資源簡介

培優提升九　機械能守恒定律的應用
(分值：100分)
選擇題1～7題，每小題10分，共70分。
對點題組練
題組一　多物體的機械能守恒問題
1.(多選)如圖所示，A和B兩個小球固定在一根輕桿的兩端，mB>mA，此桿可繞穿過其中心的水平軸O無摩擦地轉動?，F使輕桿從水平位置無初速度釋放，發現桿繞O沿順時針方向轉動，則桿從釋放至轉動90°的過程中(　　)
B球的動能增大，機械能增大
A球的重力勢能和動能都增大
A球的重力勢能和動能的增加量等于B球的重力勢能的減少量
A球和B球的總機械能守恒
2.(多選)(2024·廣東廣州高一期末)如圖所示，兩個可視為質點的質量相同的小球a、b分別被套在剛性輕桿的中點位置和其中一端的端點處，兩球相對于桿固定不動，桿總長LOb＝2 m，輕桿的另一端可繞固定點O自由轉動。裝置在豎直平面內由水平位置靜止釋放到桿恰好擺至豎直狀態，在此過程中不計一切摩擦，重力加速度g＝10 m/s2，則關于此過程下列說法正確的是(　　)
桿豎直狀態時a、b兩球重力的瞬時功率相同
桿豎直狀態時b球的速度大小為 m/s
輕桿對a、b球均不做功
a球機械能減小，b球機械能增加
題組二　非質點類物體的機械能守恒問題
3.如圖所示，一個質量為m、質量分布均勻的細鏈條長為L，置于光滑水平桌面上，用手按住一端，使長部分垂在桌面下(桌面高度大于鏈條長度，重力加速度為g)。現將鏈條由靜止釋放，則其上端剛離開桌面時鏈條的動能為(　　)
0 mgL
mgL mgL
4.如圖，總長為l、質量為m的均勻軟繩對稱地掛在輕質小滑輪上，用細線將質量也為m的物塊與軟繩連接。將物塊由靜止釋放，直到軟繩剛好全部離開滑輪，不計一切摩擦，重力加速度為g，則(　　)
剛釋放時細線的拉力大小為mg
該過程中物塊的機械能減少了mgl
該過程中軟繩的重力勢能減少了mgl
軟繩離開滑輪時速度大小為
綜合提升練
5.(多選)如圖所示，光滑細桿AB、AC在A點連接，AB豎直放置，AC水平放置，兩中心有孔的相同小球M、N，分別套在AB和AC上，并用一不可伸長的細繩相連，細繩恰好被拉直，現由靜止釋放M、N，在N球碰到A點前的運動過程中，下列說法中正確的是(　　)
M球的機械能守恒
M球的機械能減小
M球和N球組成的系統的機械能守恒
繩的拉力對N球做負功
6.(2024·廣東廣州高一期末)如圖所示，小物塊A套在水平桿上，一輕繩跨過固定的小滑輪O分別連接小物塊A和小球B。系統開始時靜止在圖示位置，此時輕繩與水平桿間夾角為α＝30°。已知小物塊A與小球B的質量之比為2∶1，桿上P點位于滑輪O正上方，且OP＝d，重力加速度為g，不計空氣阻力和一切摩擦。則系統由靜止釋放至小物塊A運動到P點的過程中(　　)
小物塊A和小球B的速度大小始終相等
任一時刻輕繩對小物塊A和小球B做功的功率大小均相等
小球B的機械能守恒
運動到P點時，小物塊A的速度大小為
7.如圖所示，甲圖中一長度為L的均勻鏈條，總質量為2m，一半放在水平桌面上，一半豎直下垂。乙圖中兩個質量均為m的小球，一個放在水平桌面上，一個豎直下垂，中間用不計質量、長度為L的細繩相連，水平部分和豎直部分長度相等，小球可以視為質點?，F給均勻鏈條和小球一個小擾動，使得兩者都剛好離開水平桌面。取水平桌面所在的平面為零勢能參考面，重力加速度大小為g，這個過程中，下列說法正確的是(　　)
甲的重力勢能減少了mgL
乙的重力勢能減少了mgL
甲的重力做的功小于乙的重力做的功
甲、乙重力勢能的減少量相等
8.(12分)如圖所示，斜面的傾角θ＝30°，另一邊與地面垂直，高為H，斜面頂點上有一定滑輪，物塊A和B的質量分別為m1和m2，物塊A和B均可視為質點，通過細繩連接并跨過定滑輪。開始時兩物塊都位于與地面距離為H的位置上，釋放兩物塊后，A沿斜面無摩擦地上滑，B豎直下落，B落地后不反彈。若物塊A恰好能到達斜面的頂點，試求m1和m2的比值(滑輪的質量、半徑和摩擦以及空氣阻力均可忽略不計)。
培優加強練
9.(18分)如圖所示，在長為L的輕桿的中點和端點處分別固定質量均為m的小球A、B，桿可繞軸O無摩擦轉動，使桿從水平位置無初速度釋放(不計空氣阻力，重力加速度為g)。
(1)(9分)當桿轉到豎直位置時，小球A、B的速度大小分別為多少？
(2)(9分)在桿轉到豎直位置的過程中，輕桿對A、B兩球分別做了多少功？
培優提升九　機械能守恒定律的應用
1．BD　[A球運動的速度增大，高度增大，所以動能和重力勢能均增大，故A球的機械能增大；B球運動的速度增大，所以動能增大，高度減小，所以重力勢能減?。粚τ趦汕蚪M成的系統，只有重力做功，系統的機械能守恒，因為A球的機械能增大，故B球的機械能減小，故A球的重力勢能和動能的增加量與B球的動能的增加量之和等于B球的重力勢能的減少量，選項A、C錯誤，B、D正確。]
2．AD　[桿轉動到豎直位置時，速度方向都是水平方向，而重力是豎直向下，所以重力的功率均為零，A正確；裝置在豎直平面內由水平位置靜止釋放到桿恰好擺至豎直狀態的過程中，系統機械能守恒，則mgLOb＋mg＝mv＋mv，其中vb＝2va，聯立解得vb＝2＝4 m/s，va＝＝2 m/s，B錯誤；若擺到豎直位置的過程中桿對小球a不做功，那么對于小球a，有mg＝mv，解得va＝＝2 m/s>2 m/s，所以桿對小球a做負功，C錯誤；根據上述分析可知，桿對小球a做負功，小球a的機械能減少，又因為系統機械能守恒，所以桿對小球b做正功，小球b機械能增加，D正確。]
3．D　[取桌面下處為參考平面，根據機械能守恒定律得Ek＝WG＝·＋·＝mgL，D正確。]
4．D　[剛釋放時，物塊m有加速度，有mg－T＝ma，拉力小于mg，故A錯誤；物塊的重力勢能減小mgl，但物塊也獲得了速度，即動能增加，故機械能損失小于mgl，故B錯誤；因為繩子均勻，把繩子的重心看作在繩子的中點，所以繩子相當于向下移動了l，減小的重力勢能為mgl，故C錯誤；對繩和物塊組成的系統，由機械能守恒定律得mg·l＋mgl＝×2mv2，解得速度v＝，故D正確。]
5．BC　[因M球下落的過程中細繩的拉力對M球做負功，對N球做正功，故M球的機械能減小，N球的機械能增大，但M球和N球組成的系統的機械能守恒，B、C正確，A、D錯誤。]
6．B　[根據運動的合成與分解可知，將小物塊A的速度分解為沿繩方向和垂直繩方向，小球B的速度沿繩方向，所以二者速度關系為vAcos α＝vB，可知A、B速度大小不相等，故A錯誤；由于A、B沿繩方向的速度一定相等，繩子對A、B的拉力也一定相等，由PA＝FTvAcos α，PB＝FTvB，故任一時刻輕繩對小物塊A和小球B做功的功率大小均相等，故B正確；A、B組成的系統機械能守恒，但A、B各自的機械能均發生變化，故C錯誤；當小物塊A運動到P點時，B下降到最低點，此時B的速度為0，由機械能守恒定律有mBg＝mAv，解得vA＝，故D錯誤。]
7．A　[取水平桌面所在的平面為零勢能參考面，甲的重力勢能的變化量ΔEp甲＝－2mg×－＝－mgL，即甲的重力勢能減少了mgL，根據WG＝－ΔEp可知，重力對甲做功W甲＝mgL；乙的重力勢能的變化量ΔEp乙＝－mgL－＝－mgL, 即乙的重力勢能減少了mgL，根據WG＝－ΔEp可知，重力對乙做功W乙＝mgL，即甲的重力做的功大于乙的重力做的功，甲、乙重力勢能的減少量不相等，故A正確，B、C、D錯誤。]
8.　[設B剛下落到地面時速度為v，由系統機械能守恒得
m2g·－m1g·sin 30°＝(m1＋m2)v2
A以速度v上滑到斜面頂點過程中機械能守恒，則
m1v2＝m1g·sin 30°，聯立解得＝。]
9．(1)　　(2)－0.2mgL　0.2mgL
解析　(1)設當桿轉到豎直位置時，A球和B球的速度分別為vA和vB，輕桿與兩個小球構成的系統機械能守恒。若取B在豎直位置時的最低點所在水平面為參考平面，可得
mgL＋mgL＝mv＋mv
又因A球與B球在各個時刻對應的角速度相同，故vB＝2vA
解得vA＝，vB＝。
(2)根據動能定理
對于A有WA＋mgL＝mv－0，所以WA＝－0.2mgL
對于B有WB＋mgL＝mv－0，所以WB＝0.2mgL。培優提升九　機械能守恒定律的應用
學習目標　1.會分析多個物體組成的系統的機械能守恒問題。2.掌握非質點類物體的機械能守恒問題的處理方法。
提升1　多物體的機械能守恒問題
1.當研究對象為兩個物體組成的系統時的列式技巧
(1)若兩個物體的重力勢能都在減小(或增加)，動能都在增加(或減小)，可優先考慮應用表達式ΔEk＝－ΔEp來求解。
(2)若A物體的機械能增加，B物體的機械能減少，可優先考慮用表達式ΔEA＝－ΔEB來求解。
(3)從機械能的轉化角度來看，系統中一個物體某一類型機械能的減少量等于系統中其他類型機械能的增加量，可用E減＝E增來列式。
2.系統機械能守恒的模型分類
(1)速率相等的連接體模型
如圖所示的兩物體組成的系統，當釋放B，使A、B運動的過程中，二者的速度均沿繩子方向，因A、B在相等時間內運動的路程相等，則A、B的速率相等。
(2)角速度相等的連接體模型
如圖所示的兩物體組成的系統，當釋放后A、B在豎直平面內繞過O點的軸轉動，在轉動的過程中相等時間內A、B轉過的角度相等，則A、B轉動的角速度相等。
例1 如圖所示，一不可伸長的柔軟輕繩跨過光滑的輕質定滑輪，繩兩端各系一小球a和b。a球質量為m，靜止于地面；b球質量為3m，用手托住，高度為h，此時輕繩剛好被拉緊。從靜止開始釋放b球，則當b球剛落地時a球的速度為(不計空氣阻力，重力加速度為g)(　　)
A. B.
C. D.
例2 如圖所示，有一輕質桿可繞光滑的軸O在豎直平面內自由轉動，在桿的中點和一端各固定一個質量為m的小球A、B，桿長為L。開始時，桿靜止在水平位置，無初速度釋放后桿轉到豎直位置時，A、B兩小球的速度各是多少(重力加速度為g)
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
提升2　非質點類物體的機械能守恒問題
1.在應用機械能守恒定律處理實際問題時，經常遇到像“鏈條”“液柱”類的物體，其在運動過程中將發生形變，其重心位置相對物體也發生變化，因此這類物體不能再看成質點來處理。
2.物體雖然不能看成質點來處理，但因只有重力做功，物體整體機械能守恒。一般情況下，可將物體分段處理，確定質量分布均勻的規則物體各部分的重心位置，根據初、末狀態物體重力勢能的變化列式求解。
例3 如圖所示，總長為L的光滑勻質鐵鏈跨過一個光滑的輕質小滑輪，開始時下端A、B相平齊，當略有擾動時其一端下落，則當鐵鏈剛脫離滑輪的瞬間，鐵鏈的速度為(重力加速度為g)(　　)
A. B.2
C. D.
例4 如圖所示，粗細均勻，兩端開口的U形管內裝有同種液體，開始時兩邊液面高度差為h，管中液柱總長度為4h，后來讓液體自由流動，當兩液面高度相等時，右側液面下降的速度為(重力加速度大小為g)(　　)
A. B.
C. D.
隨堂對點自測
1.(多物體的機械能守恒問題)如圖所示，可視為質點的小球A、B用不可伸長的細軟輕線連接，跨過固定在地面上半徑為R的光滑圓柱，A的質量為B的兩倍。當B位于地面時，A恰與圓柱軸心等高。將A由靜止釋放，B上升的最大高度是(　　)
A.2R B.
C. D.
2.(多物體的機械能守恒問題)一長度為2R的輕質細桿兩端分別連接質量為m和2m、可視為質點的球M、N，細桿的中點O處有一軸，細桿可繞其在豎直面內無摩擦地轉動，開始時細桿呈豎直狀態，球N處在最高點，如圖所示。當裝置受到很小的擾動后，細桿開始繞過中點的軸轉動，則在球N轉動到最低點的過程中，下列說法中正確的是(重力加速度為g)(　　)
A.球M的機械能守恒
B.球N的機械能守恒
C.細桿對球M、N均不做功
D.運動過程中兩球的最大速度均為
3.(非質點類物體的機械能守恒問題)如圖所示，長為L的均勻鏈條放在光滑水平桌面上，讓鏈條從靜止開始沿桌邊下滑，若桌子高度大于鏈條長度，則鏈條滑至剛離開桌邊時的速度大小為(　　)
A. B.
C. D.2
培優提升九　機械能守恒定律的應用
提升1
例1 A　[a、b兩球組成的系統機械能守恒，設b球剛落地時的速度大小為v，則整個過程中系統動能增加量Ek增＝(m＋3m)v2＝2mv2，系統重力勢能的減少量Ep減＝3mgh－mgh＝2mgh，由機械能守恒定律得Ek增＝Ep減，所以2mv2＝2mgh，v＝，A正確。]
例2 　2
解析　設當桿轉到豎直位置時，A球和B球的速度分別為vA和vB。如果把輕桿、兩球組成的系統作為研究對象，只有重力勢能和動能相互轉化，故系統機械能守恒。此過程重力勢能轉化為動能，可得mgL＋mg·＝mv＋mv
又因A球與B球在各個時刻對應的角速度相同v＝ωr，故
vB＝2vA
聯立上式得vA＝，vB＝2。
提升2
例3 C　[設整個鐵鏈的質量為m，初始位置的重心在A點上方L處，末位置的重心與A點最初位置在同一水平面上，則重力勢能的減少量為mgL，由機械能守恒定律得mv2＝mgL，則v＝ ，故C正確。]
例4 A　[當兩液面高度相等時，減少的重力勢能全部轉化為液體的動能，根據機械能守恒定律得mg×h＝mv2，解得v＝，A正確。]
隨堂對點自測
1．C　[設A、B的質量分別為2m、m，當A落到地面，B恰運動到與圓柱軸心等高處，以A、B整體為研究對象，機械能守恒，有2mgR－mgR＝(2m＋m)v2，當A落地后，B球以速度v豎直上拋，到達最高點時上升的高度為h′＝，故B上升的總高度為R＋h′＝R，選項C正確。]
2．D　[球M的重力勢能、動能均在增加，故機械能增加，A錯誤；兩球組成的系統只有重力做功，系統機械能守恒，所以球N的機械能減少量等于球M的機械能增加量，故B錯誤；兩球機械能均不守恒，桿對球M、N均做功，C錯誤；球N轉動到最低點，速度最大，根據機械能守恒定律4mgR－2mgR＝×2mv2＋mv2，解得v＝，故D正確。]
3．A　[鐵鏈下滑過程中機械能守恒，則有mg＝mv2，解得v＝，故A正確，B、C、D錯誤。](共39張PPT)
培優提升九　機械能守恒定律的應用
第四章　機械能及其守恒定律
1.會分析多個物體組成的系統的機械能守恒問題。
2.掌握非質點類物體的機械能守恒問題的處理方法。
學習目標
目 錄
CONTENTS
提升
01
隨堂對點自測
02
課后鞏固訓練
03
提升
1
提升2　非質點類物體的機械能守恒問題
提升1　多物體的機械能守恒問題
提升1　多物體的機械能守恒問題
1.當研究對象為兩個物體組成的系統時的列式技巧
(1)若兩個物體的重力勢能都在減小(或增加)，動能都在增加(或減小)，可優先考慮應用表達式ΔEk＝－ΔEp來求解。
(2)若A物體的機械能增加，B物體的機械能減少，可優先考慮用表達式ΔEA＝－ΔEB來求解。
(3)從機械能的轉化角度來看，系統中一個物體某一類型機械能的減少量等于系統中其他類型機械能的增加量，可用E減＝E增來列式。
2.系統機械能守恒的模型分類
(1)速率相等的連接體模型
如圖所示的兩物體組成的系統，當釋放B，使A、B運動的過程中，二者的速度均沿繩子方向，因A、B在相等時間內運動的路程相等，則A、B的速率相等。
(2)角速度相等的連接體模型
如圖所示的兩物體組成的系統，當釋放后A、B在豎直平面內繞過O點的軸轉動，在轉動的過程中相等時間內A、B轉過的角度相等，則A、B轉動的角速度相等。
例1 如圖所示，一不可伸長的柔軟輕繩跨過光滑的輕質定滑輪，繩兩端各系一小球a和b。a球質量為m，靜止于地面；b球質量為3m，用手托住，高度為h，此時輕繩剛好被拉緊。從靜止開始釋放b球，則當b球剛落地時a球的速度為(不計空氣阻力，重力加速度為g)(　　)
A
例2 如圖所示，有一輕質桿可繞光滑的軸O在豎直平面內自由轉動，在桿的中點和一端各固定一個質量為m的小球A、B，桿長為L。開始時，桿靜止在水平位置，無初速度釋放后桿轉到豎直位置時，A、B兩小球的速度各是多少(重力加速度為g)
提升2　非質點類物體的機械能守恒問題
1.在應用機械能守恒定律處理實際問題時，經常遇到像“鏈條”“液柱”類的物體，其在運動過程中將發生形變，其重心位置相對物體也發生變化，因此這類物體不能再看成質點來處理。
2.物體雖然不能看成質點來處理，但因只有重力做功，物體整體機械能守恒。一般情況下，可將物體分段處理，確定質量分布均勻的規則物體各部分的重心位置，根據初、末狀態物體重力勢能的變化列式求解。
例3 如圖所示，總長為L的光滑勻質鐵鏈跨過一個光滑的輕質小滑輪，開始時下端A、B相平齊，當略有擾動時其一端下落，則當鐵鏈剛脫離滑輪的瞬間，鐵鏈的速度為(重力加速度為g)(　　)
C
例4 如圖所示，粗細均勻，兩端開口的U形管內裝有同種液體，開始時兩邊液面高度差為h，管中液柱總長度為4h，后來讓液體自由流動，當兩液面高度相等時，右側液面下降的速度為(重力加速度大小為g)(　　)
A
隨堂對點自測
2
C
1.(多物體的機械能守恒問題)如圖所示，可視為質點的小球A、B用不可伸長的細軟輕線連接，跨過固定在地面上半徑為R的光滑圓柱，A的質量為B的兩倍。當B位于地面時，A恰與圓柱軸心等高。將A由靜止釋放，B上升的最大高度是(　　)
D
2.(多物體的機械能守恒問題)一長度為2R的輕質細桿兩端分別連接質量為m和2m、可視為質點的球M、N，細桿的中點O處有一軸，細桿可繞其在豎直面內無摩擦地轉動，開始時細桿呈豎直狀態，球N處在最高點，如圖所示。當裝置受到很小的擾動后，細桿開始繞過中點的軸轉動，則在球N轉動到最低點的過程中，下列說法中正確的是(重力加速度為g)(　　)
A
3.(非質點類物體的機械能守恒問題)如圖所示，長為L的均勻鏈條放在光滑水平桌面上，讓鏈條從靜止開始沿桌邊下滑，若桌子高度大于鏈條長度，則鏈條滑至剛離開桌邊時的速度大小為(　　)
課后鞏固訓練
3
BD
題組一　多物體的機械能守恒問題
1.(多選)如圖所示，A和B兩個小球固定在一根輕桿的兩端，mB>mA，此桿可繞穿過其中心的水平軸O無摩擦地轉動?，F使輕桿從水平位置無初速度釋放，發現桿繞O沿順時針方向轉動，則桿從釋放至轉動90°的過程中(　　)
對點題組練
A.B球的動能增大，機械能增大
B.A球的重力勢能和動能都增大
C.A球的重力勢能和動能的增加量等于
B球的重力勢能的減少量
D.A球和B球的總機械能守恒
解析　A球運動的速度增大，高度增大，所以動能和重力勢能均增大，故A球的機械能增大；B球運動的速度增大，所以動能增大，高度減小，所以重力勢能減小；對于兩球組成的系統，只有重力做功，系統的機械能守恒，因為A球的機械能增大，故B球的機械能減小，故A球的重力勢能和動能的增加量與B球的動能的增加量之和等于B球的重力勢能的減少量，選項A、C錯誤，B、D正確。
AD
2.(多選)(2024·廣東廣州高一期末)如圖所示，兩個可視為質點的質量相同的小球a、b分別被套在剛性輕桿的中點位置和其中一端的端點處，兩球相對于桿固定不動，桿總長LOb＝2 m，輕桿的另一端可繞固定點O自由轉動。裝置在豎直平面內由水平位置靜止釋放到桿恰好擺至豎直狀態，在此過程中不計一切摩擦，重力加速度g＝10 m/s2，則關于此過程下列說法正確的是(　　)
D
D
4.如圖，總長為l、質量為m的均勻軟繩對稱地掛在輕質小滑輪上，用細線將質量也為m的物塊與軟繩連接。將物塊由靜止釋放，直到軟繩剛好全部離開滑輪，不計一切摩擦，重力加速度為g，則(　　)
BC
綜合提升練
5.(多選)如圖所示，光滑細桿AB、AC在A點連接，AB豎直放置，AC水平放置，兩中心有孔的相同小球M、N，分別套在AB和AC上，并用一不可伸長的細繩相連，細繩恰好被拉直，現由靜止釋放M、N，在N球碰到A點前的運動過程中，下列說法中正確的是(　　)
A.M球的機械能守恒
B.M球的機械能減小
C.M球和N球組成的系統的機械能守恒
D.繩的拉力對N球做負功
解析　因M球下落的過程中細繩的拉力對M球做負功，對N球做正功，故M球的機械能減小，N球的機械能增大，但M球和N球組成的系統的機械能守恒，B、C正確，A、D錯誤。
B
6.(2024·廣東廣州高一期末)如圖所示，小物塊A套在水平桿上，一輕繩跨過固定的小滑輪O分別連接小物塊A和小球B。系統開始時靜止在圖示位置，此時輕繩與水平桿間夾角為α＝30°。已知小物塊A與小球B的質量之比為2∶1，桿上P點位于滑輪O正上方，且OP＝d，重力加速度為g，不計空氣阻力和一切摩擦。則系統由靜止釋放至小物塊A運動到P點的過程中(　　)
A
7.如圖所示，甲圖中一長度為L的均勻鏈條，總質量為2m，一半放在水平桌面上，一半豎直下垂。乙圖中兩個質量均為m的小球，一個放在水平桌面上，一個豎直下垂，中間用不計質量、長度為L的細繩相連，水平部分和豎直部分長度相等，小球可以視為質點?，F給均勻鏈條和小球一個小擾動，使得兩者都剛好離開水平桌面。取水平桌面所在的平面為零勢能參考面，重力加速度大小為g，這個過程中，下列說法正確的是(　　)
培優加強練
9.如圖所示，在長為L的輕桿的中點和端點處分別固定質量均為m的小球A、B，桿可繞軸O無摩擦轉動，使桿從水平位置無初速度釋放(不計空氣阻力，重力加速度為g)。
(1)當桿轉到豎直位置時，小球A、B的速度大小分別為多少？
(2)在桿轉到豎直位置的過程中，輕桿對A、B兩球分別做了多少功？
解析　(1)設當桿轉到豎直位置時，A球和B球的速度分別為vA和vB，輕桿與兩個小球構成的系統機械能守恒。若取B在豎直位置時的最低點所在水平面為參考平面，可得
(2)根據動能定理

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