資源簡介

第八章 整式乘法
8.4乘法公式
第1課時 完全平方公式
本節課是蘇科版初中數學七年級下冊第八章第四節第一課時內容，完全平方公式是初中代數的一個重要組成部分，是學生在已經掌握單項式乘法、多項式乘法的基礎上進行的，完全平方公式的推導是初中數學中運用推理方法進行代數式恒等變形的開端，是從一般到特殊的認知規律的典型范例.
本節課通過計算圖形面積得出完全平方公式，然后利用多項式乘法法則進行推導，進而理解完全平方公式．通過對完全平方公式可以簡化某些整式的運算，為以后的因式分解、分式的化簡、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函數等內容奠定了基礎.因此，完全平方公式在初中階段的教學中具有很重要地位.
學生在學習本節課之前，已具備一定的知識基礎和學習能力．在本節課開始之前，學生已經學習了整式的概念，整式的加減法、乘法，已經經歷了探索和應用的過程，獲得了一些基本的活動經驗，具備了一定的符號意識、推理能力和幾何直觀能力，有了一定的數形結合意識．
1.通過求圖形的面積了解完全平方公式的幾何意義，感知數形結合的思想；
2.會推導完全平方公式，并能運用完全平方公式進行簡單的計算；
3.理解完全平方公式的結構特征，并會利用完全平方公式變形進行計算；
4..經歷探索完全平方公式的過程，發展學生的符號感和推理能力.
重點：會推導完全平方公式，并能運用完全平方公式進行簡單的計算.
難點：理解完全平方公式的結構特征，并會利用完全平方公式變形進行計算．
情境導入
問題：用若干塊如下圖所示的長方形和正方形的地磚，拼成圖3，它的面積是多少？你有哪些不同的算法？
答：方法一：把圖3看成是一個邊長(a+b)為大正方形，則它的面積S=(a+b)2；
方法二：把圖3看成是一個長、寬分別是(a+b)、a和(a+b)、b的2個長方形組成，則它的面積S=a(a+b)+ b(a+b)；
方法三：把圖3看成是由2個小正方形和2個小長方形組成，則它的面積S=a2+2ab+b2.．
追問：三種不同表示面積的代數式之間有什么關系呢？
答：(a+b)2=a(a+b)+ b(a+b)= a2+2ab+b2.．
師生活動：學生獨立思考，學生代表回答．
設計意圖：通過探索圖形的面積，發現完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2．這樣既讓學生對公式有了初步認識，又培養學生的直觀想象素養，讓學生體會數形結合的思想方法．
探究新知
活動一：探究完全平方公式
問題 請運用所學的知識驗證(a+b)2=a2+2ab+b2.．
　　答：
問題 (a b)2=？
答：【方法一】 (a b)2 = (a b)(a b)
= a2 ab ab + b2
= a2 2ab + b2;
【方法二】(a b)2 = [a+( b)]2
= a2+2·a·( b)+( b)2
= a2 2ab +b2．
師生活動：學生獨立思考并回答，教師板書．
設計意圖：學生通過自己的驗證得出完全平方公式，使學生獲得成就感．在探索的過程中鍛煉學生的歸納能力、語言表達能力．兩數差的平方公式的推導讓學生一題多解，發散了學生的思維，同時讓學生體會類比思想．
活動二：完全平方公式
【完全平方公式】 (a+b)2 = a2+2ab+b2 （兩數和的完全平方公式）
(a b)2 = a2 2ab+b2（兩數差的完全平方公式）
問題 誰能用文字語言描述完全平方公式嗎？
答：兩個數的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.
問題 完全平方公式有什么特點？
答：①等號左邊是兩個數的和（或差）的平方；
②等號右邊是一個二次三項式，其中首末兩項分別是兩數的平方，中間項是兩數積的2倍，其符號與左邊的運算符號相同.
師小結：（口訣）首平方，尾平方，積的2倍在中央，符號與前一個樣.
師生活動：師引導學生分析，學生交流、理解、傾聽、記憶．
設計意圖：通過總結完全平方公式的符號和文字語言，讓學生熟練記憶公式，有利于學生正確地利用公式進行計算．此時也讓學生對兩個公式特點進行討論歸納，總結得到口訣：首平方，尾平方，積的2倍在中央，符號與前一個樣.
應用新知
例1 用完全平方公式計算：
(1) (5＋3p)2； (2) (2x－7y)2； (3) (－2a－5)2 .
答：(1) 原式= 52＋2·5·3p＋(3p)2
= 25＋30p＋9p2；
(2) 原式= (2x)2－2·2x·7y＋(7y)2
= 4x2－28xy＋49y2；
(3) 原式= (－2a)2＋2·(－2a)·(－5) ＋(－5)2
= 4a2＋20a＋25.
思考：(a+b)2與( a b)2相等嗎？
答：相等.理由：( a b)2 = [－(a＋b)]2 = (－1)2·(a＋b)2= (a＋b)2.
師小結：互為相反數的兩數平方相等，如：(a+b)2= ( a b)2 ，(a b)2=(b a)2.
(－2a－5)2 = (2a＋5)2= (2a)2＋2·2a·5＋52= 4a2＋20a＋25.
師小結：①計算時，要與完全平方公式對照，明確個是a， 哪個是b.
②完全平方公式中的a、b可是具體數，也可以是單項式或多項式；
③正確使用公式， 不丟項、 不弄錯符號、不漏乘2；
④遇到如 ( 2a 5)2時，先變形為(2a＋5)2，再化簡會更方便.
例2 用完全平方公式計算：1992.
答：1992= (200 1)2= 2002 2×200×1+12= 40000 400+1= 39601.
師生活動：學生先獨立思考，然后指定學生板演，全班交流.
設計意圖：通過例1、2講解，及時練習鞏固所學，培養學以致用、積極思考的習慣，提升學生計算能力．讓學生理解運用完全平方公式計算時注意事項.
例3 若m＋n＝3，mn＝2，求(m－n)2的值.
答：∵m＋n＝3，∴(m＋n)2＝32，即m2＋2mn＋n2＝9
∵mn＝2，∴m2＋n2＝5
∴(m－n)2＝m2－2mn＋n2＝(m2＋n2)－2mn＝5－2×2＝1.
師小結：完全平方公式可變形運用，即在m＋n、mn、m－n、m2＋n2這四個量中，已知其中兩個量，能求出另外兩個量.
師生活動：學生思考后交流，師生總結．
設計意圖：通過例3，不僅讓學生深入認識完全平方的結構特點，還可以發揮學生作為教學主體的主動性，讓學生感受數學公式的變形美：完全平方公式可變形運用，即在m＋n、mn、m－n、m2＋n2這四個量中，已知其中兩個量，能求出另外兩個量．
探究 一個奇數的平方一定是奇數嗎？請說明理由.
思考：一個奇數要怎么表示呢？2n+1(n是整數)）
答:一個奇數的平方一定是奇數.
理由：設一個奇數是2n＋1(n是整數).
(2n＋1)2 = (2n)2＋2·2n·1＋12= 4n2＋4n＋1.
∵n是整數，∴n2也是整數，∴4n2、4n都是偶數，∴4n2＋4n＋1是奇數.
師生活動：學生先獨立思考，再小組交流討論，匯報．
設計意圖：通過此探究，不僅有助于鞏固完全平方公式，還能培養學生的數學推理能力、奇偶性理解能力、探究興趣和數學語言表達能力，同時拓展學生的數學思維.
探究 計算(a+b+c)2.
方法一：幾何法
邊長為a+b+c大正方形的面積，即(a+b+c)2；
大正方形的面積還可看成是3個小正方形與6個長方形的面積之和.
因此，(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.
方法二：多項式乘法法則
(a+b+c)2 = (a+b+c)(a+b+c)= a2+ab+ac+ba+b2+bc+ca+cb+c2
= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.
方法三：完全平方公式
(a+b+c)2 = [(a+b)+c]2= (a+b)2+2·(a+b)·c+c2= a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.
師總結： (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.
三個數的和的平方，等于它們的平方和，加上任意兩數的積的2倍.
師生活動：學生先獨立思考，再小組交流討論，共同探究．
設計意圖：通過此探究，進一步培養學生綜合運用知識來解決問題的能力．讓學生在小組討論中合作交流，拓寬解題思路．特別要激發學生用數形結合思想解題，它既能簡化推理和運算，又使抽象問題直觀化，復雜問題簡單化，具有直觀、快捷的優點．
課堂練習
1. 用完全平方公式計算：
(1) (1＋x)2； (2) (y－3)2； (3) (－3x+2)2； (4) (x－y)2 .
解:(1) 原式= 12＋2·1·x＋x2= 1＋2x＋x2；
(2) 原式= y2－2·y·3＋32 = y2－6y＋9；
(3) 原式= (3x－2)2= (3x)2－2·3x·2＋22= 9x2－12x2＋4；
(4) 原式= (x)2－2·x·y＋(y)2 = x2－xy＋y2 .
2. 填空：
(1)(a＋ )2 ＝ a2＋4ab＋4b2；
(2)(2a＋ )2 ＝ 4a2＋4ab＋b2；
(3)(3x－ )2 ＝ 9x2－12xy＋ ；
(4)(－x－ )2 ＝ x2＋ ＋1.
答：(1)2b；(2)b；(3)2y，4y2；(4)±1，±2x.
3. 邊長為a m(a>6)的正方形花圃，如果邊長減少6m，那么花圃的面積減少了多少？
答: a2－(a－6)2 = a2－(a2－12a＋36)= a2－a2＋12a－36 = 12a－36.
答：花圃的面積減少了(12a－36)m2.
師生活動：學生獨立完成，學生互評互糾，教師巡視并個別指導.
設計意圖：通過課堂練習鞏固新知，加深對完全平方公式的熟練運用.特別地，當中間項系數的符號不確定時，可正可負，需要分類考慮.
限時訓練
1.下面的計算是否正確？如果錯誤，請改正.
(1) (x＋y)2＝x2＋y2； （ ）　
(2) (－m＋n)2＝－m2＋n2； （ ）　　
(3) (a2＋1)2 ＝ a4＋2a2＋1； （ ）
(4) (－a－1)2＝－a2－2a－1. （ ）　　
答：(1)×，(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2 ；(2)×，(－m＋n)2＝(m－n)2＝m2－2mn＋n2；
(3)√；(4)×，(－a－1)2＝(a＋1)2＝a2＋2a＋1.
2. 用完全平方公式計算：
(1) (2＋x)2； (2) (x－y)2； (3) (－2a2－5)2； (4) 2012 .
答:(1) 原式= 22＋2·2·x＋x2= 4＋4x＋x2；
(2) 原式= x2－2·x·y＋(y)2 = x2－xy＋y2；
(3) 原式= (2a2＋5)2 = (2a2)2＋2·2a2·5＋52= 4a4＋20a2＋25；
(4) 原式= (200＋1)2 = 2002＋2×200×1+12 = 40000＋400+1= 40401.
3. 已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝9，求xy，x2＋y2的值.
答: ∵ (x＋y)2－(x－y)2
= (x2＋2xy＋y2)－(x2－2xy＋y2)
= x2＋2xy＋y2－x2＋2xy－y2
= 4xy，
∴ 4xy = 25－9 = 16，
∴ xy = 4.
∵ (x＋y)2＋(x－y)2
= (x2＋2xy＋y2)＋(x2－2xy＋y2)
= x2＋2xy＋y2＋x2－2xy＋y2
= 2x2＋2y2，
∴2x2＋2y2 = 25＋9 = 34，
∴x2＋y2=17.
師生活動：學生獨立完成，指定學生回答.
設計意圖：通過限時訓練鞏固新知，加深對本節課的理解及應用.
歸納總結
師生活動：師生共同總結.
設計意圖：通過歸納總結，幫助學生梳理知識，形成體系，加深對完全平方公式的理解和記憶.讓學生反思學習過程，培養反思和總結能力.通過教師強調和鼓勵，引導學生重視知識鞏固應用，提高學習積極性和主動性.
本節課通過計算圖形面積得出兩數和的完全平方公式，這樣情境創設有助于學生形象直觀認識兩數和的完全平方公式．通過多項式相乘法則進一步推導該公式，驗證它的正確性．引導學生自主推導兩數差的完全平方公式，讓學生自己兩數和與兩數差的完全平方公式之間的聯系，以增強學生探究和解決問題的能力.
本課時選擇了一些典型的計算兩數和或差的完全平方的例子，通過逐步分析和解答，幫助學生理解并掌握計算方法.學生在解題時容易產生符號問題、公式代入問題等，因此應該更多地讓學生自己嘗試計算，而不是僅僅依賴于老師的講解，從而提高學生的獨立解題能力.
同時，本課時還選擇了公式變形題、兩個探究題，這些都需要綜合運用知識來解決問題，對學生提出了較高的要求，但是學生在小組討論中合作交流，達到拓寬解題思路、激發學習興趣的目的.第八章 整式乘法
8.4乘法公式
第2課時 平方差公式
本節課是蘇科版初中數學七年級下冊第八章第四節第二課時．從知識體系上看,本節內容屬于數與代數體系之下.上一課進行了完全平方公式的探索,提供乘法公式探索的經驗和路徑基礎,而本節課所學平方差公式在教材后續因式分解、分式運算及其它代數式的變形相關內容中都有著舉足輕重的地位,是構建學生代數知識結構,培養學生的化歸的數學思想和換元的數學方法的重要載體,在教材中起著承上啟下的作用.
在本課時中，教材主要分為探究活動、討論環節、平方差公式的基礎運用及簡便運算中的運用四個部分，適合學生進行探究式學習，在探究及討論中感受數形結合的思想，培養符號意識和運算能力.在教學中鼓勵學生積極參與教材中的活動，自主進行代數證明、概括等活動.在例題教學中補充適量變式練習及小結概括.
學生在學習本節課之前,已具備一定的知識基礎和學習能力．學生已經掌握了單項式乘以單項式、單項式乘以多項式以及多項式乘以多項式的運算法則，具備了一定的計算能力和數學思維能力,并在《完全平方公式》中進行過類似的探索,已掌握通過探索圖形及代數推理猜想、證明乘法公式的能力.該年齡階段學生個性活潑、思維活躍,已初步具有對熟悉問題進行合作探究的能力 .在思維能力方面,能較好地利用數形結合的思想解決一些數方面具有一定抽象思維的問題.
但同時，局限于抽象思維的發展尚未成熟，學生在學習過程中可能會出現對公式結構特征理解不透徹，導致在應用時出現錯誤的情況.因此，在教學過程中，要注重讓學生通過實例來感受公式的合理性和實用性，加深對公式的理解和記憶.另外，對于公式的推導和應用，學生可能會存在一定的困難，需要教師引導學生通過觀察、比較、歸納等方法來理解和掌握。
1.能推導平方差公式，了解平方差公式的幾何背景，并能利用平方差公式進行簡單計算.
2.經歷探索平方差公式的過程，知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性.
3.掌握公式的形式特征，會識別算式的結構，能靈活運用平方差公式解決較復雜的問題.
重點：能推導平方差公式，了解平方差公式的幾何背景，并能利用平方差公式進行簡單計算.
難點：掌握平方差公式的形式特征，能靈活運用平方差公式解決較復雜的問題.
情境導入
從前有一個地主,他把一塊長為a米的正方形的土地租給張大爺種植,有一天,他對張大爺說：“我把這塊地的一邊減少5米,另一邊增加5米,繼續租給你,你也沒有吃虧,你看如何 ”
問題：同學們, 你們認為張大爺應該接受嗎？
答：不應該,因為地主給張大爺地變少了.
問題：誰能向張大爺解釋清楚原因？
答：方法1：張大爺原來地的面積是a2平方米,現在變成了(a+5)(a－5)平方米,
(a+5)(a－5)=a2－5a+5a－25=a2－25(平方米）.因為a2－25＜a2,所以現在的地比張大爺原來的地小.追問：還可以怎么解釋呢？（課件出示演示動畫）
答：現在的地沒有原來的大.
師生活動：教師展示情境,學生齊答,獨立思考,舉手回答．
設計意圖：在實際背景中創設情境,激發學生的學生興趣,培養學生的數學表達能力．出現平方差公式的形式,引發學生思考,逆向使用新授中圖形,幫助學生后續聯想.
探究新知
活動一：探究平方差公式
問題：如圖,在邊長為a的正方形紙片上剪去一個邊長為b(b < a)的小正方形,計算剩余部分的面積.
答：剩余部分的面積為a2－b2.
問題：如圖,將剩余部分剪開拼成一個長方形,計算這個長方形的面積.
答：這個長方形的面積(a+b)(a－b) .
問題：由上述操作,你能得到怎樣的等式
答：(a+b)(a－b)= a2－b2
問題：你還有其他方法計算剩余部分的面積嗎
答：如圖,分成兩個梯形,再進行拼合，
=a2－b2.
師生活動：學生獨立思考,舉手回答,教師板書．
設計意圖：本環節通過等面積法得出平方差公式，并借助圖形的直觀，幫助學生感知、理解公式，為后續通過代數證明推導公式提供認識基礎.同時，在教學過程中滲透數形結合的思想，為學生解決同類問題提供方法和路徑.
活動二：證明平方差公式
問題：你能用代數的方式證明(a+b)(a－b)= a2－b2嗎？
答：(a+b)(a－b)= a2－ab+ab－b2= a2－b2.
師追問：誰能用文字語言描述(a+b)(a－b)= a2－b2呢？
答：兩數和與這兩數差的積等于這兩數的平方差．
師總結：平方差公式：(a+b)(a－b)= a2－b2.
用語言敘述為：兩數和與這兩數差的積等于這兩數的平方差．
討論：平方差公式有什么特點？
師小結：1.等號左邊是兩個二項式的積，且在兩個二項式中有一項為相同項,另一項（b與－b）互為相反項；2.等號右邊是相同項的平方減去相反項的平方.
完全平方公式、平方差公式通常叫作乘法公式..
師生活動：學生獨立思考,舉手回答,教師歸納總結．
設計意圖：本環節以問題為線索,讓學生在動口、動手、動腦的活動中學習知識,讓學生進一步理解“探索發現—歸納驗證—應用拓展”這一學習與研究數學問題的方法.多鼓勵學生用自己的語言大膽表達自己的意見,培養學生的表達能力和總結能力,讓學生學會用數學思維思考,用數學的語言表達.
應用新知
例1 用平方差公式計算：
（1）(5x＋y)(5x－y)； （2）(2n＋m)(－m＋2n)； （3）(3y－x)(－x－3y).
答：（1）(5x＋y)(5x－y)
= (5x)2－y2
= 25x2－y2；
（2）(2n＋m)(－m＋2n)
= (2n＋m)(2n－m)
= (2n)2－m2
= 4n2－m2；
師提示：只要把5x看作平方差公式中的a,把y看作b,把（2）中的2n看作平方差公式中的a,m看作b,就都可以用平方差公式進行計算.
（3）(3y－x)(－x－3y)
= (－x＋3y)(－x－3y)
= (－x)2－(3y)2
= x2－9y2；
師總結：1.公式中的a與b可以是數也可以是單項式、多項式.
2.正確判斷哪個數為a,哪個數為b（與位置、自身性質符號無關,兩因式中的兩對數是否有一個數完全相同,而另一個數是相反數）.（同平方—異平方）
師生活動：學生獨立思考，然后指定學生板演示范．
設計意圖：通過例題講解,進一步觀察式子兩邊的特點,幫助學生明確哪一個是公式中的“a”,哪一個是公式中的“b”,進一步體會平方差中a,b的含義,引導學生意識到應用公式的關鍵是找出相等的“項”和符號相反的“項”,幫助學生靈活掌握的轉變．
例2 用平方差公式計算： 301×299.
變式 用簡便方法計算: 20×19 .
答：例2 301×299
= (300＋1)×(300－1)
= 3002－12
= 90000－1
= 89999,
變式 20×19
= (20＋)×(20－)
= 202－()2
= 400－
= 399．
師生活動：教師板演示范,學生模仿．
設計意圖：讓學生感受平方差公式對減少運算量的幫助,提升學生計算能力及靈活運用平方差公式的能力,感受數學簡潔之美．通過變式訓練及講解,及時練習鞏固所學,培養學以致用、積極思考的習慣．
課堂練習
1.下面的計算是否正確 如有錯誤,請改正.
(1)(x+2)(x－2)=x2－2;
(2)(x+y)(y－x)=x2－y2.
2. 計算:
（1）(1＋x)(1－x)； （2）(a＋4b)(a－4b)；
（3）(3＋a)(3－a)； （4）(x－2y)(－x－2y).
3.填空:
(1)(x+ )(x－ )=x2－25;
(2)(m+ )(m－ )=m2－36n2;
(3)(a+2b)( )=4b2－a2;
(4)( )(1－x2)=x4－1.
答：1. 錯，(x+2)(x－2)=x2－4; 錯，(x+y)(y－x)= (y+x)(y－x)=y2－x2.
2.（1）(1＋x)(1－x)
= 12－x2
= 1－x2；
（2）(a＋4b)(a－4b)
= a2－(4b)2
= a2－16b2；
（3）(3＋a)(3－a)
= 32－a2
= 9－a2；
（4）(x－2y)(－x－2y)
= (x)2－(2y)2
= x2－4y2.
3. 5，5；6n，6n；2b－a；－1－x2.
限時訓練
1. 用簡便方法計算:
（1）852－152 ； （2）．
2.若x2－y2 = 8, y－x = 4,求 x＋y.
3.計算：(2－1)×(2＋1)×(22＋1)×(24＋1)×(28＋1)× ···×(21024＋1) .
答：1. （1）852－152
= (85+15)×(85－15 )
=100×70
=7000；
（2）20242－2023×2025
= 20242－(2024－1)×(2024+1)
= 20242－ (20242－12)
= 20242－20242+1
=1．
2.解：因為(x＋y)(x－y) = x2－y2,且x2－y2 = 8,y－x = 4,所以(x＋y) ×(－4) = 8,x＋y =－2.
3.解： (2－1)×(2＋1)×(22＋1)×(24＋1) × (28＋1)× ··· ×(21024＋1)
= (22－1)×(22＋1)×(24＋1)×(28＋1)× ··· × (21024＋1)
= (24－1)×(24＋1)×(28＋1)× ··· × (21024＋1)
=···
= (21024－1)×(21024＋1)
= (21024)2－12
= 22048－1.
師生活動：學生獨立完成,指定學生回答.
設計意圖：通過課堂練習鞏固新知,加深對本節課的理解及應用.
歸納總結
設計意圖：通過歸納總結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
實踐作業
小區廣場由兩個正方形和一個三角形區域組成，為改善居住環境決定進行改造，新增如圖四邊形綠地,小明想知道綠地的面積.已知兩個正方形區域面積差為120m2.請通過平方差公式幫助小明計算綠地的面積.
本節課通過學生的自主探究,加深對平方差公式的理解,對于平方差公式的教學要重視結果更要重視其發現過程,避免 “講公式、用公式、練公式、背公式”學生被動學習的局面.
要鼓勵學生研究和發現平方差公式的特點,理解平方差公式只是多項式乘以多項式的一類特例,并聯想是否還有其他特例,為后繼學習作準備.并在此基礎上,讓學生用代數推理的辦法驗證自己的猜想,引導學生意識到數學的嚴謹性,提升學生的科學精神.
在鞏固運用中,要關注學生整式乘法的技能發展.得到平方差公式后,要盡可能的讓學生用自己的方式表達平方差公式,用自然語言表達,用符號語言表達,用幾何語言表達（給出幾何解釋），進一步體會數形結合思想.
運用平方差公式進行一些簡便運算,是對學生掌握公式的一個很好的檢驗,要注意讓學生自主探究,不要急于告訴結果.對于公式中的字母不必急于進行變式練習,但一開始就要引導學生站在代數式角度去理解公式中字母的廣泛含義.第八章 整式乘法
8.4乘法公式
第3課時 乘法公式的綜合運用
本節課是蘇科版初中數學七年級下冊第八章《整式的乘法》第四節第三課時，是本小節最后一項內容，也是本章的最后一項內容，在復習兩個乘法公式的同時，幫助學生理解并靈活運用相關乘法運算．從知識體系上看，在七年級上冊中已經學習在代數式范圍內乘法交換律、結合律的運用及去括號的法則，本章節中已學習了單項式和單項式相乘、單項式和多項式相乘、多項式和多項式相乘的運算法則及平方差公式和完全平方公式這兩個乘法公式，本課時在此基礎上進行一些公式應用的區分及綜合運用的訓練，對后續學習因式分解、分式等具有舉足輕重的作用.
學生在學習本節課時，已具備一定的知識基礎和學習能力．在學習本節內容前，學生在前兩課時已經經歷了平方差公式和完全平方公式的推導過程，以及運用這兩種公式進行簡單運算，對乘法公式有了基本的理解，可以使用及區分這兩個公式并進行基本應用，但在靈活應用上還有些困難.從學生心理來看，初中階段的學生好動，注意力易分散，愛發表見解，希望得到老師和同學的肯定，所以在教學中應抓住這些特點，創造條件，發揮學生學習的主動性.
1.能正確地根據題目的要求選擇不同的乘法公式進行運算；
2.能選擇恰當運算律及數學思想方法，對可使用乘法公式的算式進行簡便運算，提升計算能力；
3.通過對乘法公式綜合運用的訓練，提升學生分析、解決問題的能力，培養學生實事求是、科學嚴謹的學習態度.
重點：能正確地根據題目的要求選擇不同的乘法公式進行運算.
難點：能選擇恰當運算律及數學思想方法，對可使用乘法公式的算式進行簡便運算，提升計算能力.
復習導入
問題：回憶完全平方公式，完成下列填空.
完全平方公式：_________________________ ；
語言敘述為: _________________________ ；
公式的特點：_____________________________________________________________________.
答：完全平方公式：(a±b) 2=a2±2ab+b2；兩數和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們的積的2倍;公式左邊是一個二項式的完全平方，公式右邊是二次三項式，其中首尾兩項是公式左邊二項式中每一項的平方，中間一項是左邊二項式中兩項乘積的2倍．
問題2：回憶平方差公式，完成下列填空.
平方差公式：_________________________ ；
語言敘述為: _________________________ ；
公式的特點：_____________________________________________________________________.
答：平方差公式：(a+b)(a－b)=a2－b2；兩數和與這兩數差的積等于這兩數的平方差；公式左邊是兩個二項式的積，在這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數，公式右邊是左邊兩個二項式中相同項與相反數項的平方差．
師生活動：學生獨立思考，分組討論，各組代表發言．
設計意圖：通過學生互助共同復習乘法公式及其語言敘述、特點等，為題目的訓練提供理論基礎，同時通過熟悉內容的回顧減輕學生對公式綜合運用的恐懼心理．
探究新知
活動一：探究平方差公式的多次運用
問題：計算：
(1) (x－1)(x＋1) （2） (x2－1) (x2＋1).
答：(1)原式 = x2－1，(2)原式 =x4－1；
問題：觀察兩個算式，發現了什么？
答：兩題都滿足平方差公式的特征，可以直接運用平方差公式計算.(1)計算結果是(2)算式的一部分..
問題2：計算
；
(x＋1)(x－1)(x2＋1).
答：原式 = (x2－1)(x2＋1)=x4－1.
師生活動：學生獨立思考，指定學生回答，然后全班集體交流.
設計意圖：引導學生養成先觀察算式的結構特點，只要算式滿足平方差公式的特點就可以反復多次使用.
活動二：平方差與完全平方公式的綜合運用
問題：計算:(x＋3)2(x－3)2.
答：方法1 原式 =(x2＋2·x·3＋32) (x2－2·x·3＋32)
=(x2＋6x＋9) (x2－6x＋9)
= x2·x2－x2·6x＋x2·9＋6x·x2－6x·6x＋6x·9＋9·x2－9·6x＋9×9
= x4－18 x2＋81.
方法2 原式 =[(x＋3)(x－3)]2
= (x2－9)2
= (x2)2－2·x2·9＋92
= x4－18 x2＋81
師追問：你認為哪種方法更簡單？什么情況下可以這么做？
答：第二種更簡單；通過觀察，兩個二項式中有一項完全相同,另一項互為相反數，擁有構造平方差公式的條件，可以通過積的乘方運算的性質的逆用，使運算更簡單.
師小結：觀察算式發現，有的項相同，有的項互為相反數時，擁有構造平方差公式的條
件，可以通過適當的變形讓其滿足平方差公式的特征.
探究 如何用平方差公式計算(x＋y－3)(x－y＋3)？
師提問：觀察算式有什么特點呢？
答： “x”為相同項，“y”和“－y”、“－3”和“3”為相反項.
問題：怎樣變形才能滿足平方差公式的特點呢？
答：原式 =[x＋(y－3) ] [x－(y－3 )] ，將“y－3”看做整體可以運用平方差公式，展開為 x2－（y－3) 2.
師小結：通過添括號，將其變形成平方差公式的形式.
答：原式 =[x＋(y－3) ] [x－(y－3 )]
=x2－(y－3) 2
=x2－(y2－6y+9) 2
=x2－y2+6y－9.
問題：方法1中出現(x2＋6x＋9) (x2－6x＋9)，觀察兩個多項式的項有什么特點？
答：每項絕對值對應相等,其中 “x2”、“9”為相同項，“＋6x”和“－6x” 為相反項.
問題： (x2＋6x＋9) (x2－6x＋9)可以使用乘法公式計算嗎？
答：原式 = (x2＋9＋6x) (x2＋9－6x) ，將“x2＋9”看作整體可以運用平方差公式，展開為( x2＋9) 2－（6x) 2.
答：原式 = (x2＋9＋6x) (x2＋9－6x) =( x2＋9) 2－（6x) 2=x4－18x2＋81.
師小結：運算前，先觀察算式特征，選擇適當乘法公式進行運算,有時需要多次運用乘法公式進行計算.
師生活動：學生獨立思考，舉手回答，教師歸納總結．
設計意圖：引導學生養成先觀察算式，根據算式的結構特點選擇適當的乘法公式是進行簡便運算的關鍵，有些整式的乘法需要先適當變形，然后再用乘法公式進行計算，讓學生意識到靈活變形的重要性.
應用新知
例1 計算：
(1)(x－3)(x＋3)(x2＋9) ； (2) (2x＋3)2(2x－3)2 .
答：解： (1)原式 = (x2－9)(x2＋9)
= x4－81；
(2)原式 =[(2x＋3)(2x－3)]2
= (4x2－9)2
= (4x2)2－2·4x2·9＋92
= 16x4－72 x2＋81.
變式1 計算:
(1) (x＋1)(x－1)(x2＋1)(x4＋1) ； (2) (m＋2n)2(m－2n)2 .
答： (1)原式 = (x2－1)(x2＋1) (x4＋1)
=（x4－1）(x4＋1)
= x8－1；
(2)原式 =[ (m＋2n)(m－2n)]2
= (m2－4n2)2
= (m2)2－2·m2·4n2＋(4n2)2
= m4－8m2n2＋16n4.
例2 計算:
(1) (2a＋b)(b－2a)－(a－3b) ; (2) (x＋y＋4)(x＋y－4).
答： (1)原式 = (b＋2a)(b－2a)－(a－3b)
= b2－4a2－(a2－6ab＋9b2)
= b2－4a2－a2＋6ab－9b2
= －5a2＋6ab－8b2 ;
(2)原式= [(x＋y)＋4 ][ (x＋y)－4]
= (x＋y)2－42
= x2＋2xy＋y2－16 .
師提示：把(x+y)看作整體，可運用平方差公式.
師生活動：學生先獨立思考，然后師指定學生板演，全班集體交流.
設計意圖：通過例題講解，及時練習鞏固所學，培養學以致用、積極思考的習慣．創設應用情境，讓學生結合探究結論對乘法公式進行綜合運用，提升學生計算能力．
課堂練習
1. 計算：
(1)a2+(b－a)(b+a)；
(2)(a－1)(a+1)(a2－1)；
(3)(3x+1)2(3x－1)2；
(4)(x－y+z)(x－y－z)．
2. 計算:
（1） (2a－b)2－4(a+b)(a－b); （2）3(x+y)(－x－y)－(3x+y)(－3x+y).
3. 如圖，4塊完全相同的長方形圍成一個正方形，用不同的代數式表示圖中陰影部分的面積，由此，你能得到怎樣的等式？試用乘法公式說明這個等式成立．
答：1. （1）原式＝a2+b2－a2＝b2；
（2）原式＝(a2－1)(a2－1)＝(a2－1)2＝a4－2a2+1；
（3）原式＝[(3x+1)(3x－1)]2＝(9x2－1)2＝81x4－18x2+1；
（4）原式＝(x－y)2－z2＝x2－2xy+y2－z2；
2. （1） 原式＝4a2 －4ab+ b2－4(a2－b2) ＝4a2 －4ab+ b2－4a2+4b2＝－4ab+5b2;
（2） 原式＝－3(x+y) 2－[y2－(3x) 2] ＝－3(x 2 +2xy +y 2) －(y2－9x2)
＝－3x 2－6xy－3y 2－y2+9x2＝6x2－6xy－4y 2；
表示方法1：4塊小陰影部分的面積相等，每塊面積為ab，則陰影部分的面積為4ab．表示方法2：陰影部分的面積等于大正方形的面積減去里面空白小正方形的面積，即(a+b)2－(a－b)2．
等式：4ab＝(a+b)2－(a－b)2，
說明：(a+b)2－(a－b)2＝a2+2ab+b2－(a2－2ab+b2)＝4ab．
限時訓練
1. 當x=1時，求(－x+2)(x－2)+(x+1) 的值.
2.若a4=3，b4=2，求(a－3b)2(a+3b)2+18a2b2的值.
3. 若(x+2y)(x－2y)＝bx2－ay2，求(2a+b+3)(2a+b－3)－(2a+b)(2a－b)的值．
4. 從邊長為a的正方形中減掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．
（1）上述操作能驗證的等式是 　 ?。?br/>A．a2－2ab+b2＝(a－b)2
B．a2－b2＝(a+b)(a－b)
C．a2－ab＝a(a－b)
（2）運用從（1）的等式，完成下列各題：
①已知：a－b＝3，a2－b2＝21，求a+b的值；
②計算：．
答：1. (－x+2)(x－2)+(x+1)
=－(x－2) +(x+1)
=－(x2－4x+4)+ x2+2x+1
=－x2+4x－4+ x2+2x+1
=6x－3.
當x=1時，原式=6×1－3=3.
2.(a－3b)2(a+3b)2+18a2b2
=[(a－3b)(a+3b)] 2+18a2b2
=(a2－9b2)2+18a2b2
= a4－18a2b2+81b4+18a2b2
= a4+81b4；
當a4=3，b4=2時，原式=3+81×2=165.
3. (2a+b+3)(2a+b－3)－(2a+b)(2a－b)
＝(2a+b)2－9－4a2+b2
＝4a2+4ab+b2－9－4a2+b2
＝4ab+2b2－9，
因為(x+2y)(x－2y)＝bx2－ay2，
所以x2－4y2＝bx2－ay2，
所以b＝1，a＝4，
當b＝1，a＝4時，原式＝4×4×1+2×12－9＝16+2－9＝9.
4. （1）圖1中陰影部分的面積可以看作兩個正方形的面積差，即a2－b2，拼成的圖2是長為a+b，寬為a－b的長方形，因此面積為(a+b)(a－b），
所以有a2－b2＝(a+b)(a－b），
故答案為B；
（2）①因為a－b＝3，a2－b2＝21，a2－b2＝(a+b)(a－b），
所以21＝(a+b）·3，
所以a+b＝7；
②原式
．
師生活動：學生獨立完成，教師批閱.
設計意圖：通過課堂練習鞏固新知，加深對本節課的理解及應用.
歸納總結
設計意圖：通過歸納總結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
本課的教學內容基于整式乘法、平方差公式、完全平方公式、有理數的四則混合運算、冪的運算性質、合并同類項、去括號以及整式的加減等知識，綜合性較強，在教學過程中，需要確保學生已經牢固掌握這些基礎知識，對薄弱部分及時進行補充及鞏固.
由于本課有一定綜合性，且相較前面課時難度有所上升，需要關注講解是否清晰明了，學生是否能夠跟上節奏并理解內容.課堂上，教師應鼓勵學生積極參與討論和提問，尤其如新知探究中兩個活動及探究的環節，增加更多的互動環節來提高課堂效果，通過小組內討論、組間補充等方式，激發學生的學習興趣和主動性，減少部分學生獨立思考未能有所收獲的挫敗感.
本課教材提供多樣化的例題，包括多次利用平方差公式、同時利用兩種乘法公式的綜合運用類例題，以及加入混合運算、整體思想等乘法公式的拓展運用類例題，學生初次接觸這些題型需要通過大量的練習來鞏固.教師應適當補充包括基礎題、提高題和綜合應用題等，提供充足練習機會，滿足不同層次學生的學習需求.同時，應加強巡視及時給予反饋，指出學生的錯誤并提供正確的解題方法.

展開更多......

收起↑