的數據求出y與x之間的回歸方程，并估計2021年該商場使用掃碼支付的人次；
（2）為提升銷售業績，該商場近期推出兩種付款方案：方案一：使用現金支付，每滿200元可參加1次抽獎活動，抽獎方法如下：在抽獎箱里有8個形狀 大小完全相同的小球(其中紅球有3個，黑球有5個)，顧客從抽獎箱中一次性摸出3個球，若摸到3個紅球，則打7折；若摸出2個紅球則打8折，其他情況不打折.方案二：使用掃碼支付，此時系統自動對購物的顧客隨機優惠，據統計可知，采用掃碼支付時有的概率享受8折優惠，有的概率享受9折優惠，有的概率享受立減10元優惠.若小張在活動期間恰好購買了總價為200元的商品.（i）求小張選擇方案一付款時實際付款額X的分布列與數學期望；
（ii）試比較小張選擇方案一與方案二付款，哪個方案更劃算？
附：最小二乘法估計公式：經過點的回歸直線為
相關數據：(其中.
高頻考點11 遞推型概率命題
核心知識：遞推型概率命題，綜合性較強，主要有以下類型：
1、求通項公式：關鍵與找出概率或數學期望的遞推關系式，然后根據構造法（一般構造等比數列），求出通項公式.
2、求和：主要與數列中的倒序求和錯位求和、裂項求和.
3、利用等差、等比數列的性質，研究單調性、最值或求極限.
典例1：（2024·山東·高三校考階段練習）某品牌女裝專賣店設計摸球抽獎促銷活動，每位顧客只用一個會員號登陸，每次消費都有一次隨機摸球的機會．已知顧客第一次摸球抽中獎品的概率為；從第二次摸球開始，若前一次沒抽中獎品，則這次抽中的概率為，若前一次抽中獎品，則這次抽中的概率為．記該顧客第n次摸球抽中獎品的概率為．(1)求的值，并探究數列的通項公式；
(2)求該顧客第幾次摸球抽中獎品的概率最大，請給出證明過程．
變式訓練：
1.（2024·貴州黔西·高三興義第一中學校聯考階段練習）馬爾科夫鏈是概率統計中的一個重要模型，因俄國數學家安德烈·馬爾科夫得名，其過程具備“無記憶”的性質，即第次狀態的概率分布只跟第次的狀態有關，與第，，，…次狀態無關，即.已知甲盒子中裝有2個黑球和1個白球，乙盒子中裝有2個白球，現從甲、乙兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子中，重復次這樣的操作.記甲盒子中黑球個數為，恰有2個黑球的概率為，恰有1個黑球的概率為.(1)求，和，；(2)證明：為等比數列（且）；
(3)求的期望（用表示，且）.
2.馬爾科夫鏈是概率統計中的一個重要模型，其過程具備“無記憶”的性質：下一狀態的概率分布只能由當前狀態決定，即第n＋1次狀態的概率分布只與第n次的狀態有關，與第，…次的狀態無關，即．已知甲盒中裝有1個白球和2個黑球，乙盒中裝有2個白球，現從甲、乙兩個盒中各任取1個球交換放入對方的盒中，重復n次（）這樣的操作，記此時甲盒中白球的個數為，甲盒中恰有2個白球的概率為，恰有1個白球的概率為．
(1)求和．(2)證明：為等比數列．(3)求的數學期望（用n表示）．
高頻考點12 條件概率、全概率公式、貝葉斯公式
核心知識：1、一般地，設，為兩個事件，且，稱為在事件發生的條件下，事件發生的條件概率．
2、全概率公式:
3、貝葉斯公式一般地，當且時，有
典例1：如圖所示，在研究某種粒子的實驗裝置中，有三個腔室，粒子只能從室出發經室到達室.粒子在室不旋轉，在室 室都旋轉，且只有上旋和下旋兩種狀態，粒子間的旋轉狀態相互獨立.粒子從室經過1號門進入室后，等可能的變為上旋或下旋狀態，粒子從室經過2號門進入室后，粒子的旋轉狀態發生改變的概率為.現有兩個粒子從室出發，先后經過1號門，2號門進入室，記室兩個粒子中，上旋狀態粒子的個數為.
(1)已知兩個粒子通過1號門后，恰有1個上旋狀態1個下旋狀態.若這兩個粒子通過2號門后仍然恰有1個上旋狀態1個下旋狀態的概率為，求；(2)若，求兩個粒子經過2號門后都為上旋狀態的概率；(3)求的分布列和數學期望.
變式訓練：
1.放行準點率是衡量機場運行效率和服務質量的重要指標之一．已知年該機場飛往地，地及其他地區（不包含，兩地）航班放行準點率的估計值分別為和，年該機場飛往地，地及其他地區的航班比例分別為，和.試解決一下問題：(1)現在從年在該機場起飛的航班中隨機抽取一個，求該航班準點放行的概率；(2)若年某航班在該機場準點放行，判斷該航班飛往地，地、其他地區等三種情況中的哪種情況的可能性最大，說明你的理由．
2.（2024·遼寧遼陽·高三統考期末）某中學選拔出20名學生組成數學奧賽集訓隊，其中高一學生有8名、高二學生有7名、高三學生有5名．(1)若從數學奧賽集訓隊中隨機抽取3人參加一項數學奧賽，求抽取的3名同學中恰有2名同學來自高一的概率．(2)現學校欲對數學奧賽集訓隊成員進行考核，考核規則如下：考核共4道題，前2道題答對每道題計1分，答錯計0分，后2道題答對每道題計2分，答錯計0分，累積計分不低于5分的學生為優秀學員．已知張同學前2道題每道題答對的概率均為，后2道題每道題答對的概率均為，是否正確回答每道題之間互不影響．記張同學在本次考核中累積計分為X，求X的分布列和數學期望，并求張同學在本次考核中獲得優秀學員稱號的概率．
1．（2024·山東·模擬預測）近年來，馬拉松比賽受到廣大體育愛好者的喜愛.某地體育局在五一長假期間舉辦比賽，志愿者的服務工作是成功舉辦的重要保障.現抽取了200名候選者的面試成績，并分成六組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，第六組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
男生 女生 合計
被錄取 20
未被錄取
合計
(1)求；(2)估計候選者面試成績的平均數（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；
(3)在抽出的200名候選者的面試成績中，若規定分數不低于80分的候選者為被錄取的志愿者，已知這200名候選者中男生與女生人數相同，男生中有20人被錄取，請補充列聯表，并判斷是否有的把握認為“候選者是否被錄取與性別有關”.附：，其中.
0.05 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
2．（2024·湖南邵陽·三模）某市開展“安全隨我行”活動，交警部門在某個交通路口增設電子抓拍眼，并記錄了某月該路口連續10日騎電動摩托車未佩戴頭盔的人數與天數的情況，對統計得到的樣本數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值.
5.5 8.7 1.9 301 385 79.75
表中，.(1)依據散點圖推斷，與哪一個更適合作為未佩戴頭盔人數與天數的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)依據（1）的結果和上表中的數據求出關于的回歸方程.(3)為了解佩戴頭盔情況與性別的關聯性，交警對該路口騎電動摩托車市民進行調查，得到如下列聯表：
性別 佩戴頭盔 合計
不佩戴 佩戴
女性 8 12 20
男性 14 6 20
合計 22 18 40
依據的獨立性檢驗，能否認為市民騎電動摩托車佩戴頭盔與性別有關聯？
參考公式：，，，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
3．（2024·江西九江·三模）車胎凹槽深度是影響汽車剎車的因素，汽車行駛會導致輪胎胎面磨損.某實驗室通過實驗測得轎車行駛里程與某品牌輪胎凹槽深度的數據，如下表所示：
行駛里程萬 0.0 0.4 1.0 1.6 2.4 2.8 3.4 4.4
輪胎凹槽深度 8.0 7.8 7.2 6.2 5.6 4.8 4.4 4.0
(1)求該品牌輪胎凹槽深度與行駛里程的相關系數，并判斷二者之間是否具有很強的線性相關性；（結果保留兩位有效數字）；(2)根據我國國家標準規定：轎車輪胎凹槽安全深度為（當凹槽深度低于時剎車距離增大，駕駛風險增加，必須更換新輪胎）.某人在保養汽車時將小轎車的輪胎全部更換成了該品牌的新輪胎，請問在正常行駛情況下，更換新輪胎后繼續行駛約多少公里需對輪胎再次更換？
附：變量與的樣本相關系數；對于一組數據，，其線性回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為：.
4．（2024·河南鄭州·三模）按照《中華人民共和國環境保護法》的規定，每年生態環境部都會會同國家發展改革委等部門共同編制《中國生態環境狀況公報》，并向社會公開發布．下表是2017-2021年五年《中國生態環境狀況公報》中酸雨區面積約占國土面積的百分比：
年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年
年份代碼 1 2 3 4 5
6.4 5.5 5.0 4.8 3.8
(1)求2017—2021年年份代碼與的樣本相關系數（精確到0.01）；(2)請用樣本相關系數說明該組數據中與之間的關系可用一元線性回歸模型進行描述，并求出關于的經驗回歸方程；(3)預測2024年的酸雨區面積占國土面積的百分比．（回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：
附：樣本相關系數，．
5．（2024·重慶九龍坡·三模）在一場乒乓球賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采用“雙敗淘汰制”，具體賽制為：首先四人抽簽兩兩對陣，勝者進入“勝區”，敗者進入“敗區”；接下來，“勝區”的兩人對陣，勝者進入最后決賽；“敗區”的兩個對陣，敗者直接淘汰出局并獲得第四名；緊接著“敗區”的勝者和“勝區”的“敗者”對陣，勝者晉級到最后的決賽，敗者獲得第三名：最后，剩下的兩人進行最后的冠軍決賽，勝者獲得冠軍，敗者獲得第二名.甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為，且不同對陣結果相互獨立.
(1)若，第一輪由甲對陣乙，丙對陣丁.①求甲獲得第四名的概率；②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場數的數學期望.(2)除“雙敗淘汰制”外，也經常采用“單敗淘汰制”：四人抽簽決定兩兩對陣，兩場比賽的勝者晉級到冠軍決賽，敗者參加三、四名比賽，哪種賽制對甲奪冠有利？請說明理由.
6．（2024·新疆喀什·三模）某企業監控汽車零件的生產過程，現從汽車零件中隨機抽取100件作為樣本，測得質量差（零件質量與標準質量之差的絕對值）的樣本數據如下表：
質量差（單位：） 54 58 60 63 64
件數（單位：件） 5 25 45 20 5
(1)求樣本質量差的平均數；假設零件的質量差，其中，用作為的近似值，求的值；(2)已知該企業共有兩條生產汽車零件的生產線，其中第1條生產線和第2條生產線生產的零件件數比是3:1．若第1、2條生產線的廢品率分別為0.004和0.008，且這兩條生產線是否產出廢品是相獨立的．現從該企業生產的汽車零件中隨機抽取一件．（ⅰ）求抽取的零件為廢品的概率；（ⅱ）若抽取出的零件為廢品，求該廢品來自第1條生產線的概率．
參考數據：若隨機變量，則，，
7．（2024·安徽合肥·三模）在2024年高考前夕，合肥一六八中學東校區為了舒展年級學子身心，緩解學子壓力，在一周內（周一到周五）舉行了別開生面“舞動青春，夢想飛揚”的競技活動，每天活動共計有兩場，第一場獲勝得3分，第二場獲勝得2分，無論哪一場失敗均得1分，某同學周一到周五每天都參加了兩場的競技活動，已知該同學第一場和第二場競技獲勝的概率分別為、，且各場比賽互不影響．(1)若，記該同學一天中參加此競技活動的得分為，求的分布列和數學期望；(2)設該同學在一周5天的競技活動中，恰有3天每天得分不低于4分的概率為，試求當取何值時，取得最大值．
8．（2024·北京西城·三模）根據2024城市魅力排行榜，一線城市4個，分別為：上海、北京、深圳、廣州；新一線城市15個，分別為：成都、杭州、重慶、蘇州、武漢、西安、南京、長沙、天津、鄭州、東莞、無錫、寧波、青島、合肥.其中城區常住人口超過一千萬的超大城市10個，分別為：上海、北京、深圳、重慶、 廣州、成都、天津、東莞、武漢、杭州.
(1)從10個超大城市中隨機抽取一座城市，求該城市是一線城市的概率；
(2)從10個超大城市按不可放回抽樣的方式隨機抽取3個城市，隨機變量X表示新一線城市的數量，求隨機變量X的分布列和期望；(3)從10個超大城市中按可放回抽樣的方式隨機抽取3個城市，隨機變量Y表示新一線城市的數量，比較E（X）與E（Y）的大小關系.（直接寫出結果）
9．（2024·山東青島·三模）為了研究高三年級學生的性別和身高是否大于 的關聯性，隨機調查了某中學部分高三年級的學生，整理得到如下列聯表 （單位:人):
性別 身高 合計
低于 不低于
女 14 5 19
男 8 10 18
合計 22 15 37
(1)依據 的獨立性檢驗，能否認為該中學高三年級學生的性別與身高有關聯
(2)從身高不低于的15 名學生中隨機抽取三名學生，設抽取的三名學生中女生人數為，求的分布列及期望.(3)若低于的8 名男生身高數據的平均數為，方差為，不低于的10名男生身高數據的平均數為，方差為 .請估計該中學男生身高數據的平均數和方差.
附: .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
10．（2024·廣東汕頭·三模）11分制乒乓球比賽規則如下：在一局比賽中，每兩球交換發球權，每贏一球得1分，先得11分且至少領先2分者勝，該局比賽結束：當某局比分打成10∶10后，每球交換發球權，領先2分者勝，該局比賽結束現有甲、乙兩人進行一場五局三勝、每局11分制的乒乓球比賽，比賽開始前通過拋擲一枚質地均勻的硬幣來確定誰先發球假設甲發球時甲得分的概率為，乙發球時甲得分的概率為，各球的比賽結果相互獨立，且各局的比賽結果也相互獨立．(1)若每局比賽甲獲勝的概率，求該場比賽甲獲勝的概率.(2)已知第一局目前比分為10∶10，求（ⅰ）再打兩個球甲新增的得分的分布列和均值；（ⅱ）第一局比賽甲獲勝的概率；
11．（2024·浙江紹興·三模）如圖是一個各棱長均為1米的正四棱錐，現有一只電子蛐蛐在棱上爬行，每次從一個頂點開始，等可能地沿棱爬到相鄰頂點，已知電子蛐蛐初始從頂點出發，再次回到頂點時停止爬行.(1)求電子蛐蛐爬行2米后恰好回到頂點的概率；(2)在電子蛐蛐停止爬行時爬行長度不超過4米的條件下，記爬行長度為，求的分布列及其數學期望；(3)設電子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行（首次回到頂點）的概率記為，求（用表示）.
12．為了讓高三同學們在緊張的學習之余放松身心，緩解壓力，激發同學們的競爭意識，培養積極向上的心態，為高三生活增添一抹別樣的色彩，某校高三（1）班利用課余時間開展一次投籃趣味比賽．已知該班甲同學每次投籃相互獨立，每次投籃命中的概率為，且次投籃至少命中次的概率為．
(1)求；(2)若甲同學連續投籃次，每次投進記分，未投進記分，記甲同學的總得分為，求的分布列和數學期望；(3)若甲同學投籃時出現命中就停止投籃，且最多投籃次，設隨機變量為投籃的次數，證明：．
13.（2024·河南南陽·高三校考階段練習）假設某市大約有800萬網絡購物者，某電子商務公司對該地區n名網絡購物者某年度上半年前6個月內的消費情況進行統計，發現消費金額（單位：萬元）都在區間內，其頻率分布直方圖如圖所示，若頻率分布直方圖中的a，b，c，d滿足，且從左到右6個小矩形依次對應第一至六小組，第五小組的頻數為2400．
(1)求a，b，c，d的值；(2)現用分層抽樣方法從前4組中選出18人進行網絡購物愛好調查，
①求在各組應該抽取的人數；②在前2組所抽取的人中，再隨機抽取3人，記這3人來自第一組的人數為X，求隨機變量X的分布列與數學期望．
14.（2024·云南昆明·統考一模）聊天機器人（chatterbot）是一個經由對話或文字進行交談的計算機程序.當一個問題輸入給聊天機器人時，它會從數據庫中檢索最貼切的結果進行應答.在對某款聊天機器人進行測試時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則應答被采納的概率為80%，若出現語法錯誤，則應答被采納的概率為30%.假設每次輸入的問題出現語法錯誤的概率為10%.(1)求一個問題的應答被采納的概率；(2)在某次測試中，輸入了8個問題，每個問題的應答是否被采納相互獨立，記這些應答被采納的個數為，事件（）的概率為，求當最大時的值.
15.（2024·江蘇蘇州·校聯考模擬預測）為不斷改進勞動教育，進一步深化勞動教育改革，現從某單位全體員工中隨機抽取3人做問卷調查.已知某單位有N名員工，其中是男性，是女性.
(1)當時，求出3人中男性員工人數X的分布列和數學期望；
(2)我們知道，當總量N足夠大而抽出的個體足夠小時，超幾何分布近似為二項分布.現在全市范圍內考慮.從N名員工（男女比例不變）中隨機抽取3人，在超幾何分布中男性員工恰有2人的概率記作；有二項分布中（即男性員工的人數）男性員工恰有2人的概率記作.那么當N至少為多少時，我們可以在誤差不超過0.001（即）的前提下認為超幾何分布近似為二項分布.（參考數據：）
16.（2024·全國·模擬預測）乒乓球被稱為我國的“國球”，是一種深受人們喜愛的球類體育項目．在某高校運動會的女子乒乓球單打半決賽階段，規定：每場比賽采用七局四勝制，率先取得四局比賽勝利的選手獲勝，且該場比賽結束．已知甲、乙兩名運動員進行了一場比賽，且均充分發揮出了水平，其中甲運動員每局比賽獲勝的概率為，每局比賽無平局，且每局比賽結果互不影響．(1)若前三局比賽中，甲至少贏得一局比賽的概率為，求乙每局比賽獲勝的概率；(2)若前三局比賽中甲只贏了一局，設這場比賽結束還需要比賽的局數為，求的分布列和數學期望，并求當為何值時，最大．
17．組合投資需要同時考慮風險與收益．為了控制風險需要組合低風險資產，為了擴大收益需要組合高收益資產，現有兩個相互獨立的投資項目A和B，單獨投資100萬元項目A的收益記為隨機變量X，單獨投資100萬元項目B的收益記為隨機變量Y．若將100萬資金按進行組合投資，則投資收益的隨機變量Z滿足，其中．假設在組合投資中，可用隨機變量的期望衡量收益，可用隨機變量的方差衡量風險.(1)若，，求Z的期望與方差；
(2)已知隨機變量X滿足分布列：
X … …
… …
隨機變量Y滿足分布列：
Y … …
… …
且隨機變量X與Y相互獨立，即，，．求證：；
(3)若投資項目X是高收益資產，其每年的收益滿足：有30%的可能虧損當前資產的一半；有70%的可能增值當前資產的一倍．投資項目是低風險資產，滿足．試問能否滿足投資第1年的收益不低于17萬，風險不高于500？請說明理由．
18.高中生堅持跑操有利于增強體質．某高中實踐活動小組經過調查所在學校學生堅持跑操的次數與綜合體測成績等信息，得到如下數據：該學校有的學生每月平均堅持跑操的次數超過40次，這些學生中，綜合體測成績達到“及格”等級的概率為，而每月平均堅持跑操的次數不超過40次的學生的綜合體測成績達到“及格”等級的概率為．(1)若從該學校任意抽取一名學生，求該學生綜合體測成績達到“及格”等級的概率；(2)已知該實踐活動小組的6名學生中有4名學生綜合體測成績達到“及格”等級，從這6名學生中抽取2名學生，記為抽取的這2名學生中綜合體測成績達到“及格”等級的人數，求隨機變量的分布列和數學期望．(3)經統計：該校學生綜合體測得分近似服從正態分布，若得分，則綜合體測成績達到“優秀”等級，假設學生之間綜合體測成績相互獨立．現從該校所有學生中抽取40名學生，記為這40名學生中綜合體測成績達到“優秀”等級的人數，求的數學期望．（結果四舍五入保留整數）
參考數據：若隨機變量服從正態分布，則，，
19．2023年3月某學校舉辦了春季科技體育節，其中安排的女排賽事共有12個班級作為參賽隊伍，本次比賽啟用了新的排球用球已知這種球的質量指標（單位：g）服從正態分布，其中，.比賽賽制采取單循環方式，即每支球隊進行11場比賽，最后靠積分選出最后冠軍，積分規則如下（比賽采取5局3勝制）：比賽中以3：0或3：1取勝的球隊積3分，負隊積0分；而在比賽中以3：2取勝的球隊積2分，負隊積1分.9輪過后，積分榜上的前2名分別為1班排球隊和2班排球隊，1班排球隊積26分，2班排球隊積22分.第10輪1班排球隊對抗3班排球隊，設每局比賽1班排球隊取勝的概率為.(1)令，則，且，求，并證明：；(2)第10輪比賽中，記1班排球隊3：1取勝的概率為，求出的最大值點，并以作為的值，解決下列問題.（ⅰ）在第10輪比賽中，1班排球隊所得積分為，求的分布列；
（ⅱ）已知第10輪2班排球隊積3分，判斷1班排球隊能否提前一輪奪得冠軍（第10輪過后，無論最后一輪即第11輪結果如何，1班排球隊積分最多）？若能，求出相應的概率；若不能，請說明理由.
參考數據：，則，，.
20．在一個系統中，每一個設備能正常工作的概率稱為設備的可靠度，而系統能正常工作的概率稱為系統的可靠度，為了增加系統的可靠度，人們經常使用“備用冗余設備”（即正在使用的設備出故障時才啟動的設備）．已知某計算機網絡服務器系統采用的是“一用兩備”（即一臺正常設備，兩臺備用設備）的配置，這三臺設備中，只要有一臺能正常工作，計算機網絡就不會斷掉．系統就能正常工作．設三臺設備的可靠度均為，它們之間相互不影響．(1)要使系統的可靠度不低于0.992，求的最小值；(2)當時，求能使系統正常工作的設備數的分布列；(3)已知某高科技產業園當前的計算機網絡中每臺設備的可靠度是0.7，根據以往經驗可知，計算機網絡斷掉可給該產業園帶來約50萬的經濟損失．為減少對該產業園帶來的經濟損失，有以下兩種方案：
方案1：更換部分設備的硬件，使得每臺設備的可靠度維持在0.8，更換設備硬件總費用為0.8萬元；
方案2：花費0.5萬元增加一臺可靠度是0.7的備用設備，達到“一用三備”．
請從經濟損失期望最小的角度判斷決策部門該如何決策？并說明理由．
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6.3 概率與統計的綜合運用解答題
考點分布 考查頻率 命題趨勢
統計綜合： 統計圖表及數字特征、獨立性檢驗、線性擬合 2024年甲卷17題，12分 2023年乙卷第17題，12分 2023年II卷第19題，12分 2023年甲卷第17題，12分 2022年I卷第20題，12分 2022年II卷第19題，12分 預測2025年高考，概率與統計綜合問題以解答題形式出現，概率統計在高考中扮演著很重要的角色，概率統計解答題是新高考卷及多數省市高考數學必考內容，考查熱點為古典概型、相互獨立事件的概率、條件概率、超幾何分布、二項分布、正態分布、統計圖表與數字特征、回歸分析、離散型隨機變量的分布列、期望與方差的實際應用等。
概率綜合： 古典概型、條件概率、全概率公式、分布列、期望與方差 2024年II卷第18題，17分 2024年北京卷第18題，17分 2023年I卷第21題，12分 2023年上海卷第19題，14分 2022年甲卷第19題，12分
從近幾年的高考試題，可以看出概率統計解答題，大多緊密結合社會實際，以現實生活為背景設置試題，注重知識的綜合應用與實際應用，作為考查實踐能力的重要載體，命題者要求考生會收集，整理、分析數據，能從大量數據中抽取對研究問題有用的信息，建立數學模型，再應用數學原理和數學工具解決實際問題．
1．（2024新高考Ⅱ卷·18）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成員為0分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段，由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績為第二階段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．(2)假設，（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙，所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？
【答案】(1)(2)（i）由甲參加第一階段比賽；（i）由甲參加第一階段比賽；
【詳解】（1）甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1次，比賽成績不少于5分的概率.
（2）（i）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率為，
若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率為，
，
，
，應該由甲參加第一階段比賽.
(ii)若甲先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，
，，
，，
記乙先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，同理
，
因為，則，，則，
應該由甲參加第一階段比賽.
2．（2024年北京高考數學真題18）某保險公司為了了解該公司某種保險產品的索賠情況，從合同險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數據如下表：
賠償次數 0 1 2 3 4
單數
假設：一份保單的保費為0.4萬元；前3次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元.假設不同保單的索賠次數相互獨立.用頻率估計概率.
(1)估計一份保單索賠次數不少于2的概率；(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.
（i）記為一份保單的毛利潤，估計的數學期望；
（ⅱ）如果無索賠的保單的保費減少，有索賠的保單的保費增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數學期望估計值與（i）中估計值的大小．（結論不要求證明）
【答案】(1)(2)(i)0.122萬元；(ii) 這種情況下一份保單毛利潤的數學期望估值大于（i）中估計值
【詳解】（1）設為“隨機抽取一單，賠償不少于2次”，
由題設中的統計數據可得.
（2）（ⅰ）設為賠付金額，則可取，
由題設中的統計數據可得，
，，，
故 故（萬元）.
（ⅱ）由題設保費的變化為，
故（萬元），從而.
3．（2024年全國甲卷17）某工廠進行生產線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產品中隨機抽取150件進行檢驗，數據如下：
優級品 合格品 不合格品 總計
甲車間 26 24 0 50
乙車間 70 28 2 100
總計 96 52 2 150
(1)填寫如下列聯表：
優級品 非優級品
甲車間
乙車間
能否有的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異？能否有的把握認為甲，乙兩車間產品的優級品率存在差異？(2)已知升級改造前該工廠產品的優級品率，設為升級改造后抽取的n件產品的優級品率.如果，則認為該工廠產品的優級品率提高了，根據抽取的150件產品的數據，能否認為生產線智能化升級改造后，該工廠產品的優級品率提高了？（）
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)答案見詳解(2)答案見詳解
【詳解】（1）根據題意可得列聯表：
優級品 非優級品
甲車間 26 24
乙車間 70 30
可得，因為，所以有的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異，沒有的把握認為甲，乙兩車間產品的優級品率存在差異.
（2）由題意可知：生產線智能化升級改造后，該工廠產品的優級品的頻率為，
用頻率估計概率可得，又因為升級改造前該工廠產品的優級品率，
則，可知，
所以可以認為生產線智能化升級改造后，該工廠產品的優級品率提高了.
4．（2023新高考Ⅰ卷·21）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數為，求．
【答案】(1)(2)(3)
【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，
所以，.
（2）設，依題可知，，則，
即，構造等比數列，
設，解得，則，
又，所以是首項為，公比為的等比數列，
即．
（3）因為，，所以當時，，故．
5．（2023年新高考Ⅱ卷數學真題）某研究小組經過研究發現某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異，經過大量調查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設數據在組內均勻分布，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率．
(1)當漏診率％時，求臨界值c和誤診率；
(2)設函數，當時，求的解析式，并求在區間的最小值．
【解析】（1）依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為，所以，
所以，解得：，．
（2）當時， ；
當時， ,
故，所以在區間的最小值為．
6．（2023年全國乙卷數學真題）某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產品的伸縮率分別記為，．試驗結果如下：
試驗序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸縮率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸縮率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
記，記的樣本平均數為，樣本方差為．
(1)求，；(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高）
【解析】（1），
，，
的值分別為: ，故
（2）由（1）知:，，故有,
所以認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高.
7．（2022新高考Ⅰ卷·20）一醫療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣（衛生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人（稱為對照組），得到如下數據：
不夠良好 良好
病例組 40 60
對照組 10 90
(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異？
(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R．
（ⅰ）證明：；（ⅱ）利用該調查數據，給出的估計值，并利用（ⅰ）的結果給出R的估計值．
附，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)答案見解析(2)（i）證明見解析；(ii)；
【詳解】（1）由已知，
又，，
所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異.
（2）(i)因為，
所以所以，
(ii) 由已知，，
又，，所以
8．（2022新高考Ⅱ卷·19）在某地區進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數據的頻率分布直方圖：
(1)估計該地區這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；(2)估計該地區一位這種疾病患者的年齡位于區間的概率；(3)已知該地區這種疾病的患病率為，該地區年齡位于區間的人口占該地區總人口的.從該地區中任選一人，若此人的年齡位于區間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數據中患者的年齡位于各區間的頻率作為患者的年齡位于該區間的概率，精確到0.0001）.

【答案】(1)歲；(2)；(3)．
【詳解】（1）平均年齡
（歲）．
（2）設{一人患這種疾病的年齡在區間}，所以
．
（3）設“任選一人年齡位于區間[40,50)”，“從該地區中任選一人患這種疾病”，
則由已知得：,
則由條件概率公式可得從該地區中任選一人，若此人的年齡位于區間，此人患這種疾病的概率為．
9．（2022年全國乙卷數學（理）真題）某地經過多年的環境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計一林區某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數據：
樣本號ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 總和
根部橫截面積 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材積量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并計算得．
(1)估計該林區這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
(2)求該林區這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數（精確到0.01）；
(3)現測量了該林區所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數據給出該林區這種樹木的總材積量的估計值．
附：相關系數．
【解析】（1）樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值
樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值
據此可估計該林區這種樹木平均一棵的根部橫截面積為，平均一棵的材積量為
（2）
則
（3）設該林區這種樹木的總材積量的估計值為，
又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，可得，解之得．
則該林區這種樹木的總材積量估計為
10．（2021·北京·高考真題）在核酸檢測中, “k合1” 混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結果為陰性，得到每人的檢測結果都為陰性，檢測結束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測,得到每人的檢測結果，檢測結束.現對100人進行核酸檢測，假設其中只有2人感染新冠病毒，并假設每次檢測結果準確.（I）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數;(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設X是檢測的總次數，求X的分布列與數學期望E(X).(II）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設Y是檢測的總次數，試判斷數學期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結論不要求證明)
【答案】（1）①次；②分布列見解析；期望為；（2）．
【詳解】（1）①對每組進行檢測，需要10次；再對結果為陽性的組每個人進行檢測，需要10次；
所以總檢測次數為20次；
②由題意，可以取20，30，，，
則的分布列:
所以；
（2）由題意，可以取25，30，
兩名感染者在同一組的概率為，不在同一組的概率為，
則.
高頻考點1 求概率及隨機變量的分布列與期望
核心知識：求離散型隨機變量的分布列及期望的一般步驟：
（1）根據題中條件確定隨機變量的可能取值；
（2）求出隨機變量所有可能取值對應的概率，即可得出分布列；
（3）根據期望的概念，結合分布列，即可得出期望（在計算時，要注意隨機變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項分布等，可結合其對應的概率計算公式及期望計算公式，簡化計算）
典例1：（2024·河北邯鄲·高三校考階段練習）某學校為了學習、貫徹黨的二十大精神，組織了“二十大精神”知識比賽，甲、乙兩位教師進行答題比賽，每局只有1道題目，比賽時甲、乙同時回答這一個問題，若一人答對且另一人答錯，則答對者獲得10分，答錯者得分；若兩人都答對或都答錯，則兩人均得0分．根據以往答題經驗，每道題甲、乙答對的概率分別為，且甲、乙答對與否互不影響，每次答題的結果也互不影響．(1)求在一局比賽中，甲的得分的分布列與數學期望；
(2)設這次比賽共有3局，若比賽結束時，累計得分為正者最終獲勝，求乙最終獲勝的概率．
【解析】（1）取值可能為，；
；，所以的分布列為
0 10
．
（2）由（1）可知在一局比賽中，乙獲得10分的概率為，乙獲得0分的概率為，乙獲得分的概率為．
在3局比賽中，乙獲得30分的概率為；
在3局比賽中，乙獲得20分的概率為；
在3局比賽中，乙獲得10分的概率為，
所以乙最終獲勝的概率為．
變式訓練
1.（2024·河南駐馬店·高三校聯考期末）一只螞蟻位于數軸處，這只螞蟻每隔一秒鐘向左或向右移動一個單位長度，設它向右移動的概率為，向左移動的概率為.
(1)已知螞蟻2秒后所在位置對應的實數為非負數，求2秒后這只螞蟻在處的概率；
(2)記螞蟻4秒后所在位置對應的實數為，求的分布列與期望.
【解析】（1）記螞蟻2秒后所在位置對應的實數為非負數為事件，記2秒后這只螞蟻在處的概率為事件，則
故所求的概率為.
（2）由題意知可能的取值為，
則，
則的分布列為
0 2 4
2.（2024·遼寧葫蘆島·高三統考期末）某校高一年級開設建模，寫作，籃球，足球，音樂，朗誦，素描7門選修課，每位同學須彼此獨立地選3門課程，其中甲選擇籃球，不選擇足球，丙同學不選素描，乙同學沒有要求.(1)求甲同學選中建模且乙同學未選中建模的概率；(2)用表示甲、乙、丙選中建模的人數之和，求的分布列和數學期望.
【解析】（1）由題意，甲選擇籃球，并在建模，寫作，音樂，朗誦，素描5門里再選2門，則選中建模的概率為；乙同學沒有要求，則選中建模的概率為.
故甲同學選中建模且乙同學未選中建模的概率為.
（2）由（1）甲選中建模的概率為，乙選中建模的概率為，丙選中建模的概率為，
由題意可能的取值有0，1，2，3，故，
，
，.
故的分布列：
0 1 2 3
.
高頻考點2 超幾何分布與二項分布
核心知識：超幾何分布與二項分布是兩個非常重要的、應用廣泛的概率模型，實際中的許多問題都可以利用這兩個概率模型來解決．
一般地，在含有件產品的件產品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發生的概率為，其中，且，稱超幾何分布列。
一般地，在次獨立重復試驗中，用表示事件發生的次數，設每次試驗中事件發生的概率為，則．此時稱隨機變量服從二項分布，記作，并稱為成功概率．此時有。
典例1：高三（1）班有名同學，在某次考試中總成績在分（含分）以上的有人：甲、乙、丙、丁；在分—分之間的有人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中數學成績超過分的有人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申.
(1)從該班同學中任選一人，求在數學成績超過分的條件下，總成績超過分的概率；
(2)從數學成績超過分的同學中隨機抽取人.①采取不放回抽樣方式抽取，記為成績在分—分之間的同學的個數，求的分布列和期望；②采取放回抽樣方式抽取，記為成績在分—分之間的同學的個數，求的值.（直接寫出結果）
【解析】（1）解法一：記事件所抽取的學生的數學成績超過分，則，
記事件所抽取的學生的總成績超過分，則，所以.
即任取一人，在數學成績超過分的條件下，總成績超過分的概率為；
解法二：數學成績超過分的有人，其中包含總成績超過分以上的有人，
所以任取一人，在數學成績超過分的條件下，總成績超過分的概率為
（2）①名數學成績超過分的同學包含個總成績在分之間的，
所以所有可能的取值為：、、、，
，，
，.所以的分布列為：
.
②名數學成績超過分的同學包含個總成績在分之間的，
按可放回抽樣的方式隨機抽取，則隨機變量，所以.
變式訓練：
1.在某地區進行高中學生每周戶外運動調查，隨機調查了名高中學生戶外運動的時間（單位：小時），得到如下樣本數據的頻率分布直方圖.
(1)求的值，估計該地區高中學生每周戶外運動的平均時間；（同一組數據用該區間的中點值作代表）
(2)為進一步了解這名高中學生戶外運動的時間分配，在，兩組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現從這人中隨機抽取人進行訪談，記在內的人數為，求的分布列和期望；(3)以頻率估計概率，從該地區的高中學生中隨機抽取名學生，用“”表示這名學生中恰有名學生戶外運動時間在內的概率，當最大時，求的值.
【解析】（1）由已知，解得，
所以平均數為.
（2）這名高中學生戶外運動的時間分配，
在，兩組內的學生分別有人，和人；
所以根據分層抽樣可知人中在的人數為人，在內的人數為人，
所以隨機變量的可能取值有，，所以，，則分布列為
期望；
（3）由頻率分布直方圖可知運動時間在內的頻率為，
則，
若為最大值，則，即，
即，解得，又，且，則.
2．同學們，你們知道排球比賽的規則和積分制嗎 其規則是：每局25分，達到24分時，比賽雙方必須相差2分，才能分出勝負；每場比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊先勝3局即獲勝，比賽結束）；比賽排名采用積分制，積分規則如下：比賽中，以3∶0或3∶1取勝的球隊積3分，負隊積0分；以3∶2取勝的球隊積2分，負隊積1分.甲、乙兩隊近期將要進行比賽，為預測它們的積分情況，收集了兩隊以往6局比賽成績：
1 2 3 4 5 6
甲 25 21 27 27 23 25
乙 18 25 25 25 25 17
假設用頻率估計概率，且甲，乙每局的比賽相互獨立.(1)估計甲隊每局獲勝的概率；
(2)如果甲、乙兩隊比賽1場，求甲隊的積分X的概率分布列和數學期望；
(3)如果甲、乙兩隊約定比賽2場，請比較兩隊積分相等的概率與的大小（結論不要求證明）.
【解析】（1）由表可知：6場比賽甲贏了4場，則甲每局獲勝的頻率為，
用頻率估計概率，所以甲隊每局獲勝的概率為.
（2）隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3，
可得：，，
，，所以的分布列為
0 1 2 3
所以數學期望．
（3）記“甲、乙比賽兩場后，兩隊積分相等”為事件，
設第場甲、乙兩隊積分分別為，，則，，2，
因兩隊積分相等，所以，即，則，
而，，
，
所以
，因為，所以兩隊積分相等的概率小于.
高頻考點3 概率與其它知識的交匯問題
核心知識：在知識交匯處設計試題是高考命題的指導思想之一，概率作為高中數學具有實際應用背景的主要內容，除與實際應用問題相交匯，還常與排列組合、函數、數列等知識交匯．求解此類問題要充分理解題意．根據題中已知條件，聯系所學知識對已知條件進行轉化．這類題型具體來說有兩大類：
1、所給問題是以集合、函數、立體幾何、數列、向量等知識為載體的概率問題．求解時需要利用相關知識把所給問題轉化為概率模型，然后利用概率知識求解．
2、所給問題是概率問題，求解時有時需要把所求概率轉化為關于某一變量的函數，然后利用函數、導數知識進行求解；或者把問題轉化為與概率變量有關的數列遞推關系式，再通過構造特殊數列求通項或求和．
典例1：在三維空間中，單位立方體的頂點坐標可用三維坐標表示，其中.而在維空間中，單位立方體的頂點坐標可表示為維坐標，其中.在維空間中，設點，定義維向量，數量積，為坐標原點，即.
(1)在3維空間單位立方體中任取兩個不同頂點，求的概率；
(2)在維單位立方體中任取兩個不同頂點，記隨機變量.
（i）當時，若最大，求的值；（ii）求的分布列及期望值.
【解析】（1）記“”為事件，
滿足題意的兩點坐標為，則.
（2）（i）當隨機變量時，坐標與中有個對應的坐標值均為1即，剩下個坐標值滿足，此時所對應情況數為種，即，
當時，設，要使得最大，
則，即，所以；
因此，即，綜上可知，時取最大值.
（ii）由（i）可知，，故分布列為：
0 1 … …
… …
所以
，
設，則，令可知，
設，則，
令可知，，故.
變式訓練：
2.為提高學生的思想政治覺悟，激發愛國熱情，增強國防觀念和國家安全意識，某校進行軍訓打靶競賽．規則如下：每人共有3次機會，擊中靶心得1分，否則得0分、已知甲選手第一槍擊中靶心的概率為，且滿足：如果第n次射擊擊中靶心概率為p，那么當第n次擊中靶心時，第次擊中靶心的概率也為p，否則第次擊中靶心的概率為．(1)求甲選手得分X的分布列及其數學期望；
(2)有如下定義：設X是一個隨機變量，x是任意實數，函數，稱為X的分布函數，對于任意實數，，有．因此，若已知X的分布函數，我們就知道X落在任一區間上的概率．（i）寫出（1）中甲選手得分X的分布函數（分段函數形式）；（ii）靶子是半徑為2的一個圓盤，設擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比，假如選手射擊都能中靶，以Y表示彈著點與圓心的距離．試求隨機變量Y的分布函數．
【解析】（1）甲選手得分X的取值可為0，1，2，3，
，．
，，
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
X的數學期望是．
（2）（i）X的分布函數為；
（ii）設隨機變量Y的分布函數為， 若，此時；若，由題意設，
當時，有，又因為，所以，即，
所以；若，此時，
綜上所述，．
【變式3-1】（2024·江蘇南通·統考一模）已知正六棱錐的底面邊長為2，高為1．現從該棱錐的7個頂點中隨機選取3個點構成三角形，設隨機變量表示所得三角形的面積.
(1)求概率的值；
(2)求的分布列，并求其數學期望．
【解析】分析：（1）從個頂點中隨機選取個點構成三角形，共有種取法，其中面積的三角形有個，由古典概型概率公式可得結果；(2)的可能取值，根據古典概型概率公式可求得隨機變量對應的概率，從而可得分布列，進而利用期望公式可得其數學期望．
（1）從個頂點中隨機選取個點構成三角形，
共有種取法，其中的三角形如，
這類三角形共有個
因此.
（2）由題意，的可能取值為
其中的三角形如，這類三角形共有個；
其中的三角形有兩類，，如（個），（個），共有個；
其中的三角形如，這類三角形共有個；
其中的三角形如，這類三角形共有個；
其中的三角形如，這類三角形共有個；
因此
所以隨機變量的概率分布列為：
所求數學期望
.
2.（2024·廣東·統考一模）已知正四棱錐的底面邊長和高都為2.現從該棱錐的5個頂點中隨機選取3個點構成三角形，設隨機變量表示所得三角形的面積.
（1）求概率的值；（2）求隨機變量的概率分布及其數學期望.
【解析】（1）從5個頂點中隨機選取3個點構成三角形，
共有種取法.其中的三角形如，這類三角形共有個.因此.
（2）由題意，的可能取值為，2，.
其中的三角形是側面，這類三角形共有4個；
其中的三角形有兩個，和.因此，.
所以隨機變量的概率分布列為：
2
所求數學期望.
高頻考點4 期望與方差的實際應用
核心知識：數學期望反映的是隨機變量取值的平均水平，而方差則是反映隨機變量取值在其平均值附近的離散程度．現代實際生活中，越來越多的決策需要應用數學期望與方差來對事件發生大小的可能性和穩定性進行評估，通過計算分析可以比較科學地得出各個方案的預期效果及出現偏差的大小，從而決定要選擇的最佳方案．（1）若我們希望實際的平均水平較理想，則先求隨機變量的期望，當時，不應認為它們一定一樣好，還需要用來比較這兩個隨機變量的方差，確定它們的偏離程度．
（2）若我們希望比較穩定性，應先考慮方差，再考慮均值是否相等或接近．
（3）方差不是越小就越好，而是要根據實際問題的需要來判斷．
典例1：（2024·山東濰坊·高三統考期末）某人從地到地有路程接近的2條路線可以選擇，其中第一條路線上有個路口，第二條路線上有個路口.(1)若，，第一條路線的每個路口遇到紅燈的概率均為；第二條路線的第一個路口遇到紅燈的概率為，第二個路口遇到紅燈的概率為，從“遇到紅燈次數的期望”考慮，哪條路線更好？請說明理由.(2)已知；隨機變量服從兩點分布，且，.則，且.若第一條路線的第個路口遇到紅燈的概率為，當選擇第一條路線時，求遇到紅燈次數的方差.
【解析】（1）應選擇第一條路線，
理由如下：設走第一、第二條路線遇到的紅燈次數分別為隨機變量、，則，，
，，，所以；
又，，，
所以；因為，所以應選擇第一條路線.
（2）設選擇第一條路線時遇到的紅燈次數為，
所以；，
設隨機變量，取值為，其概率分別為，且，
所以
又因為，所以.
變式訓練：
1.（2024·北京順義·高三北京市順義區第一中學校考階段練習）為了解顧客對五種款式運動鞋的滿意度，廠家隨機選取了2000名顧客進行回訪，調查結果如表：
運動鞋款式 A B C D E
回訪顧客（人數） 700 350 300 250 400
滿意度
注：①滿意度是指：某款式運動鞋的回訪顧客中，滿意人數與總人數的比值；
②對于每位回訪顧客，只調研一種款式運動鞋的滿意度．假設顧客對各款式運動鞋是否滿意相互獨立，用顧客對某款式運動鞋的滿意度估計對該款式運動鞋滿意的概率．
(1)從所有的回訪顧客中隨機抽取1人，求此人是C款式運動鞋的回訪顧客且對該款鞋滿意的概率；
(2)從A、E兩種款式運動鞋的回訪顧客中各隨機抽取1人，設其中滿意的人數為，求的分布列和數學期望；(3)用“”和“”分別表示對A款運動鞋滿意和不滿意，用“”和“”分別表示對B款運動滿意和不滿意，試比較方差與的大小．（結論不要求證明）
【解析】（1）由題意知，是款式運動鞋的回訪顧客且對該款鞋滿意的人數為，
故從所有的回訪顧客中隨機抽取1人，此人是C款式運動鞋的回訪顧客且對該款鞋滿意的概率是．
（2）的取值為0，1，2．設事件為“從款式運動鞋的回訪顧客中隨機抽取的1人對該款式運動鞋滿意”，事件為“從款式運動鞋的回訪顧客中隨機抽取的1人對該款式運動鞋滿意”，
且事件與相互獨立．根據題意，，．
則，
，
，
所以的分布列為：
0 1 2
0.24 0.52 0.24
的期望是：．（3）都服從兩點分布，，，
，，所以.
2.（2024·北京海淀·高三統考期末）甲、乙、丙三人進行投籃比賽，共比賽10場，規定每場比賽分數最高者獲勝，三人得分（單位：分）情況統計如下：
場次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13
乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10
丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11
(1)從上述10場比賽中隨機選擇一場，求甲獲勝的概率；(2)在上述10場比賽中，從甲得分不低于10分的場次中隨機選擇兩場，設表示乙得分大于丙得分的場數，求的分布列和數學期望；
(3)假設每場比賽獲勝者唯一，且各場相互獨立，用上述10場比賽中每人獲勝的頻率估計其獲勝的概率.甲、乙、丙三人接下來又將進行6場投籃比賽，設為甲獲勝的場數，為乙獲勝的場數，為丙獲勝的場數，寫出方差，，的大小關系.
【解析】（1）根據三人投籃得分統計數據，在10場比賽中，甲共獲勝3場，分別是第3場，第8場，第10場.設表示“從10場比賽中隨機選擇一場，甲獲勝”，則.
（2）根據三人投籃得分統計數據，在10場比賽中，甲得分不低于10分的場次有6場，
分別是第2場，第3場，第5場，第8場，第9場，第10場，其中乙得分大于丙得分的場次有4場，
分別是第2場、第5場、第8場、第9場.所以的所有可能取值為0，1，2.
，，. 所以的分布列為
0 1 2
所以.
（3）由題意，每場比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，丙獲勝的概率為，還需要進行6場比賽，而甲、乙、丙獲勝的場數符合二項分布，所以
，，
故.
高頻考點5 正態分布與標準正態分布
核心知識：解決正態分布問題有三個關鍵點：（1）對稱軸標準差分布區間．利用對稱性可求指定范圍內的概率值；由，分布區間的特征進行轉化，使分布區間轉化為特殊區間，從而求出所求概率．注意在標準正態分布下對稱軸為．
典例1：（2024·河南開封·校聯考模擬預測）《山東省高考改革試點方案》規定：年高考總成績由語文、數學、外語三門統考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物六門選考科目組成，將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為、、、、、、、共8個等級，參照正態分布原則，確定各等級人數所占比例分別為、、、、、、、，選擇科目成績計入考生總成績時，將至等級內的考生原始成績，依照（、分別為正態分布的均值和標準差）分別轉換到、、、、、、、八個分數區間，得到考生的等級成績．如果山東省年某次學業水平模擬考試物理科目的原始成績，．(1)若規定等級、、、、、為合格，、為不合格，需要補考，估計這次學業水平模擬考試物理合格線的最低原始分是多少；(2)現隨機抽取了該省名參加此次物理學科學業水平測試的原始分，若這些學生的原始分相互獨立，記為被抽到的原始分不低于分的學生人數，求的數學期望和方差．
附：當時，，．
【解析】（1）由題意可知，學業水平模擬考試物理科目合格的比例為，
由且，可得，由，可得，
估計這次學業水平模擬考試物理合格線的最低原始分為分.
（2）若，則，，由題意可知，
，.
變式訓練：
1.（2024·江蘇南通·高三校考階段練習）某大型公司招聘新員工，應聘人員簡歷符合要求之后進入考試環節.考試分為筆試和面試，只有筆試成績高于75分的考生才能進入面試環節，已知2023年共有1000人參加該公司的筆試，筆試成績.(1)從參加筆試的1000名考生中隨機抽取4人，求這4人中至少有一人進入面試的概率；(2)甲 乙 丙三名應聘人員進入面試環節，且他們通過面試的概率分別為.設這三名應聘人員中通過面試的人數為，求隨機變量的分布列和數學期望.
參考數據：若，則，
【解析】（1）記“至少有一人進入面試”，由已知得，
所以，則，
即這4人中至少有一人進入面試的概率為0.499.
（2）由題意可得：的可能取值為，則：，
，，
，可得隨機變量的分布列為
0 1 2 3
所以.
2.（2024·貴州銅仁·校聯考模擬預測）某地區教育局數學教研室為了了解本區高三學生一周用于數學學習時間的分布情況，做了全區8000名高三學生的問卷調查，現抽取其中部分問卷進行分析（問卷中滿時長為12小時），將調查所得學習時間分成，，，，，6組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）．
參考數據：若隨機變量服從正態分布，則，，．

(1)求a的值；(2)以樣本估計總體，該地區高三學生數學學習時間近似服從正態分布，試估計該地區高三學生數學學習時間在內的人數；(3)現采用分層抽樣的方法從樣本中學習時間在，內的學生隨機抽取8人，并從這8人中再隨機抽取3人作進一步分析，設3人中學習時間在內的人數為變量X，求X的期望．
【解析】（1）由題意得，解得；
（2）
則，
所以估計該地區高三學生數學學習時間在(8，9.48]內的人數約為1087人；
（3），對應的頻率比為，即為3∶1，
所以抽取的8人中學習時間在，內的人數分別為6人，2人，
設從這8人中抽取的3人學習時間在內的人數為，則的所有可能取值為0，1，2，
，，，
所以.
高頻考點6 統計圖表及數字特征
核心知識：
1、制作頻率分布直方圖的步驟．
第一步：求極差，決定組數和組距，組距
第二步：分組，通常對組內數值所在區間取左閉右開區間，最后一組取閉區間；
第三步：登記頻數，計算頻率，列出頻率分布表；
第四步：畫頻率分布直方圖．
2、解決頻率分布直方圖問題時要抓住3個要點．
（1）直方圖中各小矩形的面積之和為1；
（2）直方圖中縱軸表示，故每組樣本的頻率為組距
（3）直方圖中每組樣本的頻數為頻率總體個數．
3、用頻率分布直方圖估計眾數、中位數、平均數的方法．
（1）眾數為頻率分布直方圖中最高矩形底邊中點的橫坐標；
（2）中位數為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標；
（3）平均數等于每個小矩形面積與小矩形底邊中點橫坐標之積的和．
典例1：睡眠是守衛健康的忠臣，小周同學就高三同學睡眠問題展開了一次調研活動：
* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合計/人
(3,4］ 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 6
(4,5］ 8 7 8 6 4 7 7 4 5 4
(5,6］ 8 12 10 8 17 16 12 13 12 12
(6,7］ 25 25 26 25 22 22 24 23 25 23 240
(7,8］ 6 6 7 7 5 4 5 6 7 7 60
(9,10］ 2 2 1 1 2 1 1 2 0 2
(1)小周同學調查了振興中學高三隨機十個班級的單個學生睡眠平均時長所在區間的人數分布，請補全這張統計表（橫向代表班級序號，縱向代表平均睡眠時長所在區間，框內數據代表人數）與直方圖并通過直方圖估計振興中學高三同學睡眠的分位數（作圖不要求寫出過程）；
(2)之后，小周同學收集了隨機名同學的具體平均睡眠時長，這些數據中男生有人，平均睡眠時長與睡眠時長方差分別為與；女生有人，平均睡眠時長與睡眠時長方差分別為與，請根據以上數據計算出這名同學的睡眠時長總方差.
(3)睡眠連續性得分是判斷睡眠質量的分數度量，一般算合格.臨近大型考試，小周同學用智能手表測出了考試前一周他的睡眠連續性得分，請根據圖表得出兩條有效信息并為他提出一條可行的睡眠建議.
【解析】（1）圖表如圖：由圖可知，從左到右各組的頻率分別為，
則，所以60%分位數位于組內，設為，
得，解得，所以60%分位數為6.475.
（2），
.
（3）信息：①臨近考試時睡眠連續性得分呈下降趨勢；
②考試前3天睡眠連續性得分均不合格.建議：調整心態、規律作息、不要緊張、自信迎考.
* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合計/人
(3,4］ 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 6
(4,5］ 8 7 8 6 4 7 7 4 5 4 60
(5,6］ 8 12 10 8 17 16 12 13 12 12 120
(6,7］ 25 25 26 25 22 22 24 23 25 23 240
(7,8］ 6 6 7 7 5 4 5 6 7 7 60
(9,10］ 2 2 1 1 2 1 1 2 0 2 14
變式訓練：
1.某景點奶茶店的甲、乙、丙三款奶茶在國慶黃金周期間的日銷售量數據，如下表（單位：杯）：
10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日
甲 60 65 66 65 67 66 63
乙 57 62 63 62 64 63 60
丙 55 60 61 60 62 61 58
(1)從10月1日至7日中隨機選取一天，求該天甲款奶茶日銷售量大于65杯的概率；(2)從乙、丙兩款奶茶的日銷售量數據中各隨機選取1個，這2個數據中大于60的個數記為，求的分布列和數學期望；(3)記乙款奶茶日銷售量數據的方差為，表格中所有的日銷售量數據的方差為，試判斷和的大小．（結論不要求證明）
【解析】（1）對于甲款奶茶，7天中共有3天銷量大于65，
設為：“該天甲款奶茶日銷售量大于65杯”，則.
（2）設為：“乙款奶茶日銷售量大于60杯”，為：“丙款奶茶日銷售量大于60杯”，
則，，而可取，則，
而，故，故的分布列為：
故.
（3）乙款奶茶日銷售量數據的平均值為，
故，
同理可得表格中所有的日銷售量數據的平均值為，
，而，故.
2．某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數據如下：
舊設備 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新設備 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為 和，樣本方差分別記為 和．
(1)判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果，則認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）
(2)假設該廠計劃用新設備全面投產，若生產一系列產品的指標數據不少于10.3即為質量優秀產品，以表中的頻率估計概率，現從該廠生產的一批產品中隨機抽取100件產品進行質量抽檢，求抽檢的產品中質量優秀產品的件數ξ的數學期望.
【解析】（1），
，
，
，
依題意，，
所以，所以新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高.
（2）從表中數據可得產品的指標數據不少于10.3在10次中有6次，
所以從中取一件產品為優秀的概率為，所以隨機變量ξ服從，
所以抽檢的產品中質量優秀產品的件數ξ的數學期望為.
高頻考點7 線性回歸與非線性回歸分析
核心知識：線性回歸分析的原理、方法和步驟：
（1）利用圖表和數字特征可以對數據做簡單的分析，但是用回歸直線方程可以對數據的未來值進行預測．在選取數據觀察的時候，要注意大量相對穩定的數據比不穩定的數據更有價值，近期的數據比過去久遠的數據更有價值．（2）判斷兩組數據是否具有線性相關關系的方法：散點圖，相關系數．（3）相關指數與相關系數在含有一個解釋變量的線性回歸模型中是等價的量，都是用來判斷線性回歸模型擬合效果好不好的量．（4）利用換元法，可以將一元非線性回歸轉化為線性回歸．
典例1：（2024·湖南衡陽·高三校聯考階段練習）為了加快實現我國高水平科技自立自強，某科技公司逐年加大高科技研發投入.下圖1是該公司2013年至2022年的年份代碼x和年研發投入y（單位：億元）的散點圖，其中年份代碼1 10分別對應年份2013 2022.

根據散點圖，分別用模型①，②作為年研發投入y（單位：億元）關于年份代碼x的經驗回歸方程模型，并進行殘差分析，得到圖2所示的殘差圖.結合數據，計算得到如下表所示的一些統計量的值：
75 2.25 82.5 4.5 120 28.35
表中，.
(1)根據殘差圖，判斷模型①和模型②哪一個更適宜作為年研發投入y（單位：億元）關于年份代碼x的經驗回歸方程模型 并說明理由；(2)（i）根據（1）中所選模型，求出y關于x的經驗回歸方程；（ii）設該科技公司的年利潤（單位：億元）和年研發投入y（單位：億元）滿足（且），問該科技公司哪一年的年利潤最大
附：對于一組數據，，…，，其經驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.
【解析】（1）根據圖2可知，模型①的殘差波動性很大，說明擬合關系較差；
模型②的殘差波動性很小，基本分布在0的附近，說明擬合關系很好，所以選擇模型②更適宜.
（2）（i）設，所以，所以，，
所以關于的經驗回歸方程為
（ii）由題設可得，
當取對稱軸即，即時，年利潤L有最大值，故該公司2028年的年利潤最大.
變式訓練：
1.（2024·四川成都·石室中學校考模擬預測）某醫科大學實習小組為研究實習地晝夜溫差與感冒人數之間的關系，分別到當地氣象部門和某醫院抄錄了1月至3月每月5日、20日的晝夜溫差情況與因感冒而就診的人數，得到如表資料：
日期 1月5日 1月20日 2月5日 2月20日 3月5日 3月20日
晝夜溫差x（℃） 10 11 13 12 8 6
就診人數y（個） 22 25 29 26 16 12
該小組確定的研究方案是：先從這6組數據中隨機選取4組數據求線性回歸方程，再用剩余的2組數據進行檢驗．
參考公式：，．
(1)求剩余的2組數據都是20日的概率；(2)若選取的是1月20日、2月5日、2月20日、3月5日這4組數據．①請根據這4組數據，求出y關于x的線性回歸方程；②若某日的晝夜溫差為7℃，請預測當日就診人數．（結果保留整數）．
【解析】（1）記6組依次為1，2，3，4，5，6，從這6組中隨機選取4組數據，剩余的2組數據所有等可能的情況為，，，，，，，，，，，，，，共15種，其中2組數據都是20日，即都取自2，4，6組的情況有3種．
根據古典概型概率計算公式，剩余的2組數據都是20日的概率．
（2）①由所選數據，得，，
所以，所以，
所以y關于x的線性回歸方程為．
②當時，，所以某日的晝夜溫差為7℃，預測當日就診人數約為14人．
2.隨著國內人均消費水平的提高，居民的運動健身意識不斷增強，加之健康與解壓需求的增長，使得健身器材行業發展趨勢強勁，下表為年中國健身器材市場規模（單位：百億元），其中年年對應的代碼依次為.
年份代碼
中國健身器材市場規模
(1)由上表數據可知，可用指數型函數模型擬合與的關系，請建立關于的歸方程（，的值精確到）；(2)數據顯示年購買過體育用品類的中國消費者中購買過運動防護類的占比為，用頻率估計概率，現從年購買過體育用品類的中國消費者中隨機抽取人，記購買過運動防護類的消費者人數為，求的分布列及數學期望.
參考數據：
其中，.
參考公式：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.
【解析】（1）兩邊同時取自然對數得.設，所以，
因為，，，所以.
把代入，得，可得，.
所以，即關于的回歸方程為.
（2）由題意，得的所有可能取值依次為，，，，，且，
，，，
，，所以的分布列為
0 1 2 3 4
.
高頻考點8 獨立性檢驗
核心知識：解獨立性檢驗應用問題的注意事項：（1）兩個明確：①明確兩類主體；②明確研究的兩個問題．（2）在列聯表中注意事件的對應及相關值的確定，不可混淆．（3）在實際問題中，獨立性檢驗的結論僅是一種數學關系表述，得到的結論有一定的概率出錯．（4）對判斷結果進行描述時，注意對象的選取要準確無誤，應是對假設結論進行的含概率的判斷，而非其他．
典例1：新能源汽車越來越引起廣大消費者的關注，目前新能源汽車的電池有石墨烯電池、三元鋰電池、鉛酸電池等，其中鉛酸電泡有技術成熟.成本較低、高倍率放電的特點，而石墨烯電池可以減少熱量對電池的損害，提高電池的使用壽命，石墨烯電池應用到新能源汽車上.對整個汽車行業將是根本性的改變.某公司為了了解消費者對兩種電池的電動車的偏好，在社會上隨機調查了500名駕駛者，年齡在60周歲以下的為年輕駕駛者，年齡在60周歲及以上的為中老年駕駛者，其中被調查的年輕駕駛者中偏好鉛酸電池車的占，得到以下的列聯表：
偏好石墨烯電池車 偏好鉛酸電池車 合計
中老年駕駛者 200 100
年輕的駕駛者
合計 S00
(1)根據以上數據，完成列聯表．依據小概率的獨立性檢驗，能否認為駕駛者對這兩種電池的電動車的偏好與年齡有關：(2)用頻率估計概率，在所有參加調查的駕駛者中按年輕駕駛者和中老年駕駛者進行分層抽樣，隨機抽取5名駕駛者，再從這5名駕駛者中隨機抽取2人進行座談，記2名參加座談的駕駛者中來自偏好石墨烯電池電動車的中老年駕駛者的人數為，求的分布列和數學期望．
參考公式：，其中．參考數據：
0．100 0．050 0．025 0．010 0．005 0．001
2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828
【解析】（1）被調查的年輕駕駛者人數為，
其中偏好鉛酸電池車的年輕的駕駛者人數為．
偏好石墨烯電池車的年輕的駕駛者人數為，
所以列聯表為：
偏好石墨烯電池車 偏好鉛酸電池車 合計
中老年駕駛者 200 100 300
年輕的駕駛者 80 120 200
合計 280 220 500
零假設：駕駛者對使用這兩種電池的新能源汽車的偏好與年齡無關，
根據列聯表中的數據可以求得
由于，
根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為駕駛者對使用這兩種電池的新能源汽車的偏好與駕駛者的年齡有關．
（2）因為所有參加調查的駕駛者中，中老年駕駛者和年輕駕駛者的比為，
所以由分層抽樣知，隨機抽取的5名駕駛者中，中老年駕駛者有3人，年輕駕駛者有2人．
根據頻率估計概率知，中老年駕駛者偏好石墨烯電池電動車的概率為，偏好鉛酸電池電動車的概率為，
從選出的5名駕駛者中隨機抽取2人進行座談，則可能的取值為0，1，2．
“3名被抽取的中老年駕駛者中，恰好抽到人參加座談”記為事件，
則．“參加座談的2名駕駛者中是偏好石墨烯電池電動車中老年駕駛者的人數恰好為人”記為事件，則，，，
，，，
所以，
，
，故的分布列如下：
0 1 2
．
變式訓練：
1.“八段錦”，起源于北宋，已有八百多年的歷史. 古人把這套動作比喻為“錦”，意為五顏六色，美而華貴. 體現其動作舒展優美，視其為“祛病健身，效果極好，編排精致，動作完美”，此功法分為八段，每段一個動作，故名為“八段錦”. 作為傳統養生功法，對人體有著很多的益處. 為了繼續推廣“八段錦”，吸引更多的老年市民練習“八段錦”，促進老年市民的延年益壽，市老體協統計了全市的男性老年人和女性老年人(不小于 60 歲的均為老年人)練習“八段錦”的情況，采用簡單隨機抽樣的方法抽取了練習“八段錦”的 200 位老年人，得到了性別與年齡的有關數據，并整理得到以下列聯表：
類型 年齡 (歲) 合計
男性 36 111
女性 25
合計 200
(1)補全 列聯表，并依據小概率值 的獨立性檢驗，能否認為老年人的性別與年齡是否大于 65 歲有關聯 (2)在這 200 位老年人隨機抽取一位，求在該老人年齡大于 65 歲的情況下，為女性老年人的概率. 附： ，其中 .
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
【解析】（1）補全 列聯表如下：
類型 年齡 (歲) 合計
男性 36 75 111
女性 64 25 89
合計 100 100 200
零假設為 ： 老年人的性別與年齡是否大于 65 歲無關聯.
根據列聯表中的數據， 得
依據小概率值 的獨立性檢驗，推斷 不成立，即老年人的性別與年齡是否大于 65 歲有關聯，該推斷犯錯誤的概率不大于 0.001 .
（2）設事件 “抽取的一位老年人年齡大于 65 歲”，事件 “抽取的一位老年人為女性老年人”，
法一： 所求概率為 . 法二： 所求概率為 .
2.隨機數廣泛應用于數據加密、安全通信、金融等領域.計算機中的隨機數是由算法產生的，其“隨機性”的優劣取決于所采用的算法.某工廠計劃生產一種隨機數發生器，這種發生器的顯示屏能顯示1，2，3，4中的一個數字，每按一次數字更新按鈕后，顯示屏上的數字將等可能地更新為另三個數字中的一個.在試生產階段，采用兩種不同算法，生產出相應算法的甲、乙兩種隨機數發生器.為評估兩種算法的優劣，從這兩種隨機數發生器中隨機抽取150件進行檢驗，得到數據餅圖如下：
(1)已知這150件發生器中，乙種發生器的三級品為2件.在答題卡中填寫列聯表；依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為甲、乙兩種發生器的一級品率存在差異
一級品 非一級品 合計
甲
乙
合計
(2)若發生器顯示屏的初始顯示數字為1，記按次數字更新按鈕后得到的數字為，.（i）求，；（ii）檢測一個發生器是否為一級品的方案為：每件被測發生器需進行100輪測試，每輪測試共按10次數字更新按鈕；表示100輪測試得到“”的頻率，規定滿足的被測發生器為一級品.若某件發生器經100輪測試后得到，能否判斷該發生器為一級品 附：，
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解析】（1）根據題意可得列聯表：
一級品 非一級品 合計
甲 26 24 50
乙 70 30 100
合計 96 54 150
零假設為：甲、乙兩批發生器的一級品率沒有差異.
根據列聯表中的數據，經計算得，
根據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，
所以可以認為甲、乙兩批發生器的一級品率存在差異，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.
（2）（i）依題意可得.記“按次按鈕后顯示的數字為1”，由全概率公式，得.
（ii）由全概率公式，得，
所以，即，且，
所以是首項為，公比為的等比數列，所以，即.
所以.因為，所以該發生器為一級品.
解法二：（i）依題意可得.
記“按次按鈕后顯示的數字為1”，“按次按鈕后顯示的數字為2”，
“按次按鈕后顯示的數字為3”，“按次按鈕后顯示的數字為4”，
則，且，，，兩兩互斥.
依據題意得，，.
由全概率公式，得
.
（ii）
所以，即，且，
所以是首項為，公比為的等比數列.所以，即.
所以. 因為，所以該發生器為一級品.
解法三：（i）依題意可得.記“按次按鈕后顯示的數字為1”，由全概率公式，得.
.
.
.
.
.
.
.
.
因為，所以該發生器為一級品.
高頻考點9 與體育比賽規則有關的概率問題
核心知識：
1、在與體育比賽規則有關的問題中，一般都會涉及分組，處理該類問題時主要借助于排列組合．對于分組問題，要注意平均分組與非平均分組，另外，在算概率時注意“直接法”與“間接法”的靈活運用．
2、與體育比賽有關的問題中最常見的就是輸贏問題，經常涉及“多人淘汰制問題”“ 三局兩勝制問題”“ 五局三勝制問題”“ 七局四勝制問題”，解決這些問題的關鍵是認識“三局兩勝制”“ 五局三勝制”等所進行的場數，贏了幾場與第幾場贏，用互斥事件分類，分析事件的獨立性，用分步乘法計數原理計算概率，在分類時要注意“不重不漏” ．
3、在體育比賽問題中，比賽何時結束也是經常要考慮的問題，由于比賽賽制已經確定，而比賽的平均場次不確定，需要對比賽的平均場次進行確定，常用的方法就是求以場數為隨機變量的數學期望，然后比較大小．
4、有些比賽會采取積分制，考查得分的分布列與數學期望是常考題型，解題的關鍵是辨別它的概率模型，常見的概率分布模型有：兩點分布、超幾何分布、二項分布、正態分布，要注意分布是相互獨立的，超幾何分布不是，值得注意的是，在比賽中往往是偽二項分布，有的只是局部二項分布．
典例1：（2024·福建福州·高三校考開學考試）第24屆冬季奧運會于2022年2月4日至20日在中國舉行，其中冰壺比賽項目是本屆奧運會的正式比賽項目之一，冰壺比賽的場地如圖所示，其中左端（投擲線的左側）有一個發球區，運動員在發球區邊沿的投擲線將冰壺擲出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有一圓形的營壘，以場上冰壺最終靜止時距離營壘區圓心O的遠近決定勝負．某學校冰壺隊舉行冰壺投擲測試，規則為：①每人至多投3次，先在點M處投第一次，冰壺進入營壘區得3分，未進營壘區不得分；②自第二次投擲開始均在點A處投擲冰壺，冰壺進入營壘區得2分，未進營壘區不得分；③測試者累計得分高于3分即通過測試，并立即終止投擲．已知投擲一次冰壺，甲得3分和2分的概率分別為0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分別為0.2和0.4，甲，乙每次投擲冰壺的結果互不影響．
(1)求甲通過測試的概率；(2)設為本次測試中乙的得分，求的分布列，
【解析】（1）甲通過測試包括種情況：①第一次得分，第二次得分，概率為；
②第一次得分，第二次得分，第三次得分，概率為；
③第一次得分，第二次得分，第三次得分，概率為.
所以甲通過測試的概率為.
（2）的可能取值為，
，，
，，，所以的分布列為：
變式訓練：
1.某籃球俱樂部由籃球Ⅰ隊和Ⅱ隊組成.Ⅰ隊球員水平相對較高，代表俱樂部參加高級別賽事；Ⅱ隊是Ⅰ隊的儲備隊，由具有潛力的運動員組成.為考察Ⅰ隊的明星隊員甲對球隊的貢獻，教練對近兩年甲參加過的60場與俱樂部外球隊的比賽進行統計：甲在前鋒位置出場12次，其中球隊獲勝6次；中鋒位置出場24次，其中球隊獲勝16次；后衛位置出場24次，其中球隊獲勝18次.用該樣本的頻率估計概率，則：
(1)甲參加比賽時，求Ⅰ隊在某場與俱樂部外球隊比賽中獲勝的概率；(2)為備戰小組賽，Ⅰ隊和Ⅱ隊進行10場熱身賽，比賽沒有平局，獲勝得1分，失敗得0分.已知Ⅰ隊在每場比賽中獲勝的概率是p（），若比賽最有可能的比分是7∶3，求p的取值范圍；(3)現由Ⅰ隊代表俱樂部出戰小組賽，小組共6支球隊，進行單循環賽（任意兩支隊伍間均進行一場比賽），若每場比賽均派甲上場，在已知Ⅰ隊至少獲勝3場的條件下，記其獲勝的場數為X，求X的分布列和數學期望.
【解析】（1）設“甲擔任前鋒”；“甲擔任中鋒”；“甲擔任后衛”；
“某場比賽中該球隊獲勝”.則：，，，
，，，
由全概率公式可得：，
所以甲參加比賽時，Ⅰ隊在某場與俱樂部外球隊比賽中獲勝的概率是.
（2）設這10場比賽，Ⅰ隊獲勝的場數是k，則P（Ⅰ隊獲勝k場），
由題意，時，P（Ⅰ隊獲勝k場）最大，所以有，解得，
所以p的取值范圍為.
（3）由題意，Ⅰ隊一共需要打5場比賽，
設“5場比賽中Ⅰ隊獲勝i場”（，4，5），“5場比賽中Ⅰ隊至少獲勝3場”，
；；，
則，，
同理可得，
，則X的分布列為：
X 3 4 5
P
.
2.（2024·湖南長沙·高三校考階段練習）甲、乙兩人組成“虎隊”代表班級參加學校體育節的籃球投籃比賽活動，每輪活動由甲、乙兩人各投籃一次，在一輪活動中，如果兩人都投中，則“虎隊”得3分；如果只有一個人投中，則“虎隊”得1分；如果兩人都沒投中，則“虎隊”得0分.已知甲每輪投中的概率是，乙每輪投中的概率是；每輪活動中甲、乙投中與否互不影響.各輪結果亦互不影響.
（1）假設“虎隊”參加兩輪活動，求：“虎隊”至少投中3個的概率；（2）①設“虎隊”兩輪得分之和為，求的分布列；②設“虎隊”輪得分之和為，求的期望值.（參考公式）
【解析】（1）設甲、乙在第輪投中分別記作事件，，“虎隊”至少投中3個記作事件，根據相互獨立事件的概率公式，即可求解.
（2）①“虎隊”兩輪得分之和的可能取值為：0，1，2，3，4，6，求得相應的概率，得到分布列；②得到，求得相應的概率，結合期望的公式，即可求解.（1）設甲、乙在第輪投中分別記作事件，，“虎隊”至少投中3個記作事件，
則
.
（2）①“虎隊”兩輪得分之和的可能取值為：0，1，2，3，4，6，則，
，
，
，
，.
故的分布列如下圖所示：
0 1 2 3 4 6
②，，
，，
∴，.
高頻考點10 決策型問題
核心知識：求解決策型問題的求解流程為：
第一步：先確定函數關系式；第二步：列出分布列，求出期望；第三步：根據期望進行最后的決策．
典例1：（2024·山東·高三專題練習）在一個系統中，每一個設備能正常工作的概率稱為設備的可靠度，而系統能正常工作的概率稱為系統的可靠度，為了增加系統的可靠度，人們經常使用“備用冗余設備”（即正在使用的設備出故障時才啟動的設備）．已知某計算機網絡服務器系統采用的是“一用兩備”（即一臺正常設備，兩臺備用設備）的配置，這三臺設備中，只要有一臺能正常工作，計算機網絡就不會斷掉．系統就能正常工作．設三臺設備的可靠度均為，它們之間相互不影響．(1)要使系統的可靠度不低于0.992，求的最小值；(2)當時，求能使系統正常工作的設備數的分布列；
(3)已知某高科技產業園當前的計算機網絡中每臺設備的可靠度是0.7，根據以往經驗可知，計算機網絡斷掉可給該產業園帶來約50萬的經濟損失．為減少對該產業園帶來的經濟損失，有以下兩種方案：
方案1：更換部分設備的硬件，使得每臺設備的可靠度維持在0.8，更換設備硬件總費用為0.8萬元；
方案2：花費0.5萬元增加一臺可靠度是0.7的備用設備，達到“一用三備”．
請從經濟損失期望最小的角度判斷決策部門該如何決策？并說明理由．
【解析】（1）要使系統的可靠度不低于0.992，設能正常工作的設備數為，
則，解得，故的最小值為0.8．
（2）設為正常工作的設備數，由題意可知，，
，，
，，從而的分布列為：
0 1 2 3
0.027 0.189 0.441 0.343
（3）設方案1 方案2的總損失分別為，，
采用方案1，更換部分設備的硬件，使得每臺設備的可靠度維持在0.8，
可知計算機網絡斷掉的概率為：，故萬元．
采用方案2，花費0.5萬元增加一臺可靠度是0.7的備用設備，達到“一用三備”，
計算機網絡斷掉的概率為：，故萬元．
因此，從經濟損失期望最小的角度，決策部門應選擇方案2．
變式訓練：
1.（2024·福建福州·高三校考階段練習）核酸檢測也就是病毒和的檢測，是目前病毒檢測最先進的檢驗方法，在臨床上主要用于新型冠狀乙肝 丙肝和艾滋病的病毒檢測.通過核酸檢測，可以檢測血液中是否存在病毒核酸，以診斷機體有無病原體感染.某研究機構為了提高檢測效率降低檢測成本，設計了如下試驗，預備份試驗用血液標本，從標本中隨機取出份分為一組，將樣本分成若干組，從每一組的標本中各取部分，混合后檢測，若結果為陰性，則判定該組標本均為陰性，不再逐一檢測；若結果為陽性，需對該組標本逐一檢測.以此類推，直到確定所有樣本的結果：份陽性，份陰性.若每次檢測費用為元（為常數），記檢測的總費用為元.(1)當時，求的分布列和數學期望.
(2)以檢測成本的期望值為依據，在與中選其一，應選哪個？
【解析】（1）當時，共分組，
當份陽性在一組時，第一輪檢測次，第二輪檢測次，共檢測次，
若份陽性各在一組，第一輪檢測次，第二輪檢測次，共檢測次，
檢測的總費用的所有可能值為，，任意檢測有種等可能結果，份陽性在一組有種等可能結果，，，
檢測的總費用的分布列為：
數學期望.
（2）當時，共分組，當份陽性在一組，共檢測次，
若份陽性各在一組，共檢測次，檢測的總費用的所有可能值為，，
任意檢測有種等可能結果，份陽性在一組有種等可能結果，
，，檢測的總費用的分布列為：
數學期望，，時的方案更好一些.
2.（2024·河北衡水·統考模擬預測）隨著移動網絡的飛速發展，人們的生活發生了很大變化，其中在購物時利用手機中的支付寶 微信等APP軟件進行掃碼支付也日漸流行開來.某商場對近幾年顧客使用掃碼支付的情況進行了統計，結果如下表：
年份 2016 2017 2018 2019 2020
年份代碼x 1 2 3 4 5
使用掃碼支付的人次y(單位：萬人) 5 12 16 19 21
（1）觀察數據發現，使用掃碼支付的人次y與年份代碼x的關系滿足經驗關系式：，通過散點圖可以發現y與x之間具有相關性.設，利用與x的相關性及表格中的數據求出y與x之間的回歸方程，并估計2021年該商場使用掃碼支付的人次；
（2）為提升銷售業績，該商場近期推出兩種付款方案：方案一：使用現金支付，每滿200元可參加1次抽獎活動，抽獎方法如下：在抽獎箱里有8個形狀 大小完全相同的小球(其中紅球有3個，黑球有5個)，顧客從抽獎箱中一次性摸出3個球，若摸到3個紅球，則打7折；若摸出2個紅球則打8折，其他情況不打折.方案二：使用掃碼支付，此時系統自動對購物的顧客隨機優惠，據統計可知，采用掃碼支付時有的概率享受8折優惠，有的概率享受9折優惠，有的概率享受立減10元優惠.若小張在活動期間恰好購買了總價為200元的商品.（i）求小張選擇方案一付款時實際付款額X的分布列與數學期望；
（ii）試比較小張選擇方案一與方案二付款，哪個方案更劃算？
附：最小二乘法估計公式：經過點的回歸直線為
相關數據：(其中.
【解析】（1）計算知14.6，所以=10，
，所以所求的回歸方程為，
當時，(萬人次)，估計2021年該商場使用移動支付的有23萬人次；
（2）（i）若選擇方案一，設付款金額為X元，則可能的取值為140，160，200，
，，
故X的分布列為
140 160 200
所以(元)；
（ii）若選擇方案二，記需支付的金額為Y元，則Y的可能取值為160，180，190，
則其對應的概率分別為，所以，
由（1）知，故從概率角度看，小張選擇方案二付款優惠力度更大.
高頻考點11 遞推型概率命題
核心知識：遞推型概率命題，綜合性較強，主要有以下類型：
1、求通項公式：關鍵與找出概率或數學期望的遞推關系式，然后根據構造法（一般構造等比數列），求出通項公式.
2、求和：主要與數列中的倒序求和錯位求和、裂項求和.
3、利用等差、等比數列的性質，研究單調性、最值或求極限.
典例1：（2024·山東·高三校考階段練習）某品牌女裝專賣店設計摸球抽獎促銷活動，每位顧客只用一個會員號登陸，每次消費都有一次隨機摸球的機會．已知顧客第一次摸球抽中獎品的概率為；從第二次摸球開始，若前一次沒抽中獎品，則這次抽中的概率為，若前一次抽中獎品，則這次抽中的概率為．記該顧客第n次摸球抽中獎品的概率為．(1)求的值，并探究數列的通項公式；
(2)求該顧客第幾次摸球抽中獎品的概率最大，請給出證明過程．
【解析】（1）記該顧客第次摸球抽中獎品為事件A，依題意，，
．
因為，，，所以，
所以，所以，
又因為，則，所以數列是首項為，公比為的等比數列，
故．
（2）證明：當n為奇數時，，
當n為偶數時，，則隨著n的增大而減小，所以，．
綜上，該顧客第二次摸球抽中獎品的概率最大．
變式訓練：
1.（2024·貴州黔西·高三興義第一中學校聯考階段練習）馬爾科夫鏈是概率統計中的一個重要模型，因俄國數學家安德烈·馬爾科夫得名，其過程具備“無記憶”的性質，即第次狀態的概率分布只跟第次的狀態有關，與第，，，…次狀態無關，即.已知甲盒子中裝有2個黑球和1個白球，乙盒子中裝有2個白球，現從甲、乙兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子中，重復次這樣的操作.記甲盒子中黑球個數為，恰有2個黑球的概率為，恰有1個黑球的概率為.(1)求，和，；(2)證明：為等比數列（且）；
(3)求的期望（用表示，且）.
【解析】（1）若甲盒取黑，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變為1黑2白，乙盒為1黑1白，概率為，
若甲盒取白，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變為2黑1白，乙盒為2白，概率為，所以，
①當甲盒1黑2白，乙盒為1黑1白，概率為，此時：
若甲盒取黑，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變為3白，概率為，
若甲盒取黑，乙盒取黑，此時互換，則甲盒中變為1黑2白，概率為，
若甲盒取白，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變為1黑2白，概率為，
若甲盒取白，乙盒取黑，此時互換，則甲盒中變為2黑1白，概率為，
②當甲盒2黑1白，乙盒為2白，概率為，此時：
若甲盒取黑，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變為1黑2白，概率為，
若甲盒取白，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變為2黑1白，概率為，
綜上可知：，.
（2）經過次這樣的操作.記甲盒子恰有2個黑1白的概率為，恰有1黑2白的概率為，3白的概率為，①當甲盒1黑2白，乙盒為1黑1白，概率為，此時：
若甲盒取黑，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變為3白，概率為，
若甲盒取黑，乙盒取黑，此時互換，則甲盒中變為1黑2白，概率為，
若甲盒取白，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變為1黑2白，概率為，
若甲盒取白，乙盒取黑，此時互換，則甲盒中變為2黑1白，概率為，
②當甲盒2黑1白，乙盒為2白，概率為，此時：
若甲盒取黑，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變為1黑2白，概率為，
若甲盒取白，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變為2黑1白，概率為，
③當甲盒中3白，乙盒2黑，概率為，此時：
若甲盒取白，乙盒取黑，此時互換，則甲盒中變為1黑2白，概率為，
故. ，
因此，
因此為等比數列，且公比為.
（3）由（2）知為等比數列，且公比為，首項為，
故，所以，
.
2.馬爾科夫鏈是概率統計中的一個重要模型，其過程具備“無記憶”的性質：下一狀態的概率分布只能由當前狀態決定，即第n＋1次狀態的概率分布只與第n次的狀態有關，與第，…次的狀態無關，即．已知甲盒中裝有1個白球和2個黑球，乙盒中裝有2個白球，現從甲、乙兩個盒中各任取1個球交換放入對方的盒中，重復n次（）這樣的操作，記此時甲盒中白球的個數為，甲盒中恰有2個白球的概率為，恰有1個白球的概率為．
(1)求和．(2)證明：為等比數列．(3)求的數學期望（用n表示）．
【解析】（1）若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變為2白1黑，乙盒中的球變為1白1黑，概率；若甲盒取白球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為1白2黑，乙盒中的球仍為2白，概率，研究第2次交換球時的概率，根據第1次交換球的結果討論如下：
①當甲盒中的球為2白1黑，乙盒中的球為1白1黑時，對應概率為，
此時，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互換，則甲盒中的球仍為2白1黑，
乙盒中的球仍為1白1黑，概率為；
若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變為3白，乙盒中的球變為2黑，概率為；
若甲盒取白球、乙盒取黑球，互換，則甲盒中的球變為1白2黑，乙盒中的球變為2白，概率為；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為2白1黑，乙盒中的球仍為1白1黑，
概率為，
②當甲盒中的球為1白2黑，乙盒中的球為2白時，對應概率為，
此時，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變為2白1黑，
乙盒中的球變為1白1黑，概率為
若甲盒取白球，乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為1白2黑，乙盒中的球仍為2白，概率為，
綜上，.
（2）依題意，經過次這樣的操作，甲盒中恰有2個白球的概率為，
恰有1個白球的概率為，則甲盒中恰有3個白球的概率為，
研究第次交換球時的概率，根據第次交換球的結果討論如下：
①當甲盒中的球為2白1黑，乙盒中的球為1白1黑時，對應概率為，
此時，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互換，則甲盒中的球仍為2白1黑，
乙盒中的球仍為1白1黑，概率為；
若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變為3白，乙盒中的球變為2黑，概率為；
若甲盒取白球、乙盒取黑球，互換，則甲盒中的球變為1白2黑，乙盒中的球變為2白，概率為；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為2白1黑，乙盒中的球仍為1白1黑，概率為，
②當甲盒中的球為1白2黑，乙盒中的球為2白時，對應概率為，此時，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變為2白1黑，乙盒中的球變為1白1黑，概率為；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為1白2黑，乙盒中的球仍為2白，概率為，
③當甲盒中的球為3白，乙盒中的球為2黑時，對應概率為，
此時，甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球，互換，則甲盒中的球變為2白1黑，乙盒中的球變為1白1黑，概率為，綜上，
則，
整理得，又，
所以數列是公比為的等比數列.
（3）由（2）知，則，隨機變量的分布列為
1 2 3
所以.
高頻考點12 條件概率、全概率公式、貝葉斯公式
核心知識：1、一般地，設，為兩個事件，且，稱為在事件發生的條件下，事件發生的條件概率．
2、全概率公式:
3、貝葉斯公式一般地，當且時，有
典例1：如圖所示，在研究某種粒子的實驗裝置中，有三個腔室，粒子只能從室出發經室到達室.粒子在室不旋轉，在室 室都旋轉，且只有上旋和下旋兩種狀態，粒子間的旋轉狀態相互獨立.粒子從室經過1號門進入室后，等可能的變為上旋或下旋狀態，粒子從室經過2號門進入室后，粒子的旋轉狀態發生改變的概率為.現有兩個粒子從室出發，先后經過1號門，2號門進入室，記室兩個粒子中，上旋狀態粒子的個數為.
(1)已知兩個粒子通過1號門后，恰有1個上旋狀態1個下旋狀態.若這兩個粒子通過2號門后仍然恰有1個上旋狀態1個下旋狀態的概率為，求；(2)若，求兩個粒子經過2號門后都為上旋狀態的概率；(3)求的分布列和數學期望.
【解析】（1）設“兩個粒子通過2號門后仍然恰有1個上旋狀態1個下旋狀態”.
事件A發生即通過2號門時，兩個粒子都不改變或都改變旋轉狀態，
故，解得或.
（2）設“兩個粒子通過1號門后處于上旋狀態粒子個數為個”，，
“兩個粒子通過2號門后處于上旋狀態的粒子個數為2個”，
則，
則.
（3）由題知，時分3類情形，①兩個粒子通過1號門后均處上旋狀態，通過2號門后均不改變狀態；②兩個粒子通過1號門后一個上旋狀態一個下旋狀態，通過2號門后上旋狀態粒子不改變狀態，下旋狀態粒子改變狀態；③兩個粒子通過1號門后兩個均為下旋狀態，通過2號門后均改變狀態，
所以，
同理，
所以所求的分布列為
X 0 1 2
P
所以所求數學期望.
變式訓練：
1.放行準點率是衡量機場運行效率和服務質量的重要指標之一．已知年該機場飛往地，地及其他地區（不包含，兩地）航班放行準點率的估計值分別為和，年該機場飛往地，地及其他地區的航班比例分別為，和.試解決一下問題：(1)現在從年在該機場起飛的航班中隨機抽取一個，求該航班準點放行的概率；(2)若年某航班在該機場準點放行，判斷該航班飛往地，地、其他地區等三種情況中的哪種情況的可能性最大，說明你的理由．
【解析】（1）設"該航班飛往地"， "該航班飛往地"， "該航班飛往其他地區"，"該航班準點放行"，則，，，，，，由全概率公式得，
，所以該航班準點放行的概率為.
（2），，
，
因為，所以該航班飛往其他地區的可能性最大．
2.（2024·遼寧遼陽·高三統考期末）某中學選拔出20名學生組成數學奧賽集訓隊，其中高一學生有8名、高二學生有7名、高三學生有5名．(1)若從數學奧賽集訓隊中隨機抽取3人參加一項數學奧賽，求抽取的3名同學中恰有2名同學來自高一的概率．(2)現學校欲對數學奧賽集訓隊成員進行考核，考核規則如下：考核共4道題，前2道題答對每道題計1分，答錯計0分，后2道題答對每道題計2分，答錯計0分，累積計分不低于5分的學生為優秀學員．已知張同學前2道題每道題答對的概率均為，后2道題每道題答對的概率均為，是否正確回答每道題之間互不影響．記張同學在本次考核中累積計分為X，求X的分布列和數學期望，并求張同學在本次考核中獲得優秀學員稱號的概率．
【解析】（1）設事件A為“抽取的3名同學中恰有2名同學來自高一”，則.
（2）由題意可知的取值可為，
前兩道題答錯的概率為，后兩道題答錯的概率也為，
，，
，，
，，
，故X的分布列為：
X 0 1 2 3 4 5 6
P
數學期望為，
因為累積計分不低于5分的學生為優秀學員，
所以張同學在本次考核中獲得優秀學員稱號的概率為.
1．（2024·山東·模擬預測）近年來，馬拉松比賽受到廣大體育愛好者的喜愛.某地體育局在五一長假期間舉辦比賽，志愿者的服務工作是成功舉辦的重要保障.現抽取了200名候選者的面試成績，并分成六組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，第六組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
男生 女生 合計
被錄取 20
未被錄取
合計
(1)求；(2)估計候選者面試成績的平均數（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；
(3)在抽出的200名候選者的面試成績中，若規定分數不低于80分的候選者為被錄取的志愿者，已知這200名候選者中男生與女生人數相同，男生中有20人被錄取，請補充列聯表，并判斷是否有的把握認為“候選者是否被錄取與性別有關”.附：，其中.
0.05 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)(2)68.5(3)沒有的把握認為“候選者是否被錄取與性別有關
【詳解】（1）由概率和為1得：，解得；
（2）由題意知，候選者面試成績的平均數，
所以候選者面試成績的平均數約為68.5.
（3）由頻率分布直方圖知不低于80分的人數為，即被錄取的共有30人，
所以被錄取的女生為，又男生與女生各100人，完善列聯表如下：
男生 女生 合計
被錄取 20 10 30
未被錄取 80 90 170
合計 100 100 200
，
所以沒有的把握認為“候選者是否被錄取與性別有關”.
2．（2024·湖南邵陽·三模）某市開展“安全隨我行”活動，交警部門在某個交通路口增設電子抓拍眼，并記錄了某月該路口連續10日騎電動摩托車未佩戴頭盔的人數與天數的情況，對統計得到的樣本數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值.
5.5 8.7 1.9 301 385 79.75
表中，.
(1)依據散點圖推斷，與哪一個更適合作為未佩戴頭盔人數與天數的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)依據（1）的結果和上表中的數據求出關于的回歸方程.
(3)為了解佩戴頭盔情況與性別的關聯性，交警對該路口騎電動摩托車市民進行調查，得到如下列聯表：
性別 佩戴頭盔 合計
不佩戴 佩戴
女性 8 12 20
男性 14 6 20
合計 22 18 40
依據的獨立性檢驗，能否認為市民騎電動摩托車佩戴頭盔與性別有關聯？
參考公式：，，，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)更適合(2)(3)能
【詳解】（1）依據散點圖可以判斷，更適合作為未佩戴頭盔人數與天數的回歸方程類型.
（2）由，得，依題意得，
，所以，即.
（3）零假設：市民佩戴頭盔與性別無關聯.根據列聯表中的數據，經計算得到：
，
根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為市民佩戴頭盔與性別有關聯，
此推斷犯錯誤的概率不超過0.10.
3．（2024·江西九江·三模）車胎凹槽深度是影響汽車剎車的因素，汽車行駛會導致輪胎胎面磨損.某實驗室通過實驗測得轎車行駛里程與某品牌輪胎凹槽深度的數據，如下表所示：
行駛里程萬 0.0 0.4 1.0 1.6 2.4 2.8 3.4 4.4
輪胎凹槽深度 8.0 7.8 7.2 6.2 5.6 4.8 4.4 4.0
(1)求該品牌輪胎凹槽深度與行駛里程的相關系數，并判斷二者之間是否具有很強的線性相關性；（結果保留兩位有效數字）；(2)根據我國國家標準規定：轎車輪胎凹槽安全深度為（當凹槽深度低于時剎車距離增大，駕駛風險增加，必須更換新輪胎）.某人在保養汽車時將小轎車的輪胎全部更換成了該品牌的新輪胎，請問在正常行駛情況下，更換新輪胎后繼續行駛約多少公里需對輪胎再次更換？
附：變量與的樣本相關系數；對于一組數據，，其線性回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為：.
【答案】(1)，具有很強的線性關系(2)6.4萬公里
【詳解】（1）計算得，，
由公式知，二者之間具有很強的線性關系.
（2）設輪胎凹槽深度與行駛里程的線性回歸方程為，
則==
線性回歸方程為 令，得
即更換新輪胎后繼續行駛約6.4萬公里需要對輪胎再次更換.
4．（2024·河南鄭州·三模）按照《中華人民共和國環境保護法》的規定，每年生態環境部都會會同國家發展改革委等部門共同編制《中國生態環境狀況公報》，并向社會公開發布．下表是2017-2021年五年《中國生態環境狀況公報》中酸雨區面積約占國土面積的百分比：
年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年
年份代碼 1 2 3 4 5
6.4 5.5 5.0 4.8 3.8
(1)求2017—2021年年份代碼與的樣本相關系數（精確到0.01）；(2)請用樣本相關系數說明該組數據中與之間的關系可用一元線性回歸模型進行描述，并求出關于的經驗回歸方程；(3)預測2024年的酸雨區面積占國土面積的百分比．（回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：
附：樣本相關系數，．
【答案】(1)(2)(3)預測2024年的酸雨區面積占國土面積的百分比為2.15%
【詳解】（1）由己知可得，，，由題可列下表：
0 1 2
1.3 0.4
，
．
（2）由小問1知，與的相關系數接近1，所以與之間具有極強的線性相關關系，可用線性回歸模型進行描述．由小問1知，，
，所求經驗回歸方程為．
（3）令，則，預測2024年的酸雨區面積占國土面積的百分比為2.15%．
5．（2024·重慶九龍坡·三模）在一場乒乓球賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采用“雙敗淘汰制”，具體賽制為：首先四人抽簽兩兩對陣，勝者進入“勝區”，敗者進入“敗區”；接下來，“勝區”的兩人對陣，勝者進入最后決賽；“敗區”的兩個對陣，敗者直接淘汰出局并獲得第四名；緊接著“敗區”的勝者和“勝區”的“敗者”對陣，勝者晉級到最后的決賽，敗者獲得第三名：最后，剩下的兩人進行最后的冠軍決賽，勝者獲得冠軍，敗者獲得第二名.甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為，且不同對陣結果相互獨立.
(1)若，第一輪由甲對陣乙，丙對陣丁.①求甲獲得第四名的概率；②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場數的數學期望.(2)除“雙敗淘汰制”外，也經常采用“單敗淘汰制”：四人抽簽決定兩兩對陣，兩場比賽的勝者晉級到冠軍決賽，敗者參加三、四名比賽，哪種賽制對甲奪冠有利？請說明理由.
【答案】(1)①；②；(2)答案見解析.
【詳解】（1）①記“甲獲得第四名”為事件，即甲雙敗，則；
②記在甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場次為隨機變量，則的所有可能取值為
連敗兩局：，可以分為三種情形：甲第一、第二局連勝兩局，第三局不管勝負；甲第一局負，第二局勝，第三局負；甲第一局勝，第二局負，第三局負；
，
可以分為三種情形：甲第一局負，第二局勝，第三局勝；甲第一局勝，第二局負，第三局勝，且第四局都不管勝負.；
故的分布列如下：
2 3 4
故數學期望；
（2）“雙敗淘汰制”下，甲獲勝的概率，
在“單敗淘汰制”下，甲獲勝的概率為，
由，且
所以時，，“雙敗淘汰制”對甲奪冠有利；
時，，“單敗淘汰制”對甲奪冠有利；時，兩種賽制甲奪冠的概率一樣.
6．（2024·新疆喀什·三模）某企業監控汽車零件的生產過程，現從汽車零件中隨機抽取100件作為樣本，測得質量差（零件質量與標準質量之差的絕對值）的樣本數據如下表：
質量差（單位：） 54 58 60 63 64
件數（單位：件） 5 25 45 20 5
(1)求樣本質量差的平均數；假設零件的質量差，其中，用作為的近似值，求的值；(2)已知該企業共有兩條生產汽車零件的生產線，其中第1條生產線和第2條生產線生產的零件件數比是3:1．若第1、2條生產線的廢品率分別為0.004和0.008，且這兩條生產線是否產出廢品是相獨立的．現從該企業生產的汽車零件中隨機抽取一件．（ⅰ）求抽取的零件為廢品的概率；（ⅱ）若抽取出的零件為廢品，求該廢品來自第1條生產線的概率．
參考數據：若隨機變量，則，，
【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【詳解】（1）由題意可知:，則，
所以
（2）（i）設事件表示“隨機抽取一件該企業生產的該零件為廢品”，
事件表示“隨機抽取一件零件為第1條生產線生產”，
事件表示“隨機抽取一件零件為第2條生產線生產”，
則，，，，
所以；
（ii）因為，所以，
所以．
7．（2024·安徽合肥·三模）在2024年高考前夕，合肥一六八中學東校區為了舒展年級學子身心，緩解學子壓力，在一周內（周一到周五）舉行了別開生面“舞動青春，夢想飛揚”的競技活動，每天活動共計有兩場，第一場獲勝得3分，第二場獲勝得2分，無論哪一場失敗均得1分，某同學周一到周五每天都參加了兩場的競技活動，已知該同學第一場和第二場競技獲勝的概率分別為、，且各場比賽互不影響．(1)若，記該同學一天中參加此競技活動的得分為，求的分布列和數學期望；(2)設該同學在一周5天的競技活動中，恰有3天每天得分不低于4分的概率為，試求當取何值時，取得最大值．
【答案】(1)分布列見解析，(2)
【詳解】（1）由題可知，的可能取值為．因為，所以，
，故的分布列為：
2 3 4 5
的數學期望.
（2）設一天得分不低于4分為事件，則，
則，
則，
當時，；當時，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，故當時，取得最大值．
8．（2024·北京西城·三模）根據2024城市魅力排行榜，一線城市4個，分別為：上海、北京、深圳、廣州；新一線城市15個，分別為：成都、杭州、重慶、蘇州、武漢、西安、南京、長沙、天津、鄭州、東莞、無錫、寧波、青島、合肥.其中城區常住人口超過一千萬的超大城市10個，分別為：上海、北京、深圳、重慶、 廣州、成都、天津、東莞、武漢、杭州.
(1)從10個超大城市中隨機抽取一座城市，求該城市是一線城市的概率；
(2)從10個超大城市按不可放回抽樣的方式隨機抽取3個城市，隨機變量X表示新一線城市的數量，求隨機變量X的分布列和期望；(3)從10個超大城市中按可放回抽樣的方式隨機抽取3個城市，隨機變量Y表示新一線城市的數量，比較E（X）與E（Y）的大小關系.（直接寫出結果）
【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)
【詳解】（1）10個超大城市中包含4個一線城市，
所以從10個超大城市中隨機抽取一座城市，該城市是一線城市的概率為.
（2）10個超大城市中包含6個新一線城市，X所有可能的取值為：.
；；
；.
所以X的分布列為：
X 0 1 2 3
P
.
（3） 理由如下：從10個超大城市中按可放回抽樣的方式隨機抽取3個城市，
隨機變量，，所以.
9．（2024·山東青島·三模）為了研究高三年級學生的性別和身高是否大于 的關聯性，隨機調查了某中學部分高三年級的學生，整理得到如下列聯表 （單位:人):
性別 身高 合計
低于 不低于
女 14 5 19
男 8 10 18
合計 22 15 37
(1)依據 的獨立性檢驗，能否認為該中學高三年級學生的性別與身高有關聯
(2)從身高不低于的15 名學生中隨機抽取三名學生，設抽取的三名學生中女生人數為，求的分布列及期望.(3)若低于的8 名男生身高數據的平均數為，方差為，不低于的10名男生身高數據的平均數為，方差為 .請估計該中學男生身高數據的平均數和方差.
附: .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)可以認為性別與身高有關聯(2)分布列見解析，1(3)平均數為174，方差為59
【詳解】（1）解：零假設：該中學高三年級學生的性別與身高無關聯
根據列聯表中的數據，經計算得，
由此可知根據小概率值 的獨立性檢驗，零假設不成立，可以認為性別與身高有關聯
（2）解：由題意，可得隨機變量的可能取值為，
可得
所以隨機變量的分布列為:
0 1 2 3
所以，期望為，
（3）解：由題意知，18名男生身高數據的平均數，
18 名男生身高數據的方差
，
所以，該中學男生身高數據的平均數為174，方差為59.
10．（2024·廣東汕頭·三模）11分制乒乓球比賽規則如下：在一局比賽中，每兩球交換發球權，每贏一球得1分，先得11分且至少領先2分者勝，該局比賽結束：當某局比分打成10∶10后，每球交換發球權，領先2分者勝，該局比賽結束現有甲、乙兩人進行一場五局三勝、每局11分制的乒乓球比賽，比賽開始前通過拋擲一枚質地均勻的硬幣來確定誰先發球假設甲發球時甲得分的概率為，乙發球時甲得分的概率為，各球的比賽結果相互獨立，且各局的比賽結果也相互獨立．(1)若每局比賽甲獲勝的概率，求該場比賽甲獲勝的概率.(2)已知第一局目前比分為10∶10，求（ⅰ）再打兩個球甲新增的得分的分布列和均值；（ⅱ）第一局比賽甲獲勝的概率；
【答案】(1)(2)（ⅰ）分布列見詳解，；（ⅱ）
【詳解】（1）因為甲每局獲勝的概率均為，根據五局三勝制的規則，
設甲獲勝時的比賽總局數為，因為每局的比賽結果相互獨立，所以的所有可能取值為，
可得；
故該場比賽甲獲勝的概率.
（2）（ⅰ）依題意，的所有可能取值為
設打成后甲先發球為事件，則乙先發球為事件，且，
所以，
.
所以的分布列為
0 1 2
故的均值為；
（ⅱ）設第一局比賽甲獲勝為事件，則.
由（ⅰ）知，，由全概率公式，得
解得，即第一局比賽甲獲勝的概率.
11．（2024·浙江紹興·三模）如圖是一個各棱長均為1米的正四棱錐，現有一只電子蛐蛐在棱上爬行，每次從一個頂點開始，等可能地沿棱爬到相鄰頂點，已知電子蛐蛐初始從頂點出發，再次回到頂點時停止爬行.
(1)求電子蛐蛐爬行2米后恰好回到頂點的概率；(2)在電子蛐蛐停止爬行時爬行長度不超過4米的條件下，記爬行長度為，求的分布列及其數學期望；(3)設電子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行（首次回到頂點）的概率記為，求（用表示）.
【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)
【詳解】（1）記事件“電子蛐蛐爬行的第米終點為”，“電子蛐蛐爬行的第米終點為”，
“電子蛐蛐爬行的第米終點為”，“電子蛐蛐爬行的第米終點為”，
“電子蛐蛐爬行的第米終點為”，“電子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行”，
則
（2）記事件“電子蛐蛐停止爬行時，爬行長度不超過4米”
的可能取值為2，3，4，根據條件概率的知識，可得的分布列為
，，
，用表格表示的分布列為：
2 3 4
．
（3）（，）① ②
②－①得： ，
12．為了讓高三同學們在緊張的學習之余放松身心，緩解壓力，激發同學們的競爭意識，培養積極向上的心態，為高三生活增添一抹別樣的色彩，某校高三（1）班利用課余時間開展一次投籃趣味比賽．已知該班甲同學每次投籃相互獨立，每次投籃命中的概率為，且次投籃至少命中次的概率為．
(1)求；(2)若甲同學連續投籃次，每次投進記分，未投進記分，記甲同學的總得分為，求的分布列和數學期望；(3)若甲同學投籃時出現命中就停止投籃，且最多投籃次，設隨機變量為投籃的次數，證明：

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