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第7章 萬(wàn)有引力與宇宙航行
第 3 節(jié) 萬(wàn)有引力理論的成就
在初中，我們已經(jīng)知道物體的質(zhì)量可以用天平來(lái)測(cè)量，生活中物體的質(zhì)量常用電子秤或臺(tái)秤來(lái)稱(chēng)量。對(duì)與地球，我們?cè)鯓印胺Q(chēng)量”它的質(zhì)量呢？
思考與討論
1、內(nèi)容:
2、公式：
　　r：質(zhì)點(diǎn)(球心)間的距離
引力常量：G=6.67×10－11 N·m2/kg2
3、條件:質(zhì)點(diǎn)或均質(zhì)球體
4、理解:普遍性、相互性、宏觀性、
m2
m1
F
F
r
萬(wàn) 有 引 力 定 律
自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比.
思考：由于地球的吸引而使物體受到的力叫重力，那么重力和萬(wàn)有引力是什么關(guān)系呢
如圖所示，人分別站在地球(地球可視為規(guī)則的球體)的北極處(位置A)、北半球某位置(位置B)、赤道上某位置(位置C)。
(1)同一個(gè)人在地球不同位置受到的萬(wàn)有引力大小是否相等？
(2)人在地球上隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力來(lái)源是什么？人在A、B、C三位置需要的向心力大小、方向是否相同？
(3)人在A、B、C三位置的重力與萬(wàn)有引力有何關(guān)系？
與地球保持相對(duì)靜止的在赤道地面上的物體，若考慮地球自轉(zhuǎn)的影響
Fw
FN
????引?????????=????????2????
?
從地球外看，由牛頓第二定律得：
在地面上看，物體靜止則有：
由以上兩式可得：
????引=????????1+????????2????
?
ω
可以看出：
????引>????????1
?
（1）.在赤道上
1緯度對(duì)重力影響
Fw
FN
????引?????????=0
?
從地球外看，由牛頓第二定律得：
在地面上看，物體靜止則有：
由以上兩式可得：
????引=????????2
?
ω
由此可以看出，物體的重力隨緯度的升高而增大。
由于物體的質(zhì)量是不變的，所以可以得出地球上的重力加速度隨緯度的升高而增大。
（2）在兩極處。
Fw
G
F向
與地球保持相對(duì)靜止的在任意緯度處地面上的物體，若考慮地球自轉(zhuǎn)的影響
重力是萬(wàn)有引力的一個(gè)分力，方向是豎直向下，不是指向地心的。
（3）任意緯度處
綜上分析可知,隨著緯度的升高,物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度逐漸減小,重力逐漸增大。
思考： 根據(jù)所學(xué)的知識(shí)你能解釋為什么可以不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響呢？
結(jié)論：向心力遠(yuǎn)小于重力，萬(wàn)有引力大小近似等于重力。因此一般粗略計(jì)算中不考慮（或忽略）地球自轉(zhuǎn)的影響。
試求：質(zhì)量為1kg的物體靜止在赤道上時(shí)的向心加速度。（已知地球半徑R=6.4×106m)
答案： ????=????2????=0.034m/s2
?
2.高度對(duì)重力的影響(不考慮地球自轉(zhuǎn))
(1)在地球表面:
mg= ????MmR2?
?
(2)在距地面高h(yuǎn)處:
(3)g和gh的關(guān)系:?
mgh= ????Mm(R+h)2
?
?→離地面高h(yuǎn)處的重力加速度gh= GM(R+h)2??
?
高度h越大,重力加速度gh越小。
ghg?= RR+h2
?
?→地球表面的重力加速度g= GMR2??
?
知識(shí)拓展????黃金代換式——gR2=GM
由于物體隨地球自轉(zhuǎn)需要的向心加速度很小,一般情況下認(rèn)為重力近似等于萬(wàn)有引力。因此不考慮地球自轉(zhuǎn)時(shí),在地球表面及表面附近有mg= ????MmR2??,
化簡(jiǎn)得gR2=GM。gR2=GM通常叫作黃金代換式,適用于任何天體,在某星體的質(zhì)量M未知的情況下,可以用該星體的半徑和表面的重力加速度表示M。
?
3.深度對(duì)重力的影響
萬(wàn)有引力定律有兩個(gè)重要推論,
推論二:在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處,質(zhì)點(diǎn)受到的引力就等于半徑為r的球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力。
根據(jù)兩個(gè)推論分析在深度為h的礦井的底部的重力加速度,思路如下:
推論一:在勻質(zhì)球殼內(nèi)的任意位置處,質(zhì)點(diǎn)受到球殼萬(wàn)有引力的合力為零。
?
在地球表面:g=?=?=?πGρR
在礦井底部:g'=?=?=?πGρ(R-h)
可得g'=?g
　1、(多選)(2023·邯鄲市高一期中)關(guān)于萬(wàn)有引力和重力的關(guān)系，下列說(shuō)法正確的是
A.地面附近的物體所受到的重力就是萬(wàn)有引力
B.若地球自轉(zhuǎn)角速度變大，則赤道上物體所受重力變小
C.物體所受重力方向總是與萬(wàn)有引力方向相同
D.在地球上，萬(wàn)有引力等于重力與向心力的矢量和
√
√
　2、(2024·銅川市高一期中)假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g，地球的半徑為R，則地球的自轉(zhuǎn)周期為
A.2π?????????????0 B.2π????????0?????
C.2π?????????0???? D.2π????0?????????
?
√
卡文迪什在實(shí)驗(yàn)室測(cè)出了引力常量G的值，他稱(chēng)自己是“可以稱(chēng)量地球重量的人”。
他“稱(chēng)量”的依據(jù)是什么？
(1)原理：對(duì)于地球表面的物體,若不考慮地球自轉(zhuǎn),其所受的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力
若已知地球表面重力加速度g，地球半徑R，
引力常量G，求地球的質(zhì)量。
R
m
M
????????= G ????????????2
?
→ ????= ????????2????
?
1.地表重力加速度法
(2).推廣:
若知道其他天體表面的重力加速度、天體的半徑及G值,利用上式可計(jì)算出該天體的質(zhì)量。
(3).密度計(jì)算:
????=43????????3
?
M=????????2????
?
????=???????? =3????4π????????
?
R
m
M
1.(2023·湖州市高一期中)如果你站在月球上，由靜止釋放質(zhì)量為m的物體，物體在t秒內(nèi)下落了h米，若已知月球的半徑為R、引力常量為G，根據(jù)以上給出的物理量得出月球的質(zhì)量為
A.????????22h????2 B.2h????2????????2 C.2h????????????2 D.2h????2????????
?
√
物體做自由落體運(yùn)動(dòng)有h=12gt2，根據(jù)萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系G????????????2=mg，解得月球的質(zhì)量為M=2h????2????????2，故選B。
?
2、振奮人心！我國(guó)計(jì)劃2033年載人登陸火星，“火星城市”要來(lái)了。已知火星半徑為R，火星表面的重力加速度為地球表面的重力加速度的五分之二，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G。
求： (1)火星的質(zhì)量；（2）火星的平均密度。
解：（1）????????????????2=????????火=25????????，解得????=2????????25????
（2）????=????43????????3=3????10????????????
?
思考:太陽(yáng)是一個(gè)火熱的球體，我們無(wú)法得知其上的重力加速度，那如何來(lái)求太陽(yáng)的質(zhì)量呢？
地球作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是由什么力來(lái)提供的？
地球作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是由太陽(yáng)對(duì)地球的萬(wàn)有引力來(lái)提供的.
r
M
m
F
（1）原理：
r
M
m
F
已知條件：行星(或衛(wèi)星)環(huán)繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r及其他相關(guān)運(yùn)動(dòng)參量,如周期(T)或線(xiàn)速度(v)、角速度(ω)等。
Fn=????Mmr2=mrω2= mv2r= 4????2????????T2
?
M= rv2G?= r3ω2G?= 4????2r3GT2
?
2.環(huán)繞法
環(huán)繞天體圍繞中心天體作圓周運(yùn)動(dòng)，向心力由中心天體對(duì)環(huán)繞天體的萬(wàn)有引力來(lái)提供
（2）推廣:
求解思路：
環(huán)繞天體的向心力由中心天體對(duì)其萬(wàn)有引力獨(dú)家提供
具體方法：
????????????????2=????(2????????)2????
?
????=4????2????3????????2
?
提醒注意：
此種方法估算的是中心天體的質(zhì)量，而非是環(huán)繞天體的質(zhì)量。
中心天體M
環(huán)繞天體m
(3).密度計(jì)算:
????=4????2????3????????2
?
????=43????????3
?
????=???????? = 3????????3????????2????3
?
當(dāng)衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌道半徑r等于天體半徑R，
r =R
????=3π????????2
?
1.把地球繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)看作是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑約為1.5×1011 m，已知引力常量G=6.67×10－11 N·m2/kg2，則可估算出太陽(yáng)的質(zhì)量約為 kg。
解：地球繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)的周期:
T=365×24×60×60s=3.15×107s
地球繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬(wàn)有引力提供，
????????=4π2????3????????2=4×3.142×(1.5×1011)36.67×10?11×(3.2×107)2≈2×1030kg
?
2.若萬(wàn)有引力常量G值已知，要估算某行星的密度，僅需測(cè)出
A．行星表面的重力加速度 B．行星繞恒星運(yùn)行的周期
C．任意高度處衛(wèi)星的周期 D．靠近表面飛行的衛(wèi)星的周期
A．若測(cè)出行星表面的重力加速度????，根據(jù)
????????????????2=????????，????=????????=????43????????3
可得????=3????4????????????，還需要知道行星的半徑????，故A錯(cuò)誤。
?
若知道行星繞恒星運(yùn)行的周期????，
可得????????????????2=????????(2????????)2,????=4????2????3????????2,????=????43????????3=3????????3????????2????3
還要知道行星繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑????及地球的半徑????。
但若已知靠近地球表面飛行的衛(wèi)星的周期時(shí)，
則????=????可得????=3????????????2，故BC錯(cuò)誤，D正確。
?
√
3．“玉兔號(hào)”月球車(chē)與月球表面的第一次接觸實(shí)現(xiàn)了中國(guó)人“奔月”的偉大夢(mèng)想，“玉兔號(hào)”月球車(chē)在月球表面做了一個(gè)自由下落實(shí)驗(yàn)，測(cè)得物體從靜止自由下落h高度的時(shí)間為t，已知月球半徑為R，引力常量為G．求：（1）月球表面的重力加速度；（2）月球的質(zhì)量。
解：（1）h=12????????2，得????=2h????2
（2）在月球表面的物體受到的重力
等于萬(wàn)有引力，????????=????????????????2
解得月球的質(zhì)量????=????????2????=2????2h????????2
?
1.海王星的發(fā)現(xiàn)
英國(guó)的 和法國(guó)的 根據(jù)天王星的觀測(cè)資料，利用萬(wàn)有引力定律計(jì)算出 的軌道。
亞當(dāng)斯
勒維耶
海王星
2.冥王星的發(fā)現(xiàn)
使用“計(jì)算、預(yù)測(cè)和觀察”的方法，近100年來(lái)，人們發(fā)現(xiàn)了 、鬩神星等幾個(gè)較大的天體。
冥王星
3.預(yù)言哈雷彗星回歸
英國(guó)天文學(xué)家哈雷計(jì)算了哈雷彗星的周期約為 年，并成功預(yù)言了其回歸的時(shí)間。
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4. 的發(fā)現(xiàn)和 的“按時(shí)回歸”確立了 定律的地位。
海王星
哈雷彗星
萬(wàn)有引力
1.(多選)萬(wàn)有引力理論不僅能夠解釋已知的事實(shí)，更重要的是能夠預(yù)言未知的現(xiàn)象。下列說(shuō)法正確的是
A.卡文迪什被稱(chēng)為“可以稱(chēng)量地球質(zhì)量的人”
B.哈雷依據(jù)萬(wàn)有引力定律預(yù)言了哈雷彗星的回歸時(shí)間
C.牛頓用月球和太陽(yáng)對(duì)海水的萬(wàn)有引力解釋了潮汐現(xiàn)象
D.天王星被稱(chēng)為“筆尖上發(fā)現(xiàn)的行星”
√
√
√
觀察與思考：太陽(yáng)系八大行星都繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)，它們公轉(zhuǎn)周期、線(xiàn)速度、角速度、向心加速度及向心力有何關(guān)系呢
r
M
m
F
高軌低速長(zhǎng)周期
????????????????2=
?
????????n→
?
????????2????→
?
????????2????→
?
????4π2????2????→
?
????n∝1????2
?
????∝1????
?
????∝1????3
?
????∝????3
?
????n=????????????2→
?
????=????????????→
?
????=????????????3→
?
????=4π2????3????????→
?
忽略地球自轉(zhuǎn)時(shí)，mg=G????????????2，整理可得：GM=gR2，當(dāng)GM未知時(shí)，可用gR2替換后進(jìn)行有關(guān)計(jì)算，此式被稱(chēng)為“黃金代換公式”
?
有人根據(jù)公式v=ωr說(shuō)：人造地球衛(wèi)星的軌道半徑增大2倍，衛(wèi)星的速度
也增大2倍。但由公式v=????????地????可知，軌道半徑增大時(shí)，人造地球衛(wèi)星的速度是減小的。應(yīng)當(dāng)怎樣正確理解這個(gè)問(wèn)題？
?
答案　當(dāng)角速度ω不變時(shí)，根據(jù)公式v=ωr，軌道半徑增大2倍，速度v也增大2倍。但對(duì)于人造地球衛(wèi)星來(lái)講，當(dāng)軌道半徑增大時(shí)，角速度會(huì)改變。所以第一種說(shuō)法不正確；因公式v=????????地????中，當(dāng)軌道半徑r增大時(shí)，引力常量G和地球質(zhì)量都不變，因此人造地球衛(wèi)星的速度減小。
?
思考與討論：
　1、如圖所示，是在同一平面不同軌道上的三顆質(zhì)量相同的人造地球衛(wèi)星，均繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。關(guān)于各物理量的關(guān)系，下列說(shuō)法不正確的是
A.線(xiàn)速度大小vA>vB>vC
B.周期TA>TB>TC
C.向心加速度大小aA>aB>aC
D.角速度ωA>ωB>ωC
√
　2、2022年6月5日，我國(guó)成功發(fā)射神舟十四號(hào)載人飛船，3名航天員進(jìn)駐核心艙。假設(shè)神舟十四號(hào)在飛行的過(guò)程中繞地球沿圓軌道運(yùn)行，地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，飛船繞地球運(yùn)行的周期為T(mén)。
(1)求飛船離地面的高度h；
答案　3????????2????24π2-R　
?
(2)如圖所示，衛(wèi)星A與神舟十四號(hào)載人飛船B在同一軌道平面，已知衛(wèi)星A運(yùn)行方向與B相同，A的軌道半徑為B的2倍，某時(shí)刻A、B相距最近，則至少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間它們?cè)僖淮蜗嗑嘧罱?
答案　8+227T
?
M ＝ 4π2????3????????2 → ρ ＝ 3π????3????????2????3
?
萬(wàn)有引力
理論的成就
計(jì)算天體的質(zhì)量
計(jì)算天體的密度
發(fā)現(xiàn)未知天體
預(yù)言哈雷彗星的回歸
海王星、鬩神星等
mg ＝ G????????????2， M ＝ ????????2????
?
M ＝ ????????2???? → ρ ＝ 3????4π????????
?
G????????????2 ＝ ????4????2????2?????， M ＝ 4????2????3????????2
?
r ＝ ???? → ρ ＝ 3π????????2

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