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第三節　萬有引力定律的應用
(分值：100分)
1~5題每題7分，6題10分，共45分
考點一　萬有引力和重力的關系
1.重力是由萬有引力產生的，以下說法中正確的是(　　)
A.同一物體在地球上任何地方的重力都一樣
B.物體從地球表面移到空中，其重力變大
C.同一物體在赤道上的重力比在兩極處小些
D.繞地球做圓周運動的飛船中的物體處于失重狀態，不受地球的引力
2.地球上，在赤道上的一物體A和在臺州的一物體B隨地球自轉而做勻速圓周運動，如圖，它們的線速度大小分別為vA、vB，角速度分別為ωA、ωB，重力加速度分別為gA、gB，則(　　)
A.vA=vB，ωA=ωB，gA>gB
B.vAgB
C.vA>vB，ωA=ωB，gA>gB
D.vA>vB，ωA=ωB，gA考點二　天體質量和密度的計算
3.(2021·廣東卷)2021年4月，我國自主研發的空間站“天和”核心艙成功發射并入軌運行，若核心艙繞地球的運行可視為勻速圓周運動，已知引力常量，由下列物理量能計算出地球質量的是(　　)
A.核心艙的質量和繞地半徑
B.核心艙的質量和繞地周期
C.核心艙的繞地角速度和繞地周期
D.核心艙的繞地線速度和繞地半徑
4.一星球半徑和地球半徑相同，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，則該星球質量是地球質量的(忽略地球、星球的自轉)(　　)
A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍
5.(2024·海南卷)嫦娥六號進入環月圓軌道，周期為T，軌道高度與月球半徑之比為k，引力常量為G，則月球的平均密度為(　　)
A. B.
C. D.(1+k)3
6.(10分)(2023·深圳市高一期中)2023年1月9日6時0分，我國在文昌航天發射場使用長征七號改運載火箭，成功將實踐二十三號衛星和搭載的試驗二十二號A/B星發射升空，三顆衛星順利進入預定軌道，發射任務獲得圓滿成功。假設實踐二十三號衛星繞地球做勻速圓周運動，離地球表面的高度等于地球的半徑R。已知地球表面處的重力加速度大小為g，引力常量為G，忽略地球的自轉，求：
(1)(6分)地球的密度；
(2)(4分)衛星所在處的重力加速度大小。
7~10題每題8分，11題14分，共46分
7.假如地球的自轉速度增大，對于物體的重力，下列說法正確的是(　　)
A.放在赤道地面上的物體所受的萬有引力不變
B.放在兩極地面上的物體的重力變小
C.放在赤道地面上的物體的重力不變
D.“一晝夜”的時間不變
8.(2023·惠州市高一期中)某影片中，太空電梯高聳入云，在地表與太空間高速穿梭。太空電梯上升到某高度時，質量為2.5 kg的物體重力為16 N。已知地球半徑為6 371 km，不考慮地球自轉，地球表面重力加速度為10 m/s2，則此時太空電梯距離地面的高度約為(　　)
A.1 593 km B.3 584 km
C.7 964 km D.9 955 km
9.(2023·深圳市高一期中)對于環繞地球做圓周運動的衛星來說，它們繞地球做圓周運動的周期會隨著軌道半徑的變化而變化，某同學根據測得的不同衛星做圓周運動的半徑三次方r3與周期平方T2的關系作出如圖所示圖像，則可求得地球質量為(已知引力常量為G)(　　)
A. B. C. D.
10.(2023·廣州市高一期中)我國明確提出2030年“碳達峰”與2060年“碳中和”目標。人類社會的快速進步使得碳排放量不斷增加，這導致溫室效應加劇，地球南北兩極的生態環境遭到一定的破壞。一頭質量為M的北極熊在失去家園后，被運送到了位于赤道上的北極熊館加以照料，它在北極和在館內的重力差為ΔF。已知地球自轉周期為T。根據以上信息，可求出地球的半徑為(　　)
A. B.
C. D.
11.(14分)在某質量分布均勻的星球表面，以速度v0豎直上拋一質量為m的物體(引力視為恒力，阻力可忽略)，經過時間t落到地面。已知該星球半徑為R，引力常量為G，忽略星球自轉的影響，求：
(1)(5分)該星球表面的重力加速度的大小；
(2)(5分)該星球的質量；
(3)(4分)該星球的密度。
(10分)
12.(2023·深圳市高一期中)一項最新的研究發現，在我們所在星系中央隆起處，多數恒星形成于100多億年前的一次恒星誕生爆發期。若某恒星自轉周期為T，星體為質量均勻分布的球體，引力常量為G，則以周期T穩定自轉的星體的密度最小值約為(　　)
A. B. C. D.
答案精析
1.C　[不同的地方，由于重力加速度不同，導致重力不同，在地球表面，緯度越高，重力加速度越大，則重力越大，所以同一物體在赤道上的重力比在兩極處小些，故A錯誤，C正確；物體從地球表面移到空中，重力加速度變小，則重力變小，故B錯誤；飛船繞地球做勻速圓周運動，所受地球的引力提供向心力，飛船中的物體處于失重狀態，故D錯誤。]
2.D　[地球上的點除兩極外，相同時間內繞各自圓心轉過角度相同，所以角速度相同，即ωA=ωB；根據v=ωr可知，角速度相同時，做圓周運動的半徑越大，線速度越大，則vA>vB；地球上隨緯度增加，重力加速度增大，赤道重力加速度最小，兩極重力加速度最大，則gA3.D　[根據萬有引力提供核心艙做勻速圓周運動的向心力，可得G=m=mω2r=mr，可得M===，則已知核心艙的質量和繞地半徑、已知核心艙的質量和繞地周期或已知核心艙的繞地角速度和繞地周期，都不能計算出地球的質量；若已知核心艙的繞地線速度和繞地半徑可計算出地球的質量，故選D。]
4.B　[在天體表面有G=mg，所以M=，因為星球半徑和地球半徑相同，所以可得該星球質量是地球質量的2倍。故選B。]
5.D　[設月球半徑為R，質量為M，對嫦娥六號，根據萬有引力提供向心力
G=m·(k+1)R
月球的體積V=πR3
月球的平均密度ρ=
聯立可得ρ=(1+k)3，故選D。]
6.(1)　(2)
解析　(1)衛星停在地球表面時有=mg，
得M=
地球的體積為V=πR3
可得，地球的密度為ρ==×=
(2)衛星所在處的重力加速度=mg1，又g=，得g1==。
7.A　[地球的自轉速度增大，由Fn=mω2R可知赤道地面上物體隨地球自轉所需的向心力增大，地球的質量和半徑都沒有變化，由F=可知，放在赤道地面上的物體所受的萬有引力不變，A正確；在兩極地面上，物體轉動所需的向心力為零，此時物體的重力與所受萬有引力相等，故放在兩極地面上的物體的重力不變，B錯誤；根據赤道上萬有引力是重力和向心力的合力，地球的自轉速度增大時物體所需向心力增大，萬有引力不變，重力將減小，C錯誤；根據自轉周期T=可知，自轉速度增大，則周期變小，即“一晝夜”的時間變短，故D錯誤。]
8.A　[設地球的半徑為R，地球質量為M，引力常量為G，地球表面重力加速度為g0，太空電梯離地面高度為h，太空電梯所在位置處的重力加速度為g'，根據萬有引力公式有G=mg'，G=mg0，
聯立得==，則=，所以太空電梯距離地面高度為h=R≈1 593 km，故選A。]
9.C　[由萬有引力提供向心力有
G=mr，得r3=T2
由圖可知斜率k==
所以地球的質量為M=，故C正確，A、B、D錯誤。]
10.A　[北極熊在赤道上時，萬有引力的一部分提供向心力，有-M()2R=Mg
北極熊在北極上時有=Mg'，根據題意，有ΔF=M()2R，解得R=，A正確，B、C、D錯誤。]
11.(1)　(2)　(3)
解析　(1)設星球表面的重力加速度大小為g，對物體，有v0=g·，解得g=
(2)對星球表面的物體m，有G=mg，故星球質量M=
(3)星球的密度ρ=，解得ρ=。
12.A　[設恒星的半徑為R，當萬有引力恰好提供向心力時星體不瓦解，且密度最小，根據G=mR，解得恒星的質量M=，則恒星的密度ρ===，故選A。]第三節　萬有引力定律的應用
［學習目標］　1.進一步理解萬有引力定律，明確地球表面的萬有引力和重力的關系(重點)。2.了解萬有引力定律在預測未知天體中的作用。3.會用萬有引力定律計算天體的質量和密度(重難點)。
一、萬有引力和重力的關系
假設地球是一個半徑為R且密度均勻的球體，質量為M，在緯度θ處相對于地球靜止地懸掛著一個質量為m的物體。
(1)根據萬有引力定律，物體受到地球的引力大小F=　　　　，方向沿地球半徑指向球心。
(2)如圖所示，萬有引力主要產生兩大作用效果，一方面是在豎直方向上與物體受到的拉力平衡，另一方面是提供物體隨地球一起自轉的向心力。因此，可以將引力F分解為F1和F2兩個分量，分力F1=FT，就是我們所熟悉的　　　　，分力F2=mω2Rcos θ，是物體隨地球自轉所需的　　　　　　，其方向垂直指向地軸。
(3)萬有引力指向地軸的分力F2實際上特別小，所以一般認為地球附近的物體所受的重力近似　　　　地球對物體的萬有引力。
1.地球表面的物體在赤道、兩極和一般位置時，重力和萬有引力的大小關系如何？
2.為什么高山上的重力加速度比山下地面的小？
例1　(多選)(2023·邯鄲市高一期中)關于萬有引力和重力的關系，下列說法正確的是(　　)
A.地面附近的物體所受到的重力就是萬有引力
B.若地球自轉角速度變大，則赤道上物體所受重力變小
C.物體所受重力方向總是與萬有引力方向相同
D.在地球上，萬有引力等于重力與向心力的矢量和
例2　(2023·揭陽市高一期末)假設地球可視為質量均勻分布的球體，已知地球表面的重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g；地球自轉的周期為T，引力常量為G，則地球的半徑為(　　)
A. B.
C. D.
二、天體質量和密度的計算
1.卡文迪許在實驗室測出了引力常量G的值，他稱自己的實驗是“稱量地球的質量”。
(1)他“稱量”的依據是什么？
(2)若已知地球表面重力加速度g，地球半徑R，引力常量G，求地球的質量和密度。
2.月球繞地球的運動可以近似看作勻速圓周運動，若已知月球繞地球運動的周期為T，月球中心到地心的距離為r，引力常量為G。
(1)如何求出地球的質量？思路如何？
(2)如果要求地球的密度，還需要已知什么條件？
　計算中心天體質量的兩種方法
1.重力加速度法
(1)已知中心天體的半徑R和中心天體表面的重力加速度g，根據物體的重力近似等于中心天體對物體的引力，有　　　　，解得中心天體質量為M=　　　　。
(2)說明：g為天體表面的重力加速度。
未知星球表面的重力加速度通常這樣測出：讓小球做自由落體、平拋、上拋等運動，從而計算出該星球表面的重力加速度。
2.“衛星”環繞法
將天體的運動近似看成勻速圓周運動，其所需的向心力來自于萬有引力，由　　　　=mr，可得M=　　　　。
注意：上面兩種求中心天體質量的方法中，“R”與“r”意義不同，R為中心天體半徑；r為衛星軌道半徑，兩種方法中的M若為同一天體，r=R+h。當環繞法選擇近地衛星時，r=R。
用“衛星”環繞法，根據環繞衛星的周期和軌道半徑，能測出衛星的質量嗎？
例3　航天員在某一星球距離星球表面h高度處，以初速度v0沿水平方向拋出一個小球，經過時間t后小球落到該星球表面，已知該星球的半徑為R(R h)，引力常量為G，則該星球的質量為 (　　)
A. B. C. D.
例4　假設在半徑為R的某天體上發射一顆該天體的衛星，已知引力常量為G，忽略該天體自轉。
(1)若衛星距該天體表面的高度為h，測得衛星在該處做圓周運動的周期為T1，則該天體的密度是多少？
(2)若衛星貼近該天體的表面做勻速圓周運動的周期為T2，則該天體的密度是多少？
答案精析
一、
(1)G　(2)重力　向心力　(3)等于
討論與交流
1.在赤道上，重力和向心力在一條直線上，mg=G-mω2R；在兩極上，F向=0，mg=G，在一般位置時，重力是萬有引力的一個分力，mg2.地球表面重力加速度g=，M為地球質量，R為地球半徑，地球上空h 高度，萬有引力等于重力，即=mg'，所以h 高度處的重力加速度g'=，則g'例1　BD　[地面附近物體所受到的重力是由于萬有引力而產生的，它只是萬有引力的一個分力，故重力并不是萬有引力，A錯誤；
若地球自轉角速度變大，由-mg=mω2R可知，赤道上物體所受重力變小，B正確；
萬有引力的方向指向地心，而重力的方向豎直向下，兩個方向不同，只有在南北兩極和赤道上，方向才一致，C錯誤；
在地球上，萬有引力等于重力與向心力的矢量和，D正確。]
例2　A　[在地球兩極G=mg0，在赤道上G-mg=m()2R，聯立解得R=，故選A。]
二、
1.(1)若忽略地球自轉的影響，在地球表面上物體受到的重力等于地球對物體的萬有引力。
(2)由mg=G得，M=。
ρ===。
2.(1)月球繞地球做勻速圓周運動的向心力由它們之間的萬有引力提供，由G=m月()2·r得m地=。
(2)還需要已知地球的半徑R，此時地球的密度ρ地===。
提煉總結
1.(1)mg=G　
2.　
討論與交流
不能。只能測出被環繞的中心天體的質量。
例3　A　[設該星球表面的重力加速度為g，小球在星球表面做平拋運動，有h=gt2，設該星球的質量為M，在星球表面有mg=，聯立解得，該星球的質量M=，故A正確。]
例4　(1)　(2)
解析　設衛星的質量為m，天體的質量為M。
(1)衛星距天體表面的高度為h時，
有G=m(R+h)，可得M=
天體的體積為V=πR3
故該天體的密度為ρ===
(2)衛星貼近天體表面運動時有G=mR，可得M=，故ρ===。(共47張PPT)
第三節　萬有引力定律的應用
DISANZHANG
第三章
1.進一步理解萬有引力定律，明確地球表面的萬有引力和重力的關系(重點)。
2.了解萬有引力定律在預測未知天體中的作用。
3.會用萬有引力定律計算天體的質量和密度(重難點)。
學習目標
一、萬有引力和重力的關系
二、天體質量和密度的計算
課時對點練
內容索引
萬有引力和重力的關系
一
假設地球是一個半徑為R且密度均勻的球體，質量為M，在緯度θ處相對于地球靜止地懸掛著一個質量為m的物體。
(1)根據萬有引力定律，物體受到地球的引力大小F= ，方向沿地球半徑指向球心。
(2)如圖所示，萬有引力主要產生兩大作用效果，一方面是在豎直方向上與物體受到的拉力平衡，另一方面是提供物體隨地球一起自轉的向心力。因此，可以將引力F分解為F1和F2兩個分量，分力F1=FT，就是我們所熟悉的
，分力F2=mω2Rcos θ，是物體隨地球自轉所需的
，其方向垂直指向地軸。
G
重力
向心力
(3)萬有引力指向地軸的分力F2實際上特別小，所以一般認為地球附近的物體所受的重力近似 地球對物體的萬有引力。
等于
1.地球表面的物體在赤道、兩極和一般位置時，重力和萬有引力的大小關系如何？
討論與交流
答案　在赤道上，重力和向心力在一條直線上，mg=G-mω2R；在兩極上，F向=0，mg=G，在一般位置時，重力是萬有引力的一個分力，mg2.為什么高山上的重力加速度比山下地面的小？
答案　地球表面重力加速度g=，M為地球質量，R為地球半徑，地球上空h 高度，萬有引力等于重力，即=mg'，所以h 高度處的重力加速度g'=，則g'　(多選)(2023·邯鄲市高一期中)關于萬有引力和重力的關系，下列說法正確的是
A.地面附近的物體所受到的重力就是萬有引力
B.若地球自轉角速度變大，則赤道上物體所受重力變小
C.物體所受重力方向總是與萬有引力方向相同
D.在地球上，萬有引力等于重力與向心力的矢量和
例1
√
√
地面附近物體所受到的重力是由于萬有引力而產生的，它只是萬有引力的一個分力，故重力并不是萬有引力，A錯誤；
若地球自轉角速度變大，由-mg=mω2R可知，赤道上物體所受重力變小，B正確；
萬有引力的方向指向地心，而重力的方向豎直向下，兩個方向不同，只有在南北兩極和赤道上，方向才一致，C錯誤；
在地球上，萬有引力等于重力與向心力的矢量和，D正確。
　(2023·揭陽市高一期末)假設地球可視為質量均勻分布的球體，已知地球表面的重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g；地球自轉的周期為T，引力常量為G，則地球的半徑為
A. B.
C. D.
例2
√
在地球兩極G=mg0，在赤道上G-mg=m()2R，聯立解得R=，故選A。
返回
天體質量和密度的計算
二
1.卡文迪許在實驗室測出了引力常量G的值，他稱自己的實驗是“稱量地球的質量”。
(1)他“稱量”的依據是什么？
答案　若忽略地球自轉的影響，在地球表面上物體受到的重力等于地球對物體的萬有引力。
(2)若已知地球表面重力加速度g，地球半徑R，引力常量G，求地球的質量和密度。
答案　由mg=G得，M=。
ρ===。
2.月球繞地球的運動可以近似看作勻速圓周運動，若已知月球繞地球運動的周期為T，月球中心到地心的距離為r，引力常量為G。
(1)如何求出地球的質量？思路如何？
答案　月球繞地球做勻速圓周運動的向心力由它們之間的萬有引力提供，由G=m月()2·r得m地=。
(2)如果要求地球的密度，還需要已知什么條件？
答案　還需要已知地球的半徑R，此時地球的密度ρ地===。
計算中心天體質量的兩種方法
1.重力加速度法
(1)已知中心天體的半徑R和中心天體表面的重力加速度g，根據物體的重
力近似等于中心天體對物體的引力，有 ，解得中心天體質量為M= 。
(2)說明：g為天體表面的重力加速度。
未知星球表面的重力加速度通常這樣測出：讓小球做自由落體、平拋、上拋等運動，從而計算出該星球表面的重力加速度。
提煉·總結
mg=G
2.“衛星”環繞法
將天體的運動近似看成勻速圓周運動，其所需的向心力來自于萬有引力，由 =mr，可得M= 。
注意：上面兩種求中心天體質量的方法中，“R”與“r”意義不同，R為中心天體半徑；r為衛星軌道半徑，兩種方法中的M若為同一天體，r=R+h。當環繞法選擇近地衛星時，r=R。
用“衛星”環繞法，根據環繞衛星的周期和軌道半徑，能測出衛星的質量嗎？
討論與交流
答案　不能。只能測出被環繞的中心天體的質量。
　航天員在某一星球距離星球表面h高度處，以初速度v0沿水平方向拋出一個小球，經過時間t后小球落到該星球表面，已知該星球的半徑為R(R h)，引力常量為G，則該星球的質量為
A. B. C. D.
例3
√
設該星球表面的重力加速度為g，小球在星球表面做平拋運動，有h=gt2，設該星球的質量為M，在星球表面有mg=，聯立解得，該星球的質量M=，故A正確。
　假設在半徑為R的某天體上發射一顆該天體的衛星，已知引力常量為G，忽略該天體自轉。
(1)若衛星距該天體表面的高度為h，測得衛星在該處做圓周運動的周期為T1，則該天體的密度是多少？
例4
答案　　
設衛星的質量為m，天體的質量為M。
衛星距天體表面的高度為h時，有G=m(R+h)，
可得M=
天體的體積為V=πR3
故該天體的密度為ρ===
(2)若衛星貼近該天體的表面做勻速圓周運動的周期為T2，則該天體的密度是多少？
答案　
衛星貼近天體表面運動時有G=mR，可得M=，
故ρ===。
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課時對點練
三
對一對
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 C D D B D (1)　(2) A
題號 8 9 10 11 12
答案 A C A (1)　(2)　(3) A
考點一　萬有引力和重力的關系
1.重力是由萬有引力產生的，以下說法中正確的是
A.同一物體在地球上任何地方的重力都一樣
B.物體從地球表面移到空中，其重力變大
C.同一物體在赤道上的重力比在兩極處小些
D.繞地球做圓周運動的飛船中的物體處于失重狀態，不受地球的引力
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
基礎對點練
√
答案
不同的地方，由于重力加速度不同，導致重力不同，在地球表面，緯度越高，重力加速度越大，則重力越大，所以同一物體在赤道上的重力比在兩極處小些，故A錯誤，C正確；
物體從地球表面移到空中，重力加速度變小，則重力變小，故B錯誤；
飛船繞地球做勻速圓周運動，所受地球的引力提供向心力，飛船中的物體處于失重狀態，故D錯誤。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
2.地球上，在赤道上的一物體A和在臺州的一物體B隨地球自轉而做勻速圓周運動，如圖，它們的線速度大小分別為vA、vB，角速度分別為ωA、ωB，重力加速度分別為gA、gB，則
A.vA=vB，ωA=ωB，gA>gB
B.vAgB
C.vA>vB，ωA=ωB，gA>gB
D.vA>vB，ωA=ωB，gA1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
地球上的點除兩極外，相同時間內繞各自圓心轉過
角度相同，所以角速度相同，即ωA=ωB；根據v=ωr
可知，角速度相同時，做圓周運動的半徑越大，線
速度越大，則vA>vB；地球上隨緯度增加，重力加
速度增大，赤道重力加速度最小，兩極重力加速度最大，則gA答案
考點二　天體質量和密度的計算
3.(2021·廣東卷)2021年4月，我國自主研發的空間站“天和”核心艙成功發射并入軌運行，若核心艙繞地球的運行可視為勻速圓周運動，已知引力常量，由下列物理量能計算出地球質量的是
A.核心艙的質量和繞地半徑
B.核心艙的質量和繞地周期
C.核心艙的繞地角速度和繞地周期
D.核心艙的繞地線速度和繞地半徑
√
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
根據萬有引力提供核心艙做勻速圓周運動的向心力，可得G=m=
mω2r=mr，可得M===，則已知核心艙的質量和繞地半
徑、已知核心艙的質量和繞地周期或已知核心艙的繞地角速度和繞地周期，都不能計算出地球的質量；若已知核心艙的繞地線速度和繞地半徑可計算出地球的質量，故選D。
答案
4.一星球半徑和地球半徑相同，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，則該星球質量是地球質量的(忽略地球、星球的自轉)
A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
在天體表面有G=mg，所以M=，因為星球半徑和地球半徑相同，所以可得該星球質量是地球質量的2倍。故選B。
答案
5.(2024·海南卷)嫦娥六號進入環月圓軌道，周期為T，軌道高度與月球半徑之比為k，引力常量為G，則月球的平均密度為
A. B.
C. D.(1+k)3
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答案
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設月球半徑為R，質量為M，對嫦娥六號，根據萬有引力提供向心力
G=m·(k+1)R
月球的體積V=πR3
月球的平均密度ρ=
聯立可得ρ=(1+k)3，故選D。
答案
6.(2023·深圳市高一期中)2023年1月9日6時0分，我國在文昌航天發射場使用長征七號改運載火箭，成功將實踐二十三號衛星和搭載的試驗二十二號A/B星發射升空，三顆衛星順利進入預定軌道，發射任務獲得圓滿成功。假設實踐二十三號衛星繞地球做勻速圓周運動，離地球表面的高度等于地球的半徑R。已知地球表面處的重力加速度大小為g，引力常量為G，忽略地球的自轉，求：
(1)地球的密度；
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答案　　
答案
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衛星停在地球表面時有=mg，
得M=
地球的體積為V=πR3
可得，地球的密度為ρ==×=
答案
(2)衛星所在處的重力加速度大小。
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答案　
衛星所在處的重力加速度=mg1，又g=，得g1==。
答案
7.假如地球的自轉速度增大，對于物體的重力，下列說法正確的是
A.放在赤道地面上的物體所受的萬有引力不變
B.放在兩極地面上的物體的重力變小
C.放在赤道地面上的物體的重力不變
D.“一晝夜”的時間不變
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能力綜合練
答案
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地球的自轉速度增大，由Fn=mω2R可知赤道地面上物體隨地球自轉所需的
向心力增大，地球的質量和半徑都沒有變化，由F=可知，放在赤道地
面上的物體所受的萬有引力不變，A正確；
在兩極地面上，物體轉動所需的向心力為零，此時物體的重力與所受萬有引力相等，故放在兩極地面上的物體的重力不變，B錯誤；
根據赤道上萬有引力是重力和向心力的合力，地球的自轉速度增大時物體所需向心力增大，萬有引力不變，重力將減小，C錯誤；
根據自轉周期T=可知，自轉速度增大，則周期變小，即“一晝夜”的
時間變短，故D錯誤。
答案
8.(2023·惠州市高一期中)某影片中，太空電梯高聳入云，在地表與太空間高速穿梭。太空電梯上升到某高度時，質量為2.5 kg的物體重力為16 N。已知地球半徑為6 371 km，不考慮地球自轉，地球表面重力加速度為10 m/s2，則此時太空電梯距離地面的高度約為
A.1 593 km B.3 584 km
C.7 964 km D.9 955 km
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設地球的半徑為R，地球質量為M，引力常量為G，
地球表面重力加速度為g0，太空電梯離地面高度為
h，太空電梯所在位置處的重力加速度為g'，
根據萬有引力公式有G=mg'，G=mg0，
聯立得===，所以太空電梯距離地面高度為h= R≈1 593 km，故選A。
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9.(2023·深圳市高一期中)對于環繞地球做圓周運動的衛星來說，它們繞地球做圓周運動的周期會隨著軌道半徑的變化而變化，某同學根據測得的不同衛星做圓周運動的半徑三次方r3與周期平方T2的關系作出如圖所示圖像，則可求得地球質量為(已知引力常量為G)
A. B. C. D.
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由萬有引力提供向心力有
G=mr，得r3=T2
由圖可知斜率k==
所以地球的質量為M=，故C正確，A、B、D錯誤。
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答案
10.(2023·廣州市高一期中)我國明確提出2030年“碳達峰”與2060年“碳中和”目標。人類社會的快速進步使得碳排放量不斷增加，這導致溫室效應加劇，地球南北兩極的生態環境遭到一定的破壞。一頭質量為M的北極熊在失去家園后，被運送到了位于赤道上的北極熊館加以照料，它在北極和在館內的重力差為ΔF。已知地球自轉周期為T。根據以上信息，可求出地球的半徑為
A. B.
C. D.
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答案
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北極熊在赤道上時，萬有引力的一部分提供向心力，
有-M()2R=Mg
北極熊在北極上時有=Mg'，根據題意，有ΔF=M()2R，解得R=，A正確，B、C、D錯誤。
答案
11.在某質量分布均勻的星球表面，以速度v0豎直上拋一質量為m的物體(引力視為恒力，阻力可忽略)，經過時間t落到地面。已知該星球半徑為R，引力常量為G，忽略星球自轉的影響，求：
(1)該星球表面的重力加速度的大小；
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答案　　
設星球表面的重力加速度大小為g，對物體，有v0=g·，解得g=
答案
(2)該星球的質量；
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答案　　
對星球表面的物體m，有G=mg，故星球質量M=
(3)該星球的密度。
答案　
星球的密度ρ=，解得ρ=。
答案
12.(2023·深圳市高一期中)一項最新的研究發現，在我們所在星系中央隆起處，多數恒星形成于100多億年前的一次恒星誕生爆發期。若某恒星自轉周期為T，星體為質量均勻分布的球體，引力常量為G，則以周期T穩定自轉的星體的密度最小值約為
A. B. C. D.
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尖子生選練
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設恒星的半徑為R，當萬有引力恰好提供向心力時星體不瓦解，且密度最小，根據G=mR，解得恒星的質量M=，則恒星的密度
ρ===，故選A。
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