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2025年九年級數學中考三輪沖刺練習二次函數中分類討論壓軸題訓練
1．已知y關于x的二次函數y＝ax2（a是常數，a≠0）．
（1）若函數圖象經過點（3，0），求該函數圖象的對稱軸及頂點坐標．
（2）在（1）的條件下，當x滿足m≤x≤3時，y的取值范圍為，求m的取值范圍．
（3）若，是該函數圖象上的兩點，試比較y1，y2的大小．
2．已知二次函數y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0．
（1）若二次函數經過（﹣1，4），求二次函數解析式．
（2）若該拋物線開口向上，當﹣1≤x≤2時，拋物線的最高點為M，最低點為N，點M的縱坐標為9，求點M和點N的坐標．
（3）在二次函數圖象上任取兩點（x1，y1），（x2，y2），當a≤x1＜x2≤a+2時，總有y1＞y2，求a的取值范圍．
3．已知二次函數y＝ax2+bx+1（a，b是常數，且a＞0）．
（1）若拋物線經過A（1，5），B（﹣2，﹣1），求二次函數解析式．
（2）在（1）的條件下，拋物線上有一點P，向右平移3個單位后仍在該拋物線上，求點P的坐標．
（3）若拋物線上有且僅有一個點的縱坐標是橫坐標的三倍，令w＝b2﹣2b+4a，是否存在一個常數t，使得當t≤b≤t+1時，w的最小值恰好等于t．若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
4．已知二次函數的圖象經過點（2，﹣4），與x軸交于點（4，0）．
（1）求二次函數的表達式．
（2）若在m≤x≤5范圍內二次函數有最大值為，最小值為，求m的取值范圍．
（3）若把二次函數的圖象沿x軸平移n個單位，在自變量x的值滿足2≤x≤3的情況下，與其對應的函數值y的最小值為﹣3，求n的值．
5．已知二次函數y＝x2+bx﹣3的圖象經過點（1，﹣4）．
（1）求二次函數解析式及其對稱軸；
（2）將函數圖象向上平移m個單位長度，圖象與x軸相交于點A，B（A在原點左側），當AO：BO＝1：4時，求m的值；
（3）當n﹣1≤x≤3時，二次函數的最小值為2n，求n的值．
6．已知二次函數y＝ax2﹣2ax﹣3a（a為常數且a≠0）．
（1）若二次函數的圖象經過點（2，6），求二次函數的表達式；
（2）若a＜0，當x時，此二次函數y隨著x的增大而減小，求m的取值范圍；
（3）若二次函數在﹣1≤x≤4時有最小值﹣5，求a的值．
7．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，對稱軸為直線x＝2，頂點為D，點B的坐標為（3，0）．
（1）填空：點A的坐標為 　 　，點D的坐標為 　 　，拋物線的解析式為 　 　；
（2）P是拋物線對稱軸上一動點，是否存在點P，使△PAC是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）當二次函數y＝x2+bx+c的自變量x滿足m≤x≤m+2時，函數y的最小值為，求m的值．
8．二次函數y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（x1，0），B（x2，0）且x1≠x2．
（1）當x1＝2，且b+c＝﹣6時，
①求b，c的值；
②當﹣2≤x≤t時，二次函數y＝x2+bx+c的最大值與最小值的差為4，求t的值；
（2）若x1＝3x2，求證：．
9．已知拋物線經過點A（2，k），請解決下列問題：
（1）拋物線的對稱軸為直線x＝2時，分別求出m和k的值；
（2）當﹣2≤m≤1時，
①求k的最大值和最小值；
②若﹣2≤x≤1，y最大值﹣y最小值＝2，求m的值．
10．已知二次函數y＝ax2+bx+c（a＞0），無論m為任何實數，直線與該二次函數的圖象有且只有一個公共點．
（1）求a，b，c的值；
（2）當k≤x≤k+1時，該二次函數的最小值為k，求k的值．
11．設二次函數（a是常數，a≠0）．
（1）若a＝1，求該函數圖象的頂點坐標；
（2）若該二次函數圖象經過（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三個點中的一個點，求該二次函數的表達式；
（3）若二次函數圖象經過（x1，y1），（x2，y2）兩點，當x1+x2＝2，x1＜x2時，y1＞y2，求a的取值范圍．
12．【問題初探】
（1）綜合與實踐數學活動課上，張老師給出了一個問題：已知二次函數y＝x2+2x﹣3，當﹣2≤x≤2時，y的取值范圍為_____．
①小偉同學經過分析后，將原二次函數配方成y＝a（x﹣h）2+k形式，確定拋物線對稱軸為直線x＝h，通過﹣2、h和2的大小關系，分別確定了最大值和最小值，進而求出y的取值范圍；
②小軍同學畫出如圖的函數圖象，通過觀察圖象確定了y的取值范圍；請你根據上述兩名同學的分析寫出y的取值范圍是 　 　．
【類比分析】
（2）張老師發現兩名同學分別從“數”和“形”的角度分析、解決問題，為了讓同學們更好感悟“數形結合”思想，張老師將前面問題變式為下面問題，請你解答：已知二次函數y＝﹣x2+2x﹣3，當﹣2≤x≤2時，求y的取值范圍．
【學以致用】
（3）已知二次函數y＝﹣x2+6x﹣5，當a≤x≤a+3時，二次函數的最大值為y1，最小值為y2，若y1﹣y2＝3，求a的值．
13．若函數G在m≤x≤n（m＜n）上的最大值記為ymax，最小值記為ymin，且滿足ymax﹣ymin＝1，則稱函數G是在m≤x≤n上的“美好函數”．
（1）函數①y＝x+1；②y＝|2x|；③y＝x2，其中函數 　 　是在1≤x≤2上的“美好函數”；（填序號）
（2）已知函數G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）．
①函數G是在1≤x≤2上的“美好函數”，求a的值；
②當a＝1時，函數G是在t≤x≤t+1上的“美好函數”，請直接寫出t的值；
（3）已知函數G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0），若函數G是在m+2≤x≤2m+1（m為整數）上的“美好函數”，且存在整數k，使得k，求a的值．
14．在二次函數y＝x2﹣2tx+3中．
（1）若函數圖象的頂點在x軸上，求t的值．
（2）若點（t，s）在拋物線上，令q＝t+s，求證：．
（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在這個二次函數圖象上，且t＞0，a＜b＜3，求m的取值范圍．
15．在平面直角坐標系xOy中，若點P的橫坐標和縱坐標相等，則稱點P為完美點．已知二次函數y＝ax2+4x+c（a≠0）．
（1）當a＝1，c＝2時，請求出該函數的完美點；
（2）已知二次函數y＝ax2+4x+c（a≠0）的圖象上有且只有一個完美點，請求出該函數；
（3）在（2）的條件下，當0≤x≤m時，函數的最小值為﹣3，最大值為1，求m的取值范圍．
參考答案
1．【解答】解：（1）將（3，0）代入拋物線表達式得：0＝9a﹣（a+2）×3﹣1＝0，則a＝1，
故拋物線的表達式為：y＝x2x﹣1，
則拋物線的對稱軸為直線x，
當x時，y＝x2x﹣1，
頂點為：（，）；
（2）令y＝x2x﹣1﹣0，則x或3，
故拋物線和x軸的交點為（，0）、（3，0），
∵y的取值范圍為，即在x軸下方部分，
則m在x和頂點之間，即m；
（3）由拋物線的表達式知，其對稱軸為直線x，
則點A、B和對稱軸的距離分別為：||＝||、||＝||，
當a＞0時，則||＜||，則y2＞y1；
當a＜0時，則||＞||，則y2＞y1；
故y2＞y1．
2．【解答】解：（1）把（﹣1，4）代入函數解析式得，
m+2m+3＝4，
∴m，
∴函數解析式為：yx2x+3；
（2）∵拋物線開口方向向上，
∴m＞0，
∵y＝mx2﹣2mx+3＝m（x﹣1）2+3﹣m，
∴拋物線的頂點為（1，3﹣m），
∴當x＜1時y隨x增大而減小，
當x≥1時，y隨x增大而增大，
∴最低點N（1，3﹣m），
∵當x＝﹣1時，y＝3m+3，
當x＝2時，y＝3，
且m＞0，
∴3m+3＞3，
∴最高點M（﹣1，3m+3），
∴3m+3＝9，
∴m＝2，
代入M點和N點坐標得：M（﹣1，9），N（1，1）；
（3）①當m＞0時，
則有當x≤1時y隨x增大而減小，
當x≥1時，y隨x增大而增大，
又∵當a≤x1＜x2≤a+2時，總有y1＞y2，
此時a+2≤1，
∴a≤﹣1，
②當m＜0時，
則有當x≤1時y隨x增大而增大，
當x≥1時，y隨x增大而減小，
又∵當a≤x1＜x2≤a+2時，總有y1＞y2，
此時a≥1，
綜上，當m＞0時a≤﹣1；當m＜0時，a≥1．
3【解答】解：（1）由題意得：，
解得：，
則拋物線的表達式為：y＝x2+3x+1；
（2）設點P（m，m2+3m+1），則平移后點的坐標為：（m+3，m2+3m+1），
將該點的坐標代入函數表達式得：m2+3m+1＝（m+3）2+3（m+3）+1，
解得：m＝﹣3，
則點P的坐標為：（﹣3，1）；
（3）存在，理由：由題意得：y＝3x，
聯立上式和拋物線的表達式得：ax2+bx+1＝3x，
則Δ＝（b﹣3）2＝4a，
則w＝b2﹣2b+4a＝b2﹣2b+（b﹣3）2＝2（b﹣2）2+1，
當b＝t+1時，w＝2（t﹣1）2+1，當b＝2時，w＝1，當b＝t時，w＝2（t﹣2）2+1，
當t≤1時，則函數w在x＝t+1時取得最小值，即2（t﹣2）2+1＝t，則t＝1或1.5（舍去）；
當1＜t＜2時，則函數在頂點時取得最小值，即1＝t（舍去）；
當t≥2時，則函數w在x＝t時取得最小值，即2（t﹣2）2+1＝t，則t＝3或1.5（舍去）；
綜上，t＝1或3．
4．【解答】解：（1）已知二次函數的圖象經過點（2，﹣4），與x軸交于點（4，0），將（2，﹣4），（4，0）代入得：
，
解得，
∴二次函數的表達式為；
（2），
∴二次函數的開口向上，頂點坐標為，
當x＝5時，，
∵二次函數的對稱軸為直線x＝1，
當x＝5或x＝﹣3時，，
∵在m≤x≤5范圍內二次函數有最大值為，最小值為，
∴﹣3≤m≤1；
（3）由（2）可得的對稱軸為直線x＝1，
且拋物線在2≤x≤3范圍內y隨x的增大而增大，
∴拋物線在x＝2時有最小值為﹣4，
①向左平移n個單位，即當x＝2時，存在與其對應的函數值y的最小值﹣3，
∴，
將x＝2代入得：n2+2n﹣2＝0，
解得：或，
∵向左平移，
∴n＞0，
∴；
②向右平移n個單位，當平移后對稱軸在2左邊時，即n≤1，函數在x＝2處取得最小值﹣3，
即，
解得：，，都不符合題意，舍去；
當平移后對稱軸在2到3之間時，在頂點處取到最小值，即最小值；
當平移后對稱軸在3右邊時，即n≥2時，函數在x＝3時，存在y的最小值﹣3，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
綜上所述，或．
5．【解答】解：（1）將（1，﹣4）代入函數表達式得：﹣4＝1+b﹣3，則b＝﹣2，
即拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3，
則拋物線的對稱軸為直線x＝1；
（2）當AO：BO＝1：4時，設點A（﹣t，0）、B（4t，0），
則平移后拋物線的對稱軸仍然為直線x＝1（4t﹣t），則t，
則點A、B的坐標分別為：（，0）、（，0），
則新拋物線的表達式為：y＝（x）（x）＝x2﹣2x﹣3，
即m；
（3）由（1）知，拋物線的頂點為（1，﹣4），
當x＝n﹣1＜1時，即n＜2，
拋物線在頂點處取得最小值，即﹣4＝2n，則n＝﹣2；
當3≥x＝n﹣1≥1時，即2≤n≤4，
則拋物線在x＝n﹣1時取得最小值，即（n﹣1）2﹣2（n﹣1）﹣3＝2n，
解得：n＝0（舍去）或6（舍去），
綜上，n＝﹣2．
6．【解答】解：（1）把點（2，6）代入二次函數y＝ax2﹣2ax﹣3a中得﹣3a＝6，故a＝﹣2；
∴二次函數的表達式為y＝﹣2x2+4x+6．
（2）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a的對稱軸為直線x＝1，且a＜0，
則當x＞1時，y隨著x的增大而減小，
又∵x時，y隨著x的增大而減小，
∴1，解得m≥2．
（3）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a的對稱軸為直線x＝1，
當a＞0時，開口向上，且二次函數在﹣1≤x≤4時有最小值﹣5，
∴當x＝1時，ymin＝a﹣2a﹣3a＝﹣5，解得a；
當a＜0時，開口向下，且二次函數在﹣1≤x≤4時有最小值﹣5，
∴當x＝4時，ymin＝16a﹣8a﹣3a＝﹣5，解得a＝﹣1，
故a的值為﹣1或．
7．【解答】解：（1）∵對稱軸為直線x＝2，點B的坐標為（3，0），
∴A（1，0），
將A（1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣4x+3，
當x＝2時，y＝22﹣4×2+3＝﹣1，
∴D（2，﹣1），
故答案為：（1，0），（2，﹣1），y＝x2﹣4x+3；
（2）存在點P，使△PAC是以AC為斜邊的直角三角形，理由如下：
設P（2，t），
在y＝x2﹣4x+3中，令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
∵A（1，0），
∴AC2＝（0﹣1）2+（3﹣0）2＝10，PA2＝（2﹣1）2+（t﹣0）2＝t2+1，PC2＝（2﹣0）2+（t﹣3）2＝（t﹣3）2+4，
∵△PAC是以AC為斜邊的直角三角形，
∴PA2+PC2＝AC2，
∴t2+1+（t﹣3）2+4＝10，
解得t＝1或t＝2，
∴P（2，1）或（2，2）；
（3）由拋物線對稱軸為直線x＝2，分三種情況：
①當m+2＜2，即m＜0時，y隨x的增大而減小，
∴x＝m+2時，y取得最小值，
∴（m+2）2﹣4（m+2）+3，
解得m（舍去）或m，
∴此時m；
②當m≤2≤m+2，即0≤m≤2時，x＝2時最小值為﹣1，
∴這種情況不存在最小值為；
③當m＞2時，y隨x的增大而增大，
∴x＝m時，y取最小值，
∴m2﹣4m+3，
解得m（舍去）或m，
∴此時m
綜上所述，m或．
8．【解答】（1）解：①當x1＝2，則拋物線y＝x2+bx+c經過點A（2，0），且b+c＝﹣6，
則，解得：
即b、c的值分別為2、﹣8；
②y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，
當﹣2＜t＜﹣1時，y隨x的增大而減小，
當x＝﹣2時，y＝（x+1）2﹣9＝﹣8，當x＝t時，y＝t2+2t﹣8，
則t2+2t﹣8﹣（﹣8）＝4，
方程無解；
當t＞﹣1時，y的最小值為﹣9，最大值為t2+2t﹣8，
則t2+2t﹣8﹣（﹣9）＝4，
解得：t＝﹣3（舍去）或1；
（2）證明：∵x1＝3x2，且x1≠x2，
∴3x2≠x2，
∴x2≠0，
∵x1、x2是一元二次方程x2+bx+c＝0的兩個根，
∴x1+x2＝﹣b，
∴3x2+x2＝﹣b，
∴x2b，
∴（b）2+b （b）+c＝0，
∴cb2，
∴b﹣cbb2（b﹣4）2+3≤3，
∴．
9．【解答】解：（1）已知拋物線經過點A（2，k），且拋物線的對稱軸為直線x＝2，
∴，
∴m＝2，
∴拋物線的解析式為，
將點A的坐標代入得：
，
解得：k＝2；
（2）①∵拋物線經過點A（2，k），將點A的坐標代入得：
k＝2﹣2m+m2＝（m﹣1）2+1，
∴二次函數k＝（m﹣1）2+1對稱軸為直線m＝1，開口向上，
∴當﹣2≤m≤1，k隨著m的增大而減小，
∴當m＝﹣2，kmax＝9+1＝10，
當m＝1，kmin＝0+1＝1；
②∵，
而﹣2≤m≤1，﹣2≤x≤1，開口向上，
∴當x＝m時，y有最小值，，
則若m﹣（﹣2）≥1﹣m，即時，y有最大值，
∴，
∴此時，
解得：m＝0或m＝﹣4（不合題意，舍去）；
若m﹣（﹣2）＜1﹣m，即時，y有最大值，
∴，
∴此時，
解得：m＝﹣1或m＝3（不合題意，舍去），
綜上所述：m的值為0或﹣1．
10．【解答】解：（1））∵直線與拋物線C1有且只有一個公共點，
∴方程組只有一組解，
∴ax2+（b﹣m）xm+c＝0有兩個相等的實數根，
∴Δ＝0，
∴（b﹣a）2﹣4a（m+c）＝0，
整理得：（1﹣a）m2﹣2（2a+b）m+b2﹣4ac＝0，
∵不論m為任何實數，（1﹣a）m2﹣2（2a+b）m+b2﹣4ac＝0恒成立，
∴，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝1．
（2）由（1）知，拋物線解析式為y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，開口向上，
∵當k≤x≤k+1時，拋物線的最小值為k，
∴分三種情況：k＜0或0≤k≤1或k＞1，
①當k＜0時，k+1＜1，當k≤x≤k+1時，y隨著x的增大而減小，則當x＝k+1時，y的最小值為k，
∴（k+1﹣1）2＝k，
解得：k＝0或1，均不符合題意，舍去；
②當0≤k≤1時，當x＝1時，拋物線的最小值為0，
∴k＝0；
③當k＞1時，y隨著x的增大而增大，則當x＝k時，y的最小值為k，
∴（k﹣1）2＝k，
解得：k或，
∵k＞1，
∴k，
綜上所述，若k≤x≤k+1時，拋物線的最小值為k，k的值為0或．
11．【解答】解：（1）當a＝1時，二次函數y＝（x+1）（x+4）＝x2+5x+4＝（x）2，
∴該函數的頂點坐標為（，）；
（2）當x＝﹣1時，y＝0，
此時y＝0≠﹣1，
∴該拋物線圖象不過點（﹣1，1），
當時x＝﹣2，y＝﹣2，
此時y＝﹣2≠3，
∴該拋物線圖象不過點（﹣2，3），
∴該拋物線過點（0，﹣2），代入得：2a+2＝﹣2，
解得：a＝﹣2，
將a＝﹣2代入二次函數的表達式為：y＝（x+1）（﹣2x﹣2），
整理得：y＝﹣2x2﹣4x﹣2，
故二次函數的表達式為：y＝﹣2x2﹣4x﹣2；
（3）∵x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，
∵二次函數（a是常數，a≠0）的圖象與x軸交于點（﹣1，0），（﹣2﹣2a，0），
∴函數圖象的對稱軸為直線x，
當a＞0時，函數圖象開口向上，
∵當x1+x2＝2，x1＜x2時，y1＞y2，
∴x2x1，
∴10+4a＜0，
解得a，舍去；
當a＜0時，函數圖象開口向下，
∵x1＜x2時，y1＞y2，
∴x2x1，
∴10+4a＞0，
∴a，
∴a＜0．
12．【解答】解：（1）根據小偉的做法；y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣1，
∵﹣2≤x≤2且|2﹣（﹣1）|＞|﹣2﹣（﹣1）|，
∴當x＝﹣1時，y有最小值（﹣1+1）2﹣4＝﹣4，
當x＝2時，y有最大值（2+1）2﹣4＝5，
∴y的取值范圍為：﹣4≤y≤5，
故答案為：﹣4≤y≤5．
（2）∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∴拋物線對稱軸為直線x＝1，
圖象如圖所示：
結合圖象可知，當x＝﹣2時，y有最小值﹣（﹣2﹣1）2﹣2＝﹣11，
當x＝1時，y有最大值﹣（1﹣1）2﹣2＝﹣2，
∴y的取值范圍為：﹣11≤y≤﹣2．
（3）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴拋物線對稱軸為直線x＝3，
①若a+3≤3，即：a≤0時：
結合圖象可知，當x＝a時，y有最小值，
∴，
當x＝a+3時，y有最大值，
∴，
∴﹣（a+3﹣3）2+4﹣[﹣（a﹣3）2+4]＝3，
解得：a＝1（舍去），
②若a≥3時：
結合圖象可知，當x＝a+3時，y有最小值，
∴，
當x＝a時，y有最大值，
∴，
∴﹣（a﹣3）2+4﹣[﹣（a+3﹣3）2+4]＝3，
解得：a＝2（舍去），
③若0＜a＜3時：
（i）時：
結合圖象可知，當x＝a+3時，y有最小值，
∴，
當x＝3時，y有最大值，
∴，
∴4﹣[﹣（a+3﹣3）2+4]＝3
解得：（舍去），
（ii）時：
結合圖象可知，當x＝a時，y有最小值，
∴，
當x＝3時，y有最大值，
∴，
∴4﹣[﹣（a﹣3）2+4]＝3，
解得：（舍去），
綜上所述，或．
13．【解答】解：（1）對于①y＝x+1，
當x＝1時，y＝2，
當x＝2時，y＝3，
∴ymax﹣ymin＝1，符合題意；
對于②y＝|2x|，
當x＝1時，y＝2，
當x＝2時，y＝4，
∴ymax﹣ymin≠1，不符合題意；
對于③y＝x2，
當x＝1時，y＝1，
當x＝2時，y﹣4，
∴ymax﹣ymin≠1，不符合題意；
故答案為：①；
（2）①二次函數G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）對稱軸為直線x＝1，
當x＝1時，y1＝4a，當x＝2時，y2＝﹣3a，
當a＞0時，則當1≤x≤2時，y隨x的增大而增大，
∴y2﹣y1＝﹣3a﹣（﹣4a）＝1，
∴a＝1，
當a＜0時，則當1≤x≤2時，y隨x的增大而減小，
∴y2﹣y1＝﹣4a﹣（﹣3a）＝1，
∴a＝﹣1，
綜上所述，a＝1或a＝﹣1；
②二次函數G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）為y＝x2﹣2x﹣3，對稱軸為直線x＝1，
當x＝t，y1＝t2﹣2t﹣3，
當x＝t+1時，y2＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3＝t2﹣4，
當x＝1時，y3＝﹣4．
若t＞1，則y2﹣y1＝t2﹣4﹣（t2﹣2t﹣3）＝1，解得t＝1（舍去）；
若t≤1，則y2﹣y3＝t2﹣4﹣（﹣4）＝1，解得t＝﹣1（舍去），t＝1；
若0≤t，則y1﹣y3＝（t2﹣2t﹣3）﹣（﹣4）＝1，解得t＝0，t＝2（舍去）；
若t＜0，則y1﹣y2＝t2﹣2t﹣3﹣（t2﹣4）＝1，解得t＝0（舍去）．
綜上所述，t＝0或t＝1；
（3）由上可知，二次函數G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）對稱軸為直線x＝1，
又∵m+2≤x≤2m+1，
∴m＞1，
∴3＜m+2≤x≤2m+1，
∴當m+2≤x≤2m+1時，y隨x的增大而增大，
當x＝2m+1時取得最大值，x＝m+2時取得最小值，
∴k4，
∵m，k為整數，且m＞1，
∴m+3＝8，即m的值為5，
又∵ymax﹣ymin＝1，
∴a（10+1）2﹣2a（10+1）﹣3a﹣[a（5+2）2﹣2a（5+2）﹣3a]＝1，
∴a．
14．【解答】（1）解：根據題意得：，
解得： 或，
∴t的值為或；
（2）證明：∵點（t，s）在拋物線上，
∴s＝t2﹣2t2+3＝﹣t2+3，
∴q＝t+s＝﹣t2+t+3，
∴，
∵﹣1＜0，
∴q有最大值，
∴；
（3）解：∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在這個二次函數的圖象上，
∴二次函數y＝x2﹣2tx+3的對稱軸直線x＝t即為直線，
∴t＝m﹣1，
∵t＞0，
∴m﹣1＞0，
解得m＞1，
∵m﹣2＜m，
∴A在對稱軸左側，C在對稱軸右側，
在y＝x2﹣2tx+3中，令x＝0得y＝3，
∴拋物線y＝x2﹣2tx+3與y軸交點為（0，3），
∴（0，3）關于對稱軸直線x＝m﹣1的對稱點為（2m﹣2，3），
∵b＜3，
∴4＜2m﹣2，
解得m＞3；
①當 A（m﹣2，a），B（4，b）都在對稱軸左側時，
∵y隨x的增大而減小，且a＜b，
∴4＜m﹣2，
解得m＞6，
此時m滿足的條件為m＞6；
②當A（m﹣2，a）在對稱軸左側，B（4，b）在對稱軸右側時，
∵a＜b，
∴B（4，b）到對稱軸直線x＝m﹣1距離大于A（m﹣2，a）到對稱軸直線x＝m﹣1的距離，
∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），
解得：m＜4，
此時m滿足的條件是3＜m＜4，
綜上所述，3＜m＜4或m＞6．
15．【解答】解：（1）當a＝1，c＝2時，y＝x2+4x+2，
令y＝x，則 x2+3x+2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2，
∴該函數的完美點為P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，﹣2）；
（2）令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由題意可得，圖象上有且只有一個完美點，∴Δ＝9﹣4ac＝0，則4ac＝9．
又方程根為x，
∴a＝﹣1，c，
該二次函數的解析式為y＝﹣x2+4x；
（3）∵y＝﹣x2+4xx2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴該二次函數圖象如圖所示，頂點坐標為（2，1），
與y軸交點為（0，﹣3），根據對稱規律，點（4，﹣3）也是該二次函數圖象上的點．在x＝2左側，y隨x的增大而增大；在x＝2右側，y隨x的增大而減小；
∵當0≤x≤m 時，函數y＝﹣x2+4x﹣3的最小值為﹣3，最大值為1，
∴2≤m≤4．
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