資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題4.3.2十字相乘法和分組分解法八大題型（一課一講）
（內容:十字相乘法、分組分解法及其應用）
【浙教版】
題型一：因式分解與有理數綜合
【經典例題1】計算 等于（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-1】若的結果為整數，則整數n的值不可能是（ ）
A．44 B．55 C．66 D．77
【變式訓練1-2】設，，則數a，b，c的大小關系是 ．
【變式訓練1-3】簡便計算
(1)
(2)
【變式訓練1-4】簡便計算：
(1)；
(2)．
【變式訓練1-5】利用因式分解的方法簡算
(1)
(2)
(3)
題型二：利用十字相乘求參數的值
【經典例題2】若因式分解得：，則、的值為（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【變式訓練2-1】分解因式時，李想同學看錯了a的值，分解的結果是，王敏同學看錯了b的值，分解的結果是，那么正確的分解因式的結果是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練2-2】多項式分解因式為，其中a，m，n為整數，則a的取值有（ ）
A．2個 B．4個 C．6個 D．無數個
【變式訓練2-3】已知是因式分解的結果，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-4】已知，這個整式可以因式分解為．則a、b的正確的值是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-5】若二次三項式可分解成，則的值是（ ）
A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16
【變式訓練2-6】若多項式因式分解后有一個因式，則 ．
題型三：判斷因式分解是否正確
【經典例題3】下列因式分解中，結果正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練3-1】下列因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練3-2】下列因式分解正確的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【變式訓練3-3】下列因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練3-4】下列對多項式進行因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練3-5】下列因式分解結果正確的是（ ）
A． B．
C． D．
題型四：因式分解計算題
【經典例題4】把下列多項式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【變式訓練4-1】因式分解：
(1)；
(2)．
【變式訓練4-2】分解因式：
(1)；
(2)．
【變式訓練4-3】因式分解
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【變式訓練4-4】因式分解
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
【變式訓練4-5】因式分解
(1)；
(2)；
(3)．
題型五：因式分解的應用
【經典例題5】仔細閱讀下面的例題，并解答問題：
例題：已知二次三項式分解因式的結果中有一個因式是，求另一個因式以及的值．
解法一：設另一個因式為，得，
即，
解得，
另一個因式為，的值為．
解法二：設另一個因式為，得，
當時，，
即：，
解得：，
，
另一個因式為，的值為．
問題：請你仿照以上一種方法解答下面問題．
(1)已知二次三項式分解因式的結果中有一個因式是，則實數=______．
(2)已知二次三項式分解因式的結果中有一個因式是，求另一個因式及的值．
【變式訓練5-1】仔細閱讀下面例題，解答問題：
例題：已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式以及的值．
解：設另一個因式為，得，
則．
．
解得：．
另一個因式為的值為，
解法二：二次三項式有一個因式是，
當，即時，．
把代入，
得，
而．
問題：仿照以上兩種方法解答下面問題：已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式以及的值．
【變式訓練5-2】因為，這說明多項式有一個因式為，我們把代入多項式，發現能使多項式的值為0．
利用上述規律，回答下列問題：
(1)若是多項式的一個因式，求k的值．
(2)若和是多項式的兩個因式，試求m、n的值，并將該多項式因式分解．
(3)分解因式：．
【變式訓練5-3】 閱讀下列材料：
材料1、將一個形如的二次三項式因式分解時，如果能滿足且，則可以把因式分解成．
例：（1）（2）
材料2、因式分解：
解：將看成一個整體，令則原式
再將“A”還原，得：原式
上述解題用到“整體思想”，整體思想是數學解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題：
(1)根據材料1，把分解因式．
(2)結合材料1和材料2，完成下面小題：
①分解因式：
②分解因式：
【變式訓練5-4】【材料閱讀】某數學活動小組對多項式乘法進行如下探究：
（1）；
（2）；
（3）．
我們發現，形如的兩個多項式相乘，其結果一定為（p，q為整數）．因式分解是與整式乘法方向相反的變形，故有，即可將形如的多項式因式分解成(（p，q為整數）．
【初步應用】
（1）用上面的方法分解因式： ______；
【類比應用】
（2）規律應用：若可用以上方法進行因式分解，求整數m的所有可能值；
【拓展應用】
（3）分解因式：．
【變式訓練5-5】閱讀材料
材料1 將一個形如的二次三項式因式分解時，如果能滿足且，則可以把因式分解成．
例：①；
②．
材料2 因式分解：．
解：將“”看成一個整體，令，則原式，
再將“A”還原，得原式．
上述解題用到“整體思想”，整體思想是數學解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題：
(1)根據材料1，把分解因式；
(2)結合材料1和材料2，完成下面小題：
①分解因式：；
②分解因式：．
【變式訓練5-6】材料：將一個形如的二次三項式因式分解時，如果能滿足且，則可以把因式分解成．例如，具體做法是先分解二次項系數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代數和，使其等于一次項系數，這種方法稱為“十字相乘法”．
這樣，我們可以得到：．
材料：分解因式：
解：將“”看成一個整體，令，則原式，再將“”還原，得：原式
上述解題用到“整體思想”和“換元思想”，整體思想和換元思想是數學解題中常見的兩種思想方法．
【遷移運用】
(1)利用上述的十字相乘法，將下列多項式分解因式：
；
(2)結合材料和材料，對下面小題進行因式分解：
；．
題型六：分組分解計算題
【經典例題6】把下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【變式訓練6-1】分解因式：
(1)；
(2)；
【變式訓練6-2】因式分解：
【變式訓練6-3】把下列各式分解因式：
(1)；
(2)．
【變式訓練6-4】將下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)
【變式訓練6-5】因式分解
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
題型七：分組分解求代數式的值
【經典例題7】已知，，則整式的值為（ ）
A． B． C． D．3
【變式訓練7-1】已知，，則多項式的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練7-2】設為實數，且，則（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練7-3】已知a，b為正整數，滿足，則的最大值為（ ）
A．28 B．43 C．76 D．78
【變式訓練7-4】若，，則的值為 ．
【變式訓練7-5】已知，，，滿足關系式，，則的值為 ．
【變式訓練7-6】已知，，則代數式的值為 ．
題型八：分組分解的應用
【經典例題8】（1）將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續分解的方法是分組分解法．
例如：．
①分解因式：；
②若．，都是正整數且，求的值；
（2）若，為實數且滿足，整式，求整式的最小值．
【變式訓練8-1】閱讀材料并解決問題：分解因式時，細心觀察這個式子就會發現前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會產生公因式，然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因式了，過程為：，這種分解因式的方法叫做分組分解法．利用這種方法解決問題：
(1)分解因式：；
(2)已知△ABC的三邊長，，，滿足，試判斷△ABC的形狀．
【變式訓練8-2】將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式分別分解的方法是因式分解中的分組分解法，常見的分組分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：． 再如“”分法：．利用上述方法解決下列問題：
(1)分解因式：
①．
②．
(2)已知：a、b、c為△ABC的三條邊，，求△ABC的周長．
【變式訓練8-3】因式分解課后，老師給同學們布置了如下作業．
因式分解：．
小明：將“”看成整體，令，則原式，再將“A”還原，可以得到原式．
張老師：上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數學解題中常用的一種思想方法，請大家仿照小明的做法完成下列題目．
(1)因式分解：．
(2)因式分解：．
(3)因式分解：．
【變式訓練8-4】第一步：閱讀材料，掌握知識．
要把多項式分解因式，可以先把它的前兩項分成一組，并提出公因式a，再把它的后兩項分成一組，提出公因式b，從而得：．這時，由于中又有公因式，于是可提出，從而得到，因此有：．這種方法稱為分組分解法．
第二步：理解知識，嘗試填空．
（1）________
第三步：應用知識，解決問題．
（2）因式分解：．
第四步：提煉思想，拓展應用．
（3）已知三角形的三邊長分別是a、b、c，且滿足，試判斷這個三角形的形狀，并說明理由．
【變式訓練8-5】我們已經學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法等等
①分組分解法：例如：
．
②拆項法：例如：
．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分組分解法）；
②（拆項法）；
(2)當，，滿足時，求，，的值．
【變式訓練8-6】在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替（即換元），不僅可以簡化要分解的多項式的結構，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”．
下面是小涵同學用換元法對多項式進行因式分解的過程．
解：設
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
請根據上述材料回答下列問題：
(1)老師說，小涵同學因式分解的結果不徹底，請你寫出該因式分解的最后結果：________；
(2)請你用換元法對多項式進行因式分解；
(3)當________時，多項式存在最________值（填“大”或“小”）．中小學教育資源及組卷應用平臺
專題4.3.2十字相乘法和分組分解法八大題型（一課一講）
（內容:十字相乘法、分組分解法及其應用）
【浙教版】
題型一：因式分解與有理數綜合
【經典例題1】計算 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：
故選：A．
【變式訓練1-1】若的結果為整數，則整數n的值不可能是（ ）
A．44 B．55 C．66 D．77
【答案】D
【詳解】解：，
A、，是的因子，可使結果為整數，不符合題意，
B、，是的因子，可使結果為整數，不符合題意，
C、，是的因子，可使結果為整數，不符合題意，
D、，不是的因子，不可使結果為整數，符合題意，
故選：D．
【變式訓練1-2】設，，則數a，b，c的大小關系是 ．
【答案】/
【詳解】解：，
，
∵，
∴；
故答案為：．
【變式訓練1-3】簡便計算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：
（2）
【變式訓練1-4】簡便計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：
；
（2）
．
【變式訓練1-5】利用因式分解的方法簡算
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)(2)8(3)40000
【詳解】（1）
（2）
（3）
題型二：利用十字相乘求參數的值
【經典例題2】若因式分解得：，則、的值為（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【詳解】解：
，
故選：A
【變式訓練2-1】分解因式時，李想同學看錯了a的值，分解的結果是，王敏同學看錯了b的值，分解的結果是，那么正確的分解因式的結果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】解：李想同學看錯了a的值，分解的結果是，但是正確，則；
王敏同學看錯了b的值，分解的結果是，但是正確，則，
∴，
故選：B．
【變式訓練2-2】多項式分解因式為，其中a，m，n為整數，則a的取值有（ ）
A．2個 B．4個 C．6個 D．無數個
【答案】B
【詳解】解：時，；
時，；
時，；
時，；
的取值有4個．
故選：．
【變式訓練2-3】已知是因式分解的結果，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】∵，
∴
∴．
故選：A．
【變式訓練2-4】已知，這個整式可以因式分解為．則a、b的正確的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：，
∴
解得：．
故選：B
【變式訓練2-5】若二次三項式可分解成，則的值是（ ）
A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16
【答案】A
【詳解】解：二次三項式可分解成即，
，
解得：，，
則，
故選：A．
【變式訓練2-6】若多項式因式分解后有一個因式，則 ．
【答案】
【詳解】解：根據題意可設另一個因式為，
，
∴，
，．
故答案為：．
題型三：判斷因式分解是否正確
【經典例題3】下列因式分解中，結果正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】解：A、，故本選項錯誤，不符合題意；
B、，故本選項錯誤，不符合題意；
C、不能進行因式分解，故本選項錯誤，不符合題意；
D、，故本選項正確，符合題意；
故選：D．
【變式訓練3-1】下列因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】解：A、，因式分解正確，選項正確；
B、，因式分解錯誤，不符合題意；
C、，因式分解錯誤，不符合題意；
D、，因式分解錯誤，不符合題意；
故選：A．
【變式訓練3-2】下列因式分解正確的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【詳解】解：A、，故該選項不正確，不符合題意；
B、，故該選項不正確，不符合題意；
C、
，故該選項不正確，不符合題意；
D、，故該選項正確，符合題意；
故選：D．
【變式訓練3-3】下列因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：A. ，故該選項不正確，不符合題意；
B. ，故該選項不正確，不符合題意；
C. ，故該選項正確，符合題意；
D. ，故該選項不正確，不符合題意；
故選：C．
【變式訓練3-4】下列對多項式進行因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：A．，選項分解錯誤，不符合題意；
B．，選項分解錯誤，不符合題意；
C．，選項分解正確，符合題意；
D．，選項分解錯誤，不符合題意．
故選：C．
【變式訓練3-5】下列因式分解結果正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】解：A．，故A錯誤；
B．，故B錯誤；
C．，故C錯誤；
D．，故D正確．
故選：D．
題型四：因式分解計算題
【經典例題4】把下列多項式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【詳解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式；
（4）解：原式
．
【變式訓練4-1】因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：
；
（2）解：原式
．
【變式訓練4-2】分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：原式，
，
；
（2）解：原式，
，
，
．
【變式訓練4-3】因式分解
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【詳解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【變式訓練4-4】因式分解
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【變式訓練4-5】因式分解
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
題型五：因式分解的應用
【經典例題5】仔細閱讀下面的例題，并解答問題：
例題：已知二次三項式分解因式的結果中有一個因式是，求另一個因式以及的值．
解法一：設另一個因式為，得，
即，
解得，
另一個因式為，的值為．
解法二：設另一個因式為，得，
當時，，
即：，
解得：，
，
另一個因式為，的值為．
問題：請你仿照以上一種方法解答下面問題．
(1)已知二次三項式分解因式的結果中有一個因式是，則實數=______．
(2)已知二次三項式分解因式的結果中有一個因式是，求另一個因式及的值．
【答案】(1)
(2)，
【詳解】（1）解：設另一個因式為，得，
當時，，
即：，
解得：，
故答案為：；
（2）解：設另一個因式為，得，
當時，，
即：，
解得：，
，
另一個因式為，的值為．
【變式訓練5-1】仔細閱讀下面例題，解答問題：
例題：已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式以及的值．
解：設另一個因式為，得，
則．
．
解得：．
另一個因式為的值為，
解法二：二次三項式有一個因式是，
當，即時，．
把代入，
得，
而．
問題：仿照以上兩種方法解答下面問題：已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式以及的值．
【答案】另一個因式為的值為20
【詳解】解：解法一：設另一個因式為，
由題意得：，
則，
解得：，
另一個因式為的值為20．
解法二：二次三項式有一個因式是，
當，即時，，
把代入，
得，
而．
另一個因式是的值為20．
【變式訓練5-2】因為，這說明多項式有一個因式為，我們把代入多項式，發現能使多項式的值為0．
利用上述規律，回答下列問題：
(1)若是多項式的一個因式，求k的值．
(2)若和是多項式的兩個因式，試求m、n的值，并將該多項式因式分解．
(3)分解因式：．
【答案】(1)；
(2)m、n的值分別為和0；
(3)
【詳解】（1）解：當時，，
∵是多項式的一個因式，
∴當時，，
∴，
∴
（2）解：∵和是多項式的兩個因式，
∴當或時，，
∴或時，，
∴，
解得，
∴原多項式為；
（3）解：
．
【變式訓練5-3】 閱讀下列材料：
材料1、將一個形如的二次三項式因式分解時，如果能滿足且，則可以把因式分解成．
例：（1）（2）
材料2、因式分解：
解：將看成一個整體，令則原式
再將“A”還原，得：原式
上述解題用到“整體思想”，整體思想是數學解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題：
(1)根據材料1，把分解因式．
(2)結合材料1和材料2，完成下面小題：
①分解因式：
②分解因式：
【答案】(1)
(2)①；②
【詳解】（1）
（2）①令，
則，
∴；
②
，
令，
則，
∴．
【變式訓練5-4】【材料閱讀】某數學活動小組對多項式乘法進行如下探究：
（1）；
（2）；
（3）．
我們發現，形如的兩個多項式相乘，其結果一定為（p，q為整數）．因式分解是與整式乘法方向相反的變形，故有，即可將形如的多項式因式分解成(（p，q為整數）．
【初步應用】
（1）用上面的方法分解因式： ______；
【類比應用】
（2）規律應用：若可用以上方法進行因式分解，求整數m的所有可能值；
【拓展應用】
（3）分解因式：．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【詳解】解：（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴或或或，
解得（舍去）或或或（舍去）；
（3）
．
【變式訓練5-5】閱讀材料
材料1 將一個形如的二次三項式因式分解時，如果能滿足且，則可以把因式分解成．
例：①；
②．
材料2 因式分解：．
解：將“”看成一個整體，令，則原式，
再將“A”還原，得原式．
上述解題用到“整體思想”，整體思想是數學解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題：
(1)根據材料1，把分解因式；
(2)結合材料1和材料2，完成下面小題：
①分解因式：；
②分解因式：．
【答案】(1)
(2)①；②
【詳解】（1）解：，
，
；
（2）解：①令，
，
，
，
，
．
，
原式；
②令，
，
，
，
，
．
，
原式．.
【變式訓練5-6】材料：將一個形如的二次三項式因式分解時，如果能滿足且，則可以把因式分解成．例如，具體做法是先分解二次項系數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代數和，使其等于一次項系數，這種方法稱為“十字相乘法”．
這樣，我們可以得到：．
材料：分解因式：
解：將“”看成一個整體，令，則原式，再將“”還原，得：原式
上述解題用到“整體思想”和“換元思想”，整體思想和換元思想是數學解題中常見的兩種思想方法．
【遷移運用】
(1)利用上述的十字相乘法，將下列多項式分解因式：
；
(2)結合材料和材料，對下面小題進行因式分解：
；．
【答案】(1)；；
(2)；．
【詳解】（1）解：，
；
解：，
；
（2）解：，
設，
則原式化為，
，
把還原可得：；
：解，
設，
則原式化為，
，
把還原可得：．
題型六：分組分解計算題
【經典例題6】把下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
．
【變式訓練6-1】分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）解：
．
（2）解：
；
（3）解：
．
【變式訓練6-2】因式分解：
【答案】
【詳解】
．
【變式訓練6-3】把下列各式分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
【變式訓練6-4】將下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【變式訓練6-5】因式分解
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【詳解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
題型七：分組分解求代數式的值
【經典例題7】已知，，則整式的值為（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【詳解】解：因為，，
∴
，
將，代入得：
，
故選：C．
【變式訓練7-1】已知，，則多項式的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：
，
，
，
，
故選：．
【變式訓練7-2】設為實數，且，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：，
，
，
，
，
或，
若時，，
為實數，
此一元二次方程在實數范圍內無解；
若時，則，
，
故選：D．
【變式訓練7-3】已知a，b為正整數，滿足，則的最大值為（ ）
A．28 B．43 C．76 D．78
【答案】C
【詳解】解：∵，
∴
∴
∴，
∵a，b為正整數，要使最大，則b的值應比a大，
∴當時，；
當時，，
∴的最大值為76，
故選：C．
【變式訓練7-4】若，，則的值為 ．
【答案】
【詳解】解：∵，，
∴
即
∴
故答案為：．
【變式訓練7-5】已知，，，滿足關系式，，則的值為 ．
【答案】74
【詳解】由題意得，①， ②，
得③，
得④，
得，
，
．
故答案為：74．
【變式訓練7-6】已知，，則代數式的值為 ．
【答案】
【詳解】解：∵，，
∴兩式相加可得，
∵
，
∴.
故答案為：．
題型八：分組分解的應用
【經典例題8】（1）將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續分解的方法是分組分解法．
例如：．
①分解因式：；
②若．，都是正整數且，求的值；
（2）若，為實數且滿足，整式，求整式的最小值．
【答案】（1）①；②19；（2）
【詳解】解：（1）①
；
②，
，
，都是正整數，
，都是整數，且，
又，
，或，
解得或（不合題意，舍去），
；
（2），
，
，
，，
，
整式的最小值為．
【變式訓練8-1】閱讀材料并解決問題：分解因式時，細心觀察這個式子就會發現前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會產生公因式，然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因式了，過程為：，這種分解因式的方法叫做分組分解法．利用這種方法解決問題：
(1)分解因式：；
(2)已知△ABC的三邊長，，，滿足，試判斷△ABC的形狀．
【答案】(1)
(2)△ABC是等腰三角形
【詳解】（1）解：
；
（2）解：的三邊長，，滿足，
，
，
，
，
．
是等腰三角形．
【變式訓練8-2】將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式分別分解的方法是因式分解中的分組分解法，常見的分組分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：． 再如“”分法：．利用上述方法解決下列問題：
(1)分解因式：
①．
②．
(2)已知：a、b、c為△ABC的三條邊，，求△ABC的周長．
【答案】(1)①；②
(2)7
【詳解】（1）解：（1）①，
，
，
；
②，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，，，
，，
的周長．
【變式訓練8-3】因式分解課后，老師給同學們布置了如下作業．
因式分解：．
小明：將“”看成整體，令，則原式，再將“A”還原，可以得到原式．
張老師：上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數學解題中常用的一種思想方法，請大家仿照小明的做法完成下列題目．
(1)因式分解：．
(2)因式分解：．
(3)因式分解：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）解：
（2）解：
；
（3）解：令，
則
．
將代入，得
原式．
【變式訓練8-4】第一步：閱讀材料，掌握知識．
要把多項式分解因式，可以先把它的前兩項分成一組，并提出公因式a，再把它的后兩項分成一組，提出公因式b，從而得：．這時，由于中又有公因式，于是可提出，從而得到，因此有：．這種方法稱為分組分解法．
第二步：理解知識，嘗試填空．
（1）________
第三步：應用知識，解決問題．
（2）因式分解：．
第四步：提煉思想，拓展應用．
（3）已知三角形的三邊長分別是a、b、c，且滿足，試判斷這個三角形的形狀，并說明理由．
【答案】（1）；（2）（3）等邊三角形，見解析
【詳解】解：（1）；
故答案為：；
（2）原式
（3）這個三角形為等邊三角形．
理由如下：
∵
∴
∴
∴
∴且
∴且
∴
∴這個三角形是等邊三角形．
【變式訓練8-5】我們已經學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法等等
①分組分解法：例如：
．
②拆項法：例如：
．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分組分解法）；
②（拆項法）；
(2)當，，滿足時，求，，的值．
【答案】(1)①；②
(2)，，
【詳解】（1）解：①
；
②
；
（2）解：，
，
，
，，，
，，，
，，．
【變式訓練8-6】在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替（即換元），不僅可以簡化要分解的多項式的結構，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”．
下面是小涵同學用換元法對多項式進行因式分解的過程．
解：設
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
請根據上述材料回答下列問題：
(1)老師說，小涵同學因式分解的結果不徹底，請你寫出該因式分解的最后結果：________；
(2)請你用換元法對多項式進行因式分解；
(3)當________時，多項式存在最________值（填“大”或“小”）．
【答案】(1)
(2)
(3)，小．
【詳解】（1）解：
設，
原式
故答案為：；
（2）解：設，
原式
；
（3）解：設，
原式
∵
∴
∴當時，多項式存在最小值，為．

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