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專題強化5　豎直面內的圓周運動
(分值：100分)
1~5題每題7分，6題10分，共45分
1.(多選)如圖所示，質量為m的小球在豎直平面內的光滑圓環內側做圓周運動。圓環半徑為R，小球半徑不計，小球經過圓環內側最高點時剛好不脫離圓環，則其通過最高點時下列表述正確的是(重力加速度為g)(　　)
A.小球對圓環的壓力大小等于mg
B.重力mg充當小球做圓周運動所需的向心力
C.小球的線速度大小等于
D.小球的向心加速度大小等于g
2.(2023·廣州市高一期中)如圖所示，質量為m的小球(可視為質點)在豎直平面內繞O點做半徑為L的圓周運動，重力加速度大小為g，連接O點與小球的為輕桿。對小球，下列說法正確的是(　　)
A.過圓周最高點的臨界速度為
B.過圓周最高點的速度不能大于
C.在圓周最高點對輕桿的作用力大小可以為零
D.在圓周最高點對輕桿的作用力大小最小為mg
3.(2023·梅州市高一期中)有一根長度為0.5 m的輕桿OA，A端拴有一質量為0.5 kg的小球(視為質點)，小球以O點為圓心，在豎直平面內做圓周運動，如圖所示。若小球通過最高點時的速度大小為2 m/s，重力加速度大小為10 m/s2，則此時輕桿的彈力大小為(　　)
A.9 N B.5 N C.4 N D.1 N
4.(2023·廣州市高一期中)如圖所示，乘坐游樂園的翻滾過山車時，質量為m的人隨車在豎直平面內旋轉，下列說法正確的是(重力加速度為g)(　　)
A.人在最高點時，人處于倒坐狀態，安全帶對人一定有向上的拉力
B.人在最高點時對座位不可能產生壓力
C.人在最低點時對座位的壓力一定大于mg
D.人在最低點時對座位的壓力一定等于mg
5.(2023·內江市高一期中)如圖所示，豎直平面內固定有一個半徑為R的光滑圓環形細管，現給小球(直徑略小于管內徑)一個初速度，使小球在管內做圓周運動，小球通過最高點時的速度為v。已知重力加速度為g，則下列敘述中正確的是(　　)
A.v的最小值為
B.當v=時，小球處于完全失重狀態，不受力的作用
C.當v=時，管道對小球的彈力方向豎直向下
D.當v由逐漸減小的過程中，管道對小球的彈力也逐漸減小
6.(10分)(2023·汕頭市高一期中)雜技表演中有一個“水流星”的節目：在一只水杯中裝上水，然后讓水杯在豎直平面內做圓周運動，水不會灑出來。如圖所示為水流星運動的示意圖，一細繩與水杯相連，杯中裝有水，水杯與細繩一起在豎直平面內做圓周運動，若水的質量m=0.5 kg，水的重心到轉軸的距離L=40 cm。(g=10 m/s2)。
(1)(5分)若在最高點水不流出來，求水杯的最小速率；
(2)(5分)若在最高點水杯的速率v=4 m/s，求水對杯底的壓力大小。
7~9題每題9分，10題12分，共39分
7.(多選)(2023·惠州市高一期中)如圖甲所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內做圓周運動。當小球運動到圓形管道的最高點時，管道對小球的彈力與最高點時的速度平方的關系如圖乙所示(取豎直向下為正方向)。MN為通過圓心的一條水平線。不計小球半徑、管道的粗細，重力加速度為g。則下列說法中正確的是(　　)
A.管道的半徑為
B.小球的質量為
C.小球在MN以下的管道中運動時，內側管壁對小球一定沒有作用力
D.小球在MN以上的管道中運動時，外側管壁對小球一定有作用力
8.(2023·揭陽市高一期中)如圖所示，某電動工具置于水平地面上。該工具底座質量為M，在半徑為R的輕質圓盤邊緣固定有質量為m的物塊(可視為質點)，重力加速度為g。要使該工具底座不離開地面，允許圓盤勻速轉動的最大轉速為(　　)
A.2π B.2π
C. D.
9.(多選)如圖，長均為L的兩根輕繩，一端共同系住質量為m的小球，另一端分別固定在等高的A、B兩點，A、B兩點間的距離也為L。重力加速度大小為g。現使小球在豎直平面內以AB為軸做圓周運動，若小球在最高點速率為v時，兩根輕繩的拉力恰好均為零，則小球在最高點速率為2v時(　　)
A.小球所需向心力大小為3mg
B.小球所需向心力大小為4mg
C.每根輕繩的拉力大小為mg
D.每根輕繩的拉力大小為2mg
10.(12分)(2023·廣州市高一期中)小李同學站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質量為m的小球，甩動手腕，使球恰好能在豎直平面內做完整的圓周運動。再次加速甩動手腕，當球某次運動到最低點A時，繩恰好斷掉，如圖所示。已知握繩的手離地面高度為2L，手與球之間的繩長為L，繩能承受的最大拉力為9mg，重力加速度為g，忽略手的運動半徑和空氣阻力。求：
(1)(4分)為使小球能在豎直平面內做完整的圓周運動，小球過最高點B時的最小速度大小；
(2)(4分)在點A處繩斷時球的速度大??；
(3)(4分)在點A處繩斷后，小球落地點與拋出點A的水平距離。
(16分)
11.(16分)如圖甲所示為一種叫“魔力陀螺”的玩具，其結構可簡化為圖乙所示。質量為M、半徑為R的鐵質圓軌道用支架固定在豎直平面內，陀螺在軌道內、外兩側均可以旋轉。陀螺的質量為m，其余部分質量不計。陀螺磁芯對軌道的吸引力始終沿軌道的半徑方向，大小恒為6mg。不計摩擦和空氣阻力，重力加速度為g。
(1)(4分)若陀螺在軌道內側運動到最高點時的速度為，求此時軌道對陀螺的彈力大??；
(2)(6分)要使陀螺在軌道外側運動到最低點時不脫離軌道，求陀螺通過最低點時的最大速度大小；
(3)(6分)若陀螺在軌道外側運動到與軌道圓心等高處時速度為，求固定支架對軌道的作用力大??；
答案精析
1.BCD　[因為小球經過圓環內側最高點時剛好不脫離圓環，故在最高點時小球對圓環的壓力為零，選項A錯誤；此時小球只受重力作用，即重力mg充當小球做圓周運動所需的向心力，則有mg=m=ma，即v=，a=g，選項B、C、D正確。]
2.C　[連接O點與小球的為輕桿，輕桿可以提供支持力，則小球過圓周最高點的臨界速度為零；小球在圓周最高點時輕桿的作用力可能為零。故選C。]
3.D　[以豎直向下為正方向，在最高點，對小球受力分析有mg+T=m，解得T=-1 N，
可知此時輕桿的彈力大小為1 N。故選D。]
4.C　[在最高點時，只要速度夠大，人就會對座位產生一個向上的壓力，即使沒有安全帶，人也不會掉下去，即安全帶不一定有向上的拉力，故A、B錯誤；
人在最低點時，受到座位的支持力和重力，兩力的合力充當向心力，即FN-mg=m
解得FN=m+mg>mg，故D錯誤，C正確。]
5.C　[小球通過最高點時細管可以提供豎直向上的支持力，當支持力的大小等于小球重力的大小時，小球的最小速度為零，故A錯誤；根據公式a=可知，當v=時，小球的加速度為a=g，方向豎直向下，則小球處于完全失重狀態，只受重力作用，故B錯誤；當v=時，小球需要的向心力為F=m=2mg=F彈+mg，可知管道對小球的彈力大小為mg，方向豎直向下，故C正確；當v<時，小球需要的向心力F=m6.(1)2 m/s　(2)15 N
解析　(1)通過最高點時，重力提供的心力，速率最小，
根據mg=m
解得v'=2 m/s
(2)根據F+mg=m
解得F=15 N
根據牛頓第三定律可知水對杯底的壓力大小
F'=F=15 N
7.BC　[由題圖可知：當v2=b，FN=0，此時
mg=m，解得R=，故A錯誤；
當v2=0時，此時FN=mg=a，所以m=，故B正確；
小球在MN下方的管道中運動時，由于向心力的方向要指向圓心，則管壁必然要提供指向圓心的支持力，只有外壁才可以提供這個力，所以內側管壁對小球沒有力，故C正確；
小球在MN上方的管道中運動時，重力沿徑向的分量必然參與提供向心力，故可能是外側管壁受力，也可能是內側管壁對小球有作用力，還可能均無作用力，故D錯誤。]
8.C　[當物塊轉動到最高點，物塊對圓盤拉力的大小剛好等于電動工具底座的重力時，底座剛要離開地面，此時圓盤的轉速即為最大轉速，則有T=Mg，對物塊，有mg+T'=mRω2，解得ω=，則轉速為n==，故選C。]
9.BC　[小球在最高點速率為v時，兩根輕繩的拉力恰好均為零，此時小球重力恰好提供向心力，即m=mg，小球在最高點速率為2v時，所需向心力大小為F=m=4mg，故A錯誤，B正確；由題意，根據幾何關系可知兩根輕繩間夾角為60°，小球在最高點速率為2v時，設每根輕繩的拉力大小為T，根據牛頓第二定律可得2Tcos 30°+mg=F，解得T=mg，故C正確，D錯誤。]
10.(1)　(2)2　(3)4L
解析　(1)為使小球能在豎直平面內做完整的圓周運動，小球過最高點B時，
由mg=m，得v=
小球過最高點B時的最小速度為。
(2)繩斷時，由牛頓第二定律得
9mg-mg=m，
繩斷時球的速度大小vA=2
(3)繩斷后，小球做平拋運動，
豎直方向2L-L=gt2，得t=，
小球落地點與拋出點A的水平距離
x=vAt=2×=4L。
11.(1)10mg　(2)　(3)g
解析　(1)當陀螺在軌道內側最高點時，設軌道對陀螺的吸引力為F1，軌道對陀螺的支持力為FN1，陀螺所受的重力為mg，最高點的速度為v1，受力分析可知：
mg+FN1-F1=m
解得FN1=10mg
(2)設陀螺在軌道外側運動到最低點時，軌道對陀螺的吸引力為F2，軌道對陀螺的支持力為FN2，陀螺所受的重力為mg，最低點的速度為v2，受力分析可知：F2-FN2-mg=m
由題意可知，當FN2=0時，陀螺通過最低點時的速度為最大值，解得v2=
(3)設陀螺在軌道外側運動到與軌道圓心等高處時，軌道對陀螺的吸引力為F3，軌道對陀螺的支持力為FN3，陀螺所受的重力為mg。
則F3-FN3=m
解得FN3=4mg
由牛頓第三定律可知FN3'=FN3，F3'=F3
固定支架對軌道的作用力為
F=
解得F=g。專題強化5　豎直面內的圓周運動
［學習目標］　1.明確豎直面內的圓周運動為變速圓周運動。2.掌握豎直面內圓周運動的輕繩模型和輕桿模型的臨界條件及分析方法(重難點)。
一、豎直面內圓周運動的輕繩(過山車)模型
如圖所示，圖甲中小球僅受輕繩拉力和重力作用，圖乙中小球僅受軌道的彈力和重力作用，在豎直平面內做圓周運動，運動半徑均為L，二者運動規律相同。
(1)小球在最高點的向心力是由什么力提供的？其動力學方程如何？
(2)分析求解小球通過最高點的最小速度。
(3)小球通過最高點時，討論以下三種情況下輕繩拉力或軌道的彈力情況：
①v=；②v>；③v<。
例1　(2023·東莞市高一期中)雜技演員表演“水流星”，在長為0.9 m的細繩的一端，系一個總質量(包括水)為m=0.5 kg的盛水容器，以繩的另一端為圓心，在豎直平面內做圓周運動，如圖所示，若“水流星”通過最高點時的速度為3 m/s，則下列說法正確的是(g=10 m/s2)(　　)
A.“水流星”通過最高點時，有水從容器中流出
B.“水流星”通過最高點時，繩的張力及容器底部受到的壓力均為零
C.“水流星”通過最高點時，處于完全失重狀態，不受力的作用
D.“水流星”通過最高點時，繩子的拉力大小為5 N
例2　(2023·深圳市高一期中)如圖所示，一質量為m=0.5 kg的小球(可視為質點)，用長為0.4 m的輕繩拴著在豎直平面內做圓周運動。g取10 m/s2，求：
(1)小球要做完整的圓周運動，在最高點的速度至少為多大？
(2)當小球在最高點的速度為4 m/s時，輕繩拉力多大？
(3)若輕繩能承受的最大張力為45 N，小球的速度不能超過多大？
二、豎直面內圓周運動的輕軒(管道)模型
1.如圖所示，細桿上固定的小球或在光滑管形軌道內運動的小球僅在重力和桿(管道)的彈力作用下在豎直平面內做圓周運動，這類運動稱為“輕桿模型”。
輕桿模型(小球在最高點)
彈力特征 彈力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意圖
動力學方程 mg±F=m
臨界特征 v=0，即F向=0，此時F=mg
v=的意義 F表現為拉力(或壓力)還是支持力的臨界點
2.小球在最高點時桿上的力(或管道的彈力)隨速度的變化。
(1)v=時，mg=m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，輕桿(或管道)與小球間無作用力。
(2)v<時，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg-F=m，即F=mg-m，v越大，F越小。
(3)v>時，mg例3　有一輕質桿長L為0.5 m，一端固定一質量m為0.5 kg的小球(可視為質點)，桿繞另一端在豎直面內做圓周運動。(g=10 m/s2)
(1)當小球在最高點時剛好對桿無作用力，求此時的速度大??；
(2)當小球運動到最高點速率分別為1 m/s和4 m/s時，求小球對桿的作用力。
例4　(2023·惠州市高一聯考)如圖所示，半徑為L的圓管軌道(圓管內徑遠小于軌道半徑)豎直放置，管內壁光滑，管內有一個小球(小球直徑略小于管內徑)可沿管轉動，已知重力加速度為g，設小球經過最高點P時的速度為v，則(　　)
A.v的最小值為
B.v若增大，球所需的向心力也增大
C.當v由逐漸減小時，軌道對球的彈力逐漸減小
D.當v由逐漸增大時，軌道對球的彈力逐漸減小
答案精析
一、
(1)小球在最高點的向心力是由重力和繩的拉力(軌道的彈力)的合力提供的，動力學方程：F彈+mg=m。
(2)由于小球過最高點時，繩(軌道)不可能對球有向上的支持力，只能產生向下的拉力(彈力)，由F彈+mg=m可知，當F彈=0時，v最小，最小速度為v=。
(3)①當v=時，拉力或彈力為零。
②當v>時，小球受向下的拉力或彈力。
③當v<時，小球不能到達圓軌道最高點。
例1　B　[當水對容器底壓力為零時有
m水g=m水，解得v== m/s=3 m/s，由于“水流星”通過最高點的速度為3 m/s，則水對容器底的壓力為零，水不會從容器中流出，對水和容器分析，有T+mg=m，解得T=0，則此時繩子的拉力(張力)為零，故A、D錯誤，B正確；
“水流星”通過最高點時，僅受重力，處于完全失重狀態，故C錯誤。]
例2　(1)2 m/s　(2)15 N　(3)4 m/s
解析　(1)在最高點，對小球受力分析如圖甲，由牛頓第二定律得
mg+F1=m
由于輕繩對小球只能提供指向圓心的拉力，即F1不可能取負值，亦即F1≥0
聯立得v≥
代入數值得v≥2 m/s
所以小球要做完整的圓周運動，在最高點的速度至少為2 m/s。
(2)將v2=4 m/s代入
mg+F1=m
得F2=15 N
(3)由分析可知，小球在最低點時輕繩張力最大，在最低點由牛頓第二定律得
F3-mg=m
將F3=45 N代入得v3=4 m/s
即小球的速度不能超過4 m/s。
例3　(1) m/s　(2)4 N，方向向下　11 N，方向向上
解析　(1)小球在最高點時剛好對桿無作用力，此時重力提供向心力，有mg=m，代入數據解得v1== m/s
(2)當小球運動到最高點速率為1 m/s時，此時小球受到桿向上的支持力。根據牛頓第二定律可得：mg-F1=m，代入數據解得：F1=4 N，根據牛頓第三定律可得小球對桿的作用力為4 N，方向向下；當小球運動到最高點速率為4 m/s時，此時小球受到桿向下的拉力，根據牛頓第二定律F2+mg=m，代入數據解得F2=11 N，根據牛頓三定律可得小球對桿的作用力為11 N，方向向上。
例4　B　[由于小球在圓管中運動，在最高點速度可以是零，A錯誤；根據向心力公式有F=m，v若增大，小球所需的向心力一定增大，B正確；小球經過最高點時，因為圓管既可提供向上的支持力也可提供向下的彈力，當v=時，軌道對小球的彈力為零，因此v由逐漸減小時，即v<，小球的重力大于所需向心力，軌道對小球有向上的彈力，則F=mg-m>0，隨v的減小，軌道對小球的彈力增大，C錯誤；v由逐漸增大時，即v>，重力小于小球所需向心力，此時軌道對小球有向下的彈力，
則F=m-mg>0，隨v的增大，軌道對小球的彈力也增大，D錯誤。](共55張PPT)
DIERZHANG
第二章
專題強化5　豎直面內的圓周運動
1.明確豎直面內的圓周運動為變速圓周運動。
2.掌握豎直面內圓周運動的輕繩模型和輕桿模型的臨界條件及分析方法(重難點)。
學習目標
一、豎直面內圓周運動的輕繩(過山車)模型
二、豎直面內圓周運動的輕軒(管道)模型
專題強化練
內容索引
豎直面內圓周運動的輕繩(過山車)模型
一
如圖所示，圖甲中小球僅受輕繩拉力和重力作用，圖乙中小球僅受軌道的彈力和重力作用，在豎直平面內做圓周運動，運動半徑均為L，二者運動規律相同。
(1)小球在最高點的向心力是由什么力提供的？其動力學方程如何？
答案　小球在最高點的向心力是由重力和繩的拉力(軌道的彈力)的合力提供的，動力學方程：F彈+mg=m。
(2)分析求解小球通過最高點的最小速度。
答案　由于小球過最高點時，繩(軌道)不可能對球有向上的支持力，只能產生向下的拉力(彈力)，由F彈+mg=m可知，當F彈=0時，v最小，最小速度為v=。
(3)小球通過最高點時，討論以下三種情況下輕繩拉力或軌道的彈力情況：
①v=；②v>；③v<。
答案?、佼攙=時，拉力或彈力為零。
②當v>時，小球受向下的拉力或彈力。
③當v<時，小球不能到達圓軌道最高點。
　(2023·東莞市高一期中)雜技演員表演“水流星”，在長為0.9 m的細繩的一端，系一個總質量(包括水)為m=0.5 kg的盛水容器，以繩的另一端為圓心，在豎直平面內做圓周運動，如圖所示，若“水流星”通過最高點時的速度為3 m/s，則下列說法正確的是(g=10 m/s2)
A.“水流星”通過最高點時，有水從容器中流出
B.“水流星”通過最高點時，繩的張力及容器底部受到的
壓力均為零
C.“水流星”通過最高點時，處于完全失重狀態，不受力的作用
D.“水流星”通過最高點時，繩子的拉力大小為5 N
例1
√
當水對容器底壓力為零時有
m水g=m水，解得v== m/s=3 m/s，由于
“水流星”通過最高點的速度為3 m/s，則水對容器
底的壓力為零，水不會從容器中流出，對水和容器分析，有T+mg=
m，解得T=0，則此時繩子的拉力(張力)為零，故A、D錯誤，B正確；
“水流星”通過最高點時，僅受重力，處于完全失重狀態，故C錯誤。
　(2023·深圳市高一期中)如圖所示，一質量為m=0.5 kg的小球(可視為質點)，用長為0.4 m的輕繩拴著在豎直平面內做圓周運動。g取10 m/s2，求：
(1)小球要做完整的圓周運動，在最高點的速度至少為多大？
例2
答案　2 m/s　
在最高點，對小球受力分析如圖甲，由牛頓第二定律得
mg+F1=m
由于輕繩對小球只能提供指向圓心的拉力，即F1不可能取負值，
亦即F1≥0
聯立得v≥
代入數值得v≥2 m/s
所以小球要做完整的圓周運動，在最高點的速度至少為2 m/s。
(2)當小球在最高點的速度為4 m/s時，輕繩拉力多大？
答案　15 N　
將v2=4 m/s代入
mg+F1=m
得F2=15 N
(3)若輕繩能承受的最大張力為45 N，小球的速度不能超過多大？
答案　4 m/s
由分析可知，小球在最低點時輕繩張力最大，在最低點由牛頓第二定律得F3-mg=m
將F3=45 N代入得
v3=4 m/s
即小球的速度不能超過4 m/s。
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豎直面內圓周運動的輕軒(管道)模型
二
1.如圖所示，細桿上固定的小球或在光滑管形軌道內運動的小球僅在重力和桿(管道)的彈力作用下在豎直平面內做圓周運動，這類運動稱為“輕桿模型”。
輕桿模型(小球在最高點)
彈力特征 彈力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意圖
輕桿模型(小球在最高點)
動力學方程 mg±F=m
臨界特征 v=0，即F向=0，此時F=mg
v=的意義 F表現為拉力(或壓力)還是支持力的臨界點
2.小球在最高點時桿上的力(或管道的彈力)隨速度的變化。
(1)v=時，mg=m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，輕桿(或
管道)與小球間無作用力。
(2)v<時，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg-F=m，即F=mg-m，v越大，F越小。
(3)v>時，mg=m，即F=m-mg，v越大，F越大。
　有一輕質桿長L為0.5 m，一端固定一質量m為0.5 kg的小球(可視為質點)，桿繞另一端在豎直面內做圓周運動。(g=10 m/s2)
(1)當小球在最高點時剛好對桿無作用力，求此時的速度大小；
例3
答案　 m/s　
小球在最高點時剛好對桿無作用力，此時重力提供向心力，有mg=
m，代入數據解得v1== m/s
(2)當小球運動到最高點速率分別為1 m/s和4 m/s時，求小球對桿的作用力。
答案　4 N，方向向下　11 N，方向向上
當小球運動到最高點速率為1 m/s時，此時小球受到桿
向上的支持力。根據牛頓第二定律可得：mg-F1=m，
代入數據解得：F1=4 N，根據牛頓第三定律可得小球
對桿的作用力為4 N，方向向下；當小球運動到最高點速率為4 m/s時，此時小球受到桿向下的拉力，根據牛頓第二定律F2+mg=m，代入數據解得F2=11 N，根據牛頓三定律可得小球對桿的作用力為11 N，方向向上。
　(2023·惠州市高一聯考)如圖所示，半徑為L的圓管軌道(圓管內徑遠小于軌道半徑)豎直放置，管內壁光滑，管內有一個小球(小球直徑略小于管內徑)可沿管轉動，已知重力加速度為g，設小球經過最高點P時的速度為v，則
A.v的最小值為
B.v若增大，球所需的向心力也增大
C.當v由逐漸減小時，軌道對球的彈力逐漸減小
D.當v由逐漸增大時，軌道對球的彈力逐漸減小
例4
√
由于小球在圓管中運動，在最高點速度可以是零，
A錯誤；
根據向心力公式有F=m，v若增大，小球所需的
向心力一定增大，B正確；
小球經過最高點時，因為圓管既可提供向上的支持力也可提供向下的彈力，當v=時，軌道對小球的彈力為零，因此v由逐漸減小時，即v<，小球的重力大于所需向心力，軌道對小球有向上的彈力，則F=mg-m>0，隨v的減小，軌道對小球的彈力增大，C錯誤；
v由逐漸增大時，即v>，重力小于小球所需向心力，此時軌道對小球有向下的彈力，
則F=m-mg>0，隨v的增大，軌道對小球的彈力也增大，D錯誤。
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三
對一對
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 BCD C D C C (1)2 m/s　(2)15 N BC
題號 8 9 10 11
答案 C BC (1)　(2)2　(3)4L (1)10mg　(2)　(3)g
1.(多選)如圖所示，質量為m的小球在豎直平面內的光滑圓環內側做圓周運動。圓環半徑為R，小球半徑不計，小球經過圓環內側最高點時剛好不脫離圓環，則其通過最高點時下列表述正確的是(重力加速度為g)
A.小球對圓環的壓力大小等于mg
B.重力mg充當小球做圓周運動所需的向心力
C.小球的線速度大小等于
D.小球的向心加速度大小等于g
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基礎強化練
√
√
√
答案
因為小球經過圓環內側最高點時剛好不脫離圓環，故在
最高點時小球對圓環的壓力為零，選項A錯誤；
此時小球只受重力作用，即重力mg充當小球做圓周運動
所需的向心力，則有mg=m=ma，即v=，a=g，選項B、C、D正確。
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答案
2.(2023·廣州市高一期中)如圖所示，質量為m的小球(可視為質點)在豎直平面內繞O點做半徑為L的圓周運動，重力加速度大小為g，連接O點與小球的為輕桿。對小球，下列說法正確的是
A.過圓周最高點的臨界速度為
B.過圓周最高點的速度不能大于
C.在圓周最高點對輕桿的作用力大小可以為零
D.在圓周最高點對輕桿的作用力大小最小為mg
√
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答案
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連接O點與小球的為輕桿，輕桿可以提供支持力，則小球過圓周最高點的臨界速度為零；小球在圓周最高點時輕桿的作用力可能為零。故選C。
答案
3.(2023·梅州市高一期中)有一根長度為0.5 m的輕桿OA，A端拴有一質量為0.5 kg的小球(視為質點)，小球以O點為圓心，在豎直平面內做圓周運動，如圖所示。若小球通過最高點時的速度大小為2 m/s，重力加速度大小為10 m/s2，則此時輕桿的彈力大小為
A.9 N B.5 N
C.4 N D.1 N
√
以豎直向下為正方向，在最高點，對小球受力分析有mg+T=m，解得T=-1 N，可知此時輕桿的彈力大小為1 N。故選D。
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答案
4.(2023·廣州市高一期中)如圖所示，乘坐游樂園的翻滾過山車時，質量為m的人隨車在豎直平面內旋轉，下列說法正確的是(重力加速度為g)
A.人在最高點時，人處于倒坐狀態，安全帶對人一定
有向上的拉力
B.人在最高點時對座位不可能產生壓力
C.人在最低點時對座位的壓力一定大于mg
D.人在最低點時對座位的壓力一定等于mg
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√
答案
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在最高點時，只要速度夠大，人就會對座位產生一個
向上的壓力，即使沒有安全帶，人也不會掉下去，即
安全帶不一定有向上的拉力，故A、B錯誤；
人在最低點時，受到座位的支持力和重力，兩力的合
力充當向心力，即FN-mg=m
解得FN=m+mg>mg，故D錯誤，C正確。
答案
5.(2023·內江市高一期中)如圖所示，豎直平面內固定有一個半徑為R的光滑圓環形細管，現給小球(直徑略小于管內徑)一個初速度，使小球在管內做圓周運動，小球通過最高點時的速度為v。已知重力加速度為g，則下列敘述中正確的是
A.v的最小值為
B.當v=時，小球處于完全失重狀態，不受力的作用
C.當v=時，管道對小球的彈力方向豎直向下
D.當v由逐漸減小的過程中，管道對小球的彈力也逐漸減小
√
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答案
小球通過最高點時細管可以提供豎直向上的支持力，
當支持力的大小等于小球重力的大小時，小球的最小
速度為零，故A錯誤；
根據公式a=可知，當v=時，小球的加速度為a=g，方向豎直向下，則小球處于完全失重狀態，只受重力作用，故B錯誤；
當v=時，小球需要的向心力為F=m=2mg=F彈+mg，可知管道對小球的彈力大小為mg，方向豎直向下，故C正確；
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答案
當v<時，小球需要的向心力F=m小球受管道豎直向上的彈力，由牛頓第二定律有
mg-FN=m，可得FN=mg-m，則v由逐漸減
小的過程中，管道對小球的彈力FN逐漸增大，故D錯誤。
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答案
6.(2023·汕頭市高一期中)雜技表演中有一個“水流星”的節目：在一只水杯中裝上水，然后讓水杯在豎直平面內做圓周運動，水不會灑出來。如圖所示為水流星運動的示意圖，一細繩與水杯相連，杯中裝有水，水杯與細繩一起在豎直平面內做圓周運動，若水的質量m=0.5 kg，水的重心到轉軸的距離L=40 cm。(g=10 m/s2)。
(1)若在最高點水不流出來，求水杯的最小速率；
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答案　2 m/s　
答案
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通過最高點時，重力提供的心力，速率最小，
根據mg=m
解得v'=2 m/s
答案
(2)若在最高點水杯的速率v=4 m/s，求水對杯底的壓力大小。
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答案　15 N
根據F+mg=m
解得F=15 N
根據牛頓第三定律可知水對杯底的壓力大小
F'=F=15 N
答案
7.(多選)(2023·惠州市高一期中)如圖甲所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內做圓周運動。當小球運動到圓形管道的最高點時，管道對小球的彈力與最高點時的速度平方的關系如圖乙所示(取豎直向下為正方向)。MN為通過圓心的一條水平線。不計小球半徑、管道的粗細，重力加速度為g。則下列說法中正確的是
A.管道的半徑為
B.小球的質量為
C.小球在MN以下的管道中運動時，內側管壁對小球一定沒有作用力
D.小球在MN以上的管道中運動時，外側管壁對小球一定有作用力
能力綜合練
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由題圖可知：當v2=b，FN=0，此時
mg=m，解得R=，故A錯誤；
當v2=0時，此時FN=mg=a，所以m=，故B正確；
小球在MN下方的管道中運動時，由于向心力的方向要指向圓心，則管壁必然要提供指向圓心的支持力，只有外壁才可以提供這個力，所以內側管壁對小球沒有力，故C正確；
答案
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小球在MN上方的管道中運動時，重力沿徑向的分量必然參與提供向心力，故可能是外側管壁受力，也可能是內側管壁對小球有作用力，還可能均無作用力，故D錯誤。
答案
8.(2023·揭陽市高一期中)如圖所示，某電動工具置于水平地面上。該工具底座質量為M，在半徑為R的輕質圓盤邊緣固定有質量為m的物塊(可視為質點)，重力加速度為g。要使該工具底座不離開地面，允許圓盤勻速轉動的最大轉速為
A.2π B.2π
C. D.
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當物塊轉動到最高點，物塊對圓盤拉力的大小剛好
等于電動工具底座的重力時，底座剛要離開地面，
此時圓盤的轉速即為最大轉速，則有T=Mg，對物
塊，有mg+T'=mRω2，解得ω=，則轉速為n==，
故選C。
答案
9.(多選)如圖，長均為L的兩根輕繩，一端共同系住質量為m的小球，另一端分別固定在等高的A、B兩點，A、B兩點間的距離也為L。重力加速度大小為g?，F使小球在豎直平面內以AB為軸做圓周運動，若小球在最高點速率為v時，兩根輕繩的拉力恰好均為零，則小球在最高點速率為2v時
A.小球所需向心力大小為3mg
B.小球所需向心力大小為4mg
C.每根輕繩的拉力大小為mg
D.每根輕繩的拉力大小為2mg
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小球在最高點速率為v時，兩根輕繩的拉力恰好均為零，
此時小球重力恰好提供向心力，即m=mg，小球在最
高點速率為2v時，所需向心力大小為F=m=4mg，
故A錯誤，B正確；
由題意，根據幾何關系可知兩根輕繩間夾角為60°，小球在最高點速率為2v時，設每根輕繩的拉力大小為T，根據牛頓第二定律可得2Tcos 30°+mg=F，解得T=mg，故C正確，D錯誤。
答案
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10.(2023·廣州市高一期中)小李同學站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質量為m的小球，甩動手腕，使球恰好能在豎直平面內做完整的圓周運動。再次加速甩動手腕，當球某次運動到最低點A時，繩恰好斷掉，如圖所示。已知握繩的手離地面高度為2L，手與球之間的繩長為L，繩能承受的最大拉力為9mg，重力加速度為g，忽略手的運動半徑和空氣阻力。求：
(1)為使小球能在豎直平面內做完整的圓周運動，
小球過最高點B時的最小速度大?。?br/>答案　　
答案
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為使小球能在豎直平面內做完整的圓周運動，小球過最高點B時，
由mg=m，得v=
小球過最高點B時的最小速度為。
答案
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(2)在點A處繩斷時球的速度大??；
答案　2　
繩斷時，由牛頓第二定律得
9mg-mg=m，
繩斷時球的速度大小vA=2
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(3)在點A處繩斷后，小球落地點與拋出點A的水平距離。
答案　4L
繩斷后，小球做平拋運動，
豎直方向2L-L=gt2，得t=，
小球落地點與拋出點A的水平距離x=vAt=2×=4L。
答案
11.如圖甲所示為一種叫“魔力陀螺”的玩具，其結構可簡化為圖乙所示。質量為M、半徑為R的鐵質圓軌道用支架固定在豎直平面內，陀螺在軌道內、外兩側均可以旋轉。陀螺的質量為m，其余部分質量不計。陀螺磁芯對軌道的吸引力始終沿軌道的半徑方向，大小恒為6mg。不計摩擦和空氣阻力，重力加速度為g。
尖子生選練
(1)若陀螺在軌道內側運動到最高點時的速度為，求此時軌道對陀螺的彈力大?。?br/>答案　10mg　
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當陀螺在軌道內側最高點時，設軌道對陀螺的吸引力為F1，軌道對陀螺的支持力為FN1，陀螺所受的重力為mg，最高點的速度為v1，受力分析可知：
mg+FN1-F1=m
解得FN1=10mg
答案
(2)要使陀螺在軌道外側運動到最低點時不脫離軌道，求陀螺通過最低點時的最大速度大??；
答案　　
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設陀螺在軌道外側運動到最低點時，軌道對陀螺的吸引
力為F2，軌道對陀螺的支持力為FN2，陀螺所受的重力
為mg，最低點的速度為v2，受力分析可知：F2-FN2-mg
=m
由題意可知，當FN2=0時，陀螺通過最低點時的速度為最大值，解得
v2=
答案
(3)若陀螺在軌道外側運動到與軌道圓心等高處時速度為，求固定支架對軌道的作用力大?。?br/>答案　g
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設陀螺在軌道外側運動到與軌道圓心等高處時，軌道對陀螺的吸引力為F3，軌道對陀螺的支持力為FN3，陀螺所受的重力為mg。
則F3-FN3=m
解得FN3=4mg
由牛頓第三定律可知FN3'=FN3，F3'=F3
固定支架對軌道的作用力為F=
解得F=g。
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答案

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