資源簡介

教學設計
題目 雙曲線及其標準方程 第1課時
一、內容和內容解析 內容 雙曲線的定義、標準方程及其簡單應用
內容解析 課程標準對本節內容的要求是：了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程。通過圓錐曲線與方程的學習，進一步體會數形結合的思想。 雙曲線與科研、生產以及人類生活有著密切的關系，因此，研究它的幾何特征及其性質有著極其現實的意義。學生初步認識圓錐曲線是從橢圓開始的，雙曲線的學習是對其研究內容的進一步鞏固、深化和提高。如果雙曲線研究的透徹、清楚，那么拋物線的學習就會順理成章。所以說本節課的作用就是縱向承接橢圓定義和標準方程的研究，橫向為雙曲線的簡單性質以及進一步學習拋物線，解決更復雜的解析幾何綜合問題奠定良好的基礎。
二、學情分析 從知識方面來說，學生從必修“平面解析幾何初步”到選修“圓錐曲線”，已經學習直線、圓和橢圓，較為系統地研究了他們的性質，對解析幾何的基本思想方法有了一定的認識，基本掌握了求曲線方程的一般方法，能對含有兩個根式的方程進行化簡，并對數形結合、類比推理的思想方法有一定的體會。 從能力方面來說，作為高二年級的學生，其學習能力與理性思維都達到了一定的水平.具備一定的計算、推理、知識遷移、歸納概括和分析問題、解決問題的能力等能力，并對數形結合、類比等思想方法有了一定的感悟。
三、目標和目標解析 目標 1、理解和掌握雙曲線的定義、標準方程； 2、通過定義及標準方程的挖掘與探究，使學生進一步體驗類比、數形結合等思想方法的運用，提高學生的觀察與探究能力。
目標解析 能從幾何情景中認識雙曲線的幾何特征，說出雙曲線的定義。類比橢圓標準方程的建立過程，推導雙曲線的標準方程（教師給出），并能用于解決簡單的問題，發現與橢圓方程的不同之處。
教學重點 雙曲線的幾何特征，雙曲線的標準方程
教學難點 雙曲線的形成
四、教學方法分析 著名數學家波利亞認為：“學習任何東西最好的途徑是自己去發現。”雙曲線的定義和標準方程與橢圓很類似，學生已經有了一些學習橢圓的經驗，所以本節課采用了“啟發探究”、“類比教學”的教學方式，重點突出以下兩點： 1、以類比思維作為教學的主線 2、以自主探究作為學生的學習方式 授之以“魚”不如授之以“漁”，教師只是課堂教學的引導者、啟發者，在新課程改革理念的指導下，要注重突出學生的主體作用。因此，在學習方法的制定上，將充分發揮學生在學習活動中的作用，通過學生主動探索、動手實踐調動學生學習的積極性，轉變學生的學習方式，形成理性、嚴謹的解決問題的態度。
五、教學過程設計 教師活動與任務設計 學生學習活動與任務解決 設計意圖或評價目標
環節一 任務1： 創設情境，提出問題 引導語：從本章引言的學習中知道雙曲線是圓錐曲線的一種，而且具有廣泛的應用，如發電廠冷卻塔、廣州塔等的外形，本單元我們將類比橢圓的研究方法研究雙曲線的有關問題。 問題1：我們知道，平面內與兩個定點F1和F2的距離之和等于常數（大于F1和F2的距離）的點的軌跡是橢圓，一個自然問題是：平面內與兩個定點距離的差等于常數的點的軌跡是什么？ 通過橢圓的定義著手，從數學運算角度出發，提出“差為常數”動點軌跡問題，激發學生的好奇心和求知欲。
環節二 任務2： 觀察發現，形成定義 問題2：在直線上取兩個定點A、B，P是直線上的動點。在平面內，取定點F1、F2，以點F1為圓心線段PA為半徑作圓，再以點F2為圓心線段PB為半徑作圓。P在線段AB上運動，兩圓交點如何變化的？ 師生活動：教師演示，學生觀察到：當P在線段AB上運動時，如果|F1F2|＜|AB|，那么兩圓相交，其交點的軌跡是橢圓（如下圖)： 如果|F1F2|＞|AB|，兩圓不相交，不存在交點軌跡（如下圖)： 追問1：如果點P在線段AB外運動，兩圓交點又如何變化？ 師生活動：教師演示，學生觀察到：當P在線段AB外運動時，如果|F1F2|＜|AB|，那么兩圓不相交，不存在軌跡（如下圖)： 如果||F1F2|＞|AB|，兩圓相交，交點軌跡不同于橢圓的曲線，它是不封閉且分為左右兩支（如下圖)： 追問2：這時MF1，MF2滿足什么關系？ 師生活動：教師演示動畫，學生觀察到數值變化：在|F1F2|＞|AB|條件下，點P在線段AB外運動時，當點M靠近點F1時，|MF2|-|MF1|=|AB|；當點M靠近點F2時，|MF1|-|MF2|=|AB|。 由三角形三邊關系能得到|AB|≤|F1F2|，總之，點M與兩個定點F1,F2距離的差的絕對值|AB|是一個常數且|AB|≤|F1F2|。 追問3：滿足上述幾何特征的曲線叫雙曲線，請閱讀教科書119頁雙曲線定義，其中有哪些關鍵詞？若刪掉這些關鍵詞，曲線會發現怎樣的變化？ 師生活動：學生思考，教師引導學生進一步探究運動變化的特殊情況。 (1）若刪掉“非零常數”，那么|MF1|-|MF2|=0，點M軌跡為線段F1F2的垂直平分線； (2）若刪掉"小于|F1F2|"，兩圓沒有交點，不存在軌跡或為兩條射線； (3）若刪掉“絕對值”，得到是雙曲線的一支。 追問4：總結上述探究過程，獲得了哪些曲線，系統分析它們對應的幾何特征？ 師生活動：教師給出表格，學生獨立思考，并完成。 問題2中將橢圓與雙曲線統一起來，借助信息技術動態演示圖象的變化情況，讓學生先用“幾何眼光”觀察，直觀感知，從幾何情境中把握雙曲線的幾何特征，通過系列的追問，引導學生能夠辨別不同軌跡的生成條件是不同的。 追問1認識到雙曲線是當P在線段AB外運動，且|F1F2|＞|AB|。 追問2認識到|MF1|-|MF2|=|AB|距離之差是不變量。 追問3通過提取關鍵詞，思考關鍵詞，構建運動變化的圖象，辨析概念。 追問4促進學生系統整理不同幾何情境下的軌跡分別是什么，讓學生經歷從不嚴謹到嚴謹的過程，再次體驗精確定義一個數學對象的數學方式，培養學生思維的嚴謹性和數學抽象素養。
環節三 任務3： 代數運算，建立方程 問題3：回顧橢圓標準方程的探究過程，能否類比推導雙曲線的標準方程？ 師生活動：教師提問，學生思考。 追問1：如何建立恰當的平面直角坐標系？動點M 的軌跡用集合如何表示？ 師生活動：學生回顧橢圓標準方程進行遷移，類比求出雙曲線的方程。 教師總結：取經過兩焦點F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立所示的平面直角坐標系，設M(x,y）是雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距為2c(c＞0)，則焦點F1,F2的坐標分別是（-c,0),(c,0)，又設||MF1|-|MF2||=2a(a為大于0的常數，a2a，即c>a，所以c2-a2>0, 類比橢圓的建立過程，令b2=c2-a2，其中b>0代入上式，得 追問2：類比焦點在y軸上的橢圓的標準方程，焦點在y軸上的雙曲線的標準方程是什么？ 師生活動：學生自主完成。焦點在y軸上的雙曲線的標準方程是 焦點的坐標是F1(0,-c),F2(0,c),a,b,c滿足的關系式是c2=a2+b2。 追問3 ：如何通過雙曲線的標準方程判斷焦點的位置？與橢圓標準方程的區別是什么？ 師生活動：學生先觀察標準方程的結構特征，然后獲得方法：若x2項的系數是正數，則焦點在x軸；若y2項的系數是正數，則焦點在y軸。橢圓方程與雙曲線方程形式上相似，方程中間加減區別、c2、a2、b2之間關系不同等。 類比求橢圓標準方程方法的過程，在前面用“幾何眼光”直觀感知后，用“代數方法”進行論證，即坐標法求雙曲線的標準方程，在這樣的過程中培養學生數學運算素養，滲透數形結合思想方法。 通過比較理解橢圓、雙曲線標準方程的差異，培養學生批判性思維品質。
環節四 任務4： 例題練習，鞏固解 例1：已知雙曲線的兩個焦點分別為F1(-5,0),F2(5,0)，雙曲線上一點P與F1,F2的距離差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程。 師生活動：學生獨立完成，之后展示點評。 問題4：采用什么方法求方程？ 師生活動 學生選擇定義法完成。 例2已知A,B兩地相距800m，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s，且聲速為340m/s，求炮彈爆炸點的軌跡方程。 問題5：對比定義，在實際問題中找到相關的幾何特征？對應的曲線是什么？ 師生活動學生仔細讀題，對比定義，找到兩個定點A,B，一個動點，即爆炸所在地點P，并且|AP|-|BP|=680．從而確定炮彈爆炸點軌跡的形狀是雙曲線的一支（靠近點B)，然后建立平面直角坐標系求解。 追問1：如何在方程中表示曲線為雙曲線的右支？ 師生活動教師提出，學生作答，“右支，x>0,x>100”都可以，為了體現數學的精確性，可采用x≥340，應特別注意x>340不正確。 讓學生熟悉雙曲線的定義和標準方程，掌握確定雙曲線的幾個特征，并會用定義法求雙曲線的標準方程，熟練應用參數關系c2=a2+b2解決相關問題。 體會雙曲線在實際問題中的應用，進一步熟悉雙曲線的定義，尤其應注意是否為一支情形，引導養成嚴謹分析概念的習慣，把握實際問題解決的過程，發展數學抽象素養和數學應用能力。
環節五 任務5： 小結提升，形成結構 問題7請同學們帶著下面的問題回顧本節課的學習過程，并給出回答. (1）如何探究的雙曲線的幾何特征，雙曲線定義是什么？結合橢圓，應注意什么？ (2）你是如何類比求橢圓標準方程的過程，求出雙曲線標準方程的？你對坐標法有哪些新認識？ (3）完成表格，對比橢圓知識點，雙曲線的標準方程和橢圓的標準方程有何異同點？ 在學生獨立思考、總結的基礎上進行交流，然后教師點評、總結梳理，提煉所學知識、技能，感悟數學思想。

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