資源簡介

教學設計
課題 基本不等式
課型 新授課
教學內容分析
本節課是高中數學人教A版必修第一冊第二章2.2節。 從全章看，相等關系、不等關系是數學中最基本的數量關系，是構建方程不等式的基礎。本節課是在學習了不等式基本性質基礎上研究的一種重要且基本的不等式類型。它在解決其它不等式問題中具有重要作用。 這種“基本”主要體現在以下三個方面： （1）它與很多重要的數學概念和性質相關，從數與運算的角度，它體現了兩個正數的算數平均數與幾何平均數之間的不等關系，不等式中涉及的是代數中的“基本量”和最基本的運算。從幾何圖形的角度，“半徑不小于半弦”都是基本不等式的直觀理解。 （2）基本不等式的證明方法或推導方法很多，從數量關系的角度，利用不等式的性質來推導基本不等式；從幾何圖形的角度，借助幾何直觀，通過數形結合來探究基本不等式的幾何解釋；從數學實驗的角度，通過實驗，利用幾何圖形來證明基本不等式。 （3）基本不等式的代數結構也是數學模型思想的一個范例，借助這個模型可以求最大值和最小值。 教材例1和例2是基本不等式在數學中的應用，例2的題干給出的基本不等式的數學模型，揭示了基本不等式可以解決的兩類最值問題，為利用基本不等式解決實際問題（例3，4）埋下伏筆。 因此，基本不等式的學習可以培養學生的邏輯推理、數學運算和數學建模等學科素養。 本節課的結構圖如下:
學習者分析
1.知識儲備：初中已經認識不等式，上節課學習了不等式的性質，能夠進行簡單的數與式的比較；會用作差比較法證明不等式并且在初中多次經歷了建立方程（組）模型解決實際問題的過程。 2.能力儲備：平時的課堂教學中，已經培養學生具備了一定的小組討論和探究合作學習的能力;學生思維活躍，有充沛的精力和較強的求知欲。 3.不足之處：首先代數思維尚未建立起來，缺乏運用結構化的眼光看待研究對象的意識，還未掌握高中的學習方式方法;對于不等式的理解存在畏難情緒，不愿意主動去探索，對于正確地運用不等式的性質對不等式進行恰當的等價變形會感到困難；其次，基本不等式的幾何解釋也是學生不容易想到的，需要數形結合地去理解。最后，在利用基本不等式解決兩類最值問題時需要理解和識別問題中的數量關系，這與學生熟悉的建立方程模型刻畫問題中的等量關系不盡相同。同時，學生在利用基本不等式研究最值問題時，容易出現忽視使用條件等問題。
學習目標確定
1．經歷從初中的完全平方公式與趙爽弦圖的代數、幾何兩條思路抽象出重要不等式a2+b2≥2ab過程，通過代數變換，推出基本不等式 ，并進一步解釋基本不等式結構； 2．利用不等式的性質，探索這兩個不等式的代數證明思路及它們的內在聯系，提升邏輯推理素養； 3．了解基本不等式的幾何解釋，從數形結合的角度對基本不等式進行再認識，體會數與形的和諧統一，感受數學美，促進直觀想象素養的發展； 4．會用基本不等式解決簡單的最值問題，初步了解不等式的應用價值，發展數學運算、數學建模素養。
學習重點難點
學習重點：從不同角度探索基本不等式的發現與證明，會用基本不等式解決簡單的最值問題。 學習難點:以數學模型的觀點理解基本不等式，解決簡單的最值問題。
學習評價設計
在課堂上，教師對學生的學習結果隨時給出評價反饋，課后在與學生交流時對他們知識運用情況做出評價，給出建議。上課結束時，教師對本節課的內容和目標完成情況加以總結。在批改作業中針對學習存在的問題直接給出評價意見。 本節課從以下幾個方面進行評價： (1)學習參與情況：積極參與教學活動，舉手回答問題，明確任務并能完成自 己的任務。 (2)知識應用：應用本節課知識和方法，選擇課外教輔資料同時懂得使用多媒 體幫助解決實際問題。 (3)思維與計算：回答問題思路清晰、完整，創造性思維的課堂表現，計算準 確無誤、書寫認真規范。
學習活動設計
活動一：導入新課，探究重要不等式 此圖是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客。 (
B
C
E(FGH)
a
b
) (
A
D
B
C
E
F
G
H
b
a
) 問題1：設直角三角形的兩直角邊的長分別為a、b，那么，四個直角三角形的面積之和與正方形的面積有什么關系呢？?[你能否在“弦圖”中根據邊長或面積找出一些相等關系或不等關系嗎 問題2：對于兩直角邊，有此式中何時等號成立？
教師活動1 問題1：教師利用幾何畫板改變弦圖中兩直角邊的長度，展示運動變化的弦圖幫助學生理解三角形面積與正方形面積相等的情況。 問題2：教師利用投影儀展示學生的完整證明過程。強調和兩種情況，說明“當且僅當”的含義。 學生活動1 問題1：學生觀察并歸納： 生1：，得； 生2：，得。 得到重要不等式： a +b ≥2ab, 問題2：學生說明：當時, ；當，。
問題1：活動意圖 介紹國際數學家大會以及趙爽的相關背景，體現數學的文化價值，滲透愛國主義教育。初中完成利用弦圖證明勾股定理的過程，一方面展現了趙爽證明的構圖巧妙、精致，是數與形的完美統一，讓學生對弦圖的認識清晰、完整；另一方面為提出弦圖中面積間的不等關系做鋪墊，體會相對關系與不等關系的辯證統一。同時，通過運動變化的弦圖將直觀的面積關系轉化為隱含的不等關系。 問題2：活動意圖 請學生討論等號成立的條件，了解“當且僅當”的含義。
活動二：證明重要不等式 問題3：上式對正實數是成立的，那么對任意實數，上式都成立嗎？請證明自己的結論。
教師活動2 教師歸納由圖形中面積間的不等關系，我們發現了兩實數間的這一事實：對任意實數，有，當且僅當時，等號成立，并板書。 學生活動2 學生自主探究完成證明，學生比較自然的想到用“作差法”證明。
活動意圖 給學生提供思維發展的空間，讓學生從對知識的直觀感知上升到理性證明，既體現了數學知識發生發展的過程及其嚴謹性，又鞏固了證明不等式的基本方法，為后續證明基本不等式做鋪墊。
活動三 ：通過數學實驗遷移應用重要不等式引出基本不等式 實際上，在不同的圖形中上述不等式有不同的體現，我們再看這樣一個數學實驗. 如圖，取正方形紙片對角線上任意一點，分別作正方形兩鄰邊的垂線，切分出兩個正方形和兩個矩形， 問題1：設切分出的兩正方形邊長分別為，切分出的兩正方形面積和與兩矩形面積和的大小關系？ 問題2：若設切分出的兩正方形的面積分別為, 根據上述不等關系，又可以得到怎樣的不等式呢？ 問題3：回顧不等式（①）的生成過程中，你發現它與不等式（②）有怎樣的聯系呢？
教師活動3 教師利用多媒體課件展示出數學實驗要求，利用問題的分解逐步帶領學生從實驗的圖形分析出重要不等式，再用引申問題引出基本不等式。 教師歸納：由圖形中面積間的不等關系，我們又可以得到不等式 ，當且僅當時，等號成立。 教師說明;通常我們把上式寫作，稱為基本不等式，本節課我們就來研究基本不等式。（引入課題并板書） 學生活動3 問題1學生動手操作實驗并自主探究完成思考，并說明： 生1：，，由不等式 ，當且僅當時，等號成立。 問題2學生說明： 若兩正方形的面積分別為，則其邊長分別為，得： 當且僅當時，等號成立。 問題3學生說明： 因為，在②式中用代替，代替即得①式。
問題1活動意圖 從學生比較熟悉的圖形背景中再一次認識不等式，既可以根據已知的不等式探究圖形中面積間的不等關系，又可以在圖形中體現不等式。 問題2活動意圖 自然地由不等式過渡到，為基本不等式的產生構造幾何背景，并在圖形中揭示不等式與不等式的內在聯系。 問題3活動意圖 激發學生的思維，使其從多角度發現不等式與不等式的內在聯系，認識到它們是對同一個事實的兩種不同描述，其本質是一致的，同時也能促進學生形成對學習進行反思的意識與習慣。
活動四 ：基本不等式的代數意義及其證明 通常我們把上式寫作，稱為基本不等式。 我們稱為a、b的算術平均數，稱為a、b的幾何平均數。 基本不等式還可敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。 問題4：你能否證明基本不等式？
教師活動4 教師可引導學生糾錯，進而加入關鍵詞“要證…,只要證…”即可,對分析法不做過多說明。 學生活動4 學生展示不同的證明方法，并敘述證明g過程.生3的做法是普遍錯誤， 生1：（比較法） 當且僅當時，等號成立； 生2：（綜合法） 當且僅當時，等號成立; 生3：（分析法）
活動意圖說明 對于不等式的證明，學生已具備了“分析法”的基本思想，教材上以填空的形式證明了基本不等式，但“分析法”證明的格式以及為什么要這樣證明，是學生思維的盲點，一是學生不會發現其中隱含的道理，二是學生照此模仿往往會出錯.因此此處的證明由學生獨立完成，相互交流，并展示不同的證明方法，這樣既能使不同認知基本的學生暴露出不同的問題，并加以解決，又能教會學生欣賞同伴身上的閃光點，發揚合作精神。
活動五：動態幾何模型中證明基本不等式 實際上，在許多圖形中都蘊含著基本不等式。 如圖，取線段，其中，以為直徑做圓O，過點C做垂直于AB的弦DE，連接AD、BD. (
A
E
D
B
)【思考1】： ①如何用a, b表示OD OD=______ ②如何用a, b表示CD CD=_____ ③OD與CD的大小關系怎樣 OD_____CD 【思考2】：移動點C在線段AB上的位置（幾何畫板），你有什么結論呢？
教師活動5 教師利用多媒體展示動態圖形以及探究內容，并引導學生逐層遞進的解決問題。 學生活動5 學生合作探究完成，并展示說明： 生1：直角三角形中，斜邊大于直角邊； 生2：在直角三角形中，斜邊上的中線不小于斜邊的高； 生3：在圓中，半徑不小于半弦。
活動意圖說明 通過對圖形的探究多角度說明基本不等式的幾何意義，由于學生對問題的分解能力不足，不知如何入手探究，并且表示的線段及其幾何意義學生不易發現。為了幫助學生，我將探究分解為兩個小問題，從運動變化的角度幫助學生觀察、歸納。一方面，幫助學生建立數學結合的基本思想；另一方面，培養學生從運動變化的角度思考問題、解決問題的能力，多角度認識基本不等式的幾何解釋。
活動六 遷移與應用基本不等式 例1：已知x＞0，求的最小值 【思考1】本題中求最值的代數式有何特點？ 【思考2】這里的“取等號”條件必須說明嗎？ 【思考3】滿足什么條件的代數式，才能利用基本不等式求最值？ 例2.已知都是正數，求證： （1）如果積等于定值,那么當時，和有最小值； （2）如果和等于定值, 那么當時，積有最大值。 【思考4】通過本題，你能說說用基本不等式能夠解決什么樣的問題嗎？
教師活動6 教師通過問題 分析題干引導學生根據所求代數式的結構特征，判斷是否能用基本不等式求最值，同時強調代數式的最值必須是代數式能取到的值，為學生求解代數式的最值問題提供示范，讓學生板演或展示成果，適時點評。 教師明確例2得到的結論十分有用，會在實際問題中用到，要牢記條件和對應結論。 基本不等式 （1）使用條件：一正二定三相等； （2）作用：和定積大，積定和小。 學生活動6 思考、分析，嘗試以語言等方式展示成果。 用自然語言把兩個問題連在一起說，能用自己的話表達也是對結論的進一步理解，并書寫證明過程后展示，師生共同補充完善。
活動七 課堂小結 （1）本節課我們學習的主要內容是什么 （2）在應用基本不等式時，需要注意哪幾點？ （3）在本節課的學習中，運用了哪些數學思想方法？
教師活動7 教師點評即可.教師可適當總結本節課所應用的數學思想與方法。 學生活動7 請學生發言，并相互補充。
活動意圖說明 通過對所學內容進行小結，從數與形兩個方面提煉研究基本不等式的過程，使學生對本節內容有一個更全面的認識。
板書設計
作業與拓展學習設計
一、作業布置： 課本46頁練習第1,2、3題 二、拓展學習： 已知矩形長和寬分別為a,b，求作一個正方形： （1）使其與已知矩形面積相等，則該正方形的邊長是多少？ （2）使其與已知矩形周長相等，則該正方形的邊長是多少？ （3）使其與已知矩形對角線長相等，則該正方形的邊長是多少？ 【思考】計算并思考這三個問題中的正方形邊長之間有怎樣的大小關系呢？ 三、課后作業：請同學們課后在網上查找基本不等式的其它幾何解釋，整理并相互交流。
教學反思與改進
不等式對于高中學生來講并不陌生，但基本不等式作為一個新的知識點，形式抽象，應用靈活，并且出現在必修一的預備知識中，這對剛剛進入高中的高一學生來講，是有很大挑戰的。教材上是由重要不等式換元的方式，得出基本不等式，并且用分析法給予證明，但這一切的過程，對學生來講都比較“突然”。故在這個探究環節中設置了數學小實驗，自然地由不等式過渡，為基本不等式的產生構造幾何背景，并在圖形中揭示不等式與不等式的內在聯系。 在弦圖引入問題中和基本不等式的幾何意義的環節中，此處設計了對于“連續變化”的特殊值的直觀動圖演示，探究其大小關系，引起學生對“特殊和一般”的認知沖突，讓學生從一般證明方法去研究，能更好的接受此不等式的驗證過程。 另外，在基本不等式的求最值問題中的“最值”，對于高一剛起步的學生來講，這一概念還很模糊，對于基本不等式的使用條件也是要學生自己發現才有意義，故對例題設計了“問題串”，學生在問題中去尋找線索，在環環相扣的問題中，去逐步完善自己的知識結構，思維得到拓展，能力得到進一步提高。 最后，在小結部分的思考“通過本節課的學習，談談你有哪些收獲？”讓學生翻看自己的回憶，自行總結自己所得，學生的主體地位突顯。對“課前引例中加入（3）的繼續探索”以及“兩種平均數”的課后延伸閱讀，既能前后呼應，又能拓展所學，讓學生體驗邏輯思維的逐步延展，看到自己的潛能，從而激發學生的學習興趣，促進學生的自主發展，準備提升自己的能力。 當然，本節課在授課之后，我也認真地反思了自己的不足，在證明重要不等式時，如果能用學生板書或者投影的方式展示，可能要比學生寫讀作答的方式效果更好，但時間有限，這里也是一個遺憾。在今后的教學中，我會更重視教材的挖掘，更重視“基本活動經驗”的積累與引導其激活，無論是在公開課還是在日常教學過程中，都應該把時間和自主探究的權利交還給學生，讓學生獲得自主發現的體驗，感受“大膽猜想，小心求證”科學探索的精神，為學生進一步落實數學學科核心素養，我會始終保持一腔熱忱，努力探索。

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