資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
2025年九年級數(shù)學(xué)中考三輪沖刺訓(xùn)練四邊形的判定與性質(zhì)綜合訓(xùn)練
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點，延長BC到點D，使，連結(jié)EF，CE，DF．
（1）求證：四邊形CDFE是平行四邊形．
（2）連結(jié)DE，交AC于點O，若AB＝BD＝6，求DE的長．
2．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，∠B＝90°，CD∥AB，O是AC的中點，連結(jié)DO并延長，交AB于點E，連結(jié)CE．
（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形．
（2）若CE平分∠ACB，求AD的長．
3．如圖，在平行四邊形ABCD中，AE，CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，且點E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；
（2）若∠ADC＝60°，DF＝2AF＝2，求△GDF的面積．
4．如圖1，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點O，AO＝CO，∠BCA＝∠CAD．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）如圖2，E，F(xiàn)，G分別是BO，CO，AD的中點，連接EF，GE，GF，若BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，求△EFG的周長．
5．如圖，平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，且E、F分別在邊BC、AD上，AE＝AF．
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，△ABE的面積等于，求平行線AB與DC間的距離．
6．如圖，四邊形ABCD是菱形，點H為對角線AC的中點，點E在AB的延長線上，CE⊥AB，垂足為E，點F在AD的延長線上，CF⊥AD，垂足為F，
（1）若∠BAD＝60°，求證：四邊形CEHF是菱形；
（2）若CE＝4，△ACE的面積為16，求菱形ABCD的面積．
7．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，已知OA＝OC，OB＝OD，過點O作EF⊥BD，分別交AB、DC于點E，F(xiàn)，連接DE，BF，AF．
（1）求證：四邊形DEBF是菱形；
（2）設(shè)AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的長．
8．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F．
（1）求證：△AEF≌△DEB；
（2）證明四邊形ADCF是菱形；
（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面積．
9．如圖，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是邊AB上的中線，分別過點C，D作BA，BC的平行線交于點E，且DE交AC于點O，連接AE．
（1）求證：四邊形ADCE是菱形；
（2）若AC＝2DE，求sin∠CDB的值．
10．矩形ABCD中，G，H分別是AB，DC的中點，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩個動點，且AE＝CF．
（1）如圖，當(dāng)時，求證：四邊形EGFH是平行四邊形；
（2）若AB＝6，BC＝8，以E，G，F(xiàn)，H為頂點的四邊形為矩形，請直接寫出AE的長．
11．如圖，在 ABCD中，點O為線段AD的中點，延長BO交CD的延長線于點E，連接AE，BD，∠BDC＝90°．
（1）求證：四邊形ABDE是矩形；
（2）連接OC．若AB＝4，，求OC的長．
12．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，過點A作BC的垂線，垂足為點E，延長BC到點F，使CF＝BE，連接DF．
（1）求證：四邊形AEFD是矩形；
（2）連接OE，若AD＝25，OE＝7，求AE的長．
13．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB∥CD，G為BC邊上的一點，連接AG，DG，AE平分∠BAG交邊BC于點E，∠ADG＝∠CGD．
（1）求證：四邊形ABCD是矩形；
（2）若CG＝5，，4EG＝5BE，求EG的長．
14．如圖，正方形ABCD中，AB＝3，點E是對角線AC上的一點，連接DE．過點E作EF⊥ED，交AB于點F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接AG．
（1）求證：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰為AB的中點，求正方形DEFG的面積．
15．如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，EF⊥AD于點F，DG⊥AE于點G，DG與EF交于點O．
（1）求證：四邊形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求證：AB＝AG；
（3）在（2）的條件下，已知AB＝1，求OF的長．
16．四邊形ABCD為正方形，AB＝3，E為對角線AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交射線BC于點F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．
（1）AC的長為 　 　 ，∠ACB＝　 　 度；
（2）如圖，當(dāng)點F在線段BC的延長線上時：
①求證：矩形DEFG是正方形；
②若，求正方形DEFG的邊長；
（3）當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是35°時，請直接寫出∠EFC的度數(shù)．
17．如圖，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF和∠CFE的外角平分線交于點A，過點A分別作直線CE，CF的垂線，點B，D為垂足．
（1）求證：四邊形ABCD是正方形；
（2）若AB＝a（a為常數(shù)），求（BE+a）（DF+a）的值．
18．如圖，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分線交于點A，過點A分別作直線CE，CF的垂線，B，D為垂足．
（1）∠EAF＝　 　 °（直接寫出結(jié)果不寫解答過程）；
（2）①求證：四邊形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝3，求DF的長．
（3）如圖（2），在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝5，QH＝2，則HR的長度是 　 　 （直接寫出結(jié)果不寫解答過程）．
參考答案
1．【解答】（1）證明：∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，
∴EF∥BC，，
∴CD∥EF，
∵，
∴CD＝EF，
∴四邊形DCEF是平行四邊形；
（2）解：∵，BD＝AB＝6，
∴，，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OCD＝90°，
在Rt△ABC中，，
在平行四邊形DCEF中，，DE＝2OD，
在Rt△OCD中，，
∴．
2．【解答】（1）證明：∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠CAE，
∵O是AC的中點，
∴AO＝CO，
在△AOE與△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴AE＝CD，又AE∥CD，
∴四邊形AECD是平行四邊形；
（2）解：如圖，過點E作EF⊥AC于F，
在Rt△ABC中，AB＝8cm，BC＝6cm，∠B＝90°，
由勾股定理得：AC10（cm），
∵CE平分∠ACB，∠B＝90°，EF⊥AC，
∴EF＝EB，
則，
∴，
∵AB＝8cm，
∴BE＝3cm，
∴CE3（cm），
由（1）可知：四邊形AECD是平行四邊形，
∴AD＝CE＝3cm．
3．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE，CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，
∴∠AEB＝∠DAE∠BAD，∠BCF∠BCD，
∴∠AEB＝∠BCF，
∴AE∥CF，
又∵AF∥CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形；
（2）解：如圖，過點C作CH⊥AD于點H，
則∠CHD＝90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠ADC＝180°﹣60°＝120°，
∵CF是∠BCD的平分線，
∴∠DCF∠BCD120°＝60°，
∴∠ADC＝∠DCF＝60°，
∴△CDF是等邊三角形，
∴CD＝DF＝2，DHDF＝1，
在Rt△CHD中，由勾股定理得：CH，
∴S△CDFDF CH2，
由（1）得：四邊形AECF是平行四邊形，
∴CE＝AFDF2＝1，
∵AD∥BC，
∴△DGF∽△EGC，
∴，
∴FGCF，
∴S△GDFS△CDF．
4．【解答】（1）證明：∵∠BCA＝∠CAD，
∴AD∥BC，
在△AOD與△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）解：連接DF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC＝15，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2OD，OA＝OCAC＝8，
∵BD＝2AB，
∴AB＝OD，
∴DO＝DC，
∵點F是OC的中點，
∴OFOC＝4，DF⊥OC，
∴AF＝OA+OF＝12，
在Rt△AFD中，DF9，
∴點G是AD的中點，∠AFD＝90°，
∴DG＝FGAD＝7.5，
∵點E，點F分別是OB，OC的中點，
∴EF是△OBC的中位線，
∴EFBC＝7.5，EF∥BC，
∴EF＝DG，EF∥AD，
∴四邊形GEFD是平行四邊形，
∴GE＝DF＝9，
∴△EFG的周長＝GE+GF+EF＝9+7.5+7.5＝24，
∴△EFG的周長為24．
5．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC，
∵AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，
∴，，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BCF＝∠AEB，
∴AE∥FC，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵AE＝AF，
∴四邊形AECF是菱形；
（2）解：連接AC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝EB，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠ABE＝60°，
∵△ABE的面積等于，
∴，
∴AB＝4，
即AB＝AE＝EB＝4，
由（1）知四邊形AECF是菱形，
∴AE＝CE＝4，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠AEB是△AEC的一個外角，
∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，
即AC⊥AB，
由勾股定理得，
即平行線AB與DC間的距離是．
6．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴∠EAC＝∠FAC＝30°，
又∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CFAC，
∵點H為對角線AC的中點，
∴EH＝FHAC，
∴CE＝CF＝EH＝FH，
∴四邊形CEHF是菱形；
（2）∵CE⊥AB，CE＝4，△ACE的面積為16，
∴AE＝8，
∴AC4，
設(shè)AB＝BC＝x，
∴x2＝（8﹣x）2+42，
∴x＝5，
∴菱形ABCD的面積＝AB CE＝5×4＝20．
7．【解答】（1）證明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
∵EF⊥BD，
∴四邊形DEBF是菱形；
（2）過點F作FG⊥AB于點G，如圖，
∵AD∥EF，EF⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，
∵AD+AB＝12，BD＝4，
∴AD2+（4）2＝（12﹣AD）2，
解得AD＝4，AB＝8，
∴sin∠ABD，
∴∠ABD＝30°，
∵四邊形DEBF是菱形，
∴∠EBF＝2∠ABD＝60°，
∴△BEF是等邊三角形，
∵OB＝OD，EF∥AD，
∴AE＝BE＝4，
∵FG⊥BE，
∴EG＝BG＝2，
在Rt△BGF中，BF＝4，BG＝2，
根據(jù)勾股定理得，F(xiàn)G，
在Rt△AGF中，AG＝6，
根據(jù)勾股定理得，
AF4．
8．【解答】（1）證明：①∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中點，D是BC的中點，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）證明：由（1）知，△AFE≌△DBE，則AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中點，
∴AD＝DCBC，
∴四邊形ADCF是菱形；
（3）連接DF，
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四邊形ABDF是平行四邊形，
∴DF＝AB＝5，
∵四邊形ADCF是菱形，
∴S菱形ADCFAC DF4×5＝10．
9．【解答】（1）證明：∵DE∥BC，CE∥AB，
∴四邊形DBCE是平行四邊形．
∴CE＝BD，
又∵CD是邊AB上的中線，
∴BD＝AD，
∴CE＝DA，
又∵CE∥DA，
∴四邊形ADCE是平行四邊形．
∵∠BCA＝90°，CD是斜邊AB上的中線，
∴AD＝CD，
∴四邊形ADCE是菱形；
（2）解：過點C作CF⊥AB于點F，
由（1）可知，BC＝DE，
設(shè)BC＝x，則AC＝2x，
在Rt△ABC中，ABx．
∵AB CFAC BC，
∴CFx．
∵CDABx，
∴sin∠CDB．
10．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，G，H分別是AB，DC的中點，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∴AGABDC＝CH，∠GAE＝∠HCF，
在△GAE和△HCF中，
，
∴△GAE≌△HCF（SAS），
∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH，
∴180°﹣∠AEG＝180°﹣∠CFH，
∴∠FEG＝∠EFH，
∴EG∥FH，
∴四邊形EGFH是平行四邊形．
（2）解：AE的長為1或9，
理由：連接GH，
∵AB＝DC＝6，BC＝8，∠B＝90°，
∴AG＝BGAB＝3，DH＝CHDC＝3，AC10，
∴BG∥CH，且BG＝CH，
∴四邊形BCHG是平行四邊形，
∴GH＝BC＝8，
∵以E，G，F(xiàn)，H為頂點的四邊形為矩形，
∴EF＝GH＝8，
如圖1，當(dāng)AEAC時，四邊形EGFH是矩形，
∵AE＝CF，且AE+EF+CF＝AC，
∴2AE+8＝10，
∴AE＝1；
如圖2，當(dāng)AEAC時，四邊形FGEH是矩形，
∵AE＝CF，且AE﹣EF+CF＝AC，
∴2AE﹣8＝10，
∴AE＝9，
綜上所述，AE的長為1或9．
11．【解答】（1）證明：∵O為AD的中點，
∴AO＝DO，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠BAO＝∠EDO，
又∵∠AOB＝∠DOE，
∴△AOB≌△DOE（ASA），
∴AB＝DE，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴平行四邊形ABDE是矩形；
（2）解：如圖，過點O作OF⊥DE于點F，
∵四邊形ABDE是矩形，
∴DE＝AB＝4，ODAD，OB＝OEBE，AD＝BE，
∴OD＝OE，
∵OF⊥DE，
∴DF＝EFDE＝2，
∴OF為△BDE的中位線，
∴OFBD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD＝AB＝4，
∴CF＝CD+DF＝6，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC，
即OC的長為．
12．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四邊形AEFD是矩形；
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BC＝AD＝25，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴AC＝2OE＝14，
∵AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2＝AE2
∴252﹣BE2＝142﹣（25﹣BE）2，
∴BE，
∴AE．
13．【解答】（1）證明：∵∠ADG＝∠CGD，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形；
（2）解：如圖，過點E作EF⊥AG于F，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵AE平分∠BAG，
∴BE＝EF，
在Rt△DCG中，cos∠DGC，
∵CG＝5，
∴DG＝13，
由勾股定理得：CD12，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝12，
∵∠B＝∠AFE＝90°，AE＝AE，∠BAE＝∠FAE，
∴△ABE≌△AFE（AAS），
∴AF＝AB＝12，
∵4EG＝5BE，
∴，
設(shè)EG＝5x，BE＝4x，則EF＝4x，F(xiàn)G＝3x，
∴AG＝12+3x，
∵∠B＝90°，
∴AB2+BG2＝AG2，
∴122+（4x+5x）2＝（12+3x）2，
∴x1＝0（舍），x2＝1，
∴EG＝5x＝5．
14．【解答】（1）證明：如圖，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四邊形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF（ASA），
∴ED＝EF，
∵四邊形DEFG是矩形，
∴四邊形DEFG是正方形；
（2）解：∵四邊形DEFG是正方形，四邊形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝3，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝ACAD＝6；
（3）解：連接DF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝3，AB∥CD，
∵F是AB中點，
∴AF＝FB，
∴DF，
∴正方形DEFG的面積DF2（）2．
15．【解答】（1）證明：∵矩形ABCD，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四邊形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四邊形ABEF是正方形；
（2）證明：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△AGD和△ABE中，
，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG；
（3）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四邊形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，∠BAE＝∠DAG＝45°，
∴四邊形ABEF是正方形；
∴AB＝AF＝1，
∵△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
∴AD，∠DAG＝∠ADG＝45°，
∴DF1，
∵EF⊥AD，
∴∠FDO＝∠FOD＝45°，
∴DF＝OF1．
∴OF1．
16．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，AB＝3，
∵∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝3，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC，
故答案為：，45．
（2）①過點E作EM⊥BC于M，EN⊥CD于點N，如圖1所示：
則四邊形EMCN為矩形，
∵∠ACB＝45°，
∴△EMC為等腰直角三角形，
∴EM＝CM，
∴矩形EMCN為正方形，
∴EM＝EN，∠EMF＝∠END＝∠MEN＝90°，
∴∠MEF+∠FEN＝90°，
∵四邊形DEFG為矩形，
∴∠DEF＝90°，
∴∠NED+∠FEN＝90°，
∴∠MEF＝∠DEF，
在△MEF和△DEF中，
，
∴△MEF≌△DEF（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
②連接EG，如圖2所示：
∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，
∴AD＝CD，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAE＝∠ACD＝45°，
∴∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDG＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∴∠ECG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∵AC，
∴EC＝AC﹣AE，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：EG，
在Rt△DEG中，由勾股定理得：DE2+DE2＝EG2，
∴，
∴DE；
（3）當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是35°時，有以下兩種情況：
①當(dāng)∠ADE＝35°時，此時點F在線段BC上，
∴∠CDG＝∠ADE＝35°，
過點G作GK⊥CD于K，GT⊥BC，交BC的延長線于T，如圖3所示：
則四邊形CTGK為矩形，
同（2）①可證四邊形EFGD為正方形，
∴DG＝FG，∠KGT＝∠DGF＝90°，∠GKD＝∠GTF＝90°，
∴∠1+∠KGF＝∠KGF+∠2＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△GKD和△GTF中，
，
∴△GKD≌△GTF（AAS），
∴∠CDG＝∠GFT＝35°，
∴∠EFG＝∠EFG+GFT＝90°+35°＝125°；
②當(dāng)∠CDE＝35°時，此時點F在BC的延長線上，
∴∠CDG＝90°﹣∠CDE＝55°，
過點G作GR⊥CD于R，GS⊥BC，交BC的延長線于S，如圖3所示：
由（2）①可知：四邊形EFGD為正方形，
同理可證：△GKD≌△GTF（AAS），
∴∠CDG＝∠GFS＝55°，
∴∠EFC＝90°﹣∠GFS＝35°，
綜上所述：∠EFC的度數(shù)為125°或35°．
17．【解答】（1）證明：作AG⊥EF于G，如圖，
則∠AGE＝∠AGF＝90°，
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，
∴四邊形ABCD是矩形，
∵∠CEF，∠CFE外角平分線交于點A，
∴AB＝AG，AD＝AG，
∴AB＝AD，
∴四邊形ABCD是正方形；
（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝6，
在Rt△ABE和Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE＝GE，
同理：Rt△ADF≌Rt△AGF（HL），
∴DF＝GF，
∴BE+DF＝GE+GF＝EF，
設(shè)BE＝x，DF＝y(tǒng)，則CE＝BC﹣BE＝a﹣x，CF＝CD﹣DF＝a﹣y，EF＝x+y，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：（a﹣x）2+（a﹣y）2＝（x+y）2，
整理得：xy+a（x+y）＝a2，
∴（BE+a）（DF+a）＝（x+a）（y+a）＝xy+a（x+y）+a2＝a2+a2＝2a2．
18．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，
∴∠CFE+∠CEF＝90°，
∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，
∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF，
∴∠AFEDFE，∠AEFBEF，
∴∠AEF+∠AFE（∠DFE+∠BEF）270°＝135°，
∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°，
故答案為：45；
（2）①作AG⊥EF于G，如圖1所示：
則∠AGE＝∠AGF＝90°，
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，
∴四邊形ABCD是矩形，
∵∠CEF，∠CFE外角平分線交于點A，
∴AB＝AG，AD＝AG，
∴AB＝AD，
∴四邊形ABCD是正方形；
②設(shè)DF＝x，
∵BE＝EC＝3，
∴BC＝6，
由①得四邊形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝6，
在Rt△ABE與Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE＝EG＝3，
同理，GF＝DF＝x，
在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，
即32+（6﹣x）2＝（x+3）2，
解得：x＝2，
∴DF的長為2；
（3）解：如圖2所示：
把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延長DQ、MR交于點G，
由（1）（2）得：四邊形PMGD是正方形，MR+DQ＝QR，MR＝HR，DQ＝HQ＝2，
∴MG＝DG＝MP＝PH＝5，
∴GQ＝3，
設(shè)MR＝HR＝a，則GR＝5﹣a，QR＝a+2，
在Rt△GQR中，由勾股定理得：（5﹣a）2+32＝（2+a）2，
解得：a，即HR；
故答案為：．
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