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作業9　電勢差及其與電場強度的關系
[分值：100分]
1～3題，5、7～8題每題7分，4、6題每題12分，共66分
考點一　電勢差
1．(2024·廣州市高二期末)對于電場中的A、B兩點，下列說法正確的是(　　)
A．電勢差的定義式UAB＝，說明A、B兩點間的電勢差UAB與電場力做的功WAB成正比，與試探電荷的電荷量q成反比
B．A、B兩點間的電勢差等于將正電荷從A點移到B點電場力做的功
C．將1 C的正電荷從A點移到B點，電場力做1 J的功，則這兩點間的電勢差為1 V
D．若在電荷由A點移到B點的過程中，除受電場力外，還受其他力的作用，則電荷電勢能的變化量的數值不再等于電場力所做的功
2．(多選)(2024·廣州市高二期末)關于電勢差，下列說法正確的是(　　)
A．電勢差與電勢一樣，是相對量，與零電勢點的選取有關
B．電勢差有正、負之分，是一個矢量
C．由于電場力做功跟移動電荷的路徑無關，所以電勢差也跟移動電荷的路徑無關，只跟這兩點的位置有關
D．由于UAB＝φA－φB，UBA＝φB－φA，故UAB＝－UBA
3.(多選)(2023·廣州市高二月考)如圖所示的勻強電場E的區域內，由A、B、C、D、A′、B′、C′、D′作為頂點構成一正方體空間，電場方向與面ABCD垂直，下列說法正確的是(　　)
A．A、D兩點間電勢差UAD與A、A′兩點間電勢差UAA′相等
B．帶正電的粒子從A點沿路徑A→D→D′移到D′點，電場力做負功
C．帶負電的粒子從A點沿路徑A→D→D′移到D′點，電勢能增加
D．帶電粒子從A點移到C′點，沿對角線A→C′與沿路徑A→B→B′→C′電場力做功相同
4．(12分)(2023·廣州市高二期末)如圖所示，在平行金屬帶電極板MN的電場中，若將電量為－4×10－6 C的負點電荷從A點移到M板，克服電場力做功8×10－4 J；若把該點電荷從A點移到N板，電場力做正功為4×10－4 J，則：
(1)(6分)若將該點電荷從M板附近移到N板，電荷的電勢能變化多少？M、N兩板的電勢差UMN等于多少？
(2)(6分)M板的電勢φM和A點的電勢φA分別是多少？
考點二　電勢差與電場強度的關系
5．下列說法中，正確的是(　　)
A．由E＝k可知，以點電荷Q為中心，r為半徑的球面上各處電場強度都相同
B．由E＝可知，E越大，沿電場線方向電勢降落越快
C．由U＝可知，某兩點的電勢差與電場力做功成正比，與電荷所帶電量成反比
D．由φ＝可知，電勢能越大的地方，電勢越高
6．(12分)(2024·梅州市高二期中)如圖所示，在勻強電場中，將一電荷量為2×10－4 C的負電荷由A點移到B點，其電勢能增加了0.2 J，已知A、B兩點間距離為2 cm，兩點連線與電場方向成60°角，求：
(1)(4分)電荷由A移到B的過程中，電場力所做的功WAB；
(2)(4分)A、B兩點間的電勢差UAB；
(3)(4分)該勻強電場的電場強度E。
考點三　用公式E＝定性分析非勻強電場
7．(2024·黑龍江肇東市第四中學高二月考)下列選項描述的電場線與等勢面之間的關系，實線表示電場線，虛線表示等勢面，其中正確的是(　　)
8．(2024·榆林市高二期中)某一電場中的電場線和等勢面分布如圖所示，在電場中有A、B、C三點，A、B間距離等于B、C間距離。下列說法中正確的是(　　)
A．A點電場強度比B點電場強度小
B．正電荷在A點的電勢能比在B點的電勢能大
C．B、A兩點間的電勢差大于C、B兩點間的電勢差
D．負電荷由B向C移動，靜電力做負功
9～11題每題8分，共24分
9.(2022·福建卷)平時我們所處的地球表面，實際上存在場強大小為100 V/m的電場，可將其視為勻強電場，在地面立一金屬桿后空間中的等勢面如圖所示。空間中存在a、b、c三點，其中a點位于金屬桿正上方，b、c等高。則下列說法正確的是(　　)
A．b、c兩點間的電勢差Ubc＝0
B．a點場強大小大于100 V/m
C．a點場強方向水平向右
D．a點的電勢低于c點
10.如圖所示是某電場中的三條電場線，C點是A、B連線的中點。已知A點的電勢φA＝30 V，B點的電勢φB＝－20 V，則下列說法正確的是(　　)
A．C點的電勢φC＝5 V
B．C點的電勢φC>5 V
C．C點的電勢φC<5 V
D．負電荷在A點的電勢能大于在B點的電勢能
11.(2023·廣東省高二開學考試)在靜電除塵器除塵原理的示意圖中，a、b是直流高壓電源的兩極，圖示位置的P、M、N三點在同一直線上，且PM＝MN。塵埃在電場中通過某種機制帶上負電，在電場力的作用下向集塵極遷移并沉積，以達到除塵目的。下列判斷正確的是(　　)
A．a是直流高壓電源的正極
B．電場中P點的場強小于M點的場強
C．電場中M點的電勢低于N點的電勢
D．電場中P、M間的電勢差UPM等于M、N間的電勢差UMN
(10分)
12.(2023·河南省商丘市實驗中學高二期中)如圖所示，真空中有一勻強電場(圖中未畫出)，電場方向與圓周在同一平面內，△ABC是圓的內接直角三角形，∠BAC＝60°，O為圓心，半徑R＝2 cm。位于A處的粒子源向平面內各個方向發射初動能均為2 eV、電荷量為＋e的粒子，這些粒子會經過圓周上不同的點，其中到達B點的粒子動能為6 eV，到達C點的粒子動能也為6 eV。忽略粒子受到的重力和粒子間的相互作用，下列說法正確的是(　　)
A．UCA＝4 V
B．電場方向由B指向A
C．勻強電場的電場強度大小為200 V/m
D．經過圓周上的所有粒子，動能最大為6 eV
作業9　電勢差及其與電場強度的關系
1．C
2．CD　[電場中某一位置的電勢是相對的，與零電勢點的選取有關，而電場中兩點間的電勢差等于電勢之差，由電場本身決定，具有絕對性，與零電勢點的選取無關，A錯誤；
電勢差有正、負之分，其正、負表示電勢的高低，是一個標量，B錯誤；
根據UAB＝可知，由于靜電力做功跟移動電荷的路徑無關，所以電勢差也跟移動電荷的路徑無關，只跟這兩點的位置有關，C正確；
電場中兩點間的電勢差等于電勢之差，由電場本身決定，具有絕對性，與零電勢點的選取無關，既有UAB＝φA－φB，UBA＝φB－φA，因此UAB＝－UBA，D正確。]
3．CD　[A、D兩點在同一等勢面上，電勢差UAD＝0，A點電勢高于A′電勢，A、A′兩點間電勢差UAA′大于零，所以A、D兩點間電勢差UAD與A、A′兩點間電勢差UAA′不相等，故A錯誤；
帶正電的粒子從A點移動到D′點，A點電勢高于D′點電勢，UAD′大于零，根據W＝qU可知電場力做正功，故B錯誤；
帶負電的粒子從A點移到D′點，A點電勢高于D′點電勢，UAD′大于零，根據W＝qU可知電場力做負功，電勢能增加，故C正確；
帶電粒子從A點移到C′點，沿對角線A→C′與沿路徑A→B→B′→C′，兩個過程初、末位置電勢差相同，根據W＝qU可知電場力做功相同，故D正確。]
4．(1)減少1.2×10－3 J　－300 V
(2)－300 V　－100 V
解析　(1)依題意負點電荷從A移到M電場力做功WAM＝－8×10－4 J
從M移到A電場力做功
WMA＝－WAM＝8×10－4 J
從M移到N，電場力做功為
WMN＝WMA＋WAN＝8×10－4 J＋4×10－4 J＝1.2×10－3 J
從M移到N負點電荷電勢能減少1.2×10－3 J，由UMN＝
代入數據UMN＝－300 V
(2)N板接地，φN＝0，故M板的電勢為φM＝UMN＝－300 V
設A點的電勢為φA，
有UAN＝φA－0＝
φA＝＝ V＝－100 V。
5．B　[由E＝k可知，以點電荷Q為中心，r為半徑的球面上各處電場強度大小都相同，但是方向不同，故A錯誤；
由E＝可知，E越大，沿電場線方向間距為單位長度的兩點間電勢差越大，即電勢降落越快，故B正確；
電場中某兩點的電勢差是由電場本身決定的，與電場力做功以及電荷所帶電量無關，故C錯誤；
由φ＝可知，相同的正電荷具有的電勢能越大的地方，電勢越高，負電荷則相反，故D錯誤。]
6．(1)－0.2 J　(2)1 000 V　(3)1×105 V/m
解析　(1)因負電荷由A移到B的過程中，負電荷的電勢能增加了ΔE＝0.2 J，所以這個過程中電場力對負電荷所做的功WAB＝－ΔE＝－0.2 J
(2)A、B兩點間的電勢差
UAB＝＝ V＝1 000 V
(3)勻強電場的電場強度
E＝＝ V/m＝1×105 V/m。
7．C　[等勢面和電場線處處垂直，根據U＝Ed定性分析可知電場線密集的地方等勢面也密集，故選C。]
8．C　[根據電場線越密電場強度越大，由題圖可知，A點電場強度比B點電場強度大，故A錯誤；根據沿電場線方向電勢降低，A點電勢低于B點，由公式Ep＝φq可知，正電荷在A點電勢能小于B點，故B錯誤；根據U＝Ed定性分析可知，由于AB間電場強度大于BC間電場強度，則B、A間的電勢差大于C、B間的電勢差，故C正確；負電荷由B向C移動，靜電力做正功，故D錯誤。]
9．B　[由題圖可知，b、c兩點的電勢差為Ubc＝200 V－300 V＝－100 V，故A錯誤；由題圖可知，a點與相鄰兩等勢面的距離小于1 m，電勢差等于100 V，根據E＝，可知a點場強大小大于100 V/m，故B正確；根據場強方向垂直于等勢面，可知a點的場強方向沿豎直方向，不是水平方向，故C錯誤；由題圖可知，a點與c點在同一等勢面上，電勢均為300 V，故D錯誤。]
10．C　[由題圖知，AC段電場線比CB段電場線密，則AC段平均場強較大，根據公式U＝Ed可知，AC間電勢差UAC大于CB間電勢差UCB，所以UAC>UAB＝25 V，即φA－φC>25 V，又φA＝30 V，可知φC<5 V，故C正確，A、B錯誤；負電荷在電勢低處電勢能較大，故D錯誤。]
11．C　[因為塵埃帶負電，要使塵埃能到達集塵極，則放電極與集塵極之間的電場方向應向左，故放電極帶負電，即a為直流高壓電源的負極，A錯誤；因為放電極端的電場線密，所以P點電場強度大于M點電場強度，B錯誤；沿電場線方向電勢降低，故M點的電勢低于N點的電勢，C正確；根據U＝Ed，雖然PM＝MN，但PM間的電場大于MN間的電場，故PM間的電勢差大于MN間的電勢差，D錯誤。]
12．C　[根據題意可知到達B點的粒子動能與到達C點的粒子動能相等，所以B、C兩點電勢相等，BC連線為勻強電場的等勢線，根據電場線與等勢線相互垂直，且電荷量為＋e的粒子從A點運動到B點動能增大，可知靜電力做正功，粒子一定沿著電場線方向運動，由此可判斷由A指向B的方向就是該電場的電場強度方向，如圖所示。
A、B間的電勢差為UAB＝＝＝＝4 V，根據幾何關系可得dAB＝2 cm，電場強度大小為E＝＝ V/m＝200 V/m，故B錯誤，C正確；因為φB＝φC，可得UCA＝UBA＝－UAB＝－4 V，故A錯誤；易知整個圓周上D點電勢最低，則粒子運動到D點動能最大，大于到達B點的粒子動能6 eV，故D錯誤。]第五節　電勢差及其與電場強度的關系
[學習目標]　1.理解電勢差的概念，掌握電勢差的表達式，知道電勢差正負號的意義。2.理解電勢差與電場力做功的關系式，并會進行有關計算(重點)。3.理解勻強電場中電勢差與電場強度的關系式，并會進行有關計算(重點)。4.會用公式E＝定性分析非勻強電場。
一、電勢差
電場中A、B、C、D四點的電勢如圖所示。
(1)A、B及B、C間的電勢的差值各為多大？哪個較大？
(2)若取D點的電勢為零，則A、B、C三點的電勢各為多少？A、B及B、C間的電勢差值又為多少？結果說明什么問題？
(3)將電荷量為q的正電荷，從A移動到D電場力做功的表達式。
1．電勢差
(1)定義：電場中兩點間電勢的差值叫作電勢差，也叫________，用符號U表示。
(2)表達式：UAB＝________，UBA＝________，UAB＝________。
(3)電勢差的正、負：電勢差與電勢一樣都是標量，它可以為正值，也可以為負值。若UAB為正值，則表示點A的電勢比點B的電勢________；若UAB為負值，則表示點A的電勢比點B的電勢________。比較電勢差的大小關系時要取絕對值。
2．電場力做功與電勢差的關系________。
說明：①由UAB＝可以看出，UAB在數值上等于單位正電荷由A點移動到B點時電場力所做的功。
②電勢差UAB反映電場自身在A、B兩點間的性質，與電量q無關，只和電場中A、B位置有關。
③UAB＝中，UAB、WAB及q都有正、負之分，計算UAB時，WAB和q的正、負可直接代入。
④WAB＝qUAB適用于任何電場中電場力做功的計算。
(1)電勢差反映了電場能的性質，決定于電場本身，與試探電荷無關。(　　)
(2)電勢差的值與零電勢的選取有關。(　　)
(3)電勢差有正、負，所以它是矢量。(　　)
(4)電場中某點的電勢在數值上等于該點與零電勢點之間的電勢差。(　　)
(5)由U＝可知，某兩點電勢差與電場力做功成正比，與電荷量成反比。(　　)
例1　關于電勢差的說法中，正確的是(　　)
A．兩點間的電勢差等于電荷從其中一點移到另一點時，電場力所做的功
B．帶電量為1 C的點電荷從電場中的一點移動到另一點，如果電場力做了1 J的功，這兩點間的電勢差就是1 V
C．在兩點間移動電荷時，電場力做功的多少跟這兩點間的電勢差無關
D．兩點間的電勢差的大小跟放入這兩點的電荷的電量成反比
例2　有一個帶電荷量為q＝－3×10－6 C的點電荷，從某電場中的A點移到B點，電荷克服電場力做功6×10－4 J，從B點移到C點，電場力對電荷做功9×10－4 J。
(1)AB、BC、CA間電勢差各為多少？
(2)若取B點電勢為零，則A、C兩點的電勢各為多少？電荷在A、C兩點的電勢能各為多少？
電勢差求解技巧
1．直接代入到電勢差公式中進行運算，會更加便捷，但要注意正、負號的運用。
2．電場中各點間的電勢差可依次用代數方法相加，但要注意角標的排序，如UAD＝UAB＋UBC＋UCD，UAB＝－UBA。
3．利用UAB的正、負能判斷電場中兩點的電勢高低。
二、電勢差與電場強度的關系
如圖所示，已知勻強電場的場強大小為E，A、B間距為d，A、B兩點間的電勢差為UAB，將電荷q從A點移動到B點：
(1)從力和位移的角度計算電場力所做的功；通過A、B間的電勢差計算電場力做的功。
(2)比較兩次計算的功，電勢差與電場強度有何關系？
(3)若將電荷從A點移動到C點，仍從(1)中的兩個角度計算電場力做功并比較，能得到什么結論？
1．電勢差與電場強度的關系
(1)關系：在勻強電場中任意兩點之間的電勢差等于________與這兩點沿________方向的距離的乘積。
(2)關系式：U＝________。
(3)適用條件：________電場，d不是兩點間的距離，而是沿電場方向的投影距離。
2．電場強度的另一種表達
(1)表達式：E＝_______。
(2)物理意義：在勻強電場中，場強在數值上等于沿場強方向距離為________長度的兩點間的電勢差。
(3)場強的另一個單位：________，符號為_________。1 V/m＝1 N/C。
如圖所示，圖中的虛線為等勢線，B、C、D三點，位于同一等勢線上。
(1)比較A與B、A與C、A與D間電勢差的大小；
(2)電勢沿AB、AC、AD三條線，哪一個方向電勢降落最快？由此說明什么？
(1)由公式E＝得電場強度跟兩點的電勢差成正比，跟兩點的距離成反比。(　　)
(2)勻強電場中沿電場線方向，任何相同距離上電勢降落必定相等。(　　)
(3)勻強電場中電勢降低的方向必是電場強度方向。(　　)
例3　(2024·江門市高二期中)如圖所示，在勻強電場中，一電荷量為q＝5.0×10－10 C的正電荷，由a點移到b點和由a點移到c點，電場力做的功都是3.0×10－8 J，已知a、b、c三點的連線組成直角三角形，∠a＝37°，ab＝20 cm(cos 37°＝0.8)。求：
(1)a、b兩點間的電勢差；
(2)勻強電場的場強。
三、利用公式E＝定性分析非勻強電場
U＝Ed只適用于勻強電場的定量計算，在非勻強電場中，不能進行定量計算，但可以定性地分析有關問題。
(1)在非勻強電場中，U＝Ed中的E可理解為距離為d的兩點間電場強度的平均值。
(2)如圖所示，當電勢差U相同時，電場強度E越大，則沿電場強度方向的距離d越小，即電場強度越大，等差等勢面越密。
例4　(多選)如圖所示為某一電場的電場線和等勢面。已知φa＝5 V，φc＝3 V，ab＝bc，b點電勢為φb，b、d在同一等勢面上。以|Wac|表示帶電量為q的點電荷由a點移到c點過程中電場力做功的大小，|Wdc|表示該點電荷由d點移到c點過程中電場力做功的大小，則(　　)
A．φb>4 V B．φb<4 V
C．|Wac|＝2|Wdc| D．|Wac|>2|Wdc|
例5　(多選)(2023·廣州市高二月考)如圖所示，一電場的電場線分布關于y軸(沿豎直方向)對稱，O、M、N是y軸上的三個點，且OM＝MN。P點在y軸右側，MP⊥ON。則(　　)
A．M點的電勢比P點的電勢高
B．將負電荷由O點移動到P點，電場力做正功
C．M、N兩點間的電勢差等于O、M兩點間的電勢差
D．在O點靜止釋放一帶正電粒子，該粒子將沿y軸做直線運動
第五節　電勢差及其與電場強度的關系
一、
(1)A、B間電勢的差值為φA－φB＝(15－5) V＝10 V
B、C間電勢的差值為φB－φC＝(5－0) V＝5 V
A、B間的電勢的差值大。
(2)φD＝0，φC＝3 V，φB＝8 V，φA＝18 V
φA－φB＝(18－8) V＝10 V
φB－φC＝(8－3) V＝5 V
結果說明，電勢的值與選取的零電勢位置有關，即電勢的值具有相對性，而電勢的差值與零電勢的位置無關，電勢的差值具有絕對性。
(3)WAD＝EpA－EpD＝φAq－φDq＝(φA－φD)q
可見電場力做的功與初末位置的電勢差值有關。
梳理與總結
1．(1)電壓　(2)φA－φB　φB－φA　－UBA　(3)高　低
2．WAB＝qUAB
二、
(1)F＝qE，WAB＝Fd＝qEd；WAB＝qUAB。(2)UAB＝Ed。(3)WAC＝qELcos θ＝qEd，WAC＝qUAC，得UAC＝Ed。
梳理與總結
1．(1)場強　電場　(2)Ed　(3)勻強
2．(1)　(2)單位　(3)伏/米　 V/m
討論與交流
(1)UAB＝UAC＝UAD。
(2)電勢差相同的情況下AB距離最短，單位長度電勢差最大，即沿AB方向，電勢降落最快；由此說明沿電場方向電勢降落最快。
一、
易錯辨析
(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
例1　B　[根據UAB＝可知，兩點間電勢差的數值等于單位正電荷從其中一點移到另一點時，電場力所做的功，故A錯誤，B正確；由于電勢差由電場決定，跟所移動的電荷甚至試探電荷存在與否都無關，所以兩點間的電勢差不變，由公式WAB＝qUAB可知，在兩點間移動電量為q的電荷時，電場力做功的多少跟這兩點間的電勢差成正比，故C、D錯誤。]
例2　(1)200 V　－300 V　100 V
(2)200 V　300 V　－6×10－4 J
－9×10－4 J
解析　(1)點電荷從A移到B克服電場力做功，即電場力做負功，WAB＝－6×10－4 J，則有
UAB＝＝ V＝200 V
由題意知UBC＝＝ V＝－300 V
則UCA＝UCB＋UBA＝－UBC＋(－UAB)＝100 V。
(2)若φB＝0，由UAB＝φA－φB，得φA＝UAB＝200 V，
由UBC＝φB－φC，得φC＝φB－UBC＝300 V，電荷在A點的電勢能
EpA＝qφA＝－6×10－4 J
電荷在C點的電勢能
EpC＝qφC＝－9×10－4 J。
二、
易錯辨析
(1)×　(2)√　(3)×
例3　(1)60 V　(2)375 V/m，電場強度方向由a指向c
解析　(1)a、b兩點的電勢差
Uab＝＝ V＝60 V
(2)因為Uab＝Uac＝60 V
勻強電場的電場強度大小為E＝＝ V/m＝375 V/m
由a點移到b點和由a點移到c點，電場力做的功相等，可知b、c兩點的電勢相等，則在勻強電場中bc為等勢線，因為電場線與等勢線垂直，且正電荷從a點移到c點電場力做正功，所以電場強度方向由a指向c。
三、
例4　BD　[由電場線的疏密程度可知ab段上各點電場強度大于bc段上各點電場強度，由U＝Ed可定性判斷出Uab>Ubc，即φa－φb>φb－φc，所以φb<＝4 V，故A錯誤，B正確；又因為Uac＝Uab＋Ubc，所以Uac>2Ubc，b、d在同一等勢面上，φb＝φd，故Uac>2Udc，由電場力做功W＝qU，得|Wac|>2|Wdc|，故C錯誤，D正確。]
例5　AD　[根據電場線和等勢面在交互處相互垂直的關系，在圖中作過P點的等勢線，必通過M、N之間，則可以判斷出M點的電勢比P點的電勢高，故A正確；將負點電荷由O點移動到P點，電勢降低，電場力做負功，故B錯誤；根據U＝Ed，OM＝MN，由圖可知MN區域的場強小于OM區域的場強，可得UMNDIYIZHANG
第一章
第五節　電勢差及其與電場強度的關系
1.理解電勢差的概念，掌握電勢差的表達式，知道電勢差正負號的意義。
2.理解電勢差與電場力做功的關系式，并會進行有關計算(重點)。
3.理解勻強電場中電勢差與電場強度的關系式，并會進行有關計算(重點)。
4.會用公式E＝ 定性分析非勻強電場。
學習目標
一、電勢差
二、電勢差與電場強度的關系
課時對點練
三、利用公式E＝ 定性分析非勻強電場
內容索引
電勢差
一
電場中A、B、C、D四點的電勢如圖所示。
(1)A、B及B、C間的電勢的差值各為多大？哪個較大？
答案　A、B間電勢的差值為φA－φB＝(15－5) V＝10 V
B、C間電勢的差值為φB－φC＝(5－0) V＝5 V
A、B間的電勢的差值大。
(2)若取D點的電勢為零，則A、B、C三點的電勢各為多少？A、B及B、C間的電勢差值又為多少？結果說明什么問題？
答案　φD＝0，φC＝3 V，φB＝8 V，φA＝18 V
φA－φB＝(18－8) V＝10 V
φB－φC＝(8－3) V＝5 V
結果說明，電勢的值與選取的零電勢位置有關，即電勢的值具有相對性，而電勢的差值與零電勢的位置無關，電勢的差值具有絕對性。
(3)將電荷量為q的正電荷，從A移動到D電場力做功的表達式。
答案　WAD＝EpA－EpD＝φAq－φDq＝(φA－φD)q
可見電場力做的功與初末位置的電勢差值有關。
1.電勢差
(1)定義：電場中兩點間電勢的差值叫作電勢差，也叫______，用符號U表示。
(2)表達式：UAB＝________，UBA＝_______，UAB＝______。
(3)電勢差的正、負：電勢差與電勢一樣都是標量，它可以為正值，也可以為負值。若UAB為正值，則表示點A的電勢比點B的電勢____；若UAB為負值，則表示點A的電勢比點B的電勢____。比較電勢差的大小關系時要取絕對值。
2.電場力做功與電勢差的關系____________。
梳理與總結
電壓
φA－φB
φB－φA
－UBA
WAB＝qUAB
高
低
說明：①由UAB＝ 可以看出，UAB在數值上等于單位正電荷由A點移動
到B點時電場力所做的功。
②電勢差UAB反映電場自身在A、B兩點間的性質，與電量q無關，只和電場中A、B位置有關。
③UAB＝ 中，UAB、WAB及q都有正、負之分，計算UAB時，WAB和q的正、
負可直接代入。
④WAB＝qUAB適用于任何電場中電場力做功的計算。
(1)電勢差反映了電場能的性質，決定于電場本身，與試探電荷無關。
(　　)
(2)電勢差的值與零電勢的選取有關。(　　)
(3)電勢差有正、負，所以它是矢量。(　　)
(4)電場中某點的電勢在數值上等于該點與零電勢點之間的電勢差。
(　　)
(5)由U＝ 可知，某兩點電勢差與電場力做功成正比，與電荷量成
反比。(　　)
√
×
×
√
×
　關于電勢差的說法中，正確的是
A.兩點間的電勢差等于電荷從其中一點移到另一點時，電場力所做的功
B.帶電量為1 C的點電荷從電場中的一點移動到另一點，如果電場力做了
1 J的功，這兩點間的電勢差就是1 V
C.在兩點間移動電荷時，電場力做功的多少跟這兩點間的電勢差無關
D.兩點間的電勢差的大小跟放入這兩點的電荷的電量成反比
例1
√
根據UAB＝ 可知，兩點間電勢差的數值等于單位正電荷從其中一點
移到另一點時，電場力所做的功，故A錯誤，B正確；
由于電勢差由電場決定，跟所移動的電荷甚至試探電荷存在與否都無關，所以兩點間的電勢差不變，由公式WAB＝qUAB可知，在兩點間移動電量為q的電荷時，電場力做功的多少跟這兩點間的電勢差成正比，故C、D錯誤。
　有一個帶電荷量為q＝－3×10－6 C的點電荷，從某電場中的A點移到B點，電荷克服電場力做功6×10－4 J，從B點移到C點，電場力對電荷做功9×10－4 J。
(1)AB、BC、CA間電勢差各為多少？
例2
答案　200 V　－300 V　100 V
點電荷從A移到B克服電場力做功，即電場力做負功，
WAB＝－6×10－4 J，則有
則UCA＝UCB＋UBA＝－UBC＋(－UAB)＝100 V。
(2)若取B點電勢為零，則A、C兩點的電勢各為多少？電荷在A、C兩點的電勢能各為多少？
答案　200 V　300 V　－6×10－4 J　－9×10－4 J
若φB＝0，由UAB＝φA－φB，得φA＝UAB＝200 V，
由UBC＝φB－φC，得φC＝φB－UBC＝300 V，
電荷在A點的電勢能
EpA＝qφA＝－6×10－4 J
電荷在C點的電勢能
EpC＝qφC＝－9×10－4 J。
電勢差求解技巧
1.直接代入到電勢差公式中進行運算，會更加便捷，但要注意正、負號的運用。
2.電場中各點間的電勢差可依次用代數方法相加，但要注意角標的排序，如UAD＝UAB＋UBC＋UCD，UAB＝－UBA。
3.利用UAB的正、負能判斷電場中兩點的電勢高低。
總結提升
返回
電勢差與電場強度的關系
二
如圖所示，已知勻強電場的場強大小為E，A、B間距為d，A、B兩點間的電勢差為UAB，將電荷q從A點移動到B點：
(1)從力和位移的角度計算電場力所做的功；通過
A、B間的電勢差計算電場力做的功。
答案　F＝qE，WAB＝Fd＝qEd；WAB＝qUAB。
(2)比較兩次計算的功，電勢差與電場強度有何關系？
答案　UAB＝Ed。
(3)若將電荷從A點移動到C點，仍從(1)中的兩個角度計算電場力做功并比較，能得到什么結論？
答案　WAC＝qELcos θ＝qEd，WAC＝qUAC，得UAC＝Ed。
1.電勢差與電場強度的關系
(1)關系：在勻強電場中任意兩點之間的電勢差等于_____與這兩點沿_____方向的距離的乘積。
(2)關系式：U＝____。
(3)適用條件：_____電場，d不是兩點間的距離，而是沿電場方向的投影距離。
梳理與總結
場強
電場
Ed
勻強
2.電場強度的另一種表達
(1)表達式：E＝____。
(2)物理意義：在勻強電場中，場強在數值上等于沿場強方向距離為____長度的兩點間的電勢差。
(3)場強的另一個單位：_______，符號為_______。1 V/m＝1 N/C。
單位
伏/米
V/m
如圖所示，圖中的虛線為等勢線，B、C、D三點，位于同一等勢線上。
(1)比較A與B、A與C、A與D間電勢差的大小；
討論與交流
答案　UAB＝UAC＝UAD。
(2)電勢沿AB、AC、AD三條線，哪一個方向電勢降落最快？由此說明什么？
答案　電勢差相同的情況下AB距離最短，單位長度電勢差最大，即沿AB方向，電勢降落最快；由此說明沿電場方向電勢降落最快。
(1)由公式E＝ 得電場強度跟兩點的電勢差成正比，跟兩點的距離
成反比。(　　)
(2)勻強電場中沿電場線方向，任何相同距離上電勢降落必定相等。
(　　)
(3)勻強電場中電勢降低的方向必是電場強度方向。(　　)
×
√
×
　(2024·江門市高二期中)如圖所示，在勻強電場中，一電荷量為q＝5.0×10－10 C的正電荷，由a點移到b點和由a點移到c點，電場力做的功都是3.0×10－8 J，已知a、b、c三點的連線組成直角三角形，∠a＝37°，ab＝20 cm(cos 37°＝0.8)。求：
(1)a、b兩點間的電勢差；
例3
答案　60 V　
a、b兩點的電勢差
(2)勻強電場的場強。
答案　375 V/m，電場強度方向由a指向c
因為Uab＝Uac＝60 V
由a點移到b點和由a點移到c點，電場力做的功相等，可知b、c兩點的電勢相等，則在勻強電場中bc為等勢線，因為電場線與等勢線垂直，且正電荷從a點移到c點電場力做正功，所以電場強度方向由a指向c。
返回
利用公式E＝ 定性分析非勻強電場
三
U＝Ed只適用于勻強電場的定量計算，在非勻強電場中，不能進行定量計算，但可以定性地分析有關問題。
(1)在非勻強電場中，U＝Ed中的E可理解為距離為d的兩點間電場強度的平均值。
(2)如圖所示，當電勢差U相同時，電場強度E越大，
則沿電場強度方向的距離d越小，即電場強度越大，
等差等勢面越密。
　(多選)如圖所示為某一電場的電場線和等勢面。已知φa＝5 V，φc＝3 V，ab＝bc，b點電勢為φb，b、d在同一等勢面上。以|Wac|表示帶電量為q的點電荷由a點移到c點過程中電場力做功的大小，|Wdc|表示該點電荷由d點移到c點過程中電場力做功的大小，則
A.φb>4 V B.φb<4 V
C.|Wac|＝2|Wdc| D.|Wac|>2|Wdc|
例4
√
√
由電場線的疏密程度可知ab段上各點電場強度大
于bc段上各點電場強度，由U＝Ed可定性判斷出
Uab>Ubc，即φa－φb>φb－φc，所以φb< ＝4 V，
故A錯誤，B正確；
又因為Uac＝Uab＋Ubc，所以Uac>2Ubc，b、d在同一等勢面上，φb＝φd，故Uac>2Udc，由電場力做功W＝qU，得|Wac|>2|Wdc|，故C錯誤，D正確。
　(多選)(2023·廣州市高二月考)如圖所示，一電場的電場線分布關于y軸(沿豎直方向)對稱，O、M、N是y軸上的三個點，且OM＝MN。P點在y軸右側，MP⊥ON。則
A.M點的電勢比P點的電勢高
B.將負電荷由O點移動到P點，電場力做正功
C.M、N兩點間的電勢差等于O、M兩點間的電勢差
D.在O點靜止釋放一帶正電粒子，該粒子將沿y軸做直線運動
例5
√
√
根據電場線和等勢面在交互處相互垂直
的關系，在圖中作過P點的等勢線，必通
過M、N之間，則可以判斷出M點的電勢
比P點的電勢高，故A正確；
將負點電荷由O點移動到P點，電勢降低，
電場力做負功，故B錯誤；
根據U＝Ed，OM＝MN，由圖可知MN區域的場強小于OM區域的場強，可得UMN在O點靜止釋放一帶正電粒子，根據電場線的分布可知，正電荷一直受到向上的電場力，力與速度在一條直線上，故粒子將沿y軸做直線運動，故D正確。　　　　
返回
課時對點練
四
考點一　電勢差
1.(2024·廣州市高二期末)對于電場中的A、B兩點，下列說法正確的是
A.電勢差的定義式UAB＝ ，說明A、B兩點間的電勢差UAB與電場力做
的功WAB成正比，與試探電荷的電荷量q成反比
B.A、B兩點間的電勢差等于將正電荷從A點移到B點電場力做的功
C.將1 C的正電荷從A點移到B點，電場力做1 J的功，則這兩點間的電勢
差為1 V
D.若在電荷由A點移到B點的過程中，除受電場力外，還受其他力的作用，
則電荷電勢能的變化量的數值不再等于電場力所做的功
√
基礎對點練
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
表達式UAB＝ 是電勢差的比值定義式，A、B兩點間的電勢差UAB由
電場自身決定，與電場力做功、試探電荷的電荷量沒有決定關系，因此不能認為A、B兩點間的電勢差UAB與電場力做的功WAB成正比，與試探電荷的電荷量q成反比，A錯誤；
根據UAB＝ 可知，A、B兩點間的電勢差等于將單位正電荷從A點
移到B點電場力做的功，B錯誤；
1
2
3
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11
12
根據UAB＝ 可知，將1 C的正電荷從A點移到B點，電場力做1 J的功，
則這兩點間的電勢差為1 V，C正確；
根據UAB＝ ，WAB＝－ΔEp電，解得ΔEp電＝－WAB＝－qUAB可知，若
在電荷由A點移到B點的過程中，除受電場力外，還受其他力的作用，則電荷電勢能的變化量的數值仍然等于電場力所做的功，D錯誤。
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12
2.(多選)(2024·廣州市高二期末)關于電勢差，下列說法正確的是
A.電勢差與電勢一樣，是相對量，與零電勢點的選取有關
B.電勢差有正、負之分，是一個矢量
C.由于電場力做功跟移動電荷的路徑無關，所以電勢差也跟移動電荷的
路徑無關，只跟這兩點的位置有關
D.由于UAB＝φA－φB，UBA＝φB－φA，故UAB＝－UBA
√
1
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10
11
12
√
電場中某一位置的電勢是相對的，與零電勢點的選取有關，而電場中兩點間的電勢差等于電勢之差，由電場本身決定，具有絕對性，與零電勢點的選取無關，A錯誤；
電勢差有正、負之分，其正、負表示電勢的高低，是一個標量，B錯誤；
根據UAB＝ 可知，由于靜電力做功跟移動電荷的路徑無關，所以
電勢差也跟移動電荷的路徑無關，只跟這兩點的位置有關，C正確；
電場中兩點間的電勢差等于電勢之差，由電場本身決定，具有絕對性，與零電勢點的選取無關，既有UAB＝φA－φB，UBA＝φB－φA，因此UAB＝－UBA，D正確。
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12
3.(多選)(2023·廣州市高二月考)如圖所示的勻強電場E的區域內，由A、B、C、D、A′、B′、C′、D′作為頂點構成一正方體空間，電場方向與面ABCD垂直，下列說法正確的是
A.A、D兩點間電勢差UAD與A、A′兩點間電勢差UAA′
相等
B.帶正電的粒子從A點沿路徑A→D→D′移到D′點，
電場力做負功
C.帶負電的粒子從A點沿路徑A→D→D′移到D′點，電勢能增加
D.帶電粒子從A點移到C′點，沿對角線A→C′與沿路徑A→B→B′→C′
電場力做功相同
√
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12
√
A、D兩點在同一等勢面上，電勢差UAD＝0，A點
電勢高于A′電勢，A、A′兩點間電勢差UAA′大
于零，所以A、D兩點間電勢差UAD與A、A′兩點
間電勢差UAA′不相等，故A錯誤；
帶正電的粒子從A點移動到D′點，A點電勢高于D′點電勢，UAD′大于零，根據W＝qU可知電場力做正功，故B錯誤；
帶負電的粒子從A點移到D′點，A點電勢高于D′點電勢，UAD′大于零，根據W＝qU可知電場力做負功，電勢能增加，故C正確；
1
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12
帶電粒子從A點移到C′點，沿對角線A→C′與沿路徑A→B→B′→C′，兩個過程初、末位置電勢差相同，根據W＝qU可知電場力做功相同，故D正確。
1
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12
4.(2023·廣州市高二期末)如圖所示，在平行金屬帶
電極板MN的電場中，若將電量為－4×10－6 C的負
點電荷從A點移到M板，克服電場力做功8×10－4 J；
若把該點電荷從A點移到N板，電場力做正功為4×
10－4 J，則：
(1)若將該點電荷從M板附近移到N板，電荷的電勢能變化多少？M、N兩板的電勢差UMN等于多少？
1
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12
答案　減少1.2×10－3 J　－300 V　
依題意負點電荷從A移到M電場力做功
WAM＝－8×10－4 J
從M移到A電場力做功WMA＝－WAM＝8×10－4 J
從M移到N，電場力做功為
WMN＝WMA＋WAN＝8×10－4 J＋4×10－4 J＝1.2×10－3 J
1
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12
代入數據UMN＝－300 V
(2)M板的電勢φM和A點的電勢φA分別是多少？
1
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7
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11
12
答案　－300 V　－100 V
N板接地，φN＝0，故M板的電勢為φM＝UMN＝－300 V
考點二　電勢差與電場強度的關系
5.下列說法中，正確的是
1
2
3
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5
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11
12
√
由E＝ 可知，以點電荷Q為中心，r為半徑的球面上各處電場強度
大小都相同，但是方向不同，故A錯誤；
由E＝ 可知，E越大，沿電場線方向間距為單位長度的兩點間電勢
差越大，即電勢降落越快，故B正確；
電場中某兩點的電勢差是由電場本身決定的，與電場力做功以及電荷所帶電量無關，故C錯誤；
由φ＝ 可知，相同的正電荷具有的電勢能越大的地方，電勢越高，
負電荷則相反，故D錯誤。
1
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11
12
6.(2024·梅州市高二期中)如圖所示，在勻強電場中，將一電荷量為2×10－4 C的負電荷由A點移到B點，其電勢能增加了0.2 J，已知A、B兩點間距離為2 cm，兩點連線與電場方向成60°角，求：
(1)電荷由A移到B的過程中，電場力所做的功WAB；
1
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12
答案　－0.2 J　
因負電荷由A移到B的過程中，負電荷的電勢能增加了ΔE＝0.2 J，所以這個過程中電場力對負電荷所做的功WAB＝－ΔE＝－0.2 J
(2)A、B兩點間的電勢差UAB；
1
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12
答案　1 000 V　
(3)該勻強電場的電場強度E。
1
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11
12
答案　1×105 V/m
7.(2024·黑龍江肇東市第四中學高二月考)下列選項描述的電場線與等勢面之間的關系，實線表示電場線，虛線表示等勢面，其中正確的是
1
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4
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11
12
√
等勢面和電場線處處垂直，根據U＝Ed定性分析可知電場線密集的地方等勢面也密集，故選C。
8.(2024·榆林市高二期中)某一電場中的電場線和等勢面分布如圖所示，在電場中有A、B、C三點，A、B間距離等于B、C間距離。下列說法中正確的是
A.A點電場強度比B點電場強度小
B.正電荷在A點的電勢能比在B點的電勢能大
C.B、A兩點間的電勢差大于C、B兩點間的電勢差
D.負電荷由B向C移動，靜電力做負功
√
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12
根據電場線越密電場強度越大，由題圖可知，
A點電場強度比B點電場強度大，故A錯誤；
根據沿電場線方向電勢降低，A點電勢低于
B點，由公式Ep＝φq可知，正電荷在A點電勢
能小于B點，故B錯誤；
根據U＝Ed定性分析可知，由于AB間電場強
度大于BC間電場強度，則B、A間的電勢差大于C、B間的電勢差，故C正確；
負電荷由B向C移動，靜電力做正功，故D錯誤。
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9.(2022·福建卷)平時我們所處的地球表面，實際上存在場強大小為100 V/m的電場，可將其視為勻強電場，在地面立一金屬桿后空間中的等勢面如圖所示。空間中存在a、b、c三點，其中a點位于金屬桿正上方，b、c等高。則下列說法正確的是
A.b、c兩點間的電勢差Ubc＝0
B.a點場強大小大于100 V/m
C.a點場強方向水平向右
D.a點的電勢低于c點
√
1
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12
能力綜合練
由題圖可知，b、c兩點的電勢差為Ubc＝200 V
－300 V＝－100 V，故A錯誤；
由題圖可知，a點與相鄰兩等勢面的距離小于
1 m，電勢差等于100 V，根據E＝ ，可知a點
場強大小大于100 V/m，故B正確；
根據場強方向垂直于等勢面，可知a點的場強方向沿豎直方向，不是水平方向，故C錯誤；
由題圖可知，a點與c點在同一等勢面上，電勢均為300 V，故D錯誤。
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10.如圖所示是某電場中的三條電場線，C點是A、B連線的中點。已知A點的電勢φA＝30 V，B點的電勢φB＝－20 V，則下列說法正確的是
A.C點的電勢φC＝5 V
B.C點的電勢φC>5 V
C.C點的電勢φC<5 V
D.負電荷在A點的電勢能大于在B點的電勢能
√
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由題圖知，AC段電場線比CB段電場線密，則AC段
平均場強較大，根據公式U＝Ed可知，AC間電勢差
UAC大于CB間電勢差UCB，所以UAC> ＝25 V，
即φA－φC>25 V，又φA＝30 V，可知φC<5 V，故C正
確，A、B錯誤；
負電荷在電勢低處電勢能較大，故D錯誤。
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11.(2023·廣東省高二開學考試)在靜電除塵器除塵原理的示意圖中，a、b是直流高壓電源的兩極，圖示位置的P、M、N三點在同一直線上，且PM＝MN。塵埃在電場中通過某種機制帶上負電，在電場力的作用下向集塵極遷移并沉積，以達到除塵目的。下列判斷正確的是
A.a是直流高壓電源的正極
B.電場中P點的場強小于M點的場強
C.電場中M點的電勢低于N點的電勢
D.電場中P、M間的電勢差UPM等于M、N間的電勢差UMN
√
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12
因為塵埃帶負電，要使塵埃能到達集塵極，則放電
極與集塵極之間的電場方向應向左，故放電極帶負
電，即a為直流高壓電源的負極，A錯誤；
因為放電極端的電場線密，所以P點電場強度大于
M點電場強度，B錯誤；
沿電場線方向電勢降低，故M點的電勢低于N點的電勢，C正確；
根據U＝Ed，雖然PM＝MN，但PM間的電場大于MN間的電場，故PM間的電勢差大于MN間的電勢差，D錯誤。
1
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尖子生選練
12.(2023·河南省商丘市實驗中學高二期中)如圖所示，真空中有一勻強電場(圖中未畫出)，電場方向與圓周在同一平面內，△ABC是圓的內接直角三角形，∠BAC＝60°，O為圓心，半徑R＝2 cm。位于A處的粒子源向平面內各個方向發射初動能均為2 eV、電荷量為＋e的粒子，這些粒子會經過圓周上不同的點，其中到達B點的粒子動能為6 eV，到達C點的粒子動能也為6 eV。忽略粒子受到的重力和粒子間的相互作用，下列說法正確的是
A.UCA＝4 V
B.電場方向由B指向A
C.勻強電場的電場強度大小為200 V/m
D.經過圓周上的所有粒子，動能最大為6 eV
√
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根據題意可知到達B點的粒子動能與到達C點的
粒子動能相等，所以B、C兩點電勢相等，BC連
線為勻強電場的等勢線，根據電場線與等勢線
相互垂直，且電荷量為＋e的粒子從A點運動到
B點動能增大，可知靜電力做正功，粒子一定沿
著電場線方向運動，由此可判斷由A指向B的方向就是該電場的電場強度方向，如圖所示。
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因為φB＝φC，可得UCA＝UBA＝－UAB＝－4 V，故A錯誤；
易知整個圓周上D點電勢最低，則粒子運動到D點動能最大，大于到達B點的粒子動能6 eV，故D錯誤。
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