資源簡介

4.2　超幾何分布
課標要求　1.通過具體實例，了解超幾何分布及其均值. 2.能用超幾何分布解決簡單的實際問題.
【引入】 從一副不含大、小王的52張撲克牌中任意抽出6張，求至少有3張A的概率.
你會解決這個問題嗎 相信學完這節(jié)課就能很容易地解答出來.
一、超幾何分布的概念
探究1 已知在10件產品中有4件次品，分別采取有放回和不放回方式隨機抽取3件，設抽取的3件產品中次品數(shù)為X，試寫出X=2時對應的概率.


【知識梳理】
一般地，設有N件產品，其中有M(M≤N)件次品.從中任取n(n≤N)件產品，用X表示取出的n件產品中次品的件數(shù)，那么P(X=k)=　　　　　　　，max{0，n-(N-M)}≤k≤min{n，M}，其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N+.
若一個隨機變量X的分布列由上式確定，則稱隨機變量X服從N，M，n的　　　　　　.
溫馨提示　(1)超幾何分布的特點:不放回抽樣.
(2)超幾何分布的實質是古典概型.
例1 (多選)下列隨機事件中的隨機變量X不服從超幾何分布的是 (　　)
A.將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)X
B.從7名男生與3名女生共10名學生干部中選出5名優(yōu)秀學生干部，選出女生的人數(shù)為X
C.某射手的命中率為0.8，現(xiàn)對目標射擊1次，記命中目標的次數(shù)為X
D.盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球時的總次數(shù)
(2)(多選)關于超幾何分布下列說法正確的是 (　 )
A.超幾何分布的模型是不放回抽樣
B.超幾何分布的總體里可以只有一類物品
C.超幾何分布中的參數(shù)是N，M，n
D.超幾何分布的總體往往由差異明顯的兩部分組成


思維升華　判斷一個隨機變量是否服從超幾何分布，應看三點
(1)總體是否可分為兩類明確的對象(多類對象可轉化為兩類對象).
(2)是否為不放回抽樣.
(3)隨機變量是否為樣本中其中一類個體的個數(shù).
訓練1 (1)(多選)下列隨機變量中，服從超幾何分布的有 (　　)
A.在10件產品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數(shù)為X
B.從3臺甲型冰箱和2臺乙型冰箱中任取2臺，記X表示所取的2臺冰箱中甲型冰箱的臺數(shù)
C.一名學生騎自行車上學，途中有6個交通崗，記此學生遇到紅燈的個數(shù)為隨機變量X
D.從10名男生、5名女生中選3人參加植樹活動，其中男生人數(shù)記為X
(2)(多選)下列隨機變量中，服從超幾何分布的有 (　　)
A.拋擲三枚骰子，向上面的點數(shù)是6的骰子的個數(shù)X
B.有一批種子的發(fā)芽率為70%，任取10顆種子做發(fā)芽試驗，試驗中發(fā)芽的種子的個數(shù)X
C.盒子中有3個紅球、4個黃球、5個藍球，任取3個球，不是紅球的個數(shù)X
D.某班級有男生25人，女生20人.選派4名學生參加學校組織的活動，其中女生的人數(shù)X
二、超幾何分布的分布列
例2 盒子中有6個球，其中有4個紅球、2個白球，現(xiàn)從中隨機取出3個球.
(1)X表示所取球中所含白球個數(shù)，求X的分布列.
(2)Y表示所取球中所含紅球個數(shù)，求Y的分布列.




思維升華　(1)在產品抽樣檢驗中，如果是不放回抽樣，則抽到的次品數(shù)服從超幾何分布.
(2)超幾何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X=k)，從而求出X的分布列.
訓練2 為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名;乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.
(1)設事件A為“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自不同協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率;
(2)設隨機變量X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求X的分布列.




三、超幾何分布的均值
探究2 計算例2中的EX，你能發(fā)現(xiàn)服從超幾何分布的隨機變量的均值與n，M，N有關系嗎


【知識梳理】
超幾何分布的均值:一般地，當隨機變量X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布時，其均值為EX=　　　　.
溫馨提示　解決該類問題時可直接利用公式，但一定要注意公式中各字母的取值范圍及其意義.
例3 (鏈接教材P218練習T2)某大學志愿者協(xié)會有10名同學，成員構成如下表.表中部分數(shù)據(jù)不清楚，只知道從這10名同學中隨機抽取1名同學，該名同學的專業(yè)為數(shù)學的概率為.
　　專業(yè) 性別　　
中文 英語 數(shù)學 體育
男 n 1 m 1
女 1 1 1 1
現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學參加社會公益活動(每名同學被選到的可能性相同).
(1)求m，n的值;
(2)求選出的3名同學恰為專業(yè)互不相同的男生的概率;
(3)設ξ為選出的3名同學中是女生或專業(yè)為數(shù)學的人數(shù)，求隨機變量ξ的分布列、均值.




思維升華　求超幾何分布均值的步驟
(1)判斷隨機變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N，M，n的值.
(2)根據(jù)超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率.
(3)利用均值公式求解.
訓練3 為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念和提高生態(tài)環(huán)境的保護意識，某校高二年級準備成立一個環(huán)境保護興趣小組.該年級理科班有男生400人，女生200人;文科班有男生100人，女生300人.現(xiàn)按男、女用分層隨機抽樣的方法從理科生中抽取6人，從文科生中抽取4人，組成環(huán)境保護興趣小組，再從這10人的興趣小組中抽出4人參加學校的環(huán)保知識競賽.
(1)設事件A為“選出參加環(huán)保知識競賽的4人中有兩個男生、兩個女生，而且這兩個男生中文、理科生都有”，求事件A發(fā)生的概率；
(2)用X表示抽取的4人中文科女生的人數(shù)，求X的分布列及均值.




【課堂達標】
1.盒中有4個白球，5個紅球，從中任取3個球，則恰好取出2個紅球的概率是 (　　)
A. B.
C. D.
2.有10個游戲幣，其中3個是假幣，從中任取兩個，若X表示取得假幣的個數(shù)，則P(X<2)等于 (　　)
A. B.
C. D.
3.某手機經(jīng)銷商從已購買某品牌手機的市民中抽取20人參加宣傳活動，這20人中年齡低于30歲的有5人.現(xiàn)從這20人中隨機選取2人各贈送一部手機，記X為選取的年齡低于30歲的人數(shù)，則P(X=1)=　　　　　.
4.某學校實行自主招生，參加自主招生的學生從8道試題中隨機挑選4道進行作答，至少答對3道才能通過初試.記在這8道試題中甲能答對6道，甲答對試題的個數(shù)為X，則甲通過自主招生初試的概率為　　　　，EX=　　　　.
4.2　超幾何分布
探究1　提示　若采用有放回抽樣時X服從二項分布，即X~B(3，0.4)，P(X=2)=×0.42×0.6=0.288.
若采用不放回抽樣，那么各次試驗條件就不同了，不是伯努利試驗類型，此時，只能用古典概型求解，首先，從這10件產品中任取3件，共有種取法.X的可能取值為0，1，2，3.其中“X=2”表示“任取的3件產品中含2件次品”，故事件“X=2”的概率為P(X=2)==0.3.
知識梳理
　　超幾何分布
例1　(1)ACD　(2)ACD　[(1)由超幾何分布的定義可知僅B是超幾何分布，故選ACD.
(2)由超幾何分布的定義，超幾何模型為不放回抽樣，故A正確;
超幾何分布實質上就是有總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M(M≤N)件，從所有物品中任取n(n≤N)件，這n件所含這類物品的件數(shù)X是一個離散型隨機變量，它取值為k時的概率為P(X=k)=(k≤l，l是n和M中較小的一個)，
∴B錯誤;C、D正確.]
訓練1　(1)ABD　(2)CD　[(1)依據(jù)超幾何分布模型定義可知，ABD中隨機變量X服從超幾何分布.而C中顯然不能看作一個不放回抽樣問題，故隨機變量X不服從超幾何分布.
(2)AB是重復試驗問題，服從二項分布，不服從超幾何分布，故AB不符合題意;CD符合超幾何分布的特征，樣本都可分為兩類，隨機變量X表示抽取n件樣本中某類樣本被抽取的件數(shù)，服從超幾何分布.]
例2　解　(1)由題意，得X的可能取值為0，1，2.
P(X=0)=.
P(X=1)=.
P(X=2)=.
所以X的分布列為
X 0 1 2
P
(2)由題意，得Y的可能取值為1，2，3.
P(Y=1)=.
P(Y=2)=.
P(Y=3)=.
所以Y的分布列為
Y 1 2 3
P
訓練2　解　(1)由題意可得P(A)=.
(2)隨機變量X的可能取值為1，2，3，4，
則P(X=1)=，
P(X=2)=，
P(X=3)=，
P(X=4)=，
所以X的分布列為
X 1 2 3 4
P
探究2　提示　若X服從超幾何分布，則EX=.
知識梳理
　　
例3　解　(1)設事件A為“從這10名同學中隨機抽取1名同學，該名同學的專業(yè)為數(shù)學”，
由題意，可知數(shù)學專業(yè)的同學共有(1+m)名，
則P(A)=，解得m=3.
因為m+n+6=10，所以n=1.
(2)設事件B為“選出的3名同學恰為專業(yè)互不相同的男生”，
則P(B)=.
(3)由題意，可知這10名同學中是女生或專業(yè)為數(shù)學的人數(shù)為7，ξ的可能取值為0，1，2，3.
P(ξ=0)=，
P(ξ=1)=，
P(ξ=2)=，
P(ξ=3)=.
所以ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3
P
均值Eξ=0×.
或由題意知隨機變量ξ服從參數(shù)為n=3，M=7，N=10的超幾何分布，
故Eξ=.
訓練3　解　(1)由題意可得，抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.
所以P(A)=.
(2)X的可能取值為0，1，2，3，
P(X=0)=，
P(X=1)=，
P(X=2)=，
P(X=3)=，
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以EX=0×，
或由題意知X服從參數(shù)n=4，N=10，M=3的超幾何分布，故EX=.
課堂達標
1.C　2.D　3.　3　(共64張PPT)
第六章 §4　二項分布與超幾何分布
4.2　超幾何分布
課標要求
1.通過具體實例，了解超幾何分布及其均值.
2.能用超幾何分布解決簡單的實際問題.
從一副不含大、小王的52張撲克牌中任意抽出6張，求至少有3張A的概率.
你會解決這個問題嗎？相信學完這節(jié)課就能很容易地解答出來.
引入
課時精練
一、超幾何分布的概念
二、超幾何分布的分布列
三、超幾何分布的均值
課堂達標
內容索引
超幾何分布的概念
一
探究1 已知在10件產品中有4件次品，分別采取有放回和不放回方式隨機抽取3件，設抽取的3件產品中次品數(shù)為X，試寫出X＝2時對應的概率.
若一個隨機變量X的分布列由上式確定，則稱隨機變量X服從N，M，n的
____________.
知識梳理
超幾何分布
溫馨提示
(1)超幾何分布的特點：不放回抽樣.
(2)超幾何分布的實質是古典概型.
例1
√
(多選)下列隨機事件中的隨機變量X不服從超幾何分布的是
A.將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)X
B.從7名男生與3名女生共10名學生干部中選出5名優(yōu)秀學生干部，選出女生的人數(shù)為X
C.某射手的命中率為0.8，現(xiàn)對目標射擊1次，記命中目標的次數(shù)為X
D.盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球時的總次數(shù)
√
√
由超幾何分布的定義可知僅B是超幾何分布，故選ACD.
√
(2)(多選)關于超幾何分布下列說法正確的是
A.超幾何分布的模型是不放回抽樣
B.超幾何分布的總體里可以只有一類物品
C.超幾何分布中的參數(shù)是N，M，n
D.超幾何分布的總體往往由差異明顯的兩部分組成
√
√
由超幾何分布的定義，超幾何模型為不放回抽樣，故A正確；
判斷一個隨機變量是否服從超幾何分布，應看三點
(1)總體是否可分為兩類明確的對象(多類對象可轉化為兩類對象).
(2)是否為不放回抽樣.
(3)隨機變量是否為樣本中其中一類個體的個數(shù).
思維升華
(1)(多選)下列隨機變量中，服從超幾何分布的有
A.在10件產品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數(shù)為X
B.從3臺甲型冰箱和2臺乙型冰箱中任取2臺，記X表示所取的2臺冰箱中甲型冰箱的臺數(shù)
C.一名學生騎自行車上學，途中有6個交通崗，記此學生遇到紅燈的個數(shù)為隨機變量X
D.從10名男生、5名女生中選3人參加植樹活動，其中男生人數(shù)記為X
訓練1
√
√
√
依據(jù)超幾何分布模型定義可知，ABD中隨機變量X服從超幾何分布.而C中顯然不能看作一個不放回抽樣問題，故隨機變量X不服從超幾何分布.
√
(2)(多選)下列隨機變量中，服從超幾何分布的有
A.拋擲三枚骰子，向上面的點數(shù)是6的骰子的個數(shù)X
B.有一批種子的發(fā)芽率為70%，任取10顆種子做發(fā)芽試驗，試驗中發(fā)芽的種子的個數(shù)X
C.盒子中有3個紅球、4個黃球、5個藍球，任取3個球，不是紅球的個數(shù)X
D.某班級有男生25人，女生20人.選派4名學生參加學校組織的活動，其中女生的人數(shù)X
√
AB是重復試驗問題，服從二項分布，不服從超幾何分布，故AB不符合題意；CD符合超幾何分布的特征，樣本都可分為兩類，隨機變量X表示抽取n件樣本中某類樣本被抽取的件數(shù)，服從超幾何分布.
超幾何分布的分布列
二
例2
盒子中有6個球，其中有4個紅球、2個白球，現(xiàn)從中隨機取出3個球.
(1)X表示所取球中所含白球個數(shù)，求X的分布列.
由題意，得X的可能取值為0，1，2.
(2)Y表示所取球中所含紅球個數(shù)，求Y的分布列.
由題意，得Y的可能取值為1，2，3.
思維升華
(1)在產品抽樣檢驗中，如果是不放回抽樣，則抽到的次品數(shù)服從超幾何分布.
(2)超幾何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，從而求出X的分布列.
為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.
(1)設事件A為“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自不同協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率；
訓練2
(2)設隨機變量X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求X的分布列.
隨機變量X的可能取值為1，2，3，4，
超幾何分布的均值
三
探究2 計算例2中的EX，你能發(fā)現(xiàn)服從超幾何分布的隨機變量的均值與n，M，N有關系嗎？
知識梳理
知識梳理
超幾何分布的均值：一般地，當隨機變量X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布時，其均值為EX＝__________.
溫馨提示
解決該類問題時可直接利用公式，但一定要注意公式中各字母的取值范圍及其意義.
例3
　　專業(yè) 性別　　 中文 英語 數(shù)學 體育
男 n 1 m 1
女 1 1 1 1
現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學參加社會公益活動(每名同學被選到的可能性相同).
(1)求m，n的值；
設事件A為“從這10名同學中隨機抽取1名同學，該名同學的專業(yè)為數(shù)學”，
由題意，可知數(shù)學專業(yè)的同學共有(1＋m)名，
解得m＝3.
因為m＋n＋6＝10，所以n＝1.
設事件B為“選出的3名同學恰為專業(yè)互不相同的男生”，
(2)求選出的3名同學恰為專業(yè)互不相同的男生的概率；
(3)設ξ為選出的3名同學中是女生或專業(yè)為數(shù)學的人數(shù)，求隨機變量ξ的分布列、均值.
由題意，可知這10名同學中是女生或專業(yè)為數(shù)學的人數(shù)為7，ξ的可能取值為0，1，2，3.
思維升華
求超幾何分布均值的步驟
(1)判斷隨機變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N，M，n的值.
(2)根據(jù)超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率.
(3)利用均值公式求解.
訓練3
為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念和提高生態(tài)環(huán)境的保護意識，某校高二年級準備成立一個環(huán)境保護興趣小組.該年級理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.現(xiàn)按男、女用分層隨機抽樣的方法從理科生中抽取6人，從文科生中抽取4人，組成環(huán)境保護興趣小組，再從這10人的興趣小組中抽出4人參加學校的環(huán)保知識競賽.
(1)設事件A為“選出參加環(huán)保知識競賽的4人中有兩個男生、兩個女生，而且這兩個男生中文、理科生都有”，求事件A發(fā)生的概率：
由題意可得，抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.
(2)用X表示抽取的4人中文科女生的人數(shù)，求X的分布列及均值.
X的可能取值為0，1，2，3，
【課堂達標】
√
√
3.某手機經(jīng)銷商從已購買某品牌手機的市民中抽取20人參加宣傳活動，這20人中年齡低于30歲的有5人.現(xiàn)從這20人中隨機選取2人各贈送一部手機，記X為選取的年齡低于30歲的人數(shù)，則P(X＝1)＝__________.
4.某學校實行自主招生，參加自主招生的學生從8道試題中隨機挑選4道進行作答，至少答對3道才能通過初試.記在這8道試題中甲能答對6道，甲答對試題的個數(shù)為X，則甲通過自主招生初試的概率為________，EX＝________.
3
【課時精練】
√
所給算式的意義相當于求至多取出1個白球的概率，即取到1個白球或沒有取到白球的概率.
√
2.一個袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，還有4個同樣大小的白球，編號為7，8，9，10.現(xiàn)從中任取4個球，有如下幾種變量：
①X表示取出的最大號碼；
②X表示取出的最小號碼；
③取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，X表示取出的4個球的總得分；
④X表示取出的黑球個數(shù).
這四種變量中服從超幾何分布的是
A.①② B.③④
C.①②④ D.①②③④
對于①，當X表示最大號碼，比如X＝6表示從黑球編號為1，2，3，4，5中取3個黑球，而X＝8表示從6個黑球和編號為7的白球共7個球中取3個球，故該隨機變量不服從超幾何分布，同理②中的隨機變量不服從超幾何分布.對于③，X的可能取值為4，5，6，7，8，X＝4表示取出4個白球；X＝5表示取出3個白球1個黑球；X＝6表示取出2個白球2個黑球；X＝7表示取出1個白球3個黑球；X＝8表示取出4個黑球，因此X服從超幾何分布.由超幾何分布的概念知④符合.
√
√
√
√
由題意知有兩種情況：0個正品、4個次品，1個正品、3個次品，
6.有同一型號的電視機100臺，其中一級品97臺，二級品3臺，從中任取4臺，則二級品不多于1臺的概率為__________(用式子表示).
7.袋中裝有5個紅球和4個黑球，從袋中任取4個球，取到1個紅球得3分，取到1個黑球得1分，設得分為隨機變量X，則P(X≥8)＝________.
5
9.在10件產品中有3件一等品，4件二等品，3件三等品.從這10件產品中任取3件.求：
(1)取出的3件產品中一等品的件數(shù)X的分布列；
(2)取出的3件產品中一等品的件數(shù)多于二等品的件數(shù)的概率.
設“取出的3件產品中一等品的件數(shù)多于二等品的件數(shù)”為事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1，“恰好取出2件一等品”為事件A2，“恰好取出3件一等品”為事件A3，
10.在一次購物抽獎活動中，假設某10張券中有一等獎券1張，可獲價值50元的獎品；有二等獎券3張，每張可獲價值10元的獎品；其余6張沒有獎.某顧客從10張中任抽2張，求：
(1)該顧客中獎的概率；
(2)該顧客獲得的獎品總價值X(元)的期望.
X的所有可能值為：0，10，20，50，60，
故X的概率分布列為：
√
√
√
4
1
則紅色球4個，白球2個，黑球3個，故有
13.2021年5月30日清晨5時01分，天舟二號貨運飛船在成功發(fā)射約8小時后，中國航天器的“浪漫之吻”再度在太空上演，天舟二號貨運飛船與中國空間站天和核心艙順利實現(xiàn)了快速交會對接.據(jù)航天科技集團五院的專家介紹，此次天舟貨運飛船攜帶的物資可以供3名航天員在太空中生活3個月，這將創(chuàng)造中國航天員駐留太空時長新的記錄.如果首次執(zhí)行空間站的任務由3名航天員承擔，在3名女性航天員(甲、乙、丙)和4名男性航天員(丁、戊、己、庚)共7名航天員中產生.
(1)求所選的3名航天員既有男航天員又有女航天員的概率；
設“選出執(zhí)行空間站任務3名航天員性別不同”為事件M，
(2)求所選的3名航天員中女航天員人數(shù)X的分布列及數(shù)學期望.
14.口袋中有相同的黑色小球n個，紅、白、藍色的小球各一個，從中任取4個小球.ξ表示當n＝3時取出黑球的數(shù)目，η表示當n＝4時取出黑球的數(shù)目.則下列結論成立的是
A.Eξ＜Eη，Dξ＜Dη B.Eξ＞Eη，Dξ＜Dη
C.Eξ＜Eη，Dξ＞Dη D.Eξ＞Eη，Dξ＞Dη
√
當n＝3時，ξ的可能取值為1，2，3，第六章　課時精練64　超幾何分布
(分值:100分)
一、基礎鞏固
選擇題每小題5分,共25分
1.一個盒子里裝有大小相同的10個黑球,12個紅球,4個白球,從中任取2個,其中白球的個數(shù)記為X,則下列概率等于的是(　　)
P(0P(X=1) P(X=2)
2.一個袋中有6個同樣大小的黑球,編號為1,2,3,4,5,6,還有4個同樣大小的白球,編號為7,8,9,10.現(xiàn)從中任取4個球,有如下幾種變量:
①X表示取出的最大號碼;
②X表示取出的最小號碼;
③取出一個黑球記2分,取出一個白球記1分,X表示取出的4個球的總得分;
④X表示取出的黑球個數(shù).
這四種變量中服從超幾何分布的是(　　)
①② ③④
①②④ ①②③④
3.(多選)已知在10件產品中可能存在次品,從中抽取2件檢查,其次品數(shù)為ξ,已知P(ξ=1)=,則這10件產品中的次品數(shù)可能為(　　)
8 6
4 2
4.某公司有一批專業(yè)技術人員,其中年齡在35~50歲的本科生和研究生分別有30人和20人,現(xiàn)用分層隨機抽樣方法在35~50歲年齡段的專業(yè)技術人員中抽取一個容量為5的樣本,將該樣本看成一個總體,從中任意抽取3人,則至少有1人為研究生的概率為(　　)
5.10個排球中有6個正品,4個次品,從中隨機抽取4個,則正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為(　　)
6.有同一型號的電視機100臺,其中一級品97臺,二級品3臺,從中任取4臺,則二級品不多于1臺的概率為　　　　　(用式子表示).
7.袋中裝有5個紅球和4個黑球,從袋中任取4個球,取到1個紅球得3分,取到1個黑球得1分,設得分為隨機變量X,則P(X≥8)=　　　　　.
8.一個袋中裝有黑球、白球和紅球共n(n∈N+)個,這些球除顏色外完全相同.已知從袋中任意摸出1個球,得到黑球的概率是.現(xiàn)從袋中任意摸出2個球,當n=　　　　時,摸出的2個球中至少有1個黑球的概率最大,且最大概率為　　　　.
9.(15分)在10件產品中有3件一等品,4件二等品,3件三等品.從這10件產品中任取3件.求:
(1)取出的3件產品中一等品的件數(shù)X的分布列;
(2)取出的3件產品中一等品的件數(shù)多于二等品的件數(shù)的概率.
10.(15分)在一次購物抽獎活動中,假設某10張券中有一等獎券1張,可獲價值50元的獎品;有二等獎券3張,每張可獲價值10元的獎品;其余6張沒有獎.某顧客從10張中任抽2張,求:
(1)該顧客中獎的概率;
(2)該顧客獲得的獎品總價值X(元)的期望.
二、綜合運用
選擇題每小題5分,共5分
11.(多選)在4件產品中,有一等品2件,二等品1件(一等品與二等品都是正品),次品1件,現(xiàn)從中任取2件,則下列說法正確的是(　　)
兩件都是一等品的概率是
兩件中有1件是次品的概率是
兩件都是正品的概率是
兩件中至少有1件是一等品的概率是
12.袋中有大小形狀相同的紅球、黑球和白球共9個,其中白球有2個,從袋中任意不放回地取出2球,至少取到1個紅球的概率為,則紅球有　　　　個,在此情況下,若從袋中任意不放回地取出3球,記取到黑球的個數(shù)為ξ,則隨機變量ξ的數(shù)學期望Eξ=　　　　.
13.(15分)2021年5月30日清晨5時01分,天舟二號貨運飛船在成功發(fā)射約8小時后,中國航天器的“浪漫之吻”再度在太空上演,天舟二號貨運飛船與中國空間站天和核心艙順利實現(xiàn)了快速交會對接.據(jù)航天科技集團五院的專家介紹,此次天舟貨運飛船攜帶的物資可以供3名航天員在太空中生活3個月,這將創(chuàng)造中國航天員駐留太空時長新的記錄.如果首次執(zhí)行空間站的任務由3名航天員承擔,在3名女性航天員(甲、乙、丙)和4名男性航天員(丁、戊、己、庚)共7名航天員中產生.
(1)求所選的3名航天員既有男航天員又有女航天員的概率;
(2)求所選的3名航天員中女航天員人數(shù)X的分布列及數(shù)學期望.
三、創(chuàng)新拓展
選擇題每小題5分,共5分
14.口袋中有相同的黑色小球n個,紅、白、藍色的小球各一個,從中任取4個小球.ξ表示當n=3時取出黑球的數(shù)目,η表示當n=4時取出黑球的數(shù)目.則下列結論成立的是(　　)
EξEη,DξEξDη 　Eξ>Eη,Dξ>Dη
課時精練64　超幾何分布
1.B　2.B　3.AD　4.D　5.A　
6.　[二級品不多于1臺，即一級品有3臺或4臺，故所求概率為.]
7.　[由題意知P(X≥8)=1-P(X=6)-P(X=4)=1-.]
8.5　　[依題意，得袋中黑球的個數(shù)為n(n=5，10，15，20，…).
記“從袋中任意摸出2個球，至少有1個黑球”為事件C，
則P(C)=1-，
所以當n=5時，摸出的2個球中至少有1個黑球的概率最大，最大概率為.]
9.解　(1)由題意知X服從參數(shù)為10，3，3的超幾何分布，其分布列為P(X=k)=(k=0，1，2，3).
P(X=0)=，
P(X=1)=，
P(X=2)=，
P(X=3)=，
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
(2)設“取出的3件產品中一等品的件數(shù)多于二等品的件數(shù)”為事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1，“恰好取出2件一等品”為事件A2，“恰好取出3件一等品”為事件A3，
則P(A1)=，P(A2)=P(X=2)=，
P(A3)=P(X=3)=，
由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1+A2+A3，
所以P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=.
所以取出的3件產品中一等品的件數(shù)多于二等品的件數(shù)的概率為.
10.解　(1)P=1-，
即該顧客中獎的概率為.
(2)X的所有可能值為:0，10，20，50，60，
且P(X=0)=，
P(X=10)=，
P(X=20)=，
P(X=50)=，
P(X=60)=.
故X的概率分布列為:
X 0 10 20 50 60
P
EX=0×=16(元).
11.ABD　[兩件都是一等品的概率為，兩件中有一件次品的概率為，兩件都是正品的概率為，兩件中至少有1件是一等品的概率為.]
12.4　1　[設紅球m個，黑球7-m個，至少取到1個紅球的概率，就是取出一個是紅色，另一個是其他色，共計種情況，還有一個可能就是兩個都是紅色有種情況，所以，解得m=4.則紅色球4個，白球2個，黑球3個，故有
P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，
P(ξ=2)=，P(ξ=3)=，
所以數(shù)學期望Eξ=0×=1.
或由題意知ξ服從參數(shù)N=9，M=3，n=3的超幾何分布，故Eξ==1.]
13.解　(1)設“選出執(zhí)行空間站任務3名航天員性別不同”為事件M，則P(M)=1-.
(2)由題意知所選的3名航天員中女航天員人數(shù)X服從參數(shù)N=7，M=3，n=3的超幾何分布且X=0，1，2，3，所以P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，所以X的分布列
X 0 1 2 3
P
EX=.
14.A　[當n=3時，ξ的可能取值為1，2，3，
P(ξ=1)=，
P(ξ=2)=，
P(ξ=3)=，
∴Eξ==2，
Dξ=;
當n=4時，η可取1，2，3，4，
P(η=1)=，
P(η=2)=，
P(η=3)=，
P(η=4)=，
∴Eη=，
Dη=，
∴Eξ

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