資源簡介

教學設計
課程基本信息
學科 數學 年級 高二 學期 春季
課題 函數與不等式
教科書 書 名：普通高中教科書 數學（B版） 選擇性必修 第三冊 出版社：人民教育出版社
教學目標
1.通過本節課的學習，使學生學會用導數研究函數中的不等關系的一般方法； 2.提高學生從提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力； 3.培養學生的直觀想象、數學抽象、邏輯推理及數學運算的核心素養. 教學重點：用導數證明函數中的不等關系 教學難點：不等式證明的過程中函數的合理構造.
教學重難點
學生學習了導數的概念、求法及幾何意義，掌握了利用導數研究函數的單調性，求函數的極值與最值的基本方法.在此基礎上，可以將不等式恒成立的證明及已知不等式恒成立，求參變數的取值范圍的問題，轉化為函數的最值問題處理.如何構造函數，求函數的哪個最值。
教學過程
一.問題的提出 在必修三《三角函數》一章中，我們利用單位圓中的三角函數線及幾何圖形的面積關系，曾經得到一個不等式：若，則，這個不等式反映了銳角的弧度數與其正弦、正切的關系.我們將換成實數x，就得到：若，則.這個不等式反映了當自變量x在區間上取值時，這三個函數的函數值之間的不等關系，即三個函數間的不等關系，在本課中稱作“函數型不等式”.這節課我們利用導數的知識，探究這個結論的幾何意義及證明方法，并在此基礎上學習“函數型不等式”的研究方法. 二.“函數型不等式”的幾何意義及證明方法 1.不等式的幾何意義及證明方法 利用幾何畫板，在同一坐標系中畫出函數y=x及的圖像，由圖形猜想：（1）y=x是曲線y=tanx在原點處的切線；（2）除了原點，的圖像上的所有點都在直線y=x的上方，用不等式表示為:當時， 問題1：猜想（1）容易證明，如何證明猜想（2）？ 解：（1）：， 又， 故曲線y=tanx在原點處的切線方程為即猜想（1）正確. （2）構造函數， ,在上單調遞減，故，因此，當時，從而不等式成立. 一般結論： （1）若在區間M上，除了公共點外，函數的圖象上的所有點都在函數的圖象的上方（下方），則可得到“函數型不等式”： ①當兩個圖象無公共點時：（或）在區間M上恒成立； ②當兩個圖象有公共點時：（或）在區間M上恒成立； （2）要證明“函數型不等式”（或）在區間M上恒成立，可以構造函數，證明（或）即可. “函數型不等式”f(x)>g(x)（或f(x)

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