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第7章 萬有引力與宇宙航行
第 2 節(jié) 萬有引力定律
1、能運(yùn)用開普勒第三定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律推導(dǎo)行星與太陽之間作用力的表達(dá)式。
2、體會(huì)從行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律到萬有引力定律的建立過程。
3、理解萬有引力定律的內(nèi)容、含義及適用條件。
4、認(rèn)識(shí)萬有引力定律的普遍性，并能用來解決實(shí)際問題。
各行星都圍繞著太陽運(yùn)行，說明太陽與行星之間的引力是使行星如此運(yùn)動(dòng)的主要原因。
引力的大小和方向能確定嗎？
行星為什么會(huì)繞太陽運(yùn)動(dòng)？
牛頓 (1643—1727)
英國著名的物理學(xué)家
當(dāng)年牛頓在前人研究的基礎(chǔ)上，也經(jīng)過類似的思考，并憑借其超凡的數(shù)學(xué)能力和堅(jiān)定的信念，深入研究，最終發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律.
太陽
行星
a
誘思：簡(jiǎn)化為圓周運(yùn)動(dòng)后，行星繞太陽運(yùn)動(dòng)可看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)還是變速圓周運(yùn)動(dòng)？為什么？
簡(jiǎn)化
行星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力由什么力來提供呢？ 這個(gè)力的方向怎樣？
1.模型建構(gòu)
太陽對(duì)行星的引力提供向心力，那這個(gè)力大小有什么樣的定量關(guān)系？
F
太陽M
行星m
r
v
2.推導(dǎo)太陽與行星的引力
F
太陽M
行星m
v
問題1天文觀測(cè)難以直接得到行星運(yùn)動(dòng)的線速度v，但可得到行星的公轉(zhuǎn)周期T，寫出用公轉(zhuǎn)周期T表示的向心力的表達(dá)式。
問題2：不同行星的公轉(zhuǎn)周期是不同的，引力跟太陽與行星間的距離關(guān)系的表達(dá)式中不應(yīng)出現(xiàn)周期T， 如何消去周期T?
消去T
開普勒第三定律
關(guān)系式中m是受力天體還是施力天體的質(zhì)量？
r
F
太陽M
行星m
v
????′
?
????∝????????2
?
????′∝????????2
?
作用力
反作用力
太陽對(duì)行星的引力
行星對(duì)太陽的引力
牛頓第三定律
????∝????????????2
?
????=????????????????2
?
G為比例系數(shù)，與太陽、行星無關(guān)

方向：沿著太陽與行星間的連線
結(jié)論: 太陽與行星間引力的大小與太陽的質(zhì)量、行星的質(zhì)量成正比，與兩者距離的二次方成反比
太陽與行星間引力
(1)太陽與行星間引力的方向沿著兩者的連線。(　　)
(2)太陽與行星間的引力公式F=G????太????????2中，G與太陽、行星都沒有
關(guān)系。(　　)
(3)太陽對(duì)行星的引力大小等于行星對(duì)太陽的引力大小。(　　)
(4)太陽對(duì)行星的引力與行星的質(zhì)量成正比，與太陽的質(zhì)量無關(guān)。
(　　)
?
√
√
√
×
牛頓的思考：
1、地球和月球之間的吸引力會(huì)不會(huì)與地球吸引蘋果的力是同一種力呢？
2、地球表面的重力能否延伸到很遠(yuǎn)的地方，會(huì)不會(huì)作用到月球上？
3、拉住月球使它繞地球運(yùn)動(dòng)的力，與拉著蘋果使它下落的力，以及眾行星與太陽之間的作用力也許真的是同一種力，遵循相同的規(guī)律?
1.檢驗(yàn)?zāi)康模簷z驗(yàn)地球繞太陽運(yùn)動(dòng)、月球繞地球運(yùn)動(dòng)的力與地球?qū)渖咸O果的吸引力是否為 的力。
同一性質(zhì)
地球?qū)υ虑虻囊?
月球繞地球公轉(zhuǎn)的加速度：
1、先假定地球?qū)υ虑虻囊吞柵c行星間的作用力是同一種力.
R
r
“月——地”檢驗(yàn)示意圖
地球?qū)μO果的引力:
2、假設(shè)地球?qū)μO果的吸引力也是同一種力
蘋果下落的加速度:
月球軌道半徑： r ≈ 60R
????月????果=1602
?
r
2.檢驗(yàn)原理：
在牛頓的時(shí)代，已能比較精確測(cè)定：
月球與地球的距離 r≈60R=3.84×108m
月球公轉(zhuǎn)周期T =27.3天≈2.36×106 s
地球的自由落體加速度 g=9.8m/s2
求月球公轉(zhuǎn)的向心加速度：
實(shí)際測(cè)量計(jì)算與假設(shè)的理論推導(dǎo)結(jié)果一致,數(shù)據(jù)表明，地面物體所受地球的引力，月球所受地球的引力，與太陽、行星間的引力，真的遵從相同的規(guī)律！
我們的思想還可以更加解放！是否宇宙中任意兩個(gè)物體之間都有這樣的力呢?
3、數(shù)據(jù)計(jì)算驗(yàn)證
1.(2023·重慶市高一期中)牛頓進(jìn)行了著名的月—地檢驗(yàn)，驗(yàn)證了使蘋果下落的力和使月球繞地球運(yùn)動(dòng)的力是同一種性質(zhì)的力，同樣遵從“平方反比”規(guī)律。在進(jìn)行月—地檢驗(yàn)時(shí)，不需要用到的物理量是
A.月球公轉(zhuǎn)的周期 B.地球的半徑
C.地表的重力加速度 D.地球自轉(zhuǎn)的周期
√
既然太陽與行星之間、地球與月球之間，以及地球與地面物體之間具有“與兩個(gè)物體的質(zhì)量成正比、與它們之間距離的二次方成反比”的吸引力，是否任意兩個(gè)物體之間都有這樣的力呢？
自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的 上，引力的大小與物體的 成正比、與它們之
間 成反比。
1.內(nèi)容：
2.表達(dá)式：
連線
質(zhì)量m1和m2的乘積
距離r的二次方
F= G????1????2????2
?
m1、m2 ：
r ：
G ：
兩物體的質(zhì)量
兩物體間的距離，對(duì)于質(zhì)量分布均勻的球體，
r為兩個(gè)球心之間的距離.
比例系數(shù)，叫引力常量，適用于任何物體.
3.引力常量
牛頓得出了萬有引力與物體質(zhì)量及它們之間距離的關(guān)系，但沒有測(cè)出引力常量G的值。英國物理學(xué)家 通過實(shí)驗(yàn)推算出引力常量G的值。通常取G= N·m2/kg2。
卡文迪什
6.67×10-11
原理：力矩平衡，即引力矩=扭轉(zhuǎn)力矩
方法：扭秤裝置把微小力轉(zhuǎn)變成力矩來反映（一次放大），扭轉(zhuǎn)角度（微小形變）通過光標(biāo)的移動(dòng)來反映（二次放大）
4.對(duì)萬有引力定律的理解
(1)普遍性：宇宙間任何兩個(gè)有質(zhì)量的物體之間都存在著相互吸引的力。
(2)相互性：兩個(gè)有質(zhì)量的物體之間的萬有引力是一對(duì) 。
作用力和反作用力
(3)宏觀性：地面上的一般物體之間的萬有引力比較小，與其他力比較可忽略不計(jì)，但在質(zhì)量巨大的天體之間或天體與其附近的物體之間，萬有引力起著決定性作用。
我們知道，任何兩個(gè)物體間一定存在萬有引力，試通過計(jì)算說明萬有引力的宏觀性。
已知一個(gè)籃球的質(zhì)量為0.6 kg，它所受的重力有多大？試估算操場(chǎng)上相距1 m的兩個(gè)籃球之間的萬有引力。它們的萬有引力和重力之比為多少？(g取10 m/s2，引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2，計(jì)算結(jié)果均保留兩位有效數(shù)字)
籃球的重力G籃=mg=6.0 N
萬有引力為F=G????1????2????2=G????2????2≈2.4×10-11 N
萬有引力和重力之比為????????籃=4.0×10-12
?
4、萬有引力定律的適用條件
不正確.當(dāng)r趨近于零時(shí)，兩物體不可看作質(zhì)點(diǎn)，萬有引力定律表達(dá)式不再適用.
有人說：根據(jù)F＝G可得當(dāng)r趨近于零時(shí)，萬有引力將趨于無窮大，這種說法對(duì)嗎？萬有引力定律的適用條件是什么？
(1)適用于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間引力大小的計(jì)算，若兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)大于物體本身大小時(shí)，兩個(gè)物體可近似看成質(zhì)點(diǎn)。
r 為兩質(zhì)點(diǎn)間的距離
r
F
m2
m1
F?
F
r
M
m
F?
r 為兩天體中心的距離
(2)兩個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體間的相互作用也可以用此公式來計(jì)算,其中的r是兩個(gè)球體球心
間的距離。
(3)一個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體與球外一個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力也可用此公式計(jì)算,式中的r是球
體的球心到質(zhì)點(diǎn)的距離。
當(dāng)r趨近于0時(shí)，萬有引力公式已不再適用，而不是引力F趨于無窮大。
(1)由于天體間距離很遠(yuǎn)，在研究天體間的引力時(shí)可以將它們視為質(zhì)點(diǎn)。(　　)
(2)由萬有引力定律F=????????1????2????2可知，r→0時(shí)，F(xiàn)→∞。(　　)
(3)一個(gè)均勻球體與球外一個(gè)質(zhì)點(diǎn)間適用于萬有引力定律，其中r為球心到質(zhì)點(diǎn)間的距離。(　　)
(4)不能看作質(zhì)點(diǎn)的兩物體間不存在相互作用的引力。(　　)
?
×
√
√
×
例1.下列關(guān)于萬有引力公式 的說法中正確的是（ ）

A.公式只適用于星球之間的引力計(jì)算，不適用于質(zhì)量較小的物體
B.當(dāng)兩物體間的距離趨近于零時(shí)，萬有引力趨近于無窮大
C.兩物體間的萬有引力也符合牛頓第三定律
D.公式中萬有引力常量G的值是牛頓規(guī)定的
C
2.(2024·深圳市高一期中)甲、乙兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力大小為F，若甲質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量不變，乙質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量增大為原來的4倍，同時(shí)它們間的距離減為原來的23，則甲、乙兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力大小將變?yōu)?
A.????9 B.2????3 C.3F D.9F
?
√
3.如圖所示為兩個(gè)半徑分別為r1=0.40 m、r2=0.60 m且質(zhì)量分布均勻的實(shí)心球，質(zhì)量分別為m1=4.0 kg，m2=1.0 kg，兩球間距離為r0=1.0 m，引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2，則兩球間萬有引力的大小為
A.6.67×10-11 N B.2.668×10-10 N
C.小于6.67×10-11 N D.不能確定
√
計(jì)算一些不完整球形物體(含球穴)間的萬有引力時(shí),常采用“填補(bǔ)法”。所謂填補(bǔ)法,就是對(duì)于非對(duì)稱的物體,通過填補(bǔ)后構(gòu)成對(duì)稱物體,然后再利用對(duì)稱物體所滿足的物理規(guī)律進(jìn)行求解的方法。利用“填補(bǔ)法”求解物體間的萬有引力的具體步驟為:
(1)把從均勻球體上挖去的部分補(bǔ)上;
(2)計(jì)算完整球體所受的萬有引力;
(3)計(jì)算補(bǔ)上部分所受的萬有引力;
(4)兩者之差即所求球體剩余部分所受的萬有引力。
用“填補(bǔ)法”求解萬有引力
典例????兩個(gè)質(zhì)量分布均勻、密度相同且大小相同的實(shí)心小球緊靠在一起,它們之間的萬有引力為F。現(xiàn)將其中一個(gè)小球中挖去半徑為原球半徑一半的球,并按如圖所示的形式緊靠在一起,三個(gè)球心在一條直線上,試計(jì)算它們之間的萬有引力大小。
思路點(diǎn)撥
右邊小球挖掉部分后質(zhì)量分布不均勻,且不能看成質(zhì)點(diǎn),則不能直接應(yīng)用萬有引力定律求左邊小球與右邊小球剩余部分之間萬有引力的值,可以用“填補(bǔ)法” 處理該問題。已知兩實(shí)心小球之間的萬有引力,再求出左邊小球與挖出小球之間的萬有引力,由力的合成規(guī)律可得,兩者之差即為待求萬有引力。
解析　如圖甲所示,原來是兩個(gè)實(shí)心小球,設(shè)球的半徑為r,它們之間的萬有引力為F=G?
(由【1】得到)?①
?　　?????　?????
從右邊的球體中挖去一小球體后,設(shè)剩余部分與左邊球體之間的萬有引力為F'。
左球與右球挖掉小球體后剩余部分(圖乙)間的萬有引力F'等于原來兩實(shí)心小球間的萬有引力F(圖甲)與左球和挖去的小球體間萬有引力F1(圖丙)之差。(由【3】得到)F1=G??②且m1∶m=?∶r3=1∶8?③
聯(lián)立①②③式得F1=?F左球與右球剩余部分之間的萬有引力大小為F'=F-F1=?F
答案?????F
思考：由于地球的吸引而使物體受到的力叫重力，那么重力和萬有引力是什么關(guān)系呢
如圖所示，人分別站在地球(地球可視為規(guī)則的球體)的北極處(位置A)、北半球某位置(位置B)、赤道上某位置(位置C)。
(1)同一個(gè)人在地球不同位置受到的萬有引力大小是否相等？
(2)人在地球上隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力來源是什么？人在A、B、C三位置需要的向心力大小、方向是否相同？
(3)人在A、B、C三位置的重力與萬有引力有何關(guān)系？
與地球保持相對(duì)靜止的在赤道地面上的物體，若考慮地球自轉(zhuǎn)的影響
Fw
FN
????引?????????=????????2????
?
從地球外看，由牛頓第二定律得：
在地面上看，物體靜止則有：
由以上兩式可得：
????引=????????1+????????2????
?
ω
可以看出：
????引>????????1
?
（1）.在赤道上
1緯度對(duì)重力影響
Fw
FN
????引?????????=0
?
從地球外看，由牛頓第二定律得：
在地面上看，物體靜止則有：
由以上兩式可得：
????引=????????2
?
ω
由此可以看出，物體的重力隨緯度的升高而增大。
由于物體的質(zhì)量是不變的，所以可以得出地球上的重力加速度隨緯度的升高而增大。
（2）在兩極處。
Fw
G
F向
與地球保持相對(duì)靜止的在任意緯度處地面上的物體，若考慮地球自轉(zhuǎn)的影響
重力是萬有引力的一個(gè)分力，方向是豎直向下，不是指向地心的。
（3）任意緯度處
綜上分析可知,隨著緯度的升高,物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度逐漸減小,重力逐漸增大。
思考： 根據(jù)所學(xué)的知識(shí)你能解釋為什么可以不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響呢？
結(jié)論：向心力遠(yuǎn)小于重力，萬有引力大小近似等于重力。因此一般粗略計(jì)算中不考慮（或忽略）地球自轉(zhuǎn)的影響。
試求：質(zhì)量為1kg的物體靜止在赤道上時(shí)的向心加速度。（已知地球半徑R=6.4×106m)
答案： ????=????????2????=0.034m/s2
?
2.高度對(duì)重力的影響(不考慮地球自轉(zhuǎn))
(1)在地球表面:
mg= ????MmR2?
?
(2)在距地面高h(yuǎn)處:
(3)g和gh的關(guān)系:?
mgh= ????Mm(R+h)2
?
?→離地面高h(yuǎn)處的重力加速度gh= GM(R+h)2??
?
高度h越大,重力加速度gh越小。
ghg?= RR+h2
?
?→地球表面的重力加速度g= GMR2??
?
知識(shí)拓展????黃金代換式——gR2=GM
由于物體隨地球自轉(zhuǎn)需要的向心加速度很小,一般情況下認(rèn)為重力近似等于萬有引力。因此不考慮地球自轉(zhuǎn)時(shí),在地球表面及表面附近有mg= ????MmR2??,
化簡(jiǎn)得gR2=GM。gR2=GM通常叫作黃金代換式,適用于任何天體,在某星體的質(zhì)量M未知的情況下,可以用該星體的半徑和表面的重力加速度表示M。
?
3.深度對(duì)重力的影響
萬有引力定律有兩個(gè)重要推論,
推論二:在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處,質(zhì)點(diǎn)受到的引力就等于半徑為r的球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力。
根據(jù)兩個(gè)推論分析在深度為h的礦井的底部的重力加速度,思路如下:
推論一:在勻質(zhì)球殼內(nèi)的任意位置處,質(zhì)點(diǎn)受到球殼萬有引力的合力為零。
?
在地球表面:g=?=?=?πGρR
在礦井底部:g'=?=?=?πGρ(R-h)
可得g'=?g
萬有引力定律
行星與太陽間的引力
????∝ ????太????????2
?
月—地檢驗(yàn)
物體間的引力遵循相同的規(guī)律
萬有引力定律
公式：F=Gm1m2r2
?
引力常量： 6.67×10－11 N·m2/kg2
性質(zhì)：普遍性、相互性、宏觀性
適用范圍：兩質(zhì)點(diǎn)間的相互作用

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