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2025年九年級中考數學三輪沖刺訓練分式方程專題訓練
一、選擇題
1．用換元法解關于方程，如果設，那么原方程可化為（　　）
A．2t2﹣5t+3＝0 B．2t2+3t﹣5＝0
C．t2+3t﹣5＝0 D．t2﹣5t+3＝0
2．若關于x的分式方程的解為正實數，則實數m的取值范圍是（　　）
A．m＜1 B．m＞1 C．m＜1且m≠﹣2 D．m＞1且m≠3
3．若關于y的分式方程的解為正數，且x2+2（a﹣1）x+16是一個完全平方式，則滿足條件的整數a的值為（　　）
A．±3 B．5 C．﹣3 D．5或﹣3
4．若分式方程有增根，則m的值為（　　）
A．2 B．4 C．2或﹣2 D．4或﹣8
5．若關于x的方程無解，則m的取值為（　　）
A．﹣6 B．﹣3 C．6 D．3
二、填空題
6．先閱讀下面的材料，然后回答問題：
方程x的解為x1＝2，x2；
方程x的解為x1＝3，x2；
方程x的解為x1＝4，x2；
…
（1）根據上面的規律，猜想方程x的解是　 　 ；
（2）利用材料提供的方法解關于x的方程：x；
（3）已知a≠0，利用材料提供的方法解關于x的方程：x.（結果保留a）
7．某商品經銷店購進A、B兩種紀念品，用320元購進的A種紀念品與用400元購進的B種紀念品的數量相同，每件B種紀念品的進價比A種紀念品的進價多10元．
（1）求A、B兩種紀念品每件的進價分別為多少元？
（2）若A種紀念品每件售價45元，B種紀念品每件售價60元，這兩種紀念品共購進200件，全部售出后總獲利不低于1600元，求A種紀念品最多購進多少件？
8．2025年春節，隨著《哪吒2》電影的爆火，某玩具公司生產了“哪吒”和“敖丙”兩款手辦．已知每個“哪吒”手辦的售價比每個“敖丙”手辦的售價便宜20元，按售價購買3個“哪吒”手辦和2個“敖丙”手辦共需540元．
（1）每個“哪吒”和“敖丙”手辦的售價分別是多少元？
（2）由于電影角色深受大家喜愛，所以玩具公司決定對兩款手辦進行降價促銷，若降價后每個“敖丙”手辦的售價是每個“哪吒”手辦售價的1.3倍，且用800元購買“哪吒”手辦的數量比用520元購買“敖丙”手辦的數量多5個，求降價后每個“哪吒”手辦的售價為多少元？
9．為進一步加強“書香校園”建設，某校擬購進甲、乙兩種規格的書柜放置新購買的圖書．已知每個乙種書柜的進價比每個甲種書柜的進價低30%，用4200元購進乙種書柜的數量比用9000元購進甲種書柜的數量少10個．
（1）每個乙種書柜的進價是多少元？
（2）若該校擬購進這兩種規格的書柜共100個，其中甲種書柜的數量不少于乙種書柜的3倍．該校應如何購進這兩種書柜才能使得購進書柜所需的費用最少？
10．（1）已知關于x的分式方程．
①當a＝5時，求方程的解．
②若該方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值．
（2）關于x的方程有整數解，求此時整數m的值．
11．已知，關于x的方程：．
（1）若方程有增根，求m的取值；
（2）若方程無解，求m的取值；
（3）若方程的解為整數，求整數m的取值范圍．
12．（1）若關于x的方程有增根，求m的值．
（2）在（1）中的條件下，若，求4A﹣B的值．
13．如果兩個實數a、b使得關于x的分式方程的解是成立，那么我們就把實數a、b組成的數對[a，b]稱為關于x的分式方程的一個“關聯數對”，如：a＝2、b＝﹣5使得關于x的分式方程的解是成立，所以數對[2，﹣5]就是關于x的分式方程的一個“關聯數對”．
（1）下列數對為關于x的分式方程的“關聯數對”的有 　 　 （填序號）；
①[1，1]
②[3，﹣5]
③[﹣2，4]
（2）若數對[n，8﹣n]是關于x的分式方程的“關聯數對”，求n的值；
（3）若數對[m﹣k，k]（m≠﹣1且m≠0，k≠1）是關于x的分式方程的“關聯數對”，且關于x的方程有整數解，求整數m的值．
14．給出定義：如果兩個實數m，n使得關于x的分式方程的解是成立，那么我們就把實數m，n組成的數對＜m，n＞稱為關于x的分式方程的一個“夢想數對”．
例如：當m＝3，n＝2時，使得關于x的分式方程的解是成立，所以數對（3，2）稱為關于x的分式方程的一個“夢想數對”．
（1）在數對①＜1，0＞；②＜﹣2，3＞；③，中，　 　 （只填序號）是關于x的分式方程的“夢想數對”．
（2）若數對＜a﹣3，2+a＞是關于x的分式方程的一個“夢想數對”，求a的值．
（3）若數對＜c+d，d＞（c≠±1且c≠0）是關于x的分式方程的一個“夢想數對”，且關于y的方程dy﹣c+1＝0有整數解，直接寫出整數c的值．
參考答案
一、選擇題
1．【解答】解：由題意，方程可化為2t3＝0，
∴2t2+3t﹣5＝0．
故選：B．
2．【解答】解：方程兩邊都乘以x﹣2，得：m﹣3＝x﹣2，
解得x＝m﹣1，
∵分式方程的解為正實數，
∴m﹣1＞0且m﹣1≠2，
解得m＞1且m≠3．
故選：D．
3．【解答】解：方程兩邊同時乘以（y﹣1）得ay﹣3（y﹣1）＝4﹣y，
去括號得ay﹣3y+3＝4﹣y，
解得，
∵x2+2（a﹣1）x+16是一個完全平方式，
∴2（a﹣1）＝±2×1×4＝±8，
解得a＝﹣3或a＝5，
∵關于y的分式方程的解為正數，
當a＝﹣3時，，不符合題意，舍去；
當a＝5時，，符合題意；
故選：B．
4．【解答】解：去分母，得：m﹣2（x﹣2）＝x+2，
去括號，得：m﹣2x+4＝x+2，
移項、合并同類項，得：m＝3x﹣2，
∵分式方程有增根，
∴x2﹣4＝0，
∴x＝±2，
當x＝2時，m＝3×2﹣2＝4；
當x＝﹣2時，m＝3×（﹣2）﹣2＝﹣8，
∴m的值可能為4或﹣8．
故選：D．
5．【解答】解：，
2x﹣4（x﹣3）＝﹣m，
2x﹣4x+12＝﹣m，
﹣2x＝﹣m﹣12，
x，
因為x＝3是方程的增根，
所以，
m＝﹣6，
所以當m＝﹣6時，原分式方程無解．
故選：A．
二、解答題
6．【解答】解：（1）根據題中的規律，猜想方程的解為：
x1＝5，，
故答案為：x1＝5，；
（2）由題意，得，
∴，
∴x+1＝3或，
解得：x1＝2，，
經檢驗：x1＝2，是原方程的解；
（3），
方程兩邊同時乘以2，得，
方程兩邊再同時減去3，得，
∴2x﹣3＝a或，
解得：，，
經檢驗：，是原方程的解．
7．【解答】解：（1）設A種紀念品每件的進價為x元，則B種紀念品每件的進價為（x+10）元，
根據題意得：，
解得：x＝40，
經檢驗，x＝40是所列方程的解，且符合題意，
∴x+10＝40+10＝50（元）．
答：A種紀念品每件的進價為40元，B種紀念品每件的進價為50元；
（2）設購進A種紀念品m件，則購進B種紀念品（200﹣m）件，
根據題意得：（45﹣40）m+（60﹣50）（200﹣m）≥1600，
解得：m≤80，
∴m的最大值為80．
答：A種紀念品最多購進80件．
8．【解答】解：（1）設每個“哪吒”的售價是x元，“敖丙”手辦的售價是y元，
由題意得：，
解得：，
答：每個“哪吒”的售價是100元，“敖丙”手辦的售價是120元；
（2）降價后每個“哪吒”手辦的售價為a元，則降價后每個“敖丙”手辦的售價是1.3a元，
由題意得：，
解得：a＝80，
經檢驗：a＝80是所列方程的根，且符合題意；
答：降價后每個“哪吒”手辦的售價為80元．
9．【解答】解：（1）設每個甲種書柜的進價是x元，則每個乙種書柜的進價是（1﹣30%）x元，
根據題意得：10，
解得：x＝300，
經檢驗，x＝300是所列方程的解，且符合題意，
∴（1﹣30%）x＝（1﹣30%）×300＝210（元）．
答：每個乙種書柜的進價是210元；
（2）設購進m個甲種書柜，則購進（100﹣m）個乙種書柜，
根據題意得：m≥3（100﹣m），
解得：m≥75，
設該校購進這兩種書柜共花費w元，則w＝300m+210（100﹣m），
即w＝90m+21000，
∵90＞0，
∴w隨m的增大而增大，
∴當m＝75時，w取得最小值，最小值為90×75+21000＝27750（元），此時100﹣m＝100﹣75＝25（個）．
答：當該校購進75個甲種書柜、25個乙種書柜時，所需的費用最少．
10．【解答】解：（1）①當a＝5時，分式方程為：1，
5﹣3＝x﹣1，
解得：x＝3，
檢驗：當x＝3時，x﹣1≠0，
∴x＝3是原方程的根；
②，
a﹣3＝x﹣1，
解得：x＝a﹣2，
由題意得：x﹣1＝0，
解得：x＝1，
∴a﹣2＝1，
解得：a＝3，
∴a的值為3；
（2），
mx﹣1﹣1＝2（x﹣2），
解得：x，
∵方程有整數解，
∴2﹣m＝±1或2﹣m＝±2且2，
解得：m＝1或3或0或4且m≠1，
∴m＝3或0或4，
∴此時整數m的值為3或0或4．
11．【解答】解：（1）去分母，得3（x﹣1）+6（x+1）＝mx，
去括號，得3x﹣3+6x+6＝mx，
移項、合并同類項，得（m﹣9）x＝3．
當x＝﹣1時，得9﹣m＝3，
解得m＝6；
當x＝1時，得m﹣9＝3，
解得m＝12．
∴若方程有增根，m的取值為6或12．
（2）∵（m﹣9）x＝3，
∴當m﹣9＝0時原分式方程無解，
∴m＝9，
∵當m＝6或12時方程有增根，
∴若方程無解，m的取值為6或9或12．
（3）∵（m﹣9）x＝3，
∴x，
∵方程的解為整數，
∴m﹣9＝±3，±1．
當m﹣9＝3時，m＝12（舍去）；
當m﹣9＝﹣3時，m＝6（舍去）；
當m﹣9＝1時，m＝10；
當m﹣9＝﹣1時，m＝8；
∴m＝8或10．
12．【解答】解：（1）方程兩邊同乘以（x﹣3），得，x﹣4+m＝2（x﹣3），
解得x＝2+m，
∵方程有增根，
∴x＝3，
把x＝3代入x＝2+m中，得3＝2+m，
解得m＝1，
∴m的值為1．
（2）由（1）得m＝1，
∴方程為，
方程兩邊同乘以（x﹣1）（x﹣2），得，
3x﹣4＝A（x﹣2）+B（x﹣1），
3x﹣4＝Ax+Bx﹣2A﹣B，
可得，
解得，
∴4A﹣B＝2．
13．【解答】解：（1）①若a＝1，b＝1，分式方程1＝1的解為無解，
不符合“關聯數對”的定義，
故不正確，不符合題意；
②若a＝3，b＝﹣5，分式方程1＝﹣5的解為x，
，符合“關聯數對”的定義，
故正確，符合題意；
③若a＝﹣2，b＝4，分式方程的解為，
不符合“關聯數對”的定義，
故不正確，不符合題意；
故答案為：②；
（2）∵數對[n，8﹣n]是關于x的分式方程的“關聯數對”，
∴x是方程的解，
∴1＝8﹣n，
整理得：8n+1＝8﹣n，
解得：；
（3）∵數對[m﹣k，k]（m≠﹣1且m≠0，k≠1）是關于x的分式方程的“關聯數對”，
∴x是分式方程的解，
∴1＝k，
整理可得m（m﹣k）+1＝k，
解得k，
將方程整理為k（m+1）x﹣m（m+1）+m+1＝﹣2mx，
解得x1，
∵方程有整數解，
∴m+1＝±1，±2，
∴m＝0或﹣2或1或﹣3，
又∵m≠0，k≠1，
∴m+1≠m2+1，
∴m≠1，
∴m＝﹣2或﹣3．
14．【解答】解：（1）當m＝1，n＝0時，使得關于x的分式方程的解是1成立，所以數對（1，0）是關于x的分式方程的一個“夢想數對”，故①正確；
當m＝﹣2，n＝3時，使得關于x的分式方程1的解是，不是成立，所以數對（﹣2，3）不是關于x的分式方程的一個“夢想數對”，故②錯誤；
當，時，使得關于x的分式方程的解是x成立，所以數對是關于x的分式方程的一個“夢想數對”，故③正確；
故答案為：①③；
（2）根據定義，分式方程1的解為，
故，
解得a＝2；
（3）根據數對（c+d，d）（c≠±1且c≠0）是關于x的分式方程的一個“夢想數對”，得關于x的分式方程的解是，回代方程，得c2+cd﹣d＝1，
整理，得（c﹣1）（c+1）+d（c﹣1）＝0，
∴（c﹣1）（c+d+1）＝0，
∵c≠±1且c≠0，
∴c+d+1＝0，
∴c＝﹣d﹣1，
∵方程dy﹣c+1＝0的解為y，
∴，
∵方程有整數解，
∴d＝±1，d＝±2，
當d＝±1時，c＝﹣2，c＝0（舍去）；
當d＝±2時，c＝﹣3，c＝1（舍去）；
故c＝﹣2或c＝﹣3．
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