資源簡介

素養提升課(一)　靜電場中的力　力學綜合問題
1．學會利用幾種特殊方法求解帶電體電場強度。
2．會分析電場線與帶電粒子運動軌跡相結合的問題。
3．分析受力及運動的相關問題。
　非點電荷電場的電場強度的計算
對稱法 對稱法實際上就是根據某些物理現象、物理規律、物理過程或幾何圖形的對稱性進行解題的一種方法。在電場中，當電荷的分布具有對稱性時，應用對稱性解題可將復雜問題大大簡化
微元法 當一個帶電體的體積較大，已不能視為點電荷時，求這個帶電體產生的電場在某處的電場強度時，可用微元法的思想把帶電體分成很多小塊，每塊都可以看成點電荷，用點電荷電場疊加的方法計算
補償法 有時由題給條件建立的模型不是一個完整的模型，這時需要給原來的問題補充一些條件，組成一個完整的新模型。這樣，求解原模型的問題就變為求解新模型與補充條件的差值問題。如采用補償法將有缺口的帶電圓環補全為圓環，或將半球面補全為球面，從而將問題化難為易
【典例1】　如圖所示，正電荷q均勻分布在半球面ACB上，球面半徑為R，CD為通過半球面頂點C和球心O的軸線。P、M為軸線上的兩點，距球心O的距離均為。在M右側軸線上O′點固定一帶正電的點電荷Q，O′、M兩點間的距離為R，已知P點的電場強度為零，若均勻帶電的封閉球殼內部電場強度處處為零，則M點的電場強度大小為(　　)
A．0 B．
C． D．
C　[因P點的電場強度為零，所以半球面上的正電荷q在P點產生的電場強度和點電荷Q在P點產生的電場強度等大反向，即半球面上的正電荷q在P點產生的電場強度大小為E1＝，方向沿軸線向右。現補全右側半球面，如圖所示，根據均勻帶電的封閉球殼內部電場強度處處為零知，均勻帶電的封閉球面在M點產生的電場強度為零，即左半球面在M點產生的電場強度和右半球面在M點產生的電場強度等大反向，又由對稱性知左半球面在P點產生的電場強度和右半球面在M點產生的電場強度等大反向，則左半球面在M點產生的電場強度為E2＝，方向沿軸線向右，點電荷Q在M點產生的電場強度為E3＝，方向沿軸線向左，故M點的合電場強度為EM＝＝，方向沿軸線向左，故選項C正確。
]
[針對訓練]
1．如圖所示，電荷量為q的正點電荷與均勻帶電薄板相距2d，點電荷到帶電薄板的垂線通過薄板的幾何中心。若圖中A點處的電場強度為零，靜電力常量為k，則帶電薄板在圖中B點處產生的電場強度(　　)
A．大小為k，方向水平向左
B．大小為k，方向水平向右
C．大小為k，方向水平向左
D．大小為k，方向水平向右
C　[由于A點處的電場強度為零，則正點電荷在A點處產生的電場強度大小E1和帶電薄板在A點處產生的電場強度大小EA相等，方向相反，即E1＝EA＝，方向水平向右。由于A、B兩點關于帶電薄板對稱，所以帶電薄板在B點產生的電場強度大小EB和在A點產生的電場強度大小EA大小相等，方向相反，故EB＝E1＝，方向水平向左。故C正確。]
2．如圖所示，均勻帶電圓環帶電荷量為Q，半徑為R，圓心為O，P為過圓心且垂直于圓環平面的直線上的一點，OP＝l，求P點的電場強度大小和方向。
[解析]　若將圓環分成n小段，則每一小段可視為點電荷，其電荷量為q＝，每一個點電荷在P處產生的電場強度大小為E＝＝。如圖所示，根據對稱性可知，每一個點電荷在P處產生的電場強度在垂直于OP方向的分量Ey會被抵消，Ex＝E cos θ＝cos θ＝＝，所以P點的電場強度EP＝nEx＝，方向由O指向P。
[答案]　，方向由O指向P
　電場線與帶電粒子運動軌跡的綜合分析
1．幾個矢量的方向
(1)合力方向：做曲線運動的帶電粒子所受合力方向指向運動軌跡的凹側。
(2)速度方向：速度方向沿運動軌跡的切線方向。
(3)靜電力方向：正電荷的受力方向沿電場線的切線方向。
2．確定帶電粒子在電場中運動軌跡及其速度變化的思路
(1)確定帶電粒子受力方向：正電荷所受靜電力與電場方向相同，負電荷所受靜電力與電場方向相反。
(2)確定帶電粒子運動軌跡：帶電粒子的運動軌跡向受力方向偏轉。
(3)判斷粒子速度變化情況：靜電力方向與運動方向成銳角時，粒子速度增大；靜電力方向與運動方向成鈍角時，粒子速度減小。
【典例2】　如圖所示，實線為不知方向的三條電場線，從電場中M點以相同速度垂直于電場線方向飛出a、b兩個帶電粒子，僅在靜電力作用下的運動軌跡如圖中虛線所示。則(　　)
A．a一定帶正電，b一定帶負電
B．a的速度將減小，b的速度將增大
C．a的加速度將減小，b的加速度將增大
D．兩個粒子的速度，一個增大一個減小
C　[帶電粒子做曲線運動，所受靜電力的方向指向軌跡的內側，由于電場線的方向未知，所以粒子帶電性質不確定，故A錯誤；從題圖軌跡變化來看，速度與力方向的夾角都小于90°，所以兩個粒子速度都增大，故B、D錯誤；電場線密的地方電場強度大，電場線疏的地方電場強度小，所以a受力減小，加速度減小，b受力增大，加速度增大，故C正確。]
[針對訓練]
3．(多選)如圖所示，帶箭頭的線段表示某一電場中的電場線的分布情況。一帶電粒子在電場中運動的軌跡如圖中虛線所示。若不考慮其他力，則下列判斷正確的是(　　)
A．若粒子是從A運動到B，則粒子帶正電；若粒子是從B運動到A，則粒子帶負電
B．不論粒子是從A運動到B，還是從B運動到A，粒子必帶負電
C．若粒子是從B運動到A，則其加速度減小
D．若粒子是從B運動到A，則其速度減小
BC　[根據做曲線運動的物體所受合力指向曲線內側可知，靜電力與電場線的方向相反，所以不論粒子是從A運動到B，還是從B運動到A，粒子必帶負電，故A錯誤，B正確；電場線密的地方電場強度大，所以粒子在B點受到的靜電力大，在B點時的加速度較大，若粒子是從B運動到A，則其加速度減小，故C正確；從B到A過程中靜電力與速度方向成銳角，速度增大，故D錯誤。]
　電場中的平衡及動力學問題
1．帶電體在多個力作用下處于平衡狀態，帶電體所受合力為零，因此可用共點力平衡的知識分析，常用的方法有正交分解法、合成法等。
2．帶電體在電場中的加速問題仍然滿足牛頓第二定律，在進行受力分析時不要漏掉靜電力。
【典例3】　如圖所示，光滑固定斜面(足夠長)傾角為37°，一帶正電的小物塊質量為m，電荷量為q，置于斜面上，當沿水平方向加如圖所示的勻強電場時，帶電小物塊恰好靜止在斜面上，從某時刻開始，電場強度變化為原來的，(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)求：
(1)原來的電場強度大小；
(2)小物塊運動的加速度；
(3)小物塊2 s末的速度大小和2 s內的位移大小。
[解析]　(1)對小物塊受力分析如圖所示，小物塊靜止于斜面上，則mg sin 37°＝qE cos 37°，
解得E＝＝。
(2)當電場強度變為原來的時，小物塊受到的合力F合＝mg sin 37°－qE cos 37°＝0.3mg
由牛頓第二定律有F合＝ma
所以a＝3 m/s2，方向沿斜面向下。
(3)由運動學公式，知v＝at＝3×2 m/s＝6 m/s
x＝at2＝×3×22 m＝6 m。
[答案]　(1)　(2)3 m/s2，方向沿斜面向下
(3)6 m/s　6 m
[針對訓練]
4．如圖所示，一質量為m＝1.0×10-2 kg、帶電荷量大小為q＝1.0×10-6 C的小球，用絕緣細線懸掛在水平向右的勻強電場中，假設電場足夠大，靜止時懸線向左與豎直方向夾角為θ＝37°。小球在運動過程中電荷量保持不變，重力加速度g取10 m/s2。求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)電場強度E的大小；
(2)若在某時刻將細線突然剪斷，經過1 s時小球的速度大小v及方向。
[解析]　(1)由平衡條件得小球所受靜電力大小
F＝mg tan θ
所以電場強度的大小
E＝＝＝ N/C＝7.5×104 N/C。
(2)剪斷細線后，小球所受合力大小
F合＝＝1.25mg
根據牛頓第二定律知，小球的加速度大小
a＝＝1.25g＝12.5 m/s2
所以經過1 s時小球的速度大小v＝at＝12.5 m/s，方向與豎直方向夾角為37°斜向左下。
[答案]　(1)7.5×104 N/C　(2)12.5 m/s，方向與豎直方向夾角為37°斜向左下
素養提升練(一)　靜電場中的力　力學綜合問題
1．一帶負電荷的質點，在靜電力作用下沿曲線abc從a運動到c，已知質點的速率是遞減的。關于b點電場強度E的方向，下列圖示中可能正確的是(虛線是曲線在b點的切線)(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
D　[根據曲線運動的規律可知，受力指向軌跡的內側，由于質點帶負電，速率是遞減的，因此靜電力方向與質點速度方向夾角應大于90°，故電場方向可能沿豎直方向向上，D選項正確。]
2．(多選)圖中實線是一簇未標明方向的電場線，虛線是某一帶電粒子通過該電場區域時的運動軌跡，a、b是軌跡上的兩點。若帶電粒子在運動過程中只受靜電力的作用，根據此圖可作出正確判斷的是(　　)
A．帶電粒子所帶電荷的符號
B．電場強度的方向
C．帶電粒子在a、b兩點的受力方向
D．帶電粒子在a、b兩點的加速度何處較大
CD　[由粒子的軌跡可知，粒子所受靜電力指向曲線凹側，在a、b兩點的靜電力都沿著電場線指向左側，粒子的電性和電場強度的方向都未知，無法判斷，A、B錯誤，C正確；電場線的疏密表示電場的強弱，a點電場強度大，靜電力大，加速度大，D正確。]
3．如圖所示，一半徑為R的圓盤上均勻分布著電荷量為Q的電荷，在垂直于圓盤且過圓心c的軸線上有a、b、d三個點，a和b、b和c、c和d間的距離均為R，在a點處有一電荷量為q(q>0)的固定點電荷。已知b點處的電場強度為零，則d點處電場強度的大小為(k為靜電力常量)(　　)
A．k B．k
C．k D．k
B　[在a點放置一點電荷q后，b點電場強度為零，說明點電荷q在b點產生的電場強度與圓盤上Q在b點產生的電場強度大小相等，即EQ＝Eq＝k，根據對稱性可知Q在d點產生的電場強度大小EQ′＝EQ＝k，則Ed＝EQ′＋Eq′＝k＋k＝k，B正確。]
4．下列選項中的各圓環大小相同，所帶電荷量已在圖中標出，且電荷均勻分布，各圓環間彼此絕緣。坐標原點O處電場強度最大的是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　D
B　[將圓環視為點電荷，圓環半徑為r，則每個點電荷在坐標原點O的電場強度大小E＝k，根據電場強度的合成滿足平行四邊形定則，可知選項A和C中坐標原點O的電場強度大小為E＝k，選項B中坐標原點O的電場強度大小為E1＝k，選項D中坐標原點O的電場強度為0，故選項B符合題意。]
5．如圖所示，xOy平面是無窮大導體的表面，該導體充滿z<0的空間，z>0的空間為真空。將電荷量為q(q＞0)的點電荷置于z軸上z＝h處，則在xOy平面上會產生感應電荷。空間任意一點處的電場皆是由點電荷q和導體表面上的感應電荷共同激發的。已知靜電平衡時導體內部電場強度處處為零，則在z軸上z＝處的電場強度大小為(k為靜電力常量)(　　)
A．k B．k
C．k D．k
D　[在z軸上－處，合電場強度為零，該點電場強度為q和導體近端感應電荷產生電場的電場強度的矢量和，q在－處產生的電場強度為E1＝k＝，方向向下，由于導體遠端離－處很遠，影響可以忽略不計，故導體在－處產生的電場強度近似等于導體近端在－處產生的電場強度；－ 處合電場強度為零，故導體在－處產生的電場強度大小E2＝E1＝，方向向上，根據對稱性，導體近端在處產生的電場強度也為E2＝，方向向下，電荷q在處產生的電場強度為E3＝k＝，方向向下，故在處的合電場強度為E＝E2＋E3＝＝k，方向向下，故選D。]
6．A、B是一條電場線上的兩個點，一帶負電的微粒僅在靜電力作用下以一定的初速度從A點沿電場線運動到B點，其v-t圖像如圖所示。則此電場的電場線分布可能是(　　)
A　　　　　B　　　　C　　　　　D
A　[由v-t圖像可知，微粒的速度在逐漸減小，圖像的斜率在逐漸增大，故此帶負電的微粒做加速度越來越大的減速直線運動，所受靜電力越來越大，由F＝qE知，電場強度增大，電場線越來越密。靜電力方向與其運動方向相反，靜電力向左，所以電場線方向向右，故A正確。]
7．如圖所示，兩根長度均為L的絕緣細線分別系住質量相等、電荷量均為＋Q的小球a、b，并懸掛在O點。當兩個小球靜止時，它們處在同一高度，且兩細線與豎直方向的夾角均為α＝30°，已知靜電力常量為k，則每個小球的質量為(　　)
A． B．
C． D．
A　[根據庫侖定律和平衡條件可得mg tan α＝k，解得m＝，故A正確。]
8．如圖所示，在光滑絕緣水平面上的P點固定著一個帶正電的點電荷，在它的右側N點由靜止開始釋放一個帶正電的小球(可視為質點)。以水平向右為正方向，下圖中能反映小球運動速度隨時間變化規律的是(　　)
A　　　　 B　　　　C　 　　　D
A　[由于小球與點電荷都帶正電，兩者之間存在排斥力，相互遠離，小球在靜電力作用下做加速運動，速度逐漸增大。根據庫侖定律可知，小球所受的靜電力逐漸減小，加速度逐漸減小，而v-t圖像切線的斜率表示加速度，圖像的斜率應不斷減小，故A正確。]
9．如圖所示，質量為m、帶電荷量為q(q>0)的小球A用絕緣細線懸掛于O點，細線長為l。當將電荷量為－q的點電荷B置于空間某位置時，小球A靜止，懸線與豎直方向的夾角θ＝30°，A、B連線與豎直方向的夾角恰好也為30°，則A、B之間的距離為(　　)
A．l B．q
C．q D．q
B　[對小球A受力分析，受豎直向下的重力，斜向右上的細線的拉力，B對A斜向左上的靜電力，由題意知小球A靜止，則小球受力平衡，設此時點電荷B與小球A間的距離為r，則＝，解得距離r＝q，選項B正確。]
10．如圖所示，質量為m、電荷量為q的帶電小球A用絕緣細線懸掛于O點，帶有電荷量也為q的小球B固定在O點正下方絕緣柱上。其中O點與小球A間的距離為l，O點與小球B間的距離為l。當小球A平衡時，懸線與豎直方向夾角θ＝30°。帶電小球A、B均可視為點電荷。靜電力常量為k，則(　　)
A．A、B間靜電力大小F＝
B．A、B間靜電力大小F＝
C．細線拉力大小FT＝
D．細線拉力大小FT＝mg
B　[帶電小球A受力如圖所示，由幾何知識得OC＝l，即C點為OB中點，根據對稱性AB＝l。由庫侖定律知A、B間靜電力大小F＝，細線拉力大小FT＝F＝，選項A、C錯誤；根據平衡條件得F cos 30°＝mg，得F＝，細線拉力大小FT＝，選項B正確，D錯誤。
]
11．如圖所示，質量為m的小球A穿在光滑絕緣細桿上，桿的傾角為α，小球A帶正電(可視為點電荷)，電荷量為q。在桿上B點處固定一個電荷量為Q的正點電荷。將A由距B豎直高度為H處無初速度釋放，小球A下滑過程中電荷量不變。整個裝置處在真空中，已知靜電力常量k和重力加速度g。求：
(1)A球剛釋放時的加速度；
(2)當A球的動能最大時，A球與B點間的距離。
[解析]　(1)小球A剛釋放時，由牛頓第二定律有mg sin α－F＝ma
根據庫侖定律有F＝k，又r＝
聯立解得a＝g sin α－。
(2)當A球受到的合力為零，即加速度為零時，動能最大，設此時A球與B點間的距離為d
則mg sinα＝，解得d＝。
[答案]　(1)g sin α－　(2)
12．如圖所示，帶電小球A和B(可視為點電荷)放在傾角為30°的光滑固定絕緣斜面上，質量均為m，所帶電荷量分別為＋q和－q，沿斜面向上的恒力F作用于A球，可使A、B保持間距r不變沿斜面向上勻加速運動，已知重力加速度為g，靜電力常量為k。求：
(1)加速度a的大小；
(2)F的大小。
[解析]　(1)根據庫侖定律，兩球間的靜電力大小為
F′＝k＝k
對B球由牛頓第二定律有F′－mg sin 30°＝ma
聯立解得加速度大小為a＝ g。
(2)把A球和B球看成整體，由牛頓第二定律有
F－2mg sin 30°＝2ma，解得F＝2k。
[答案]　(1)g　(2)2k
章末綜合測評(一)
一、選擇題(共10小題，1～7題為單選題，8～10題為多選題。)
1．下列說法正確的是(　　)
A．檢驗電荷一定是點電荷，而點電荷不一定是檢驗電荷
B．電子帶電荷量為1.6×10-19 C，因此一個電子就是一個元電荷
C．富蘭克林用油滴實驗比較準確地測定了電子的電荷量
D．根據F＝k，當兩個電荷的距離趨近于零時，靜電力將趨向于無窮大
A　[點電荷是將帶電物體簡化為一個帶電的點，檢驗電荷的體積和電荷量要足夠小，故A正確；元電荷是一個數值，而電子是一個實物，故B錯誤；密立根用油滴實驗比較準確地測定了電子的電荷量，故C錯誤；公式F＝k適用于真空中的靜止的點電荷，當兩個點電荷距離趨于0時，兩帶電體不能看成點電荷，庫侖定律不適用，故靜電力并不是趨于無窮大，故D錯誤。]
2．如圖所示，某同學在用毛皮摩擦過的PVC管靠近一細水流，發現細水流向靠近PVC管的方向偏轉，下列說法正確的是(　　)
A．摩擦可以創造更多電荷
B．下雨天，實驗效果會更明顯
C．PVC管所帶的電荷量一定是元電荷e的整數倍
D．用絲綢摩擦過的玻璃棒代替本實驗的PVC管，細水流會向遠離玻璃棒的方向偏轉
C　[摩擦只能轉移電荷，不能夠創造電荷，A錯誤；下雨天，對細水流的偏轉會有著一定的影響，實驗效果會不明顯，B錯誤；所有帶電體所帶電荷量一定為元電荷的整數倍，C正確；用絲綢摩擦過的玻璃棒，玻璃棒會帶正電，毛皮摩擦過的PVC管帶負電，雖然二者帶電種類不同，但細水流依舊會向靠近玻璃棒方向偏轉，D錯誤。]
3．下列關于電場和電場線說法正確的是(　　)
A．電場是人為假想的，電場線是客觀存在的
B．只有點電荷周圍才存在電場
C．沿著電場線的方向，電場強度越來越大
D．電場線不可以相交
D　[電場是客觀存在的一種特殊物質，而電場線是為了描述電場而虛擬的，實際上不存在，故A錯誤；不僅點電荷，其他帶電體周圍也存在電場，故B錯誤；電場線的疏密程度描述電場的強弱，電場線越密集的地方電場強度越大，與是否沿電場線的方向無關，故C錯誤；電場線上某點沿電場線的切線方向代表該點電場強度的方向，電場線既不重合也不相交，故D正確。]
4．某電場的電場線分布如圖所示，下列說法正確的是(　　)
A．c點的電場強度大于b點的電場強度
B．若將一試探電荷＋q由a點釋放，它將沿電場線運動到b點
C．b點的電場強度大于d點的電場強度
D．a點和b點的電場強度方向相同
C　[電場線的疏密表示電場強度的大小，由題圖可知Eb>Ec，Eb>Ed，C正確，A錯誤；由于電場線是曲線，由a點釋放的正電荷不可能沿電場線運動，B錯誤；電場線的切線方向為該點電場強度的方向，a點和b點的切線不同向，D錯誤。]
5．已知均勻帶電球體在球的外部產生的電場與一個位于球心的、電荷量相等的點電荷產生的電場相同。如圖所示，半徑為R的球體上均勻分布著電荷量為Q的電荷，在過球心O的直線上有A、B兩個點，O和B、B和A間的距離均為R。現以OB為直徑在球內挖一球形空腔，若靜電力常量為k，球的體積公式為V＝，則A點處電場強度的大小為(　　)
A． B．
C． D．
B　[由題意知，半徑為R的均勻帶電球體在A點產生的電場強度E整＝＝。挖出的小球半徑為，因為電荷均勻分布，其帶電荷量Q′＝Q＝。則其在A點產生的電場強度E挖＝＝＝。所以剩余空腔部分電荷在A點產生的電場強度E＝E整－E挖＝＝，故B正確。]
6．(2023·海南卷)如圖所示，一光滑絕緣軌道水平放置，直徑上有A、B兩點，AO ＝ 2 cm，OB ＝4 cm，在A、B兩點固定兩個帶電量分別為Q1、Q2的正電荷，現有一個帶正電小球靜置于軌道內側P點(小球可視為點電荷)，已知AP∶BP ＝ n∶1，則Q1∶Q2是(　　)
A．2n2∶1 B．4n2∶1
C．2n3∶1　 D．4n3∶1
C　[對小球受力分析如圖所示，由正弦定理有＝，其中∠CPH ＝∠OPB，∠CHP ＝∠HPD ＝∠APO，在△APO中，有＝；同理在△BPO中，有＝，設小球的帶電荷量為q，則FA＝k，FB＝k，聯立有Q1∶Q2＝ 2n3∶1，故選項C正確。
]
7．如圖所示，圓弧狀帶電體ABC上電荷分布均勻。ABC對應的圓心角為120°，B為圓弧中點。若帶電體上的全部電荷在圓心P處產生的電場強度大小為E，則AB段上所帶的電荷在圓心P處產生的電場強度大小為(　　)
A．E B．E
C．E D．E
C　[假設圓弧帶電體ABC帶正電，根據電場的疊加規律可知ABC在P點產生的電場強度方向沿BP連線向下；AB段產生的電場強度沿AB中點與P點連線向下，BC段產生的電場強度沿BC中點與P點的連線向上，并且AB和BC段在P點產生的電場強度大小相等；而P點處總的電場強度為AB和BC段單獨產生的電場強度的合電場強度，如圖所示，根據幾何關系可知E＝2EABcos 30°，解得AB段上所帶的電荷在圓心P處產生的電場強度大小EAB＝，故C正確，A、B、D錯誤。
]
8．如圖所示為某電子秤示意圖。一絕緣支架放在電子秤上，上端固定一帶電小球a，穩定后，電子秤示數為F。現將另一固定于絕緣手柄一端的不帶電小球b與a球充分接觸后，再移至小球a正上方L處，待系統穩定后，電子秤示數為F1；用手摸小球b使其再次不帶電，然后將該不帶電小球b與a球再次充分接觸并重新移至a球正上方L處，電子秤示數為F2。若兩小球完全相同，則(　　)
A．F1＞F2
B．F1＝4F2
C．若小球a帶負電，L增大，則F1增大
D．若小球a帶正電，L減小，則F2增大
AD　[小球b與a球充分接觸后b對a有向下的庫侖力，設為F′，則F′＝k＝k，示數為F1＝F＋F′，用手摸小球b使其再次不帶電，然后將該不帶電小球b與a球再次充分接觸并重新移至a球正上方L處，b對a向下的庫侖力F″，F″＝k＝k，電子秤示數為F2＝F＋F″，因此F1＞F2，但F1≠4F2，A正確，B錯誤；若小球a帶負電，L增大，根據庫侖定律可知，F′減小，則F1減小，C錯誤；若小球a帶正電，L減小，根據庫侖定律可知，F″增大，則F2增大，D正確。]
9．如圖所示，在兩等量同種點電荷的電場中，MN為兩點電荷連線的中垂線，a、c關于MN對稱，b是兩電荷連線的中點，d位于兩電荷的連線上，e、f位于MN上，以下判斷正確的是(　　)
A．b點電場強度大于d點電場強度
B．b點電場強度小于d點電場強度
C．正試探電荷q在a、c兩點所受靜電力相同
D．f點電場強度可能大于e點電場強度
BD　[由電場強度的矢量疊加或由等量同種點電荷產生的電場的電場線可以知道，在兩等量同種點電荷連線上，中間點電場強度為零(最小)，即Ed>Eb＝0，A錯誤，B正確；由于兩等量同種點電荷電場的電場線關于中垂線對稱，a、c兩點電場強度大小相等，但方向不同，故正試探電荷在a、c兩點所受靜電力大小相等、方向不同，C錯誤；在兩等量同種點電荷連線的中垂線上，中間點電場強度為零(最小)，無窮遠處也為零(最小)，則在兩等量同種點電荷連線的中垂線上，從中間點到無窮遠處電場強度應先增大后減小，但不知道e、f在電場中的具體位置關系，則f點電場強度可能大于e點電場強度，D正確。]
10．如圖所示，一勻強電場E大小未知、方向水平向右。兩根長度均為L的絕緣輕繩分別將小球M和N懸掛在電場中，懸點均為O。兩小球質量均為m、帶等量異號電荷，電荷量大小均為q。平衡時兩輕繩與豎直方向的夾角均為θ＝45°。若僅將兩小球的電荷量同時變為原來的2倍，兩小球仍在原位置平衡。已知靜電力常量為k，重力加速度大小為g，下列說法正確的是(　　)
A．M帶正電荷 B．N帶正電荷
C．q＝L D．q＝3L
BC　[由題圖可知，對小球M受力分析如圖甲所示，對小球N受力分析如圖乙所示，由受力分析圖可知小球M帶負電荷，小球N帶正電荷，故B正確，A錯誤；由幾何關系可知，兩小球之間的距離為r＝L，當兩小球的電荷量為q時，由力的平衡條件得mg tan 45°＝Eq－k，兩小球的電荷量同時變為原來的2倍后，由力的平衡條件得mg tan 45°＝E·2q－k，整理解得q＝L，故C正確，D錯誤。
]
二、非選擇題
11．某實驗小組用如圖所示的裝置探究庫侖力與電荷量的關系。A、B是均勻帶電的塑料小球，其中A球的質量為m，用一根絕緣細線將A球懸掛起來，實驗時改變兩小球所帶的電荷量，移動B球并保持A、B兩球球心連線與細線垂直。用Q和q分別表示A、B球的電荷量，d表示A、B球心間的距離，θ表示絕緣細線偏離豎直方向的角度，k為靜電力常量，當地的重力加速度大小為g。
(1)關于實驗，下列說法正確的是________。
A．實驗中兩塑料小球的帶電荷量必須相等
B．兩個小球可以換成異種電荷進行實驗
C．細線的拉力隨著θ角的增大而增大
D．庫侖力隨著θ角的增大而增大
(2)通過實驗數據得到的圖像可能正確的是________。
A　　　　　B
C　　 　 　D
[解析]　(1)實驗中兩塑料小球的帶電荷量不必相等，故A錯誤；當兩個小球換成異種電荷時，因為異種電荷相互吸引，所以小球B置于A球左上方時，小球A仍可以處于平衡狀態，故B正確；當小球A平衡時，有mg cos θ＝FT，mg sin θ＝F庫，隨著θ角增大，cos θ減小，sin θ增大，所以繩的拉力減小，庫侖力增大，故C錯誤，D正確。故選BD。
(2)根據庫侖定律有F庫＝k＝mg sin θ，所以Qq＝sin θ，故選B。
[答案]　(1)BD　(2) B
12．如圖所示，帶正電且電荷量為Q的帶電體固定在絕緣支架上，電荷量為q的小球受到的庫侖力大小可通過絲線偏離豎直方向的角度表示。掛在P1位置時，小球和帶電體的距離為r，兩者都可以看成點電荷。已知靜電力常量為k，則小球：
(1)帶正電還是帶負電？
(2)掛在P1位置時受帶電體的庫侖力F多大？
(3)掛在P2位置時，絲線偏離豎直方向的角度增大了還是減小了？
[解析]　(1)分析絲線的偏離方向，小球受到庫侖斥力作用，則小球帶正電。
(2)根據庫侖定律可知，小球掛在P1位置時受帶電體的庫侖力F＝k。
(3)掛在P2位置時，帶電體與小球的間距r變大，則小球受到的庫侖力減小，絲線偏離豎直方向的角度減小。
[答案]　(1)帶正電　(2)k　(3)減小了
13．如圖所示，A、B兩點固定有電荷量相等且帶正電的小球，兩小球到其連線中點O的距離均為x＝0.8 m。現用兩根長度均為L＝1 m的絕緣細線由A、B兩點系一帶電小球C，靜止時，細線張力恰好為零。已知小球C的質量m＝0.1 kg，電荷量q＝－×10-5 C，取重力加速度大小g＝10 m/s2，靜電力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，不計空氣阻力。
(1)求小球C所處位置的電場強度大小和方向；
(2)求A、B兩小球的電荷量Q。
[解析]　(1)設小球C所處位置的電場強度大小為E，根據小球C靜止時，細線張力恰好為零，對小球C受力分析可知Eq＝mg
解得E＝＝5.4×105 N/C，方向豎直向下。
(2)設一個帶正電小球在C所處位置產生的電場強度的大小為E1，AC與AB連線的夾角為α，由已知條件可知sin α＝0.6
根據電場的疊加原理可知小球C所處位置的電場強度
E＝2E1sin α
解得E1＝＝4.5×105 N/C
根據點電荷電場強度公式E1＝
解得Q＝5×10-5 C。
[答案]　(1)5.4×105 N/C，方向豎直向下
(2)5×10-5 C
14．如圖所示，一個掛在絕緣細線下端的帶正電的小球B靜止在圖示位置，若固定的帶正電的小球A的電荷量為Q，B球的質量為m、帶電荷量為q，θ＝30°，A和B在同一條水平線上，整個裝置處于真空中(A、B可視為質點，靜電力常數為k，重力加速度為g)。求：
(1)此時小球B受到的靜電力大小和方向；
(2)此時繩子的拉力；
(3)A、B間的距離。
[解析]　(1)如圖所示，對小球B進行受力分析，其受到重力、繩子拉力以及靜電力，三力平衡，因此可得小球B受到的靜電力大小為
FAB＝mg tan θ＝mg
靜電力方向水平向右。
(2)根據(1)中分析的平衡條件可得繩子的拉力為
FT＝＝mg。
(3)根據庫侖定律可知小球B受到的靜電力滿足
FAB＝＝mg
解得A、B間的距離為r＝。
[答案]　(1)mg，水平向右　(2)mg　(3)
15．如圖所示，當帶正電的小球靜止在豎直光滑絕緣墻壁上的A點時，帶正電的物塊恰好能靜止在水平粗糙絕緣地面上的B點，A、B點連線與豎直方向的夾角為37°，A、B點間的距離l＝0.3 m。已知小球的電荷量q1＝1.0×10-5 C，物塊的電荷量q2＝2.0×10-5C、質量m2＝1.4 kg，物塊與地面間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取重力加速度大小g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，靜電力常量k＝9.0×109 N·m2/C2。求：
(1)小球的質量m1；
(2)物塊與地面間的動摩擦因數。
[解析]　(1)小球受到物塊的庫侖力大小
F庫＝k
對小球受力分析有F庫cos 37°＝m1g
解得m1＝1.6 kg。
(2)對物塊受力分析，在豎直方向上有
FN＝F′庫cos 37°＋m2g
在水平方向上有f＝F′庫sin 37°
其中f＝μFN
解得μ＝0.4。
[答案]　(1)1.6 kg　(2)0.4(共82張PPT)
素養提升課(一)　靜電場中的力　力學綜合問題
第九章　靜電場及其應用
學習任務
1．學會利用幾種特殊方法求解帶電體電場強度。
2．會分析電場線與帶電粒子運動軌跡相結合的問題。
3．分析受力及運動的相關問題。
探究重構·關鍵能力達成
探究1　非點電荷電場的電場強度的計算
對稱法 對稱法實際上就是根據某些物理現象、物理規律、物理過程或幾何圖形的對稱性進行解題的一種方法。在電場中，當電荷的分布具有對稱性時，應用對稱性解題可將復雜問題大大簡化
微元法 當一個帶電體的體積較大，已不能視為點電荷時，求這個帶電體產生的電場在某處的電場強度時，可用微元法的思想把帶電體分成很多小塊，每塊都可以看成點電荷，用點電荷電場疊加的方法計算
補償法 有時由題給條件建立的模型不是一個完整的模型，這時需要給原來的問題補充一些條件，組成一個完整的新模型。這樣，求解原模型的問題就變為求解新模型與補充條件的差值問題。如采用補償法將有缺口的帶電圓環補全為圓環，或將半球面補全為球面，從而將問題化難為易
√
[針對訓練]
1．如圖所示，電荷量為q的正點電荷與均勻帶電薄板相距2d，點電荷到帶電薄板的垂線通過薄板的幾何中心。若圖中A點處的電場強度為零，靜電力常量為k，則帶電薄板在圖中B點處產生的電場強度(　　)
√
2．如圖所示，均勻帶電圓環帶電荷量為Q，半徑為R，圓心為O，P為過圓心且垂直于圓環平面的直線上的一點，OP＝l，求P點的電場強度大小和方向。
探究2　電場線與帶電粒子運動軌跡的綜合分析
1．幾個矢量的方向
(1)合力方向：做曲線運動的帶電粒子所受合力方向指向運動軌跡的凹側。
(2)速度方向：速度方向沿運動軌跡的切線方向。
(3)靜電力方向：正電荷的受力方向沿電場線的切線方向。
2．確定帶電粒子在電場中運動軌跡及其速度變化的思路
(1)確定帶電粒子受力方向：正電荷所受靜電力與電場方向相同，負電荷所受靜電力與電場方向相反。
(2)確定帶電粒子運動軌跡：帶電粒子的運動軌跡向受力方向偏轉。
(3)判斷粒子速度變化情況：靜電力方向與運動方向成銳角時，粒子速度增大；靜電力方向與運動方向成鈍角時，粒子速度減小。
【典例2】　如圖所示，實線為不知方向的三條電場線，從電場中M點以相同速度垂直于電場線方向飛出a、b兩個帶電粒子，僅在靜電力作用下的運動軌跡如圖中虛線所示。則(　　)
A．a一定帶正電，b一定帶負電
B．a的速度將減小，b的速度將增大
C．a的加速度將減小，b的加速度將增大
D．兩個粒子的速度，一個增大一個減小
√
C　[帶電粒子做曲線運動，所受靜電力的方向指向軌跡的內側，由于電場線的方向未知，所以粒子帶電性質不確定，故A錯誤；從題圖軌跡變化來看，速度與力方向的夾角都小于90°，所以兩個粒子速度都增大，故B、D錯誤；電場線密的地方電場強度大，電場線疏的地方電場強度小，所以a受力減小，加速度減小，b受力增大，加速度增大，故C正確。]
[針對訓練]
3．(多選)如圖所示，帶箭頭的線段表示某一電場中的電場線的分布情況。一帶電粒子在電場中運動的軌跡如圖中虛線所示。若不考慮其他力，則下列判斷正確的是(　　)
A．若粒子是從A運動到B，則粒子帶正電；若粒子是從B運動到A，則粒子帶負電
B．不論粒子是從A運動到B，還是從B運動到A，粒子必帶負電
C．若粒子是從B運動到A，則其加速度減小
D．若粒子是從B運動到A，則其速度減小
√
√
BC　[根據做曲線運動的物體所受合力指向曲線內側可知，靜電力與電場線的方向相反，所以不論粒子是從A運動到B，還是從B運動到A，粒子必帶負電，故A錯誤，B正確；電場線密的地方電場強度大，所以粒子在B點受到的靜電力大，在B點時的加速度較大，若粒子是從B運動到A，則其加速度減小，故C正確；從B到A過程中靜電力與速度方向成銳角，速度增大，故D錯誤。]
探究3　電場中的平衡及動力學問題
1．帶電體在多個力作用下處于平衡狀態，帶電體所受合力為零，因此可用共點力平衡的知識分析，常用的方法有正交分解法、合成法等。
2．帶電體在電場中的加速問題仍然滿足牛頓第二定律，在進行受力分析時不要漏掉靜電力。
[針對訓練]
4．如圖所示，一質量為m＝1.0×10-2 kg、帶電荷量大小為q＝1.0×10-6 C的小球，用絕緣細線懸掛在水平向右的勻強電場中，假設電場足夠大，靜止時懸線向左與豎直方向夾角為θ＝37°。小球在運動過程中電荷量保持不變，重力加速度g取10 m/s2。
求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)電場強度E的大小；
(2)若在某時刻將細線突然剪斷，經過1 s時小球的速度大小v及方向。
[答案]　(1)7.5×104 N/C　(2)12.5 m/s，方向與豎直方向夾角為37°斜向左下
1．一帶負電荷的質點，在靜電力作用下沿曲線abc從a運動到c，已知質點的速率是遞減的。關于b點電場強度E的方向，下列圖示中可能正確的是(虛線是曲線在b點的切線)(　　)
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題號
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√
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素養提升練(一)　靜電場中的力　力學綜合問題
A　　　　B　　　　C　　　　D
D　[根據曲線運動的規律可知，受力指向軌跡的內側，由于質點帶負電，速率是遞減的，因此靜電力方向與質點速度方向夾角應大于90°，故電場方向可能沿豎直方向向上，D選項正確。]
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2．(多選)圖中實線是一簇未標明方向的電場線，虛線是某一帶電粒子通過該電場區域時的運動軌跡，a、b是軌跡上的兩點。若帶電粒子在運動過程中只受靜電力的作用，根據此圖可作出正確判斷的是
(　　)
A．帶電粒子所帶電荷的符號
B．電場強度的方向
C．帶電粒子在a、b兩點的受力方向
D．帶電粒子在a、b兩點的加速度何處較大
√
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題號
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√
CD　[由粒子的軌跡可知，粒子所受靜電力指向曲線凹側，在a、b兩點的靜電力都沿著電場線指向左側，粒子的電性和電場強度的方向都未知，無法判斷，A、B錯誤，C正確；電場線的疏密表示電場的強弱，a點電場強度大，靜電力大，加速度大，D正確。]
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A　　　　　　　　B
C　　　　　　　D
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6．A、B是一條電場線上的兩個點，一帶負電的微粒僅在靜電力作用下以一定的初速度從A點沿電場線運動到B點，其v-t圖像如圖所示。則此電場的電場線分布可能是(　　)
√
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題號
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A　　　　B　　　　C　　　　D
A　[由v-t圖像可知，微粒的速度在逐漸減小，圖像的斜率在逐漸增大，故此帶負電的微粒做加速度越來越大的減速直線運動，所受靜電力越來越大，由F＝qE知，電場強度增大，電場線越來越密。靜電力方向與其運動方向相反，靜電力向左，所以電場線方向向右，故A正確。]
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8．如圖所示，在光滑絕緣水平面上的P點固定著一個帶正電的點電荷，在它的右側N點由靜止開始釋放一個帶正電的小球(可視為質點)。以水平向右為正方向，下圖中能反映小球運動速度隨時間變化規律的是(　　)
√
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A　　　　 B　　　　C　 　　　D
A　[由于小球與點電荷都帶正電，兩者之間存在排斥力，相互遠離，小球在靜電力作用下做加速運動，速度逐漸增大。根據庫侖定律可知，小球所受的靜電力逐漸減小，加速度逐漸減小，而v-t圖像切線的斜率表示加速度，圖像的斜率應不斷減小，故A正確。]
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11．如圖所示，質量為m的小球A穿在光滑絕緣細桿上，桿的傾角為α，小球A帶正電(可視為點電荷)，電荷量為q。在桿上B點處固定一個電荷量為Q的正點電荷。將A由距B豎直高度為H處無初速度釋放，小球A下滑過程中電荷量不變。整個裝置處在真空中，已知靜電力常量k和重力加速度g。求：
(1)A球剛釋放時的加速度；
(2)當A球的動能最大時，A球與B點間的距離。
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12．如圖所示，帶電小球A和B(可視為點電荷)放在傾角為30°的光滑固定絕緣斜面上，質量均為m，所帶電荷量分別為＋q和－q，沿斜面向上的恒力F作用于A球，可使A、B保持間距r不變沿斜面向上勻加速運動，已知重力加速度為g，靜電力常量為k。求：
(1)加速度a的大小；
(2)F的大小。
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章末綜合測評(一)　動量守恒定律
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2．如圖所示，某同學在用毛皮摩擦過的PVC管靠近一細水流，發現細水流向靠近PVC管的方向偏轉，下列說法正確的是(　　)
A．摩擦可以創造更多電荷
B．下雨天，實驗效果會更明顯
C．PVC管所帶的電荷量一定是元電荷e的整數倍
D．用絲綢摩擦過的玻璃棒代替本實驗的PVC管，
細水流會向遠離玻璃棒的方向偏轉
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C　[摩擦只能轉移電荷，不能夠創造電荷，A錯誤；下雨天，對細水流的偏轉會有著一定的影響，實驗效果會不明顯，B錯誤；所有帶電體所帶電荷量一定為元電荷的整數倍，C正確；用絲綢摩擦過的玻璃棒，玻璃棒會帶正電，毛皮摩擦過的PVC管帶負電，雖然二者帶電種類不同，但細水流依舊會向靠近玻璃棒方向偏轉，D錯誤。]
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3．下列關于電場和電場線說法正確的是(　　)
A．電場是人為假想的，電場線是客觀存在的
B．只有點電荷周圍才存在電場
C．沿著電場線的方向，電場強度越來越大
D．電場線不可以相交
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D　[電場是客觀存在的一種特殊物質，而電場線是為了描述電場而虛擬的，實際上不存在，故A錯誤；不僅點電荷，其他帶電體周圍也存在電場，故B錯誤；電場線的疏密程度描述電場的強弱，電場線越密集的地方電場強度越大，與是否沿電場線的方向無關，故C錯誤；電場線上某點沿電場線的切線方向代表該點電場強度的方向，電場線既不重合也不相交，故D正確。]
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4．某電場的電場線分布如圖所示，下列說法正確的是(　　)
A．c點的電場強度大于b點的電場強度
B．若將一試探電荷＋q由a點釋放，它將沿電場線運動到b點
C．b點的電場強度大于d點的電場強度
D．a點和b點的電場強度方向相同
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C　[電場線的疏密表示電場強度的大小，由題圖可知Eb>Ec，Eb>Ed，C正確，A錯誤；由于電場線是曲線，由a點釋放的正電荷不可能沿電場線運動，B錯誤；電場線的切線方向為該點電場強度的方向，a點和b點的切線不同向，D錯誤。]
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6．(2023·海南卷)如圖所示，一光滑絕緣軌道水平放置，直徑上有A、B兩點，AO ＝ 2 cm，OB ＝4 cm，在A、B兩點固定兩個帶電量分別為Q1、Q2的正電荷，現有一個帶正電小球靜置于軌道內側P點(小球可視為點電荷)，已知AP∶BP ＝ n∶1，則Q1∶Q2是(　　)
A．2n2∶1 B．4n2∶1
C．2n3∶1　 D．4n3∶1
題號
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8．如圖所示為某電子秤示意圖。一絕緣支架放在電子秤上，上端固定一帶電小球a，穩定后，電子秤示數為F。現將另一固定于絕緣手柄一端的不帶電小球b與a球充分接觸后，再移至小球a正上方L處，待系統穩定后，電子秤示數為F1；用手摸小
球b使其再次不帶電，然后將該不帶電小球b
與a球再次充分接觸并重新移至a球正上方L
處，電子秤示數為F2。若兩小球完全相同，
則(　　)
題號
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A．F1＞F2
B．F1＝4F2
C．若小球a帶負電，L增大，則F1增大
D．若小球a帶正電，L減小，則F2增大
√
√
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√
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9．如圖所示，在兩等量同種點電荷的電場中，MN為兩點電荷連線的中垂線，a、c關于MN對稱，b是兩電荷連線的中點，d位于兩電荷的連線上，e、f位于MN上，以下判斷正確的是(　　)
A．b點電場強度大于d點電場強度
B．b點電場強度小于d點電場強度
C．正試探電荷q在a、c兩點所受靜電力相同
D．f點電場強度可能大于e點電場強度
√
題號
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BD　[由電場強度的矢量疊加或由等量同種點電荷產生的電場的電場線可以知道，在兩等量同種點電荷連線上，中間點電場強度為零(最小)，即Ed>Eb＝0，A錯誤，B正確；由于兩等量同種點電荷電場的電場線關于中垂線對稱，a、c兩點電場強度大小相等，但方向不同，故正試探電荷在a、c兩點所受靜電力大小相等、方向不同，C錯誤；在兩等量同種點電荷連線的中垂線上，中間點電場強度為零(最小)，無窮遠處也為零(最小)，則在兩等量同種點電荷連線的中垂線上，從中間點到無窮遠處電場強度應先增大后減小，但不知道e、f在電場中的具體位置關系，則f點電場強度可能大于e點電場強度，D正確。]
題號
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二、非選擇題
11．某實驗小組用如圖所示的裝置探究庫侖力與電荷量的關系。A、B是均勻帶電的塑料小球，其中A球的質量為m，用一根絕緣細線將A球懸掛起來，實驗時改變兩小球所帶的電荷量，移動B球并保持A、B兩球球心連線與細線垂直。用Q和q分別表示A、B球的
電荷量，d表示A、B球心間的距離，θ表示絕緣細線偏離
豎直方向的角度，k為靜電力常量，當地的重力加速度
大小為g。
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(1)關于實驗，下列說法正確的是________。
A．實驗中兩塑料小球的帶電荷量必須相等
B．兩個小球可以換成異種電荷進行實驗
C．細線的拉力隨著θ角的增大而增大
D．庫侖力隨著θ角的增大而增大
(2)通過實驗數據得到的圖像可能正確的是________。
A　　　　B
C　　 　 　D
BD
B
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12．如圖所示，帶正電且電荷量為Q的帶電體固定在絕緣支架上，電荷量為q的小球受到的庫侖力大小可通過絲線偏離豎直方向的角度表示。掛在P1位置時，小球和帶電體的距離為r，兩者都可以看成點電荷。已知靜電力常量為k，則小球：
(1)帶正電還是帶負電？
(2)掛在P1位置時受帶電體的庫侖力F多大？
(3)掛在P2位置時，絲線偏離豎直方向的角度
增大了還是減小了？
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[答案]　(1)5.4×105 N/C，方向豎直向下
(2)5×10-5 C
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14．如圖所示，一個掛在絕緣細線下端的帶正電的小球B靜止在圖示位置，若固定的帶正電的小球A的電荷量為Q，B球的質量為m、帶電荷量為q，θ＝30°，A和B在同一條水平線上，整個裝置處于真空中(A、B可視為質點，靜電力常數為k，重力加速度為g)。求：
(1)此時小球B受到的靜電力大小和方向；
(2)此時繩子的拉力；
(3)A、B間的距離。
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15．如圖所示，當帶正電的小球靜止在豎直光滑絕緣墻壁上的A點時，帶正電的物塊恰好能靜止在水平粗糙絕緣地面上的B點，A、B點連線與豎直方向的夾角為37°，A、B點間的距離l＝0.3 m。已知小球的電荷量q1＝1.0×10-5 C，物塊的電荷量q2＝2.0×10-5C、質量m2＝1.4 kg，物塊與地面間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取重力加速度大小g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，靜電力常量k＝9.0×109 N·m2/C2。求：
(1)小球的質量m1；
(2)物塊與地面間的動摩擦因數。
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[答案]　(1)1.6 kg　(2)0.4

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