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第三節(jié)　單擺
1～6題每題7分，7題14分，共56分
考點(diǎn)一　單擺及其回復(fù)力
1．(多選)下列有關(guān)單擺的說(shuō)法，正確的是(　　)
A．一根橡皮筋一端系在懸點(diǎn)，另一端連接一個(gè)小球，可以構(gòu)成一個(gè)單擺
B．單擺的擺動(dòng)一定是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)
C．若單擺在同一平面內(nèi)擺動(dòng)，且偏角小于5°，可以認(rèn)為該單擺的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)
D．單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，其運(yùn)動(dòng)周期越大
2．關(guān)于單擺的運(yùn)動(dòng)，以下說(shuō)法正確的是(　　)
A．單擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺球受到大小不變的向心力
B．單擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺球所受到的合力為回復(fù)力
C．?dāng)[球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，所受到的回復(fù)力為零
D．?dāng)[球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，所受到的合力為零
考點(diǎn)二　單擺的周期公式
3.如圖所示為演示簡(jiǎn)諧振動(dòng)的沙擺，沙筒的質(zhì)量為m，沙子的質(zhì)量為M，M>m，在沙子逐漸漏完的過(guò)程中，擺的周期(　　)
A．不變 B．先變大后變小
C．先變小后變大 D．逐漸變大
4．(多選)(2024·廣州市高二期末)如圖甲，小明做擺角較小的單擺實(shí)驗(yàn)，O是它的平衡位置，B、C是擺球所能到達(dá)的左右最遠(yuǎn)位置，小明通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)出當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭＝π2 m/s2，并且根據(jù)實(shí)驗(yàn)情況繪制了單擺的振動(dòng)圖像如圖乙，設(shè)圖中單擺向右振動(dòng)為正方向，則下列選項(xiàng)正確的是(　　)
A．此單擺的振動(dòng)頻率是2 Hz
B．單擺的擺長(zhǎng)約為1.0 m
C．僅改變擺球質(zhì)量，單擺周期不變
D．t＝0時(shí)刻，擺球位于B點(diǎn)
5.如圖所示，500米口徑的球面射電望遠(yuǎn)鏡(FAST)位于貴州省，是我國(guó)重大科技基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)項(xiàng)目之一。某同學(xué)設(shè)計(jì)了一種測(cè)量該球面半徑R的方法：假設(shè)FAST內(nèi)表面是光滑的球面，他猜想將小球自球面最低點(diǎn)附近由靜止釋放，用秒表測(cè)出它完成n次全振動(dòng)的時(shí)間t，如果當(dāng)?shù)刂亓铀俣葹間，將小球的運(yùn)動(dòng)視為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則FAST的球面半徑R為(　　)
A. B.
C. D.
6．(多選)甲、乙兩單擺在同一地點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)圖像如圖所示，可知(　　)
A．甲、乙兩單擺的周期之比為2∶1
B．甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)之比為2∶1
C．0.5～1.0 s時(shí)間內(nèi)，甲的擺球的速度減小
D．t＝0.5 s時(shí)甲的擺球勢(shì)能最大，乙的擺球動(dòng)能最大
7．(14分)如圖所示，三根細(xì)線在O點(diǎn)處打結(jié)，A、B兩端固定在同一水平面上相距為L(zhǎng)的兩點(diǎn)上，△AOB為直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC長(zhǎng)為L(zhǎng)，下端C點(diǎn)處系著一個(gè)小球。(忽略小球的半徑，小球擺動(dòng)時(shí)偏角θ<5°，重力加速度為g)求：
(1)(6分)讓小球在紙面內(nèi)擺動(dòng)，周期為多少；
(2)(8分)讓小球在垂直紙面方向擺動(dòng)，周期為多少。
8～10題每題9分，共27分
8.(多選)(2023·廣州市第二中學(xué)高二期中)如圖所示，長(zhǎng)輕繩L1一端系于O點(diǎn)，另一端系小球1，在O點(diǎn)正下方P點(diǎn)有一釘子，下端通過(guò)輕繩L2系小球2靜止于點(diǎn)B，兩小球完全相同。現(xiàn)將小球1拉至A點(diǎn)由靜止釋放，小球1擺至最低點(diǎn)B時(shí)與小球2發(fā)生彈性碰撞，小球2繼續(xù)向右擺至最高點(diǎn)C。整個(gè)過(guò)程中，小球擺角始終小于5°，不計(jì)空氣阻力和摩擦。下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．小球1從A點(diǎn)至B點(diǎn)過(guò)程中回復(fù)力變大
B．碰后瞬間L2的張力大于碰前L1的張力
C．C點(diǎn)與A點(diǎn)在同一高度
D．小球2從B到C所用的時(shí)間等于小球1從A點(diǎn)到B點(diǎn)的時(shí)間
9.如圖所示，一根不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩下端拴一小鋼球，上端系在位于光滑斜面O處的釘子上，小球處于靜止?fàn)顟B(tài)，細(xì)繩與斜面平行。現(xiàn)使小球獲得一平行于斜面底邊的初速度，使小球偏離平衡位置，最大偏角小于5°。已知斜面傾角為θ，懸點(diǎn)到小球球心的距離為L(zhǎng)，重力加速度為g。則小球回到最低點(diǎn)所需的最短時(shí)間為(　　)
A．π B．π
C．π D．π
10.(多選)固定光滑圓弧面上有一個(gè)小球，將它從最低點(diǎn)移開一小段距離，t＝0時(shí)刻將小球由靜止釋放，小球以最低點(diǎn)為平衡位置左右振動(dòng)。已知圓弧半徑R＝1 m，小球半徑r R，當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮＝9.8 m/s2，π2≈9.8，下列哪些時(shí)刻小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)(　　)
A．0.5 s B．1 s C．1.5 s D．2 s
11．(17分)(2023·佛山市高二月考)如圖甲所示，有一懸掛在O點(diǎn)的單擺，將小球(可視為質(zhì)點(diǎn))拉到A點(diǎn)后釋放，小球在同一豎直平面內(nèi)的A、B、C之間來(lái)回?cái)[動(dòng)，已知B點(diǎn)為小球運(yùn)動(dòng)中的最低點(diǎn)，A、C兩點(diǎn)為小球運(yùn)動(dòng)中的最高點(diǎn)，擺角為α(α<5°)，在O點(diǎn)接有一力傳感器，圖乙表示從某時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，由力傳感器測(cè)出的細(xì)線對(duì)小球的拉力大小F隨時(shí)間t變化的曲線，由力傳感器測(cè)得最小拉力為F2，圖中F2、t0已知，當(dāng)?shù)刂亓铀俣却笮間，不計(jì)阻力，求：
(1)(5分)單擺的周期T和擺長(zhǎng)L；
(2)(5分)小球的質(zhì)量m；
(3)(7分)力傳感器測(cè)出的拉力的最大值F1。
第三節(jié)　單擺
1．CD　[一根不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩一端系在懸點(diǎn)，另一端連接一個(gè)質(zhì)量較大且可以看成質(zhì)點(diǎn)的小球可以構(gòu)成一個(gè)單擺，橡皮筋受到拉力時(shí)形變量較大，連接小球構(gòu)成的裝置不可看成單擺，A錯(cuò)誤；若單擺在同一平面內(nèi)擺動(dòng)，且偏角小于5°，可以認(rèn)為該單擺的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，B錯(cuò)誤，C正確；根據(jù)單擺的周期公式T＝2π可知，單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，其運(yùn)動(dòng)周期越大，D正確。]
2．C　[單擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度大小不斷變化，擺球所需向心力大小不斷變化，故A錯(cuò)誤；單擺在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向上的分力，故B錯(cuò)誤；擺球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，回復(fù)力為零，合力不為零，合力方向豎直向上，故C正確，D錯(cuò)誤。]
3．B　[由題可知，M>m，當(dāng)沙子逐漸漏完的過(guò)程中，沙筒的重心先下降后升高，則該沙擺的擺長(zhǎng)先增大后減小，由單擺的周期公式T＝2π可知，該擺的周期先變大后變小，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤。]
4．BCD　[由題圖乙可知，此單擺的周期為T＝2 s，則此單擺的振動(dòng)頻率為f＝＝0.5 Hz，故A錯(cuò)誤；根據(jù)單擺周期公式T＝2π，可得單擺的擺長(zhǎng)為L(zhǎng)＝＝1.0 m，僅改變擺球質(zhì)量，單擺周期不變，故B、C正確；t＝0時(shí)刻，由題圖乙可知，擺球位于負(fù)向最大位移處，圖中單擺向右振動(dòng)為正方向，則擺球位于B點(diǎn)，故D正確。]
5．A　[小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為T＝，由單擺周期公式可知T＝2π，聯(lián)立解得FAST的球面半徑為R＝，故選A。]
6．AD　[由題圖知，甲、乙兩單擺的周期分別為2.0 s、1.0 s，則周期之比為2∶1，A正確；由單擺周期公式T＝2π，可得擺長(zhǎng)L＝，可知擺長(zhǎng)L與T2成正比，因此甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)之比為4∶1，B錯(cuò)誤；0.5～1.0 s時(shí)間內(nèi)，甲單擺的擺球從正向最大位移處向平衡位置運(yùn)動(dòng)，故甲單擺的擺球的速度增大，C錯(cuò)誤；t＝0.5 s時(shí)，甲單擺的擺球在正向最大位移處，甲單擺的擺球的勢(shì)能最大，乙單擺的擺球的位移為0，處在平衡位置，速度最大，則乙單擺的擺球的動(dòng)能最大，D正確。]
7．(1)2π　(2)π
解析　(1)當(dāng)小球在紙面內(nèi)做小角度的擺動(dòng)時(shí)，擺動(dòng)圓弧的圓心為O點(diǎn)，擺長(zhǎng)為L(zhǎng)，故周期為T＝2π
(2)當(dāng)小球在垂直紙面方向做小角度的擺動(dòng)時(shí)，圓心在A、B所在水平面上且在O點(diǎn)正上方，由幾何關(guān)系知擺長(zhǎng)為L(zhǎng)′＝(1＋)L，故周期為
T′＝2π＝π。
8．BC　[由于小球1和小球2完全相同，且發(fā)生彈性碰撞，兩小球碰撞后速度互換，因此可以等效為全程只有小球1從A擺動(dòng)到C，單擺近似為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，因此回復(fù)力大小與小球1到平衡位置(即B點(diǎn))的位移成正比，因此從A到B，位移減小，回復(fù)力變小，故A錯(cuò)誤；經(jīng)過(guò)B點(diǎn)瞬間，速度不變，圓周運(yùn)動(dòng)半徑變小，根據(jù)F合＝F張－mg＝m可知，合力突然變大，即繩子的張力變大，故B正確；不計(jì)空氣阻力和摩擦，小球1在A到C的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，故能達(dá)到同樣的高度，即C點(diǎn)與A點(diǎn)在同一高度，故C正確；根據(jù)T＝2π，擺長(zhǎng)越大，周期越大，則小球1從A點(diǎn)擺至B點(diǎn)的時(shí)間較長(zhǎng)，故D錯(cuò)誤。]
9．C　[因?yàn)樾∏蚱x平衡位置，最大偏角小于5°，小球的運(yùn)動(dòng)可以看作單擺，根據(jù)牛頓第二定律及單擺的周期公式有mgsin θ＝ma，T＝2π，小球回到最低點(diǎn)所需的最短時(shí)間為t＝，解得t＝π，故選C。]
10．AC　[小球的運(yùn)動(dòng)可等效為單擺，擺動(dòng)周期T＝2π＝2 s，小球從左側(cè)最大位移處釋放，在T(n＝0,1,2,3，…)的時(shí)刻經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)，所以0.5 s和1.5 s時(shí)小球均經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)，故B、D錯(cuò)誤，A、C正確。]
11．(1)2t0　　(2)
(3)F2
解析　(1)由題圖乙可知，單擺周期為T＝2t0
由單擺周期公式T＝2π
解得L＝
(2)小球在A點(diǎn)時(shí)拉力最小，
則有F2＝mgcos α
解得m＝
(3)小球在平衡位置B點(diǎn)時(shí)拉力最大，
根據(jù)牛頓第二定律有F1－mg＝m
小球從A到B過(guò)程，由動(dòng)能定理得mgL(1－cos α)＝mv2
解得F1＝F2第三節(jié)　單擺
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解單擺模型和單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件，知道單擺振動(dòng)時(shí)回復(fù)力的來(lái)源(重點(diǎn))。2.知道影響單擺周期的因素，能熟練運(yùn)用單擺的周期公式解決相關(guān)問題(重難點(diǎn))。
一、單擺及其回復(fù)力
如圖所示，一根細(xì)線上端固定，下端連接一個(gè)金屬小球，用手使小球偏離豎直方向一個(gè)很小的夾角，然后釋放，小球在A、A′間來(lái)回?cái)[動(dòng)，不計(jì)空氣的阻力。
(1)小球擺動(dòng)過(guò)程中受到哪些力的作用？
(2)什么力提供向心力？什么力提供回復(fù)力？
(3)小球經(jīng)過(guò)O點(diǎn)平衡位置時(shí)回復(fù)力為零，合外力也為零嗎？
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1．單擺：如果懸掛物體的繩子的__________可以忽略不計(jì)，繩長(zhǎng)比物體的尺寸__________，物體可以看作__________，這樣的裝置可以看作單擺。
說(shuō)明：?jiǎn)螖[是實(shí)際擺的理想模型，若單擺的擺角小于5°，單擺的擺動(dòng)可近似看成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。
2.單擺的回復(fù)力
來(lái)源：擺球的重力沿圓弧切線方向的分力，即F＝__________。
特點(diǎn)：在擺角很小時(shí)，擺球所受的回復(fù)力與它偏離平衡位置的位移成__________，方向總指向__________。
在擺角很小的情況下，試推導(dǎo)回復(fù)力與位移的關(guān)系來(lái)證明單擺的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。
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(1)單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是重力和擺線拉力的合力。(　　　)
(2)單擺擺動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)速度為零，合外力也為零。(　　　)
例1　圖中O點(diǎn)為單擺的固定懸點(diǎn)，現(xiàn)將擺球(可視為質(zhì)點(diǎn))拉至A點(diǎn)，此時(shí)細(xì)線處于張緊狀態(tài)，釋放擺球，擺球?qū)⒃谪Q直平面內(nèi)的A、C之間來(lái)回?cái)[動(dòng)，不計(jì)阻力，B點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)中的最低位置，則在擺動(dòng)過(guò)程中(　　)
A．?dāng)[球受到重力、拉力、回復(fù)力三個(gè)力的作用
B．?dāng)[球在A點(diǎn)和C點(diǎn)處，速度為零，回復(fù)力也為零
C．?dāng)[球在B點(diǎn)處，速度最大，細(xì)線拉力也最大
D．?dāng)[球在B點(diǎn)處，速度最大，回復(fù)力也最大
例2　(多選)如圖所示為一單擺的振動(dòng)圖像，則(　　)
A．t1和t3時(shí)刻擺線的拉力等大
B．t1和t3時(shí)刻擺球速度相等
C．t3時(shí)刻擺球速度正在減小
D．t4時(shí)刻擺線的回復(fù)力正在增大
二、單擺的周期
用如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置探究影響單擺周期的因素。影響單擺周期的因素可能有單擺擺長(zhǎng)(細(xì)繩的質(zhì)量忽略)、小球的質(zhì)量(小球的體積可以忽略)、擺角等，試分析以下問題：
(1)根據(jù)以上猜想，該實(shí)驗(yàn)應(yīng)采取什么研究方法？
(2)在測(cè)量單擺的周期時(shí)，采用什么樣的方法可以減小誤差？以哪個(gè)位置作為起點(diǎn)更方便計(jì)時(shí)和減小誤差？
(3)下表為某次在探究擺角很小的情況下周期與擺長(zhǎng)關(guān)系的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，請(qǐng)?jiān)诒碇刑钌系?次實(shí)驗(yàn)所測(cè)得的周期，并說(shuō)一說(shuō)你得到怎樣的結(jié)論。
組次 1 2 3
擺長(zhǎng)L/cm 80.00 90.00 100.00
50次全振動(dòng)所用時(shí)間 90.0 95.5 100.5
振動(dòng)周期T/s 1.80 1.91
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1．在擺角很小的情況下，單擺的周期與小球質(zhì)量和擺角________，與單擺擺長(zhǎng)________。
2．周期公式
(1)提出：周期公式是荷蘭物理學(xué)家__________首先提出的。
(2)公式：T＝__________________，即周期T跟擺長(zhǎng)L的二次方根成__________，跟重力加速度g的二次方根成__________，而與振幅、擺球質(zhì)量__________。
1．(1)圖(a)中，甲、乙在垂直紙面方向上擺動(dòng)起來(lái)，甲擺的等效擺長(zhǎng)____________乙擺的擺長(zhǎng)，用圖中信息表示甲擺的等效擺長(zhǎng)：____________。
(2)圖(b)中，乙在垂直紙面方向擺動(dòng)時(shí)，其等效擺長(zhǎng)____________甲擺的擺長(zhǎng)，用圖中信息表示乙擺的等效擺長(zhǎng)：________________________；乙在紙面內(nèi)小角度擺動(dòng)時(shí)，等效擺長(zhǎng)____________丙擺的擺長(zhǎng)，用圖中信息表示乙擺的等效擺長(zhǎng)：____________。
2．類比彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力F＝－kx，單擺的類似于彈簧振子的k，結(jié)合單擺的周期公式，試用m、k表示出彈簧振子的周期公式。
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例3　周期是2 s的單擺叫秒擺，秒擺的擺長(zhǎng)是多少？把一個(gè)地球上的秒擺拿到月球上去，它在月球上做50次全振動(dòng)要用多少時(shí)間？已知地球表面的重力加速度為9.8 m/s2, 月球上的自由落體加速度為1.6 m/s2，π2取9.8。
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針對(duì)訓(xùn)練　如圖所示，長(zhǎng)度為L(zhǎng)的輕繩上端固定在O點(diǎn)，下端系一小球(小球可以看成質(zhì)點(diǎn))。在O點(diǎn)正下方的P點(diǎn)固定一顆小釘子。現(xiàn)將小球拉到點(diǎn)A處，輕繩被拉直，然后由靜止釋放小球。點(diǎn)B是小球運(yùn)動(dòng)的最低位置，點(diǎn)C(圖中未標(biāo)出)是小球能夠到達(dá)的左方最高位置。已知點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的高度差為h，hA.L B.L C.L D.L
三、單擺模型的拓展
1．類單擺模型
除了前面學(xué)習(xí)的單擺模型，有些物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與單擺的運(yùn)動(dòng)類似，該類物體的運(yùn)動(dòng)即為類單擺模型。如在光滑圓弧面上來(lái)回滾動(dòng)的小球，在圓弧半徑R遠(yuǎn)大于運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)的情況下，小球的運(yùn)動(dòng)可以看成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，T＝2π。
例4　(2023·欽州市高二期中)如圖所示，光滑圓槽的半徑R遠(yuǎn)大于小球運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)。甲、乙、丙三個(gè)小球(均可視為質(zhì)點(diǎn))同時(shí)由靜止釋放，開始時(shí)，甲球比乙球離槽最低點(diǎn)O遠(yuǎn)些，丙球在槽的圓心處。不計(jì)空氣阻力，則以下關(guān)于它們第一次到達(dá)點(diǎn)O的先后順序的說(shuō)法正確的是(　　)
A乙先到，然后甲到，丙最后到
B．丙先到，然后甲、乙同時(shí)到
C．丙先到，然后乙到，甲最后到
D．甲、乙、丙同時(shí)到
2．不同系統(tǒng)中的等效重力加速度
在不同的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，單擺周期公式中的g應(yīng)理解為等效重力加速度，其大小等于單擺相對(duì)系統(tǒng)“靜止”在平衡位置時(shí)的擺線拉力與擺球質(zhì)量的比值。
情景 等效重力加速度
超失重系統(tǒng) g等效＝g－a
g等效＝g＋a
電場(chǎng)中 g等效＝
g等效＝
g等效＝g
例5　如圖所示的幾個(gè)相同單擺在不同條件下擺動(dòng)，關(guān)于它們的周期關(guān)系，下列判斷正確的是(　　)
A．T甲>T乙>T丙>T丁
B．T甲C．T甲>T乙＝T丙>T丁
D．T甲答案精析
一、
易錯(cuò)辨析
(1)×　(2)×
例1　C　[擺球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只受到重力和拉力作用，A錯(cuò)誤；擺球在擺動(dòng)過(guò)程中，在最高點(diǎn)A、C處速度為零，回復(fù)力最大，合力不為零，在最低點(diǎn)B處，速度最大，回復(fù)力為零，細(xì)線的拉力最大，C正確，B、D錯(cuò)誤。]
例2　AD　[由題圖可知，t1和t3時(shí)刻擺球的位移相等，根據(jù)對(duì)稱性可知單擺振動(dòng)的速度大小相等，故擺線拉力大小相等，故A正確；t1時(shí)刻擺球在遠(yuǎn)離平衡位置，t3時(shí)刻擺球向平衡位置運(yùn)動(dòng)，所以t1和t3時(shí)刻擺球速度方向不相同，故B錯(cuò)誤；t3時(shí)刻擺球正衡位置，速度正在增大，故C錯(cuò)誤；t4時(shí)刻擺球正遠(yuǎn)離平衡位置，回復(fù)力正在增大，故D正確。]
二、
例3　1 m　175 s
解析　根據(jù)單擺周期公式
T＝2π可得L＝，
代入數(shù)據(jù)解得L＝ m＝1 m
秒擺搬到月球上，其與地球上的秒擺的周期關(guān)系為＝
它在月球上做50次全振動(dòng)所用的時(shí)間為
t＝50T′＝50T＝50×2× s＝175 s。
針對(duì)訓(xùn)練　B　[由于OA、PC與OB之間的夾角很小，所以小球從A點(diǎn)到B點(diǎn)和從B點(diǎn)到C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都可以看作是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，根據(jù)單擺周期公式
T＝2π，有t1＝×2π，
t2＝×2π，t1＝2t2，
所以PB＝L，OP＝L－PB＝L，
選項(xiàng)A、C、D錯(cuò)誤，B正確。]
例4　B　[對(duì)于丙球，根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律有R＝gt32，解得t3＝，對(duì)于甲、乙兩球，做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)周期均為T＝2π，甲、乙兩球第一次到達(dá)點(diǎn)O時(shí)運(yùn)動(dòng)周期，則t1＝t2＝＝>t3，故丙先到，然后甲、乙同時(shí)到，故選B。]
例5　C　[題圖甲中，當(dāng)擺球偏離平衡位置時(shí)，重力沿斜面的分力mgsin θ為等效重力，即單擺的等效重力加速度g甲＝gsin θ；題圖乙中兩個(gè)帶電小球的斥力總與運(yùn)動(dòng)方向垂直，不影響回復(fù)力，即g乙＝g；題圖丙為標(biāo)準(zhǔn)單擺，則g丙＝g；題圖丁擺球處于超重狀態(tài)，等效重力增大，故等效重力加速度增大，g丁＝g＋a，由單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期公式知T甲>T乙＝T丙>T丁，選項(xiàng)C正確。](共61張PPT)
DIYIZHANG
第二章
第三節(jié)　單擺
1.理解單擺模型和單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件，知道單擺振動(dòng)時(shí)回復(fù)力的來(lái)源(重點(diǎn))。
2.知道影響單擺周期的因素，能熟練運(yùn)用單擺的周期公式解決相關(guān)問題(重難點(diǎn))。
學(xué)習(xí)目標(biāo)
內(nèi)容索引
一、單擺及其回復(fù)力
二、單擺的周期
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
三、單擺模型的拓展
單擺及其回復(fù)力
一
如圖所示，一根細(xì)線上端固定，下端連接一個(gè)金屬小球，用手使小球偏離豎直方向一個(gè)很小的夾角，然后釋放，小球在A、A′間來(lái)回?cái)[動(dòng)，不計(jì)空氣的阻力。
(1)小球擺動(dòng)過(guò)程中受到哪些力的作用？
答案　小球受重力和細(xì)線的拉力作用。
(2)什么力提供向心力？什么力提供回復(fù)力？
答案　細(xì)線的拉力和重力沿徑向的分力的合力提供向心力。重力沿切線方向的分力提供小球振動(dòng)的回復(fù)力。
(3)小球經(jīng)過(guò)O點(diǎn)平衡位置時(shí)回復(fù)力為零，合外力也為零嗎？
答案　小球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)還有向心力，其合外力
不為零。
梳理與總結(jié)
1.單擺：如果懸掛物體的繩子的 可以忽略不計(jì)，繩長(zhǎng)比物體的尺寸 ，物體可以看作 ，這樣的裝置可以看作單擺。
說(shuō)明：?jiǎn)螖[是實(shí)際擺的理想模型，若單擺的擺角小于5°，單擺的擺動(dòng)可近似看成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。
伸縮和質(zhì)量
大很多
質(zhì)點(diǎn)
2.單擺的回復(fù)力
來(lái)源：擺球的重力沿圓弧切線方向的分力，即F＝ 。
特點(diǎn)：在擺角很小時(shí)，擺球所受的回復(fù)力與它偏離平衡位置的位移成 ，方向總指向 。
mgsin θ
正比
平衡位置
討論與交流
在擺角很小的情況下，試推導(dǎo)回復(fù)力與位移的關(guān)系來(lái)證明單擺的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。
(1)單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是重力和擺線拉力的合力。(　　)
(2)單擺擺動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)速度為零，合外力也為零。(　　)
×
×
　圖中O點(diǎn)為單擺的固定懸點(diǎn)，現(xiàn)將擺球(可視為質(zhì)點(diǎn))拉至A點(diǎn)，此時(shí)細(xì)線處于張緊狀態(tài)，釋放擺球，擺球?qū)⒃谪Q直平面內(nèi)的A、C之間來(lái)回?cái)[動(dòng)，不計(jì)阻力，B點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)中的最低位置，則在擺動(dòng)過(guò)程中
A.擺球受到重力、拉力、回復(fù)力三個(gè)力的作用
B.擺球在A點(diǎn)和C點(diǎn)處，速度為零，回復(fù)力也為零
C.擺球在B點(diǎn)處，速度最大，細(xì)線拉力也最大
D.擺球在B點(diǎn)處，速度最大，回復(fù)力也最大
例1
√
擺球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只受到重力和拉力作用，A錯(cuò)誤；
擺球在擺動(dòng)過(guò)程中，在最高點(diǎn)A、C處速度為零，回復(fù)力最大，合力不為零，在最低點(diǎn)B處，速度最大，回復(fù)力為零，細(xì)線的拉力最大，C正確，B、D錯(cuò)誤。
　(多選)如圖所示為一單擺的振動(dòng)圖像，則
A.t1和t3時(shí)刻擺線的拉力等大
B.t1和t3時(shí)刻擺球速度相等
C.t3時(shí)刻擺球速度正在減小
D.t4時(shí)刻擺線的回復(fù)力正在增大
例2
√
√
由題圖可知，t1和t3時(shí)刻擺球的位移相等，根據(jù)對(duì)稱性可知單擺振動(dòng)的速度大小相等，故擺線拉力大小相等，故A正確；
t1時(shí)刻擺球在遠(yuǎn)離平衡位置，t3時(shí)刻擺球向平衡位置運(yùn)動(dòng)，所以t1和t3時(shí)刻擺球速度方向不相同，故B錯(cuò)誤；
t3時(shí)刻擺球正衡位置，速度正在增大，故C錯(cuò)誤；
t4時(shí)刻擺球正遠(yuǎn)離平衡位置，回復(fù)力正在增大，故D正確。
返回
單擺的周期
二
用如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置探究影響單擺周期的因素。影響單擺周期的因素可能有單擺擺長(zhǎng)(細(xì)繩的質(zhì)量忽略)、小球的質(zhì)量(小球的體積可以忽略)、擺角等，試分析以下問題：
(1)根據(jù)以上猜想，該實(shí)驗(yàn)應(yīng)采取什么研究方法？
答案　控制變量法。
(2)在測(cè)量單擺的周期時(shí)，采用什么樣的方法可以減小誤差？以哪個(gè)位置作為起點(diǎn)更方便計(jì)時(shí)和減小誤差？
答案　可以多次測(cè)量取平均值來(lái)減小周期的測(cè)量誤差；以單擺的平衡位置(最低點(diǎn))作為起點(diǎn)更方便計(jì)時(shí)和減小誤差。
(3)下表為某次在探究擺角很小的情況下周期與擺長(zhǎng)關(guān)系的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，請(qǐng)?jiān)诒碇刑钌系?次實(shí)驗(yàn)所測(cè)得的周期，并說(shuō)一說(shuō)你得到怎樣的結(jié)論。
答案　2.01　在擺角很小的情況下，單擺的周期與擺長(zhǎng)有關(guān)，擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，單擺的周期越大。
組次 1 2 3
擺長(zhǎng)L/cm 80.00 90.00 100.00
50次全振動(dòng)所用時(shí)間 90.0 95.5 100.5
振動(dòng)周期T/s 1.80 1.91
梳理與總結(jié)
1.在擺角很小的情況下，單擺的周期與小球質(zhì)量和擺角 ，與單擺擺長(zhǎng) 。
2.周期公式
(1)提出：周期公式是荷蘭物理學(xué)家 首先提出的。
(2)公式：T＝_________，即周期T跟擺長(zhǎng)L的二次方根成 ，跟重力加速度g的二次方根成 ，而與振幅、擺球質(zhì)量 。
無(wú)關(guān)
有關(guān)
惠更斯
正比
反比
無(wú)關(guān)
討論與交流
1.(1)圖(a)中，甲、乙在垂直紙面方向上擺動(dòng)起來(lái)，甲擺的等效擺長(zhǎng)_____乙擺的擺長(zhǎng)，用圖中信息表示甲擺的等效擺長(zhǎng)： 。
(2)圖(b)中，乙在垂直紙面方向擺動(dòng)時(shí)，其等效擺長(zhǎng) 甲擺的擺長(zhǎng)，用圖中信息表示乙擺的等效擺長(zhǎng)： ；乙在紙面內(nèi)小角度擺動(dòng)時(shí)，等效擺長(zhǎng) 丙擺的擺長(zhǎng)，用圖中信息表示乙擺的等效擺長(zhǎng)： 。
等于
lsin α
等于
l1＋l2sin θ
等于
l1
　周期是2 s的單擺叫秒擺，秒擺的擺長(zhǎng)是多少？把一個(gè)地球上的秒擺拿到月球上去，它在月球上做50次全振動(dòng)要用多少時(shí)間？已知地球表面的重力加速度為9.8 m/s2, 月球上的自由落體加速度為1.6 m/s2，π2取9.8。
例3
它在月球上做50次全振動(dòng)所用的時(shí)間為
　如圖所示，長(zhǎng)度為L(zhǎng)的輕繩上端固定在O點(diǎn)，下端系一小球(小球可以看成質(zhì)點(diǎn))。在O點(diǎn)正下方的P點(diǎn)固定一顆小釘子。現(xiàn)將小球拉到點(diǎn)A處，輕繩被拉直，然后由靜止釋放小球。點(diǎn)B是小球運(yùn)動(dòng)的最低位置，點(diǎn)C(圖中未標(biāo)出)是小球能夠到達(dá)的左方最高位置。已知點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的高度差為h，h已知t1＝2t2，OA、PC與OB之間的夾角很小。則OP的長(zhǎng)
度為
針對(duì)訓(xùn)練
√
由于OA、PC與OB之間的夾角很小，所以小球從A點(diǎn)到B點(diǎn)和從B點(diǎn)到C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都可以看作是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，
返回
單擺模型的拓展
三
1.類單擺模型
除了前面學(xué)習(xí)的單擺模型，有些物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與單擺的運(yùn)動(dòng)類似，該類物體的運(yùn)動(dòng)即為類單擺模型。如在光滑圓弧面上來(lái)回滾動(dòng)的小球，在圓弧半徑R遠(yuǎn)大于運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)的情況下，小球的運(yùn)動(dòng)可以看成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，T
＝ 。
　(2023·欽州市高二期中)如圖所示，光滑圓槽的半徑R遠(yuǎn)大于小球運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)。甲、乙、丙三個(gè)小球(均可視為質(zhì)點(diǎn))同時(shí)由靜止釋放，開始時(shí)，甲球比乙球離槽最低點(diǎn)O遠(yuǎn)些，丙球在槽的圓心處。不計(jì)空氣阻力，則以下關(guān)于它們第一次到達(dá)點(diǎn)O的先后順序的說(shuō)法正確的是
A乙先到，然后甲到，丙最后到
B.丙先到，然后甲、乙同時(shí)到
C.丙先到，然后乙到，甲最后到
D.甲、乙、丙同時(shí)到
例4
√
2.不同系統(tǒng)中的等效重力加速度
在不同的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，單擺周期公式中的g應(yīng)理解為等效重力加速度，其大小等于單擺相對(duì)系統(tǒng)“靜止”在平衡位置時(shí)的擺線拉力與擺球質(zhì)量的比值。
情景 等效重力加速度
超失重系統(tǒng) g等效＝g－a
g等效＝g＋a
情景 等效重力加速度
電場(chǎng)中

g等效＝g
　如圖所示的幾個(gè)相同單擺在不同條件下擺動(dòng)，關(guān)于它們的周期關(guān)系，下列判斷正確的是
A.T甲>T乙>T丙>T丁
B.T甲C.T甲>T乙＝T丙>T丁
D.T甲例5
√
題圖甲中，當(dāng)擺球偏離平衡位置時(shí)，重力沿斜面的分力mgsin θ為等效重力，即單擺的等效重力加速度g甲＝gsin θ；題圖乙中兩個(gè)帶電小球的斥力總與運(yùn)動(dòng)方向垂直，不影響回復(fù)力，即g乙＝g；題圖丙為標(biāo)準(zhǔn)單擺，則g丙＝g；題圖丁擺球處于超重狀態(tài)，等效重力增大，故等效重力加速度增大，g丁＝g＋a，由單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期公式知T甲>T乙＝T丙>T丁，選項(xiàng)C正確。
返回
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
四
基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練
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考點(diǎn)一　單擺及其回復(fù)力
1.(多選)下列有關(guān)單擺的說(shuō)法，正確的是
A.一根橡皮筋一端系在懸點(diǎn)，另一端連接一個(gè)小球，可以構(gòu)成一個(gè)單擺
B.單擺的擺動(dòng)一定是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)
C.若單擺在同一平面內(nèi)擺動(dòng)，且偏角小于5°，可以認(rèn)為該單擺的運(yùn)動(dòng)是
簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)
D.單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，其運(yùn)動(dòng)周期越大
√
√
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一根不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩一端系在懸點(diǎn)，另一端連接一個(gè)質(zhì)量較大且可以看成質(zhì)點(diǎn)的小球可以構(gòu)成一個(gè)單擺，橡皮筋受到拉力時(shí)形變量較大，連接小球構(gòu)成的裝置不可看成單擺，A錯(cuò)誤；
若單擺在同一平面內(nèi)擺動(dòng)，且偏角小于5°，可以認(rèn)為該單擺的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，B錯(cuò)誤，C正確；
2.關(guān)于單擺的運(yùn)動(dòng)，以下說(shuō)法正確的是
A.單擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺球受到大小不變的向心力
B.單擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺球所受到的合力為回復(fù)力
C.擺球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，所受到的回復(fù)力為零
D.擺球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，所受到的合力為零
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√
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單擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度大小不斷變化，擺球所需向心力大小不斷變化，故A錯(cuò)誤；
單擺在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向上的分力，故B錯(cuò)誤；
擺球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，回復(fù)力為零，合力不為零，合力方向豎直向上，故C正確，D錯(cuò)誤。
考點(diǎn)二　單擺的周期公式
3.如圖所示為演示簡(jiǎn)諧振動(dòng)的沙擺，沙筒的質(zhì)量為m，沙子的質(zhì)量為M，M>m，在沙子逐漸漏完的過(guò)程中，擺的周期
A.不變 B.先變大后變小
C.先變小后變大 D.逐漸變大
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由題可知，M>m，當(dāng)沙子逐漸漏完的過(guò)程中，沙筒的重心先下降后升高，則該沙擺的擺長(zhǎng)先增大后減小，
4.(多選)(2024·廣州市高二期末)如圖甲，小明做擺角較小的單擺實(shí)驗(yàn)，O是它的平衡位置，B、C是擺球所能到達(dá)的左右最遠(yuǎn)位置，小明通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)出當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭＝π2 m/s2，并且根據(jù)實(shí)驗(yàn)情況繪制了單擺的振動(dòng)圖像如圖乙，設(shè)圖中單擺向右振動(dòng)為正方向，則下列選項(xiàng)正確的是
A.此單擺的振動(dòng)頻率是2 Hz
B.單擺的擺長(zhǎng)約為1.0 m
C.僅改變擺球質(zhì)量，單擺周期不變
D.t＝0時(shí)刻，擺球位于B點(diǎn)
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√
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t＝0時(shí)刻，由題圖乙可知，擺球位于負(fù)向最大位移處，圖中單擺向右振動(dòng)為正方向，則擺球位于B點(diǎn)，故D正確。
5.如圖所示，500米口徑的球面射電望遠(yuǎn)鏡(FAST)位于貴州省，是我國(guó)重大科技基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)項(xiàng)目之一。某同學(xué)設(shè)計(jì)了一種測(cè)量該球面半徑R的方法：假設(shè)FAST內(nèi)表面是光滑的球面，他猜想將小球自球面最低點(diǎn)附近由靜止釋放，用秒表測(cè)出它完成n次全振動(dòng)的時(shí)間t，如果當(dāng)?shù)刂亓铀俣葹間，將小球的運(yùn)動(dòng)視為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則FAST的球面半徑R為
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6.(多選)甲、乙兩單擺在同一地點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)圖像如圖所示，可知
A.甲、乙兩單擺的周期之比為2∶1
B.甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)之比為2∶1
C.0.5～1.0 s時(shí)間內(nèi)，甲的擺球的速度減小
D.t＝0.5 s時(shí)甲的擺球勢(shì)能最大，乙的擺球
動(dòng)能最大
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√
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由題圖知，甲、乙兩單擺的周期分別為2.0 s、1.0 s，則周期之比為2∶1，A正確；
t＝0.5 s時(shí)，甲單擺的擺球在正向最大位移處，甲單擺的擺球的勢(shì)能最大，乙單擺的擺球的位移為0，處在平衡位置，速度最大，則乙單擺的擺球的動(dòng)能最大，D正確。
7.如圖所示，三根細(xì)線在O點(diǎn)處打結(jié)，A、B兩端固定在同一水平面上相距為L(zhǎng)的兩點(diǎn)上，△AOB為直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC長(zhǎng)為L(zhǎng)，下端C點(diǎn)處系著一個(gè)小球。(忽略小球的半徑，小球擺動(dòng)時(shí)偏角θ<5°，重力加速度為g)求：
(1)讓小球在紙面內(nèi)擺動(dòng)，周期為多少；
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(2)讓小球在垂直紙面方向擺動(dòng)，周期為多少。
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8.(多選)(2023·廣州市第二中學(xué)高二期中)如圖所示，長(zhǎng)輕繩L1一端系于O點(diǎn)，另一端系小球1，在O點(diǎn)正下方P點(diǎn)有一釘子，下端通過(guò)輕繩L2系小球2靜止于點(diǎn)B，兩小球完全相同。現(xiàn)將小球1拉至A點(diǎn)由靜止釋放，小球1擺至最低點(diǎn)B時(shí)與小球2發(fā)生彈性碰撞，小球2繼續(xù)向右擺至最高點(diǎn)C。整個(gè)過(guò)程中，小球擺角始終小于5°，不計(jì)空氣阻力和摩擦。下列說(shuō)法正確的是
A.小球1從A點(diǎn)至B點(diǎn)過(guò)程中回復(fù)力變大
B.碰后瞬間L2的張力大于碰前L1的張力
C.C點(diǎn)與A點(diǎn)在同一高度
D.小球2從B到C所用的時(shí)間等于小球1從A點(diǎn)到B點(diǎn)的時(shí)間
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能力綜合練
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由于小球1和小球2完全相同，且發(fā)生彈性碰撞，兩小球碰撞后速度互換，因此可以等效為全程只有小球1從A擺動(dòng)到C，單擺近似為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，因此回復(fù)力大小與小球1到平衡位置(即B點(diǎn))的位移成正比，因此從A到B，位移減小，回復(fù)力變小，故A錯(cuò)誤；
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不計(jì)空氣阻力和摩擦，小球1在A到C的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，故能達(dá)到同樣的高度，即C點(diǎn)與A點(diǎn)在同一高度，故C正確；
9.如圖所示，一根不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩下端拴一小鋼球，上端系在位于光滑斜面O處的釘子上，小球處于靜止?fàn)顟B(tài)，細(xì)繩與斜面平行。現(xiàn)使小球獲得一平行于斜面底邊的初速度，使小球偏離平衡位置，最大偏角小于5°。已知斜面傾角為θ，懸點(diǎn)到小球球心的距離為L(zhǎng)，重力加速度為g。則小球回到最低點(diǎn)所需的最短時(shí)間為
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因?yàn)樾∏蚱x平衡位置，最大偏角小于5°，小球的運(yùn)動(dòng)可以看作單擺，
10.(多選)固定光滑圓弧面上有一個(gè)小球，將它從最低點(diǎn)移開一小段距離，t＝0時(shí)刻將小球由靜止釋放，小球以最低點(diǎn)為平衡位置左右振動(dòng)。已知圓弧半徑R＝1 m，小球半徑r R，當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮＝9.8 m/s2，π2≈9.8，下列哪些時(shí)刻小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)
A.0.5 s B.1 s
C.1.5 s D.2 s
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√
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11.(2023·佛山市高二月考)如圖甲所示，有一懸掛在O點(diǎn)的單擺，將小球(可視為質(zhì)點(diǎn))拉到A點(diǎn)后釋放，小球在同一豎直平面內(nèi)的A、B、C之間來(lái)回?cái)[動(dòng)，已知B點(diǎn)為小球運(yùn)動(dòng)中的最低點(diǎn)，A、C兩點(diǎn)為小球運(yùn)動(dòng)中的最高點(diǎn)，擺角為α(α<5°)，在O點(diǎn)接有一力傳感器，圖乙表示從某時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，由力傳感器測(cè)出的細(xì)線對(duì)小球的拉力大小F隨時(shí)間t變化的曲線，由力傳感器測(cè)得最小拉力為F2，圖中
F2、t0已知，當(dāng)?shù)刂亓铀俣却笮間，
不計(jì)阻力，求：
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尖子生選練
(1)單擺的周期T和擺長(zhǎng)L；
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由題圖乙可知，單擺周期為T＝2t0
(2)小球的質(zhì)量m；
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小球在A點(diǎn)時(shí)拉力最小，則有F2＝mgcos α
(3)力傳感器測(cè)出的拉力的最大值F1。
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小球在平衡位置B點(diǎn)時(shí)拉力最大，
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