資源簡介

專題提升二　電場力的性質
(分值：100分)
選擇題1～9題，每小題8分，共72分。
對點題組練
題組一　非點電荷電場的電場強度疊加
1.如圖所示，在點電荷－q的電場中，放著一塊帶有一定電荷量、電荷均勻分布的絕緣矩形薄板，MN為其對稱軸，O點為其幾何中心。點電荷－q與a、O、b之間的距離分別為d、2d、3d。已知圖中a點的電場強度為零，靜電力常量為k，則帶電薄板在圖中b點產生的電場強度的大小和方向分別為(　　)
，水平向右 　，水平向左
＋，水平向右 　 ，水平向右
2.如圖所示，水平面上有一均勻帶電圓環，所帶電量為＋Q，其圓心為O點。有一帶電量為＋q、質量為m的小球恰能靜止在O點正上方的P點，O、P間距為L。P和圓環上任意點的連線與PO間的夾角都為θ，重力加速度為g，靜電力常量為k，以下說法錯誤的是(　　)
P點場強方向豎直向上
P點場強大小為
P點場強大小為k
P點場強大小為k
題組二　電場線與帶電粒子的運動軌跡
3.如圖所示，實線表示電場線，虛線表示帶電粒子運動的軌跡，帶電粒子只受靜電力作用，運動過程中速度逐漸減小，下列各圖是對它在b處時的運動方向與受力方向的分析，正確的是(　　)
A B C D
4.某靜電場中的電場線如圖所示，帶電粒子在電場中僅受電場力作用，由M運動到N，其運動軌跡如圖中虛線所示，以下說法正確的是(　　)
粒子必定帶負電荷
粒子在M點的加速度大于它在N點的加速度
粒子在M點的加速度小于它在N點的加速度
粒子在M點的動能大于它在N點的動能
5.如圖所示，在xOy坐標系中以O為中心的橢圓上，有a、b、c、d、e五點，其中a、b、c、d為橢圓與坐標軸的交點。現有橢圓的一個焦點O1固定一正點電荷Q1、另一正試探電荷僅在電場力作用下的運動軌跡如圖中虛線所示，下列說法正確的是(　　)
a、c兩點的電場強度相同
b點的電場強度大于d點的電場強度
在a、c兩點分別放一個電量為Q2的正點電荷，d點處的場強可能為0
在b、d兩點分別放一個電量為Q2的正點電荷和負點電荷，O點處的場強可能為0
題組三　電場中的動力學問題
6.如圖所示，氫原子核內只有一個質子，核外有一個電子繞核旋轉，軌道半徑為r，質子和電子的電量均為e，電子的質量為m1，質子的質量為m2，微觀粒子之間的電場力遠遠大于相互間的萬有引力，因此可以不計萬有引力的作用，靜電力常量為k，則電子繞核旋轉的線速度大小為(　　)
7.(多選)如圖所示，在真空中一條豎直向上的電場線上有a、b兩點，一帶電質點在a處由靜止釋放后沿電場線向下運動，到達b點時速度恰好為零。則下面說法正確的是(　　)
該帶電質點一定帶正電荷
該帶電質點一定帶負電荷
b點的電場強度大于a點的電場強度
質點在b點所受到的合力一定為零
綜合提升練
8.已知均勻帶電球體在球外產生的電場與一個位于球心的、電量相等的點電荷產生的電場相同。如圖所示，半徑為R的球體上均勻分布著電量為Q的電荷，在過球心O的直線上有A、B兩個點，O和B、B和A間的距離均為R。現以OB為直徑在球內挖一球形空腔，靜電力常量為k，球的體積公式V＝πr3，則A點處電場強度的大小為(　　)
9.(2022·山東卷·3)半徑為R的絕緣細圓環固定在圖示位置，圓心位于O點，環上均勻分布著電量為Q的正電荷。點A、B、C將圓環三等分，取走A、B處兩段弧長均為ΔL的小圓弧上的電荷。將一點電荷q置于OC延長線上距O點為2R的D點，O點的電場強度剛好為零。圓環上剩余電荷分布不變，q為(　　)
正電荷，q＝ 正電荷，q＝
負電荷，q＝ 負電荷，q＝
10.(12分)地面上方存在水平向右的勻強電場，一質量為m，帶電量為q的小球用絕緣絲線懸掛在電場中，當小球靜止時絲線與豎直方向的夾角為θ，此時小球到地面的高度為h(重力加速度為g)。求：
(1)(4分)小球的電性；
(2)(4分)勻強電場電場強度的大小；
(3)(4分)若絲線突然斷掉，小球經過多長時間落地。
培優加強練
11.(16分)如圖所示，有一水平向左的勻強電場，電場強度為E＝1.25×104N/C，一根長L＝1.5 m、與水平方向的夾角θ＝37°的光滑絕緣細直桿MN固定在電場中，桿的下端M固定一個帶電小球A，電量Q＝＋4.5×10－6C；另一帶電小球B穿在桿上可自由滑動，電量q＝＋1.0×10－6C，質量m＝1.0×10－2kg。將小球B從桿的上端N由靜止釋放，小球B開始運動(靜電力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。則：
(1)(8分)小球B開始運動時的加速度為多大？
(2)(8分)小球B的速度最大時，與M端的距離r為多大？
專題提升二　電場力的性質
1.A　[a點的電場強度為零，由電場強度疊加原理可知矩形薄板在a點產生的電場強度與點電荷－q在a點產生的電場強度等大反向，大小為E＝，方向水平向左。由對稱性可知，矩形薄板在b點產生的電場強度大小也為E＝，方向水平向右，故A正確。]
2.C　[將圓環分為n等份(每一份可以認為是一個點電荷)，則每份帶的電量為q0＝，每份在P點產生的場強大小為E0＝＝＝，根據對稱性可知，P點處水平方向的合場強為零，則P點的電場強度方向豎直向上，其大小為E＝nE0cos θ＝，故A、D正確，C錯誤；因為小球在P點靜止，由二力平衡可得mg＝qE，解得P點場強大小E＝，故B正確。]
3.A　[帶電粒子運動速度方向沿軌跡切線方向，受力方向與電場線在同一直線上，靜電力指向軌跡彎曲的內側，B、C錯誤；由于運動過程中速度逐漸減小，則靜電力做負功，A正確，D錯誤。]
4.C　[根據粒子運動軌跡彎曲的情況，可知粒子所受電場力的方向沿著電場線方向，故此粒子必定帶正電荷，選項A錯誤；由于電場線越密處電場強度越大，帶電粒子所受電場力就越大，根據牛頓第二定律可知其加速度也越大，故此粒子在N點的加速度較大，選項B錯誤，C正確；粒子從M點運動到N點，電場力的方向與運動方向之間的夾角是銳角，電場力做正功，根據動能定理知此粒子在N點的動能較大，選項D錯誤。]
5.D　[由點電荷電場特點可知，a、c兩點電場強度大小相等，但方向不同，所以電場強度不同，A錯誤；b點距離場源電荷較遠，故b點的電場強度小于d點的電場強度，B錯誤；在a、c兩點分別放一個電量為Q2的正點電荷，這兩個正點電荷在d點處的合場強方向沿y軸負方向，正點電荷Q1在d點處的場強方向也沿y軸負方向，故三個點電荷在d點處的合場強不可能為0，C錯誤；在b、d兩點分別放一個電量為Q2的正點電荷和負點電荷，這兩個點電荷在O點處的合場強方向沿y軸負方向，正點電荷Q1在O點處的場強方向沿y軸正方向，故三個點電荷在O點處的合場強可能為0，D正確。]
6.A　[對電子由牛頓第二定律有k＝m1，解得v＝，故A正確。]
7.AC　[帶電質點在a處由靜止釋放后向下運動，到達b點時速度恰好為零，則質點先加速下降，后減速下降，故電場力的方向向上，與電場線方向相同，可知該質點一定帶正電，A正確，B錯誤；帶電質點到b點時速度減為零，可知質點的運動過程中，合力方向先向下再向上，即電場力先小于重力再大于重力，由電場力公式F＝qE可知，a點的電場強度小于b點的電場強度，C正確；由以上分析可知，質點到b點時速度為零，但合力方向向上、大小不為零，D錯誤。]
8.B　[先把挖去的空腔補上，由題意知，半徑為R的均勻帶電球體在A點產生的電場強度大小為E整＝＝，挖出的小球半徑為，因為電荷均勻分布，其所帶電荷量Q′＝Q＝，則其在A點產生的電場強度大小E挖＝＝＝，所以挖去空腔剩余部分電荷在A點產生的電場強度大小E＝E整－E挖＝－＝，故B正確。]
9.C　[取走A、B處兩段弧長均為ΔL的小圓弧上的電荷，根據對稱性可知，圓環在O點產生的電場強度為與A在同一直徑上的A1和與B在同一直徑上的B1產生的電場強度的矢量和，如圖所示，
因為兩段弧長非常小，故可看成點電荷，則有E1＝k＝k，由題意可知，兩電場強度方向的夾角為120°，由幾何關系得兩者的合電場強度大小為E＝E1＝k，根據O點的合電場強度為0，可知放在D點的點電荷帶負電，在O點產生的電場強度大小E′＝E＝k，又E′＝k，聯立解得q＝，故C正確。]
10.(1)小球帶正電　(2)　(3)
解析　(1)小球的受力情況如圖，可知小球所受靜電力方向和電場強度方向相同，故小球帶正電。
(2)對小球由平衡條件可得qE＝mgtan θ
解得E＝。
(3)絲線斷掉后，小球在豎直方向做自由落體運動，由h＝gt2得t＝。
11.(1)3.2 m/s2　(2)0.9 m
解析　(1)釋放時，對小球B受力分析，如圖所示，由牛頓第二定律得
mgsin θ－－qEcos θ＝ma
代入數據解得a＝3.2 m/s2。
(2)小球B速度最大時所受合力為零，
即mgsin θ－－qEcos θ＝0
代入數據解得r＝0.9 m。專題提升二　電場力的性質
學習目標　1.學會利用幾種特殊方法求解電場強度。2.會分析電場線與帶電粒子運動軌跡相結合的問題。3.學會分析電場中的動力學問題。
提升1　非點電荷電場的電場強度疊加
在一般情況下可由公式E＝、E＝k等計算電場強度，但在求解帶電圓環、帶電直桿、帶電平面等特殊帶電體產生電場的電場強度或多個帶電體所產生電場的電場強度時，上述公式無法直接應用，這時，如果轉換思維角度，靈活運用補償法、對稱法、微元法、等效法等巧妙方法，可以化難為易。
類型1　對稱法
例1 如圖所示，一半徑為R的圓盤上均勻分布著電量為Q的電荷，在垂直于圓盤且過圓心c的軸線上有a、b、d三個點，a和b、b和c、c和d間的距離均為R，在a點處有一電量為q(q>0)的固定點電荷。已知b點處的電場強度為零，則d點處電場強度的大小為(k為靜電力常量)(　　)
A.k B.k C.k D.k
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
對稱法實際上就是根據某些物理現象、物理規律、物理過程或幾何圖形的對稱性進行解題的一種方法。在電場中，對稱分布的電荷產生的電場具有對稱性，應用對稱性解題可將復雜問題簡化。　　　　
類型2　補償法
例2 (2024·廣東深圳高二期中)均勻帶電的球殼在球外空間產生的電場等效于電荷集中于球心處產生的電場。如圖所示，在半球面AB上均勻分布正電荷，總電量為q，球面半徑為R，CD為通過半球頂點與球心O的軸線，在軸線上有M、N兩點，OM＝ON＝2R，已知M點的場強大小為E，靜電力常量為k，則N點的場強大小為(　　)
A.－E B. C.－E D.＋E
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
有時由題給條件建立的模型不是一個完整的模型，這時需要給原來的問題補充一些條件，組成一個完整的新模型。這樣，求解原模型的問題就變為求解新模型與補充條件的差值問題。如采用補償法將有缺口的帶電圓環補全為圓環，或將半球面補全為球面，從而將問題化難為易。　　　　
類型3　微元法
例3 一半徑為R的圓環上，均勻地帶有電量為Q的電荷，在垂直于圓環平面的對稱軸上有一點P，它與環心O的距離OP＝L。已知靜電力常量為k，關于P點的電場強度E，下列四個表達式中正確的是(　　)
A. B.
C. D.
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
當一個帶電體的體積較大，已不能視為點電荷時，求這個帶電體產生的電場在某處的電場強度時，可用微元的思想把帶電體分成很多小塊，每塊都可以看成點電荷，用點電荷電場疊加的方法計算。　　　　
提升2　電場線與帶電粒子的運動軌跡
1.帶電粒子做曲線運動時，合力指向軌跡曲線的內側，速度方向沿軌跡的切線方向。
2.
例4 某電場的電場線分布如圖所示，虛線為某帶電粒子只在電場力作用下的運動軌跡，a、b、c是軌跡上的三個點，則(　　)
A.粒子一定帶負電
B.粒子一定是從a點運動到b點
C.粒子在c點的加速度一定大于在b點的加速度
D.粒子在電場中c點的速度一定大于在a點的速度
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓練 如圖所示，實線為不知方向的三條電場線，從電場中M點以相同速度垂直于電場線方向飛出a、b兩個帶電粒子，僅在電場力作用下的運動軌跡如圖中虛線所示。則(　　)
A.a一定帶正電，b一定帶負電
B.a的速度將減小，b的速度將增大
C.a的加速度將減小，b的加速度將增大
D.兩個粒子的動能，一個增大一個減小
提升3　電場中的動力學問題
1.帶電體在多個力作用下處于平衡狀態，帶電體所受合外力為零，因此可用共點力平衡的知識分析，常用的方法有正交分解法、合成法等。
2.帶電體在電場中的加速問題與力學問題分析方法完全相同，仍然滿足牛頓第二定律，在進行受力分析時不要漏掉電場力。
例5 (2024·廣東珠海高二期中)如圖所示，一帶電量為＋q、質量為m的小物塊，處于傾角為37°足夠長的光滑絕緣斜面上的A點，A、B相距為5L，當整個裝置置于一水平向右的勻強電場中時，小物塊恰好靜止，設重力加速度為g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)求勻強電場的電場強度大小；
(2)若將電場強度減小為原來的，小物塊由靜止沿斜面從A下滑，求小物塊運動到B點的速度大小。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
隨堂對點自測
1.(非點電荷電場的電場強度疊加)下列選項中的各圓環大小相同，所帶電荷量已在圖中標出，且電荷均勻分布，各圓環間彼此絕緣。坐標原點O處電場強度最大的是(　　)
2.(電場線與帶電粒子的運動軌跡)(多選)一帶電粒子從電場中的A點運動到B點，軌跡如圖中虛線所示。不計粒子所受重力，則(　　)
A.粒子帶正電荷
B.粒子加速度逐漸減小
C.粒子在A點的速度大于在B點的速度
D.粒子的初速度不為零
3.(電場中的動力學問題)如圖所示，長l＝1 m的輕質細繩上端固定，下端連接一個可視為質點的帶電小球，小球靜止在水平向右的勻強電場中，繩與豎直方向的夾角θ＝37°。已知小球所帶電量q＝1.0×10－6 C，勻強電場的場強E＝3.0×103 N/C，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)小球的質量；
(2)若剪斷繩子，則經過1 s小球獲得的速度大小。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
專題提升二　電場力的性質
提升1
例1 B　[在a點放置一點電荷q后，b點電場強度為零，說明點電荷q在b點產生的電場強度與圓盤上Q在b點產生的電場強度大小相等，方向相反，即EQ＝Eq＝k，根據對稱性可知Q在d點產生的電場強度大小EQ′＝EQ＝k，方向與在b點產生的電場強度方向相反，Ed＝EQ′＋Eq′＝k＋k＝k，B正確。]
例2 A　[將右側球面補充完整，整個球面的帶電量為2q，由題意得，整個球面在M點的場強大小為E總＝k＝，水平向左，因為左半球面AB在M點的場強E，所以右半球面在M點的場強大小為E1＝E總－E＝－E，由對稱性可知，半球面AB在N點的場強大小為EN＝E1＝－E，A正確。]
例3 D　[如圖所示，設想將圓環等分為n個小段，當n相當大時，每一小段都可以看成點電荷，其所帶電量為q＝，由點電荷電場強度公式可求得每一點電荷在P處的電場強度EP＝k＝k，由對稱性可知，各小段帶電環在P處的電場強度垂直于OP的分量Ey相互抵消，而平行于OP的分量Ex之和即為帶電圓環在P處的電場強度E，故E＝nEx＝n·cos θ＝，其中r＝，可得E＝，D正確。]
提升2
例4 C　[做曲線運動的物體，所受合力指向運動軌跡的凹側，可知，帶電粒子受到的電場力的方向為沿著電場線向左，所以粒子帶正電，A錯誤；粒子不一定是從a點沿軌跡運動到b點，也可能是從b點沿軌跡運動到a點，B錯誤；由電場線的分布可知，粒子在c點處所受電場力大于在b點所受電場力，由牛頓第二定律知，粒子在c點的加速度一定大于在b點的加速度，C正確；若粒子從c點運動到a點，電場力方向與速度方向成銳角，所以粒子做加速運動，若粒子從a點運動到c點，電場力方向與速度方向成鈍角，所以粒子做減速運動，故粒子在c點的速度一定小于在a點的速度，D錯誤。]
訓練 C　[帶電粒子做曲線運動，所受電場力的方向指向軌跡曲線的內側，由于電場線的方向未知，所以粒子帶電性質不確定，故A錯誤；從題圖軌跡變化來看，帶電粒子速度與電場力方向的夾角都小于90°，所以電場力都做正功，動能都增大，速度也都增大，故B、D錯誤；電場線密的地方電場強度大，電場力大，帶電粒子的加速度大，所以a的加速度減小，b的加速度增大，故C正確。]
提升3
例5 (1)　(2)
解析　(1)小物塊靜止在斜面上，受重力、電場力和斜面支持力作用，由平衡條件得FN sin 37°＝qE
FN cos 37°＝mg
可得電場強度大小E＝。
(2)若電場強度減小為原來的，則E′＝
由牛頓第二定律有mgsin 37°－qE′cos 37°＝ma
解得加速度a＝0.3g
由v＝2a ·5L
得vB＝。
隨堂對點自測
1.B　[A圖中坐標原點O處的電場強度是一個圓環產生的，設此時原點的電場強度大小為E；B圖中原點O的電場強度由兩個圓環產生的電場強度疊加的合電場強度，根據矢量的平行四邊形定則，此時原點的電場強度大小為E；在C圖的坐標原點O外，第一象限和第三象限的圓環產生的電場互相抵消，所以坐標原點O處的電場強度是一個圓環產生的，此時原點的電場強度大小為E；在D圖的坐標原點O處，第一象限和第三象限的圓環產生的電場互相抵消，第二象限和第四象限的圓環產生的電場互相抵消，坐標原點的電場強度為零，所以B圖中原點O的電場強度最大，故B項正確。]
2.BCD　[做曲線運動的物體所受合外力指向軌跡凹側，由題圖可知帶電粒子所受電場力方向偏向左，故粒子帶負電荷，A項錯誤；根據電場線疏密表示場強大小知EA>EB，由a＝知，B項正確；粒子從A到B受到的電場力與速度的夾角為鈍角，粒子做減速運動，C項正確；由于電場線為直線，粒子軌跡為曲線，故粒子在A點速度不為零，D項正確。]
3.(1)4×10－4 kg　(2)12.5 m/s
解析　(1)小球靜止，根據平衡條件可知tan 37°＝
解得m＝＝ kg＝4×10－4 kg。
(2)剪斷繩子，根據牛頓第二定律，有＝ma
解得a＝＝ m/s2＝12.5 m/s2
經過1 s小球獲得的速度大小為
v1＝at1＝12.5×1 m/s＝12.5 m/s。(共47張PPT)
專題提升二　電場力的性質
第一章　靜電場的描述
1.學會利用幾種特殊方法求解電場強度。2.會分析電場線與帶電粒子運動軌跡相結合的問題。3.學會分析電場中的動力學問題。
學習目標
目 錄
CONTENTS
提升
01
課后鞏固訓練
03
隨堂對點自測
02
提升
1
提升2　電場線與帶電粒子的運動軌跡
提升1　非點電荷電場的電場強度疊加
提升3　電場中的動力學問題
提升1　非點電荷電場的電場強度疊加
類型1　對稱法
例1 如圖所示，一半徑為R的圓盤上均勻分布著電量為Q的電荷，在垂直于圓盤且過圓心c的軸線上有a、b、d三個點，a和b、b和c、c和d間的距離均為R，在a點處有一電量為q(q>0)的固定點電荷。已知b點處的電場強度為零，則d點處電場強度的大小為(k為靜電力常量)(　　)
B
對稱法實際上就是根據某些物理現象、物理規律、物理過程或幾何圖形的對稱性進行解題的一種方法。在電場中，對稱分布的電荷產生的電場具有對稱性，應用對稱性解題可將復雜問題簡化。　　　　
A
類型2　補償法
例2 (2024·廣東深圳高二期中)均勻帶電的球殼在球外空間產生的電場等效于電荷集中于球心處產生的電場。如圖所示，在半球面AB上均勻分布正電荷，總電量為q，球面半徑為R，CD為通過半球頂點與球心O的軸線，在軸線上有M、N兩點，OM＝ON＝2R，已知M點的場強大小為E，靜電力常量為k，則N點的場強大小為(　　)
有時由題給條件建立的模型不是一個完整的模型，這時需要給原來的問題補充一些條件，組成一個完整的新模型。這樣，求解原模型的問題就變為求解新模型與補充條件的差值問題。如采用補償法將有缺口的帶電圓環補全為圓環，或將半球面補全為球面，從而將問題化難為易。　　　　
類型3　微元法
例3 一半徑為R的圓環上，均勻地帶有電量為Q的電荷，在垂直于圓環平面的對稱軸上有一點P，它與環心O的距離OP＝L。已知靜電力常量為k，關于P點的電場強度E，下列四個表達式中正確的是(　　)
D
當一個帶電體的體積較大，已不能視為點電荷時，求這個帶電體產生的電場在某處的電場強度時，可用微元的思想把帶電體分成很多小塊，每塊都可以看成點電荷，用點電荷電場疊加的方法計算。　　　　
提升2　電場線與帶電粒子的運動軌跡
1.帶電粒子做曲線運動時，合力指向軌跡曲線的內側，速度方向沿軌跡的切線方向。
2.
C
例4 某電場的電場線分布如圖所示，虛線為某帶電粒子只在電場力作用下的運動軌跡，a、b、c是軌跡上的三個點，則(　　)
A.粒子一定帶負電
B.粒子一定是從a點運動到b點
C.粒子在c點的加速度一定大于在b點的加速度
D.粒子在電場中c點的速度一定大于在a點的速度
解析　做曲線運動的物體，所受合力指向運動軌跡的凹側，可知，帶電粒子受到的電場力的方向為沿著電場線向左，所以粒子帶正電，A錯誤；粒子不一定是從a點沿軌跡運動到b點，也可能是從b點沿軌跡運動到a點，B錯誤；由電場線的分布可知，粒子在c點處所受電場力大于在b點所受電場力，由牛頓第二定律知，粒子在c點的加速度一定大于在b點的加速度，C正確；若粒子從c點運動到a點，電場力方向與速度方向成銳角，所以粒子做加速運動，若粒子從a點運動到c點，電場力方向與速度方向成鈍角，所以粒子做減速運動，故粒子在c點的速度一定小于在a點的速度，D錯誤。
C
訓練 如圖所示，實線為不知方向的三條電場線，從電場中M點以相同速度垂直于電場線方向飛出a、b兩個帶電粒子，僅在電場力作用下的運動軌跡如圖中虛線所示。則(　　)
A.a一定帶正電，b一定帶負電
B.a的速度將減小，b的速度將增大
C.a的加速度將減小，b的加速度將增大
D.兩個粒子的動能，一個增大一個減小
解析　帶電粒子做曲線運動，所受電場力的方向指向軌跡曲線的內側，由于電場線的方向未知，所以粒子帶電性質不確定，故A錯誤；從題圖軌跡變化來看，帶電粒子速度與電場力方向的夾角都小于90°，所以電場力都做正功，動能都增大，速度也都增大，故B、D錯誤；電場線密的地方電場強度大，電場力大，帶電粒子的加速度大，所以a的加速度減小，b的加速度增大，故C正確。
提升3　電場中的動力學問題
1.帶電體在多個力作用下處于平衡狀態，帶電體所受合外力為零，因此可用共點力平衡的知識分析，常用的方法有正交分解法、合成法等。
2.帶電體在電場中的加速問題與力學問題分析方法完全相同，仍然滿足牛頓第二定律，在進行受力分析時不要漏掉電場力。
例5 (2024·廣東珠海高二期中)如圖所示，一帶電量為＋q、質量為m的小物塊，處于傾角為37°足夠長的光滑絕緣斜面上的A點，A、B相距為5L，當整個裝置置于一水平向右的勻強電場中時，小物塊恰好靜止，設重力加速度為g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
解析　(1)小物塊靜止在斜面上，受重力、電場力和斜面支持力作用，
由平衡條件得FN sin 37°＝qE
FN cos 37°＝mg
由牛頓第二定律有mgsin 37°－qE′cos 37°＝ma
解得加速度a＝0.3g
隨堂對點自測
2
B
BCD
2.(電場線與帶電粒子的運動軌跡)(多選)一帶電粒子從電場中的A點運動到B點，軌跡如圖中虛線所示。不計粒子所受重力，則(　　 )
A.粒子帶正電荷
B.粒子加速度逐漸減小
C.粒子在A點的速度大于在B點的速度
D.粒子的初速度不為零
3.(電場中的動力學問題)如圖所示，長l＝1 m的輕質細繩上端固定，下端連接一個可視為質點的帶電小球，小球靜止在水平向右的勻強電場中，繩與豎直方向的夾角θ＝37°。已知小球所帶電量q＝1.0×10－6 C，勻強電場的場強E＝3.0×103 N/C，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)小球的質量；
(2)若剪斷繩子，則經過1 s小球獲得的速度大小。
答案　(1)4×10－4 kg　(2)12.5 m/s
課后鞏固訓練
3
A
對點題組練
題組一　非點電荷電場的電場強度疊加
1.如圖所示，在點電荷－q的電場中，放著一塊帶有一定電荷量、電荷均勻分布的絕緣矩形薄板，MN為其對稱軸，O點為其幾何中心。點電荷－q與a、O、b之間的距離分別為d、2d、3d。已知圖中a點的電場強度為零，靜電力常量為k，則帶電薄板在圖中b點產生的電場強度的大小和方向分別為(　　)
C
2.如圖所示，水平面上有一均勻帶電圓環，所帶電量為＋Q，其圓心為O點。有一帶電量為＋q、質量為m的小球恰能靜止在O點正上方的P點，O、P間距為L。P和圓環上任意點的連線與PO間的夾角都為θ，重力加速度為g，靜電力常量為k，以下說法錯誤的是(　　)
A
題組二　電場線與帶電粒子的運動軌跡
3.如圖所示，實線表示電場線，虛線表示帶電粒子運動的軌跡，帶電粒子只受靜電力作用，運動過程中速度逐漸減小，下列各圖是對它在b處時的運動方向與受力方向的分析，正確的是(　　)
解析　帶電粒子運動速度方向沿軌跡切線方向，受力方向與電場線在同一直線上，靜電力指向軌跡彎曲的內側，B、C錯誤；由于運動過程中速度逐漸減小，則靜電力做負功，A正確，D錯誤。
C
4.某靜電場中的電場線如圖所示，帶電粒子在電場中僅受電場力作用，由M運動到N，其運動軌跡如圖中虛線所示，以下說法正確的是(　　)
A.粒子必定帶負電荷
B.粒子在M點的加速度大于它在N點的加速度
C.粒子在M點的加速度小于它在N點的加速度
D.粒子在M點的動能大于它在N點的動能
解析　根據粒子運動軌跡彎曲的情況，可知粒子所受電場力的方向沿著電場線方向，故此粒子必定帶正電荷，選項A錯誤；由于電場線越密處電場強度越大，帶電粒子所受電場力就越大，根據牛頓第二定律可知其加速度也越大，故此粒子在N點的加速度較大，選項B錯誤，C正確；粒子從M點運動到N點，電場力的方向與運動方向之間的夾角是銳角，電場力做正功，根據動能定理知此粒子在N點的動能較大，選項D錯誤。
D
5.如圖所示，在xOy坐標系中以O為中心的橢圓上，有a、b、c、d、e五點，其中a、b、c、d為橢圓與坐標軸的交點。現有橢圓的一個焦點O1固定一正點電荷Q1、另一正試探電荷僅在電場力作用下的運動軌跡如圖中虛線所示，下列說法正確的是(　　)
A.a、c兩點的電場強度相同
B.b點的電場強度大于d點的電場強度
C.在a、c兩點分別放一個電量為Q2的正點電荷，d點處的場強可能為0
D.在b、d兩點分別放一個電量為Q2的正點電荷和負點電荷，O點處的場強可能為0
解析　由點電荷電場特點可知，a、c兩點電場強度大小相等，但方向不同，所以電場強度不同，A錯誤；b點距離場源電荷較遠，故b點的電場強度小于d點的電場強度，B錯誤；在a、c兩點分別放一個電量為Q2的正點電荷，這兩個正點電荷在d點處的合場強方向沿y軸負方向，正點電荷Q1在d點處的場強方向也沿y軸負方向，故三個點電荷在d點處的合場強不可能為0，C錯誤；在b、d兩點分別放一個電量為Q2的正點電荷和負點電荷，這兩個點電荷在O點處的合場強方向沿y軸負方向，正點電荷Q1在O點處的場強方向沿y軸正方向，故三個點電荷在O點處的合場強可能為0，D正確。
A
題組三　電場中的動力學問題
6.如圖所示，氫原子核內只有一個質子，核外有一個電子繞核旋轉，軌道半徑為r，質子和電子的電量均為e，電子的質量為m1，質子的質量為m2，微觀粒子之間的電場力遠遠大于相互間的萬有引力，因此可以不計萬有引力的作用，靜電力常量為k，則電子繞核旋轉的線速度大小為(　　)
AC
7.(多選)如圖所示，在真空中一條豎直向上的電場線上有a、b兩點，一帶電質點在a處由靜止釋放后沿電場線向下運動，到達b點時速度恰好為零。則下面說法正確的是(　　)
A.該帶電質點一定帶正電荷 B.該帶電質點一定帶負電荷
C.b點的電場強度大于a點的電場強度 D.質點在b點所受到的合力一定為零
解析　帶電質點在a處由靜止釋放后向下運動，到達b點時速度恰好為零，則質點先加速下降，后減速下降，故電場力的方向向上，與電場線方向相同，可知該質點一定帶正電，A正確，B錯誤；帶電質點到b點時速度減為零，可知質點的運動過程中，合力方向先向下再向上，即電場力先小于重力再大于重力，由電場力公式F＝qE可知，a點的電場強度小于b點的電場強度，C正確；由以上分析可知，質點到b點時速度為零，但合力方向向上、大小不為零，D錯誤。
B
綜合提升練
C
9.(2022·山東卷·3)半徑為R的絕緣細圓環固定在圖示位置，圓心位于O點，環上均勻分布著電量為Q的正電荷。點A、B、C將圓環三等分，取走A、B處兩段弧長均為ΔL的小圓弧上的電荷。將一點電荷q置于OC延長線上距O點為2R的D點，O點的電場強度剛好為零。圓環上剩余電荷分布不變，q為(　　)
10.地面上方存在水平向右的勻強電場，一質量為m，帶電量為q的小球用絕緣絲線懸掛在電場中，當小球靜止時絲線與豎直方向的夾角為θ，此時小球到地面的高度為h(重力加速度為g)。求：
(1)小球的電性；
(2)勻強電場電場強度的大小；
(3)若絲線突然斷掉，小球經過多長時間落地。
解析　(1)小球的受力情況如圖，可知小球所受靜電力方向和電場強度方向相同，故小球帶正電。
(2)對小球由平衡條件可得qE＝mgtan θ
培優加強練
11.如圖所示，有一水平向左的勻強電場，電場強度為E＝1.25×104N/C，一根長L＝1.5 m、與水平方向的夾角θ＝37°的光滑絕緣細直桿MN固定在電場中，桿的下端M固定一個帶電小球A，電量Q＝＋4.5×10－6C；另一帶電小球B穿在桿上可自由滑動，電量q＝＋1.0×10－6C，質量m＝1.0×10－2kg。將小球B從桿的上端N由靜止釋放，小球B開始運動(靜電力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。則：
(1)小球B開始運動時的加速度為多大？
(2)小球B的速度最大時，與M端的距離r為多大？
答案　(1)3.2 m/s2　(2)0.9 m
解析　(1)釋放時，對小球B受力分析，
如圖所示，由牛頓第二定律得
代入數據解得a＝3.2 m/s2。
(2)小球B速度最大時所受合力為零，

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