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第十章　靜電場中的能量
10.3　電勢差與電場強度的關系
目 錄
1
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電勢差與電場強度的關系
小結與練習

問題導入
　　如果只畫出帶電體空間分布的電場線和等勢面的剖面圖，等勢面就成了等勢線。圖中每相鄰的兩條等勢線之間的電勢差是相等的。電場線密的地方等勢線也密，電場線稀疏的地方等勢線也稀疏。這是為什么呢？電場線是描述電場強度的，等勢線是描述電勢的，那么電場強度是否與電勢存在什么關系呢？
電勢差與電場強度的關系
01
1
電場的兩大性質
電場力的性質
電場能的性質
？
力
能
功
2
電勢差與電場強度的關系
　　在電場強度為 E 的勻強電場中，將電荷量為 q 的電荷從 A 點移動到 B 點，靜電力做功是多少？A、B 兩點間的電勢差為UAB 。
A
B
d
E
q
　　 WAB＝F |AB|＝qE |AB|＝qEd；
WAB＝ EpA－ EpB ；WAB＝qφA －qφB＝q（φA－φB）＝qUAB
WAB＝ qEd ＝qUAB
2
電勢差與電場強度的關系
　　通過“功”這個媒介我們推導出了，電勢差與電場強度的關系：
UAB＝Ed
即：勻強電場中兩點間的電勢差等于電場強度與這兩點沿電場線方向的距離的乘積。
2
電勢差與電場強度的關系
　　如圖所示，如果，A、B 兩點不在同一條直線上，還能得出上述結論嗎？
A
B
d
E
q
l
θ
靜電力做功 WAB＝qE cos θ |l|＝qEd，UAB＝ ，UAB＝Ed 。
2
電勢差與電場強度的關系
　　電場強度與電勢差的關系也可以寫作：
　　它的意義是：在勻強電場中，電場強度的大小等于兩點之間的電勢差與兩點沿電場強度方向的距離之比。也就是說，電場強度在數值上等于沿電場方向單位距離上降低的電勢。
2
電勢差與電場強度的關系
　　電場強度的另一個單位：
　　在國際單位制中，電勢的單位是 V，長度的單位是 m，由此關系式我們可以得到電場強度的單位是伏每米（V/m）。它與電場強度的另一個單位是相同的，即：
1V/m＝1N/C
思考：這個關系式是由勻強電場推導出來的，那么在非勻強電場中是否有意義呢？
2
電勢差與電場強度的關系
　　回想速度的定義式：
　　速度是位置對時間的變化率，位置隨時間變化得越快，速度越大，v 表示的是物體在 t 內的平均速度。同理電場強度是電勢對空間的變化率，電勢隨空間變化得越快，電場強度越強，根據這個關系式求出的電場強度 E 表示的是電場中兩點間的平均電場強度。因此在非勻強電場中也有意義。
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電勢差與電場強度的關系
如圖所示，正點電荷的一條電場線上有 A、B、C 三點，AB＝AC 回答下列問題。
問題 1 ：比較 A 與 B 間、B 與 C 間電勢差的大小 UAB___UBC 。
問題 2 ：若要 UAB＝UBC，則 lAB ____ lBC 。
問題 3 ：按相鄰等勢面間電勢差大小相等的要求，畫出正點電荷周圍的等勢面分布。
問題 4 ：在靜電場中，是否有“電場強度 E 越大的地方，電勢 φ 也越大”的結論？
＞
＜
在非勻強電場中，U ≠ Ed，但可以用電勢差與電場強度的關系式定性分析的問題。
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電勢差與電場強度的關系
　　兩相鄰等勢線之間的電勢差 U 相同時，電場強度 E 越大的地方，兩相鄰等勢線之間的距離 d 越小，這是電場線較密的地方等勢線也較密的原因。
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電勢差與電場強度的關系
公式 適用范圍 說明
E＝ 任何電場 定義式，q 為試探電荷的電荷量，E 的大小與 q 和 F 無關
E＝ 真空中點電荷的電場 Q 為場源電荷的電荷量，E 表示與場源電荷相距 r處的某點的場強
E＝ 勻強電場 d 為沿電場線方向兩點間的距離，U 為兩點間的電勢差，E表示兩點間的平均電場強度。
2
電勢差與電場強度的關系
例 1：
　　如圖所示，真空中平行金屬板 M、N 之間的距離 d 為 0.04 m ，有一個 2×10-15 kg 的帶電粒子位于 M 板旁，粒子的電荷量為 8×10-15 C，給兩金屬板加 200 V 直流電壓。
（1）求帶電粒子所受的靜電力大小。
（2）求帶電粒子從 M 板由靜止開始運動到達 N 板時的速度。
（3）如果兩金屬板距離增大為原來的 2 倍，其他條件不變，則上述兩個問題的答案又如何？
U
M
N
+
＋
－
2
電勢差與電場強度的關系
解：（1）兩金屬板間的電場強度 E＝，帶電粒子所受的靜電力 F＝Eq，則有：
F＝Eq＝＝ N＝4×10-11 N
（2）靜電力遠大于重力 2×10-14 N ，因此重力可以忽略不計。
　　帶電粒子運動的加速度 a＝設帶電粒子到達 N 板時的速度為 v 。根據勻變速直線運動的速度與時間的關系有 v2＝2ad，則：
v＝＝ m/s＝40 m/s
2
電勢差與電場強度的關系
（3）當 d′＝2d 時，E′＝＝，F′＝E′q＝，a′＝＝則：
v′＝＝ ＝v＝40 m/s
兩金屬板距離增大為原來的兩倍，靜電力大小變為 2×10-11 N，帶電粒子到達 N 板時的速度仍為 40 m/s 。
　　當 M、N 板間的距離增大時，只要它們之間的電勢差沒有變化，帶電粒子到達 N 板的速度大小也不會變化。用動能定理就很好解釋：qU＝ mv2
2
電勢差與電場強度的關系
例 2　如圖所示，在勻強電場中，A、B、C、D、E、F 位于邊長為 L＝2 cm 的正六邊形的頂點上，勻強電場的方向平行于正六邊形所在的平面。已知 A、B、D、E 的電勢分別為 -2 V、0、6 V、4 V。則（　?。?br/>A．C 點電勢 φC＝2 V
B．A、F 間電勢差 UAF＝2 V
C．C、F 間電勢差 UCF＝6 V
D．該勻強電場的電場強度大小 E＝200 V/m
D
等分法：如圖所示，點 M、O、N 將勻強電場的電場線 AD 四等分因此：
UAM＝UMO＝UON＝UND＝ UAD
3
靜電場中的圖像問題
1．φ - x 圖像描述的是靜電場中沿某一方向電勢隨位置 x 的變化的情況：
（1）根據 φ-x 圖像可以直接判斷各點電勢的高低，并可根據電勢高低關系確定電場強度的方向；
（2）電場強度的大小等于 φ-x 圖線切線斜率的絕對值。電場強度為零處，φ-x 圖線存在極值，其切線的斜率為零；
（3）根據 φ-x 圖像結合 Ep＝qφ 分析電荷移動時電勢能的變化，再結合功能關系可確定電場力做功情況。
3
靜電場中的圖像問題
2．E - x 圖像描述的是靜電場中電場強度 E 沿 x 軸變化的情況：
（1）根據E-x圖像可直接判斷電場強度，電場強度為正值，說明電場強度方向與規定的正方向相同，電場強度為負值，說明電場強度方向與規定的正方向相反；
（2）根據E-x圖像可判斷電勢的高低，由圖像確定電場線方向后，根據沿電場線方向電勢逐漸降低，從而確定電勢的高低；
3
靜電場中的圖像問題
2．E - x 圖像描述的是靜電場中電場強度 E 沿 x 軸變化的情況：
（3）將 x 軸上一段距離x分成很多微小單元 Δx，由公式 U＝EΔx 知，E-x 圖像中曲線與 x 軸所圍成的“面積”表示電勢差 U；
（4）結合 F＝qE，根據 E-x 圖像判斷出帶電粒子在 x 軸各點運動時所受的電場力，再結合 a＝ 　、WF＝Fx、WF＝-ΔEp 判斷粒子的加速度、電場力做功、電勢能變化等情況。
3
靜電場中的圖像問題
3．Ep - x 圖像描述的是靜電場中某點電荷在某一方向上各點的電勢能隨位置變化的規律，結合動力學規律可以判斷動能等隨位置的變化情況。
小結和練習
02
1
小結
1．電勢差與電場強度的關系式：UAB＝Ed
2．電場強度的另一個表達式：E＝
3．電場強度的另一個單位：伏每米，1V/m＝1N/C
1．空氣是不導電的。但如果空氣中的電場很強，使得氣體分子中帶正、負電荷的微粒所受的方向相反的靜電力很大，以至于分子“破碎”，空氣中出現可以自由移動的電荷，空氣就變成了導體。這種現象就叫作空氣的“擊穿”。
　　一次實驗中，電壓為 4×104 V的直流電源的兩極連在一對平行金屬板上，如果把兩金屬板的間距減小到 1.3 m ，兩極板之間就會放電。這次實驗中空氣被擊穿時，電場強度是多少？
2
練習
答：空氣被擊穿時，電勢差 U＝4×104 V，d＝0.013m，得：
E＝ ＝ V/m＝3.1×106 V/m
2．如圖所示，勻強電場中電場強度 E＝100 V/m，A、B 兩點相距10 cm，A、B 連線與電場線的夾角為 60°，若取 A 點電勢為 0，則 B 點電勢為（　?。?br/>A．-10 V　　　　B．10 V　　　　C．-5 V　　　　D．-3 V
2
練習
C
3．帶有等量異種電荷、相距 10 cm的平行板 A 和 B 之間有勻強電場，電場強度 E＝2×104 V/m，方向向下。電場中 C 點距 B 板 3 cm，D 點距 A 板 2 cm。如果把 A板接地（即電勢 φA＝0），關于 C、D 兩點的電勢 φC、φD 和兩點間電勢差 UCD，下列說法正確的是（　?。?br/>A．φC＝1 400 V，φD＝400 V，UCD＝1000 V
B．φC＝-1 400 V，φD＝-400 V，UCD＝-1 000 V
C．φC＝600 V，φD＝1 600 V，UCD＝1 000 V
D．φC＝-600 V，φD＝-1 600 V，UCD＝-1 000 V
2
練習
B
4．如圖所示，在勻強電場中，將帶電荷量為 -6×10-6 C 的點電荷從電場中的 A 點移到B 點，電場力做了-2.4×10-5 J 的功，再從 B 點移到 C 點，電場力做了1.2×10-5 J 的功。已知電場的方向與 ABC 所在的平面平行。下列說法正確的是（　?。?br/>A．A、B 兩點的電勢差 UAB＝- 4 V
B．B、C 兩點的電勢差 UBC＝2 V
C．A 點的電勢比 C 點的電勢高
D．場強方向垂直于 AC 指向 B
2
練習
C
5．如圖所示，實線為電場線，虛線為等勢面，已知 φa＝50 V，φc＝20 V，則 a、c連線中點 b 的電勢 φb 為（　?。?br/>A．等于35 V
B．大于35 V
C．小于35 V
D．等于15 V
2
練習
C
6．真空中相距為 3a 的兩個點電荷 M、N，分別固定于 x 軸上 x＝0 和 x＝3a 的兩點上，在它們連線上各點場強隨 x 變化的關系如圖所示，規定沿 x 軸正方向電場強度E 為正，以下判斷中正確的是（　?。?br/>A．點電荷 M、N 一定為同種電荷
B．點電荷 M、N 所帶電荷量的絕對值之比為 2∶1
C．把一個正試探電荷由 x＝a 的位置靜止釋放，其加速度一直減小
D．把一個正試探電荷由 x＝a 的位置靜止釋放，其電勢能一直減小
2
練習
A
7．如圖所示為某電場中 x 軸上電勢 φ 隨 x 變化的圖像，一個帶電粒子僅受電場力作用，在 x＝0 處由靜止釋放，粒子沿 x 軸正向運動，且以一定的速度通過 x＝x2 處，則下列說法正確的是（　?。?br/>A．x1 和 x2 處的電場強度均為零
B．x1 和 x2 之間的場強方向不變
C．粒子從 x＝0 到 x＝x2 過程中，電勢能先增大后減小
D．粒子從 x＝0 到 x＝x2 過程中，加速度先減小后增大
2
練習
D

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