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2025年九年級中考數學三輪沖刺訓練因式分解專題訓練
一、選擇題
1．若a+b＝0，ab＝﹣11，則a2+b2的值是（　　）
A．﹣11 B．11 C．﹣22 D．22
2．若多形式x2+mx+n有因式（x﹣1）和（x+2），則m，n的值分別為（　　）
A．1，﹣2 B．﹣1，2 C．﹣1，﹣2 D．1，2
3．已知a﹣b＝5，b﹣c＝﹣6，則代數式a2﹣ac﹣b（a﹣c）的值為（　　）
A．﹣30 B．30 C．﹣5 D．﹣6
4．若a+x2＝2021，b+x2＝2022，c+x2＝2023，則a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值為（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．我們知道，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數學等式．例如由圖1可以得到a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）．若已知a2+b2+c2＝69，ab+bc+ac＝50，由圖2所表示的數學等式，則a+b+c的值為（　　）
A．1 B．12 C．13 D．14
6．已知（m+2n）2+2m+4n+1＝0，則（m+2n）2024的值為（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
7．已知9x2+mxy+16y2能運用完全平方公式因式分解，則m的值為（　　）
A．12 B．±12 C．24 D．±2
二、解答題
8．在學習完“因式分解”后，為了開拓學生的思維，宋老師在黑板上寫了題目：
因式分解：x2﹣xy+6x﹣6y．下面是甜甜的解法：
解：x2﹣xy+6x﹣6y
＝（x2﹣xy）+（6x﹣6y）（分組）
＝x（x﹣y）+6（x﹣y）（提公因式）
＝（x﹣y）（x+6）．
請利用上述方法，解答下列各題：
（1）因式分解：m2﹣2m+2n﹣mn；
（2）已知△ABC的三邊a，b，c滿足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判斷△ABC的形狀，并說明理由．
9．閱讀材料后，回答下列問題．
材料一：我們可以將任意三位數記為，（其中a，b，c分別表示該數的百位數字，十位數字和個位數字，且a≠0），顯然．
材料二：一個三位數m，若它各個數位上的數字均不為0．我們則稱m為美妙數，例如123就是一個美妙數．將美妙數三個數位上的數字兩兩組合，可產生6個新的兩位數，例如由123可以產生出12，13，21，23，31，32這6個新數．我們規定F（m）等于m產生的6個新數之和，例如F（123）＝12+13+21+23+31+32＝132．
（1）求F（236）的值；
（2）證明：任意一個美妙數m．其F（m）的值一定是11的倍數；
（3）若一個三位數是美妙數，且，求出所有符合題意的三位數．
10．常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多項式只用上述方法無法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，細心觀察這個式子就會發現，前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會產生公因式，然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因式了．過程如下：
x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x﹣2y）（x+2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
這種分解因式的方法叫做分組分解法，利用這種方法解決下列問題：
（1）分解因式：x2﹣2xy+y2﹣16；
（2）已知△ABC的三邊長a、b、c滿足條件：a4﹣b4+b2c2﹣a2c2＝0，判斷△ABC的形狀，并說明理由．
11．仔細閱讀下面的例題，并解答問題：
例題：已知二次三項式x2﹣4x+m分解因式的結果中有一個因式是x+3，求另一個因式以及m的值．
解法一：設另一個因式為x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
即x2﹣4x+m＝x2+nx+3x+3n＝x2+（n+3）x+3n，
∴，解得．
∴另一個因式為x﹣7，m的值為﹣21．
解法二：設另一個因式為x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
∴當x＝﹣3時，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0，
即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得m＝﹣21，
∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7），
∴另一個因式為x﹣7，m的值為﹣21．
問題：請你仿照以上一種方法解答下面問題．
（1）已知二次三項式x2﹣px﹣6分解因式的結果中有一個因式是x﹣3，則實數p＝ 　 　 ．
（2）已知二次三項式2x2+3x﹣k分解因式的結果中有一個因式是2x﹣5，求另一個因式及k的值．
12．在“探究性學習“小組的甲、乙兩名同學所進行的因式分解：
甲：x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成兩組）
＝x（xy）+4（x﹣y）（直接提公因式）
＝（x﹣y）（x+4），
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc） （分成兩組）
＝a2﹣（b﹣c）2 （直接運用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）
請你在他們的解法的啟發下，解答下面各題：
（1）因式分解：a2+b2﹣1﹣2ab；
（2）已知a﹣b＝3，b﹣c＝﹣4，求式子a2﹣ac﹣ab+bc的值；
（3）已知△ABC的三邊長分別是a，b，c，且滿足a2+b2+2c2＝2ac+2bc，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．
13．（教材中這樣寫道：“我們把a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2這樣的式子叫做完全平方式”）
如果關于某一字母的二次多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當的項，使式子中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數有關的問題或求代數式的最大值、最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3．
原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
例如：求代數式x2+4x+6的最小值．
原式＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2．
∵（x+2）2≥0，
∴當x＝﹣2時，x2+4x+6有最小值，最小值是2．
根據閱讀材料用配方法解決下列問題：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝ 　 　 求代數式x2﹣6x+12的最小值為 　 　 ；
（2）若y＝﹣x2+2x﹣3，當x＝ 　 　 時，y有最 　 　 值（填“大”或“小”），這個值是 　 　 ；
（3）若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，則m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ，若x2+2y2﹣2xy﹣4y+4＝0，則xy的值為 　 　 ；
（4）當a，b，c分別為△ABC的三邊長，且滿足a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣6c+43＝0時，判斷△ABC的形狀并說明理由；
（5）已知a，b，c是△ABC的三邊長，滿足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c是△ABC中最長的邊，求c的取值范圍．
參考答案
一、選擇題
1．【解答】解：由條件可知（a+b）2＝a2+b2+2ab＝0，
∵ab＝﹣11，
∴a2+b2+2×（﹣11）＝0，
∴a2+b2＝22，
故選：D．
2．【解答】解：（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2，
故m，n的值分別為1，﹣2．
故選：A．
3．【解答】解：∵a﹣b＝5，b﹣c＝﹣6，
∴a﹣c＝﹣1，
∴a2﹣ac﹣b（a﹣c）
＝a（a﹣c）﹣b（a﹣c）
＝（a﹣c）（a﹣b）
＝5×（﹣1）
＝﹣5；
故選：C．
4．【解答】解：由題意知，a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca
＝3．
故選：D．
5．【解答】解：由圖2可得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）＝69+2×50＝169，
又∵a+b+c＞0，
∴a+b+c＝13，
故選：C．
6．【解答】解：原方程整理得：（m+2n）2+2（m+2n）+1＝0，
（m+2n+1）2＝0，
∴m+2n＝﹣1，
∴（m+2n）2024＝（﹣1）2024＝1．
故選：C．
7．【解答】解：∵（3x±4y）2＝9x2±24xy+16y2，
∴在9x2+mxy+16y2中，m＝±24．
故選：D．
二、解答題
8．【解答】解：（1）原式＝（m2﹣2m）+（2n﹣mn）
＝m（m﹣2）+n（2﹣m）
＝（m﹣2）（m﹣n）；
（2）△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0，
∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，
∵a+b﹣c＞0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形．
9．【解答】（1）解：根據新定義直接計算得F（236）＝23+26+32+36+62+63＝242；
（2）證明：設一個美妙數m的百位數為a，十位數為b，個位數為c，
則F（m）＝F（abc）＝10a+b+10a+c+10b+a+10b+c+10c+a+10c+b＝22（a+b+c），
∴F（m）的值一定是11的倍數；
（3）解：根據新定義直接計算可得，
∴a+b＝5，
∴a＝1，b＝4或a＝2，b＝3或a＝3，b＝2或a＝4，b＝1，
∴符合題意的數有147，237，327，417．
10．【解答】解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16
＝（x2﹣2xy+y2）﹣16
＝（x﹣y）2﹣42
＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；
（2）△ABC是等腰三角形或直角三角形，理由如下：
a4﹣b4+b2c2﹣a2c2＝0，
（a4﹣b4）+（b2c2﹣a2c2）＝0，
（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）＝0，
（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0，
a2﹣b2＝0或a2+b2﹣c2＝0，
∵a、b、c是△ABC的三邊長，
∴a＞0，b＞0，c＞0，
∴a＝b或a2+b2＝c2，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
11．【解答】解：（1）設另一個因式為x+n，得x2﹣px﹣6＝（x﹣3）（x+n），
∴當x＝3時，x2﹣px﹣6＝0，
即：32﹣3p﹣6＝0，
解得：p＝1，
故答案為：1；
（2）設另一個因式為x+n，得2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+n），
∴當時，，
解得：k＝20，
∴2x2+3x﹣k＝2x2+3x﹣20＝（2x﹣5）（x+4），
∴另一個因式為x+4，k的值為20．
12．【解答】解：（1）a2+b2﹣1﹣2ab
＝a2+b2﹣2ab﹣1
＝（a﹣b）2﹣1
＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）；
（2）∵a﹣b＝3，b﹣c＝﹣4，
兩式相加得，a﹣c＝﹣1，
∴a2﹣ac﹣ab+bc
＝（a2﹣ab）﹣（ac﹣bc）
＝a（a﹣b）﹣c（a﹣b）
＝（a﹣b）（a﹣c）
＝3×（﹣1）
＝﹣3；
（3）∴△ABC是等邊三角形，理由如下：
∵a2+b2+2c2＝2ac+2bc，
∴a2+b2+2c2﹣2ac﹣2bc＝0，
∴（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）＝0，
∴（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，
∵（a﹣c）2≥0，（b﹣c）2≥0，
∴a﹣c＝0，b﹣c＝0，
a＝c，b＝c，
即a＝b＝c，
∴△ABC是等邊三角形．
13．【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4﹣9＝（m﹣2）2﹣32＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）＝（m+1）（m﹣5）；
x2﹣6x+12＝x2﹣6x+9+3＝（x﹣3）2+3，
∵（x﹣3）2≥0，
∴當x＝3時，x2﹣6x+12有最小值，最小值為3，
故答案為：（m+1）（m﹣5），3；
（2）y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x2﹣2x+1）﹣2＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∵（x﹣1）2≥0，
∴﹣（x﹣1）2≤0，
∴當x＝1時，﹣x2+2x﹣3有最大值，最大值為﹣2，
故答案為：1，大，﹣2；
（3）m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，
（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）＝0，
（m+n）2+（n﹣3）2＝0，
∵（m+n）2≥0，（n﹣3）2≥0，
∴m+n＝0，n﹣3＝0，
∴m＝﹣3，n＝3；
∵x2+2y2﹣2xy﹣4y+4＝0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2﹣4y+4）＝0，
∴（x﹣y）2+（y﹣2）2＝0，
∵（x﹣y）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴x﹣y＝0，y﹣2＝0，
∴x＝y＝2，
∴xy＝22＝4，
故答案為：﹣3，3，4；
（4）△ABC的形狀是等腰三角形，理由如下：
∵a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣6c+43＝0，
∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣10b+25）+（c2﹣6c+9）＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣5）2+（c﹣3）2＝0，
∵（a﹣3）2≥0，（b﹣5）2≥0，（c﹣3）2≥0，
∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，c﹣3＝0，
∴a＝3，b＝5，c＝3，
∴△ABC的形狀是等腰三角形；
（5）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，
∴a2﹣10a+b2﹣8b+41＝0，
∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，
∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，
∵（a﹣5）2≥0，（b﹣4）2≥0，
∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，
∴a＝5，b＝4，
∵c是△ABC中最長的邊，
∴5≤c＜9．
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