資源簡介

教學內容 雙曲線及其標準方程
教材分析 《雙曲線及其標準方程》選自人教A版高中數學選擇性必修一第三章第二節。是繼橢圓之后的又一類圓錐曲線，在社會生產、日常生活、科學技術上也有著廣泛的應用。本節課主要學習雙曲線的定義及標準方程，進一步加深研究圓錐曲線的一般方法和思路，進一步加強學生的數學抽象和運算的能力。
學情分析 在學習本節內容之前，學生已經學習了橢圓及其標準方程，根據橢圓的對稱性，如何適當的建立平面直角坐標系，依據橢圓上的點滿足的幾何條件列出橢圓上點的坐標所滿足的方程，通過對無理方程式的化簡，具備了一定的運算化簡能力。
學習目標 由圖形發現定量關系，類比橢圓的定義，嘗試總結雙曲線的定義；能通過建立適當的坐標系，依據雙曲線上的點滿足的幾何條件列出雙曲線上點的坐標所滿足的方程，化簡方程，得到雙曲線的標準方程，發展數學運算素養；通過定義及標準方程的探究，使學生進一步體驗類比思想與數形結合思想方法的應用。
教學重點難點 教學重點 理解和掌握雙曲線的定義及其標準方程。
教學難點 雙曲線標準方程的推導。
教學過程
教學環節 問題設置 設計意圖 學生活動 教師活動
一、復習引入創設情境提出問題 1、橢圓的定義？橢圓上的點滿足什么幾何條件？ 復習回顧橢圓，為后續雙曲線的學習做鋪墊。 復習回顧橢圓定義，列出橢圓上的點滿足的幾何條件。
2、如圖所示，圓A的半徑為定長r，B是圓內一個定點，C是圓A上的任意一點。線段BC的垂直平分線l與直線AC相交于點E，當點C在圓A上運動時，點E的軌跡是什么？為什么？ 橢圓做鋪墊，找出雙曲線上的點滿足的幾何條件。 分析題干，找到動點E滿足的幾何條件。即動點E到兩定點A、B的距離之和為常數r，且所以，動點E的軌跡是橢圓。 創設問題，引導學生積極思考。學生判斷出軌跡后，利用網絡畫板演示，跟蹤點E得點E的軌跡。
3、如果其他條件不變，我們只將條件“圓內定點B”改為“圓外定點B”，那么點E的軌跡是什么呢？(1) (2) 給出問題，發現幾何條件，引出雙曲線定義。 分析題干，找到動點E滿足的幾何條件。(1)即動點E到定點B與到定點A的距離之差為常數r，且.(2)即動點E到定點A與到定點B的距離之差為常數r，且. 用網絡畫板動畫演示，啟發引導學生思考，調動學生積極性.問題(1)中，結合學生列出動點的幾何關系，演示動點E的軌跡.問題(2)中，結合學生列出動點的幾何關系，演示動點E的軌跡.
4、結合問題3，嘗試給出這兩條曲線上的點滿足的一致關系. 由曲線上的點滿足的幾何條件，引出雙曲線定義. 觀察發現，(1)(2)同時滿足，且.
二、新知探究 1、雙曲線的定義： 一般地，把平面內與兩個定點的距離的差的絕對值等于非零常數(小于)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.
問題1：類比橢圓，雙曲線定義中有那些關鍵字詞？ 用類比的方法發現定義中的關鍵. 找到關鍵字詞：絕對值，常數小于.
問題2：若去掉這些關鍵字詞，曲線會發生什么變化？①去掉絕對值②常數大于.③常數等于.④常數等于0 加深對雙曲線定義的理解. ①去掉絕對值，只能表示雙曲線中的其中一支曲線；②不表示任何圖形；③表示兩條射線；④表示線段的中垂線. ①結合前面的動畫演示.②③④在平面內可以取點，看符合相應條件的點在平面內的什么位置？
2、標準方程的推導：回顧橢圓標準方程的推導步驟及方法，能否類比橢圓試著推導雙曲線的標準方程. 通過類比橢圓的研究過程與方法，研究雙曲線方程.
問題1：如何建立適當的平面直角坐標系？ 觀察發現雙曲線具有對稱性，建立以點所在直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸的平面直角坐標系xoy. 橢圓是對稱圖形，橢圓是如何建系的？引導學生依據(對稱性、特殊點等)建立適當的平面直角坐標系.
問題2：如何寫出曲線上的點M所滿足條件的集合？ 雙曲線上點滿足條件的集合 求曲線的方程，實質上是要找到曲線上的點所滿足的條件.
問題3：根據點M的坐標滿足的條件寫出并化簡方程. 類比橢圓標準方程的化簡過程，化簡得到雙曲線標準方程. 化簡過程中，可以看到雙曲線上的任意一點的坐標都是所得方程的解，反之，以方程的解為坐標的點都在雙曲線上。所以，所得方程是雙曲線的方程. 注意三者的關系，其中c最大，要區分于橢圓中的關系.
問題4：焦點在y軸上的雙曲線的標準方程？ 類比焦點在x軸上的雙曲線的標準方程，寫出焦點在y軸上的雙曲線的標準方程
問題5：對比焦點在x軸和焦點在y軸上的雙曲線的標準方程，如何根據雙曲線標準方程判斷雙曲線的焦點位置？ 若系數是正數，則雙曲線的焦點在x軸上，且對應的分母是；若系數是正數，則雙曲線的焦點在x軸上，且對應的分母是. 雙曲線焦點位置的判斷不像橢圓可以通過比較分母的大小確定焦點在哪條坐標軸上.
三、例題分析 例1 設雙曲線的兩個焦點分別為，雙曲線上一點P與的距離差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程. 利用定義求雙曲線的標準方程. 借助雙曲線定義，確定的值，利用三者的關系求出b的值，從而寫出雙曲線的標準方程.
例2 已知A、B兩地相距800m，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s，且聲速為340m/s，求炮彈爆炸點的軌跡方程. 雙曲線定義的應用. 分析：由題意可知，爆炸點在以A、B為焦點的雙曲線上，因為A地聽到比B地晚兩秒，所以爆炸點在以A(左焦點)、B(右焦點)的雙曲線的右支上.由定義確定的值，從而寫出軌跡方程. 強調，寫軌跡方程時，注意標注范圍以表示雙曲線的右支.
四、隨堂練習 1.求適合下列條件的雙曲線的標準方程.(1)焦點在x軸上，；(2)焦點在x軸上，經過點；(3)焦點為，且經過點.
2.已知點的坐標滿足下列條件，試判斷下列各條件下點P的軌跡是什么圖形？并寫出軌跡方程.(1) (2)
四、小結 雙曲線的定義（與橢圓的區別）標準方程的推導（推導焦點在x軸上的，焦點在y軸上的方程可類比焦點在x上的方程.）焦點位置的判斷及的關系. 列出橢圓及雙曲線的定義和方程的表格，對比記憶.
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