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3.2　第2課時　向心力與向心加速度的關系
1.通過實例認識向心力的作用及向心力的來源。
2.掌握向心力的公式。
3.知道向心加速度，掌握向心加速度的公式。
4.能用牛頓第二定律知識分析勻速圓周運動的向心力。
學習目標
一、向心力的公式
公式：做勻速圓周運動的物體，所受向心力的大小為F＝ ，而ω＝，則F＝ 。
mrω2
m
知識梳理
圓心
二、向心加速度
1．定義
做勻速圓周運動的物體，其加速度a的方向一定指向 ，所以也叫向心加速度。
2．大小
a＝ ，a＝ 。
rω2
一、向心力的來源和計算
飛機在空中水平面內做勻速圓周運動受哪些力的作用？向心力由什么力提供？
提示：飛機受到重力和空氣對飛機的作用力，二者的合力提供向心力。
要點剖析
1．向心力大小的計算
F＝m＝mrω2＝mωv＝mr。在勻速圓周運動中，向心力大小不變；在非勻速圓周運動中，其大小隨速率v的變化而變化。
2．向心力來源的分析
物體做圓周運動時，向心力由物體所受力中沿半徑方向的力提供。可以由一個力充當向心力；也可以由幾個力的合力充當向心力；還可以是某個力的分力充當向心力。
例1.(多選)下列關于向心加速度的說法中正確的是(　　)
A．向心加速度越大，物體速率變化越快
B．向心加速度的大小與軌道半徑成反比
C．向心加速度的方向始終與線速度的方向垂直
D．在勻速圓周運動中向心加速度是恒量
解析：在勻速圓周運動中，速率不變，速度方向時刻變化，向心加速度越大，物體速度方向變化越快，A錯誤；向心加速度的大小可用a＝或a＝ω2r表示，當v一定時，a與r成反比；當ω一定時，a與r成正比．可見a與r的比例關系是有條件的，B錯誤；向心加速度的方向沿半徑指向圓心，始終與線速度的方向垂直，C正確；在勻速圓周運動中，向心加速度的大小恒定，但方向始終指向圓心，即其方向時刻變化，所以向心加速度不是恒量，D錯誤．
答案：BCD
例2.如圖所示，一球體繞軸O1O2以角速度ω勻速旋轉，A、B為球體表面上兩點，下列說法正確的是(　　)
A．A、B兩點具有相同的角速度
B．A、B兩點具有相同的線速度
C．A、B兩點的向心加速度的方向都指向球心
D．A、B兩點的向心加速度大小之比為2∶1
解析：A、B為球體表面上兩點，因此，A、B兩點的角速度與球體繞軸O1O2旋轉的角速度相同，A正確；如圖所示，A以P為圓心做勻速圓周運動，B以Q為圓心做勻速圓周運動，因此，A、B兩點的向心加速度方向分別指向P、Q，C錯誤；設球的半徑為R，則A運動的半徑rA＝Rsin 60°，B運動的半徑rB＝Rsin 30°，則= = = ，B錯誤； = = ，D錯誤．
答案：A
分析勻速圓周運動問題的基本步驟
1．明確研究對象，對研究對象進行受力分析，畫出受力示意圖。
2．確定物體做圓周運動的軌道平面、圓心、半徑。
3．將物體所受外力通過力的正交分解，分解到沿切線方向和沿半徑方向。
4．列方程：沿半徑方向滿足F合1＝mrω2＝m＝ mr ，沿切線方向F合2＝0。
5．解方程求出結果。
技巧歸納
二、勻速圓周運動的向心加速度
天宮二號空間實驗室在軌飛行時，可認為它繞地球做勻速圓周運動。盡管線速度大小不變，但方向卻時刻變化，因此，它運動的加速度一定不為0。那么，該如何確定它在軌飛行時加速度的方向和大小呢？
提示：根據a＝，加速度的方向應與向心力的
方向一致。加速度的大小可根據a＝或a＝ 和
a＝rω2來確定。
1．向心加速度的物理意義
向心加速度是描述速度方向改變快慢的物理量。向心加速度由于速度的方向改變而產生，線速度的方向變化的快慢決定了向心加速度的大小。
2．向心加速度的幾種表達式
3．向心加速度與半徑的關系
(1)若ω為常數，根據a＝ω2r可知，向心加速度與r成正比，如圖甲所示。
(2)若v為常數，根據a＝可知，向心加速度與r成反比，如圖乙所示。
(3)若無特定條件，則不能說向心加速度與r是成正比還是成反比。
4．變速圓周運動的向心加速度
做變速圓周運動的物體，加速度一般情況下不指向圓心，該加速度有兩個分量：一是向心加速度，二是切向加速度。向心加速度表示速度方向變化的快慢，切向加速度表示速度大小變化的快慢。所以變速圓周運動中，向心加速度的方向也總是指向圓心。
例3.如圖所示，O1為皮帶傳動的主動輪的軸心，輪半徑為r1，O2為從動輪的軸心，輪半徑為r2，r3為固定在從動輪上的小輪半徑。已知r2＝2r1，r3＝1.5r1、A、B、C分別是三個輪邊緣上的點，則A、B、C三點的向心加速度之比是(假設皮帶不打滑)(　　)
A．1∶2∶3　　　 B．2∶4∶3
C．8∶4∶3 D．3∶6∶2
解析：因為皮帶不打滑，A點與B點的線速度大小相等，都等于皮帶運動的速率，根據向心加速度公式a＝ ，可得aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1。由于B、C是固定在同一輪上的兩點，所以它們的角速度相同，根據向心加速度公式a＝rω2，可得aB∶aC＝r2∶r3＝2∶1.5＝4∶3。由此得aA∶aB∶aC＝8∶4∶3。
答案：C
向心加速度公式的應用技巧
1．先確定各點是線速度大小相等，還是角速度相同。
2．在線速度大小相等時，向心加速度與半徑成反比，在角速度相同時，向心加速度與半徑成正比。
3．向心加速度公式a＝和a＝ω2r不僅適用于勻速圓周運動，也適用于變速圓周運動。
技巧歸納
1. 如圖所示，一小球套在光滑輕桿上，繞著豎直軸OO′勻速轉動，下列關于小球受力的說法中正確的是(　　)
A．小球受到摩擦力、重力和彈力
B．小球受到重力和彈力
C．小球受到重力、彈力、向心力
D．小球受到重力、彈力、下滑力
B
隨堂檢測
2.(多選)如圖所示，天車下吊著兩個質量都為m的工件A和B，系A的吊繩較短，系B的吊繩較長，若天車勻速運動到某處突然停止，則該時刻兩吊繩所受拉力FTA、FTB及兩工件的加速度aA與aB的大小關系是(　　)
A．FTA>FTB B．aAC．FTA＝FTB＝mg D．aA>aB
AD
3.一部機器與電動機通過皮帶連接，機器皮帶輪的半徑是電動機皮帶輪半徑的3倍(如圖所示)，皮帶與兩輪之間不發生滑動。已知機器皮帶輪邊緣上一點的向心加速度為0.10 m/s2。
(1)電動機皮帶輪與機器皮帶輪的轉速之比n1∶n2是多少？
(2)機器皮帶輪上A點到轉軸的距離為輪半徑的一半，A點的向心加速度是多少？
(3)電動機皮帶輪邊緣上某點的向心加速度是多少？
解析：(1)由于皮帶與兩輪之間不發生滑動，所以兩輪邊緣上各點的線速度大小相等。設電動機皮帶輪與機器皮帶輪邊緣上質點的線速度大小分別為v1、v2，角速度分別為ω1、ω2，邊緣上質點運動的半徑分別為r1、r2，則v1＝v2，v1＝ω1r1，v2＝ω2r2，又ω＝2πn，所以n1∶n2＝ω1∶ω2＝r2∶r1＝3∶1。
(2)A點的向心加速度aA＝a2＝ ×0.10 m/s2＝0.05 m/s2
(3)電動機皮帶輪邊緣上某點的向心加速度為a1，則a1＝a2· ＝0.10×3 m/s2＝0.30 m/s2
答案： (1)3∶1　(2)0.05 m/s2　(3)0.30 m/s2

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