資源簡介

3.1.1 函數的概念
教學分析
本節課選自《普通高中課程標準數學教科書-必修一》（人教A版）第三章《函數的概念與性質》，本節課是第1課時。
函數的基本知識是高中數學的核心內容之一，函數的思想貫穿于整個初中和高中數學.
對于高一學生來說，函數不是一個陌生的概念。但是，由于局限初中階段學生的認知水平；學生又善未學習集合的概念，只是用運動變化的觀點來定義函數，通過對正比例函數、反比例函數、一次和二次函數的學習來理解函數的意義，對于函數的概念理解并不深刻.
高一學生學習集合的概念之后，進一步運用集合與對應的觀點來刻畫函數，突出了函數是兩個集合之間的對應關系，領會集合思想、對應思想和模型思想。所以把第一課時的重點放在函數的概念理解，通過生活中的實際事例，引出函數的定義，懂得數學與人類生活的密切聯系，通過對函數三要素剖析，進一步理解充實函數的內涵。所以在教學過程中分別設計了不同問題來理解函數的定義域、對應法則、函數圖象的特征、兩個相同函數的條件等問題.
教學目標及核心素養
課程目標 學科素養
通過豐富的買例進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型; 用集合與對應的思想理解函數的概念; 理解函數的三要素及函數符號的深刻含義; 1.數學抽象：函數符號的含義； 2.邏輯推理：函數的概念； 3.數學運算：求函數的定義域； 4.直觀想象：由具體例子概括函數的概念。
教學重難點
1.教學重點：函數的概念，函數的三要素；
2.教學難點：函數的概念及符號的理解。
教學過程 教學設計意圖 核心素養目標
復習回顧，溫故知新 1. 初中學習的函數的定義是什么？ 【答案】設在一個變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說y是x的函數.其中x叫自變量，y叫因變量. 2.回顧初中學過哪些函數？ （1）一次函數 （2）正比例函數 （3）反比例函數 （4）二次函數 二、探索新知 探究一 函數的概念 問題1. 某“復興號”高速列車到350km/h后保持勻速運行半小時。這段時間內，列車行進的路程S（單位：km）與運行時間t（單位：h）的關系可以表示為 S=350t。 1.思考：根據對應關系S=350t，這趟列車加速到350km/h后，運行1h就前進了350km，這個說法正確嗎？ 【答案】不正確。對應關系應為S=350t，其中 ， 問題2 某電氣維修告訴要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天。如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資，那么你認為該怎樣確定一個工人每周的工資？一個工人的工資w（單位：元）是他工作天數d的函數嗎？ 【答案】是函數，對應關系為w=350d,其中 。 2.思考：在問題1和問題2中的函數有相同的對應關系，你認為它們是同一個函數嗎？為什么？ 【答案】不是。自變量的取值范圍不一樣。 問題3 如圖，是北京市2016年11月23日的空氣質量指數變化圖。如何根據該圖確定這一天內任一時刻th的空氣質量指數的值I？你認為這里的I是t的函數嗎？ 【答案】是，t的變化范圍是，I的范圍是 。 問題4 國際上常用恩格爾系數 反映一個地區人民生活質量的高低，恩格爾系數越低，生活質量越高。上表是我國某省城鎮居民恩格爾系數變化情況，從表中可以看出，該省城鎮居民的生活質量越來越高。你認為該表給出的對應關系，恩格爾系數r是年份y的函數嗎？ 【答案】y的取值范圍是， ， 恩格爾系數r是年份y的函數。 3.思考：上述問題1~問題4中的函數有哪些共同特征？由此你能概括出函數概念的本質特征嗎？ 【答案】共同特征有： （1）都包含兩個非空數集，用A，B來表示； （2）都有一個對應關系； （3）盡管對應關系的表示方法不同，但它們都有如下特性：對于數集A中的任意一個數x，按照對應關系，在數集B中都有唯一確定的數y和它對應。 4.函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數（function），記作：y=f(x) x∈A． x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{ f(x)| x∈A }叫做函數的值域. 5.對函數符號y=f(x)的理解： （1）、y=f(x)為“y是x的函數”的數學表示，僅是一個函數符號， f(x)不是f與x相乘。 例如：y=3x+1可以寫成f(x)= 3x+1。 當x=2時y=7可以寫成f(2)=7 想一想：f(a)表示什么意思？f(a)與f(x)有什么區別？ 一般地，f(a)表示當x=a時的函數值，是一個常量。f(x)表示自變量x的函數，一般情況下是變量。 （2）、“y=f(x)”是函數符號，可以用任意的字母表示， 如:“y=g(x)”，“y=h(x)”； 6、思考：函數的值域與集合B什么關系？請你說出上述四個問題的值域？ 【答案】函數的值域是集合B的子集。問題1和問題2中，值域就是集合B1和B2；問題3和問題4中，值域是B3和B4的真子集。 牛刀小試 1.對于函數y=f (x)，以下說法正確的有( ) ①y是x的函數 ②對于不同的x,y的值也不同 ③ f(a)表示當x=a時函數f(x)的值，是一個常量 ④ f(x)一定可以用一個具體的式子表示出來 A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 【答案】B 練習：一次函數、二次函數、反比例函數的定義域和值域： 函數一次函數二次函數反比函數a>0a<0對應關系[Z| y=ax+b(a≠0) yX|X|K] y=ax2+bx+c(a≠0) y=ax2+bx+c(a≠0) y=(k≠0)定義域[科R ]RR 值域 R
例1. 函數的解析式是舍棄問題的實際背景而抽象出來的，它所反映的兩個量之間的對應關系，可以廣泛地用于刻畫同一類事物中的變量關系和規律。 例如，正比例函數可以用來刻畫勻速運動中的路程與時間的關系、一定密度的物體的質量與體積的關系、圓的周長與半徑的關系等。 試構建一個問題情境，使其中的變量關系可以用解析式y=x(10-x)來描述。 解：長方形的周長為20，設一邊長為x，面積為y，那么y=x(10-x). 其中，x的取值范圍是，y的取值范圍是 ，對應關系f把每一個長方形的邊長x，對應到唯一確定的面積x(10-x). 通過復習初中所學函數的定義及基本初等函數，為進一步學習函數的概念打基礎，建立知識間的聯系。 通過學生對實例或問題的思考，去體驗知識方法.通過問題的思考，提高學生的觀察、類比推理、概括能力。 通過思考，提高學生的分析問題，概括能力。 進一步理解函數的概念，激發學生探求問題的興趣。 通過練習，進一步概括函數的概念，提高學生的理解能力。 通過總結初中所學函數的定義域、值域，進一步理解函數的概念，提高學生解決與分析問題的能力。
達標檢測 1.北京的溫度走勢如圖所示. (1)求對應關系為圖中曲線的函數的定義域與值域; (2)根據圖象,求這一天12時所對應的溫度. 集合A,B與對應關系f如下圖所示： f:A→B是否為從集合A 到集合B的函數 如果是,那么定義域、值域與對應關系各是什么 通過練習鞏固本節所學知識，提高學生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數學思想，增強學生的應用意識。
四、小結 1.什么是函數 其三要素是什么 2.與初中學過的函數概念相比，你對函數有什么新的認識 3.本節課我們是怎樣得到函數概念的 結合本節課的學習，你對如何學習數學有什么體會 五、作業 必做：P63 第1題 P64 第4題 選做：了解函數的發展史，撰寫關于函數概念的小論文 通過總結，讓學生進一步鞏固本節所學內容，提高概括能力,提高學生的數學運算能力和邏輯推理能力。
教學反思
函數是高中數學中一個非常重要的內容之一,貫穿整個高中數學學習。 然而函數這部分知識在教學中又是一大難點這主要因為概念的抽象性,學生理解起來不容易,由于函數這部分體現于一個“變”字,接受起來就更難。研究的主要是“變量”與“變量”之間的關系,要求用變量的眼光學習函數。所以函數成了高一新生進入高中的一條攔路虎。突破了它后面的學習就容易了。
函數的概念表現出來的都是抽象的數學形式,在數學的教學中,要強調對數學本質的認識。所以函數概念的教學更忌照本宣科,要注意對知識進行重組。努力去提示函數概念的本質。

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