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第七節　生產和生活中的機械能守恒
(分值：80分)
選擇題1～2題，5～6題，每小題10分，共40分。
對點題組練
題組一　機械能守恒與自由落體模型的綜合
1.如圖所示，水龍頭出水口的橫截面積為S，出水口到水面的距離為h，水離開出水口時的速度大小為v0。假設水在下落的過程中不散開，水面的高度不變化，重力加速度大小為g，不計空氣阻力。則(　　)
水下落到水面前瞬間的速度為
水下落到水面前瞬間的速度為eq \r(v－2gh)
水柱在接近水面時的橫截面積為eq \f(S\r(v－2gh),v0)
水柱在接近水面時的橫截面積為eq \f(v0S,\r(v＋2gh))
2.(多選)一物體從某高度自由落下，下列關于從靜止開始的相鄰相等的兩段時間內的運動過程說法正確的是(　　)
第一段和第二段運動過程的機械能變化量相等
第一段和第二段運動過程的速度變化量之比為1∶2
第一段和第二段運動過程的動能變化量之比為1∶3
第一段和第二段運動過程的重力勢能變化量之比為1∶4
題組二　機械能守恒與平拋運動模型綜合
3.(20分)跳臺滑雪是滑雪愛好者喜歡的一種運動，某滑雪軌道可以簡化成如圖所示的示意圖，其中助滑雪道CB段長L＝40 m，且與水平方向夾角α＝37°，BO段是水平起跳臺，OA段是著陸雪道，CB段與BO段用一小段光滑圓弧相連，滑雪者從助滑雪道CB上的C點在自身重力作用下由靜止開始運動，滑到O點水平飛出，此時速度大小v0＝20 m/s，不計空氣阻力，經t＝2 s落在著陸雪道上的A點，已知滑雪者和裝備的總質量為m＝50 kg(可視為質點)，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)(10分)滑雪者經過CO段過程中減少的機械能E減；
(2)(10分)滑雪者即將落到A點時的動能EkA。
題組三　機械能守恒與圓周運動模型綜合
4.(20分)游樂場的過山車可以底朝上在圓軌道上運行，游客卻不會掉下來，如圖甲所示。我們把這種情況抽象為如圖乙所示的模型：半徑為R的圓弧軌道豎直放置，下端與弧形軌道相切，使質量為m的小球從弧形軌道上端無初速度滾下，小球進入圓軌道下端后沿圓軌道運動。實驗表明，只要h大于一定值，小球就可以順利通過圓軌道的最高點(不考慮空氣及摩擦阻力)。
(1)(10分)若小球恰能通過最高點，則小球在最高點的速度為多大？此時對應的h多高？
(2)(10分)若h′＝4R，則小球在通過圓軌道的最高點時對軌道的壓力是多少？
綜合提升練
5.如圖所示，可視為質點的小球以初速度v0從光滑斜面底端向上滑，恰能到達高度為h的斜面頂端。下圖四種運動中小球在最低點的水平初速度都為v0，不計空氣阻力，則小球不能到達高度h的是(　　)
圖A中小球滑入軌道半徑等于h的光滑管道
圖B中小球系在半徑大于h而小于h的輕繩下端
圖C中小球滑入半徑大于h的光滑軌道
圖D中小球固定在長為h的輕桿下端
6.(多選)如圖所示，光滑半球的半徑為R，球心為O，固定在水平面上，其上方有一個光滑曲面軌道AB，高度為。軌道底端水平并與半球頂端相切于B點，質量為m的小球由A點靜止滑下，最后落在水平面上的C點。重力加速度為g，則(　　)
小球運動到B點的速度為
小球運動到B點時對光滑半球的壓力為mg
小球離開B點后將做平拋運動
小球運動到C點時的速率為
第七節　生產和生活中的機械能守恒
1．D　[設水柱落到水面前瞬間的速度為v1，由機械能守恒定律得mv＋mgh＝mv，解得v1＝eq \r(v＋2gh)，故A、B錯誤；相同時間，上、下部分水柱體積相同，即h上S上＝h下S下，則v0tS上＝v1tS下，解得S下＝eq \f(v0S,\r(v＋2gh))，故C錯誤，D正確。]
2．AC 　[自由落體過程中物體機械能守恒，第一階段和第二階段機械能變化量均為零，A正確；自由落體運動過程中物體在相等的時間內的速度變化量之比為1∶1，B錯誤；根據機械能守恒定律知，物體的重力勢能轉化為動能，動能變化量等于重力做的力，故物體的動能變化量之比等于位移之比為1∶3，C正確；重力勢能變化量之比等于位移之比為1∶3，D錯誤。]
3．(1)2 000 J　(2)2×104 J
解析　(1)滑雪者經過CO段過程中減少的機械能
E減＝mgLsin37°－mv，代入數據解得E減＝2 000 J。
(2)在OA段滑雪者下落的豎直高度h＝gt2＝20 m
滑雪者即將落到A點時的動能
EkA＝mv＋mgh＝×50×202 J＋50×10×20 J＝2×104 J。
4．(1)　2.5R　(2)3mg
解析　(1)小球恰能通過最高點，即小球通過最高點時恰好不受軌道的壓力，由牛頓第二定律得mg＝m
小球在最高點處的速度至少為v＝
小球由靜止運動到最高點的過程中，只有重力做功，由機械能守恒定律mgh＝mv2＋mg·2R，聯立解得h＝2.5R。
(2)h′＝4R時，小球由靜止運動到最高點的過程中，由機械能守恒定律得mgh′＝mv′2＋mg·2R，解得v′＝2
小球在最高點，由牛頓第二定律得FN＋mg＝m
得FN＝3mg，，根據牛頓第三定律知，小球在通過圓軌道最高點時對軌道的壓力是3mg。
5．B　[圖A、C、D中小球到達h高度的速度可以為零，根據機械能守恒定律得，mgh＋0＝mgh′＋0，則h′＝h，故A、C、D不符合題意；圖B中小球到達h高度時的速度不能為零，否則無法做圓周運動，故B符合題意。]
6．ACD　[小球從A到B的過程中，根據機械能守恒定律可得mg·＝mv2，解得v＝，A正確；在B點，當重力恰好提供向心力時，有mg＝meq \f(v,R)，解得vB＝，所以當小球到達B點時，對光滑半球的壓力為零，即從B點開始做平拋運動，B錯誤，C正確；對整個過程由機械能守恒定律，有mg·R＝mv，解得vC＝，故D正確。]第七節　生產和生活中的機械能守恒
學習目標　1.深入理解機械能守恒定律，體會應用能量觀點解決問題的思路。
2.能用機械能守恒定律分析生產和生活中的有關問題。
知識點一　機械能守恒與自由落體模型的綜合
落錘打樁機主要由樁錘、卷揚機和導向架組成，分析樁錘自由下落時的做功和能量轉化情況。
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1.自由落體模型是一種簡單、簡潔的運動模型，該運動模型中物體只受重力，機械能守恒。
2.求解自由落體的速度既可以用勻變速直線運動的規律，也可以用動能定理或機械能守恒定律，但求解能量時只能用動能定理或機械能守恒定律，機械能守恒定律比動能定理更簡潔，不用考慮中間過程，只考慮始末狀態即可。
例1 打樁機重錘的質量為1×103 kg，把它提升到離地高度為20 m處，由靜止釋放，不計空氣阻力(取地面為參考平面，g＝10 m/s2)。求：
(1)重錘下落過程重力的平均功率；
(2)重錘落到地面時的動能和機械能；
(3)重錘下落至何處時，動能等于重力勢能的3倍。
　
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知識點二　機械能守恒與拋體運動模型的綜合
跳臺滑雪的軌道主要由助滑坡AB、起跳平臺BC和著陸坡CD組成。其示意圖如圖所示，試分析從A→B直線運動；C→F平拋運動，兩個過程的能量轉化情況。
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1.拋體運動模型包括上拋、下拋、平拋、斜拋等，各種拋體運動模型中物體只受重力作用，物體的機械能守恒，如果只求解速度的大小，應用機械能守恒最簡單。
2.如果求解時間或者涉及速度的方向，宜用分解的思想化曲為直，將曲線運動分解為簡單的直線運動，再求解。
3.若涉及多過程問題，前一個過程的末速度即為后一個過程的初速度，前一個過程的末動能即為后一個過程的初動能。
例2 如圖為一跳臺滑雪雪道的示意圖。假設運動員從雪道的最高處A點由靜止開始滑下，不借助其他器械，沿光滑雪道到達跳臺B點時速度多大？當他落到離B點豎直高度為10 m的雪地C點時，速度又是多大？(設這一過程中運動員沒有做其他動作，忽略摩擦和空氣阻力，g取10 m/s2)
　
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知識點三　機械能守恒與圓周運動模型的綜合
過山車由傾斜軌道和圓形軌道組成。思考：若過山車從與C點等高的傾斜軌道上釋放，可以安全通過圓形軌道嗎？
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1.圓周運動模型中如果圓弧軌道光滑，忽略空氣阻力，此時物體除了受到重力作用，還有圓弧軌道的支持力或者繩子的拉力，但彈力與速度垂直不做功，物體的機械能守恒。
2.在豎直面內的圓周運動模型中，經常在最高點(或等效最高點)、最低點(或等效最低點)應用合力提供向心力列方程，其中動能和向心力的聯系是表達式中有相同的部分為mv2。
3.解題時題眼往往是恰好通過圓周的最高點，一般通過最高點的臨界速度為。
例3 如圖是一個設計“過山車”的試驗裝置的原理示意圖，斜面AB與豎直面內的圓形軌道在B點平滑連接，斜面AB和圓形軌道都是光滑的，圓形軌道半徑為R，一個質量為m的小車(可視為質點)在A點由靜止釋放沿斜面滑下，小車恰能通過圓形軌道的最高點C。已知重力加速度為g。求：
(1)A點距水平面的高度h；
(2)運動到B點時小車對圓形軌道壓力的大小。
　
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訓練 (多選)特戰隊員在進行訓練時，抓住一端固定在同一水平高度的繩索的另一端，從高度一定的平臺上由水平狀態無初速度開始下擺，如圖所示，在繩索到達豎直狀態時特戰隊員放開繩索，隨后被水平拋出直到落地。不計繩索質量和空氣阻力，特戰隊員可看成質點，繩索一直處于伸直狀態。下列說法正確的是(　　)
A.繩索越長，特戰隊員落地時的速率越大
B.繩索越長，特戰隊員落地時的水平位移越大
C.繩索越長，特戰隊員落地時的水平方向速度越大
D.繩索越長，特戰隊員落地時的豎直方向速度越小
隨堂對點自測
1.(機械能守恒與自由落體模型的綜合)一物體由h高處自由落下，以地面為參考平面，當物體的動能等于勢能時，物體的速度為(　　)
A. B.2
C.3 D.4
2.(機械能守恒與拋體運動模型的綜合)如圖所示，水平地面上固定一個光滑軌道ABC，該軌道由兩個半徑均為R的四分之一圓弧平滑連接而成，O1、O2分別為兩段圓弧所對應的圓心，O1、O2的連線豎直，現將一質量為m的小球(可視為質點)由軌道上的A點靜止釋放，則小球落地點到A點的水平距離為(　　)
A.2R B.R
C.3R D.R
3.(機械能守恒與圓周運動模型的綜合)水平光滑直軌道ab與半徑為R的豎直半圓形光滑軌道bc相切，一質量為m的小球以一定初速度沿直軌道向右運動，如圖所示，小球進入圓形軌道后剛好能通過c點，然后小球做平拋運動落在直軌道上的d點，則(　　)
A.小球到達c點的動能為mgR
B.小球的初速度為
C.小球到達b點時對軌道的壓力為5mg
D.小球在直軌道上的落點d與b點距離為R
第七節　生產和生活中的機械能守恒
知識點一
導學　提示　只有重力做功，重力勢能轉化為動能
例1 (1)1×105 W　(2)2×105 J　2×105 J　(3)5 m
解析　(1)下落過程重力做功WG＝mgh＝2×105 J
由h＝gt2得下落時間t＝＝2 s
所以重力的平均功率為＝＝1×105 W。
(2)由動能定理得落地時重錘的動能Ek＝mgh＝2×105 J
以地面為參考平面，則Ep＝0
機械能E＝Ek＋Ep＝2×105 J。
(3)設離地高度為h′時其動能等于重力勢能的3倍
即Ek′＝3Ep′
由機械能守恒定律得E＝Ek′＋Ep′，Ep′＝mgh′
聯立解得h′＝5 m
即重錘下落至離地5 m高處，其動能為重力勢能的3倍。
知識點二
導學　提示　從A→B下滑過程：重力勢能轉化為動能；C→F騰空過程機械能守恒。
例2 4 m/s　2 m/s
解析　取B點所在水平面為參考平面．由題意知A點和B點的高度差h1＝4 m，B點和C點的高度差h2＝10 m
從A點到B點的過程，由機械能守恒定律得mgh1＝mv
解得vB＝＝4m/s。
從B點到C點的過程，由機械能守恒定律得
mv＝－mgh2＋mv
解得vC＝＝2m/s。
知識點三
導學　提示　不可以
例3 (1)2.5R　(2)6mg
解析　(1)小車恰能通過最高點C，則有mg＝eq \f(mv,R)
解得vC＝
由A運動到C，根據機械能守恒定律得mgh＝mg·2R＋mv
解得h＝2.5R。
(2)由A運動到B，根據機械能守恒定律得mgh＝mv
解得vB＝
小車在B點，由牛頓第二定律得FN－mg＝eq \f(mv,R)
解得FN＝6mg
由牛頓第三定律可知，運動到B點時小車對圓形軌道的壓力大小為6mg。
訓練 CD　[設平臺距離地面的高度為H，特戰隊員落地時的速率為v，特戰隊員從開始下擺到落地，繩索的拉力不做功，根據機械能守恒定律有mgH＝mv2，得v＝，v的大小與繩索長度無關，故A錯誤；設繩索的長度為L，放開繩索時，特戰隊員的水平速度為v1，則特戰隊員在抓住繩索下擺的過程中，根據機械能守恒定律有mgL＝mv，得v1＝，特戰隊員放開繩索后做平拋運動，則特戰隊員總的水平位移大小x＝L＋v1t，又在豎直方向上有H－L＝gt2，得x＝L＋2，若繩索越長，則對應L越大，v1越大，令L＝H得x＝L，不是x的最大值，故B錯誤，C正確；特戰隊員落地時的豎直方向速度大小為vy＝eq \r(v2－v)＝，故D正確。]
隨堂對點自測
1．A　[設物體動能等于勢能時速度為v，根據機械能守恒定律有mv2＋Ep＝mgh，又mv2＝Ep，解得v＝，A正確。]
2．C　[由機械能守恒定律，可得mgR＝mv2，小球下滑至B點時的速度v＝，方向水平向右。在B點做圓周運動的臨界速度v0＝，由于v>v0，所以小球將做平拋運動，結合平拋運動規律y＝R＝gt2，x＝vt，得x＝2R，則小球落地點到A點的水平距離為3R，故C正確。]
3．B　[小球進入圓形軌道后剛好能通過c點，則mg＝meq \f(v,R)，得vc＝，小球到達c點的動能為Ek＝mv＝mgR，A錯誤；小球從a點到c點，根據機械能守恒，有mv＝mv＋mg·2R，解得v0＝，B正確；小球到達b點時由牛頓第二定律，有F－mg＝eq \f(mv,R)，解得軌道對小球的支持力F＝6mg，根據牛頓第三定律知小球對軌道的壓力為6mg，故C錯誤；小球離開c點做平拋運動，由2R＝gt2得t＝2， 小球在直軌道上的落點d與b點距離x＝vct＝2R，D錯誤。](共39張PPT)
第七節　生產和生活中的機械能守恒
第四章　機械能及其守恒定律
1.深入理解機械能守恒定律，體會應用能量觀點解決問題的思路。
2.能用機械能守恒定律分析生產和生活中的有關問題。
學習目標
目 錄
CONTENTS
知識點
01
隨堂對點自測
02
課后鞏固訓練
03
知識點
1
知識點二　機械能守恒與拋體運動模型的綜合
知識點一　機械能守恒與自由落體模型的綜合
知識點三　機械能守恒與圓周運動模型的綜合
知識點一　機械能守恒與自由落體模型的綜合
落錘打樁機主要由樁錘、卷揚機和導向架組成，分析樁錘自由下落時的做功和能量轉化情況。
提示　只有重力做功，重力勢能轉化為動能
1.自由落體模型是一種簡單、簡潔的運動模型，該運動模型中物體只受重力，機械能守恒。
2.求解自由落體的速度既可以用勻變速直線運動的規律，也可以用動能定理或機械能守恒定律，但求解能量時只能用動能定理或機械能守恒定律，機械能守恒定律比動能定理更簡潔，不用考慮中間過程，只考慮始末狀態即可。
例1 打樁機重錘的質量為1×103 kg，把它提升到離地高度為20 m處，由靜止釋放，不計空氣阻力(取地面為參考平面，g＝10 m/s2)。求：
(1)重錘下落過程重力的平均功率；
(2)重錘落到地面時的動能和機械能；
(3)重錘下落至何處時，動能等于重力勢能的3倍。
答案　(1)1×105 W　(2)2×105 J　2×105 J (3)5 m
(2)由動能定理得落地時重錘的動能Ek＝mgh＝2×105 J
以地面為參考平面，則Ep＝0
機械能E＝Ek＋Ep＝2×105 J。
(3)設離地高度為h′時其動能等于重力勢能的3倍
即Ek′＝3Ep′
由機械能守恒定律得E＝Ek′＋Ep′
Ep′＝mgh′
聯立解得h′＝5 m
即重錘下落至離地5 m高處，其動能為重力勢能的3倍。
知識點二　機械能守恒與拋體運動模型的綜合
跳臺滑雪的軌道主要由助滑坡AB、起跳平臺BC和著陸坡CD組成。其示意圖如圖所示，試分析從A→B直線運動；C→F平拋運動，兩個過程的能量轉化情況。
提示　從A→B下滑過程：重力勢能轉化為動能；C→F騰空過程機械能守恒。
1.拋體運動模型包括上拋、下拋、平拋、斜拋等，各種拋體運動模型中物體只受重力作用，物體的機械能守恒，如果只求解速度的大小，應用機械能守恒最簡單。
2.如果求解時間或者涉及速度的方向，宜用分解的思想化曲為直，將曲線運動分解為簡單的直線運動，再求解。
3.若涉及多過程問題，前一個過程的末速度即為后一個過程的初速度，前一個過程的末動能即為后一個過程的初動能。
例2 如圖為一跳臺滑雪雪道的示意圖。假設運動員從雪道的最高處A點由靜止開始滑下，不借助其他器械，沿光滑雪道到達跳臺B點時速度多大？當他落到離B點豎直高度為10 m的雪地C點時，速度又是多大？(設這一過程中運動員沒有做其他動作，忽略摩擦和空氣阻力，g取10 m/s2)
知識點三　機械能守恒與圓周運動模型的綜合
過山車由傾斜軌道和圓形軌道組成。思考：若過山車從與C點等高的傾斜軌道上釋放，可以安全通過圓形軌道嗎？
提示　不可以
例3 如圖是一個設計“過山車”的試驗裝置的原理示意圖，斜面AB與豎直面內的圓形軌道在B點平滑連接，斜面AB和圓形軌道都是光滑的，圓形軌道半徑為R，一個質量為m的小車(可視為質點)在A點由靜止釋放沿斜面滑下，小車恰能通過圓形軌道的最高點C。已知重力加速度為g。求：
(1)A點距水平面的高度h；
(2)運動到B點時小車對圓形軌道壓力的大小。
答案　(1)2.5R　(2)6mg
訓練 (多選)特戰隊員在進行訓練時，抓住一端固定在同一水平高度的繩索的另一端，從高度一定的平臺上由水平狀態無初速度開始下擺，如圖所示，在繩索到達豎直狀態時特戰隊員放開繩索，隨后被水平拋出直到落地。不計繩索質量和空氣阻力，特戰隊員可看成質點，繩索一直處于伸直狀態。下列說法正確的是(　　)
A.繩索越長，特戰隊員落地時的速率越大
B.繩索越長，特戰隊員落地時的水平位移越大
C.繩索越長，特戰隊員落地時的水平方向速度越大
D.繩索越長，特戰隊員落地時的豎直方向速度越小
CD
隨堂對點自測
2
A
C
2.(機械能守恒與拋體運動模型的綜合)如圖所示，水平地面上固定一個光滑軌道ABC，該軌道由兩個半徑均為R的四分之一圓弧平滑連接而成，O1、O2分別為兩段圓弧所對應的圓心，O1、O2的連線豎直，現將一質量為m的小球(可視為質點)由軌道上的A點靜止釋放，則小球落地點到A點的水平距離為(　　)
B
3.(機械能守恒與圓周運動模型的綜合)水平光滑直軌道ab與半徑為R的豎直半圓形光滑軌道bc相切，一質量為m的小球以一定初速度沿直軌道向右運動，如圖所示，小球進入圓形軌道后剛好能通過c點，然后小球做平拋運動落在直軌道上的d點，則(　　)
課后鞏固訓練
3
D
題組一　機械能守恒與自由落體模型的綜合
1.如圖所示，水龍頭出水口的橫截面積為S，出水口到水面的距離為h，水離開出水口時的速度大小為v0。假設水在下落的過程中不散開，水面的高度不變化，重力加速度大小為g，不計空氣阻力。則(　　)
對點題組練
AC
2.(多選)一物體從某高度自由落下，下列關于從靜止開始的相鄰相等的兩段時間內的運動過程說法正確的是(　　)
A.第一段和第二段運動過程的機械能變化量相等
B.第一段和第二段運動過程的速度變化量之比為1∶2
C.第一段和第二段運動過程的動能變化量之比為1∶3
D.第一段和第二段運動過程的重力勢能變化量之比為1∶4
解析　自由落體過程中物體機械能守恒，第一階段和第二階段機械能變化量均為零，A正確；自由落體運動過程中物體在相等的時間內的速度變化量之比為1∶1，B錯誤；根據機械能守恒定律知，物體的重力勢能轉化為動能，動能變化量等于重力做的力，故物體的動能變化量之比等于位移之比為1∶3，C正確；重力勢能變化量之比等于位移之比為1∶3，D錯誤。
題組二　機械能守恒與平拋運動模型綜合
3.跳臺滑雪是滑雪愛好者喜歡的一種運動，某滑雪軌道可以簡化成如圖所示的示意圖，其中助滑雪道CB段長L＝40 m，且與水平方向夾角α＝37°，BO段是水平起跳臺，OA段是著陸雪道，CB段與BO段用一小段光滑圓弧相連，滑雪者從助滑雪道CB上的C點在自身重力作用下由靜止開始運動，滑到O點水平飛出，此時速度大小v0＝20 m/s，不計空氣阻力，經t＝2 s落在著陸雪道上的A點，已知滑雪者和裝備的總質量為m＝50 kg(可視為質點)，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)滑雪者經過CO段過程中減少的機械能E減；
(2)滑雪者即將落到A點時的動能EkA。
答案　(1)2 000 J　(2)2×104 J
題組三　機械能守恒與圓周運動模型綜合
4.游樂場的過山車可以底朝上在圓軌道上運行，游客卻不會掉下來，如圖甲所示。我們把這種情況抽象為如圖乙所示的模型：半徑為R的圓弧軌道豎直放置，下端與弧形軌道相切，使質量為m的小球從弧形軌道上端無初速度滾下，小球進入圓軌道下端后沿圓軌道運動。實驗表明，只要h大于一定值，小球就可以順利通過圓軌道的最高點。(不考慮空氣及摩擦阻力)
(1)若小球恰能通過最高點，則小球在最高點的速度為多大？此時對應的h多高？
(2)若h′＝4R，則小球在通過圓軌道的最高點時對軌道的壓力是多少？
B
綜合提升練
5.如圖所示，可視為質點的小球以初速度v0從光滑斜面底端向上滑，恰能到達高度為h的斜面頂端。下圖四種運動中小球在最低點的水平初速度都為v0，不計空氣阻力，則小球不能到達高度h的是(　　)
ACD

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