資源簡介

教學設計
2.1.1　傾斜角與斜率
教學內容
直線的傾斜角、斜率的概念，過兩點的直線的斜率公式.
教學目標
1.初步了解解析幾何的產生及其意義，初步認識坐標法思想.
2.理解直線的傾斜角和斜率的概念.
3.掌握過兩點的直線的斜率公式.
教學重點與難點
1.教學重點：理解直線傾斜角和斜率的概念及其關系
2.教學難點：過兩點的直線斜率的計算公式.
教學過程設計
1.課題引入
我們知道，平面直角坐標系中的點與有序實數(shù)對一一對應，那么平面中的圖形和怎樣的代數(shù) 對象對應呢？從本章開始的解析幾何就要解決這個問題，把幾何問題轉化為代數(shù)問題，實現(xiàn)通過 代數(shù)運算來研究幾何圖形性質的目的.
問題1：確定一條直線位置的幾何要素是什么？對于平面直角坐標系中的一條直線L，如何利用坐標系確定它的位置？
師生活動：教師引導學生回顧平面幾何中的研究對象、研究方法的基礎上，指岀本章要用坐標法對這些對象進行再研究，并說明坐標法與綜合法的異同，特別要強調坐標法實現(xiàn)了對圖形性 質的定量化研究.
設計意圖：通過回顧，明確解析幾何學的研究對象，使學生對坐標法形成初步印象，并引出本節(jié)的研究內容.
2.探究新知
問題2 如何表示直線的方向？
師生活動：學生獨立思考并回答.學生的最常見的回答是“朝向哪里就是什么方向”.
追問：怎么樣確定一條直線的朝向呢？
師生活動：教師引導學生，并給出相關結論。當直線 與 軸相交時，我們以 軸為基準， 軸正向與直線 向上的方向之間所成的角α叫做直線 的傾斜角
設計意圖：引導學生在兩點確定一條直線的基礎上，認識到“一點和一個方向”也可以唯一確定一條直線，方向是直線的一個重要幾何要素.
問題3 當直線 與 軸平行或重合時，其傾斜角大小為多少？直線的傾斜角的取值范圍是什么？
師生活動：學生可能會存在對于平行x軸的直線傾斜角的疑問。同時在上述探究過程中，學生的第一反應是與y軸的夾角.教師要做好引導，說明方向與夾角之間的關系，兩者都描述了直線的傾斜程度.
設計意圖：讓學生通過觀察該直線，當直線 與 軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為。并得出直線的傾斜角α的取值范圍為 ≤α＜ ，并得出當直線的方向不同時，直線的傾斜程度不同，傾斜角不同.
問題4 直線 的傾斜角α與, ）, , ）有什么內在聯(lián)系？
在平面直角坐標系中，設直線 的傾斜角為α
（1）已知直線 經過點O（0，0），P（，1），α與點O，P的坐標有什么關系？
（2）類似地，如果直線 經過點1，1）, ），α與點， 坐標又有什么關系？
師生活動：教師提岀問題，引導學生體會向量法的優(yōu)勢，以及為什么要用正切函數(shù)來建立角與給定兩點坐標之間的聯(lián)系（作為比較，必要時可以引導學生分析用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的弊端）.
追問：你能將上述方法進行一般性的推廣嗎？
師生活動：學生通過獨立思考，將問題推廣到一般情形，并自主探究解答.當?shù)姆较虿煌瑫r，教師要引導學生討論傾斜角與兩點坐標的關系，得到計算公式后追問下面的問題.
問題5 當直線與 軸平行或重合時，上述式子還成立嗎？為什么？
師生活動：學生通過上述問題四得研究，通過相同的方法繼續(xù)探究是否上述式子成立.
設計意圖：通過對特殊問題一般化的抽象得到傾斜角的正切值，即斜率的計算公式，并通過 師生對該公式意義的分析，發(fā)現(xiàn)它正是我們尋求的刻畫直線方向的代數(shù)表達.這種形式能直接參 與代數(shù)運算，實現(xiàn)用代數(shù)方法處理幾何問題的目的.
結論 直線 的傾斜角α與直線 上的兩點, ）, , ）（ ≠ ）的坐標有如下關系：
問題6當直線的傾斜角變化時，直線的斜率如何變化？當直線的傾斜角是0°或90°時，直線的斜率是多少？
師生活動：引導學生通過正切函數(shù)的概念以及單調性回答，可以畫出正切函數(shù)的圖象，幫助 學生理解其中的變化情況和特殊點的取值.
設計意圖：結合正切函數(shù)的概念及其單調性，幫助學生認識隨著傾斜角的變化，斜率的變化情況，理解其中斜率不存在的情況，使得學生對傾斜角和斜率的概念有更清晰的認識.加深對數(shù)形結合得理解.
問題7直線的方向向量與斜率 有什么關系？
師生活動：引導學生通過向量解決此類問題并建立起直線的方向向量、傾斜角及斜率之間的關系。
=（ - ， - ）
當≠ 時，直線與 軸不垂直，其一個方向向量為
=（1， ）
因此，若直線 的斜率為 ，它的一個方向向量的坐標為（），則
=（ - ， - ）
當 時，直線與 軸垂直，其一個方向向量為（0，1）
設計意圖：結合方向向量，幫助學生認識傾斜角、斜率及方向向量三者之間的關系，特別是理解其中斜率不存在的情況，使得學生對傾斜角和斜率的概念有更清晰的認識.加深對數(shù)形結合得理解.
3.鞏固應用
例 1 如圖 2,已知 A (3, 2), B (-4, 1), C (0, -1), 求直線AB, BC, CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角.
師生活動：例1由學生自己完成，可以請一位同學上講臺板書解題過程；思考題為備選題, 視學生學情而定，可以師生共同分析完成.
設計意圖：通過例1幫助學生鞏固掌握斜率公式，熟悉斜率大小與傾斜角的關系.
4.課堂小結
本節(jié)課，我們在平面直角坐標系中，討論了確定直線位置的幾何要素，即兩點確定一條直線以及一點和一個方向確定一條直線.并從形和數(shù)的角度利用傾斜角和斜率來刻畫直線的傾斜程度，即表示了直線的方向，并探討了傾斜角、斜率與直線上兩點坐標的關系，探討了直線的方向向量與斜率的關系.在此過程中體會到了數(shù)形結合數(shù)學思想以及將幾何問題轉化為代數(shù)問題的化歸轉化思想.
師生活動：教師提岀問題，先由學生梳理，其他同學補充，師生再一起整理岀本節(jié)課研究問題的基本流程框圖.教師再結合框圖，總結本節(jié)課蘊含的主要數(shù)學思想方法：類比聯(lián)想、分類討論、坐標法、數(shù)形結合思想. 設計意圖：通過對本節(jié)課所學知識，特別是研究過程的梳理，培養(yǎng)學生反思與整理的意識與習慣，讓學生了解解析幾何的起源與坐標法思想，對傾斜角、斜率兩個概念的發(fā)現(xiàn)——探究的過程與方法有清晰的認識.
5.布置作業(yè)
教科書習題2.1第1, 2, 3, 4, 7, 8題.
6.目標檢測設計
1.已知直線l的斜率的絕對值為1,則直線l的傾斜角為 (　　)　　
A.45° B.135° C.45°或135° D.以上均不正確
2.若直線l向上的方向與y軸的正方向成30°角,則直線l的傾斜角為 (　　)
A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°
3.若過點M(-2,m),N(m,4)的直線的斜率等于1,則m的值為 (　　)
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4

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