資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第五章 一元一次方程
小結與復習
學習目標與重難點
學習目標：
1.掌握二元一次方程組和三元一次方程組的定義、解法及其應用，理解消元法的基本思想。
2.培養學生通過實際問題建立數學模型的能力，提高學生分析和解決實際問題的能力。激發學生對數學的興趣，增強學生合作學習和探究學習的意識。
學習重點：
1. 二元一次方程組和三元一次方程組的解法。
2. 消元法的應用，包括代入消元法和加減消元法。
3. 實際問題的建模與求解。
學習難點：
1. 三元一次方程組的解法，尤其是系數調整法的應用。
2. 實際問題中數量關系的分析與建模。
3. 復雜方程組的靈活求解策略。
復習舊知
1.什么是二元一次方程、二元一次方程組？什么是二元一次方程組的解？
2. 什么是三元一次方程、三元一次方程組？什么是三元一次方程組的解？
3.如何解二元一次方程組？
4.如何解三元一次方程組？
如何分析實際問題中的數量關系？
教學過程
一、知識圖譜
二、思考回顧
【要點】
1. 在實際問題中, 經常會遇到有多個未知量的問題. 與一元一次方程一樣, 二元 (或三元) 一次方程組也是反映現實世界數量相等關系的數學模型. 要學會將實際問題轉化為數學問題, 列出二元 (或三元) 一次方程組, 最終求得符合實際問題的解.
2. 解一次方程組的基本思想是消元、轉化:通過消元,把三元一次方程組轉化為二元一次方程組, 把二元一次方程組轉化為一元一次方程. 最常見的消元方法有代入法和加減法. 一個方程組用什么方法來逐步消元, 應根據它的特點靈活選擇.
3. 通過列方程組來解實際問題時, 應注意檢驗和正確作答. 檢驗不僅要檢查求得的解是否滿足所列方程組中的每一個方程, 而且要檢驗所得的結果是否符合實際問題的要求.
三、典例精講
1．我國古代數學著作《孫子算經》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何．”設雞有x只，兔有y只，則根據題意，下列方程中正確的是(　　)
A. B．
C. D.
2.三元一次方程組的解是（ ）
A. B. C. D.
3.我國古代數學著作《增刪算法統宗》記載“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托．折回索子卻量竿，卻比竿子短一托．”其大意為：現有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．設繩索長x尺，竿長y尺，則符合題意的方程組是 ( )
A. B．
C. D.
4.若多項式xy|m－n|＋(n－2)x2y2＋1是關于x，y的三次多項式，則mn＝________.
5.李師傅加工1個甲種零件和1個乙種零件的時間分別是固定的．現知道李師傅加工3個甲種零件和5個乙種零件共需55分鐘；加工4個甲種零件和9個乙種零件共需85分鐘，則李師傅加工2個甲種零件和4個乙種零件共需________分鐘．
6.解三元一次方程組：
7.已知關于x，y的方程組與的解相同．
(1)求a，b的值；
(2)若一個三角形的一條邊的長為2，另外兩條邊的長是關于x的方程x2＋ax＋b＝0的解．試判斷該三角形的形狀，并說明理由．
8.為實施鄉村振興戰略，解決某山區老百姓出行難問題，當地政府決定修建一條高速公路．其中一段長為146米的山體隧道貫穿工程，由甲、乙兩個工程隊負責施工．甲工程隊獨立工作2天后，乙工程隊加入，兩工程隊又聯合工作了1天，這3天共掘進26米．已知甲工程隊每天比乙工程隊多掘進2米，按此速度完成這項隧道貫穿工程，甲、乙兩個工程隊還需聯合工作多少天？
9.某農場300名職工耕種51公頃土地，計劃種植水稻，棉花和蔬菜，已知種植農作物每公頃所需的勞動力人數及投入的設備資金如下表所示：
農作物品種 每公頃所需的勞動力 每公頃需投入的設備資金
水稻 4人 1萬元
棉花 8人 1萬元
蔬菜 5人 2萬元
已知該農場計劃在設備上投入67萬元，應該怎樣安排三種農作物的種植面積，才能使所有的職工都有工作，而且投入的資金正好夠用
【答案】
1.什么是二元一次方程、二元一次方程組？什么是二元一次方程組的解？
①二元一次方程：含有2個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的整式方程．
②二元一次方程組：把具有相同未知數的兩個二元一次方程(或一個二元一次方程，一個一元一次方程)聯立起來組成的方程組．
③二元一次方程組的解：能夠使方程組的每個方程都成立的未知數的值．
2. 什么是三元一次方程、三元一次方程組？什么是三元一次方程組的解？
①三元一次方程:含有三個未知數（如 x、y、z），且未知數的次數均為 1 的整式方程。
②三元一次方程組:：由三個三元一次方程組成的方程組，且方程組中所有未知數的次數均為 1。
③三元一次方程組的解:同時滿足方程組中所有方程的一組未知數的值（x、y、z）
3.如何解二元一次方程組？
(1)代入消元法：當方程組中一個方程的常數項為0或某一個未知數的系數是1或－1時，選擇代入消元法較為簡單；
(2)加減消元法：①當方程組中同一個未知數的系數相反或相同時，采用加減消元法較為簡單；
②當系數不相反也不相同時，可通過找系數的最小公倍數，將系數變成相反或相同，此時采用加減消元法較為合適．
4.如何解三元一次方程組？
（1）代入消元法：當方程組中某一個方程的某一個未知數的系數為 1 或 -1 時
（2）加減消元法：當方程組中某一個未知數的系數相同或相反時
（3）系數調整法：當方程組中未知數的系數不相反也不相同時，可通過調整系數（如找最小公倍數）使系數相同或相反，再用加減消元法。
5. 如何分析實際問題中的數量關系？
分析實際問題中的數量關系，通常需要明確問題中的已知條件和未知量，然后根據題意建立方程或方程組。
1.A.
2.D
3.A
4.0或8
5.40
6.【解析】由①得y=4-2x④，
由②得z=⑤，
把④，⑤代入③，得x+4-2x+=7，解得x=-2.
所以y=8，z=1.
所以原方程組的解為
7.解：(1)由題意列出方程組解得
將x＝3，y＝1分別代入ax＋2y＝－10和x＋by＝15，
解得a＝－4，b＝12，
∴a＝－4，b＝12.
(2)由x2－4x＋12＝0，解得x＝2，
這個三角形是等腰直角三角形．理由如下：
∵(2)2＋(2)2＝(2)2，
∴該三角形是等腰直角三角形．
8解：設甲工程隊每天掘進x米，乙工程隊每天掘進y米．
根據題意，得解得
(146－26)÷(7＋5)＝10.
答：甲、乙兩個工程隊還需聯合工作10天．
9.【解析】設安排x公頃種水稻，y公頃種棉花，z公頃種蔬菜.
依題意得
解得
答：應安排15公頃種水稻，20公頃種棉花，16公頃種蔬菜.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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