資源簡介

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2025年九年級數學中考三輪沖刺練習圓與三角函數綜合問題壓軸題訓練
1．如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB為直徑的⊙O經過點C，連接AC、OD交于點E．
（1）證明：OD∥BC；
（2）若tan∠ABC＝2，證明：DA與⊙O相切；
（3）在（2）條件下，連接BD交⊙O于點F，連接EF，若BC＝1，求EF的長．
2．已知在平面直角坐標系中，點A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以線段BC為直徑作圓，圓心為E，直線AC交⊙E于點D，連接OD．
（1）求證：直線OD是⊙E的切線；
（2）點F為x軸上任意一動點，連接CF交⊙E于點G，連接BG；
①當tan∠ACF時，求所有F點的坐標　 　（直接寫出）；
②求的最大值．
3．如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點H，點M是上任意一點，AH＝2，CH＝4．
（1）求⊙O的半徑r的長度；
（2）求sin∠CMD；
（3）直線BM交直線CD于點E，直線MH交⊙O于點N，連接BN交CE于點F，求HE HF的值．
4．如圖，在⊙O中，弦AB與弦CD相交于點G，OA⊥CD于點E，過點B的直線與CD的延長線交于點F，AC∥BF．
（1）若∠FGB＝∠FBG，求證：BF是⊙O的切線；
（2）若tan∠F，CD＝a，請用a表示⊙O的半徑；
（3）求證：GF2﹣GB2＝DF GF．
5．如圖1，銳角△ABC內接于⊙O，D為BC的中點，連結AD并延長交⊙O于點E，連結BE，CE，過C作AC的垂線交AE于點F，點G在AD上，連結BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG＝∠AFC．
（1）求∠BGC的度數．
（2）①求證：AF＝BC．
②若AG＝DF，求tan∠GBC的值．
（3）如圖2，當點O恰好在BG上且OG＝1時，求AC的長．
6．如圖，在⊙O中，AB是一條不過圓心O的弦，點C，D是的三等分點，直徑CE交AB于點F，連結AD交CF于點G，連結AC，過點C的切線交BA的延長線于點H．
（1）求證：AD∥HC；
（2）若2，求tan∠FAG的值；
（3）連結BC交AD于點N，若⊙O的半徑為5．
下面三個問題，依次按照易、中、難排列．請根據自己的認知水平，選擇其中一道問題進行解答．
①若OF，求BC的長；
②若AH，求△ANB的周長；
③若HF AB＝88，求△BHC的面積．
7．如圖1，⊙O為銳角三角形ABC的外接圓，點D在上，AD交BC于點E，點F在AE上，滿足∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB，FG∥AC交BC于點G，BE＝FG，連結BD，DG．設∠ACB＝α．
（1）用含α的代數式表示∠BFD．
（2）求證：△BDE≌△FDG．
（3）如圖2，AD為⊙O的直徑．
①當的長為2時，求的長．
②當OF：OE＝4：11時，求cosα的值．
8．如圖1，四邊形ABCD內接于⊙O，BD為直徑，上存在點E，滿足，連結BE并延長交CD的延長線于點F，BE與AD交于點G．
（1）若∠DBC＝α，請用含α的代數式表示∠AGB．
（2）如圖2，連結CE，CE＝BG．求證：EF＝DG．
（3）如圖3，在（2）的條件下，連結CG，AD＝2．
①若tan∠ADB，求△FGD的周長．
②求CG的最小值．
9．如圖1，⊙O經過等邊△ABC的頂點A，C（圓心O在△ABC內），分別與AB，CB的延長線交于點D，E，連接DE，BF⊥EC交AE于點F．
（1）求證：BD＝BE．
（2）當AF：EF＝3：2，AC＝6時，求AE的長．
（3）設x，tan∠DAE＝y．
①求y關于x的函數表達式；
②如圖2，連接OF，OB，若△AEC的面積是△OFB面積的10倍，求y的值．
10．如圖，已知P為銳角∠MAN內部一點，過點P作PB⊥AM于點B，PC⊥AN于點C，以PB為直徑作⊙O，交直線CP于點D，連接AP，BD，AP交⊙O于點E．
（1）求證：∠BPD＝∠BAC．
（2）連接EB，ED，當tan∠MAN＝2，AB＝2時，在點P的整個運動過程中．
①若∠BDE＝45°，求PD的長．
②若△BED為等腰三角形，求所有滿足條件的BD的長．
（3）連接OC，EC，OC交AP于點F，當tan∠MAN＝1，OC∥BE時，記△OFP的面積為S1，△CFE的面積為S2，請寫出的值．
11．如圖，在平面直角坐標系中，點M是第一象限內一點，過M的直線分別交x軸，y軸的正半軸于A，B兩點，且M是AB的中點．以OM為直徑的⊙P分別交x軸，y軸于C，D兩點，交直線AB于點E（位于點M右下方），連接DE交OM于點K．
（1）若點M的坐標為（3，4），
①求A，B兩點的坐標；
②求ME的長．
（2）若3，求∠OBA的度數．
（3）設tan∠OBA＝x（0＜x＜1），y，直接寫出y關于x的函數解析式．
12．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D是弧BC的中點，BC與AD、OD分別交于點E、F．
（1）求證：DO∥AC；
（2）求證：DE DA＝DC2；
（3）若tan∠CAD，求sin∠CDA的值．
13．如圖，已知△ABC內接于⊙O，AB是直徑，點D在⊙O上，OD∥BC，過點D作DE⊥AB，垂足為E，連接CD交OE邊于點F．
（1）求證：△DOE∽△ABC；
（2）求證：∠ODF＝∠BDE；
（3）連接OC，設△DOE的面積為S1，四邊形BCOD的面積為S2，若，求sinA的值．
14．如圖，AB是⊙O的直徑，D、E為⊙O上位于AB異側的兩點，連接BD并延長至點C，使得CD＝BD，連接AC交⊙O于點F，連接AE、DE、DF．
（1）證明：∠E＝∠C；
（2）若∠E＝55°，求∠BDF的度數；
（3）設DE交AB于點G，若DF＝4，cosB，E是的中點，求EG ED的值．
15．如圖，AB為⊙O的直徑，C是圓上一點，D是的中點，弦DE⊥AB，垂足為點F．
（1）求證：BC＝DE；
（2）P是上一點，AC＝6，BF＝2，求tan∠BPC；
（3）在（2）的條件下，當CP是∠ACB的平分線時，求CP的長．
參考答案
1．【解答】解：（1）連接OC，
在△OAD和△OCD中，
∵，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠ADO＝∠CDO，
又AD＝CD，
∴DE⊥AC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴OD∥BC；
（2）∵tan∠ABC2，
∴設BC＝a、則AC＝2a，
∴AD＝AB，
∵OE∥BC，且AO＝BO，
∴OEBCa，AE＝CEAC＝a，
在△AED中，DE2a，
在△AOD中，AO2+AD2＝（）2+（a）2a2，OD2＝（OE+DE）2＝（a+2a）2a2，
∴AO2+AD2＝OD2，
∴∠OAD＝90°，
則DA與⊙O相切；
（3）連接AF，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AFD＝∠BAD＝90°，
∵∠ADF＝∠BDA，
∴△AFD∽△BAD，
∴，即DF BD＝AD2 ①，
又∵∠AED＝∠OAD＝90°，∠ADE＝∠ODA，
∴△AED∽△OAD，
∴，即OD DE＝AD2②，
由①②可得DF BD＝OD DE，即，
又∵∠EDF＝∠BDO，
∴△EDF∽△BDO，
∵BC＝1，
∴AB＝AD、OD、ED＝2、BD、OB，
∴，即，
解得：EF．
方法二：連接CF、AF，
由（2）得AE＝CEAC，
∵BCAC，
∴AE＝BC，
∵，
∴∠CBF＝∠EAF，
∵AD為⊙O的切線，
∴BA⊥AD，
又∵AB＝AD，
∴△ABD為等腰直角三角形，
∵∠AFB＝90°，
∴AF⊥BD，
∴F為BD的中點，
∴AF＝BF，
在△CBF和△EAF中，
∵，
∴△CBF≌△EAF（SAS），
∴EF＝CF，∠EFA＝∠CFB，
∵∠EFA+∠EFB＝90°，
∴∠CFB+∠EFB＝90°，
∴△CFE為等腰直角三角形，
∵AE＝CE＝BC＝1，
∴EF＝CF．
2．【解答】解：（1）證明：如圖1，連接DE，BD，
∵BC為圓的直徑，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDA＝90°
∵OA＝OB
∴OD＝OB＝OA
∴∠OBD＝∠ODB
∵EB＝ED
∴∠EBD＝∠EDB
∴∠EBD+∠OBD＝∠EDB+∠ODB
即：∠EBO＝∠EDO
∵CB⊥x軸
∴∠EBO＝90°
∴∠EDO＝90°
∵點D在⊙E上
∴直線OD為⊙E的切線．
（2）①如圖2，當F位于AB上時，過F作F1N⊥AC于N，
∵F1N⊥AC
∴∠ANF1＝∠ABC＝90°
∴△ANF∽△ABC
∴
∵AB＝6，BC＝8，
∴AC10，即AB：BC：AC＝6：8：10＝3：4：5
∴設AN＝3k，則NF1＝4k，AF1＝5k
∴CN＝CA﹣AN＝10﹣3k
∴tan∠ACF，解得：k
∴
即F1（，0）
如圖3，當F位于BA的延長線上時，過F2作F2M⊥CA于M，
∵△AMF2∽△ABC
∴設AM＝3k，則MF2＝4k，AF2＝5k
∴CM＝CA+AM＝10+3k
∴tan∠ACF
解得：
∴AF2＝5k＝2
OF2＝3+2＝5
即F2（5，0）
故答案為：F1（，0），F2（5，0）．
②方法1：如圖4，過G作GH⊥BC于H，
∵CB為直徑，
∴∠BHG＝∠CBF＝∠BGC＝90°，
∴∠CBG+∠BCG＝∠BFC+∠BCG＝90°，
∴∠CBG＝∠BFC，
∴△BGH∽△FCB，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值為．
方法2：設∠BCG＝α，則sinα，cosα，
∴sinαcosα
∵（sinα﹣cosα）2≥0，即：sin2α+cos2α≥2sinαcosα
∵sin2α+cos2α＝1，
∴sinαcosα，即
∴的最大值．
3．【解答】解：（1）如圖1中，連接OC，
∵AB⊥CD，
∴∠CHO＝90°，
在Rt△COH中，∵OC＝r，OH＝r﹣2，CH＝4，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
∴r＝5．
（2）如圖1中，連接OD．
∵AB⊥CD，AB是直徑，
∴，
∴∠AOC∠COD，
∵∠CMD∠COD，
∴∠CMD＝∠COA，
∴sin∠CMD＝sin∠COA．
（3）如圖2中，連接AM．
∵AB是直徑，
∴∠AMB＝90°，
∴∠MAB+∠ABM＝90°，
∵∠E+∠ABM＝90°，
∴∠E＝∠MAB，
∴∠MAB＝∠MNB＝∠E，
∵∠EHM＝∠NHF
∴△EHM∽△NHF，
∴，
∴HE HF＝HM HN，
∵HM HN＝AH HB（相交弦定理），
∴HE HF＝AH HB＝2 （10﹣2）＝16．
4．【解答】（1）證明：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵OA⊥CD，
∴∠OAB+∠AGC＝90°，
又∵∠FGB＝∠FBG，∠FGB＝∠AGC，
∴∠FBG+∠OBA＝90°，
即∠OBF＝90°，
∴OB⊥FB，
∵AB是⊙O的弦，
∴點B在⊙O上，
∴BF是⊙O的切線；
（2）解：∵AC∥BF，
∴∠ACF＝∠F，
∵CD＝a，OA⊥CD，
∴CECDa，
∵tanF，
∴tan∠ACF，
即，
解得AEa，
連接OC，設圓的半徑為r，則OE＝ra，
在Rt△OCE中，CE2+OE2＝OC2，
即（a）2+（ra）2＝r2，
解得ra；
（3）證明：連接BD，
∵∠DBG＝∠ACF，∠ACF＝∠F（已證），
∴∠DBG＝∠F，
又∵∠FGB＝∠BGF，
∴△BDG∽△FBG，
∴，
即GB2＝DG GF，
∴GF2﹣GB2＝GF2﹣DG GF＝GF（GF﹣DG）＝GF DF，
即GF2﹣GB2＝DF GF．
5．【解答】（1）解：∵BC平分∠EBG，
∴∠EBC＝∠CBG，
∵∠EBC＝∠EAC，
∴∠CBG＝∠EAC，
∵AC⊥FC，
∴∠AFC+∠EAC＝90°，
∵∠BCG＝∠AFC，
∴∠BCG+∠CBG＝90°，
∴∠BGC＝90°；
（2）①證明：∵∠BGC＝90°，D為BC中點，
∴GD＝CD，
∴∠DGC＝∠DCG，
∵∠BCG＝∠AFC，
∴∠DGC＝∠AFC，
∴CF＝CG，
∵∠ACF＝∠BGC＝90°，
∴△ACF≌△BGC（ASA），
∴AF＝BC；
②解：如圖1，過點C作CH⊥EG于點H，
設AG＝DF＝2x，
∵△ACF≌△BGC，
∴AF＝BC＝2DG，
∴CD＝DG＝AG+DF＝4x，
∵CF＝CG，
∴HG＝HF＝3x，
∴DH＝x，AH＝5x，
∴CHx，
∴tan∠GBC＝tan∠CAF，
∴tan∠GBC的值為；
（3）解：如圖2，過點O作OM⊥BE于點M，連結OC交AE于點N，
∵OB＝OC，
∴∠CBE＝∠OBC＝∠OCB，
∴OC∥BE，
∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDN，
∴△EBD≌△NCD（ASA），
∴BE＝CN，
∵OC∥BE，
∴∠GOC＝∠MBO，
∵∠CGO＝∠OMB＝90°，OC＝OB，
∴△COG≌△OBM（AAS），
∴BM＝OG＝1，
∵OM⊥BE，
∴CN＝BE＝2BM＝2，
設OB＝OC＝r，
∵OC∥BE，
∴△GON∽△GBE，
∴，
∴，
解得r或r（舍去），
由（2）知：△ACF≌△BGC，
∴AC＝BG＝BO+OG＝r+1．
∴AC的長為．
6．【解答】（1）證明：∵點C，D是的三等分點，
∴．
由CE是⊙O的直徑可得CE⊥AD，
∵HC是⊙O的切線，
∴HC⊥CE，
∴AD∥HC．
（2）解：如圖1，連接AO，
∵，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CE⊥AD，
∴∠AGC＝∠AGF＝90°，
∴△CAG≌△FAG（ASA），
∴CG＝FG，
設CG＝a，則FG＝a，
∵，
∴OG＝2a，AO＝CO＝3a．
在Rt△AOG中，AO2＝AG2+OG2，
∴（3a）2＝AG2+（2a）2，
∴，
∴．
答：tan∠FAG的值為．
（3）解：①如圖1，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵CE⊥AD，
∴AD＝2AG，
∵，
∴，
∴．
答：BC的長為．
②如圖2，連接CD，
∵AD∥HC，FG＝CG，
∴AH＝AF，
∵∠HCF＝90°，
∴，
設CG＝x，則FG＝x，OG＝5﹣x，
由勾股定理得AG2＝AO2﹣OG2＝AC2﹣CG2，
即25﹣（5﹣x）2＝10﹣x2，
解得x＝1，
∴AG＝3，AD＝6，
∵，
∴∠DAC＝∠BCD，
∵∠CDN＝∠ADC，
∴△CDN∽△ADC，
∴，
∴，
∵∠BAD＝∠DAC，∠ABN＝∠ADC，
∴△ANB∽△ACD，
∴．
答：△ANB的周長為．
③如圖3，過點O作OM⊥AB于點M，則，
設CG＝x，則FG＝x，OG＝5﹣x，OF＝5﹣2x，
由勾股定理得AG2＝AO2﹣OG2＝25﹣（5﹣x）2，
AF2＝AG2+FG2＝10x﹣x2+x2＝10x，
∵AD∥HC，FG＝CG，
∴，
∴，
∴，
∵∠AGF＝∠OMF＝90°，∠AFG＝∠OFM，
∴△AFG∽△OFM，
∴，
∴AF FM＝OF GF，
∴AF AM＝AF （AF+FM）＝AF2+AF FM＝AF2+OF GF＝22，
可得方程10x+x（5﹣2x）＝22，
解得x1＝2，x2＝5.5（舍去），
∴CG＝FG＝2，
∴OG＝3，
∴AG＝4，
∴，
∴S△CHA＝8，
∵AD∥HC，
∴∠CAD＝∠ACH，
∵，
∴∠B＝∠CAD，
∴∠B＝∠ACH，
∵∠H＝∠H，
∴△CHA∽△BHC，
∴．
答：△BHC的面積為．
7．【解答】解：（1）∵∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB＝α，①
又∵∠AFB+∠BFD＝180°，②
②﹣①，得2∠BFD＝180°﹣α，
∴∠BFD＝90°；
（2）由（1）得∠BFD＝90°，
∵∠ADB＝∠ACB＝α，
∴∠FBD＝180°﹣∠ADB﹣∠BFD＝90°，
∴DB＝DF，
∵FG∥AC，
∴∠CAD＝∠DFG，
∵∠CAD＝∠DBE，
∴∠DFG＝∠DBE，
在△BDE和△FDG中，
，
∴△BDE≌△FDG（SAS）；
（3）①∵△BDE≌△FDG，
∴∠FDG＝∠BDE＝α，
∴∠BDG＝∠BDF+∠EDG＝2α，
∵DE＝DG，
∴∠DGE（180°﹣∠FDG）＝90°，
∴∠DBG＝180°﹣∠BDG﹣∠DGE＝90°，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ABC＝∠ABD﹣∠DBG，
∴與所對的圓心角度數之比為3：2，
∴與的長度之比為3：2，
∵2，
∴3；
②如圖，連接BO，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝α，
∴∠BOF＝∠OBD+∠ODB＝2α，
∵∠BDG＝2α，
∴∠BOF＝∠BDG，
∵∠BGD＝∠BFO＝90°，
∴△BDG∽△BOF，
設△BDG與△BOF的相似比為k，
∴，
∵，
∴設OF＝4x，則OE＝11x，DE＝DG＝4kx，
∴OB＝OD＝OE+DE＝11x+4kx，BD＝DF＝OF+OD＝15x+4kx，
∴，
由k，得4k2+7k﹣15＝0，
解得k或﹣3（舍去），
∴OD＝11x+4kx＝16x，BD＝15x+4kx＝20x，
∴AD＝2OD＝32x，
在Rt△ABD中，cos∠ADB，
∴cosα．
方法二：連接OB，作BM⊥AD于M，
由題意知，△BDF和△BEF都是等腰三角形，
∴EM＝MF，
設OE＝11，OF＝4，
設DE＝m，則OB＝m+11，OM＝3.5，BD＝m+15，DM＝m+7.5，
∴OB2﹣OM2＝BD2﹣DM2，
即（m+11）2﹣3.52＝（m+15）2﹣（m+7.5）2，
解得m＝5或m＝﹣12（舍去），
∴cosα．
8．【解答】解：（1）∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BAD＝90°，
∵，
∴∠ABG＝∠DBC＝α，
∴∠AGB＝90°﹣α；
（2）∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴∠BEC＝∠AGB，
∵∠CEF＝180°﹣∠BEC，∠BGD＝180°﹣∠AGB，
∴∠CEF＝∠BGD，
又∵CE＝BG，∠ECF＝∠GBD，
∴△CFE≌△BDG（ASA），
∴EF＝DG；
（3）①如圖，連接DE，
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠A＝∠BED＝90°，
在Rt△ABD中，tan∠ADB，AD＝2，
∴ABAD，
∵，
∴，
即，
∴AD＝CE，
∵CE＝BG，
∴BG＝AD＝2，
∵在Rt△ABG中，sin∠AGB，
∴∠AGB＝60°，AGBG＝1，
∴EF＝DG＝AD﹣AG＝1，
∵在Rt△DEG中，∠EGD＝60°，
∴EGDG，DEDG，
在Rt△FED中，DF，
∴FG+DG+DF，
∴△FGD的周長為；
②如圖，過點C作CH⊥BF于H，
∵△BDG≌△CFE，
∴BD＝CF，∠CFH＝∠BDA，
∵∠BAD＝∠CHF＝90°，
∴△BAD≌△CHF（AAS），
∴FH＝AD，
∵AD＝BG，
∴FH＝BG，
∵∠BCF＝90°，
∴∠BCH+∠HCF＝90°，
∵∠BCH+∠HBC＝90°，
∴∠HCF＝∠HBC，
∵∠BHC＝∠CHF＝90°，
∴△BHC∽△CHF，
∴，
設GH＝x，
∴BH＝2﹣x，
∴CH2＝2（2﹣x），
在Rt△GHC中，CG2＝GH2+CH2，
∴CG2＝x2+2（2﹣x）＝（x﹣1）2+3，
當x＝1時，CG2的最小值為3，
∴CG的最小值為．
9．【解答】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，
∵∠DEB＝∠BAC＝60°，∠D＝∠C＝60°，
∴∠DEB＝∠D，
∴BD＝BE；
（2）如圖1，過點A作AG⊥BC于點G，
∵△ABC是等邊三角形，AC＝6，
∴BG，
∴在Rt△ABG中，AGBG＝3，
∵BF⊥EC，
∴BF∥AG，
∴，
∵AF：EF＝3：2，
∴BEBG＝2，
∴EG＝BE+BG＝3+2＝5，
在Rt△AEG中，AE；
（3）①如圖1，過點E作EH⊥AD于點H，
∵∠EBD＝∠ABC＝60°，
∴在Rt△BEH中，，
∴EH，BH，
∵，
∴BG＝xBE，
∴AB＝BC＝2BG＝2xBE，
∴AH＝AB+BH＝2xBEBE＝（2x）BE，
∴在Rt△AHE中，tan∠EAD，
∴y；
②如圖2，過點O作OM⊥BC于點M，
設BE＝a，
∵，
∴CG＝BG＝xBE＝ax，
∴EC＝CG+BG+BE＝a+2ax，
∴EMECa+ax，
∴BM＝EM﹣BE＝axa，
∵BF∥AG，
∴△EBF∽△EGA，
∴，
∵AG，
∴BF，
∴△OFB的面積，
∴△AEC的面積，
∵△AEC的面積是△OFB的面積的10倍，
∴，
∴2x2﹣7x+6＝0，
解得：，
∴，
10．【解答】解：（1）∵PB⊥AM、PC⊥AN，
∴∠ABP＝∠ACP＝90°，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
又∠BPD+∠BPC＝180°，
∴∠BPD＝∠BAC；
（2）①如圖1，
∵∠APB＝∠BDE＝45°，∠ABP＝90°，
∴BP＝AB＝2，
∵∠BPD＝∠BAC，
∴tan∠BPD＝tan∠BAC，
∴2，
∴BPPD，
∴PD＝2；
②當BD＝BE時，∠BED＝∠BDE，
∴∠BPD＝∠BPE＝∠BAC，
∴tan∠BPE＝2，
∵AB＝2，
∴BP，
∴BD＝2；
當BE＝DE時，∠EBD＝∠EDB，
∵∠APB＝∠BDE、∠DBE＝∠APC，
∴∠APB＝∠APC，
∴AC＝AB＝2，
過點B作BG⊥AC于點G，得四邊形BGCD是矩形，
∵AB＝2、tan∠BAC＝2，
∴AG＝2，
∴BD＝CG＝22；
當BD＝DE時，∠DEB＝∠DBE＝∠APC，
∵∠DEB＝∠DPB＝∠BAC，
∴∠APC＝∠BAC，
設PD＝x，則BD＝2x，
∴2，
∴，
∴x，
∴BD＝2x＝3，
綜上所述，當BD＝2、3或22時，△BDE為等腰三角形；
（3）如圖3，過點O作OH⊥DC于點H，
∵tan∠BPD＝tan∠MAN＝1，
∴BD＝PD，
設BD＝PD＝2a、PC＝2b，
則OH＝a、CH＝a+2b，
過點B作BQ⊥AN于點Q，
則QC＝BD＝2a，AQ＝BQ＝CD＝2a+2b，
∴AC＝4a+2b，
∵OC∥BE且∠BEP＝90°，
∴∠PFC＝90°，
∴∠PAC+∠APC＝∠OCH+∠APC＝90°，
∴∠OCH＝∠PAC，
∴△ACP∽△CHO，
∴，即OH AC＝CH PC，
∴a（4a+2b）＝2b（a+2b），
∴a＝b，
即CP＝2a、CH＝3a，
則OCa，
∵△CPF∽△COH，
∴，即，
則CFa，OF＝OC﹣CFa，
∵BE∥OC且BO＝PO，
∴OF為△PBE的中位線，
∴EF＝PF，
∴．
11．【解答】解：（1）①連接DM、MC，如圖1．
∵OM是⊙P的直徑，
∴∠MDO＝∠MCO＝90°．
∵∠AOB＝90°，
∴四邊形OCMD是矩形，
∴MD∥OA，MC∥OB，
∴，．
∵點M是AB的中點，即BM＝AM，
∴BD＝DO，AC＝OC．
∵點M的坐標為（3，4），
∴OB＝2OD＝8，OA＝2OC＝6，
∴點B的坐標為（0，8），點A的坐標為（6，0）；
②在Rt△AOB中，OA＝6，OB＝8，
∴AB10．
∴BMAB＝5．
∵∠OBM＝∠EBD，∠BOM＝∠BED，
∴△OBM∽△EBD，
∴，
∴，
∴BE，
∴ME＝BE﹣BM5；
（2）連接DP、PE，如圖2．
∵3，
∴OK＝3MK，
∴OM＝4MK，PM＝2MK，
∴PK＝MK．
∵OD＝BD，OP＝MP，
∴DP∥BM，
∴∠PDK＝∠MEK，∠DPK＝∠EMK．
在△DPK和△EMK中，
，
∴△DPK≌△EMK，
∴DK＝EK．
∵PD＝PE，
∴PK⊥DE，
∴cos∠DPK，
∴∠DPK＝60°，
∴∠DOM＝30°．
∵∠AOB＝90°，AM＝BM，
∴OM＝BM，
∴∠OBA＝∠DOM＝30°；
（3）y關于x的函數解析式為y．
提示：連接PD、OE，如圖3．
設MK＝t，則有OK＝yt，OM＝（y+1）t，
BM＝OM＝（y+1）t，DP＝PM，
PKt．
由DP∥BM可得△DKP∽△EKM，
則有，可得MEt．
∵OM是⊙P的直徑，
∴∠OEM＝90°，
∴OE2＝OM2﹣ME2＝[（y+1）t]2﹣[t]2 （y2﹣2y），
即OE ，
BE＝BM+ME＝（y+1）tt，
∴x＝tan∠OBA，
∴x21，
整理得：y．
12．【解答】解：（1）因為點D是弧BC的中點，
所以∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，
而∠BOD＝2∠BAD，
所以∠CAB＝∠BOD，
所以DO∥AC；
（2）∵，
∴∠CAD＝∠DCB，
∴△DCE∽△DAC，
∴CD2＝DE DA；
（3）∵tan∠CAD，連接BD，則BD＝CD，
∠DBC＝∠CAD，在Rt△BDE中，tan∠DBE，
設：DE＝a，則CD＝2a，
而CD2＝DE DA，則AD＝4a，
∴AE＝3a，
∴3，
而△AEC∽△DEF，
即△AEC和△DEF的相似比為3，
設：EF＝k，則CE＝3k，BC＝8k，
tan∠CAD，
∴AC＝6k，AB＝10k，
∴sin∠CDA．
13．【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEO＝90°，
∴∠DEO＝∠ACB，
∵OD∥BC，
∴∠DOE＝∠ABC，
∴△DOE∽△ABC；
（2）證明：∵△DOE∽△ABC，
∴∠ODE＝∠A，
∵∠A和∠BDC是所對的圓周角，
∴∠A＝∠BDC，
∴∠ODE＝∠BDC，
∴∠ODF＝∠BDE；
（3）解：∵△DOE∽△ABC，
∴，
即S△ABC＝4S△DOE＝4S1，
∵OA＝OB，
∴，即S△BOC＝2S1，
∵，
∴，
∴，
即，
∴sinA＝sin∠ODE．
14．【解答】（1）證明：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵CD＝BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠B＝∠E，
∴∠E＝∠C；
（2）解：∵四邊形AEDF是⊙O的內接四邊形，
∴∠AFD＝180°﹣∠E，
又∵∠CFD＝180°﹣∠AFD，
∴∠CFD＝∠E＝55°，
又∵∠E＝∠C＝55°，
∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝110°；
（3）解：連接OE，
∵∠CFD＝∠E＝∠C，
∴FD＝CD＝BD＝4，
在Rt△ABD中，cosB，BD＝4，
∴AB＝6，
∵E是的中點，AB是⊙O的直徑，
∴∠AOE＝90°，
∵AO＝OE＝3，
∴AE＝3，
∵E是的中點，
∴∠ADE＝∠EAB，
∴△AEG∽△DEA，
∴，
即EG ED＝AE2＝18．
15．【解答】（1）證明：∵D是 的中點，
∴，
∵DE⊥AB且AB為⊙O的直徑，
∴，
∴，
∴BC＝DE；
（2）解：連接OD，
∵，
∴∠CAB＝∠DOB，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DFO＝90°，
∴△ACB∽△OFD，
∴，
設⊙O的半徑為r，
則 ，
解得r＝5，經檢驗，r＝5是方程的根，
∴AB＝2r＝10，
∴，
∴，
∵∠BPC＝∠CAB，
∴；
（3）解：如圖，過點B作BG⊥CP交CP于點G，
∴∠BGC＝∠BGP＝90°，
∵∠ACB＝90°，CP是∠ACB 的平分線，
∴∠ACP＝∠BCP＝45°，
∴∠CBG＝45°，
∴，
∴，
∴，
∴GP3，
．CP＝CG+GP＝437．
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