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第三節(jié)　萬有引力定律的應(yīng)用
(分值：100分)
選擇題1～12題，每小題7分，共84分。
對點題組練
題組一　預(yù)測地球形狀
1.(多選)下列關(guān)于重力和萬有引力的說法正確的是(　 )
重力和萬有引力是不同性質(zhì)的力
在不考慮地球自轉(zhuǎn)影響的情況下，可以認(rèn)為地球表面物體的重力等于地球?qū)λ娜f有引力
由于地球自轉(zhuǎn)的影響，物體的重力跟物體所處的緯度有關(guān)
在地球兩極的物體，物體的重力等于萬有引力
2.地球由于自轉(zhuǎn)作用，赤道部分已經(jīng)隆起，成為兩極扁平的橢球體，P、Q是質(zhì)量均為m的兩個質(zhì)點，分別置于地球表面不同緯度上， P、Q兩質(zhì)點隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動，則下列說法正確的是(　　)
P、Q受地球引力大小相等
P、Q做圓周運(yùn)動的向心力大小相等
P、Q做圓周運(yùn)動的角速度大小相等
P、Q兩質(zhì)點的重力大小相等
3.(多選)有科學(xué)家正在研究架設(shè)從地面到太空的“太空梯”，若“太空梯”建在赤道上，人沿“太空梯”上升到高度h處時，恰好會感覺到自己“漂浮”起來，若人的質(zhì)量為m，地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)周期為T，則人在高度h處受到的萬有引力的大小為(　　)
0
mg
題組二　預(yù)測未知天體　估算天體的質(zhì)量
4.2023年12月26日，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功將第57、58顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星送入預(yù)定軌道。衛(wèi)星入軌后繞地球做勻速圓周運(yùn)動，線速度大小為v，軌道半徑為r，引力常量為G，則地球的質(zhì)量為(　　)
5.“科學(xué)真是迷人”，天文學(xué)家已經(jīng)測出月球表面的加速度g、月球的半徑R和月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的周期T等數(shù)據(jù)，根據(jù)萬有引力定律就可以“稱量”月球的質(zhì)量了。已知引力常量為G，用M表示月球的質(zhì)量。關(guān)于月球質(zhì)量，下列說法正確的是(　　)
M＝ M＝
M＝ M＝
6.(2024·廣東汕尾高一期末)已知地球的半徑約為R＝6 400 km，地球表面的重力加速度約為g＝9.80 m/s2，引力常量約為G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，則地球的質(zhì)量約為(　　)
2.0×1024 kg 2.0×1030 kg
6.0×1024 kg 6.0×1030 kg
7.地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，引力常量為G，可估算地球的平均密度為(　　)
8.(2024·新課標(biāo)卷，3)天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)，在太陽系外的一顆紅矮星有兩顆行星繞其運(yùn)行，其中行星GJ1002c的軌道近似為圓，軌道半徑約為日地距離的0.07倍，周期約為0.06年，則這顆紅矮星的質(zhì)量約為太陽質(zhì)量的(　　)
0.001倍 0.1倍
10倍 1 000倍
綜合提升練
9.(多選)某星球的質(zhì)量約為地球的，半徑約為地球的。設(shè)其質(zhì)量分布均勻且不考慮自轉(zhuǎn)，地球表面重力加速度g取10 m/s2。下列說法正確的有(　　)
該星球表面的重力加速度約為20 m/s2
該星球表面的重力加速度約為2 m/s2
在地球表面重100 N的物體，在該星球表面重約200 N
在地球表面重100 N的物體，在該星球表面重約20 N
10.若有一星球密度與地球密度相同，質(zhì)量是地球質(zhì)量的27倍，忽略星球自轉(zhuǎn)，則它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的(　　)
3倍 6倍
9倍 27倍
11.已知在太陽系外某“宜居”行星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的6.4倍，一個在地球表面重力為600 N的人在這個行星表面的重力將變?yōu)?60 N。由此可推知，該行星的半徑與地球半徑之比約為(　　)
1∶2 2∶1
3∶2 4∶1
12.(多選)“嫦娥五號”探測器繞月球做勻速圓周運(yùn)動時，軌道半徑為r，線速度大小為v。已知月球半徑為R，引力常量為G，忽略月球自轉(zhuǎn)的影響。下列選項正確的是(　　)
月球平均密度為
月球平均密度為
月球表面重力加速度為
月球表面重力加速度為
培優(yōu)加強(qiáng)練
13.(16分)(2024·廣東茂名高一期末)設(shè)想未來，我國的宇航員登上月球，要從月球返回地球，先乘坐宇宙飛船從月球基地升空，進(jìn)入近月軌道Ⅰ做勻速圓周運(yùn)動，從軌道Ⅰ的P點加速，進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ繞月球運(yùn)動，再次返回P點時繼續(xù)加速，最終宇宙飛船進(jìn)入月地轉(zhuǎn)移軌道，回到地球。已知宇宙飛船在軌道Ⅰ上運(yùn)行周期為T，遠(yuǎn)月點Q到月心的距離為7R，月球半徑為R，引力常量為G。求：
(1)(8分)月球的質(zhì)量M；
(2)(8分)宇宙飛船在橢圓軌道Ⅱ的運(yùn)行周期。
第三節(jié)　萬有引力定律的應(yīng)用
1．BCD
2．C　[P、Q兩質(zhì)點所受地球引力大小F＝G，因為R不同，所以引力大小不等，故A錯誤；P、Q都隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動，其角速度一樣大，但P的軌道半徑大于Q的軌道半徑，根據(jù)F＝mω2r可知P的向心力大，故B錯誤，C正確；物體所受的重力為萬有引力的一個分力，在赤道處最小，隨著緯度的升高而增大，在兩極處最大，故D錯誤。]
3．BD　[在地球表面時有G＝mg，則GM＝gR2，人在高度h處受到的萬有引力的大小為G＝，B正確，A、C錯誤；由題意可知人在高度h處受到的萬有引力提供向心力，人處于完全失重狀態(tài)，則萬有引力大小F＝m(R＋h)＝，D正確。]
4．A　[根據(jù)牛頓第二定律G＝m，解得M＝，故A正確。]
5．A　[在月球表面，物體的重力與萬有引力相等，則有G＝mg，可得月球的質(zhì)量為M＝，故A正確，B錯誤；月球繞地球做圓周運(yùn)動時，根據(jù)萬有引力提供向心力得＝Mr，r表示月球軌道半徑，可得地球的質(zhì)量M地＝，即無法表示出月球質(zhì)量，故C、D錯誤。]
6．C　[設(shè)地球的質(zhì)量為M，物體在地球表面的重力約等于萬有引力，即mg＝G，解得M＝≈ kg≈6.0×1024 kg，故C正確。]
7．A　[忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，對處于地球表面的物體，有mg＝G，則M＝，又V＝πR3，可得地球的平均密度ρ＝＝，A正確。]
8．B　[G＝mr→M＝→＝eq \f(rT,rT)＝≈0.1，B正確。]
9．BD　[由G＝mg可得g＝，則該星球的重力加速度g′＝··g＝2 m/s2，在地球表面的物體的重力為mg＝100 N，在該星球表面的物體的重力為mg′＝20 N，故B、D正確，A、C錯誤。]
10．A　[忽略星球自轉(zhuǎn)，萬有引力等于重力，即G＝mg，質(zhì)量M＝ρ·πR3，解得g＝GπρR。因星球質(zhì)量是地球質(zhì)量的27倍，星球的密度跟地球密度相同，由M＝ρ·πR3可知，星球的半徑是地球的3倍，則星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的3倍，故B、C、D錯誤，A正確。]
11．B　[設(shè)地球質(zhì)量為M地，半徑為R地，“宜居”行星質(zhì)量為M，半徑為R，人的質(zhì)量為m，則人在地球表面時有Geq \f(M地m,R)＝mg＝600 N，人在“宜居”行星表面時有G＝mg′＝960 N，由以上兩式相比得＝2∶1，故B正確。]
12．BD　[由萬有引力提供向心力G＝m得M＝，月球體積V＝πR3，所以月球平均密度ρ＝＝，故B項正確，A項錯誤；由G＝mg且M＝得g＝，故D項正確，C項錯誤。]
13．(1)　(2)8T
解析　(1)宇宙飛船在近月軌道Ⅰ上運(yùn)動，由萬有引力提供向心力可得G＝mR，可得月球的質(zhì)量M＝。
(2)宇宙飛船在橢圓軌道Ⅱ上運(yùn)動，橢圓的半長軸＝＝4R
根據(jù)開普勒第三定律可得＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(3),T)
解得宇宙飛船在橢圓軌道Ⅱ的運(yùn)行周期T1＝ 8T。第三節(jié)　萬有引力定律的應(yīng)用
學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解萬有引力和重力的關(guān)系。2.理解萬有引力定律在預(yù)測未知天體中的作用。3.掌握天體質(zhì)量和密度的計算方法。
知識點一　預(yù)測地球形狀
某個人做環(huán)球(地球可看作標(biāo)準(zhǔn)球體)旅行，當(dāng)他分別位于赤道、北半球某點、北極點等不同位置時：
(1)他所受的萬有引力大小是否相同？
(2)他隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動的向心力大小是否相同？
(3)他受到的重力就是萬有引力嗎？
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1.牛頓大膽預(yù)測：地球由于自轉(zhuǎn)作用，赤道部分應(yīng)該隆起，成為兩極________的橢球體。
2.萬有引力與重力的關(guān)系
萬有引力主要產(chǎn)生兩大作用效果，一方面是在豎直方向上與物體受到的拉力平衡，另一方面是提供物體隨地球一起自轉(zhuǎn)的向心力。因此，可以將引力F分解為F1和F2兩個分力，如圖所示。分力F1＝mω2Rcos θ，是物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的________，分力F2＝FT，即為________。
3.萬有引力指向地軸的分力F1實際上特別小，所以一般認(rèn)為地球附近的物體所受的重力近似________地球?qū)ξ矬w的萬有引力。
思考
(1)在地球上不同的緯度，萬有引力和重力的關(guān)系不同，重力加速度也不同，試比較赤道處和兩極上的重力加速度的大小。
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
(2)忽略地球自轉(zhuǎn)，高度不同會引起物體所受萬有引力不同，重力加速度也不同，試比較珠穆朗瑪峰頂和海平面的重力加速度的大小。
_____________________________________________________________________
例1 地球可近似看成球形，由于地球表面上物體都隨地球自轉(zhuǎn)，所以有(　　)
A.物體在赤道處受到的地球引力等于兩極處，而重力小于兩極處
B.赤道處的角速度比南緯30°大
C.地球上物體的向心加速度都指向地心，且赤道上物體的向心加速度比兩極處大
D.地面上的物體隨地球自轉(zhuǎn)時提供向心力的是重力
例2 (2024·廣東廣州高一期中)一只質(zhì)量為M的北極熊在失去家園后，被運(yùn)送到了位于赤道上的北極熊館加以照料，它在北極和館內(nèi)的重力差為ΔF。已知地球自轉(zhuǎn)周期為T。根據(jù)以上信息，可求出地球的半徑為(　　)
A. B.
C. D.
知識點二　預(yù)測未知天體　估算天體的質(zhì)量
(1)卡文迪許在實驗室測出了引力常量G的值，他被稱為“第一位可以稱量地球質(zhì)量的人”。“稱量”的依據(jù)是地球表面上物體受到的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，試推導(dǎo)地球的質(zhì)量。
(2)月球是地球唯一的一顆天然衛(wèi)星，已繞地球轉(zhuǎn)動超過46億年，根據(jù)月球的公轉(zhuǎn)周期和軌道半徑，我們能否利用萬有引力定律估算出月球和地球的質(zhì)量？
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一、預(yù)測未知天體
________星的發(fā)現(xiàn)，以及英國天文學(xué)家________根據(jù)萬有引力定律預(yù)言的哈雷彗星“按時回歸”，確立了萬有引力定律的地位，充分顯示了科學(xué)理論對實踐的巨大指導(dǎo)作用。
二、估算天體質(zhì)量
1.天體的質(zhì)量不可能用天平測量，但可以應(yīng)用________________計算得出。
方法一：衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運(yùn)動的向心力由它們之間的萬有引力提供，需知道衛(wèi)星或行星繞中心天體運(yùn)動的____________及兩者之間的________。
方法二：星球表面的物體受到的重力近似等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力。需知道天體半徑及其________________。
2.天體質(zhì)量和密度的計算
情景及求解思路 結(jié)果
天體質(zhì)量的計算 重力加速度法：G＝mg(GM＝gR2稱為黃金代換) M＝
環(huán)繞法：G＝m＝mr ①M(fèi)＝②M＝
天體密度的計算 ρ＝＝ 重力加速度法：ρ＝環(huán)繞法：ρ＝
思考
當(dāng)衛(wèi)星貼近半徑為R的星球表面轉(zhuǎn)動時，其軌道半徑為多大？若該衛(wèi)星的周期為T，根據(jù)環(huán)繞法，推導(dǎo)中心天體的密度。
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例3 (2024·廣東天門高一期中)宇航員在某一星球距離表面h高度處，以初速度v0沿水平方向拋出一個小球，經(jīng)過時間t后小球落到該星球表面，已知該星球的半徑為R(R h)，引力常量為G，則該星球的質(zhì)量為(　　)
A. B.
C. D.
例4 假設(shè)在半徑為R的某天體上發(fā)射一顆該天體的衛(wèi)星，已知引力常量為G，忽略該天體自轉(zhuǎn)。
(1)若衛(wèi)星距該天體表面的高度為h，測得衛(wèi)星在該處做圓周運(yùn)動的周期為T1，則該天體的平均密度是多少？
(2)若衛(wèi)星貼近該天體的表面做勻速圓周運(yùn)動的周期為T2，則該天體的平均密度是多少？
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
(1)計算天體質(zhì)量的方法不僅適用于地球，也適用于其他任何星體。注意方法的拓展應(yīng)用，明確計算出的是中心天體的質(zhì)量。
(2)要注意R、r的區(qū)分。R指中心天體的半徑，r指行星或衛(wèi)星的軌道半徑。若在近地軌道運(yùn)行，則有R＝r。　　
訓(xùn)練1 地球公轉(zhuǎn)的軌道半徑為R1，周期為T1，月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道半徑為R2，周期為T2，則太陽質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為(　　)
A.eq \f(RT,RT) B.eq \f(RT,RT)
C.eq \f(RT,RT) D.eq \f(RT,RT)
訓(xùn)練2 2020年12月17日凌晨，“嫦娥五號”成功著陸在內(nèi)蒙古四子王旗，標(biāo)志著我國首次月球采樣返回任務(wù)圓滿完成。若“嫦娥五號”在地球表面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動的周期為T1，在月球表面附近繞月球做勻速圓周運(yùn)動的周期為T2，則地球與月球的平均密度之比為(　　)
A.eq \f(T,T) B.eq \f(T,T)
C. D.
隨堂對點自測
1.(萬有引力與重力的關(guān)系)設(shè)地球表面重力加速度為g0，物體在距離地心4R(R是地球的半徑)處，由于地球的引力作用而產(chǎn)生的加速度為g，則為(　　)
A.1 B.
C. D.
2.(天體質(zhì)量的計算)土星最大的衛(wèi)星叫“泰坦”，每16天繞土星一周，其公轉(zhuǎn)軌道半徑為1.2×106 km。已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，則土星的質(zhì)量約為(　　)
A.5×1017 kg B.5×1026 kg
C.7×1033 kg D.4×1036 kg
3.(天體質(zhì)量、密度的計算)已知金星和地球的半徑分別為R1、R2，金星和地球表面的重力加速度分別為g1、g2，則金星與地球的質(zhì)量之比為(　　)
A.eq \f(g1R,g2R) B.eq \f(g1R,g2R)
C.eq \f(g2R,g1R) D.eq \f(g2R,g1R)
第三節(jié)　萬有引力定律的應(yīng)用
知識點一
導(dǎo)學(xué)　提示　(1)相同　(2)不相同　(3)不是
知識梳理
1．扁平　2.向心力　重力　3.等于
[思考] 提示　(1)如圖甲所示，在赤道上，重力和向心力在一條直線上，則有mg＝－mω2R，解得赤道上的重力加速度g＝－ω2R；如圖乙所示，在兩極上有F向＝0，mg′＝，解得兩極重力加速度g′＝，故赤道處的重力加速度小于兩極上的重力加速度。
(2)地球表面重力加速度g＝，M為地球質(zhì)量，R為地球半徑，地球上空h高度，萬有引力等于重力，即＝mg′，所以h高度處的重力加速度g′＝，則珠穆朗瑪峰頂g′小于海平面的重力加速度g。
例1 A　[由F＝G可知，若將地球看成球形，則物體在地球表面上任何位置受到的地球引力大小都相等，除兩極外，此引力的兩個分力一個是物體的重力，另一個是物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力，在赤道上，向心力最大，重力最小，A正確；地球各處的角速度均等于地球自轉(zhuǎn)的角速度，B錯誤；只有赤道上物體的向心加速度指向地心，其他位置物體的向心加速度均不指向地心，C錯誤；地面上物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力是由物體所受萬有引力與地面支持力的合力提供的，D錯誤。]
例2 A　[北極熊在赤道上時，萬有引力的一部分提供向心力，有G－Mg＝MR，北極熊在北極上時有G＝Mg′；根據(jù)題意，有ΔF＝Mg′－Mg＝MR，解得R＝，A正確，B、C、D錯誤。]
知識點二
導(dǎo)學(xué)　提示　(1)由mg＝G得，M＝。
(2)根據(jù)G＝m月r可知，M地＝，可估算出地球的質(zhì)量，無法估算月球的質(zhì)量。
知識梳理
一、海王　哈雷
二、1.萬有引力定律　周期　距離　表面重力加速度
[思考] 提示　當(dāng)衛(wèi)星繞中心天體表面運(yùn)行時，r＝R，ρ＝。
例3 A　[設(shè)該星球表面的重力加速度為g，小球在星球表面做平拋運(yùn)動，有h＝gt2，設(shè)該星球的質(zhì)量為M，在星球表面有mg＝G，聯(lián)立解得該星球的質(zhì)量M＝，故A正確。]
例4 (1)eq \f(3π（R＋h）3,GTR3)　(2)eq \f(3π,GT)
解析　設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，天體的質(zhì)量為M。
(1)衛(wèi)星距天體表面的高度為h時，有
G＝meq \f(4π2,T)(R＋h)，則有M＝eq \f(4π2（R＋h）3,GT)
天體的體積V＝πR3
故該天體的平均密度ρ＝＝eq \f(4π2（R＋h）3,GT·\f(4,3)πR3)＝eq \f(3π（R＋h）3,GTR3)。
(2)衛(wèi)星貼近天體表面運(yùn)動時有G＝meq \f(4π2,T)R，則有M＝eq \f(4π2R3,GT)
平均密度ρ＝＝eq \f(4π2R3,GT·\f(4,3)πR3)＝eq \f(3π,GT)。
訓(xùn)練1 B　[地球繞太陽公轉(zhuǎn)和月球繞地球公轉(zhuǎn)時，萬有引力提供向心力，有G＝mr，可得中心天體質(zhì)量M＝，則太陽質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為eq \f(RT,RT)。故B正確。]
訓(xùn)練2 A　[根據(jù)萬有引力提供向心力有G＝mR，解得M＝，則ρ＝＝＝，所以＝eq \f(T,T)，故A正確。]
隨堂對點自測
1．D　[在地球表面處，有G＝mg0，在距離地心4R處，有G＝mg，聯(lián)立得＝＝，故D正確。]
2．B　[由萬有引力提供向心力得G＝mr，則M＝，代入數(shù)據(jù)得M≈5×1026 kg，故B正確。]
3．A　[設(shè)天體質(zhì)量為M，根據(jù)星球表面物體的重力近似等于物體受到的萬有引力，有mg＝G，得M＝，故＝eq \f(g1R,g2R)，故A正確。](共50張PPT)
第三節(jié)　萬有引力定律的應(yīng)用
第三章　萬有引力定律
1.了解萬有引力和重力的關(guān)系。
2.理解萬有引力定律在預(yù)測未知天體中的作用。
3.掌握天體質(zhì)量和密度的計算方法。
學(xué)習(xí)目標(biāo)
目 錄
CONTENTS
知識點
01
隨堂對點自測
02
課后鞏固訓(xùn)練
03
知識點
1
知識點二　預(yù)測未知天體　估算天體的質(zhì)量
知識點一　預(yù)測地球形狀
知識點一　預(yù)測地球形狀
c 某個人做環(huán)球(地球可看作標(biāo)準(zhǔn)球體)旅行，當(dāng)他分別位于赤道、北半球某點、北極點等不同位置時：
(1)他所受的萬有引力大小是否相同？
(2)他隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動的向心力大小是否相同？
(3)他受到的重力就是萬有引力嗎？
提示　(1)相同　(2)不相同　(3)不是
1.牛頓大膽預(yù)測：地球由于自轉(zhuǎn)作用，赤道部分應(yīng)該隆起，成為兩極______的橢球體。
2.萬有引力與重力的關(guān)系
扁平
萬有引力主要產(chǎn)生兩大作用效果，一方面是在豎直方向上與物體受到的拉力平衡，另一方面是提供物體隨地球一起自轉(zhuǎn)的向心力。因此，可以將引力F分解為F1和F2兩個分力，如圖所示。分力F1＝mω2Rcos θ，是物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的________，分力F2＝FT，即為______。
3.萬有引力指向地軸的分力F1實際上特別小，所以一般認(rèn)為地球附近的物體所受的重力近似______地球?qū)ξ矬w的萬有引力。
向心力
重力
等于
【思考】
(1)在地球上不同的緯度，萬有引力和重力的關(guān)系不同，重力加速度也不同，試比較赤道處和兩極上的重力加速度的大小。
(2)忽略地球自轉(zhuǎn)，高度不同會引起物體所受萬有引力不同，重力加速度也不同，試比較珠穆朗瑪峰頂和海平面的重力加速度的大小。
A
例1 地球可近似看成球形，由于地球表面上物體都隨地球自轉(zhuǎn)，所以有(　　)
A.物體在赤道處受到的地球引力等于兩極處，而重力小于兩極處
B.赤道處的角速度比南緯30°大
C.地球上物體的向心加速度都指向地心，且赤道上物體的向心加速度比兩極處大
D.地面上的物體隨地球自轉(zhuǎn)時提供向心力的是重力
A
例2 (2024·廣東廣州高一期中)一只質(zhì)量為M的北極熊在失去家園后，被運(yùn)送到了位于赤道上的北極熊館加以照料，它在北極和館內(nèi)的重力差為ΔF。已知地球自轉(zhuǎn)周期為T。根據(jù)以上信息，可求出地球的半徑為(　　)
知識點二　預(yù)測未知天體　估算天體的質(zhì)量
(1)卡文迪許在實驗室測出了引力常量G的值，他被稱為“第一位可以稱量地球質(zhì)量的人”。“稱量”的依據(jù)是地球表面上物體受到的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，試推導(dǎo)地球的質(zhì)量。
(2)月球是地球唯一的一顆天然衛(wèi)星，已繞地球轉(zhuǎn)動超過46億年，根據(jù)月球的公轉(zhuǎn)周期和軌道半徑，我們能否利用萬有引力定律估算出月球和地球的質(zhì)量？
一、預(yù)測未知天體
______星的發(fā)現(xiàn)，以及英國天文學(xué)家______根據(jù)萬有引力定律預(yù)言的哈雷彗星“按時回歸”，確立了萬有引力定律的地位，充分顯示了科學(xué)理論對實踐的巨大指導(dǎo)作用。
海王
哈雷
二、估算天體質(zhì)量
1.天體的質(zhì)量不可能用天平測量，但可以應(yīng)用______________計算得出。
方法一：衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運(yùn)動的向心力由它們之間的萬有引力提供，需知道衛(wèi)星或行星繞中心天體運(yùn)動的______及兩者之間的______。
方法二：星球表面的物體受到的重力近似等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力。需知道天體半徑及其________________。
萬有引力定律
周期
距離
表面重力加速度
2.天體質(zhì)量和密度的計算
【思考】
當(dāng)衛(wèi)星貼近半徑為R的星球表面轉(zhuǎn)動時，其軌道半徑為多大？若該衛(wèi)星的周期為T，根據(jù)環(huán)繞法，推導(dǎo)中心天體的密度。
A
例4 假設(shè)在半徑為R的某天體上發(fā)射一顆該天體的衛(wèi)星，已知引力常量為G，忽略該天體自轉(zhuǎn)。
(1)若衛(wèi)星距該天體表面的高度為h，測得衛(wèi)星在該處做圓周運(yùn)動的周期為T1，則該天體的平均密度是多少？
(2)若衛(wèi)星貼近該天體的表面做勻速圓周運(yùn)動的周期為T2，則該天體的平均密度是多少？
解析　設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，天體的質(zhì)量為M。
(1)衛(wèi)星距天體表面的高度為h時，有
(1)計算天體質(zhì)量的方法不僅適用于地球，也適用于其他任何星體。注意方法的拓展應(yīng)用，明確計算出的是中心天體的質(zhì)量。
(2)要注意R、r的區(qū)分。R指中心天體的半徑，r指行星或衛(wèi)星的軌道半徑。若在近地軌道運(yùn)行，則有R＝r。　　
訓(xùn)練1 地球公轉(zhuǎn)的軌道半徑為R1，周期為T1，月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道半徑為R2，周期為T2，則太陽質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為(　　)
B
訓(xùn)練2 2020年12月17日凌晨，“嫦娥五號”成功著陸在內(nèi)蒙古四子王旗，標(biāo)志著我國首次月球采樣返回任務(wù)圓滿完成。若“嫦娥五號”在地球表面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動的周期為T1，在月球表面附近繞月球做勻速圓周運(yùn)動的周期為T2，則地球與月球的平均密度之比為(　　)
A
隨堂對點自測
2
D
B
2.(天體質(zhì)量的計算)土星最大的衛(wèi)星叫“泰坦”，每16天繞土星一周，其公轉(zhuǎn)軌道半徑為1.2×106 km。已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，則土星的質(zhì)量約為(　　)
A.5×1017 kg B.5×1026 kg C.7×1033 kg D.4×1036 kg
A
3.(天體質(zhì)量、密度的計算)已知金星和地球的半徑分別為R1、R2，金星和地球表面的重力加速度分別為g1、g2，則金星與地球的質(zhì)量之比為(　　)
課后鞏固訓(xùn)練
3
BCD
題組一　預(yù)測地球形狀
1.(多選)下列關(guān)于重力和萬有引力的說法正確的是(　 )
A.重力和萬有引力是不同性質(zhì)的力
B.在不考慮地球自轉(zhuǎn)影響的情況下，可以認(rèn)為地球表面物體的重力等于地球?qū)λ娜f有引力
C.由于地球自轉(zhuǎn)的影響，物體的重力跟物體所處的緯度有關(guān)
D.在地球兩極的物體，物體的重力等于萬有引力
對點題組練
C
2.地球由于自轉(zhuǎn)作用，赤道部分已經(jīng)隆起，成為兩極扁平的橢球體，P、Q是質(zhì)量均為m的兩個質(zhì)點，分別置于地球表面不同緯度上， P、Q兩質(zhì)點隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動，則下列說法正確的是(　　)
A.P、Q受地球引力大小相等
B.P、Q做圓周運(yùn)動的向心力大小相等
C.P、Q做圓周運(yùn)動的角速度大小相等
D.P、Q兩質(zhì)點的重力大小相等
BD
3.(多選)有科學(xué)家正在研究架設(shè)從地面到太空的“太空梯”，若“太空梯”建在赤道上，人沿“太空梯”上升到高度h處時，恰好會感覺到自己“漂浮”起來，若人的質(zhì)量為m，地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)周期為T，則人在高度h處受到的萬有引力的大小為(　　)
A
題組二　預(yù)測未知天體　估算天體的質(zhì)量
4.2023年12月26日，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功將第57、58顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星送入預(yù)定軌道。衛(wèi)星入軌后繞地球做勻速圓周運(yùn)動，線速度大小為v，軌道半徑為r，引力常量為G，則地球的質(zhì)量為(　　)
A
5.“科學(xué)真是迷人”，天文學(xué)家已經(jīng)測出月球表面的加速度g、月球的半徑R和月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的周期T等數(shù)據(jù)，根據(jù)萬有引力定律就可以“稱量”月球的質(zhì)量了。已知引力常量為G，用M表示月球的質(zhì)量。關(guān)于月球質(zhì)量，下列說法正確的是(　　)
C
6.(2024·廣東汕尾高一期末)已知地球的半徑約為R＝6 400 km，地球表面的重力加速度約為g＝9.80 m/s2，引力常量約為G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，則地球的質(zhì)量約為(　　)
A.2.0×1024 kg B.2.0×1030 kg C.6.0×1024 kg D.6.0×1030 kg
A
7.地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，引力常量為G，可估算地球的平均密度為(　　)
B
8.(2024·新課標(biāo)卷，3)天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)，在太陽系外的一顆紅矮星有兩顆行星繞其運(yùn)行，其中行星GJ1002c的軌道近似為圓，軌道半徑約為日地距離的0.07倍，周期約為0.06年，則這顆紅矮星的質(zhì)量約為太陽質(zhì)量的(　　)
A.0.001倍 B.0.1倍 C.10倍 D.1 000倍
BD
綜合提升練
A
10.若有一星球密度與地球密度相同，質(zhì)量是地球質(zhì)量的27倍，忽略星球自轉(zhuǎn)，則它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的(　　)
A.3倍 B.6倍 C.9倍 D.27倍
B
11.已知在太陽系外某“宜居”行星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的6.4倍，一個在地球表面重力為600 N的人在這個行星表面的重力將變?yōu)?60 N。由此可推知，該行星的半徑與地球半徑之比約為(　　)
A.1∶2 B.2∶1 C.3∶2 D.4∶1
BD
培優(yōu)加強(qiáng)練
13.(2024·廣東茂名高一期末)設(shè)想未來，我國的宇航員登上月球，要從月球返回地球，先乘坐宇宙飛船從月球基地升空，進(jìn)入近月軌道Ⅰ做勻速圓周運(yùn)動，從軌道Ⅰ的P點加速，進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ繞月球運(yùn)動，再次返回P點時繼續(xù)加速，最終宇宙飛船進(jìn)入月地轉(zhuǎn)移軌道，回到地球。已知宇宙飛船在軌道Ⅰ上運(yùn)行周期為T，遠(yuǎn)月點Q到月心的距離為7R，月球半徑為R，引力常量為G。求：
(1)月球的質(zhì)量M；
(2)宇宙飛船在橢圓軌道Ⅱ的運(yùn)行周期。

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