資源簡介

第二節　簡諧運動的描述
1～7題每題8分，共56分
考點一　簡諧運動的函數描述
1．(多選)物體A做簡諧運動的振動方程是xA＝3cos(100t＋) m，物體B做簡諧運動的振動方程是xB＝5cos(100t＋) m。比較A、B的運動，則(　　)
A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B．周期是標量，A、B周期相等，都為100 s
C．A振動的頻率fA等于B振動的頻率fB
D．A的相位始終超前B的相位
2．兩個質點各自做簡諧振動，它們的振幅相同、周期相同。第一個質點的振動方程為x1＝Acos(ωt＋α)。當第一個質點從相對于其平衡位置的正位移處回到平衡位置時，第二個質點正在最大正位移處。則第二個質點的振動方程為(　　)
A．x2＝Acos(ωt＋α＋π)
B．x2＝Acos(ωt＋α－π)
C．x2＝Acos(ωt＋α－π)
D．x2＝Acos(ωt＋α＋π)
考點二　簡諧運動的圖像描述
3.(2023·深圳市鹽田高中高二月考)某物體的x－t圖像如圖所示，x－t圖像為余弦函數圖線，則(　　)
A．0.1～0.2 s內，物體正在做加速運動
B．0.1～0.2 s內，物體位移正在減小
C．0.1～0.2 s內，物體速度方向與規定的正方向相反
D．0.1～0.2 s內，物體的加速度大小保持不變
4．(2023·廣東省執信中學高二檢測)揚聲器是語音和音樂的播放裝置，在生活中無處不在。如圖所示是揚聲器紙盆中心做簡諧運動的振動圖像，下列判斷正確的是(　　)
A．t＝1×10－3 s時刻紙盆中心的位移最大
B．t＝2×10－3 s時刻紙盆中心的加速度最大
C．在0～2×10－3 s之間紙盆中心的速度方向不變
D．紙盆中心做簡諧運動的方程為x＝1.0×10－4·cos 50πt (m)
考點三　簡諧運動的周期性與對稱性
5．如圖所示，彈簧振子在振動過程中，振子從a到b歷時0.2 s，振子經a、b兩點時速度相同，若它從b再回到a的最短時間為0.4 s，則該振子的振動頻率為(　　)
A．1 Hz B．1.25 Hz
C．2 Hz D．2.5 Hz
6.(多選)如圖所示，一質點在A、B之間做簡諧運動，O為平衡位置，E、F點分別為AO和OB之間關于O點的對稱點(即EO和OF的距離相等)。質點從E點向右運動經過時間t1第一次經過F點，再經過時間t2第四次經過F點。下列說法正確的是(　　)
A．質點經過E點和F點的速度一定相同
B．質點經過E點和F點的加速度大小相等
C．質點從A點第一次運動到B點的時間為t1＋t2
D．該質點的振動周期為
7.如圖所示是某質點沿x軸做簡諧運動的振動圖像，簡諧運動的頻率為0.5 Hz，在t＝0時，位移是4 cm，且向x軸負方向運動，則簡諧運動的振動方程為(　　)
A．x＝8sin(πt＋) cm
B．x＝8sin(πt＋) cm
C．x＝8cos(πt＋π) cm
D．x＝8cos(πt＋) cm
8～10每題9分，11題17分，共44分
8．一質點做簡諧運動，先后以相同的速度依次通過A、B兩點，歷時1 s；質點通過B點后再經過1 s又第二次通過B點。在這2 s內質點通過的總路程為12 cm，則質點的振動周期和振幅分別是(　　)
A．3 s,6 cm B．4 s,6 cm
C．4 s,9 cm D．2 s,8 cm
9．(多選)(2024·廣州市第十六中學期中)如圖甲所示，彈簧振子以點O為平衡位置，在A、B兩點之間做簡諧運動。取向右為正方向，振子的位移x隨時間t的變化如圖乙所示，下列說法正確的是(　　)
A．振子的位移—時間函數為x＝12cos(1.25πt－)(cm)
B．t＝0.1 s和t＝0.7 s時，振子的速度相同
C．0.2 s到0.4 s，振子的加速度逐漸減小
D．t1到t2，振子振動的時間為半個周期
10．一位游客在棧橋邊欲乘坐游船，當日風浪較大，游船上下浮動。可把游船浮動簡化成豎直方向的簡諧運動，振幅為30 cm，周期為3.6 s。當船上升到最高點時，甲板剛好與碼頭地面平齊。地面與甲板的高度差不超過15 cm時，游客能舒服地登船。在一個周期內，游客能舒服登船的時間是(　　)
A．0.6 s B．0.9 s C．1.2 s D．1.8 s
11．(17分)如圖所示，彈簧振子以O點為平衡位置，在B、C兩點間做簡諧運動。在t＝0時刻，振動物體從O、B間的P點以速度v向B點運動；在t＝0.2 s時，振動物體的速度第一次變為－v；在t＝0.5 s時，振動物體的速度第二次變為－v。
(1)(5分)求彈簧振子的振動周期T。
(2)(5分)若B、C之間的距離為25 cm，求振動物體在4.0 s內通過的路程。
(3)(7分)若B、C之間的距離為25 cm，從振動物體經過平衡位置向B運動開始計時，寫出彈簧振子的位移表達式，并畫出振動圖像。
第二節　簡諧運動的描述
1．CD　[振幅是標量，A、B的振幅分別為3 m、5 m，A錯；A、B的周期均為T＝＝ s，B錯；因為TA＝TB，故fA＝fB，C對；Δφ＝φA－φB＝，為定值，即A的相位始終超前B的相位，D對。]
2．B　[由題意可知，當第一個質點從相對于其平衡位置的正位移處回到平衡位置時，第二個質點正在最大正位移處，則有在t＝0時刻，第一個質點在正方向最大位移處時，第二個質點正經平衡位置向正方向最大位移處運動，因此可知第二個質點的初相位比第一個質點的初相位遲，則第二個質點的振動方程為x2＝Acos(ωt＋α－π)，A、C、D錯誤，B正確。]
3．C　[0.1～0.2 s內，物體從平衡位置向負的最大位移處移動，做加速度逐漸增大的減速運動，位移沿負方向且不斷增大，速度沿負方向且不斷減小，速度和位移的方向皆與規定的正方向相反。故選C。]
4．A　[t＝1×10－3 s時刻紙盆中心的位移最大，故A正確；t＝2×10－3 s時刻紙盆中心位于平衡位置，加速度為零，故B錯誤；在0～2×10－3 s之間紙盆中心的速度方向先沿正方向再沿負方向，故C錯誤；紙盆中心做簡諧運動的方程為x＝Asin ＝1.0×10－4sin 500πt (m)，故D錯誤。]
5．B　[由于振子在a、b兩點的速度相同，則a、b兩點關于O點是對稱的，所以O到b點的時間為0.1 s；而從b再回到a的最短時間為0.4 s，則從b再回到b的最短時間為0.2 s，所以從b到最大位移處的最短時間為0.1 s，因此振子的振動周期為T＝0.8 s，由f＝，得f＝ Hz＝1.25 Hz，故選B。]
6．BD　[由對稱性可知，質點經過E點和F點的速度大小一定相同，但是方向不一定相同，選項A錯誤；質點經過E點和F點時位移的大小相同，根據a＝－可知，加速度大小相等，選項B正確；質點從E點向右運動經過時間t1第一次經過F點，再經過時間t2第四次經過F點，設周期為T，則t2＋t1＝T，解得T＝，質點從A點第一次運動到B點的時間為t＝T＝，選項C錯誤，D正確。]
7．A　[簡諧運動的表達式為
x＝Asin(ωt＋φ)，根據題目所給條件得A＝8 cm，ω＝2πf＝π rad/s，
則x＝8sin(πt＋φ) cm，
在t＝0時，位移是4 cm，代入解得初相φ＝或φ＝，因為t＝0時，速度方向沿x軸負方向，即位移在減小，所以取φ＝，則所求的振動方程為x＝8sin(πt＋π) cm，故選A。]
8．B　[簡諧運動的質點先后以相同的速度通過A、B兩點，則可判定A、B兩點關于平衡位置O點對稱，所以質點由A到O的時間與由O到B的時間相等，那么平衡位置O到B點的時間t1＝0.5 s，因過B點后再經過t＝1 s質點以方向相反、大小相同的速度再次通過B點，則有從B點到最大位移處的時間t2＝0.5 s，因此，質點振動的周期是T＝4×(t1＋t2)＝4 s，質點總路程的一半即為振幅，所以振幅A＝＝6 cm，故選B。]
9．AD　[由題圖乙可知，該振動的振幅為12 cm，周期T＝1.6 s，
所以ω＝＝1.25π rad/s，
結合振動圖像可知，振子的位移—時間函數為
x＝12cos(1.25πt－)(cm)，
故A正確；由題圖乙的振動圖像可知，圖像上某點的斜率表示該點處的瞬時速度，t＝0.1 s和t＝0.7 s時，圖像中的斜率一正一負，說明兩點的速度方向相反，所以速度不相同，故B錯誤；由題圖乙可知，t＝0.2 s到t＝0.4 s時間內，振子的位移為正，正在逐漸增大，所以根據F＝－kx可知回復力逐漸增大，加速度逐漸增大，故C錯誤；t1和t2時刻，振子的位移關于平衡位置對稱，并且速度方向相反，且時間間隔是小于一個周期的，由此可知兩時刻的時間差是半個周期，故D正確。]
10．C　[把船浮動簡化成豎直方向的簡諧運動，從船上升到最高點時計時，其振動方程為y＝Acos t，代入數據得y＝30cos t (cm)，當y＝15 cm時，在一個周期內對應的點分別為t1＝0.6 s，t2＝3 s，所以在一個周期內，游客能舒服登船的時間是1.2 s，C正確。]
11．見解析
解析　(1)根據簡諧運動的對稱性和題意可知，振動物體完成半次全振動所用時間為0.5 s，
則T＝0.5×2 s＝1.0 s。
(2)若B、C之間的距離為25 cm，
則振幅A＝×25 cm＝12.5 cm，
振動物體在4.0 s內通過的路程
s＝×4×12.5 cm＝200 cm。
(3)根據物體做簡諧運動的表達式
x＝Asin(ωt＋φ)，
A＝12.5 cm，
ω＝＝2π rad/s，φ＝0，
得x＝12.5sin 2πt cm，振動圖像如圖所示。第二節　簡諧運動的描述
[學習目標]1.了解簡諧運動的函數表達式中各量的物理意義，能根據運動情況寫出簡諧運動的函數表達式(重難點)。2.了解初相和相位差的概念，理解相位的物理意義，能依據簡諧運動表達式描繪振動圖像(重難點)。
一、簡諧運動的函數描述
1．振子振動時__________與__________關系的曲線叫振動曲線，簡稱x－t圖線。
2．簡諧運動位移－時間圖像的函數表達式為x＝____________，式中A是簡諧運動的__________，ω是簡諧運動的__________。
3．ω與周期T或頻率f的關系為：ω＝＝__________。
說明：(1)表達式反映了做簡諧運動的物體的位移x隨時間t的變化規律。
(2)通過簡諧運動的函數描述可得出簡諧運動的振幅A、周期T、頻率f等物理量。
根據表達式x＝Acos(ωt＋φ)，當Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ(n＝1,2,3…)，t1、t2兩個時刻的位移有什么關系？ 這體現了簡諧運動有什么特點？
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例1　(多選)一彈簧振子A的位移x隨時間t變化的關系式為x＝0.1cos 2.5πt，位移x的單位為m，時間t的單位為s，則(　　)
A．彈簧振子的振幅為0.2 m
B．彈簧振子的周期為1.25 s
C．在t＝0.2 s時，振子的運動速度最大
D．若另一彈簧振子B的位移x隨時間t變化的關系式為x＝0.2cos 5πt (m)，則B振動的頻率比A高
例2　彈簧振子在M、N兩點之間做簡諧運動，周期為0.5 s，M、N相距0.8 cm，計時開始時具有正向最大加速度，則它的振動方程是(　　)
A．x＝8×10－3cos(4πt) m
B．x＝－4×10－3cos(4πt) m
C．x＝8×10－3cos(2πt) m
D．x＝4×10－3cos(2πt) m
二、簡諧運動的圖像描述
P、Q兩振子做簡諧運動的x－t函數表達式x1＝A1cos t，x2＝A2cos(t＋)，如圖所示為二者的振動曲線，試思考以下問題：
(1)開始計時后，振子Q、P的位移分別在哪個時刻(在一個周期內)達到正向最大值？兩者達到正向最大值的時間差是多少？
(2)二者在同一時刻振動情況相同嗎？
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1．相位：位移—時間函數x＝Acos(ωt＋φ)中的__________叫作相位，而t＝0時的相位φ叫作__________，簡稱初相。
2．相位的意義：相位是一個表示振子處在振動周期中的__________的物理量。
說明：相位ωt＋φ代表了做簡諧運動的物體在各個不同時刻所處的狀態。它是一個隨時間變化的量，相位每增加2π，意味著物體完成了一次全振動。
3．相位差：相位是一個__________概念，與所取的__________有關。兩個振動的相位差是個__________概念，表示兩個__________相同的簡諧運動的振動先后關系。
說明：頻率相同的兩個簡諧運動有固定的相位差，即Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)。
若Δφ＝0，表明兩個物體運動步調相同，即同相；
若Δφ＝π，表明兩個物體運動步調相反，即反相。
例3　如圖甲所示，一彈簧振子在A、B之間做簡諧運動，O點為振子靜止的位置，其振動圖像如圖乙所示，規定向右的方向為正方向，試根據圖像分析以下問題：
(1)在t＝0時刻，振子所處的位置為______點，正在向__________(選填“左”或“右”)運動。
(2)該簡諧運動的周期為________ s，振幅為________ cm。
(3)在圖乙中，振子在t＝1 s、t＝2 s和t＝3 s時所處的位置依次是________、__________和________。
(4)在t＝2 s時，振子速度的方向與t＝0時速度的方向__________。(選填“相同”或“相反”)
(5)振子在前4 s內的位移等于________ cm，其路程為________ cm。
(6)該彈簧振子的位移－時間函數表達式為______________________。
由簡諧運動的圖像獲取的信息
(1)簡諧運動的周期、頻率、相位、振幅。
(2)某一時刻質點的位移的大小和方向如圖所示，質點在t1、t2時刻的位移分別為x1和－x2。
(3)某一時刻質點的運動方向
根據下一時刻質點的位移確定運動方向，如圖中的a點，下一時刻質點離平衡位置更遠，故a點對應時刻質點向正方向遠離平衡位置運動。
(4)質點的位移、速度的變化情況
①根據下一時刻質點的位移，判斷是遠離還是衡位置。若遠離平衡位置，則位移越來越大，速度越來越小；若衡位置，則位移越來越小，速度越來越大。
②根據斜率判斷速度的大小和方向。斜率越大，則速度越大，斜率越小，則速度越小，斜率為正，則速度沿所選正方向，斜率為負，則速度沿負方向。
例4　如圖甲所示，彈簧振子以O點為平衡位置，在A、B兩點之間做簡諧運動。取向右為正方向，振動物體的位移x隨時間t的變化規律如圖乙所示，則由圖可知(　　)
A．t＝0.2 s時，振動物體的加速度方向向右
B．t＝0.6 s時，振動物體的速度方向向右
C．在t＝0.4 s到t＝0.8 s時間內，振動物體的動能逐漸增大
D．在任意0.4 s時間內，振動物體通過的路程是10 cm
個周期內路程與振幅的關系
振動物體在個周期內的路程不一定等于一個振幅A。只有當初始時刻振動物體在平衡位置或最大位移處時，個周期內的路程才等于一個振幅。當初始時刻振動物體不在平衡位置或最大位移處時，若質點開始時運動的方向指向平衡位置，則質點在個周期內的路程大于A，若質點開始時運動的方向遠離平衡位置，則質點在個周期內的路程小于A。
三、簡諧運動的周期性與對稱性
　簡諧運動是一種周期性的運動，做簡諧運動的物體每經過一個周期，它的位移、速度、加速度、回復力等物理量都恢復原值。在簡諧運動中，各物理量在不同階段又具有一定的對稱性。如圖所示，物體在A、B兩點間做簡諧運動，O點為平衡位置，OC＝OD，請結合該簡諧運動從時間、位移、速度等物理量，說一說簡諧運動的對稱性體現在哪些方面？
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例5　(多選)彈簧振子以O點為平衡位置做簡諧運動，從小球通過O點時開始計時，小球第一次到達M點用了0.3 s，又經過0.2 s第二次通過M點，則小球第三次通過M點還要經過的時間可能是(　　)
A. s B. s C．1.4 s D．1.6 s
1．周期性造成多解：由于簡諧運動的周期性，物體經過同一位置可以對應不同的時刻，物體的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，這樣就形成簡諧運動的多解問題。
2．對稱性造成多解：由于簡諧運動具有對稱性，因此當物體通過兩個對稱位置時，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，這種也形成多解問題。
答案精析
一、
例1　CD　[由振動方程可知振幅A＝0.1 m，故A錯誤；由振動方程可知
ω＝2.5π rad/s，
則 T＝＝ s＝0.8 s，故B錯誤；在t＝0.2 s時，振子的位移為零，速度最大，故C正確；由B的振動方程x＝0.2cos 5πt (m)可知ω為5π，可求出周期T′＝ s＝0.4 s，
又f＝，可求fA＝ Hz＝1.25 Hz，fB＝ Hz＝2.5 Hz，故B振動的頻率比A高，故D正確。]
例2　B　[振子在M、N兩點之間做簡諧運動，由于M、N相距0.8 cm，所以2A＝0.8 cm，振幅A＝0.4 cm，周期為0.5 s，所以ω＝＝4π rad/s，而初始時刻具有正向最大加速度，即在負向最大位移處，綜上可得x＝－4×10－3cos(4πt) m，B正確，A、C、D錯誤。]
二、
例3　(1)O　右　(2)4　3　(3)B點　O點　A點　(4)相反　(5)0　12　(6)x＝3cos (t－) cm
解析　(1)由振動圖像知，t＝0時，x＝0，表示振子位于平衡位置，即O點。在0～1 s內，振動位移x>0，且逐漸增大，表示t＝0時，振子正在向正方向運動，即向右運動。
(2)由題圖乙知，振子的周期為4 s，振幅為3 cm。
(3)t＝1 s時，x＝3 cm，振子位于B點；在t＝2 s時，x＝0，振子位于平衡位置O點；t＝3 s時，x＝－3 cm，振子位于A點。
(4)在t＝2 s時，x－t圖像的斜率為負，表示向負方向運動，即向左運動，與t＝0時速度的方向相反。
(5)在t＝4 s時，振子又回到了平衡位置，故位移Δx＝0，其路程為
s＝3 cm×4＝12 cm。
(6)由題圖乙可知彈簧振子的位移－時間表達式滿足
x＝Acos (t－)，
代入數據得：x＝3cos (t－) cm。
例4　C　[t＝0.2 s時，振動物體的位置由O點向右運動到OB間的某點，振動物體受到的回復力向左，所以加速度向左，故A錯誤；t＝0.6 s時，由x－t圖像知其斜率為負，故其速度方向與正方向相反，因此速度向左，故B錯誤；t＝0.4 s到t＝0.8 s的時間內，圖中斜率絕對值逐漸增大，因此可判斷振動物體運動的速度增大，所以振動物體的動能逐漸增大，故C正確；由題圖乙可知振動物體的周期為1.6 s，振動物體在0.4 s即個周期內通過的路程不一定等于一個振幅，故D錯誤。]
三、
例5　AC　[假設彈簧振子在B、C之間振動，M點在O點的右側，如圖甲，若小球開始先向左振動，小球的振動周期為T＝×4 s＝ s，則小球第三次通過M點還要經過的時間是t＝ s－0.2 s＝ s。如圖乙，若小球開始先向右振動，小球的振動周期為T′＝4×(0.3＋) s＝1.6 s，則小球第三次通過M點還要經過的時間是t′＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s，A、C正確。](共61張PPT)
DIYIZHANG
第二章
第二節　簡諧運動的描述
1.了解簡諧運動的函數表達式中各量的物理意義，能根據運動情況寫出簡諧運動的函數表達式(重難點)。
2.了解初相和相位差的概念，理解相位的物理意義，能依據簡諧運動表達式描繪振動圖像(重難點)。
學習目標
一、簡諧運動的函數描述
二、簡諧運動的圖像描述
課時對點練
三、簡諧運動的周期性與對稱性
內容索引
簡諧運動的函數描述
一
1.振子振動時 與 關系的曲線叫振動曲線，簡稱x－t圖線。
2.簡諧運動位移－時間圖像的函數表達式為x＝Acos(ωt＋φ)，式中A是簡諧運動的 ，ω是簡諧運動的 。
2πf
說明：(1)表達式反映了做簡諧運動的物體的位移x隨時間t的變化規律。
(2)通過簡諧運動的函數描述可得出簡諧運動的振幅A、周期T、頻率f等物理量。
位移
時間
振幅
角頻率
討論與交流
根據表達式x＝Acos(ωt＋φ)，當Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ(n＝1,2,3…)，t1、t2兩個時刻的位移有什么關系？ 這體現了簡諧運動有什么特點？
答案　t1、t2兩個時刻的位移相同，這體現了簡諧運動的周期性特點。
　(多選)一彈簧振子A的位移x隨時間t變化的關系式為x＝0.1cos 2.5πt，位移x的單位為m，時間t的單位為s，則
A.彈簧振子的振幅為0.2 m
B.彈簧振子的周期為1.25 s
C.在t＝0.2 s時，振子的運動速度最大
D.若另一彈簧振子B的位移x隨時間t變化的關系式為x＝0.2cos 5πt (m)，則
B振動的頻率比A高
例1
√
√
由振動方程可知振幅A＝0.1 m，故A錯誤；
在t＝0.2 s時，振子的位移為零，速度最大，故C正確；
　彈簧振子在M、N兩點之間做簡諧運動，周期為0.5 s，M、N相距0.8 cm，計時開始時具有正向最大加速度，則它的振動方程是
A.x＝8×10－3cos(4πt) m
B.x＝－4×10－3cos(4πt) m
C.x＝8×10－3cos(2πt) m
D.x＝4×10－3cos(2πt) m
例2
√
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簡諧運動的圖像描述
二
(1)開始計時后，振子Q、P的位移分別在哪個時刻(在一個周期內)達到正向最大值？兩者達到正向最大值的時間差是多少？
(2)二者在同一時刻振動情況相同嗎？
1.相位：位移—時間函數x＝Acos(ωt＋φ)中的 叫作相位，而t＝0時的相位φ叫作 ，簡稱初相。
2.相位的意義：相位是一個表示振子處在振動周期中的 的物理量。
說明：相位ωt＋φ代表了做簡諧運動的物體在各個不同時刻所處的狀態。它是一個隨時間變化的量，相位每增加2π，意味著物體完成了一次全振動。
ωt＋φ
梳理與總結
初相位
哪個位置
3.相位差：相位是一個 概念，與所取的 有關。兩個振動的相位差是個 概念，表示兩個 相同的簡諧運動的振動先后關系。
說明：頻率相同的兩個簡諧運動有固定的相位差，即Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)。
若Δφ＝0，表明兩個物體運動步調相同，即同相；
若Δφ＝π，表明兩個物體運動步調相反，即反相。
相對
時間零點
絕對
頻率
　如圖甲所示，一彈簧振子在A、B之間做簡諧運動，O點為振子靜止的位置，其振動圖像如圖乙所示，規定向右的方向為正方向，試根據圖像分析以下問題：
例2
(1)在t＝0時刻，振子所處的位置為____點，正在向_____(選填“左”或“右”)運動。
O
右
由振動圖像知，t＝0時，x＝0，表示振子位于平衡位置，即O點。在0～1 s內，振動位移x>0，且逐漸增大，表示t＝0時，振子正在向正方向運動，即向右運動。
(2)該簡諧運動的周期為_____ s，振幅為____ cm。
4
3
由題圖乙知，振子的周期為4 s，振幅為3 cm。
(3)在圖乙中，振子在t＝1 s、t＝2 s和t＝3 s時所處的位置依次是________、_______和______。
B點
O點
A點
t＝1 s時，x＝3 cm，振子位于B點；在t＝2 s時，x＝0，振子位于平衡位置O點；t＝3 s時，x＝－3 cm，振子位于A點。
(4)在t＝2 s時，振子速度的方向與t＝0時速度的方向________。(選填“相同”或“相反”)
相反
在t＝2 s時，x－t圖像的斜率為負，表示向負方向運動，即向左運動，與t＝0時速度的方向相反。
(5)振子在前4 s內的位移等于____ cm，其路程為_____ cm。
0
12
在t＝4 s時，振子又回到了平衡位置，故位移Δx＝0，其路程為s＝3 cm×
4＝12 cm。
(6)該彈簧振子的位移－時間函數表達式為____________________。
總結提升
由簡諧運動的圖像獲取的信息
(1)簡諧運動的周期、頻率、相位、振幅。
(2)某一時刻質點的位移的大小和方向如圖所示，質點在t1、t2時刻的位移分別為x1和－x2。
(3)某一時刻質點的運動方向
根據下一時刻質點的位移確定運動方向，如圖中的a點，下一時刻質點離平衡位置更遠，故a點對應時刻質點向正方向遠離平衡位置運動。
(4)質點的位移、速度的變化情況
①根據下一時刻質點的位移，判斷是遠離還是衡位置。若遠離平衡位置，則位移越來越大，速度越來越小；若衡位置，則位移越來越小，速度越來越大。
②根據斜率判斷速度的大小和方向。斜率越大，則速度越大，斜率越小，則速度越小，斜率為正，則速度沿所選正方向，斜率為負，則速度沿負方向。
　如圖甲所示，彈簧振子以O點為平衡位置，在A、B兩點之間做簡諧運動。取向右為正方向，振動物體的位移x隨時間t的變化規律如圖乙所示，則由圖可知
A.t＝0.2 s時，振動物體的加速度
方向向右
B.t＝0.6 s時，振動物體的速度方
向向右
C.在t＝0.4 s到t＝0.8 s時間內，振動物體的動能逐漸增大
D.在任意0.4 s時間內，振動物體通過的路程是10 cm
例4
√
t＝0.2 s時，振動物體的位置由O點向右運動到OB間的某點，振動物體受到的回復力向左，所以加速度向左，故A錯誤；
t＝0.6 s時，由x－t圖像知其斜率為負，故其速度方向與正方向相反，因此速度向左，故B錯誤；
t＝0.4 s到t＝0.8 s的時間內，圖中斜率絕對值逐漸增大，因此可判斷振動物體運動的速度增大，所以振動物體的動能逐漸增大，故C正確；
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簡諧運動的周期性與對稱性
三
簡諧運動是一種周期性的運動，做簡諧運動的物體每經過一個周期，它的位移、速度、加速度、回復力等物理量都恢復原值。在簡諧運動中，各物理量在不同階段又具有一定的對稱性。如圖所示，物體在A、B兩點間做簡諧運動，O點為平衡位置，OC＝OD，請結合該簡諧運動從時間、位移、速度等物理量，說一說簡諧運動的對稱性體現在哪些方面？
答案　(1)時間的對稱：①來回通過相同兩點間的時間相等，如tDB＝tBD。
②物體經過關于平衡位置對稱的等長的兩段位移的時間相等，如tAC＝tDB、tCO＝tOD。
(2)位移的對稱：①物體經過同一點時位移相同。
②物體經過關于平衡位置對稱的兩點(如C點與D點)時位移大小相等，方向相反。
(3)速度的對稱：①物體連續兩次經過同一點(如C點)的速度大小相等，方向相反。
②物體經過關于平衡位置對稱的兩點(如C點與D點)時速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
　(多選)彈簧振子以O點為平衡位置做簡諧運動，從小球通過O點時開始計時，小球第一次到達M點用了0.3 s，又經過0.2 s第二次通過M點，則小球第三次通過M點還要經過的時間可能是
例5
√
√
假設彈簧振子在B、C之間振動，M點在O點的右側，如圖甲，若小球開始先向左振動，小球的振動周期為
則小球第三次通過M點還要經過的時間是t′＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s，A、C正確。
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1.周期性造成多解：由于簡諧運動的周期性，物體經過同一位置可以對應不同的時刻，物體的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，這樣就形成簡諧運動的多解問題。
2.對稱性造成多解：由于簡諧運動具有對稱性，因此當物體通過兩個對稱位置時，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，這種也形成多解問題。
課時對點練
四
基礎對點練
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振幅是標量，A、B的振幅分別為3 m、5 m，A錯；
因為TA＝TB，故fA＝fB，C對；
2.兩個質點各自做簡諧振動，它們的振幅相同、周期相同。第一個質點的振動方程為x1＝Acos(ωt＋α)。當第一個質點從相對于其平衡位置的正位移處回到平衡位置時，第二個質點正在最大正位移處。則第二個質點的振動方程為
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由題意可知，當第一個質點從相對于其平衡位置的正位移處回到平衡位置時，第二個質點正在最大正位移處，則有在t＝0時刻，第一個質點在正方向最大位移處時，第二個質點正經平衡位置向正方向最大位移處運動，
3.(2023·深圳市鹽田高中高二月考)某物體的x－t圖像如圖所示，x－t圖像為余弦函數圖線，則
A.0.1～0.2 s內，物體正在做加速運動
B.0.1～0.2 s內，物體位移正在減小
C.0.1～0.2 s內，物體速度方向與規定的正方向相反
D.0.1～0.2 s內，物體的加速度大小保持不變
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0.1～0.2 s內，物體從平衡位置向負的最大位移處移動，做加速度逐漸增大的減速運動，位移沿負方向且不斷增大，速度沿負方向且不斷減小，速度和位移的方向皆與規定的正方向相反。故選C。
4.(2023·廣東省執信中學高二檢測)揚聲器是語音和音樂的播放裝置，在生活中無處不在。如圖所示是揚聲器紙盆中心做簡諧運動的振動圖像，下列判斷正確的是
A.t＝1×10－3 s時刻紙盆中心的位移最大
B.t＝2×10－3 s時刻紙盆中心的加速度最大
C.在0～2×10－3 s之間紙盆中心的速度方向
不變
D.紙盆中心做簡諧運動的方程為x＝1.0×10－4·cos 50πt (m)
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t＝1×10－3 s時刻紙盆中心的位移最大，故A正確；t＝2×10－3 s時刻紙盆中心位于平衡位置，加速度為零，故B錯誤；
在0～2×10－3 s之間紙盆中心的速度方向先沿正方向再沿負方向，故C錯誤；
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考點三　簡諧運動的周期性與對稱性
5.如圖所示，彈簧振子在振動過程中，振子從a到b歷時0.2 s，振子經a、b兩點時速度相同，若它從b再回到a的最短時間為0.4 s，則該振子的振動頻率為
A.1 Hz B.1.25 Hz
C.2 Hz D.2.5 Hz
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由于振子在a、b兩點的速度相同，則a、b兩點關于O點是對稱的，所以O到b點的時間為0.1 s；而從b再回到a的最短時間為0.4 s，則從b再回到b的最短時間為0.2 s，所以從b到最大位移處的最短時間為0.1 s，
6.(多選)如圖所示，一質點在A、B之間做簡諧運動，O為平衡位置，E、F點分別為AO和OB之間關于O點的對稱點(即EO和OF的距離相等)。質點從E點向右運動經過時間t1第一次經過F點，再經過時間t2第四次經過F點。下列說法正確的是
A.質點經過E點和F點的速度一定相同
B.質點經過E點和F點的加速度大小相等
C.質點從A點第一次運動到B點的時間為t1＋t2
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由對稱性可知，質點經過E點和F點的速度大小一定相同，但是方向不一定相同，選項A錯誤；
質點從E點向右運動經過時間t1第一次經過F點，再經過時間t2第四次經過F點，
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7.如圖所示是某質點沿x軸做簡諧運動的振動圖像，簡諧運動的頻率為0.5 Hz，在t＝0時，位移是4 cm，且向x軸負方向運動，則簡諧運動的振動方程為
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簡諧運動的表達式為x＝Asin(ωt＋φ)，根據題目所給條件得A＝8 cm，ω＝2πf＝π rad/s，
則x＝8sin(πt＋φ) cm，在t＝0時，位移是4 cm，
因為t＝0時，速度方向沿x軸負方向，即位移在減小，
8.一質點做簡諧運動，先后以相同的速度依次通過A、B兩點，歷時1 s；質點通過B點后再經過1 s又第二次通過B點。在這2 s內質點通過的總路程為12 cm，則質點的振動周期和振幅分別是
A.3 s,6 cm B.4 s,6 cm
C.4 s,9 cm D.2 s,8 cm
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能力綜合練
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簡諧運動的質點先后以相同的速度通過A、B兩點，則可判定A、B兩點關于平衡位置O點對稱，所以質點由A到O的時間與由O到B的時間相等，那么平衡位置O到B點的時間t1＝0.5 s，因過B點后再經過t＝1 s質點以方向相反、大小相同的速度再次通過B點，則有從B點到最大位移處的時間t2＝0.5 s，因此，質點振動的周期是T＝4×(t1＋t2)＝4 s，質點總路程的一半即為振幅，
9.(多選)(2024·廣州市第十六中學期中)如圖甲所示，彈簧振子以點O為平衡位置，在A、B兩點之間做簡諧運動。取向右為正方向，振子的位移x隨時間t的變化如圖乙所示，下列說法正確的是
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B.t＝0.1 s和t＝0.7 s時，振子的
速度相同
C.0.2 s到0.4 s，振子的加速度逐漸減小
D.t1到t2，振子振動的時間為半個周期
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由題圖乙的振動圖像可知，圖像上某點的斜率表示該點處的瞬時速度，t＝0.1 s和t＝0.7 s時，圖像中的斜率一正一負，說明兩點的速度方向相反，所以速度不相同，故B錯誤；
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由題圖乙可知，t＝0.2 s到t＝0.4 s時間內，振子的位移為正，正在逐漸增大，所以根據F＝－kx可知回復力逐漸增大，加速度逐漸增大，故C錯誤；
t1和t2時刻，振子的位移關于平衡位置對稱，并且速度方向相反，且時間間隔是小于一個周期的，由此可知兩時刻的時間差是半個周期，故D正確。
10.一位游客在棧橋邊欲乘坐游船，當日風浪較大，游船上下浮動。可把游船浮動簡化成豎直方向的簡諧運動，振幅為30 cm，周期為3.6 s。當船上升到最高點時，甲板剛好與碼頭地面平齊。地面與甲板的高度差不超過15 cm時，游客能舒服地登船。在一個周期內，游客能舒服登船的時間是
A.0.6 s B.0.9 s C.1.2 s D.1.8 s
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11.如圖所示，彈簧振子以O點為平衡位置，在B、C兩點間做簡諧運動。在t＝0時刻，振動物體從O、B間的P點以速度v向B點運動；在t＝0.2 s時，振動物體的速度第一次變為－v；在t＝0.5 s時，振動物體的速度第二次變為－v。
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答案　見解析
(1)求彈簧振子的振動周期T。
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根據簡諧運動的對稱性和題意可知，振動物體完成半次全振動所用時間為0.5 s，則T＝0.5×2 s＝1.0 s。
(2)若B、C之間的距離為25 cm，求振動物體在4.0 s內通過的路程。
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答案　見解析
(3)若B、C之間的距離為25 cm，從振動物體經過平衡位置向B運動開始計時，寫出彈簧振子的位移表達式，并畫出振動圖像。
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答案　見解析
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根據物體做簡諧運動的表達式x＝Asin(ωt＋φ)，
得x＝12.5sin 2πt cm，振動圖像如圖所示。
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