資源簡介

《向量的數量積》教學設計
第1課時
能理解兩非零向量的夾角的定義，理解向量夾角的性質．
教學重點：兩非零向量的夾角的定義．
教學難點：兩非零向量的夾角的定義．
一、問題情境
問題5：力與在力的方向上移動的距離的乘積稱為力對物體所做的功．如圖，
如果作用在小車上的力的大小為N，小車在水平面上位移的大小為m，力的方向與小車位移的方向所成夾角為，那么這個力所做的功為
（1）顯然，功W與力向量及位移向量有關，這三者之間有什么關系？
（2）給定任意兩個向量，，能確定出一個類似的標量嗎？如果能，請指出確定的方法；如果不能，說明理由．
本圖片為微課縮略圖，本視頻資源針對向量的數量積進行講解，提高知識的應用能力．若需使用，請插入相應微課【知識點解析】知識講解——向量的數量積．
師生活動：從數學的角度，我們已經學過了向量的加法，減法，數乘運算．聯系實數的運算，自然而然會思考到：向量有沒有和實數類似的乘法運算呢？“力”和“位移”是兩個向量，它們的組合產生了新量——功．這說明現實生活中存在著向量和向量之間的一種有別于向量加法、減法和數乘運算的新運算．
預設的答案：情境與問題中的功是由向量和的大小以及這兩個向量方向的差異確定．一般地，給定任意兩個向量，能確定出一個類似地標量，這也是本小節要學習的向量的數量積．
設計意圖：通過情境，讓學生了解數學自身發展的需要和現實生活的需求使得定義新運算成為一種必然．
二、新知探究
問題6：功是兩個向量的模長與這兩個向量夾角的余弦值的乘積，是兩個向量的夾角．那么我們如何找到兩個向量的夾角呢？
知識點一 兩個向量的夾角
教師講解：給定兩個非零向量，在平面內任選一點O，作＝，＝，則稱[0，π]內的∠AOB為向量與向量的夾角，記作．
【練一練】如圖，向量與的夾角，向量與的夾角，向量與的夾角，向量與的夾角分別為多少？
預設的答案：向量與的夾角為，即；向量與的夾角為，即；向量與的夾角為，即；向量與的夾角為，即．
知識點二 向量夾角的性質
問題7：如果與是兩個非零向量，那么（1）的取值范圍是什么？
（2）是否成立？
師生活動：學生討論，教師完善．
教師總結：向量夾角的性質
（1）根據向量夾角的定義可知，兩個非零向量的夾角是唯一確定的，而且
；
（2）當時，稱向量與向量垂直，記作，由于零向量方向是不確定的，在討論垂直問題時，規定零向量與任意向量垂直．
設計意圖：向量的夾角決定了兩個向量的位置關系.明確范圍內的角的分類標準.讓學生理解兩向量的夾角以及夾角的性質．為后面學習向量的數量積做好準備．
三、初步應用
例1 在等邊三角形ABC中，向量與的夾角為_________；向量與的夾角為_________；向量與的夾角為_________.
師生活動：讓學生自主完成，教師巡視、點評.
預設的答案：因為三角形ABC是等邊三角形，所以∠BAC＝60°，即向量與的夾角為60°；
向量與的夾角為∠ABC的補角，為120°；　向量與的夾角為∠BCA的對頂角，為60°．
設計意圖：通過本題，讓學生熟悉兩向量的夾角必須起點移到同一點，搞清楚三角形中的有關向量的夾角與三角形內角之間的關系．
例2 已知非零向量滿足，且，求與的夾角．
師生活動：學生互相討論，派代表板演，教師完善．.
預設的答案：作, ，則，由知三角形OAB為直角三角形，，又OA=2OB，所以，，即與的夾角為．
設計意圖：通過本題，讓學生熟悉用幾何法求解向量問題．
四、歸納小結，布置作業
1．板書設計
6.2.4向量的數量積
學習數學是重要的
本章將要研究的問題
兩非零向量的夾角
向量夾角的性質
例1 例2
2．總結概括
教師引導學生回顧本節知識：
(1)兩非零向量的夾角的定義；(2)向量的夾角的性質
作業：
1．若向量與的夾角為60°，則向量與－的夾角是(　　)
A．60°　　 B．120°　　 C．30°　　D．150°
2．非零向量，求向量與的夾角．
預設的答案：1．B；2. 120°
《6.2.4 向量的數量積》教學設計
第2課時
1．能理解平面數量積的概念及物理意義，會計算平面向量的數量積
2．通過幾何直觀，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義；
3．掌握數量積的簡單應用，會利用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系．
教學重點：平面向量數量積的概念和物理意義、幾何意義、應用．
教學難點：平面向量數量積的幾何意義理解．
一、問題情境
問題2：類比于功，你能給兩個向量定義相應的運算嗎？
師生活動：學生互相討論，教師完善．
二、新知探究
知識點一 向量數量積的定義
數量積的定義：一般地，當都是非零向量時，稱為向量的數量積(也稱為內積)，記作，即＝．
本圖片為微課縮略圖，本視頻資源針對向量的數量積進行講解，提高知識的應用能力．若需使用，請插入相應微課【知識點解析】知識講解——向量的數量積．
問題3：如果都是非零向量，那么可以是正數嗎？可以是負數嗎？可以是零嗎？你能舉出實例加以說明嗎？
師生活動：學生互相討論，派代表發言，教師完善．
預設的答案：觀察兩個非零向量與的數量積的定義可知，的符號由決定，從而也就是由的大小決定.如圖，，也就是說，兩個非零向量的數量積既可以是正數，也可以是零，還可以是負數．
說明：（1）定義的適用條件是兩個非零向量.規定：零向量與任何向量的數量積為0；
（2）注意數量積的符號表示，運算符號不可省略，不可用×號替代；
（3）兩個非零向量的數量積等于這兩個向量的模長與這兩向量夾角的余弦值的乘積；
（4）由定義可知，兩個非零向量的數量積是一個數量. 這與向量的加法、減法以及數乘向量的結果仍是一個向量不同；
（5）的符號由的符號決定，從而也就是由的大小決定．具體情況如下表：
的大小 圖示 語言描述 的符號 的符號
與共線同向 正
與夾角為銳角 正
與垂直 0
與夾角為鈍角 負
與共線反向 負
由此可知：
①兩個非零向量的數量積可以是正數，也可以是負數，還可以是零.
②是與夾角為銳角”的必要不充分條件；
是與夾角為鈍角”的必要不充分條件；
③是的充分必要條件．
【練一練】（1）已知，, ，則_________．
(2) 已知，,，則_________．
預設的答案：（1）5，(2) ．
知識點二 數量積的性質
問題4：向量的數量積有哪些性質呢？
師生活動：學生互相討論，派代表發言，教師完善．
教師總結：(1)|；
(2) ，即；
(3) ,即向量垂直的充要條件為；
(4).
知識點三 向量的投影與向量數量積的幾何意義
教師講解：1.向量在直線上的投影、向量在向量上的投影
如圖所示，設非零向量過分別作直線l的垂線，垂足分別為，則稱向量為向量在直線l上的投影向量或投影．
類似地，給定平面上的一個非零向量，設所在的直線為，則在直線上的投影稱為在向量上的投影．
如圖所示，向量在向量上的投影為，可以看出，一個向量在一個非零向量上的投影，一定與這個非零向量共線，但它們的方向既有可能相同，也有可能相反．
【思考】如果，都是非零向量，且在向量上的投影為，那么向量的方向、長度與有什么關聯？
師生活動：學生分組討論，派代表發言，教師完善．
預設的答案：如圖所示，
當時，的方向與的方向相同，而且；
當時，為零向量，即
當時，的方向與的方向相反，而且.
2.向量投影的數量及數量積的幾何意義
（1）一般地，如果都是非零向量，則稱為向量在向量上的投影的數量．投影的數量與投影的長度有關，但是投影的數量既可能是非負數，也可能是負數．
（2）因為
所以兩個非零向量的數量積，等于在向量上的投影的數量與的模的乘積，這就是兩個向量數量積的幾何意義．
（3）特別的，當為單位向量時，因為，所以，即任意向量與單位向量的數量積，等于這個向量在單位向量上的投影的數量．
設計意圖：投影、以及投影的數量等概念的引入，充分解釋了向量數量積的幾何意義．
三、初步應用
例1 （1）已知，求；
（2）已知，求.
師生活動：讓學生自主完成，教師巡視、點評.
預設的答案：（1）由已知可得＝
（2）由＝可知，
因此從而可知
設計意圖：通過本題，讓學生熟悉利用向量數量積的定義求解兩向量的數量積或兩向量夾角，提升學生的數學運算核心素養．
例2 如圖所示，求出以下向量的數量積
（1）；（2）；（3）
師生活動：學生互相討論后自主完成，教師完善.
預設的答案：（1）（方法一）由圖可知，，因此．
（方法二）由圖可知，向量在向量上的投影的數量為1，且為單位向量，因此根據向量數量積的幾何意義可知；
（2）由圖知，因此；
（3）由圖可知，向量在向量上的投影的數量為-1，且為單位向量，因此根據向量數量積的幾何意義可知，．
設計意圖：通過本題，讓學生進一步熟悉利用向量數量積的定義求解兩向量的數量積，提升學生的數學運算核心素養．
例3 如圖，等邊三角形中，邊長為2，求：
（1）與的數量積；
（2）與的數量積.
師生活動：學生互相討論后自主完成，教師完善.
預設的答案：（1）
．
設計意圖：通過本題，讓學生熟悉具體幾何圖形中的兩向量的數量積的求解以及培養數學運算核心素養．
例4 求在上的投影數量和在上的投影數量．
師生活動：學生互相討論后派代表板演，教師完善.
預設的答案：向量在向量上的投影數量；
向量在向量上的投影數量．
設計意圖：通過本題，讓學生熟悉一個向量在另一個向量上的投影的求解，培養數學運算核心素養．
四、歸納小結，布置作業
1．板書設計
6.2.4 向量的數量積
數量積的定義 數量積的性質
向量在向量上的投影數量
向量數量積的幾何意義 向量數量積的作用
例1 例2
例3 例4
2．總結概括
教師引導學生回顧本節知識：
（1）數量積的定義；（2）數量積的性質；(3) 向量在向量上的投影數量；(4)向量數量積的幾何意義.
作業：教材第22頁練習1，2，3
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