資源簡介

3．動能和動能定理
[學習任務]　1．理解動能的概念，會利用動能定義式進行計算。
2．理解動能定理表述的物理意義，并能進行相關分析與計算。
3．能夠推導動能定理，并能應用動能定理分析求解相關問題。
[問題初探]　問題1．動能的表達式是什么？
問題2．動能定理內容是什么？
[自我感知]　經過你認真的預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系。
　動能的表達式
1．動能的定義：物體由于運動而具有的能量叫動能，用符號Ek表示。
2．動能的表達式：Ek＝mv2。
3．動能的單位：與功的單位相同，國際單位為焦耳。
1 kg(m/s)2＝1 N·m＝1 J。
4．動能是標量(選填“矢量”或“標量”)，只有大小沒有方向。
地球同步衛星是人為發射的一種衛星，其中一種的軌道平面與赤道平面成0°角，從地面上看，衛星保持不動，故也稱靜止衛星，從地球之外看，衛星與地球以相同的角速度轉動。如圖所示是同步衛星繞地球做勻速圓周運動的情境。
【問題】
(1)在衛星的運動過程中，其速度是否變化？
(2)其動能是否變化？
(3)物體運動動能的大小與哪些因素有關？
提示：(1)速度變化，衛星做勻速圓周運動時，其速度方向不斷變化，由于速度是矢量，所以速度是變化的。
(2)動能不變，運動時其速度大小不變，所以動能大小不變，由于動能是標量，所以動能是不變的。
(3)由動能的表達式Ek＝mv2可知，物體的動能與物體的質量和運動速度有關。
1．對動能概念的理解
(1)動能是狀態量，動能公式中的速度v是瞬時速度。
(2)動能是標量，且動能恒為正值。
(3)動能也具有相對性，同一物體，對不同的參考系物體的速度有不同值，因而動能也有不同值。計算動能時一般都是以地面為參考系。
2．動能的變化量
(1)末狀態的動能與初狀態的動能之差，即ΔEk＝。
(2)動能的變化量是過程量，ΔEk＞0，表示物體的動能增加；ΔEk＜0，表示物體的動能減少。
【典例1】　(對動能的理解)(多選)關于動能的理解，下列說法正確的是(　　)
A．凡是運動的物體都具有動能
B．動能不變的物體，一定處于平衡狀態
C．重力勢能可以為負值，動能不可以為負值
D．一定質量的物體，動能變化時，速度一定變化，但速度變化時，動能不一定變化
ACD　[由動能的定義可知，凡是運動的物體都具有動能，故A正確；物體做勻速圓周運動時，物體的動能不變，但是物體的合力提供向心力，即合力不為零，物體處于非平衡狀態，故B錯誤；重力勢能可以有負值，其正負取決于所選擇的參考平面，而動能沒有負值，故C正確；由于速度為矢量，當方向變化時，若其速度大小不變，則動能并不改變，而動能變化時，一定質量的物體速度大小一定變化，故D正確。]
【典例2】　(速度變化與動能變化)(多選)一質量為0.1 kg的小球，以5 m/s的速度在光滑水平面上勻速運動，與豎直墻壁碰撞后以原速率反彈，若以彈回的速度方向為正方向，小球碰墻過程中速度的變化為Δv，動能的變化為ΔEk。則下列說法正確的是(　　)
A．Δv＝10 m/s　　　 B．Δv＝0
C．ΔEk＝1 J D．ΔEk＝0
AD　[速度是矢量，以彈回的速度方向為正方向，故Δv＝v2－v1＝5 m/s－(－5 m/s)＝10 m/s，而動能是標量，初、末狀態的速度大小相等，故動能相等，因此ΔEk＝0，選項A、D正確。]
　動能定理
1．動能定理的內容
力在一個過程中對物體做的功，等于物體在這個過程中動能的變化。
2．動能定理的表達式
(1)W＝。
(2)W＝Ek2－Ek1。
說明：式中W為合力做的功，它等于各力做功的代數和。
3．動能定理的適用范圍
不僅適用于恒力做功和直線運動，也適用于變力做功和曲線運動。
關于一輛汽車在上坡路上加速行駛的情境，請回答以下問題：
【問題】
(1)汽車上坡過程受哪些力作用？各個力做什么功？
(2)汽車的動能怎樣變化？
(3)其動能的變化與各個力做功有什么關系？
提示：(1)汽車受重力、支持力、牽引力及路面的阻力作用，上坡過程中牽引力做正功，重力、阻力做負功，支持力不做功。
(2)由于汽車加速上坡，其動能增大。
(3)汽車動能的變化量等于重力、牽引力及路面的阻力三個力做功的代數和。
1．對動能定理的理解
(1)表達式W＝ΔEk中的W為合力對物體做的總功。
(2)動能定理描述了做功和動能變化的兩種關系。
①等值關系：物體動能的變化量等于合力對它做的功。
②因果關系：合力對物體做功是引起物體動能變化的原因，做功的過程實質上是其他形式的能與動能相互轉化的過程，轉化了多少由合力做的功來度量。
2．對動能定理的兩點說明
(1)動能定理的表達式是一個標量式，不能在某一方向上應用動能定理，動能沒有負值，但動能的變化量ΔEk有正負之分。
(2)應用動能定理涉及“一個過程”和“兩個狀態”。所謂“一個過程”是指做功過程，應明確該過程合力所做的總功；“兩個狀態”是指初、末兩個狀態物體的動能。
【典例3】　(動能定理的簡單應用)(多選)質量為m的物體在水平力F的作用下由靜止開始在光滑水平地面上運動，前進一段距離之后速度大小為v，再前進一段距離使物體的速度增大為2v，則(　　)
A．第二過程的速度增量等于第一過程的速度增量
B．第二過程的動能增量是第一過程動能增量的3倍
C．第二過程合力做的功等于第一過程合力做的功
D．第二過程合力做的功等于第一過程合力做功的2倍
AB　[第一過程速度增量為Δv1＝v，動能增量為ΔEk1＝mv2，合力做功W1＝ΔEk1＝mv2；第二過程速度增量Δv2＝2v－v＝v，動能增量ΔEk2＝m·(2v)2－mv2＝mv2＝3ΔEk1，合力做功W2＝ΔEk2＝mv2＝3W1，故選項A、B正確，C、D錯誤。]
　對W＝ΔEk的認識
(1)動能定理說明，合力做功是物體動能變化的原因，物體動能的變化用合力做的功來度量。
(2)式中W＞0，ΔEk＞0(動力做功使動能增加)；W＜0，ΔEk<0(阻力做功使動能減少)。
(3)W＝ΔEk，既適用于直線運動，也適用于曲線運動，既適用于恒力做功，也適用于變力做功。
　動能定理的應用
一架噴氣式飛機，質量為5.0×103 kg, 起飛過程中從靜止開始在跑道上滑跑的路程為5.3×102 m時，達到起飛速度60 m/s。在此過程中飛機受到的平均阻力是飛機重力的0.02。(g取10 m/s2)
【問題】
(1)如何應用動能定理求飛機受到的牽引力F
(2)能否應用動力學、運動學的公式來解？
(3)比較兩種解法，你覺得哪一種更簡明？
提示：(1)設飛機的牽引力為F，阻力為f，位移為l，則由動能定理可得Fl－fl＝mv2－0
f＝0.02mg
故F＝＋f≈1.8×104 N。
(2)設飛機的牽引力為恒力，根據牛頓第二定律有
F－f＝ma
根據初速度為0 的勻加速直線運動規律有
v2－0＝2al
聯立解得F≈1.8×104 N。
(3)兩種解法，殊途同歸，用動能定理思路明快，而且飛機的牽引力不一定是恒力，動能定理可用于變力做功的問題，這是其最大的優越性。
1．應用動能定理解題的基本思路
2．動能定理的優越性
牛頓運動定律 動能定理
適用條件 只能研究物體在恒力作用下做直線運動的情況 對于物體在恒力或變力作用下做直線運動或曲線運動均適用
應用方法 要考慮運動過程的每一個細節 只考慮各力的做功情況及初、末狀態的動能
運算方法 矢量運算 代數運算
相同點 確定研究對象，對物體進行受力分析和運動過程分析
結論 應用動能定理解題不涉及加速度、時間，不涉及矢量運算，運算簡單，不易出錯
【典例4】　(動能定理的應用)質量為4 t的卡車，由靜止出發在水平公路上行駛100 m后速度增大到54 km/h，若發動機的牽引力為5×103 N不變。則：
(1)牽引力做了多少功？
(2)卡車克服阻力做了多少功？
(3)如果卡車速度從54 km/h繼續行駛至速度為75.6 km/h，此過程中假設卡車所受牽引力與阻力數值不變，求卡車速度從54 km/h加速至75.6 km/h過程中，卡車前進的距離。
[解析]　(1)恒定做功利用功的公式W＝Fs＝5×103×100 J＝5×105 J。
(2)將速度化成國際單位，54 km/h＝15 m/s，由動能定理知W合＝ΔEk，即W－W阻＝ΔEk
W阻＝W－ΔEk＝5×105 J－4.5×105 J＝5×104 J。
(3)設卡車前進過程中阻力為f，卡車由靜止加速到54 km/h前進的位移為s，由題知W阻＝fs
即f＝ N＝5×102 N
v2＝75.6 km/h＝21 m/s，v1＝54 km/h＝15 m/s
由動能定理有Fs1－fs1＝
解得s1＝96 m。
[答案]　見解析
【典例5】　(選自教科版教材·動能定理的應用)風洞是研究空氣動力學的實驗設備，其簡易模型如圖所示。將剛性桿水平固定在風洞內距地面高度H＝3.2 m處，桿上套一質量m＝3 kg且可沿桿滑動的小球。實驗時，球所受的風力F＝15 N，方向水平向左，小球以速度v0＝8 m/s向右離開桿端。假設小球所受風力不變，重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)小球落地所需時間和離開桿端的水平距離；
(2)小球落地時的動能。
[解析]　(1)小球在豎直方向做自由落體運動，運動時間為t，則
H＝gt2
解得
t＝0.8 s
小球在水平方向做勻減速運動，加速度大小為
a＝＝5 m/s2
則水平位移
x＝v0t－at2＝4.8 m。
(2)由動能定理
mgH－Fx＝
解得
Ek＝120 J。
[答案]　(1)0.8 s　4.8 m　(2)120 J
　應用動能定理解題的步驟
(1)確定研究對象和研究過程(研究對象一般為單個物體或相對靜止的物體組成的系統)。
(2)對研究對象進行受力分析(注意哪些力做功或不做功)。
(3)確定合力對物體做的功(注意功的正負)。
(4)確定物體的初、末動能(注意動能增量是末動能減初動能)。
(5)根據動能定理列式、求解。
【教用·備選例題】　一輛電動汽車在水平路面上由靜止開始加速，其加速度a隨速度v的變化關系如圖所示，當汽車的速度達到v1后，牽引力的功率保持恒定。已知汽車的質量m＝2000 kg，行駛過程中受到恒定的阻力f＝2000 N，重力加速度g取10 m/s2。
(1)求汽車剛開始加速時的牽引力F；
(2)求汽車由靜止加速到v1所經歷的時間t1；
(3)若汽車由靜止加速到速度v＝2 m/s所經歷的時間t＝3 s，求該過程中汽車行駛的位移s。
[解析]　(1)設汽車勻加速時的加速度為a，牽引力為F，根據牛頓第二定律，有
F－f＝ma
代入數據解得
F＝4000 N。
(2)設汽車的功率為P，最大速度為v，則
P＝fv
根據瞬時功率
P＝Fv1
根據速度時間公式
v1＝at1
代入數據解得
t1＝1 s。
(3)設汽車勻加速運動的位移為s1，額定功率行駛的位移和時間分別為s2、t2，根據位移時間公式
s1＝
根據動能定理
Pt2－fs2＝
總時間為
t1＋t2＝t
總位移為
s＝s1＋s2
代入數據解得
s＝3 m。
[答案]　(1)4000 N　(2)1 s　(3)3 m
1．關于動能概念及公式W＝Ek2－Ek1的說法正確的是(　　)
A．若物體速度在變化，則動能一定在變化
B．速度大的物體動能一定大
C．W＝Ek2－Ek1表示功可以變成能
D．動能的變化可以用合力做的功來量度
D　[速度是矢量，而動能是標量，若物體速度只改變方向，不改變大小，則動能不變，故A錯誤；由Ek＝知速度大的物體質量可能小，動能不一定大，故B錯誤；動能定理W＝Ek2－Ek1表示動能的變化可用合力做的功來量度，但功和能是兩個不同的概念，有著本質的區別，故C錯誤，D正確。]
2．(多選)(2023·全國乙卷)如圖所示，一質量為M、長為l的木板靜止在光滑水平桌面上，另一質量為m的小物塊(可視為質點)從木板上的左端以速度v0開始運動。已知物塊與木板間的滑動摩擦力大小為f，當物塊從木板右端離開時(　　)
A．木板的動能一定等于fl
B．木板的動能一定小于fl
C．物塊的動能一定大于－fl
D．物塊的動能一定小于－fl
BD　[當物塊從木板右端離開時，對m有
xm＝t，對M有xM＝t，又l＝xm－xM，vm＞vM，
可知l＞xM，則根據以上分析可知木板的動能一定小于fl，A錯誤，B正確；根據以上分析，聯立有－fl＝，則物塊的動能一定小于－fl，C錯誤，D正確。故選BD。]
3．某人騎自行車下坡，坡長l＝500 m，坡高h＝8 m，人和車總質量為100 kg，下坡時初速度為4 m/s，人不踏車的情況下，到達坡底時車速為10 m/s，g取10 m/s2，則下坡過程中阻力所做的功為(　　)
A．－4 000 J　　　　 B．－3 800 J　
C．－5 000 J D．－4 200 J
B　[由動能定理有mgh＋Wf＝，解得Wf＝＝－3 800 J，故B正確。]
4．(2021·河北卷)一半徑為R的圓柱體水平固定，橫截面如圖所示。長度為πR、不可伸長的輕細繩，一端固定在圓柱體最高點P處，另一端系一個小球。小球位于P點右側同一水平高度的Q點時，繩剛好拉直。將小球從Q點由靜止釋放，當與圓柱體未接觸部分的細繩豎直時，小球的速度大小為(重力加速度為g，不計空氣阻力)(　　)
A． B．
C． D．2
A　[當與圓柱體未接觸部分的細繩豎直時，小球下落的高度h＝R＋＝R＋，根據動能定理有mgh＝mv2，解得v＝，故A正確，B、C、D錯誤。]
回歸本節知識，完成以下問題：
1．什么是動能？動能的表達式是什么？
提示：物體由于運動而具有的能量；表達式Ek＝mv2。
2．動能是矢量還是標量？
提示：標量。
3．動能定理的內容是什么？表達式是什么？
提示：內容：力在一個過程中對物體做的功，等于物體在這個過程中動能的變化。
表達式：W＝Ek2－Ek1＝。
課時分層作業(十六)
?題組一　對動能的理解
1． (多選)關于動能，下列說法正確的是(　　)
A．公式Ek＝mv2中的速度v一般是物體相對于地面的速度
B．動能的大小由物體的質量和速率決定，與物體運動的方向無關
C．一定質量的物體動能變化時，速度一定變化，但速度變化時，動能不一定變化
D．動能不變的物體，一定處于平衡狀態
ABC　[動能是標量，與速度的大小有關，而與速度的方向無關，B正確；公式中的速度一般是相對于地面的速度，A正確；一定質量的物體動能變化時，速度的大小一定變化，但速度變化時，動能不一定變化，如勻速圓周運動，動能不變，但速度變化，不處于平衡狀態，C正確，D錯誤。]
2．兩個物體質量之比為1∶4，速度大小之比為4∶1，則這兩個物體的動能之比為(　　)
A．1∶1 　　　　 B．1∶4　
C．4∶1 D．2∶1
C　[由動能表達式Ek＝mv2得＝4∶1，C正確。]
3．改變物體的質量和速度，能使物體的動能發生改變。在下列幾種情況下，物體的動能是原來的2倍的是(　　)
A．質量不變，速度增大到原來的2倍
B．質量減半，速度增大到原來的4倍
C．速度不變，質量增大到原來的2倍
D．速度減半，質量增大到原來的2倍
C　[設物體的原始質量為2 kg，原始的速度為1 m/s，由公式Ek＝，代入數據得，原始動能Ek＝1 J。質量不變，則m＝2 kg，速度變為原來的2倍，則v＝2 m/s，由公式Ek＝mv2，代入數據得動能Ek1＝4 J，動能變為原來4倍，故A錯誤；質量減半，則m＝1 kg，速度變為原來的4倍，則v＝4 m/s，由公式Ek＝mv2，代入數據得動能Ek2＝8 J，動能變為原來的8倍，故B錯誤；速度不變，則v＝1 m/s，質量變為原來的2倍，則m＝4 kg，由公式Ek＝mv2，代入數據得動能Ek3＝2 J，動能變為原來的2倍，故C正確；速度減半，則v＝ m/s，質量增大到原來的2倍，則m＝4 kg，由公式Ek＝mv2，代入數據得動能Ek4＝ J，動能變為原來的，故D錯誤。]
?題組二　對動能定理的理解
4．關于動能定理，下列說法正確的是(　　)
A．在某過程中，合力做的總功等于各個力單獨做功的絕對值之和
B．只要有力對物體做功，物體的動能就一定改變
C．動能定理只適用于直線運動，不適用于曲線運動
D．動能定理既適用于恒力做功的情況，又適用于變力做功的情況
D　[合力做的總功等于各個力單獨做功的代數和，選項A錯誤；根據動能定理，決定動能是否改變的是總功，而不是某一個力做的功，選項B錯誤；動能定理既適用于直線運動，也適用于曲線運動；既適用于恒力做功的情況，又適用于變力做功的情況，選項C錯誤，D正確。]
5．有一質量為m的木塊，從半徑為r的圓弧曲面上的a點滑向b點，如圖所示。如果由于摩擦使木塊的運動速率保持不變，則以下敘述正確的是(　　)
A．木塊所受的合力為零
B．因木塊所受的力對其都不做功，所以合力做功為零
C．重力和摩擦力的合力做的功為零
D．重力和摩擦力的合力為零
C　[木塊做曲線運動，速度方向變化，加速度不為零，故合力不為零，A錯誤；速率不變，動能不變，由動能定理知，合力做的功為零，而支持力始終不做功，重力做正功，所以重力做的功與摩擦力做的功的代數和為零，但重力和摩擦力的合力不為零，C正確，B、D錯誤。]
6．如圖所示，電梯質量為M，在它的水平地板上放置一質量為m的物體。電梯在鋼索的拉力作用下豎直向上加速運動，當電梯的速度由v1增加到v2時，上升高度為H，重力加速度為g，則在這個過程中，下列說法正確的是(　　)
A．對物體，動能定理的表達式為WN＝，其中WN為支持力做的功
B．對物體，動能定理的表達式為W合＝0，其中W合為合力做的功
C．對物體，動能定理的表達式為WN－mgH＝
D．對電梯，其所受合力做功為－mgH
C　[物體受重力和支持力作用，根據動能定理得WN－mgH＝，故選項C正確，A、B錯誤；對電梯，合力做功等于電梯動能的變化量，故選項D錯誤。]
?題組三　動能定理的應用
7．一質量為m的小球，用長為L的輕繩懸掛于O點。小球在水平力F作用下，從平衡位置P點很緩慢地移動到Q點，如圖所示，則力F所做的功為(　　)
A．mgL cos θ B．mgL(1－cos θ)
C．FL sin θ D．FL cos θ
B　[由動能定理知WF－mg(L－L cos θ)＝0，則WF＝mgL(1－cos θ)，故B正確。]
8．(2021·山東卷)如圖所示，粗糙程度處處相同的水平桌面上有一長為L的輕質細桿，一端可繞豎直光滑軸O轉動，另一端與質量為m的木塊相連。木塊以水平初速度v0出發，恰好能完成一個完整的圓周運動。在運動過程中，木塊所受摩擦力的大小為(　　)
A． B．
C． D．
B　[在木塊運動過程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功與路徑有關，木塊恰好完成一個完整的圓周運動，則末速度v＝0，根據動能定理有－f·2πL＝，可得摩擦力的大小f＝，故選B。]
9．如圖所示，某滑雪運動員在一次訓練中腳踩滑雪板從平臺BC的C點沿水平方向飛出，落在傾斜雪道上的D點。已知傾斜的雪道與水平面的夾角θ＝37°，運動員從C點飛出時他和裝備的動能為400 J。運動員及裝備視為質點，不計空氣阻力。已知sin 37°＝0.6，重力加速度g取10 m/s2，則運動員(含裝備)落到雪道上D點時的動能為(　　)
A．800 J B．900 J
C．1 300 J D．1 500 J
C　[在C點的動能Ek0＝＝400 J，由平拋運動知識可知，速度偏轉角的正切值是位移偏轉角正切值的兩倍，即tan α＝2tan θ＝，到達D點豎直方向速度vy＝v0tan α，在D點的速度v＝，則運動員(含裝備)落到雪道上D點時的動能為Ek＝mv2＝×400 J＝1 300 J，故選項C正確。]
10．從地面豎直向上拋出一只小球，小球運動一段時間后落回地面。忽略空氣阻力，該過程中小球的動能Ek與時間t的關系圖像是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　　D
A　[小球做豎直上拋運動時，速度v＝v0－gt，動能mv2，即Ek＝m(v0－gt)2，Ek與t成二次函數關系，開口向上，小球下落時做自由落體運動，v＝gt，Ek＝t2，Ek與t成二次函數關系，開口向上，故A正確。]
11．如圖所示，某人利用跨過定滑輪的輕繩拉質量為10 kg的物體。定滑輪的位置比A點高3 m。若此人緩慢地將繩從A點拉到同一水平高度的B點，且A、B兩點處繩與水平方向的夾角分別為37°和30°，則此人拉繩的力做了多少功？(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不計滑輪的摩擦)
[解析]　根據題意有h＝3 m
物體升高的高度Δh＝
取物體為研究對象，設繩的拉力對物體做的功為W
對全過程應用動能定理W－mgΔh＝0
聯立解得W＝100 J
則人拉繩的力所做的功W人＝W＝100 J。
[答案]　100 J
12．如圖所示，用與水平方向成θ角的恒力F，將質量為m的物體由靜止開始從A點拉到B點后撤去力F，若物體和地面間的動摩擦因數為μ，A、B間的距離為x，重力加速度為g。求：
(1)從A到B的過程中力F做的功W；
(2)物體在運動過程中的最大動能；
(3)物體的最大運動距離。
[解析]　(1)由功的公式可求得W＝Fx cos θ。
(2)由題意知物體在AB段做加速運動，在B點有最大動能，在AB段，Ff＝μFN＝μ(mg－F sin θ)
對物體從A點到B點的過程應用動能定理Fx cos θ－μ(mg－F sin θ)x＝Ek－0
即物體在運動過程中的最大動能Ek＝Fx(cos θ＋μsin θ)－μmgx。
(3)撤去力F后，物體所受摩擦力變為μmg，設物體從B點到停止運動的位移為l，則
－μmgl＝0－Ek
物體的最大運動距離
x總＝l＋x＝。
[答案]　(1)Fx cos θ　(2)Fx(cos θ＋μsin θ)－μmgx　(3)
13．(多選)北京冬奧會高臺滑雪場地示意如圖所示。一運動員(含裝備)的質量為m，從助滑坡上A點由靜止沿坡(曲線軌道)下滑，經最低點B從坡的末端C斜向上起跳，在空中飛行一段時間后著陸于著陸坡上D點。已知A、C的高度差為h1，C、D的高度差為h2，重力加速度大小為g，摩擦阻力和空氣阻力不能忽略，運動員可視為質點。則下列判定正確的是(　　)
A．運動員在B點處于超重狀態
B．運動員起跳時的速率vC>
C．運動員著陸前瞬間的動能EkD＝mg
D．運動員在空中飛行的時間t>
AD　[由題意知運動員在B點滿足FN －mg＝，所以FN>mg，即運動員在B點處于超重狀態，故A正確；從A到C由動能定理得mgh1－Wf＝，所以vC<，故B錯誤；從A到D由動能定理得mg(h1＋h2)－Wf′＝EkD，所以EkD，故D正確。](共76張PPT)
3．動能和動能定理
第八章　機械能守恒定律
整體感知·自我新知初探
[學習任務]　1．理解動能的概念，會利用動能定義式進行計算。
2．理解動能定理表述的物理意義，并能進行相關分析與計算。
3．能夠推導動能定理，并能應用動能定理分析求解相關問題。
[問題初探]　問題1．動能的表達式是什么？
問題2．動能定理內容是什么？
[自我感知]　經過你認真的預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系。
探究重構·關鍵能力達成
1．動能的定義：物體由于______而具有的能量叫動能，用符號____表示。
2．動能的表達式：Ek＝___________。
3．動能的單位：與功的單位相同，國際單位為______。
1 kg(m/s)2＝_________＝______。
4．動能是______(選填“矢量”或“標量”)，只有大小沒有方向。
知識點一　動能的表達式
運動
Ek
焦耳
1 N·m
1 J
標量
地球同步衛星是人為發射的一種衛星，其中一種的軌道平面與赤道平面成0°角，從地面上看，衛星保持不動，故也稱靜止衛星，從地球之外看，衛星與地球以相同的角速度轉動。如圖所示是同步衛星繞地球做勻速圓周運動的情境。
【問題】
(1)在衛星的運動過程中，其速度是否變化？
(2)其動能是否變化？
(3)物體運動動能的大小與哪些因素有關？
1．對動能概念的理解
(1)動能是狀態量，動能公式中的速度v是瞬時速度。
(2)動能是標量，且動能恒為正值。
(3)動能也具有相對性，同一物體，對不同的參考系物體的速度有不同值，因而動能也有不同值。計算動能時一般都是以地面為參考系。
【典例1】　(對動能的理解)(多選)關于動能的理解，下列說法正確的是(　　)
A．凡是運動的物體都具有動能
B．動能不變的物體，一定處于平衡狀態
C．重力勢能可以為負值，動能不可以為負值
D．一定質量的物體，動能變化時，速度一定變化，但速度變化時，動能不一定變化
√
√
√
ACD　[由動能的定義可知，凡是運動的物體都具有動能，故A正確；物體做勻速圓周運動時，物體的動能不變，但是物體的合力提供向心力，即合力不為零，物體處于非平衡狀態，故B錯誤；重力勢能可以有負值，其正負取決于所選擇的參考平面，而動能沒有負值，故C正確；由于速度為矢量，當方向變化時，若其速度大小不變，則動能并不改變，而動能變化時，一定質量的物體速度大小一定變化，故D正確。]
【典例2】　(速度變化與動能變化)(多選)一質量為0.1 kg的小球，以5 m/s的速度在光滑水平面上勻速運動，與豎直墻壁碰撞后以原速率反彈，若以彈回的速度方向為正方向，小球碰墻過程中速度的變化為Δv，動能的變化為ΔEk。則下列說法正確的是(　　)
A．Δv＝10 m/s　　　 B．Δv＝0
C．ΔEk＝1 J D．ΔEk＝0
AD　[速度是矢量，以彈回的速度方向為正方向，故Δv＝v2－v1＝
5 m/s－(－5 m/s)＝10 m/s，而動能是標量，初、末狀態的速度大小相等，故動能相等，因此ΔEk＝0，選項A、D正確。]
√
√
1．動能定理的內容
力在一個過程中對物體做的功，等于物體在這個過程中______的變化。
知識點二　動能定理
動能
2．動能定理的表達式
(1)W＝____________。
(2)W＝__________。
說明：式中W為____________，它等于各力做功的________。
3．動能定理的適用范圍
不僅適用于______做功和______運動，也適用于______做功和______運動。

Ek2－Ek1
合力做的功
代數和
恒力
直線
變力
曲線
關于一輛汽車在上坡路上加速行駛的情境，請回答以下問題：
【問題】
(1)汽車上坡過程受哪些力作用？各個力做什么功？
(2)汽車的動能怎樣變化？
(3)其動能的變化與各個力做功有什么關系？
提示：(1)汽車受重力、支持力、牽引力及路面的阻力作用，上坡過程中牽引力做正功，重力、阻力做負功，支持力不做功。
(2)由于汽車加速上坡，其動能增大。
(3)汽車動能的變化量等于重力、牽引力及路面的阻力三個力做功的代數和。
1．對動能定理的理解
(1)表達式W＝ΔEk中的W為合力對物體做的總功。
(2)動能定理描述了做功和動能變化的兩種關系。
①等值關系：物體動能的變化量等于合力對它做的功。
②因果關系：合力對物體做功是引起物體動能變化的原因，做功的過程實質上是其他形式的能與動能相互轉化的過程，轉化了多少由合力做的功來度量。
2．對動能定理的兩點說明
(1)動能定理的表達式是一個標量式，不能在某一方向上應用動能定理，動能沒有負值，但動能的變化量ΔEk有正負之分。
(2)應用動能定理涉及“一個過程”和“兩個狀態”。所謂“一個過程”是指做功過程，應明確該過程合力所做的總功；“兩個狀態”是指初、末兩個狀態物體的動能。
【典例3】　(動能定理的簡單應用)(多選)質量為m的物體在水平力F的作用下由靜止開始在光滑水平地面上運動，前進一段距離之后速度大小為v，再前進一段距離使物體的速度增大為2v，則(　　)
A．第二過程的速度增量等于第一過程的速度增量
B．第二過程的動能增量是第一過程動能增量的3倍
C．第二過程合力做的功等于第一過程合力做的功
D．第二過程合力做的功等于第一過程合力做功的2倍
√
√
規律方法　對W＝ΔEk的認識
(1)動能定理說明，合力做功是物體動能變化的原因，物體動能的變化用合力做的功來度量。
(2)式中W＞0，ΔEk＞0(動力做功使動能增加)；W＜0，ΔEk<0(阻力做功使動能減少)。
(3)W＝ΔEk，既適用于直線運動，也適用于曲線運動，既適用于恒力做功，也適用于變力做功。
一架噴氣式飛機，質量為5.0×103 kg, 起飛過程中從靜止開始在跑道上滑跑的路程為5.3×102 m時，達到起飛速度60 m/s。在此過程中飛機受到的平均阻力是飛機重力的0.02。(g取10 m/s2)
知識點三　動能定理的應用
【問題】
(1)如何應用動能定理求飛機受到的牽引力F
(2)能否應用動力學、運動學的公式來解？
(3)比較兩種解法，你覺得哪一種更簡明？
(2)設飛機的牽引力為恒力，根據牛頓第二定律有
F－f＝ma
根據初速度為0 的勻加速直線運動規律有
v2－0＝2al
聯立解得F≈1.8×104 N。
(3)兩種解法，殊途同歸，用動能定理思路明快，而且飛機的牽引力不一定是恒力，動能定理可用于變力做功的問題，這是其最大的優越性。
1．應用動能定理解題的基本思路
2．動能定理的優越性
牛頓運動定律 動能定理
適用條件 只能研究物體在恒力作用下做直線運動的情況 對于物體在恒力或變力作用下做直線運動或曲線運動均適用
應用方法 要考慮運動過程的每一個細節 只考慮各力的做功情況及初、末狀態的動能
牛頓運動定律 動能定理
運算方法 矢量運算 代數運算
相同點 確定研究對象，對物體進行受力分析和運動過程分析
結論 應用動能定理解題不涉及加速度、時間，不涉及矢量運算，運算簡單，不易出錯
【典例4】　(動能定理的應用)質量為4 t的卡車，由靜止出發在水平公路上行駛100 m后速度增大到54 km/h，若發動機的牽引力為5×103 N不變。則：
(1)牽引力做了多少功？
(2)卡車克服阻力做了多少功？
(3)如果卡車速度從54 km/h繼續行駛至速度為75.6 km/h，此過程中假設卡車所受牽引力與阻力數值不變，求卡車速度從54 km/h加速至75.6 km/h過程中，卡車前進的距離。
[解析]　(1)恒定做功利用功的公式W＝Fs＝5×103×100 J＝5×105 J。
(2)將速度化成國際單位，54 km/h＝15 m/s，由動能定理知W合＝ΔEk，即W－W阻＝ΔEk
W阻＝W－ΔEk＝5×105 J－4.5×105 J＝5×104 J。
[答案]　見解析
【典例5】　(選自教科版教材·動能定理的應用)風洞是研究空氣動力學的實驗設備，其簡易模型如圖所示。將剛性桿水平固定在風洞內距地面高度H＝3.2 m處，桿上套一質量m＝3 kg且可沿桿滑動的小球。實驗時，球所受的風力F＝15 N，方向水平向左，小球以速度v0＝8 m/s向右離開桿端。假設小球所受風力不變，重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)小球落地所需時間和離開桿端的水平距離；
(2)小球落地時的動能。
[答案]　(1)0.8 s　4.8 m　(2)120 J
規律方法　應用動能定理解題的步驟
(1)確定研究對象和研究過程(研究對象一般為單個物體或相對靜止的物體組成的系統)。
(2)對研究對象進行受力分析(注意哪些力做功或不做功)。
(3)確定合力對物體做的功(注意功的正負)。
(4)確定物體的初、末動能(注意動能增量是末動能減初動能)。
(5)根據動能定理列式、求解。
【教用·備選例題】　一輛電動汽車在水平路面上由靜止開始加速，其加速度a隨速度v的變化關系如圖所示，當汽車的速度達到v1后，牽引力的功率保持恒定。已知汽車的質量m＝2000 kg，行駛過程中受到恒定的阻力f＝2000 N，重力加速度g取10 m/s2。
(1)求汽車剛開始加速時的牽引力F；
(2)求汽車由靜止加速到v1所經歷的時間t1；
(3)若汽車由靜止加速到速度v＝2 m/s所經歷的時間t＝3 s，求該過程中汽車行駛的位移s。
[解析]　(1)設汽車勻加速時的加速度為a，牽引力為F，根據牛頓第二定律，有F－f＝ma
代入數據解得F＝4000 N。
(2)設汽車的功率為P，最大速度為v，則
P＝fv
根據瞬時功率
P＝Fv1
根據速度時間公式
v1＝at1
代入數據解得
t1＝1 s。
總位移為
s＝s1＋s2
代入數據解得
s＝3 m。
[答案]　(1)4000 N　(2)1 s　(3)3 m
應用遷移·隨堂評估自測
1．關于動能概念及公式W＝Ek2－Ek1的說法正確的是(　　)
A．若物體速度在變化，則動能一定在變化
B．速度大的物體動能一定大
C．W＝Ek2－Ek1表示功可以變成能
D．動能的變化可以用合力做的功來量度
√
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3．某人騎自行車下坡，坡長l＝500 m，坡高h＝8 m，人和車總質量為100 kg，下坡時初速度為4 m/s，人不踏車的情況下，到達坡底時車速為10 m/s，g取10 m/s2，則下坡過程中阻力所做的功為(　　)
A．－4 000 J　　　　 B．－3 800 J　
C．－5 000 J D．－4 200 J
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回歸本節知識，完成以下問題：
1．什么是動能？動能的表達式是什么？
2．動能是矢量還是標量？
提示：標量。
3．動能定理的內容是什么？表達式是什么？
課時分層作業（十六）
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√
√
ABC　[動能是標量，與速度的大小有關，而與速度的方向無關，B正確；公式中的速度一般是相對于地面的速度，A正確；一定質量的物體動能變化時，速度的大小一定變化，但速度變化時，動能不一定變化，如勻速圓周運動，動能不變，但速度變化，不處于平衡狀態，C正確，D錯誤。]
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2．兩個物體質量之比為1∶4，速度大小之比為4∶1，則這兩個物體的動能之比為(　　)
A．1∶1 　　　　 B．1∶4　
C．4∶1 D．2∶1
√
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3．改變物體的質量和速度，能使物體的動能發生改變。在下列幾種情況下，物體的動能是原來的2倍的是(　　)
A．質量不變，速度增大到原來的2倍
B．質量減半，速度增大到原來的4倍
C．速度不變，質量增大到原來的2倍
D．速度減半，質量增大到原來的2倍
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?題組二　對動能定理的理解
4．關于動能定理，下列說法正確的是(　　)
A．在某過程中，合力做的總功等于各個力單獨做功的絕對值之和
B．只要有力對物體做功，物體的動能就一定改變
C．動能定理只適用于直線運動，不適用于曲線運動
D．動能定理既適用于恒力做功的情況，又適用于變力做功的情況
√
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D　[合力做的總功等于各個力單獨做功的代數和，選項A錯誤；根據動能定理，決定動能是否改變的是總功，而不是某一個力做的功，選項B錯誤；動能定理既適用于直線運動，也適用于曲線運動；既適用于恒力做功的情況，又適用于變力做功的情況，選項C錯誤，D正確。]
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5．有一質量為m的木塊，從半徑為r的圓弧曲面上的a點滑向b點，如圖所示。如果由于摩擦使木塊的運動速率保持不變，則以下敘述正確的是(　　)
A．木塊所受的合力為零
B．因木塊所受的力對其都不做功，所以合力做功為零
C．重力和摩擦力的合力做的功為零
D．重力和摩擦力的合力為零
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C　[木塊做曲線運動，速度方向變化，加速度不為零，故合力不為零，A錯誤；速率不變，動能不變，由動能定理知，合力做的功為零，而支持力始終不做功，重力做正功，所以重力做的功與摩擦力做的功的代數和為零，但重力和摩擦力的合力不為零，C正確，B、D錯誤。]
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6．如圖所示，電梯質量為M，在它的水平地板上放置一質量為m的物體。電梯在鋼索的拉力作用下豎直向上加速運動，當電梯的速度由v1增加到v2時，上升高度為H，重力加速度為g，則在這個過程中，下列說法正確的是(　　)
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?題組三　動能定理的應用
7．一質量為m的小球，用長為L的輕繩懸掛于O點。小球在水平力F作用下，從平衡位置P點很緩慢地移動到Q點，如圖所示，則力F所做的功為(　　)
A．mgL cos θ B．mgL(1－cos θ)
C．FL sin θ D．FL cos θ
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B　[由動能定理知WF－mg(L－L cos θ)＝0，則WF＝mgL(1－cos θ)，故B正確。]
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9．如圖所示，某滑雪運動員在一次訓練中腳踩滑雪板從平臺BC的C點沿水平方向飛出，落在傾斜雪道上的D點。已知傾斜的雪道與水平面的夾角θ＝37°，運動員從C點飛出時他和裝備的動能為400 J。運動員及裝備視為質點，不計空氣阻力。已知sin 37°＝0.6，重力加速度g取10 m/s2，則運動員(含裝備)落到雪道上D點時的動能為(　　)
A．800 J B．900 J
C．1 300 J D．1 500 J
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10．從地面豎直向上拋出一只小球，小球運動一段時間后落回地面。忽略空氣阻力，該過程中小球的動能Ek與時間t的關系圖像是(　　)
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A　　　　B　　　　C　　　　　D
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11．如圖所示，某人利用跨過定滑輪的輕繩拉質量為10 kg的物體。定滑輪的位置比A點高3 m。若此人緩慢地將繩從A點拉到同一水平高度的B點，且A、B兩點處繩與水平方向的夾角分別為37°和30°，則此人拉繩的力做了多少功？(g取10 m/s2，
sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不計滑輪的
摩擦)
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[答案]　100 J
12．如圖所示，用與水平方向成θ角的恒力F，將質量為m的物體由靜止開始從A點拉到B點后撤去力F，若物體和地面間的動摩擦因數為μ，A、B間的距離為x，重力加速度為g。求：
(1)從A到B的過程中力F做的功W；
(2)物體在運動過程中的最大動能；
(3)物體的最大運動距離。
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[解析]　(1)由功的公式可求得W＝Fx cos θ。
(2)由題意知物體在AB段做加速運動，在B點有最大動能，在AB段，Ff＝μFN＝μ(mg－F sin θ)
對物體從A點到B點的過程應用動能定理Fx cos θ－μ(mg－F sin θ)x＝Ek－0
即物體在運動過程中的最大動能Ek＝Fx(cos θ＋μsin θ)－μmgx。
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13．(多選)北京冬奧會高臺滑雪場地示意如圖所示。一運動員(含裝備)的質量為m，從助滑坡上A點由靜止沿坡(曲線軌道)下滑，經最低點B從坡的末端C斜向上起跳，在空中飛行一段時間后著陸于著陸坡上D點。已知A、C的高度差為h1，C、D的高度差為h2，重力加速度大小為g，摩擦阻力和空氣阻力
不能忽略，運動員可視為質點。
則下列判定正確的是(　　)
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