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2025年九年級數學中考三輪沖刺練習函數中新定義問題壓軸題訓練
1．定義：在平面直角坐標系中有兩個函數的圖象，如果在這兩個圖象上分別取點（x，y1），（x，y2）（x為自變量取值范圍內的任意數），都有點（x，y1）和點（x，y2）關于點（x，x）成中心對稱（這三個點可以重合），那么稱這兩個函數互為“中心對稱函數”．例如：y1x和y2互為“中心對稱函數”．
（1）如果點（x，y1）和點（x，y2）關于點（x，x）成中心對稱，那么三個數x，y1，y2滿足的等量關系是 　 ??；
（2）已知函數：①y＝﹣2x和y＝2x；②y＝﹣x+3和y＝3x﹣3；③y＝3x2+4x﹣1和y＝﹣3x2﹣2x+1，其中互為“中心對稱函數”的是 　 　（填序號）；
（3）已知函數y＝3x﹣4的“中心對稱函數”的圖象與反比例函數（m＞0）的圖象在第一象限有兩個交點C，D，且△COD的面積為4．
①求m的值； 　 ??；
②反比例函數的“中心對稱函數”的圖象在第一象限內是否存在最低點，若存在，直接寫出反比例函數的“中心對稱函數”的函數表達式和該函數圖象在第一象限內最低點坐標；若不存在，請簡要說明理由．
（4）已知三個不同的點M（t，m），N（5，n），P（1，m）都在二次函數y＝﹣ax2+（2﹣b）x﹣c（a，b，c為常數，且a＞0）的“中心對稱函數”的圖象上，且滿足m＜n＜c．如果t2恒成立，求w的取值范圍．
2．我們定義：點P在一次函數y＝ax+b上，點Q在反比例函數上，若存在P、Q兩點關于y軸對稱，我們稱二次函數y＝ax2+bx+c為一次函數和y＝ax+b反比例函數的“向光函數”，點P稱為“幸福點”．例如：點P（﹣1，﹣2）在y＝x﹣1上，點Q（1，﹣2）在上，P、Q兩點關于y軸對稱，此時二次函數y＝x2﹣x﹣2為一次函數y＝x﹣1和反比例函數的“向光函數”，點P（﹣1，﹣2）是“幸福點”．
（1）判斷一次函數y＝x+1和反比例函數是否存在“向光函數”，若存在，請求出“幸福點”坐標；若不存在，請說明理由；
（2）若一次函數y＝x﹣k與反比例函數只有一個“幸福點”，求其“向光函數”的解析式；
（3）已知一次函數y＝ax+b與反比例函數有兩個“幸福點”A、B（A在B左側），其“向光函數”y＝ax2+bx+c與軸x交于C、D兩點（C在D左側），若有以下條件：
①a+b+c＝0②“向光函數”經過點（﹣3，4），③a＞b＞0，記四邊形ACBD的面積為S，求的取值范圍．
3．為了反映函數在某一范圍內函數值變化的幅度，提出如下定義：在一段連續的函數圖象上，當t1≤x≤t2（t1＜t2）時，函數y的最小值為m1，最大值為m2，若，則稱p為該函數在區間[t1，t2]上的起伏度．
（1）函數在區間[2，6]上的起伏度為 　 　，函數y＝﹣5x+1在區間[a，a+2]上的起伏度為 　 　；
（2）試說明：一次函數y＝kx+b（k，b為常數，k≠0）在任意區間[t1，t2]（t1＜t2）上的起伏度是一個定值；
（3）下列判斷正確的是 　 　（填寫序號）：
①函數在區間[t，t+d]（t＞0，d為常數且d＞0）上的起伏度隨著t的增大而減??；
②二次函數y＝ax2在區間[t1，t2]（t1＜t2）上的起伏度為p1，二次函數y＝a（x﹣h）2+k在區間[h+t1，h+t2]上的起伏度為p2，則p1＝p2；
③二次函數y＝ax2+bx+c在區間[t，t+4]的起伏度p的最小值為a．
（4）已知函數y＝x2﹣2x+3與在區間[t，t+1]上的起伏度相同，求t的值．
4．定義：在平面直角坐標系中，如果一個點的縱坐標等于它的橫坐標的三倍，則稱該點為“縱三倍點”．例如（1，3），（﹣2，﹣6），都是“縱三倍點”．
（1）下列函數圖象上只有一個“縱三倍點”的是 　 ??；（填序號）
①y＝﹣2x+1；
②；
③y＝x2+x+1．
（2）已知拋物線y＝x2+mx+n（m，n均為常數）與直線y＝x+4只有一個交點，且該交點是“縱三倍點”，求拋物線的解析式；
（3）若拋物線（a，b是常數，a＞0）的圖象上有且只有一個“縱三倍點”，令w＝b2﹣2b+6a，是否存在一個常數t，使得當t≤b≤t+1時，w的最小值恰好等于t，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
5．我們不妨約定：在平面直角坐標系中，若點M的橫坐標與縱坐標之和等于點N的橫坐標與縱坐標之和，則稱M，N兩點同為“郡系點”．
（1）已知點A的坐標為（2，6），B是反比例函數圖象上的一點，且A，B兩點同為“郡系點”，求點B的坐標；
（2）若點C（﹣2，y1），D（4，y2）在直線y＝kx﹣3（k≠0）上，且C，D兩點同為“郡系點”，求k的值；
（3）若點E是直線上第一象限內的一點，若在拋物線（）上總存在點F，使得E，F兩點同為“郡系點”，求c的取值范圍．
6．若定義：若一個函數圖象上存在縱坐標是橫坐標2倍的點，則把該函數稱為“明德函數”，該點稱為“明德點”，例如：“明德函數”y＝x+1，其“明德點”為（1，2）．
（1）①判斷：函數y＝2x+3 　 　“明德函數”（填“是”或“不是”）；
②函數y＝x2的圖象上的明德點是 　 ??；
（2）若拋物線上有兩個“明德點”，求m的取值范圍；
（3）若函數的圖象上存在唯一的一個“明德點”，且當﹣1≤m≤3時，n的最小值為k，求k的值．
7．定義：在平面直角坐標系xOy中，函數圖象上到一條坐標軸的距離等于a（a≥0），到另一條坐標軸的距離不大于a的點叫做該函數圖象的“a級方點”．例如，點（2，3）為雙曲線的“3級方點”，點為直線的“級方點”．
（1）下列函數中，其圖象的“1級方點”恰有兩個的是 　 　（只填序號）；
①y＝x；
②；
③．
（2）已知y關于x的二次函數y＝﹣（x﹣a+1）2+3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2，
①當a＝2時，該函數圖象的“2級方點”的坐標是 　 ??；
②當該函數圖象的“a級方點”恰有三個時，求a的值．
8．我們定義：點P在一次函數y＝ax+b上，點Q在反比例函數上，若存在P、Q兩點關于y軸對稱，我們稱二次函數y＝ax2+bx+c為一次函數y＝a+b和反比例函數的“向光函數”，點P稱為“幸福點”．例如：點P（﹣1，﹣2）在y＝x﹣1上，點Q（1，﹣2）在上，P、Q兩點關于y軸對稱，此時二次函數y＝x2﹣x﹣2為一次函數y＝x﹣1和反比例函數的“向光函數”，點P（﹣1，﹣2）是“幸福點”．
（1）判斷一次函數y＝x+2和反比例函數是否存在“向光函數”，若存在，請求出“幸福點”坐標；若不是，請說明理由；
（2）若一次函數y＝x﹣k+1與反比例函數只有一個“幸福點”，求其“向光函數”的解析式；
（3）已知一次函數y＝ax+b與反比例函數有兩個“幸福點”A、B（A在B左側），其“向光函數”y＝ax2+bx+c與x軸交于C、D兩點（C在D左側），若有以下條件：①a+b+c＝0②“向光函數”經過點（﹣3，4）③a＞b＞0，記四邊形ACBD的面積為S，求的取值范圍．
9．我們約定：若關于x的二次函數與同時滿足a1≠0，a2≠0，|a1+a2|（c1+c2）2＝0，則稱函數y1與y2“回旋”函數．根據該約定，解答下列問題：
（1）求二次函數y＝x2﹣4x+3的“回旋”函數的解析式；
（2）若關于x的二次函數y＝ax2+2ax+c的頂點在它的“回旋”函數圖象上，且時，﹣4≤y2≤4，求a，c的值；
（3）關于x的函數（a＞0）的圖象頂點M，與x軸的交點為A，B，當它的“回旋”函數y2的頂點為N，與x軸的交點為C、D，從右到左依次是A、B、C、D，若AC＝3BC，是否存在b使得AMDN為矩形？
10．我們約定：平面直角坐標系xOy中，點A（x1，y1），B（x2，y2）滿足x1≠x2，y1＝y2，則稱A，B為一對“等值點”．根據約定，解決下列問題：
（1）下列函數存在“等值點”的是 　 ??；（填寫序號）
①y＝2x﹣2；②y＝x2﹣6x+13；③y＝﹣3x2+6x+11；④．
（2）關于x的函數y＝kx+b（k，b為常數）的圖象上是否存在“等值點”？如果存在，請指出它有多少對“等值點”，如果不是，請說明理由；
（3）已知二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的圖象與x軸交于C，D兩點，點E（x1，y1）和F（x2，y2），點G（x3，y3）和H（x4，y4）是該函數圖象上的兩對“等值點”，且滿足．若以CD，EF，GH這三條線段的長為邊長的三角形是直角三角形，試求該直角三角形的面積．
11．新定義：如果實數m，n滿足m﹣n＝﹣2時，則稱P（m，n）為“立足點”，稱Q（m﹣1，5﹣n）為“制高點”，例如，P（1，3）是“立足點”，Q（0，2）是“制高點”．
（1）求正比例函數y＝x圖象上“制高點”的坐標；
（2）已知點D（x1，y1），E（x2，y2）是拋物線y＝ax2+（2b﹣1）x+3c+2上的“制高點”，若a+b+c＝0，且a＞2b＞3c，求|x1﹣x2|的取值范圍；
（3）若點A是反比例函數圖象上唯一的“立足點”，點B，C是反比例函數圖象上的“制高點”，點M是反比例函數圖象上的動點，求當△MBC面積與△ABC的面積相等時點M的坐標．
12．我們約定：若關于x的二次函數y1＝a1x2+b1x+c1與y2＝a2x2+b2x+c2同時滿足（b2+b1）2+|c2﹣a1|＝0，（b1﹣b2）2023≠0，則稱函數y1與函數y2互為“美美與共”函數．根據該約定，解答下列問題：
（1）若關于x的二次函數y1＝2x2+kx+3與y2＝mx2+x+n互為“美美與共”函數，求k，m，n的值；
（2）對于任意非零實數r，s，點P（r，t）與點Q（s，t）（r≠s）始終在關于x的函數y1＝x2+2rx+s的圖象上運動，函數y2與y1互為“美美與共”函數．
①求函數y2的圖象的對稱軸；
②函數y2的圖象是否經過某兩個定點？若經過某兩個定點，求出這兩個定點的坐標；否則，請說明理由；
（3）在同一平面直角坐標系中，若關于x的二次函數y1＝ax2+bx+c與它的“美美與共”函數y2的圖象頂點分別為點A，點B，函數y1的圖象與x軸交于不同兩點C，D，函數y2的圖象與x軸交于不同兩點E，F．當CD＝EF時，以A，B，C，D為頂點的四邊形能否為正方形？若能，求出該正方形面積的取值范圍；若不請說明理由．
13．若關于x的函數y，當tx≤t時，函數y的最大值為M，最小值為N，令函數h，我們不妨把函數h稱之為函數y的“共同體函數”．
（1）①若函數y＝4044x，當t＝1時，求函數y的“共同體函數”h的值；
②若函數y＝kx+b（k≠0，k，b為常數），求函數y的“共同體函數”h的解析式；
（2）若函數y（x≥1），求函數y的“共同體函數”h的最大值；
（3）若函數y＝﹣x2+4x+k，是否存在實數k，使得函數y的最大值等于函數y的“共同體函數“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
14．我們不妨約定：在平面直角坐標系中，若某函數圖象上至少存在不同的兩點關于y軸對稱，則把該函數稱之為“T函數”，其圖象上關于y軸對稱的不同兩點叫做一對“T點”．根據該約定，完成下列各題．
（1）若點A（1，r）與點B（s，4）是關于x的“T函數”y的圖象上的一對“T點”，則r＝　 　，s＝　 　，t＝　 ?。▽⒄_答案填在相應的橫線上）；
（2）關于x的函數y＝kx+p（k，p是常數）是“T函數”嗎？如果是，指出它有多少對“T點”如果不是，請說明理由；
（3）若關于x的“T函數”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常數）經過坐標原點O，且與直線l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常數）交于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點，當x1，x2滿足（1﹣x1）﹣1+x2＝1時，直線l是否總經過某一定點？若經過某一定點，求出該定點的坐標；否則，請說明理由．
15．我們不妨約定：若某函數圖象上至少存在不同的兩點關于原點對稱，則把該函數稱之為“H函數”，其圖象上關于原點對稱的兩點叫做一對“H點”．根據該約定，完成下列各題．
（1）在下列關于x的函數中，是“H函數”的，請在相應題目后面的括號中打“√”，不是“H函數”的打“×”．
①y＝2x（　 ?。?；
②y（m≠0）（　 　）；
③y＝3x﹣1（　 ?。?br/>（2）若點A（1，m）與點B（n，﹣4）是關于x的“H函數”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一對“H點”，且該函數的對稱軸始終位于直線x＝2的右側，求a，b，c的值或取值范圍．
（3）若關于x的“H函數”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常數）同時滿足下列兩個條件：①a+b+c＝0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求該“H函數”截x軸得到的線段長度的取值范圍．
參考答案
1．【解答】解：（1）∵點（x，y1）和點（x，y2）關于點（x，x）成中心對稱，
∴點（x，x）是端點為點（x，y1）和點（x，y2）的線段的中點，
∴x，
∴y1+y2＝2x；
故答案為：y1+y2＝2x；
（2）①∵﹣2x+2x≠2x，
∴y＝﹣2x和y＝2x不是“中心對稱函數”；
②∵（﹣x+3）+（3x﹣3）＝2x，
∴y＝﹣x+3和y＝3x﹣3是“中心對稱函數”；
③∵（3x2+4x﹣1）+（﹣3x2﹣2x+1）＝2x，
∴y＝3x2+4x﹣1和y＝﹣3x2﹣2x+1是“中心對稱函數”；
故答案為：②③；
（3）①∵2x﹣（3x﹣4）＝﹣x+4，
∴函數y＝3x﹣4的“中心對稱函數”為y＝﹣x+4，
如圖，設C，D的坐標分別為 （x1，y1），（x2，y2），
由﹣x+4得x2﹣4x+m＝0，
∴x1，x2是方程x2﹣4x+m＝0的兩根，
∴x1+x2＝4，x1 x2＝m，且y1+y2＝（﹣x1+4）+（﹣x2+4）＝8﹣（x1+x2）＝8﹣4＝4，
∴S△COD（y1+y2） |x2﹣x1|＝2|x2﹣x1|＝22，
∵△COD的面積為4，
∴24，
解得m＝3；
經檢驗，m＝3是原方程的解，
故答案為：3；
②反比例函數y的“中心對稱函數”的圖象在第一象限內存在最低點，理由如下：
∵2x﹣（）＝2x，
∴反比例函數y的“中心對稱函數”為y＝2x，
∵x＞0，
∴2x（）2+2 （）2+22，
∴2x的最小值為2，此時0，即x，
∴該函數圖象在第一象限內最低點坐標為（，2）；
（4）∵2x﹣[﹣ax2+（2﹣b）x﹣c]＝ax2+bx+c，
∴二次函數y＝﹣ax2+（2﹣b）x﹣c的“中心對稱函數”為y＝ax2+bx+c，
∵N（5，n），P（1，m）在函數 y＝ax2+bx+c的上，
∴m＝a+b+c，n＝25a+5b+c，
∵m＜n＜c，
∴a+b+c＜25a+5b+c＜c，
∴a+b＜25a+5b＜0，
∴b＞﹣6a且b＜﹣5a，
∵a＞0，
∴56，
∵M（t，m），P（1，m）的縱坐標相等，
∴拋物線對稱軸為直線x，
∵拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x，
∴，
∴t+1，
∴5＜t+1＜6，
設ht2﹣t（t+1）2+3，
當t+1＝5時，h；
當t+1＝6時，h＝﹣15，
∴﹣15＜h，
∵t2恒成立，
∴w．
2．【解答】解：（1）一次函數y＝x+1和反比例函數存在“向光函數”，理由如下：
點P在一次函數y＝ax+b上，點Q在反比例函數上，若存在P、Q兩點關于y軸對稱，我們稱二次函數y＝ax2+bx+c為一次函數和y＝ax+b反比例函數的“向光函數”，點P稱為“幸福點”．設“幸福點”坐標為P（m，n），則Q（﹣m，n），
∴，
解并檢驗得：，，
∴一次函數y＝x+2和反比例函數是存在“向光函數”，“幸福點”坐標為（1，2），（﹣2，﹣1）；
（2）∵一次函數y＝x﹣k關于y軸對稱的直線函數解析式為y＝﹣x﹣k，而且一次函數y＝x﹣k與反比例函數只有一個“幸福點”，
所以y＝﹣x﹣k與反比例函數只有一個交點，
∴y＝﹣x﹣k③，，
整理得：x2+kx+（k+3）＝0，
Δ＝k2﹣4（k+3）＝0，
解得：k1＝﹣2，k2＝6，
當k＝﹣2時，則一次函數y＝x+2與反比例函數只有一個“幸福點”，向光函數”的解析式為：y＝x2+2x+1，
當k＝6時，則一次函數y＝x﹣6與反比例函數只有一個“幸福點”，向光函數”的解析式為：y＝x2﹣6x+9，
∴“向光函數”的解析式為：y＝x2+2x+1或y＝x2﹣6x+9．
（3）已知一次函數y＝ax+b與反比例函數有兩個“幸福點”A、B（A在B左側），其“向光函數”y＝ax2+bx+c與軸x交于C、D兩點（C在D左側），
∴A、B關于y軸對稱的點A′、B′一定在y＝﹣ax+b上，且是y＝﹣ax+b與的交點坐標，
∴，
整理得：ax2﹣bx+c＝0，
由①②得，，
∴，
即“向光函數”為y＝ax2+（2a﹣1）x+（1﹣3a），
又∵a＞b＞0，
∴，
∴，
∵ax2﹣（2a﹣1）x+（1﹣3a）＝0，
∴x1＝﹣1，，
∴xB′＝﹣1，，
∴xB＝1，，
∴B（1，3a﹣1），，
令“向光函數”y＝ax2+bx+c中，y＝0得0＝ax2+bx+c即0＝ax2+（2a﹣1）x+（1﹣3a），
解得x1＝1，，
∴xD＝1，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的取值范圍是：．
3．【解答】解：（1）函數y，t1＝2，t2＝6，
∴，
函數y＝﹣5x+1，m2＝﹣5a+1，m1＝﹣5（a+2）+1，
∴5，
故答案為：．
（2）當k＞0時，y隨著x的增大而增大，
則，
當k＜0時，y隨著x的增大而減小，k，
∴p＝|k|．
∴一次函數y＝kx+b（k，b為常數，k≠0）在任意區間[t1，t2]（t1＜t2）上的起伏度是定值|k|．
（3）對三個選項依次分析如下：
①函數在區間[t，t+d]，隨著x的增大而增大，則，
∵設y′＝t2+dt，其圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為x，[t，t+d]（t＞0，d為常數且d＞0）在對稱軸右側，y′的值隨t的增大而增大，
∴隨著t的增大而減小，①正確，
②∵二次函數y＝ax2在區間[t1，t2]（t1＜t2）上的圖象和二次函數y＝a（x﹣h）2+k在區間[h+t1，h+t2]圖象形狀大小完全相同，
∴p1＝p2，②正確，
③由于二次函數y＝ax2+bx+c圖象為拋物線，其對稱軸為x，
根據二次函數的圖象，當對稱軸在[t，t+4]中間位置時，二次函數在區間[t，t+4]上起伏度p最?。覀兌xx＝t所對應的函數值為f（t）．
此時f（t）＝f（t+4），二次函數的極值為f（），xt+2，
∴p1．
∴③錯誤．
故答案為：①②．
（4）已知函數y＝x2﹣2x+3與在區間[t，t+1]上的起伏度相同，求t的值．
根據（2）可知一次函數在區間[t，t+1]的起伏度p＝k．
對于函數y＝x2﹣2x+3，其對稱軸為x1，f（1）為函數最小值．根據對稱軸和區間[t，t+1]的位置關系進行分類討論：
①當（t+1）＜1時，即t＜0，f（t）＞f（t+1）＞f（1），p＝f（t）﹣f（t+1）＝﹣2t+1，t，符合題意；
②當t＞1時，f（t+1）＞f（t）＞f（1），p＝f（t+1）﹣f（t）＝2t﹣1，t，符合題意；
③當t≤1≤（t+1），即且0≤t≤1，分為2種情況：
當1﹣t≥（t+1）﹣1時，即0≤t，p＝f（t）﹣f（1）＝t2﹣2t+1，t＝1，不符合t的范圍；
當1﹣t≤（t+1）﹣1時，即t≤1，f（t+1）≥f（t）≥f（1），p＝f（t+1）﹣f（1）＝t2，t，不符合t的范圍；
故綜上可得t或．
4．【解答】解：（1）①由得，
∴在直線y＝﹣2x+1上只有一個“縱三倍點”：（，）；
②由得：，，
∴反比例函數y的圖象上有兩個“縱三倍點”：（，﹣3），（，3）；
③由得：，
∴二次函數y＝x2+x+1的圖象上只有一個“縱三倍點”：（1，3）；
故答案為：①③；
（2）∵拋物線y＝x2+mx+n（m，n均為常數）與直線y＝x+4只有一個交點，
∴方程x2+（m﹣1）x+n﹣4＝0有兩個相等的實數根，即Δ＝0，
∴（m﹣1）2﹣4（n﹣4）＝0，
∴nm2m①，
∵拋物線y＝x2+mx+n與直線y＝x+4交點是“縱三倍點”，
∴x＝2，y＝6，
∴n＝﹣2m+2②，
聯立①②，得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣3x+8；
（3）∵拋物線（a，b是常數，a＞0）的圖象上有且只有一個“縱三倍點”，
∴方程3x＝ax2+bx有且只有一個實數根，
∴Δ＝（b﹣3）2﹣4a＝0，
∴a（b﹣3）2，
∴w＝b2﹣2b+6a＝b2﹣2b+（b﹣3）2＝2（b﹣2）2+1，
根據題意，當t≤b≤t+1時，w的最小值恰好等于t，
當t+1≤2，即t≤1時，當b＝t+1時，w有最小值，
∴t＝2（t+1﹣2）2+1，
即2t2﹣5t+3＝0，
解得：t1＝1，t2（舍去），
∴此時不存在常數t，使得當t≤b≤t+1時，w的最小值恰好等于t；
當t≤2≤t+1，即1≤t≤2時，w的最小值為1，
即t≤b≤t+1時，w的最小值為1，不符合題意；
當t＞2時，t＝2（t﹣2）2+1，
即2t2﹣9t+9＝0，
解得：t1（舍去），t2＝3，
∴存在常數t＝3，使得當t≤b≤t+1時，w的最小值恰好等于t；
綜上所述，t的值為1或3．
5．【解答】解：（1）∵點B是反比例函數圖象上的一點，
∴設點B的坐標為（b，），
∵點A的坐標為（2，6），A，B兩點同為“郡系點”，
∴，
整理得b2﹣8b+16＝0，
解得b＝4，
經驗證b＝4是分式方程的解，
∴，
∴點B的坐標為（4，4）．
（2）∵點C（﹣2，y1），D（4，y2）在直線y＝kx﹣3（k≠0）上，
∴y1＝﹣2k﹣3，y2＝4k﹣3，
∵C，D兩點同為“郡系點”，
∴﹣2﹣2k﹣3＝4+4k﹣3，
整理得6k＝﹣6，
∴k＝﹣1．
（3）對于一次函數圖象，
令x＝0，得y＝3；令y＝0，得x＝6．
∵點E是直線上第一象限內的一點，
∴設點E的坐標為（n，），其中0＜n＜6，
∴點E的橫、縱坐標之和為：，
∵0＜n＜6，N隨n的增大而增大，
∴，即3＜N＜6．
∵點F在拋物線（）上，
∴設點F的坐標為（m，），其中，
∴點F的橫、縱坐標之和為：，
∵二次函數的圖象開口向上，對稱軸為，
∴當時，M隨m的增大而增大，
∴，即，
∵拋物線（）上總存在點F，使得E，F兩點同為“郡系點”，
∴，
解得．
6．【解答】解：（1）①令2x+3＝2x，方程無解，
∴函數y＝2x+3不是“明德函數”；
②令y＝x2＝2x，解得x＝0或x＝2，
∴函數y＝x2的圖象上的“明德點”是：（0，0）或（2，4）；
故答案為：①不是；②（0，0）或（2，4）；
（2）由題意可知，2x，
整理得，（m﹣1）x2+（m﹣2）xm＝0，
∵拋物線上有兩個“明德點”，
∴Δ＝（m﹣2）2﹣4m（m﹣1）＞0且m﹣1≠0，
解得m且m≠1．
（3）由題意可知，x2+（m﹣k+2）xk＝2x，
整理得，x2+（m﹣k）xk＝0，
∴Δ＝（m﹣k）2﹣4（k）＝0，
整理得，n＝（m﹣k）2+2k（﹣1≤m≤3），
對稱軸為直線m＝k，此時n的最小值為2k；
根據題意需要分類討論：
①，
∴k＝0；
②，無解；
③，
∴k或k（舍去）．
綜上，k的值為0或．
7．【解答】解：（1）函數圖象的“1級方點”是指函數圖象上落在以原點為中心，邊長為2且一邊平行于x軸的正方形上的點，
①直線y＝x與正方形有兩個交點（1，1）和（﹣1，﹣1）；
②反比例函數與正方形沒有交點；
③拋物線與正方形有兩個交點和．
故答案為：①③；
（2）①把a＝2代入y＝﹣（x﹣a+1）2+3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2得：
y＝﹣（x﹣1）2+3（2﹣1）2﹣3（2﹣1）+2＝﹣（x﹣1）2+2，
∵函數圖象的“2級方點”是指函數圖象上落在以原點為中心，邊長為4且一邊平行于x軸的正方形上的點，
∴把x＝2代入y＝﹣（x﹣1）2+2得：y＝1，
把x＝﹣2代入y＝﹣（x﹣1）2+2得：y＝﹣7，
把y＝2代入y＝﹣（x﹣1）2+2得：2＝﹣（x﹣1）2+2，
解得：x＝1，
把y＝﹣2代入y＝﹣（x﹣1）2+2得：﹣2＝﹣（x﹣1）2+2，
解得：x＝3或x＝﹣1，
∴當a＝2時，該函數圖象的“2級方點”的坐標是（2，1）或（1，2）或（﹣1，﹣2）．
②∵二次函數y＝﹣（x﹣a+1）2+3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2，
∴拋物線的開口向下，頂點為[a﹣1，3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2]，
當拋物線頂點在y＝a時，拋物線恰有三個“a級方點”，如圖，
則3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2＝a，
解得；
②當拋物線經過點（a，a）時，拋物線恰有三個“a級方點”，
則﹣1+3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2＝a，
解得（不合題意，舍去），
∴a的值為2，，．
8．【解答】解：（1）存在“向光函數”，理由如下：
設一次函數上任意一點P（a，a+2），則P點關于y軸的對稱點Q（﹣a，a+2），
當﹣a（a+2）＝﹣3時，解得a＝1或a＝﹣3，
∴P（1，3）或（﹣3，﹣1）是“幸福點”，一次函數y＝x+2和反比例函數存在“向光函數”；
（2）設一次函數上任意一點P（b，b﹣k+1），則P點關于y軸的對稱點Q（﹣b，b﹣k+1），
當﹣b（b﹣k+1）＝k+2時，b2+b（1﹣k）+k+2＝0，
∵一次函數y＝x﹣k+1與反比例函數只有一個“幸福點”，
∴Δ＝（1﹣k）2﹣4（k+2）＝0，
解得k＝﹣1或k＝7，
當k＝﹣1時，y＝x+2，y，則“向光函數”為y＝x2+2x+1；
當k＝7時，y＝x﹣6，y，則“向光函數”為y＝x2﹣6x+9；
（3）設一次函數上任意一點P（x，ax+b），則P點關于y軸的對稱點Q（﹣x，ax+b），
當﹣x（ax+b）＝c時，ax2+bx+c＝0，
∵一次函數y＝ax+b與反比例函數有兩個“幸福點”，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，xA+xB，xA xB，
∵“向光函數”y＝ax2+bx+c與x軸交于C、D兩點，
∴xC+xD，xC xD，
∵“向光函數”經過點（﹣3，4），
∴9a﹣3b+c＝4，
∵a+b+c＝0，
∴b＝2a﹣1，c＝1﹣3a，
∴y＝ax2+（2a﹣1）x+（1﹣3a），
∵a＞b＞0，
∴a＞2a﹣1＞0，
∴a＜1，
∴xD﹣xC，yA﹣yB＝a（xA﹣xB）＝a4a﹣1，
∴SCD×（yA﹣yB）（4a﹣1），
∴（4）2，
∵12，
∴2．
9．【解答】解：（1）∵|a1+a2|（c1+c2）2＝0，
∴a1+a2＝0，b1﹣b2＝0，c1+c2＝0，
∴a1＝﹣a2，b1＝b2，c1＝﹣c2，
根據“回旋”函數的定義得：二次函數y＝x2﹣4x+3的“回旋”函數的解析式y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）根據“回旋”函數的定義：二次函數y1＝ax2+2ax+c的“回旋”函數的解析式為y2＝﹣ax2+2ax﹣c，
∵y1＝ax2+2ax+c＝a（x+1）2+c﹣a，
∴頂點坐標為（﹣1，c﹣a），
∵關于x的二次函數y1＝ax2+2ax+c的頂點在它的“回旋”函數y2圖象上，
∴c﹣a＝﹣a﹣2a﹣c，
解得：a＝﹣c，
∴二次函數y1＝ax2+2ax+c的“回旋”函數的解析式為y2＝﹣ax2+2ax+a＝﹣a（x﹣1）2+2a，
由題意得，當x時，﹣4≤y2≤4，
即當﹣1≤x≤2時，﹣4≤y2≤4，
若a＞0，
則當x＝1時，y2＝﹣a（1﹣1）2+2a＝2a＝4，
解得：a＝2，
∴c＝﹣2；
若a＜0，
則當x＝1時，y2＝﹣a（1﹣1）2+2a＝2a＝﹣4，
解得：a＝﹣2，
∴c＝2；
綜上所述，a＝2，c＝﹣2或a＝﹣2，c＝2；
（3）如圖，
設點A、B、C、D的橫坐標分別為：x1，x2，x3，x4，
∵y1＝ax2+bx+c＝a（x）2，
∴點M的坐標為（，），且x1，x2，
根據“回旋”函數的定義：y2＝﹣ax2+bx﹣c＝﹣a（x）2，
∴點N的坐標為（，），且x3，x4，
∴AC＝x1﹣x3，BC＝x2﹣x3，
∵AC＝3BC，
∴3，
∴，
當四邊形AMDN是矩形時，則∠ADN＝90°，設左側拋物線的對稱軸交x軸于點H，
在Rt△ADN中，tan∠NDHtan∠ANH，
∴NH2＝AH DH，
而NH，
AH，
同理可得：DH，
（）2，
將代入，得：b＝0（舍去）或b＝6（舍去）或b＝﹣6，
即當b＝﹣6時，四邊形AMDN為矩形．
10．【解答】解：（1）①y＝2x﹣2是一次函數，函數值隨x的增大而增大，不存在“等值點”；
②y＝x2﹣6x+13和③y＝﹣3x2+6x+11是二次函數，存在“等值點”；
④是反比例函數，在每個象限函數值隨x的增大而減少，不存在“等值點”；
故答案為：②③；
（2）當k＝0時，關于x的函數y＝kx+b（k，b為常數）的圖象上存在“等值點”；當k≠0時，不存在“等值點”；理由如下：
當k＝0時，函數y＝b的圖象是一條平行于x軸的直線，其上的點的縱坐標都相等，
故存在無數對“等值點”；
當k≠0時，假設函數y＝kx+b圖象是一條與x軸不平行的直線，其上任意兩點的縱坐標都不相等，故不存在“等值點”；
（3）∵2a2+2a（y1﹣y3）0，
∴y1＝﹣a，y3＝a，
又∵E和F，G和H是兩對“等值點”，
∴E（x1，﹣a），F（x2，﹣a），G（x3，a），H（x4，a），
∴x1，x2為方程ax2+bx+c＝﹣a的兩根，
∴EF＝|x1﹣x2|，
同理可知：x3，x4為方程ax2+bx+c＝a的兩根，
∴GH＝|x3﹣x4|，
設C，D的橫坐標為x5，x6，它們為方程ax2+bx+c＝0的兩根，
∴CD＝|x5﹣x6|，
顯然EF＜CD＜GH，
又∵以CD，EF，GH這三條線段的長為邊長的三角形是直角三角形，
∴EF2+CD2＝GH2，即，
∴b2﹣4ac＝8a2，
∴CD，EF2，GH2，
∴該直角三角形的面積為2×22．
11．【解答】解：（1）設正比例函數y＝x圖象上“制高點”的坐標為（m﹣1，5﹣n），
根據題意得，
解得：，
∴正比例函數y＝x圖象上“制高點”的坐標為（1，1）；
（2）∵a+b+c＝0，且a＞2b＞3c，
∴a＞0，c＜0，b＝﹣（a+c），
∴ax2+（2b﹣1）x+3c+2＝﹣x+2，
∴ax2+2bx+3c＝0，
則x1+x2，x1x2，
則|x1﹣x2|，
由a＞2b＝﹣2（a+c），得，
由2b＝﹣2（a+c）＞3c，得，
∴，
設函數m＝4（）2﹣4（）+4＝4（）2+3，
當時，函數m的值隨自變量的增大而減少，
當，m，
當，m＝19，
即|x1﹣x2|；
（3）設點A的坐標為（m，n），根據題意得，
整理得m2+2m﹣k＝0，
∵點A是反比例函數唯一“立足點”，
∴Δ＝22﹣4（﹣k）＝0，
解得k＝﹣1，
∴反比例函數的解析式為y，
當k＝﹣1時，m2+2m+1＝0，
解得m1＝m2＝﹣1，
∴n1，
∴點A的坐標為（﹣1，1），
設點B（m﹣1，5﹣n）是反比例函數y圖象上的“制高點”，
根據題意得，
消去n并整理得m2﹣4m+2＝0，
解得m＝2，n＝4，
∴點B，C的坐標分別為（1，1）、（1，1），
由點B、C的坐標得，直線BC的解析式為y＝﹣x+2，
∵△MBC面積與△ABC的面積相等，
∴MA∥BC，
可設直線MA的解析式為y＝﹣x+b1，
將A（1，1）代入得b＝0，
∴直線MA的解析式為y＝﹣x，
聯立得x，
解得x＝1或x＝﹣1，
∴M（1，﹣1），
在y＝﹣x+2中，令x＝0，則y＝2，
將直線y＝﹣x向上平移4個單位得到直線y＝﹣x+4，直線y＝﹣x+4與雙曲線y交點為M，
此時也滿足△MBC面積與△ABC的面積相等，
聯立得x+4，
解得x＝2±，
則點M（2，2）或（2，2），
綜上，點M的坐標為（1，﹣1）或（2，2）或（2，2）．
12．【解答】解：（1）由題意可知，a2＝c2，a1＝c2，b1＝﹣b2≠0，
∴m＝3，n＝2，k＝﹣1．
答：k的值為﹣1，m的值為3，n的值為2．
（2）①∵點P（r，t）與點Q（s，t）（r≠s）始終在關于x的函數y1＝x2+2rx+s的圖象上運動，
∴對稱軸為x，
∴s＝﹣3r，
∴，
∴對稱軸為x．
答：函數y2的圖象的對稱軸為x．
②，
令3x2+2x＝0，
解得，
∴過定點（0，1），（）．
答：函數y2的圖象過定點（0，1），（）．
（3）由題意可知，，
∴，
∴CD，EF，
∵CD＝EF且b2﹣4ac＞0，
∴|a|＝|c|．
1°若a＝﹣c，則，
要使以A，B，C，D為頂點的四邊形能構成正方形，
則△CAD，△CBD為等腰直角三角形，
∴CD＝2|yA|，
∴，
∴，
∴b2+4a2＝4，
∴，
∵b2＝4﹣4a2＞0，
∴0＜a2＜1，
∴S正＞2，
2°若a＝c，則A、B關于y軸對稱，以A，B，C，D為頂點的四邊形不能構成正方形，
綜上，當a＝﹣c時，以A，B，C，D為頂點的四邊形能構成正方形，此時S＞2．
13．【解答】解：（1）①∵t＝1，
∴x，
∵函數y＝4044x，
∴函數的最大值M＝6066，函數的最小值N＝2022，
∴h＝2022；
②當k＞0時，函數y＝kx+b在tx≤t有最大值M＝ktk+b，有最小值N＝ktk+b，
∴hk；
當k＜0時，函數y＝kx+b在tx≤t有最大值M＝ktk+b，有最小值N＝ktk+b，
∴hk；
綜上所述：h＝|k|；
（2）t1，即t，
函數y（x≥1）最大值M，最小值N，
∴h，
當t時，h有最大值；
（3）存在實數k，使得函數y的最大值等于函數y的“共同體函數“h的最小值，理由如下：
∵y＝﹣x2+4x+k＝﹣（x﹣2）2+4+k，
∴函數的對稱軸為直線x＝2，y的最大值為4+k，
①當2≤t時，即t，
此時M＝﹣（t2）2+4+k，N＝﹣（t2）2+4+k，
此時h的最小值為；
②當t2時，即t，
此時N＝﹣（t2）2+4+k，M＝﹣（t2）2+4+k，
∴h＝2﹣t，
∵t，
此時h的最小值為；
③當t2≤t，即2≤t，
此時N＝﹣（t2）2+4+k，M＝4+k，
∴h（t）2，
∴h的最小值為，
由題意可得，4+k，
解得k；
④當t＜2≤t，即t＜2，
此時N＝﹣（t2）2+4+k，M＝4+k，
∴h（t）2，
∴h的最小值為；
綜上，我們發現h的最小值為
∴4+k，
解得k；
綜上所述：k的值為．
14．【解答】解：（1）∵A，B關于y軸對稱，
∴s＝﹣1，r＝4，
∴A的坐標為（1，4），
把A（1，4）代入是關于x的“T函數”中，得：t＝4，
故答案為r＝4，s＝﹣1，t＝4；
（2）當k＝0時，有y＝p，
此時存在關于y軸對稱的點，
∴y＝kx+p是“T函數”，且有無數對“T”點，
當k≠0時，不存在關于y軸對稱的點，
若存在，設其中一點（x0，kx0+p），則對稱點（﹣x0，﹣kx0+p），
∴kx0+p＝﹣kx0+p，
∴k＝0，與k≠0矛盾，
∴不存在，
∴y＝kx+p不是“T函數”；
（3）∵y＝ax2+bx+c過原點，
∴c＝0，
∵y＝ax2+bx+c是“T函數”，
∴b＝0，
∴y＝ax2，
聯立直線l和拋物線得：
，
即：ax2﹣mx﹣n＝0，
，，
又∵，
化簡得：x1+x2＝x1x2，
∴，即m＝﹣n，
∴y＝mx+n＝mx﹣m，
當x＝1時，y＝0，
∴直線l必過定點（1，0）．
15．【解答】解：（1）①y＝2x是“H函數”．②y（m≠0）是“H函數”．③y＝3x﹣1不是“H函數”．
故答案為：√，√，×．
（2）∵A，B是“H點”，
∴A，B關于原點對稱，
∴m＝4，n＝﹣1，
∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），
代入y＝ax2+bx+c（a≠0）
得，
∴，
∵該函數的對稱軸始終位于直線x＝2的右側，
∴2，
∴2，
∴﹣1＜a＜0，
∵a+c＝0，
∴0＜c＜1，
綜上所述，﹣1＜a＜0，b＝4，0＜c＜1．
（3）∵y＝ax2+2bx+3c是“H函數”，
∴設H（p，q）和（﹣p，﹣q），
代入得到，
解得ap2+3c＝0，2bp＝q，
∵p2＞0，
∴a，c異號，
∴ac＜0，
∵a+b+c＝0，
∴b＝﹣a﹣c，
∵（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，
∴（2c﹣a﹣c﹣a）（2c﹣a﹣c+3a）＜0，
∴（c﹣2a）（c+2a）＜0，
∴c2＜4a2，
∴4，
∴﹣22，
設t，則﹣2＜t＜0，
設函數與x軸交于（x1，0），（x2，0），
∴x1，x2是方程ax2+2bx+3c＝0的兩根，
∴|x1﹣x2|
＝2
＝2，
∵﹣2＜t＜0，
∴2＜|x1﹣x2|＜2．
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