資源簡介

教學(xué)設(shè)計
題目 8.6.1 直線與直線垂直 第1課時
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析 內(nèi)容 異面直線所成角，直線與直線垂直
內(nèi)容解析 （1）內(nèi)容的本質(zhì) 本節(jié)課主要研究異面直線所成角，直線與直線垂直. 垂直關(guān)系是相交關(guān)系中的特殊情況. 在平面幾何中研究兩條相交直線時，是利用它們相交形成的角的大小來刻畫的，當(dāng)這個角是900時得到了兩條相交直線的特殊位置關(guān)系——垂直. 研究直線與直線垂直關(guān)系，依然是先要定義一個角刻畫直線與直線的相交，于是就有了異面直線所成的角. 內(nèi)容蘊含的思想與方法 本節(jié)內(nèi)容依然遵循研究空間位置關(guān)系的一般思路:直觀感知——操作確認(rèn)——歸納猜想——推理論證——實踐應(yīng)用.這是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)的載體,同時也是讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的密切關(guān)系. （3）知識的上下位關(guān)系 空間的線線垂直關(guān)系上位概念是線線平行、線面平行、面面平行，下位概念是線面垂直、面面垂直.本節(jié)進一步研究了空間直線與直線的特殊位置關(guān)系——垂直，由于垂直較復(fù)雜，為了學(xué)生便于接受與學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生回憶關(guān)于研究空間直線、平面平行的研究過程進行學(xué)習(xí). （4）內(nèi)容育人價值 經(jīng)過觀察、歸納、猜想與論證，這個過程學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界；借助直觀想象發(fā)現(xiàn)問題，并用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達異面直線所成角的定義，并應(yīng)用它解決問題，在這個過程中學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達世界，再把所成角特殊化就可以得到直線與直線垂直的定義，形成一般的研究方法，體會由一般到特殊的研究過程.
二、學(xué)情分析 經(jīng)過初高中的幾何知識學(xué)習(xí)，已熟悉平面上兩條直線所成角的意義、平面上兩條直線垂直的定義，以及空間兩直線相交、平行、異面的位置關(guān)系，并掌握了空間線線、線面、面面之間平行關(guān)系的判定和性質(zhì)，有了較強的空間感和推理證明能力，在此基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)直線和直線垂直的定義和證明，是比較輕松的，掌握異面直線的所成角這一個圖形定義（從平面兩條直線所成角定義出發(fā)到空間異面直線的所成角定義，再利用異面直線的所成角定義從空間回到平面），尤其是通過平移作出異面直線所成角是本節(jié)課的難點.
三、目標(biāo)和目標(biāo)解析 目標(biāo) 1.能通過具體實例，類比兩條相交直線夾角的意義，抽象出兩條異面直線所成角的定義； 2.能利用定義求簡單的異面直線所成的角； 3.能根據(jù)異面直線所成角特殊化得到異面直線的垂直關(guān)系，能用“三種語言”表達異面直線的垂直.
目標(biāo)解析 1.通過長方體模型，類比平面內(nèi)兩條相交直線夾角的定義，抽象概括出異面直線所成角的定義，會用所成角的定義將異面直線所成角的問題，轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)兩條相交直線所成的角，體會兩條異面直線所成角定義中蘊含的數(shù)學(xué)思想,即類比、轉(zhuǎn)化與化歸思想和降維思想. 2.會用定義求簡單異面直線所成的角，即先通過平移找出所求角，再在三角形中求角，體會空間問題平面化的降維思想. 3.能借助異面直線所成的角定義空間直線與直線垂直，能用“三種語言”表達異面直線的垂直，體會從一般到特殊的研究方法與過程.
教學(xué)重點 （1）異面直線所成角的定義. （2）兩異面直線垂直的定義與證明.
教學(xué)難點 用異面直線所成的角的定義找出或作出異面直線所成的角.
四、教學(xué)方法分析 教學(xué)評一致性教學(xué)方法，立體圖形中輔助線的作法是突破問題的關(guān)鍵，注重作圖能力，表述能力，化歸轉(zhuǎn)化能力的培養(yǎng).
五、教學(xué)過程設(shè)計 教師活動與數(shù)學(xué)問題 問題或任務(wù)與學(xué)生學(xué)習(xí)活動 設(shè)計意圖或評價目標(biāo)
環(huán)節(jié)一、 復(fù)習(xí)引入 一、復(fù)習(xí)回顧,創(chuàng)設(shè)情境 （1）空間兩條直線的位置關(guān)系有哪些？ （2）在平面內(nèi)，兩條直線所成的角是什么？ 教師活動：通過ppt展示問題，找學(xué)生回答，教師作引導(dǎo). 同桌合作，用兩筆為直線，先觀察兩直線不同的位置關(guān)系，再回答問題. 通過復(fù)習(xí)前面所學(xué)兩條直線位置關(guān)系，引入本節(jié)新課.建立知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力.
環(huán)節(jié)二、 探究新知 二、觀察操作，探索新知 任務(wù)1. 探索異面直線所成的角 觀察：如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，直線A'C'與直線AB，直線A'D'與直線AB都是異面直線，直線A'C'與A'D'相對于直線AB的位置相同嗎？如果不同，如何表示這種差異呢？ 問題1.異面直線有沒有夾角呢？若有，那如何找出這個夾角？ 教師活動：引發(fā)學(xué)生思維碰撞，類比平面內(nèi)相交直線成角引出異面直線成角的定義. 異面直線所成角的定義： 如圖，已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O作直線a'//a，b'//b，則把a'與b'所成的銳角（或直角）叫做異面直線所成的角（或夾角）. 問題2.這個角的大小與O點的位置有關(guān)嗎？即O點位置不同時，這一角的大小是否改變？ 教師活動：引導(dǎo)學(xué)生自己動手，用筆比劃一下，然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律. 任務(wù)2. 探索異面直線垂直 問題3.前面已經(jīng)研究了異面直線所成角的定義，你覺得怎么來定義兩條直線垂直呢？ 教師活動：引導(dǎo)學(xué)生類比平面內(nèi)的垂直來定義異面垂直. 問題4.異面直線所成角的范圍是什么？ 教師活動：讓學(xué)生自己動手比劃，觀察得出結(jié)論. 先獨立觀察思考.回顧相交直線所成角怎么刻畫；然后想到轉(zhuǎn)化為相交直線所成角. 取兩個點O作比較，發(fā)現(xiàn)O點位置不同這一角的大小不改變. 思考后作答，概括異面直線垂直的定義與異面直線所成角的范圍. 通過觀察與思考，引入異面直線所成角的定義，提高學(xué)生的解決問題、分析問題的能力. 通過思考，進一步理解異面直線所成的角，提高學(xué)生分析問題、概括能力. 檢測目標(biāo)1. 用兩條異面直線所成角定義異面直線垂直，進而得到空間兩條直線垂直，體會從特殊到一般的研究過程. 檢測目標(biāo)2.
環(huán)節(jié)三、 知識應(yīng)用 三、典例分析，知識應(yīng)用 任務(wù)3. 完成例題，規(guī)范解答. 例1 如圖，已知正方體ABCD-A'B'C'D'. （1）哪些棱所在的直線與直線AA'垂直？ （2）求直線BA'與CC'所成的角大小. （3）求直線BA'與AC所成的角大小. 教師活動：1.利用正方體模型演示,展示一名學(xué)生的(1)的結(jié)果. 2.板書(2)過程； 3.展示一名學(xué)生(3)的結(jié)果. 4.巡查輔導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在問題和優(yōu)秀的書寫與解題，展示錯解與優(yōu)秀的解題. 問題5.概括求異面直線所成角的步驟，尋找作（找）異面直線所成角的簡便方法. 并板書至黑板. 步驟：一作（找）、二證、三求. 例2 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O1為底面A1B1C1D的中心.求證：AO1⊥BD. 教師活動：巡查輔導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在問題和優(yōu)秀的書寫與解題，展示錯解與優(yōu)秀的解題. 思考：根據(jù)例1、2，為了簡便，求作兩條異面直線a，b所成的角，點O通常取在哪里？ 先獨立審題觀察思考討論 (1)(2)，然后獨立完成(3), 最后小組活動,說明解題思路. 先獨立完成，演示證明過程, 總結(jié)證明異面直線垂直的一般方法. 通過例1講解,讓學(xué)生理解怎樣求兩異面直線所成的角,初步掌握依據(jù)定義、定理對空間圖形進行論證、計算的方法. 通過例2講解,讓學(xué)生理解怎樣證兩異面直線垂直,同樣轉(zhuǎn)化為同一個平面內(nèi)的相交直線來證明，體現(xiàn)了解決立體幾何問題的重要思想——轉(zhuǎn)化思想. 檢測目標(biāo)3.
課堂小結(jié) 問題6. 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識？這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中體現(xiàn)了哪些思想方法？ 1.異面直線所成角定義； 2.兩異面直線垂直的證法與步驟； 3.異面直線所成角的求法. 教師活動：找學(xué)生自己總結(jié)，不完整的地方同學(xué)間互相補充. 學(xué)生概括表述. 通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力和邏輯推理能力.
目標(biāo)檢測與作業(yè)設(shè)計 當(dāng)堂檢測： 1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”，錯誤的畫“×”. （1）如果兩條平行直線中的一條與已知直線垂直，那么另一條也與已知直線垂直.（ ） （2）垂直于同一條直線的兩條直線平行.（ ） 2.如圖，在長方體ABCD-A'B'C'D'的各條棱所在直線中， （1）與直線AB垂直的直線有_____條； （2）與直線AB異面且垂直的直線有_____條； （3）與直線AB和A'D'都垂直的直線有_____條； （4）與直線AB和A'D'都垂直且相交的直線是直線_______________. 3.如圖，在長方體ABCD-A'B'C'D'中，AB=AD=2，AA'=2，求： （1）直線BC和A'C'所成的角的大小； （2）直線AA'和BC'所成的角的大小. 4.如圖，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，D為棱AC的中點，AB=BB'=2， 求證BDAC'. 課后練習(xí)： 1.如圖所示，在正方體ABCD- A1B1C1D1中，與AD1異面，且與AD1所成角為90°的面對角線共有_____條. 意圖：考查異面直線的判斷及垂直關(guān)系. 2.如圖所示，在正方體ABCD- A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，則EF和CD所成的角是_______. 意圖：考查異面直線所成角的求解. 3.如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠ABC=90°，AB=BC=1，則異面直線B1C1與AC所成角的大小為_____. 意圖：考查異面直線所成角的求解. 4.如圖所示，在正方體ABCD- A1B1C1D1中,M，N分別是棱CD，CC1的中點，則異面直線A1M與DN所成的角的大小為_____. 意圖：考查異面直線所成角的求解. 通過練習(xí)及作業(yè)，鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，感悟其中蘊含的數(shù)學(xué)思想，增強學(xué)生的應(yīng)用意識.
板書設(shè)計 課題:8.6.1直線與直線垂直 1.異面直線所成角 (文字語言) (圖形語言) 例題 證明:(略)

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